Výpočet práce síl. Vzorec práce

Definícia

V prípade, že pod vplyvom sily dôjde k zmene modulu rýchlosti tela, potom sa hovorí, že sila vykonáva práca... Predpokladá sa, že ak sa rýchlosť zvýši, potom je práca pozitívna, ak sa rýchlosť zníži, potom je práca, ktorú sila vykoná, negatívna. Zmena kinetickej energie hmotného bodu v priebehu jeho pohybu medzi dvoma polohami sa rovná práci, ktorú sila robí:

Pôsobenie sily na hmotný bod možno charakterizovať nielen zmenou rýchlosti tela, ale aj veľkosťou pohybu, ktorý dané telo pri pôsobení sily () vykonáva.

Elementárne práce

Elementárna práca nejakej sily je definovaná ako bodový súčin:

Polomer je vektor bodu, na ktorý pôsobí sila, je elementárny pohyb bodu pozdĺž dráhy, je uhol medzi vektormi a. Ak je práca tupý uhol menší ako nula, ak je uhol ostrý, potom je práca pozitívna, s

V karteziánskych súradniciach má vzorec (2) tvar:

kde F x, F y, F z - vektorové projekcie na karteziánske osi.

Pri zvažovaní práce sily použitej na hmotný bod môžete použiť vzorec:

kde je rýchlosť hmotného bodu, je hybnosť hmotného bodu.

Ak na telo (mechanický systém) pôsobí súčasne niekoľko síl, potom sa elementárna práca, ktorú tieto sily na systém vykonávajú, rovná:

kde sa vykonáva súčet elementárnych prác všetkých síl, dt je malý časový interval, počas ktorého sa vykonávajú elementárne práce na systéme.

Výsledná práca vnútorných síl, aj keď sa pohybuje tuhé teleso, je nulová.

Nechajte pevné teleso rotovať okolo pevného bodu - počiatku (alebo pevnej osi, ktorá prechádza týmto bodom). V tomto prípade sa elementárna práca všetkých vonkajších síl (povedzme, že ich počet je n), ktoré pôsobia na telo, rovná:

kde je výsledný moment síl vo vzťahu k bodu rotácie, je vektor elementárnej rotácie, je okamžitá uhlová rýchlosť.

Práca sily na konci trajektórie

Ak sila vykonáva prácu na posunutí tela v záverečnej časti trajektórie jeho pohybu, možno túto prácu nájsť ako:

V prípade, že silový vektor predstavuje konštantnú hodnotu v celom segmente posuvu, potom:

kde je priemet sily na dotyčnicu k dráhe.

Pracovné jednotky

Základná jednotka merania momentu práce v sústave SI je: [A] \u003d J \u003d N m

V SGS: [A] \u003d erg \u003d dyn cm

1J \u003d 10 7 erg

Príklady riešenia problémov

Príklad

Úloha. Hmotný bod sa pohybuje po priamke (obr. 1) pod vplyvom sily, ktorá je daná rovnicou :. Sila je smerovaná pozdĺž pohybu hmotného bodu. Aká je práca danej sily na segment cesty od s \u003d 0 do s \u003d s 0?

Rozhodnutie. Ako základ pre riešenie problému si vezmeme vzorec na výpočet práce formulára:

kde, ako podľa vyjadrenia problému. Nahraďte výraz modulom sily daným podmienkami, vezmite integrál:

Odpoveď.

Príklad

Úloha. Hmotný bod sa pohybuje v kruhu. Jeho rýchlosť sa mení v súlade s výrazom :. V tomto prípade je práca sily, ktorá pôsobí na bod, úmerná času :. Aká je hodnota n?

Táto prednáška sa venuje týmto problémom:

1. Práca sily.

2. Konzervatívne sily.

2. Sila.

3. Príklady výpočtu práce.

4. Potenciálna energia

5. Kinetická energia

6. Veta o zmene kinetickej energie bodu.

7. Veta o okamihoch.

Štúdium týchto problémov je nevyhnutné pre dynamiku ťažiska mechanickej sústavy, dynamiku rotačného pohybu tuhého telesa, kinetický moment mechanickej sústavy, pre riešenie problémov v disciplínach „Teória strojov a mechanizmov“ a „Časti strojov“.

Práca sily. Moc.

Na charakterizáciu činnosti vyvíjanej silou na telo určitým pohybom sa zavádza pojem práca sily.

Obr

V tomto prípade práca charakterizuje pôsobenie sily, ktorá určuje zmenu modul rýchlosť bodu pohybu.

Najprv si predstavíme koncept elementárnej práce sily na nekonečne najmenšom posune ds ... Elementárna práca sily(Obr. 1) sa skalár nazýva:

kde je priemet sily - dotyčnicu k dráhe smerujúcej k posunutiu bodu a -ds - nekonečne malý posun bodu smerujúceho pozdĺž tejto dotyčnice.

Táto definícia zodpovedá pojmu práca ako charakteristika pôsobenia sily, ktorá vedie k zmene modulu rýchlosti bodu. Skutočne, ak rozšírite siluna komponenty a , potom iba komponentdávajúce tangenciálne zrýchlenie do bodu. Komponentalebo mení smer vektora rýchlosti v (prepožičiava normálne zrýchlenie do bodu), alebo ak nie je voľný, pohyb mení tlak na väzbu. Súčasti modulu na rýchlosť neovplyvní, to znamená, ako sa hovorí, sila„Neprodukuje prácu.“

Upozorňujeme, že dostaneme:

.(1)

Elementárna práca sily sa teda rovná priemetu sily na smer pohybu bodu vynásobenému elementárnym posunomds alebo sa elementárna práca sily rovná súčinu modulu sily s elementárnym posunomds a kosínusom uhla medzi smerom sily a smerom pohybu.

Ak uhol ostré, potom je práca pozitívna. Najmä preelementárna prácadA= Fds.

Ak uhol hlúposť, potom je práca negatívna. Najmä preelementárna prácadA=- Fds.

Ak uhol , t.j. ak je sila smerovaná kolmo na posun, potom je elementárna práca sily nulová.

Pozitívna silaF (a\u003e 90 ° ) sa volajú šoférovaniea záporné (a\u003e 90 ° ) – silou odpor.

