Հարց 23, թե որն է սառույցի հալման հատուկ ջերմությունը

Հատուկ ջերմություն հալումը հայտնաբերվում է բանաձևով.

որտեղ Q- ը ջերմության քանակն է, որն անհրաժեշտ է m զանգվածի մարմինը հալեցնելու համար:

Ամրացնելիս նյութերը թողարկում են նույն քանակությամբ ջերմություն, որը պահանջվում էր ծախսել դրանց հալման վրա: Մոլեկուլները, կորցնելով էներգիան, առաջացնում են բյուրեղներ ՝ չկարողանալով դիմակայել այլ մոլեկուլների ներգրավմանը: Եվ կրկին, մարմնի ջերմաստիճանը չի իջնի, մինչև այն պահը, երբ ամբողջ մարմինը կխստանա, և մինչև չթողարկվի այն ամբողջ էներգիան, որը ծախսվել է դրա հալման վրա: Այսինքն ՝ միաձուլման հատուկ ջերմությունը ցույց է տալիս, թե որքան էներգիա պետք է ծախսվի m զանգվածի մարմինը հալեցնելու համար, և որքան էներգիա կթողարկվի, երբ այս մարմինը ամրացվի:

Օրինակ ՝ պինդ վիճակում ջրի միաձուլման հատուկ ջերմությունը, այսինքն ՝ սառույցի միաձուլման հատուկ ջերմությունը 3,4 * 10 ^ 5 J / կգ է:

Սառույցի հալման հատուկ ջերմությունը կազմում է 3,4 անգամ 10-ից 5-րդ հզորության ջոուլ / կգ

Միաձուլման հատուկ ջերմությունը նշեք հունական λ (lambda) տառով, իսկ միավորը 1 J / կգ է

Հարց 24 Եկեք նշանակենք L1- ը `գոլորշացման հատուկ ջերմություն, L2- ը` միաձուլման հատուկ ջերմություն: Այդքա՞ն:

Քանի որ մարմինը էներգիա է ստանում գոլորշիացման ընթացքում, կարելի է եզրակացնել, որ գազային վիճակում գտնվող մարմնի ներքին էներգիան ավելի մեծ է, քան հեղուկ վիճակում գտնվող նույն զանգվածի մարմնի ներքին էներգիան: Հետեւաբար, խտացման ընթացքում գոլորշին տալիս է էներգիայի քանակը, որն անհրաժեշտ էր դրա ձեւավորման համար

Գոլորշացման հատուկ ջերմություն - ֆիզիկական մեծություն, որը ցույց է տալիս ջերմության քանակը, որը անհրաժեշտ է 1 կգ նյութը գոլորշու վերածելու համար ՝ առանց դրա ջերմաստիճանը փոխելու:Գործակիցներ » ռ

Միաձուլման հատուկ ջերմություն - ֆիզիկական մեծություն, որը ցույց է տալիս ջերմության քանակը, որը անհրաժեշտ է 1 կգ նյութը հեղուկի վերափոխելու համար ՝ առանց դրա ջերմաստիճանը փոխելու:Գործակիցներ » λ »Տարբեր նյութերի համար սովորաբար տարբեր են: Դրանք չափվում են էմպիրիկ կերպով և մուտքագրվում են հատուկ աղյուսակներ:

Գոլորշացման հատուկ ջերմությունն ավելի մեծ է

Հարցեր 25 Կարտեզյան կոորդինատներում երկչափ ոչ ստացիոնար ջերմաստիճանի դաշտի ջերմության հաղորդման դիֆերենցիալ հավասարումը:

x i \u003d x, y, z - Կարտեզյան կոորդինատային համակարգ;

Եթե \u200b\u200bկոորդինատներից մեկի երկայնքով ջերմաստիճանը մնում է հաստատուն, ապա մաթեմատիկորեն այս պայմանը գրվում է (օրինակ, z կոորդինատի համար) հետևյալ կերպ. DT / dz \u003d 0:

Այս դեպքում դաշտը կոչվում է երկչափ և գրված է.

