Polynóm je zvyčajne reprezentovaný ako:
$ f (x) \u003d \\ suma \\ limity_ (k \u003d 0) ^ (n) a_k x ^ k $
f (x) \u003d a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a k x k
Kde a k sú to reálne čísla predstavujúce koeficienty polynómu a
x k toto sú polynomické premenné.
Vyššie uvedený polynóm sa nazýva polynóm n-tého stupňa deg (f (x)) \u003d nkde n predstavuje najvyšší stupeň premennej.
Hornerova schéma rozdelenia polynómu je algoritmus na zjednodušenie výpočtu hodnoty polynómu f (x) v určitej hodnote x \u003d x 0 rozdelením polynómu na monomiál (polynómy 1. stupňa). Každý monomón obsahuje najviac jeden proces násobenia a jeden proces sčítania. Výsledok získaný z jedného monomómu sa pripočíta k výsledku získanému z nasledujúceho monomialu a tak ďalej hromadne. Tento štiepny proces sa tiež nazýva syntetické štiepenie.
Aby sme vysvetlili vyššie uvedené, prepíšeme polynóm v rozšírenej podobe;
f (x 0) \u003d a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 2 + ... + a n x 0 n
Môže byť tiež napísaný ako:
f (x 0) \u003d a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + ... + (a n-1 + a n x 0) ....)
Algoritmus navrhnutý v tejto schéme je založený na nájdení hodnôt monomiálov vytvorených vyššie, počnúc tými, ktoré sú uzavreté vo viacerých zátvorkách a pohybujú sa smerom von, aby sa našli hodnoty monomiálov vo vonkajších zátvorkách.
Algoritmus sa spúšťa podľa nasledujúcich krokov:
1. Dané k \u003d n
2. Nech b k \u003d a k
3. Nech b k - 1 \u003d a k - 1 + b k x 0
4. Nech k \u003d k - 1
5. Ak k ≥ 0potom sa vráťte ku kroku 3
inak Koniec
Tento algoritmus je možné vizualizovať aj graficky, berúc do úvahy daný polynóm 5. stupňa:
f (x) \u003d a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5
ktorého hodnota sa zistí ako x \u003d x 0preskupením takto:
f (x 0) \u003d a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + x 0 (a 4 + a 5 x 0))))
Ďalším spôsobom, ako prezentovať výsledky pomocou tohto algoritmu, je tabuľka uvedená nižšie:
Takže f (2) \u003d 83.
Prečo to musíme robiť?
Zvyčajne, keď nájdeme hodnoty polynómu pri určitej hodnote premennej, zvykneme si túto hodnotu v polynóme dosadiť a vykonať výpočty. Môžeme tiež vyvinúť počítačový program pre matematické výpočty, ktorý je nevyhnutnosťou pri riešení zložitých polynómov vyšších stupňov.
Spôsob, akým počítač rieši problém, závisí vo veľkej miere od toho, ako ho ako programátor opíšete do počítača. Môžete navrhnúť svoj program tak, aby našiel hodnotu polynómu priamym nahradením hodnoty premennej, alebo môžete použiť syntetické rozdelenie uvedené v Hornerovej schéme. Jediným rozdielom medzi týmito dvoma prístupmi je rýchlosť, s akou počítač nájde riešenie pre konkrétny prípad.
Výhodou Hornerovej schémy je, že znižuje počet násobení. Ak vezmeme do úvahy, že doba spracovania každého procesu násobenia je 5 až 20-krát dlhšia ako doba spracovania procesu pridávania, môžete namietať, že zostavenie programu na vyhľadanie hodnoty polynómu podľa Hornerovej schémy výrazne zníži čas výpočtu strávený v počítači.
Bezoutova veta, napriek svojej zjavnej jednoduchosti a zrejmosti, je jednou zo základných viet teórie polynómov. V tejto vete sú algebraické charakteristiky polynómov (umožňujú prácu s polynómami ako s celými číslami) spojené s ich funkčnými charakteristikami (ktoré nám umožňujú považovať polynómy za funkcie).
Bezoutova veta uvádza, že zvyšok rozdelenia polynómu na polynóm je.