Nájdeme analytický výraz pre elementárnu prácu. Preto rozširujeme siluna komponenty pozdĺž smerov súradnicových osí (obr. 2; samotná silana výkrese nezobrazený).

Obr

Elementárny pohybzložený z posunovdx, d Y , dz pozdĺž súradnicových osí, kde x, y, z- súradnice bodu M... Potom silové prácena výtlak ds možno vypočítať ako súčet prác jeho komponentovna vysídlenie dx, d Y , dz .

Ale v pohybedx prácu robí iba komponenta jeho práca jeF x dx... Práce na vysídleníd Y a dz sa počíta podobne.

Nakoniec nájdeme:dA= F x dx+ F y dy+ F z dz.

Vzorec poskytuje analytické vyjadrenie pre elementárnu prácu sily.

Silová práca na akomkoľvek konečnom posune M 0 M 1 sa počíta ako integrálny súčet zodpovedajúcich elementárnych diel a bude sa rovnať:

V dôsledku toho pracovná sila pri akomkoľvek posunutí M 0 M 1 sa rovná integrálu elementárnej práce vykonanej pozdĺž tohto posunutia. Limity integrálu zodpovedajú hodnotám integračných premenných v bodoch M 0 a M 1. Graficky plocha pod celou krivkou M 0 a M 1 a bude požadovanou prácou.

Obr

Ak je hodnota konštantná ( , potom označujúci posunutie M 0 M 1 aždostaneme:.

Takýto prípad môže nastať, keď je pôsobiaca sila konštantná vo veľkosti a smere (F= konšt) a bod, na ktorý pôsobí sila, sa pohybuje po priamke (obr. 3). V tomto prípadea práca sily.

Merná jednotka pre prácu v systéme SI je joule (1 j \u003d 1 N ∙ m). 1 J - práca vykonaná silou 1 N na 1 m cesty.

Konzervatívne sily .

Sily pôsobiace na telo môžu byť konzervatívne a nekonzervatívne. Sila sa volá konzervatívny alebo potenciálak práca vykonaná touto silou pri presune hmotného bodu z jednej polohy do druhej, nezávisí z typu trajektórie (tvar dráhy) a je určená iba počiatočnou a konečnou polohou tela (obrázok 3.1): A 1B2 \u003d A 1C2 \u003d A 12 .

Obrázok 3.1

Kedy ak sa telo pohybuje opačným smerom A 12 = –A 21, t.j. zmena smeru pohybu pozdĺž trajektórie na opačnú stranu spôsobí zmenu znaku práce. Keď sa teda hmotný bod pohybuje po uzavretej trajektórii, je práca konzervatívnej sily nulová (napríklad zdvíhanie a spúšťanie bremena):

Konzervatívne sily sú gravitačné sily, elastické sily, elektrostatické sily. Sily, ktoré nespĺňajú podmienku (1), sa nazývajú nekonzervatívny... Medzi nekonzervatívne sily patria trecie a odporové sily. Pole, v ktorom pôsobia konzervatívne sily, sa nazýva potenciál.

Moc.

Moc nazýva sa hodnota, ktorá určuje prácu vykonanú silou za jednotku času. Ak je práca vykonaná jednotne, potom sila

kde t - čas, počas ktorého sa práca vykonala A... Všeobecne

Preto sa sila rovná súčinu tangenciálnej zložky sily a rýchlosti pohybu.

Merná jednotka energie v systéme SI je watt (1 ut = 1 j / s). V technológii sa 1 konský výkon často berie ako jednotka výkonu, ktorá sa rovná 75 kGm / s alebo 736 ut

Prácu vykonanú strojom je možné merať súčinom jeho výkonu a prevádzkovej doby. Odtiaľto vznikla jednotka merania kilowatthodiny, ktorá sa používa v technológii (1 kWh \u003d 3,6 ∙ 10 6 j ≈ 367100 kgm).

Z rovnosti vidno, že motor s daným výkonomŽ, ťažná sila bude tým viac, čím nižšia bude rýchlosť pohybuV.. Preto napríklad na kopci alebo na zlom úseku cesty zaraďuje automobil nižšie prevodové stupne, ktoré mu umožňujú pohybovať sa na plný výkon pri nižšej rýchlosti a vyvíjať väčšiu trakciu.

Príklady výpočtu práce.

Nasledujúce príklady poskytujú výsledky, ktoré je možné priamo použiť pri riešení problémov.

1) Dielo gravitácie. Nechajte bod M, ktorá je ovplyvnená gravitáciou, sa pohne z polohy M 0 ( x 0 , na 0,z 0 ) do polohy M 1 (x 1, y 1,z 1 ). Vyberme súradnicové osi tak, aby osOzbol nasmerovaný kolmo hore (obr. 4).

Obr

Potom R x=0, R y \u003d 0,P z= -R... Nahradenie týchto hodnôt a zohľadnenie integračnej premennejz:

Ak bod M 0 vyššie M 1 , potomkde h- veľkosť vertikálneho pohybu bodu;

Ak bod M 0 pod bodom M 1 potom .

Nakoniec dostaneme:.

V dôsledku toho sa práca gravitačnej sily rovná súčinu modulu sily a vertikálneho posunutia bodu jej pôsobenia, ktoré sa berie so znamienkom plus alebo mínus. Práca je pozitívna, ak je počiatočný bod vyšší ako koncový bod, a negatívna, ak je počiatočný bod nižší ako koncový bod. Zo získaného výsledku vyplýva, že gravitačná práca nezávisí od typu dráhy, po ktorej sa pohybuje bod jej aplikácie.

Sily vlastniace túto vlastnosť sa nazývajú potenciálne.

2) Pružná silová práca . Zvážte náklad Mležiace na vodorovnej rovine a pripevnené k voľnému koncu nejakej pružiny (obr. 5, a). Označíme v rovine bodom O TOM poloha zaujatá koncom pružiny, keď nie je namáhaná (je dĺžka nepružnej pružiny) a tento bod berte ako východiskový bod. Ak teraz odtiahneme záťaž z rovnovážnej polohy O TOM predĺžením pružiny na hodnotul, potom bude sila pružiny pôsobiť na zaťaženie Fsmerom k bodu O TOM.