ոչ ստացիոնար ռեժիմի համար T \u003d T (x, y, t);

ստացիոնար ռեժիմի համար T \u003d T (x, y):

Երկչափ ջերմաստիճանի դաշտի հավասարումներ ռեժիմի համար

ոչ ստացիոնար:

Հարց 26-ի ջերմության հաղորդման դիֆերենցիալ հավասարումը ոչ ստացիոնար ջերմաստիճանի դաշտի համար գլանաձեւ կոորդինատները?

x i \u003d r, φ, z - գլանաձեւ կոորդինատային համակարգ;

Երմաստիճանի դաշտ տվյալ հաշվարկային տիրույթի բոլոր կետերում և ժամանակի ընթացքում ջերմաստիճանի արժեքների ամբողջություն է:

Theերմաստիճանի դաշտը չափվում է ըստ Cելսիուսի և Կելվինի աստիճանների և նշվում է այնպես, ինչպես TTD- ով. Որտեղ x i - տարածության այն կետի կոորդինատները, որտեղ գտնվում է ջերմաստիճանը, մետրերով [մ]; τ - վայրկյաններով ջերմության փոխանցման գործընթացի ժամանակն է, [ներ]: T. մասին. ջերմաստիճանի դաշտը բնութագրվում է կոորդինատների քանակով և ժամանակի իր վարքով:

Thermalերմային հաշվարկներում օգտագործվում են հետևյալ կոորդինատային համակարգերը.

x i \u003d r, φ, z - գլանաձեւ կոորդինատային համակարգ;

Temperatureերմաստիճանի դաշտը ժամանակի ընթացքում փոխվում էկոչվում են ոչ ստացիոնար ջերմաստիճանի դաշտ: Ընդհակառակը, ջերմաստիճանի դաշտը, որը ժամանակի հետ չի փոխվումկոչվում են անշարժ ջերմաստիճանի դաշտ:

գլանաձեւ կոորդինատները (r շառավիղը; φ բևեռային անկյունը; z կիրառելի է), դիֆերենցիալ ջերմահաղորդության հավասարումը ունի ձև

,

Theերմաստիճանի դաշտը որոշելու խնդիրների լուծումն իրականացվում է հիման վրա դիֆերենցիալ հավասարումը ջերմահաղորդականություն, որի եզրակացությունները ցույց են տրված հատուկ գրականության մեջ: Այս ձեռնարկը տրամադրում է դիֆերենցիալ հավասարումների տարբերակներ առանց եզրակացությունների:

Շարժվող հեղուկներում ջերմության հաղորդման խնդիրներ լուծելիս `ներքին ջերմային աղբյուրներով անկայուն եռաչափ ջերմաստիճանի դաշտը բնութագրելով, օգտագործվում է հավասարումը

Հավասարումը (4.10) դիֆերենցիալ էներգիայի հավասարություն է Կարտեզյան կոորդինատային համակարգում (Fourier  Kirchhoff հավասարություն): Այս ձևով այն օգտագործվում է ցանկացած մարմնում ջերմության հաղորդման գործընթացի ուսումնասիրության ժամանակ:

Եթե \u200b\u200b x \u003d  y \u003d  z \u003d 0, այսինքն ՝ պինդ է համարվում, և ջերմության ներքին աղբյուրների բացակայության դեպքում qv \u003d 0, ապա էներգիայի հավասարումը (4.10) վերափոխվում է պինդ նյութերի ջերմահաղորդման հավասարման (Ֆուրիեի հավասարություն )

(4.11)

(4.10) հավասարման մեջ С \u003d a, m 2 The վրկ արժեքը կոչվում է ջերմային դիֆուզիվության գործակից, որը նյութի ֆիզիկական պարամետր է, որը բնութագրում է մարմնի ջերմաստիճանի փոփոխության արագությունը անկայուն գործընթացների ընթացքում:

Եթե \u200b\u200bջերմահաղորդականության գործակիցը բնութագրում է մարմինների ջերմությունը փոխանցելու ունակությունը, ապա ջերմային դիֆուզիվության գործակիցը մարմնի ջերմային իներցիոն հատկությունների չափիչ է: (4.10) հավասարումից հետեւում է, որ t ջերմաստիճանի փոփոխությունը տարածության ցանկացած կետի համար համամասնական է «ա» արժեքին, այսինքն ՝ մարմնի ցանկացած կետում ջերմաստիճանի փոփոխության տեմպը կլինի ավելի մեծ, այնքան մեծ է ջերմային դիֆուզիվության գործակիցը: Ուստի, մնացած բոլոր բաները հավասար լինելու դեպքում, տարածության բոլոր կետերում ջերմաստիճանի հավասարումը տեղի կունենա ավելի արագ այն մարմնում, որն ունի բարձր ջերմային դիֆուզիոնություն: Երմային դիֆուզիվությունը կախված է նյութի բնույթից: Օրինակ, հեղուկներն ու գազերը ունեն բարձր ջերմային իներցիա և, հետեւաբար, ցածր ջերմային դիֆուզիվություն: Մետաղներն ունեն ցածր ջերմային իներցիա, քանի որ ունեն բարձր ջերմային դիֆուզիվություն:

Նշելու համար երկրորդ ածանցյալների հանրագումարը (4.10) և (4.11) հավասարումների կոորդինատների կապակցությամբ, կարելի է օգտագործել  2 խորհրդանիշը, այսպես կոչված, Լապլասի օպերատորը, իսկ այնուհետև ՝ Դեկերտյան կոորդինատային համակարգում

Գլանաձեւ կոորդինատային համակարգում  2 տ արտահայտությունն ունի ձև

Կայուն պայմաններում ներքին ջերմության աղբյուր ունեցող կոշտ մարմնի համար (4.10) հավասարումը վերափոխվում է Պուասոնի հավասարման

(4.12)

Վերջապես, ստացիոնար ջերմային հաղորդակցության համար և ջերմության ներքին աղբյուրների բացակայության դեպքում (4.10) հավասարումը ստանում է Լապլասի հավասարման ձևը:

(4.13)

Ներքին ջերմության աղբյուրով գլանաձեւ կոորդինատներում ջերմության հաղորդման դիֆերենցիալ հավասարումը

(4.14)

4.2.6. Iguերմահաղորդման գործընթացների միանշանակ պայմաններ

Քանի որ ջերմության հաղորդման դիֆերենցիալ հավասարումը ստացվում է ֆիզիկայի ընդհանուր օրենքների հիման վրա, այն բնութագրում է ջերմության հաղորդման ֆենոմենն իր առավել ընդհանուր տեսքով: Հետևաբար, կարող ենք ասել, որ արդյունքում ստացվող դիֆերենցիալ հավասարումը բնութագրում է ջերմահաղորդման երևույթների մի ամբողջ դաս: Քննարկվող գործընթացն անհամար թվից առանձնացնելու և դրա ամբողջական մաթեմատիկական նկարագիրը տալու համար անհրաժեշտ է դիֆերենցիալ հավասարմանը ավելացնել դիտարկվող գործընթացի բոլոր առանձնահատկությունների մաթեմատիկական նկարագիրը: Այս առանձնահատկությունները, որոնք դիֆերենցիալ հավասարման հետ միասին տալիս են ջերմության հաղորդման յուրահատուկ գործընթացի ամբողջական մաթեմատիկական նկարագրություն, կոչվում են եզակիության պայմաններ կամ սահմանային պայմաններ, որոնք ներառում են.

ա) մարմնի ձևն ու չափը բնութագրող երկրաչափական պայմանները, որոնցում տեղի է ունենում գործընթացը.