Koeficienty polynómu ležia v nejakom komutatívnom kruhu s jednotou (napríklad v oblasti reálnych alebo komplexných čísel).
Bezoutova veta je dôkaz.
Zvyškom rozdelíme polynóm P (x) polynómom (x-a):
Na základe toho, že stupeň R (x)< deg (x-a) = 1
- polynóm stupňa najviac nula. Nahradíme, pretože, dostaneme 
.
Najdôležitejšia však nie je iba veta, ale dôsledok Bezoutovej vety:
1. Číslo je koreňom polynómu P (x) keby a len keby P (x) deliteľné na dvojčleny x-a.
Na základe toho množina koreňov polynómu P (x) je totožný s množinou koreňov zodpovedajúcej rovnice x-a.
2. Voľný člen polynómu je vydelený ľubovoľným celočíselným koreňom polynómu s celočíselnými koeficientmi (keď je vedúci koeficient rovný jednému, všetky racionálne korene sú celé číslo).
3. Predpokladajme, že ide o celočíselný koreň redukovaného polynómu P (x) s celočíselnými koeficientmi. Pre každé celé číslo je teda číslo deliteľné číslom.
Bezoutova veta umožňuje po nájdení jedného koreňa polynómu hľadať ďalej korene polynómu, ktorého stupeň je už o 1 menej: ak, potom daný polynóm P (x) bude vyzerať takto:
Príklady Bezoutovej vety:
Nájdite zvyšok rozdelenia polynómu na dvojčlen.
Príklady riešenia vety Bezout:
Na základe Bezoutovej vety odpovedá požadovaný zvyšok hodnote polynómu v bode. Potom zistíme, že namiesto toho hodnotu dosadíme do výrazu pre polynóm. Dostaneme:
Odpoveď: Zvyšok \u003d 5.
Hornerova schéma.
Hornerova schéma je algoritmus na delenie (delenie Hornerovou schémou) polynómov napísaný pre konkrétny prípad, ak je kvocient rovný binomickému číslu.
Vytvorme tento algoritmus:
Predpokladajme, že to je dividenda
Súkromné \u200b\u200b(jeho stupeň je pravdepodobne o jeden menej), r - zvyšok (keďže delenie sa vykonáva polynómom) 1 stupňa, potom bude stupeň zvyšku o jeden menej, t.j. nula, takže zvyšok je konštanta).
Podľa definície rozdelenia na zvyšok P (x) \u003d Q (x) (x-a) + r... Po dosadení výrazov polynómov dostaneme:
Otvárame zátvorky a vyrovnávame koeficienty na rovnakých stupňoch, po ktorých vyjadríme koeficienty kvocientu prostredníctvom koeficientov dividendy a deliteľa:
Výpočty je vhodné zhrnúť do nasledujúcej tabuľky:
Zvýrazní tie bunky, ktorých obsah je zahrnutý do výpočtov v ďalšom kroku.
Príklady Hornerovej schémy:
Nech je potrebné rozdeliť polynóm na dvojčlen x-2.
Vytvorte tabuľku s dvoma riadkami. Do 1 riadku vypíšeme koeficienty nášho polynómu. V druhom riadku dostaneme koeficienty neúplného kvocientu podľa nasledujúcej schémy: v prvom rade prepíšeme seniorský koeficient daného polynómu, potom, aby sme dostali ďalší koeficient, vynásobíme posledný nájdený koeficientom a \u003d 2 a pripočítajte so zodpovedajúcim koeficientom polynómu F (x)... Posledným koeficientom bude zvyšok a všetky predchádzajúce budú koeficientmi neúplného kvocientu.
Webová stránka „lektor odbornej matematiky“ pokračuje v cykle metodických článkov o výučbe. Publikujem popisy metód mojej práce s najťažšími a najproblémovejšími témami školského vzdelávacieho programu. Tento materiál bude užitočný pre učiteľov a učiteľov matematiky, ktorí pracujú so študentmi v 8. až 11. ročníku, a to v rámci bežného programu aj na hodinách matematiky.