Obr

Podľa Hookeovho zákona je veľkosť tejto sily úmerná predĺženiu pružiny... Pretože v našom prípade, potom modulo

Koeficient od zavolal koeficient tuhosti pružiny. V technológiách zvyčajne merajú hodnotu od o H / cm, za predpokladu koeficientu od číselne rovná sa sile, ktorá musí byť použitá na pružinu, aby sa mohla natiahnuť o 1 cm .

Nájdeme prácu vykonanú pružnou silou pri pohybe bremena z polohydo polohy Pretože v tomto prípadeF x\u003d - F \u003d - cx, F y= F z\u003d 0, potom dostaneme:

(Rovnaký výsledok možno získať z grafu závislostí F od x(obr. 20, b), výpočet plochyvyliahnuté lichobežník na výkrese a s prihliadnutím na znak práce.) Vo výslednom vzorcipredstavuje počiatočné predĺženie pružinya konečné predĺženie pružiny... V dôsledku toho

tie. práca pružnej sily sa rovná polovici súčinu koeficientu tuhosti rozdielom štvorcov počiatočných a konečných predĺžení (alebo stlačení) pružiny.

Práca bude pozitívna, keď, to znamená, keď sa koniec pružiny posúva do rovnovážnej polohy, a záporný, keď, t.j. koniec pružiny sa vzďaľuje od rovnovážnej polohy. Je dokázané, že vzorec zostáva platný v prípade posunutia bodu Mnie je priamy.

Tak sa ukazuje, že práca sily F záleží len na hodnotácha a nezávisí to od typu trajektórie bodu M... V dôsledku toho je elastická sila tiež potenciálna.

Obr

3) Frikčná sila pracuje. Zvážte bod, ktorý sa pohybuje pozdĺž drsného povrchu (obr. 6) alebo krivka. Trecia sila pôsobiaca na bod je rovnaká v module fN kdef je koeficient trenia a- normálna povrchová odozva. Trecia sila smeruje proti posunutiu bodu. V dôsledku tohoF tr =- fN a podľa vzorca

Ak je veľkosť trecej sily konštantná, potom, Kde s- dĺžka oblúka krivky M 0 M 1, pozdĺž ktorého sa bod pohybuje.

Touto cestou, klzné trecie práce sú vždy negatívne . Množstvo tejto práce závisí od dĺžky oblúka. M 0 M 1 . Preto je trecia sila sila bez potenciálu .

4) Práca sily pôsobiacej na teleso rotujúce okolo pevnej osi.

V tomto prípade (obr. 7) bod pôsobenia silypohybuje sa v okruhu polomerur... Základné práce podľa (1),kde.

Obr

Preto.

Ale.

To nie je ťažké zistiť rozkladom sily na tri zložky (obr. 7). (Okamihy silya rovná nule). Teda

(2)

Najmä ak je moment sily okolo osi, práca sily pri natočení tela pod uhlomrovná sa

.(3)

Znak práce je určený znakmi momentu sily a uhla rotácie. Ak sú rovnaké, práca je pozitívna.

Pravidlo pre určenie práce dvojice síl vyplýva zo vzorca (3). Ak pár za chvíľum sa nachádza v rovine kolmej na os rotácie telesa, potom pracuje pri rotácii telesa pod uhlom

.(4)

Ak dvojica síl pôsobí v rovine, ktorá nie je kolmá na os otáčania, musí byť nahradená dvoma pármi. Jedno umiestnite do roviny kolmej na os, druhé do roviny rovnobežnej s osou. Ich momenty sú určené rozšírením vektora momentovv príslušných oblastiach:... Momentálne bude samozrejme pracovať iba prvá dvojicakde Je uhol medzi vektoroma os rotácie z,

.(5)

Energie .

Telesný impulz je mierou translačného pohybu, ale táto charakteristika nie je univerzálna. Univerzálnym kvantitatívnym meradlom pohybu a interakcie všetkých druhov látok je energie... Formy energie: mechanická, tepelná, elektrická, jadrová, vnútorná atď. Energia z jednej formy môže prechádzať do druhej. Mechanická energia kvantitatívne ho charakterizuje z hľadiska možných kvantitatívnych a kvalitatívnych premien hnutia. Tieto transformácie sú dôsledkom interakcie telies systému navzájom a s vonkajšími telesami. Pohyb a energia sú teda nerozlučne spojené a odvtedy pohyb je neoddeliteľnou súčasťou hmoty, potom má každé telo nejaký druh energie.

Kinetická energia telo sa nazýva energia, ktorá je mierou jeho mechanického pohybu a je určená prácou, ktorá sa musí vykonať, aby sa tento pohyb vyvolal.

Ak násilímtelo zo stavu pokoja sa uvedie do pohybu rýchlosťou, potom sa vykoná práca a energia tela sa zvýši o množstvo vynaloženej práce:

kde je pohyb; dA – elementárna práca.

Ak vezmeme do úvahy skalárny zápis druhého Newtonovho zákona:

Dostaneme

A pretože vykonaná práca sa rovná prírastku energie, teda

Celková energia sa zistí integráciou, keď sa rýchlosť zmení z 0 na určitú hodnotuV.:

Kinetická energia je vždy pozitívna . Kinetická energia sústavy hmotných bodov sa rovná algebraickému súčtu kinetických energií všetkých hmotných bodov sústavy.

Kinetická energia systému je funkciou stavu jeho pohybu.

Kinetická energia závisí od voľby referenčného rámca, pretože v rôznych zotrvačných referenčných rámcoch nie je rýchlosť rovnaká.

Potenciálna energia - časť celkovej mechanickej energie systému, určená vzájomným usporiadaním telies pôsobiacich na seba.

Časť priestoru, v ktorej sila, v závislosti od umiestnenia bodu, pôsobí na tam umiestnený hmotný bod, sa nazýva silové pole.

Táto sila je navyše určená silovou funkciouu \u003d u (x, y, z). Ak to nezávisí od času, potom sa takéto pole volá stacionárne. Ak je vo všetkých bodoch rovnaký, potom pole - homogénny.