Učiteľ matematiky nie je vždy schopný vysvetliť materiál, ktorý je v učebnici uvedený nesprávne. Bohužiaľ, podobných tém je čoraz viac a chýb v prezentácii, ktoré nasledujú po autoroch manuálov, sa dopúšťajú v obrovskom rozsahu. To platí nielen pre lektorov matematiky pre začiatočníkov a tútorov na čiastočný úväzok (tútori - študenti a vysokoškolskí lektori), ale aj pre skúsených učiteľov, tútorov - profesionálov, tútorov so skúsenosťami a kvalifikáciou. Nie všetci lektori matematiky majú talent kompetentného korektora drsnosti školských učebníc. Nie všetci tiež chápu, že tieto opravy (alebo doplnky) sú potrebné. Iba málokto sa venuje adaptácii materiálu pre jeho kvalitatívne vnímanie deťmi. Bohužiaľ uplynul čas, keď učitelia matematiky spolu s metodikmi a autormi publikácií masívne diskutovali o každom liste učebnice. Predtým, ako dali učebnicu do škôl, vykonali dôkladné analýzy a výskumy týkajúce sa výsledkov vzdelávania. Nastal čas pre amatérov, ktorí sa snažia o to, aby boli príručky univerzálne a prispôsobili ich štandardom silných matematických tried.
Závod o zvyšovanie množstva informácií vedie iba k zníženiu kvality ich asimilácie a v dôsledku toho k zníženiu úrovne skutočných vedomostí z matematiky. Ale nikto tomu nevenuje pozornosť. A naše deti sú nútené študovať už v 8. ročníku to, čo sme si v ústave prešli: teóriu pravdepodobnosti, riešenie rovníc vysokého stupňa a niečo iné. Prispôsobenie materiálu v knihách pre jeho plnohodnotné vnímanie dieťaťom je veľmi žiaduce a učiteľ matematiky je nútený sa s tým nejako vyrovnať.
Hovorme o vyučovacích metódach takej špecifickej témy, ako je „rozdelenie polynómu na roh polynómom“, v matematike dospelých známa skôr ako „Bezoutova veta a Hornerova schéma“. Len pred pár rokmi nebola otázka pre lektora matematiky taká akútna, pretože nebol zahrnutý do učiva základnej školy. Teraz rešpektovaní autori učebnice, ktorú upravil Telyakovskij, vykonali zmeny v najnovšom vydaní najlepšej, podľa môjho názoru, učebnice, a nakoniec ju pokazili, len doučovali zbytočné starosti. Učitelia škôl a tried, ktoré nemajú štatút matematiky, zameriavajúc sa na inovácie autorov, začali do svojich hodín častejšie zaraďovať ďalšie odseky a zvedavé deti, ktoré sa pri pohľade na nádherné stránky svojej učebnice matematiky, čoraz častejšie pýtajú lektora: „Čo je to to rohové rozdelenie? Ideme si tým prejsť? Ako zdieľať roh? “ Pred takými priamymi otázkami sa nedá schovať. Vychovávateľ bude musieť dieťaťu niečo povedať.
Ale ako? Pravdepodobne by som neopisoval spôsob práce s témou, ak by bola správne uvedená v učebniciach. Ako to u nás chodí Učebnice je potrebné vytlačiť a predať. Z tohto dôvodu je potrebné ich pravidelne aktualizovať. Vysokoškolskí učitelia sa sťažujú, že deti k nim prichádzajú s prázdnymi hlavami, bez vedomostí a zručností? Rastú matematické požiadavky? Vynikajúci! Odstráňte niektoré z cvičení a namiesto nich vložme témy, ktoré sa učia v iných programoch. Prečo je naša učebnica horšia? Zahrňme niekoľko ďalších kapitol. Školáci nepoznajú pravidlo delenia na roh? Toto je elementárna matematika. Je nevyhnutné, aby bol takýto odsek voliteľný a mal nadpis „pre tých, ktorí chcú vedieť viac“. Doučovatelia proti? Čo nám všeobecne záleží na lektoroch? Sú proti aj metodici a učitelia škôl? Materiál nebudeme komplikovať a zvážime jeho najjednoduchšiu časť.
A tu sa to začína. Jednoduchosť témy a kvalita jej asimilácie spočívajú v prvom rade v porozumení jej logiky, a nie v tom, že podľa pokynov autorov učebnice vykonávajú určitý súbor operácií, ktoré navzájom jednoznačne nesúvisia. V opačnom prípade bude poskytnutá hmla v hlave študenta. Ak autori počítajú s relatívne silnými študentmi (ale študujú v pravidelnom programe), nemali by ste tému odosielať v tímovej forme. Čo vidíme v učebnici? Podľa tohto pravidla by sa mali deti deliť. Získajte polynóm pod rohom. Teda pôvodný polynóm je faktorizovaný. Nie je však jasné, prečo sú termíny pod rohom vybrané týmto spôsobom, prečo musia byť vynásobené polynómom za rohom a potom odčítané od aktuálneho zvyšku. A čo je najdôležitejšie, nie je jasné, prečo sa nakoniec musia vybrané monomómy sčítať a prečo výslednými zátvorkami bude rozklad pôvodného polynómu. Každý kompetentný matematik položí nad vysvetleniami v učebnici tučný otáznik.
Dávam do pozornosti lektorov a učiteľov matematiky svoje riešenie problému, ktoré študentovi prakticky dá jasne najavo všetko, čo je uvedené v učebnici. V skutočnosti dokážeme Bezoutovu vetu: ak je číslo a koreňom polynómu, potom sa tento polynóm dá rozložiť na faktory, z ktorých jeden je x-a a druhý sa získa z originálu jedným z troch spôsobov: oddelením lineárneho faktora transformáciami, delením uhlom alebo podľa Hornerovej schémy. Práve s touto formuláciou bude lektor matematiky ľahšie pracovať.
Čo je to metodika výučby? Najskôr ide o jasné poradie v poradí vysvetlení a príkladov, na základe ktorých sa vyvodzujú matematické závery. Táto téma nie je výnimkou. Pre učiteľa matematiky je veľmi dôležité predstaviť dieťaťu Bezoutovu vetu pred vykonaním rozdelenia rohu... Je to veľmi dôležité! Najlepším spôsobom, ako dosiahnuť porozumenie, je konkrétny príklad. Zoberme si nejaký polynóm s vybraným koreňom a ukážeme si techniku \u200b\u200bjeho faktorizácie metódou identických transformácií, ktorú pozná žiak od 7. ročníka. S príslušnými sprievodnými vysvetleniami, prízvukmi a tipmi od lektora matematiky je celkom možné materiál sprostredkovať bez všeobecných matematických výpočtov, svojvoľných koeficientov a stupňov.
Dôležitá rada pre lektora matematiky - postupujte podľa pokynov od začiatku do konca a nemeňte túto postupnosť.
Povedzme teda, že máme polynóm. Ak jeho x nahradíme číslom 1, potom sa hodnota polynómu bude rovnať nule. Preto x \u003d 1 je jeho koreň. Pokúsme sa rozložiť na dva pojmy, takže jeden z nich je produktom lineárneho výrazu a nejaký monomiál, a druhý má stupeň menší ako jeden. To znamená, že to reprezentujeme vo forme
Monomiál pre červené pole zvolíme tak, aby sa po vynásobení úvodným členom úplne zhodoval s vedúcim členom pôvodného polynómu. Ak študent nie je najslabší, bude schopný pomenovať požadovaný výraz pre lektora matematiky :. Vyučujúci by mal okamžite ponúknuť, aby ho vložil do červeného poľa a ukázal, čo sa získa, keď sa otvoria. Najlepšie je podpísať tento virtuálny dočasný polynóm pod šípkami (pod fotografiou) a zvýrazniť ho nejakou farbou, napríklad modrou. Pomôže to zvoliť výraz pre červené pole, ktoré sa nazýva zvyšok výberu. Učiteľom by som poradil, aby presne tu poukázali na to, že tento zvyšok možno nájsť odčítaním. Vykonaním tejto operácie dostaneme:
Učiteľ matematiky by mal študenta upozorniť na skutočnosť, že dosadením jedného do tejto rovnosti zaručene dostaneme nulu na jej ľavej strane (keďže 1 je koreňom pôvodného polynómu) a vpravo samozrejme vynulujeme aj prvý termín. Bez overenia teda môžeme povedať, že jeden je koreňom „zeleného zvyšku“.