Ak je projekcia sily na kartézske osi sú parciálne derivácie silovej funkcie vzhľadom na príslušné súradnice

potom sa také pole volá potenciál.

Ak práca závisí od trajektórie, potom sa sily vyvolajú disipatívny (trecia sila).

Vypočítajme prácu sily potenciálneho poľa pri posune bodu z polohy M 1 do polohy M 2. (obr. 8).

8. Obr

Základné práce,

Toto je plný rozdiel výkonovej funkcie.

Práce na konci práce

kde u 2 a u 1 - hodnoty pevnostnej funkcie v bodoch M 2 a M 1 .

V dôsledku toho práca sily potenciálneho poľa nezávisí od trajektórie bodu, ale je určená iba hodnotami silovej funkcie v počiatočnej a konečnej polohe bodu.

Prirodzene, ak sa bod vráti do svojej pôvodnej polohy, je to silabude nula. Pri prechode do iného bodu bude práca rovná sa nule. M 3, ak je hodnota silovej funkcie rovnaká ako v počiatočnej polohe.

Je ľahké uhádnuť, že body s rovnakými hodnotami pevnostných funkcií vytvoria celý povrch. A že silové pole je vrstvený priestor pozostávajúci z takýchto povrchov (obr. 8). Tieto povrchy sa nazývajú rovné povrchy alebo ekvipotenciálne plochy ... Ich rovnice:u( x, r, z)= C.(C.- konštanta rovná hodnoteu v bodoch tohto povrchu). A funkcia sily sa nazýva respektíve potenciálpolia.

Ekvipotenciálne plochy sa samozrejme nepretínajú. V opačnom prípade by existovali body poľa s neurčitým potenciálom.

Pretože keď sa bod pohybuje po ekvipotenciálnej ploche, je to silaje nula, potom je vektor sily kolmý na povrch.

Vyberieme jeden z týchto povrchov a nazveme ho nulovým povrchom (dámeu= u 0 ).

Práca, ktorú urobí moc keď bod prechádza z určitého miesta M na nulový povrch, nazýva sa to potenciálna energia bodu na tomto určitom mieste M:

Ak je telo v potenciálnom silovom poli, bude mať potenciálnu energiu. Potenciálna energia tela spojená s nulovou úrovňou referenčného systému sa považuje za nulovú a energia ostatných pozícií sa meria vzhľadom na nulovú hladinu.

Podľa (8) výkonovej funkcie... Preto projekcia sily na karteziánske osi podľa (6) od,

a vektor sily.

Uvažujme o niekoľkých potenciálnych poliach.

1) Gravitačné pole.

V blízkosti povrchu Zeme je gravitačná sila vo všetkých bodoch rovnaká, sa rovná telesnej hmotnosti. To znamená, že toto silové pole je jednotné. Pretože keď sa bod pohybuje v horizontálnej rovine, práca sily sa rovná nule, ekvipotenciálne povrchy budú horizontálne roviny (obr. 9) a ich rovnice:u = z = C..

Obr

Ak priradíte rovinu ako nulovú plochu xOy , potom potenciálna energia bodu v polohe M bude sa rovnať dielu gravitácie:

W P \u003d A \u003d Ph= mgh.

to je energia tela vyvýšeného nad Zem do výškyh.

Pretože pôvod je zvolený ľubovoľne, potomŽ P môžu všeobecne nadobúdať záporné hodnoty (napríkladŽ P na dne bane).

2) Elastické silové pole.

Keď sa deformuje elastické telo, napríklad pružina, objaví sa sila. To znamená, že v blízkosti tohto telesa vzniká silové pole, ktorého sily sú úmerné deformácii telesa a smerujú do nedeformovaného stavu. Na jar - k veci M 0, kde je umiestnený koniec nedeformovanej pružiny (obr. 10).

Obr

Ak posuniete koniec pružiny tak, aby sa jej dĺžka nezmenila, potom práca pružnej silybude nula. To znamená, že ekvipotenciálne povrchy sú sférické povrchy so stredom v bode O.

Nastaviť nulový povrch na guľu prechádzajúcu bodom M 0 cez koniec nedeformovanej pružiny. Potom potenciálna energia pružiny v polohe M: Ž P \u003d A = 0,5 kx 2 .

S touto voľbou nulového povrchu bude potenciálna energia vždy pozitívna (Ž P \u003e 0), natiahnuté aj stlačené.

Celková mechanická energia systému sa rovná energii mechanického pohybu a energii interakcie:

Celková mechanická energia telesa pri pohybe po ľubovoľnej trajektórii v potenciálnom poli zostáva konštantná.

Príklad 1.Hromadné autoM sa pohybuje po priamke na vodorovnej ceste rýchlosťouv... Súčiniteľ trenia valenia medzi kolesami automobilu a vozovkou jef k , polomer kolesa - r, sila aerodynamického odporu vzduchu je úmerná druhej mocnine rýchlosti:, kde μ Je koeficient, ktorý závisí od tvaru vozidla. Stanovte výkon motora prenášaný na nápravy hnacích kolies v ustálenom stave.

Rozhodnutie.

V súlade s vetou o zmene kinetickej energie máme

kde - základná práca hnacej sily,- elementárna práca síl odporu proti pohybu. V ustálenom stavev auto je konštantné, a preto sa jeho kinetická energia nemení, t.j.dT \u003d 0. Znamená to, že... Poďme rozšíriť pravú stranu výslednej rovnosti:

Tu dS - elementárny pohyb automobilu. Potom bude výkon prenášaný motorom na nápravy hnacích kolies rovnaký

Pri jazde konštantnou rýchlosťou po vodorovnej ceste teda motor vozidla vyvíja stály výkon; podľa toho sa palivo v nádrži spotrebúva rovnomerne.

Príklad 2.Oceľová guľa klesla z výškyH = 15 m bez počiatočnej rýchlosti. Nájdite rýchlosť loptyV.v okamihu jeho dopadu na zem. Zanedbajte odpor vzduchu.

Rozhodnutie.