Urobíme to rovnakým spôsobom, ako sme to urobili s pôvodným polynómom, keď z neho vyťažíme rovnaký lineárny faktor. Učiteľ matematiky nakreslí pred študentom dva rámy a požiada o vyplnenie zľava doprava.
Študent vyberie monomiál pre červené pole pre tútora tak, že po vynásobení vedúcim termínom lineárneho výrazu uvedie vedúci termín rozširujúceho sa polynómu. Vstúpime do tangenciálneho rámca, ihneď otvoríme zátvorku a zvýrazníme modrou farbou výraz, ktorý je potrebné odčítať od rozširujúceho sa. Vykonaním tejto operácie získame
A nakoniec to isté s posledným zvyškom
konečne dostaneme
Teraz poďme vziať výraz z hranatej zátvorky a budeme mať rozklad pôvodného polynómu na faktory, z ktorých jeden je „x mínus zvolený koreň“.
Aby si študent nemyslel, že sa posledný „zelený zvyšok“ náhodne rozložil na potrebné faktory, mal by lektor matematiky upozorniť na dôležitú vlastnosť všetkých zelených zvyškov - každý z nich má koreň 1. Pretože stupne týchto zvyškov klesajú, aký stupeň počiatočnej žiadny polynóm nám nebol daný, skôr či neskôr dostaneme lineárny „zelený zvyšok“ s koreňom 1, a preto ho treba rozložiť na súčin určitého čísla a výrazu.
Po takýchto prípravných prácach nebude pre lektora matematiky ťažké vysvetliť študentovi, čo sa stane pri rozdelení rohu. Jedná sa o rovnaký proces, iba v kratšej a kompaktnejšej podobe, bez rovnakých znamienok a bez prepisovania tých istých vybraných výrazov. Polynóm, z ktorého sa lineárny faktor extrahuje, sa zapíše do ľavej časti rohu, vybrané červené monomómy sa zhromaždia pod uhlom (teraz je zrejmé, prečo by sa mali sčítať), aby sa získali „modré polynómy“, musia sa tie „červené“ vynásobiť x-1 a potom sa od nich odčítať ako sa to deje pri obvyklom delení čísel do stĺpca (tu ide o obdobu skôr študovaného). Výsledné „zelené zvyšky“ sa podrobia novému výberu a výberu „červených monomilov“. A tak ďalej, kým sa nezíska nulový „zelený zvyšok“. Najdôležitejšie je, aby si študent osvojil ďalšie osudy zapísaných polynómov nad a pod rohom. Je zrejmé, že ide o zátvorky, ktorých súčin sa rovná pôvodnému polynómu.
Ďalšou etapou práce lektora matematiky je formulácia Bezoutovej vety. V skutočnosti je jeho formulácia s týmto prístupom tútora zrejmá: ak je číslo a koreňom polynómu, potom ho možno rozložiť na faktory, z ktorých jeden a druhý sa z originálu získa jedným z troch spôsobov:
- priamy rozklad (analogický k metóde zoskupovania)
- delenie rohom (v stĺpci)
- cez Hornerovu schému
Je potrebné povedať, že nie všetci lektori matematiky ukazujú študentom hornerovu schému a nie všetci učitelia škôl (našťastie pre lektorov samotných) idú tak hlboko do témy v učebni. Pre študenta matematickej triedy však nevidím dôvod zastaviť sa pri dlhom delení. Navyše najpohodlnejšie a rýchlo technika rozkladu je založená presne na Hornerovej schéme. Aby sme dieťaťu vysvetlili, odkiaľ pochádza, stačí na príklade delenia rohom vysledovať výskyt vyšších koeficientov v zelených zvyškoch. Je zrejmé, že vedúci koeficient počiatočného polynómu sa prenáša do koeficientu prvého „červeného monomómu“ a ďalej od druhého koeficientu aktuálneho horného polynómu odpočítanévýsledok vynásobenia súčasného koeficientu "červeného monomilu" číslom. Preto je to možné pridať výsledok vynásobenia číslom. Po zameraní pozornosti študenta na špecifiká akcií s koeficientmi môže lektor matematiky ukázať, ako sa tieto akcie zvyčajne vykonávajú, bez zaznamenania samotných premenných. Za týmto účelom je vhodné do nasledujúcej tabuľky zadať koreň a koeficienty počiatočného polynómu v prednostnom poradí:
Ak v polynóme niektorý stupeň chýba, vynúti sa jeho nulový koeficient do tabuľky. Koeficienty „červených polynómov“ podľa pravidla „háčik“ sú zase v spodnom riadku: 
Koreň sa vynásobí posledným odstráneným „červeným koeficientom“, pripočíta sa k nasledujúcemu koeficientu horného riadku a výsledok sa prenesie do spodného riadku. V poslednom stĺpci je zaručené, že dostaneme seniorský koeficient posledného „zeleného zvyšku“, teda nulu. Po ukončení procesu čísla vložený medzi zhodný koreň a nula zvyšku sa ukážu ako koeficienty druhého (nelineárneho) faktora.
Pretože koreň a dáva na konci dolného riadku nulu, môže sa na testovanie čísel pre koreň polynómu použiť Hornerova schéma. Ak existuje špeciálna veta o výbere racionálneho koreňa. Všetci kandidáti na tento titul získaní s jeho pomocou sú jednoducho vložení jeden po druhom vľavo do Hornerovej schémy. Hneď ako dostaneme nulu, bude testované číslo rootom a zároveň na jeho riadku dostaneme koeficienty faktorizácie pôvodného polynómu. Veľmi pohodlne.
Na záver by som rád poznamenal, že na presné zavedenie Hornerovej schémy, ako aj na praktické upevnenie témy by mal mať lektor matematiky k dispozícii dostatočný počet hodín. Doučovateľ, ktorý pracuje s režimom „raz týždenne“, by nemal robiť rozdelenie za rohom. Na Ege v matematike a na GIA v matematike je nepravdepodobné, že v prvej časti bude niekedy riešená rovnica tretieho stupňa týmito prostriedkami. Ak tútor pripraví dieťa na skúšku z matematiky na Moskovskej štátnej univerzite, štúdium témy sa stáva povinným. Vysokoškolskí učitelia, na rozdiel od zostavovateľov skúšky, veľmi radi kontrolujú hĺbku vedomostí uchádzača.
Kolpakov Alexander Nikolajevič, školiteľ matematiky Moskva, Strogino
Pri riešení rovníc a nerovností je často potrebné vyčleniť polynóm, ktorého stupeň je tri alebo viac. V tomto článku sa pozrieme na najjednoduchší spôsob, ako to urobiť.
Ako obvykle, obráťme sa na pomoc k teórii.
Bezoutova veta uvádza, že zvyšok rozdelenia polynómu na dvojčlen je.
Pre nás však nie je dôležitá samotná veta, ale dôsledok z toho:
Ak je číslo koreňom polynómu, potom je polynóm deliteľný dvojčlenom bez zvyšku.
Našou úlohou je nájsť nejakým spôsobom aspoň jeden koreň polynómu, potom rozdeliť polynóm na, kde je koreň polynómu. Vo výsledku dostaneme polynóm, ktorého stupeň je o jeden menší ako stupeň pôvodného. A potom, ak je to potrebné, môžete postup opakovať.
Táto úloha sa delí na dve časti: ako nájsť koreň polynómu a ako rozdeliť polynóm na dvojčlen.
Poďme sa týmito bodmi zaoberať podrobnejšie.
1. Ako nájsť koreň polynómu.
Najskôr skontrolujeme, či sú čísla 1 a -1 koreňmi polynómu.
Tu nám pomôžu nasledujúce fakty:
Ak je súčet všetkých koeficientov polynómu nula, potom je číslo koreňom polynómu.
Napríklad v polynóme je súčet koeficientov nula :. Je ľahké skontrolovať, čo je koreňom polynómu.
Ak sa súčet koeficientov polynómu v párnych stupňoch rovná súčtu koeficientov v nepárnych stupňoch, potom je číslo koreňom polynómu. Voľné obdobie sa považuje za koeficient párneho stupňa, pretože, a je párne číslo.
Napríklad v polynóme súčet koeficientov pri párnych silách :, a súčet koeficientov pri nepárnych mocninách :. Je ľahké skontrolovať, čo je koreňom polynómu.