Na loptu pôsobí iba gravitačná sila, ktorá je potenciálna a jej potenciál zjavne nezávisí od času. Preto bude v súlade s bodom (10) celková mechanická energia lopty počas jej pohybu konštantná

Pretože v počiatočnom okamihu bola lopta v pokoji a mala iba potenciálnu energiu, potom sa v okamihu nárazu na zem celá jej počiatočná potenciálna energia premení na kinetickú energiu

Z toho teda vyplývaVýsledok riešenia tohto problému nám dáva právo tvrdiť, že rýchlosť voľného pádu telies nezávisí od ich hmotnosti.

Príklad3 . Zvážte voľný pád kameňa s hmotoumvrhané do gravitačného poľa Zeme z bodu 1 do bodu 2 (obr. 11).

Obr

Základná práca vykonaná gravitáciou pri pohybe kameňa sa rovná:

Kompletná práca v časti 1-2 je ako

kde F gr = mg - gravitácia; potom dostaneme:

Z posledného výrazu vidno, že prácu určuje iba poloha východiskového a konečného bodu trajektórie tela.

Príklad4 . Nájdeme potenciálnu energiu elasticky zdeformovaného telesa (pružina). Je známe, že elastická sila je úmerná deformáciix:

kde k - koeficient pružnosti;x - hodnota deformácie; to naznačuje značka (-)F kontrola v smere opačnom k \u200b\u200bdeformácii.

Na prekonanie elastickej sily je potrebné vyvinúť silu:

Základné práce - práce vykonávané s nekonečne malou deformáciou:

Kompletnú prácu nájdete ako

V tomto príklade sa pracuje na zvýšení potenciálnej energie pružiny. Ak ox = 0 Pokračovať = Potom 0 c \u003d0. Potenciálna energia elasticky deformovaného tela je

Príklad5 . Hmotný bod podľa hmotnostim sa pohybuje po osi O TOM x v potenciálnom silovom poli s energiou v závislosti od súradnicex v práve: Ž р \u003d - α x 4, kde α je pozitívna konštanta. Nájdite závislosť zrýchlenia bodu od súradnicex.

Rozhodnutie. Pomocou spojenia medzi silou a potenciálnou energiou:

nájsť závislosť sily na súradnicix:

Podľa druhého Newtonovho zákona dostaneme výraz pre zrýchlenie:

Ak je závislosť potenciálnej energie od uhla rotácie počas rotačného pohybu daná analyticky alebo graficky, potom pomocou vzťahu, môžete vyjadriť moment sily a tiež zistiť uhlové zrýchlenie

Príklad6 . Hmotnosť vozňa m \u003d 20 t v pohybe rovnako pomaly s počiatočnou rýchlosťouv 0 \u003d 54 km / h, trecie F mp \u003d 6 kN sa po chvíli zastaví. Nájsť si prácuA trecie sily a vzdialenosťSktorým auto prejde na doraz.

Rozhodnutie.

1) Práca A vykonaná výslednou silou možno definovať ako mieru zmeny kinetickej energie hmotného bodu:

kde W k \u003d mv 2/2 \u003d 0.

Preto A \u003d - W k 0 ;

A\u003d -2,25 MJ

2) Vzdialenosť

Odpoveď: Práca trecích síl je -2,25 MJ, vzdialenosť, ktorú auto prejde po zastávku, je 375 m.

Príklad 7 . Obrázok ukazuje závislosť projekcieF xsila pôsobiaca na hmotný bod od súradnice x. Určte vykonanú prácu pri posúvaní bodu vo vzdialenosti 5 m.

Obr

Rozhodnutie. Podľa podmienky závisí sila od súradnicex... Premenlivá silová práca odx 1 predtýmx 2 rovná sa

Geometricky možno integrál interpretovať ako oblasť obrázku ohraničenú zodpovedajúcou časťou grafu, segmentom osix a kolmé osi klesli z koncových bodov grafu na os úsečky. V prvej časti grafu projekcia silyF x negatívny a práca je tiež negatívny. Číselne sa to rovná ploche trojuholníka. V druhej a tretej častiF x\u003e 0, práca na týchto úsekoch je pozitívna a počíta sa ako zodpovedajúce oblasti obdĺžnika a trojuholníka. Výsledkom je, že:

A \u003d - (1∙ 2)/2 + 1 ∙ 2 + (1 ∙ 1) ∙ 2 \u003d 1,5 J.

Ak je daná závislosť momentu sily od uhlovej súradniceφ , potom sa výpočet práce vykoná podľa podobného vzorca analyticky alebo graficky.

Príklad 8 . Po okraj hmoty diskum \u003d 5 kg použitej šmykovej silyF = 19,6 N. Aká kinetická energiaŽ do bude mať disk v časet = 5 c po začiatku sily?

Rozhodnutie.

1) - kinetická energia disku;

2) ω = ε t - uhlová rýchlosť;

4) Moment zotrvačnosti pre disk ;

6) Nahradením údajov dostaneme:

Odpoveď: Kinetická energia, po 5 s. po začiatku pôsobenia bude sila rovná 1,9 kJ.

Veta o zmene kinetickej energie bodu.

Zvážte bod s hmotou t, pohybujúce sa pôsobením síl na ňu pôsobiacich z polohy M 0, kde má rýchlosť , do polohy M 1 kde je jeho rýchlosť .

Aby sme dosiahli požadovanú závislosť, obráťme sa na rovnica vyjadrujúci základný zákon dynamiky. Premietanie oboch strán tejto rovnosti do tangenty do trajektórie bodu M, smerujúce k pohybu, dostaneme:

Hodnota tangenciálneho zrýchlenia vľavo môže byť vyjadrená ako

Vo výsledku budeme mať:

Vynásobenie obidvoch strán tejto rovnostids , pridať t pod rozdielovým znamienkom. Potom si to všimol kde - elementárna práca silyF k získame výraz vety o zmene kinetickej energie v diferenciálnej forme:

Po integrovaní oboch strán tejto rovnosti v medziach zodpovedajúcich hodnotám premenných v bodochM 0 aM 1 , konečne nájdeme:

Rovnica vyjadruje vetu o zmene kinetickej energie bodu v konečnej podobe: zmena kinetickej energie bodu pre niektoré jeho posunutie sa rovná algebraickému súčtu práce všetkých síl pôsobiacich na bod na rovnakom posunutí.