Ak ani 1, ani -1 nie sú koreňmi polynómu, pokračujte ďalej.
Pre redukovaný polynóm stupňa (tj. Polynóm, v ktorom je vedúci koeficient - koeficient at - rovný jednej) platí Vieta vzorec:
Kde sú korene polynómu.
Existujú aj Vietine vzorce týkajúce sa zvyšných koeficientov polynómu, ale nás zaujíma tento.
Z tohto vzorca Vieta to vyplýva ak sú korene polynómu celé číslo, potom sú deliteľom jeho voľného výrazu, ktorý je tiež celým číslom.
Na základe toho musíme vylúčiť voľný termín polynómu a postupne od najmenšieho po najväčší skontrolovať, ktorý z faktorov je koreňom polynómu.
Zvážte napríklad polynóm
Delitelia bezplatných členov :; ; ;
Súčet všetkých koeficientov polynómu je preto číslo 1 nie je koreňom polynómu.
Súčet koeficientov pre párne mocniny:
Súčet koeficientov pri nepárnych stupňoch:
Preto číslo -1 tiež nie je koreňom polynómu.
Poďme skontrolovať, či je číslo 2 koreňom polynómu: preto je číslo 2 koreňom polynómu. Podľa Bezoutovej vety je teda polynóm deliteľný bez zvyšku dvojčlenom.
2. Ako rozdeliť polynóm na binomický.
Polynóm možno rozdeliť na dvojčlen stĺpcom.
Polynóm rozdelíme na dvojčleny podľa stĺpca:
Existuje ďalší spôsob rozdelenia polynómu na dvojčleny - Hornerova schéma.
Pre pochopenie sledujte toto video ako rozdeliť polynóm na binomický podľa stĺpca a pomocou Hornerovej schémy.
Všimnite si, že ak pri delení stĺpcom absentuje istý stupeň neznáma v pôvodnom polynóme, na jeho miesto napíšeme 0 - rovnako ako pri zostavovaní tabuľky pre Hornerovu schému.
Ak teda potrebujeme rozdeliť polynóm na binomický a v dôsledku rozdelenia dostaneme polynóm, potom pomocou Hornerovej schémy nájdeme koeficienty polynómu:
Môžeme tiež použiť hornerova schéma aby sme skontrolovali, či je dané číslo koreňom polynómu: ak je číslo koreňom polynómu, potom sa zvyšok rozdelenia polynómu na rovná nule, teda v poslednom stĺpci druhého riadku Hornerovej schémy dostaneme 0.
Pomocou Hornerovej schémy „zabijeme dve muchy jednou ranou“: súčasne skontrolujeme, či je číslo koreňom polynómu, a tento polynóm vydelíme binomom.
Príklad. Vyriešte rovnicu:
1. Napíšme si delitele voľného termínu a budeme hľadať korene polynómu medzi deliteľmi voľného termínu.
Delitelia 24:
2. Skontrolujte, či je číslo 1 koreňom polynómu.
Súčet koeficientov polynómu, preto je číslo 1 koreňom polynómu.
3. Pomocou Hornerovej schémy rozdeľte pôvodný polynóm na dvojčleny.
A) Zapíšme si koeficienty pôvodného polynómu do prvého riadku tabuľky.
Pretože člen obsahujúci chýba, v stĺpci tabuľky, v ktorej by mal byť koeficient, napíš 0. Vľavo napíš nájdený koreň: číslo 1.
B) Vyplníme prvý riadok tabuľky.
V poslednom stĺpci sme podľa očakávania dostali nulu, pôvodný polynóm sme rozdelili na dvojčlen bezo zvyšku. Koeficienty polynómu vyplývajúce z delenia sú v druhom riadku tabuľky zobrazené modrou farbou:
Je ľahké skontrolovať, či čísla 1 a -1 nie sú koreňmi polynómu
C) Pokračujme v tabuľke. Poďme skontrolovať, či je číslo 2 koreňom polynómu:
Takže stupeň polynómu, ktorý sa získa ako výsledok delenia jedným, je menší ako stupeň pôvodného polynómu, preto je počet koeficientov a počet stĺpcov o jeden menej.