Príklad 9 . Podľa grafu rýchlosť verzus čas v (t) určiť, či je práca sily pôsobiacej na hmotný bod v časovom intervale od 0 predtýmτ kladné, záporné, rovné nule (obr. 13). Berte do úvahy, že AO \u003d ОВ.

Obr

Rozhodnutie. Práca sily pôsobiacej na časticu sa rovná prírastku kinetickej energie častice.

Kinetická energia hmotného bodu súvisí s rýchlosťou pomerom Pretože rýchlosti častíc občast\u003d 0 at= τ podľa stavu úlohy sú si rovnako veľké (na grafe AO \u003d OB), potom sú kinetické energie v týchto stavoch rovnaké, t.j. Preto sa práca použitej sily za určené časové obdobie rovná nule.

Príklad 10 . Bod sa pohybuje pozdĺž osiVôl pôsobením sily smerujúcej pozdĺž osix (obr. 14). Porovnajte hodnoty kinetickej energie bodu v počiatočnom a konečnom stave pre prípady, keď sa projekcia sily na súradnicovú os zmení podľa grafov „a“ a „b“ ?

Obr

Rozhodnutie. Podľa tejto vety sa prírastok kinetickej energie častice rovná práci sily pôsobiacej na časticu.

Premenlivá silová práca je určená pomerom Ak vezmeme do úvahy geometrický význam integrálu (oblasť krivočarého lichobežníka), je ľahké vidieť, že v prípade „a“ sa dielo rovná nule a kinetické energie počiatočného a konečného stavu sa zhodujú. V prípade „b“ je práca pozitívna a kinetická energia konečného stavu je väčšia ako počiatočný.

Príklad 11 . Dva disky s rovnakou hmotnosťou, na rôzne veľkosti (R A = 2 R B ) točia sa na rovnaké uhlové rýchlosti. Nájdite vzťah medzi vyrobeným dielom.

Rozhodnutie. Práce na roztočení disku sa rovnajú prírastku kinetickej energie, t.j.A= ∆ W k... Počiatočná kinetická energia každého disku sa rovná nule, konečná súvisí s uhlovou rýchlosťou podľa vzorca

Ak vezmeme do úvahy, že moment zotrvačnosti spojitého homogénneho disku je z , čo je viditeľné na projekcii oboch strán rovnostina tejto osi. Matematické vyjadrenie momentovej vety o osi je dané vzorcom.

Otázky týkajúce sa autotestu

- Aké sú dve miery mechanického pohybu a zodpovedajúce merače sily?

- Aké sily sa nazývajú hnacie sily?

- Aké sily sa nazývajú sily odporu?

- Zapíšete vzorce na určenie práce v translačných a rotačných pohyboch?

- Aká sila sa nazýva okresná sila? Čo je točivý moment?

- Formulovať vetu o práci výslednice.

- Ako sa určuje priebeh sily konštantný vo veľkosti a smere pri priamom pohybe?

- Aká je práca klznej trecej sily, ak je táto sila konštantná vo veľkosti a smere?

- Akým jednoduchým spôsobom môžete vypočítať prácu silovej konštanty vo veľkosti a smere na krivočiarom posunutí?

- Aká je práca výslednej sily.

- Ako vyjadriť elementárnu prácu sily prostredníctvom elementárnej dráhy bodu pôsobenia sily a ako - prostredníctvom prírastku oblúkovej súradnice tohto bodu?

- Čo je vektorové vyjadrenie elementárnej práce?

- Aký je výraz elementárnej silovej práce premietnutím sily na súradnicovú os?

- Napíšte rôzne typy krivočarého integrálu, ktorý určuje prácu premennej sily na konečné krivočiary posunutie.

- Aký je grafický spôsob určenia práce premennej sily na zakrivený pohyb?

- Ako sa počíta gravitačná práca a práca pružnosti?

- Na akých posunoch je gravitačná práca: a) kladná, b) záporná, c) rovná sa nule.

- V ktorom prípade je práca pružnej sily pozitívna a v ktorej - negatívna?

- Ako sa nazýva sila: a) konzervatívna; b) nekonzervatívny; c) disipatívny?

- Čo sa nazýva potenciál konzervatívnych síl?

- Aké pole sa nazýva potenciál?

- Čo sa nazýva sila?

- Čo sa nazýva silové pole? Uveďte príklady silových polí.

- Aké sú matematické vzťahy medzi potenciálom poľa a silovou funkciou?

- Ako určiť elementárnu prácu síl potenciálneho poľa a prácu týchto síl na konečnom posune systému, ak je známa silová funkcia poľa?

- Aká je práca síl pôsobiacich na body systému v potenciálnom poli na uzavretý posun?

- Aká je potenciálna energia systému v ktorejkoľvek polohe?

- Aká je zmena potenciálnej energie mechanického systému pri jeho presune z jednej polohy do druhej?

- Aký je vzťah medzi silovou funkciou potenciálneho poľa a potenciálnou energiou systému v tomto poli?

- Vypočítajte zmenu kinetickej energie bodu s hmotnosťou 20 kg, ak sa jeho rýchlosť zvýšila z 10 na 20 m / s?

- Ako sa určujú projekcie na súradnicové osi sily pôsobiacej v potenciálnom poli v ktoromkoľvek bode systému?

- Aké povrchy sa nazývajú ekvipotenciálne a aké sú ich rovnice?

- Ako je sila pôsobiaca na hmotný bod v potenciálnom poli nasmerovaná vo vzťahu k ekvipotenciálnej ploche prechádzajúcej týmto bodom?

- Aká je potenciálna energia hmotného bodu a mechanického systému pod vplyvom gravitácie?

- Akú formu majú ekvipotenciálne povrchy gravitačného poľa a newtonovský gravitacne sily?

- Aký je zákon zachovania a premeny mechanickej energie?

- Prečo hmotný bod popisuje plochú krivku pod pôsobením centrálnej sily?

- Čo sa nazýva rýchlosť sektoru a ako vyjadriť jeho modul v polárnych súradniciach?

- Aký je zákon o oblastiach?

- Aká je forma diferenciálnej rovnice v tvare Bineturčenie trajektórie bodu pohybujúceho sa pod pôsobením centrálnej sily?

- Podľa akého vzorca je modul určený newtonovský gravitacne sily?

- Aká je kanonická forma rovnice kónického rezu a pri akých hodnotách excentricity je trajektória telesa pohybujúceho sa v poli newtonovský gravitacne sily, je to kruh, elipsa, parabola, hyperbola?

- Formulujte zákony planetárneho pohybu objavené Keplerom.

- Za akých počiatočných podmienok sa telo stane satelitom Zeme a za akých podmienok je schopné prekonať zemskú gravitáciu?

- Aká je prvá a druhá kozmická rýchlosť?

- Zapíšete si vzorce pre výpočet práce s translačnými a rotačnými pohybmi?

- Vagón s hmotnosťou 1 000 kg sa pohybuje po vodorovnej koľaji o 5 m, koeficient trenia je 0,15. Definovať gravitačnú prácu?

- Zapíšete si vzorce pre výpočet sily pre translačné a rotačné pohyby?

- Určiť potrebný výkon na zdvihnutie bremena s hmotnosťou 0,5 kN do výšky 10 m za 1 minútu?

- Aká je sila pôsobiaca na priamočiaro pohybujúce sa telo s hmotnosťou 100 kg, ak sa rýchlosť tela zvýšila z 5 na 25 m / s?

- Určte celkovú účinnosť mechanizmu, ak pri výkone motora 12,5 kW a celkovom odporu proti pohybu 2 kN je rýchlosť pohybu 5 m / s.

- Ak auto jazdí do hory s konštantným výkonom motora, spomalí sa. Prečo?

- Práca konštantnej sily s lineárnym pohybom Ž=10 J... Aký je uhol smeru sily so smerom pohybu?

1) ostrý uhol;

2) pravý uhol;

3) tupý uhol.

- Ako sa zmení kinetická energia priamočiareho pohybujúceho sa bodu, ak sa jeho rýchlosť zdvojnásobí?

1) sa zdvojnásobí;

2) štvornásobne.

- Aká je práca gravitačnej sily s horizontálnym pohybom tela?

1) súčin gravitácie a výtlaku;

2) gravitačná práca je nulová.

- Zákon zachovania mechanickej energie je splnený, ak

1) súčet všetkých vnútorných síl je nulový;

2) súčet všetkých rýchlostí rany je nula;

3) súčet všetkých vonkajších síl;

4) súčet všetkých momentov vonkajších síl navinutých na nulu;

5) pôsobením konzervatívnych síl.

- Práce v mechanike sú

1 ) sily, ktorých práca nezávisí od tvaru dráhy;

2 ) sily, ktorých práca závisí od tvaru cesty;

3 ) trecie sily;

4 ) gravitačné sily;

5 ) elektrostatické sily.

- Aká je práca výslednej sily:

1 ) zmena kinetickej energie tela;

2 ) Kinetická energia

Odvodenie vzorca na výpočet práce síl poľa pri pohybe nábojov. Pojem potenciál, potenciálna podstata elektrostatického poľa. Spojenie medzi napätím a potenciálom. Potenciál poľa plochého kondenzátora, nabitého vlákna, valcových a sférických kondenzátorov.

4. 1. Odvodenie vzorca na výpočet práce síl poľa pri pohybe nábojov. 4. 2. Pojem potenciál, potenciálna povaha elektrostatického poľa. 4. 3. Vzťah medzi napätím a potenciálom. 4. 4. Potenciál poľa plochého kondenzátora, nabitého vlákna, valcových a sférických kondenzátorov.

4. 1. Odvodenie vzorca na výpočet práce síl poľa pri pohybe nábojov. Nech je bodový kladný náboj. Vypočítajme prácu presunu z bodu 1 do bodu 2. Obr. 4. 1. Presun bodového kladného náboja z bodu 1 do bodu 2.

(4. 1) Záver: práca na premiestnení náboja z jedného bodu poľa do druhého sa rovná súčinu veľkosti tohto náboja potenciálnym rozdielom počiatočného a konečného bodu dráhy. K obsahu

4. 2. Pojem potenciál, potenciálna povaha elektrostatického poľa. môže slúžiť ako charakteristika poľa. Pretože na funkčnej časti výrazu (4.2), potom vezmeme konšt \u003d 0. Získame (4. 3) Táto hodnota sa nazýva potenciál poľa bodového náboja. (4,4) (4,5)

Potenciál poľa v danom bode je fyzikálna veličina, ktorá sa číselne rovná práci na prenose jednotkového kladného náboja z daného bodu poľa do nekonečna. Práca síl elektrostatického poľa sa rovná strate potenciálnej energie, t. J. (4.6) (4.7). Potom pri porovnaní (4.4) a (4.6) dostaneme T. do. Na (4.8), potom potenciál poľa v danom bode je fyzikálna veličina, ktorá sa číselne rovná potenciálnej energii, ktorá sa získa jednotkovým kladným nábojom pri prenose z nekonečna do daného bodu poľa. Poďme zistiť vlastnosti potenciálneho elektrostatického poľa. (4. 9) Obr. 4.2.

1. Práca s prenosom elektrického poľa z jedného bodu do druhého nezávisí od tvaru dráhy. (4. 10) 2. Práce na prenose náboja po uzavretej ceste sú nulové. 1 a 2 odráža potenciálny charakter poľa. 3. V elektrickom poli je cirkulácia vektora intenzity pozdĺž uzavretej slučky rovná nule.

Ekvipotenciálne plochy. Predpona equi znamená rovná. Ekvipotenciálny povrch je povrch tvorený bodmi, ktoré majú rovnaký potenciál. Pre geometrický popis elektrického poľa sa spolu s silovými čiarami používajú aj ekvipotenciálne plochy. 1. Silové čiary sú kolmé na ekvipotenciálne povrchy. Obrázok: 4. 3. Ekvipotenciálne plochy 2. Práca s pohybom náboja po ekvipotenciálnej ploche je nulová.