V poslednom stĺpci sme dostali -40 - číslo, ktoré sa nerovná nule, preto je polynóm deliteľný binárkou so zvyškom a číslo 2 nie je koreňom polynómu.
C) Skontrolujte, či je číslo -2 koreňom polynómu. Pretože predchádzajúci pokus nedokázal zabrániť zámene s koeficientmi, vymažem riadok zodpovedajúci tomuto pokusu:
Vynikajúci! Vo zvyšku sme dostali nulu, preto bol polynóm rozdelený na dvojčlen bez zvyšku, preto je číslo -2 koreňom polynómu. Koeficienty polynómu, ktoré sa získajú vydelením polynómu dvojčlenom, sú v tabuľke zobrazené zelenou farbou.
V dôsledku rozdelenia sme dostali štvorcový trojčlen 
, ktorého korene sa dajú ľahko nájsť podľa Vietovej vety:
Korene pôvodnej rovnice:
{
}
Odpoveď: ( 
}
Snímka 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) bol anglický matematik. Narodený v Bristole. Študoval a pracoval tam, potom na školách v Bath. Hlavné práce na algebre. V roku 1819. zverejnila metódu na približný výpočet skutočných koreňov polynómu, ktorá sa dnes nazýva Ruffini-Hornerova metóda (túto metódu poznali Číňania už v 13. storočí). Hornerovo meno je schéma delenia polynómu binomickým x-a.
Snímka 4
GORNEROVA SCHÉMA
Metóda na rozdelenie polynómu n-tého stupňa lineárnymi binomiálmi - a, založená na skutočnosti, že koeficienty neúplného kvocientu a zvyšku r súvisia s koeficientmi deliteľného polynómu a so vzorcami:
Snímka 5
Výpočty podľa Hornerovej schémy sú umiestnené v tabuľke:
Príklad 1. Rozdeliť Neúplný kvocient je x3-x2 + 3x - 13 a zvyšok je 42 \u003d f (-3).
Snímka 6
Hlavnou výhodou tejto metódy je jej kompaktnosť a schopnosť rýchlo rozdeliť polynóm na dvojčleny. Hornerova schéma je v skutočnosti ďalšou formou notácie pre metódu zoskupovania, aj keď je na rozdiel od druhej úplne milovaná. Odpoveď (faktorizácia) sa tu získava sama a nevidíme samotný proces jej získavania. Nebudeme sa podieľať na dôslednom zdôvodňovaní Hornerovej schémy, ale ukážeme iba jej fungovanie.
Snímka 7
Príklad 2.
Dokážme, že polynóm P (x) \u003d x4-6x3 + 7x-392 je deliteľný x-7, a nájdime kvocient delenia. Rozhodnutie. Pomocou Hornerovej schémy nájdeme P (7): Z tohto dôvodu získame P (7) \u003d 0, t.j. zvyšok pri delení polynómu číslom x-7 sa rovná nule, a preto je polynóm P (x) násobkom (x-7). Čísla v druhom riadku tabuľky sú navyše koeficientmi podielu delenia P (x) číslom (x-7), preto P (x) \u003d (x-7) (x3 + x2 + 7x + 56).
Snímka 8
Faktor polynóm x3 - 5x2 - 2x + 16.
Tento polynóm má celočíselné koeficienty. Ak je celé číslo koreňom tohto polynómu, potom je deliteľom 16. Ak má teda daný polynóm celočíselné korene, potom môže byť iba ± 1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16. Priamym overením sa ubezpečíme, že číslo 2 je koreňom tohto polynómu, to znamená x3 - 5x2 - 2x + 16 \u003d (x - 2) Q (x), kde Q (x) je polynóm druhého stupňa
Snímka 9
Výsledné čísla 1, −3, −8 sú koeficienty polynómu, ktorý sa získa vydelením pôvodného polynómu číslom x - 2. Preto výsledok delenia: 1 · x2 + (–3) x + (–8) \u003d x2 - 3x - 8. Stupeň polynómu vyplývajúci z rozdelenia je vždy o 1 menší ako stupeň pôvodného. Takže: x3 - 5x2 - 2x + 16 \u003d (x - 2) (x2 - 3x - 8).
Načítava ...