Skúsenosť 4. 1. Ukážka ekvipotenciálnych plôch. Účel: Ukážka ekvipotenciálnych plôch. Vybavenie: 1. Predvádzací elektromer. 2. Zúžený vodič na izolačnom stojane. 3. Ebenová palica. 4. Vlna. 5. Vyskúšajte guľu na izolačnej rukoväti. 6. Dva vodiče: jeden - ohybný 1, 5 - 2 m, druhý - na uzemnenie elektromeru. Obrázok: 4. 4. Inštalácia Postup prác: Skúšobná guľa s dlhým vodičom je pripojená k tyči elektroskopu, telo je uzemnené. Nabijeme vodič a guľkou pohybujeme po celej ploche (vonkajšej a vnútornej) vodiča. Hodnoty elektromeru sa nemenia. Závery: povrch nabitého vodiča má všade rovnaký potenciál. K obsahu

4. 3. Vzťah medzi napätím a potenciálom. Nech je tu vektorové pole a nejaké skalárne pole (4. 11) Je známe, že existuje spojenie medzi silou a potenciálom elektrostatického poľa: (4. 12) K obsahu

4. 4. Potenciál poľa plochého kondenzátora, nabitého vlákna, valcových a sférických kondenzátorov. Homogénny plochý kondenzátor. (4.13) Obr. 4. 4. Homogénny plochý kondenzátor Zadanie pre samostatnú prácu. Pomocou materiálu prednášok 3 a 4 odvodte vzorce popisujúce potenciál poľa nabitého vlákna, valcových a sférických kondenzátorov. K obsahu

Pre valcový kondenzátor vieme, že potenciálny rozdiel medzi doskami kondenzátora zistíme integráciou Ak je medzera medzi doskami relatívna, to znamená, že podmienka je v tomto prípade splnená Obr. 4.5

Pre sférický kondenzátor Obr. 4. 6 Pre nabitú niť, kde R je hrúbka nite Obr. 4.7

Nasledujúce príklady poskytujú výsledky, ktoré je možné priamo použiť pri riešení problémov.

1. Dielo gravitácie. Nech sa z polohy do polohy pohybuje bod M, na ktorý pôsobí gravitačná sila P. Vyberme súradnicové osi tak, aby os smerovala zvisle nahor (obr. 231). Potom. Dosadením týchto hodnôt do vzorca (44) získame, berúc do úvahy, že integračná premenná je:

Ak je bod vyšší, potom kde h je vertikálny pohyb bodu; ak je bod pod bodom, potom.

Nakoniec sa dočkáme

Zo získaného výsledku vyplýva, že gravitačná práca nezávisí od typu dráhy, po ktorej sa pohybuje bod jej aplikácie. Sily s touto vlastnosťou sa nazývajú potenciálne (pozri § 126).

2. Práca pružnej sily. Zvážte zaťaženie M ležiace na vodorovnej rovine a pripevnené k voľnému koncu nejakej pružiny (obr. 232, a). V rovine označte bodom O pozíciu, ktorú zaujíma koniec pružiny, keď nie je namáhaná - dĺžka nepružnej pružiny), a tento bod berte ako východiskový bod. Ak teraz stiahneme záťaž z rovnovážnej polohy O a natiahneme pružinu na hodnotu I, potom pružina dostane predĺženie a na záťaž bude pôsobiť pružná sila F smerovaná do bodu O. Pretože v našom prípade podľa vzorca (6) z § 76

Posledná rovnosť platí tiež pre (zaťaženie vľavo od bodu O); potom sila F smeruje doprava a ukáže sa, ako má byť,

Nájdeme prácu vykonanú pružnou silou pri presune bremena z polohy do polohy

Pretože v tomto prípade nahradením týchto hodnôt do vzorca (44) nájdeme

(Rovnaký výsledok je možné získať z grafu závislosti F na (obr. 232, b), výpočtu plochy a lichobežníka zatienenej na výkrese a zohľadnenia znaku práce.) Vo výslednom vzorci predstavuje počiatočné predĺženie pružiny - konečné predĺženie pružiny Preto,

to znamená, že práca pružnej sily sa rovná polovici súčinu koeficientu tuhosti rozdielom medzi štvorcami počiatočného a posledného predĺženia (alebo stlačenia) pružiny.

Práca bude pozitívna, keď sa koniec pružiny posúva smerom k rovnovážnej polohe, a negatívna, keď to znamená, keď sa koniec pružiny posúva smerom od rovnovážnej polohy.

Je dokázané, že vzorec (48) zostáva v platnosti v prípade, že posunutie bodu M nie je priamočiare. Ukazuje sa teda, že práca sily F závisí iba od hodnôt a nezávisí od typu trajektórie bodu M. Preto je potenciálna aj elastická sila.

3. Práca trecej sily. Zvážte bod pohybujúci sa pozdĺž drsného povrchu (obr. 233) alebo krivku. Trecia sila pôsobiaca na bod sa rovná veľkosti, kde f je koeficient trenia a N je normálna povrchová reakcia. Trecia sila smeruje proti posunutiu bodu. Preto a podľa vzorca (44)

Ak je trecia sila číselne konštantná, potom kde s je dĺžka oblúka krivky, pozdĺž ktorej sa bod pohybuje.

Takže práca klznej trecej sily je vždy negatívna. Pretože táto práca závisí od dĺžky oblúka, je trecia sila nepotenciálnou silou.

4. Pôsobenie gravitačnej sily Ak sa Zem (planéta) považuje za homogénnu guľu (alebo guľu pozostávajúcu z homogénnych koncentrických vrstiev), potom bude bod M s hmotou umiestnený mimo guľu vo vzdialenosti od jej stredu O (alebo umiestnený na povrchu gule) pôsobiť na gravitačnú silu F smerujúcu do stredu O (obr. 234), ktorej hodnota je určená vzorcom (5) z § 76. Tento vzorec reprezentujeme v tvare

n definujeme koeficient k z podmienky, že keď je bod na povrchu Zeme (r \u003d R, kde R je polomer Zeme), gravitačná sila je mg, kde g je gravitačné zrýchlenie (presnejšie gravitačná sila) na zemskom povrchu. Potom by to malo byť