բ) միջավայրի և մարմնի ֆիզիկական հատկությունները բնութագրող ֆիզիկական պայմաններ (, C z, , a և այլն).

գ) ժամանակի (նախնական) պայմանները, որոնք բնութագրում են ժամանակի սկզբնական պահին ուսումնասիրված մարմնում ջերմաստիճանի բաշխումը.

դ) շրջակա միջավայրի հետ քննարկվող մարմնի փոխազդեցությունը բնութագրող սահմանային պայմաններ:

Սկզբնական պայմանները անհրաժեշտ են ոչ ստացիոնար գործընթացները դիտարկելիս և բաղկացած են մարմնի ներսում ջերմաստիճանի բաշխման օրենքի սահմանումից `ժամանակի սկզբնական պահին: Ընդհանուր դեպքում, նախնական պայմանը կարող է վերլուծականորեն գրվել follows \u003d 0-ի համար հետևյալ կերպ.

t \u003d  1 x, y, z: (4.15)

Մարմնում ջերմաստիճանի միասնական բաշխման դեպքում նախնական պայմանը պարզեցված է. At \u003d 0; t \u003d t 0 \u003d idem.

Սահմանի պայմանները կարող են որոշվել մի քանի եղանակներով:

Ա. Առաջին տեսակի սահմանային պայմանները ՝ ճշգրտելով ջերմաստիճանի բաշխումը մարմնի մակերևույթի վրա t c յուրաքանչյուր պահի համար.

t c \u003d  2 x, y, z,: (4.16)

Հատուկ դեպքում, երբ ջերմության փոխանցման գործընթացների ամբողջ ժամանակ մակերևույթի վրա ջերմաստիճանը կայուն է, (4.16) հավասարումը պարզեցված է և ստանում է t c \u003d idem ձև:

Բ. Երկրորդ տեսակի սահմանային պայմաններ `նշելով ջերմության հոսքի խտության արժեքը մակերեսի յուրաքանչյուր կետի և ժամանակի ցանկացած պահի համար: Վերլուծականորեն դա կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

q n \u003d x, y, z, , (4.17)

որտեղ q n - մարմնի մակերեսի վրա ջերմային հոսքի խտությունը:

Ամենապարզ դեպքում ջերմության հոսքի խտությունը մակերեսի վրա և ժամանակի ընթացքում մնում է հաստատուն q n \u003d idem: Heatերմափոխանակության նման դեպք է առաջանում, օրինակ, բարձր ջերմաստիճանի վառարաններում տարբեր մետաղական արտադրանքները տաքացնելիս:

Բ. Երրորդ տեսակի ջերմաստիճանի սահմանման պայմանները միջավայր t- ը և մարմնի մակերեսի և շրջակա միջավայրի միջև ջերմության փոխանցման օրենքը: Մարմնի մակերեսի և շրջակա միջավայրի միջև ջերմության փոխանակման գործընթացը նկարագրելու համար օգտագործվում է Նյուտոնի օրենքը:

Նյուտոնի օրենքի համաձայն, մարմնի մակերեսի միավորի կողմից ժամանակի միավորի համար տրված ջերմության քանակը համամասն է մարմնի ջերմաստիճանի և տ t միջավայրի տարբերության:

q \u003d t c  t: (4.18)

Heatերմափոխանակման գործակիցը բնութագրում է մարմնի մակերեսի և շրջակա միջավայրի միջև ջերմության փոխանցման ինտենսիվությունը: Թվային առումով դա հավասար է ժամանակի միավորի մակերեսի միավորի կողմից տրված (կամ ընկալվող) ջերմության քանակին, երբ մարմնի մակերեսի և շրջակա միջավայրի միջեւ ջերմաստիճանի տարբերությունը հավասար է մեկ աստիճանի:

Էներգիայի պահպանման օրենքի համաձայն, ջերմության փոխանցման պատճառով ժամանակի միավորի մակերեսի միավորից հանված ջերմության քանակը (4.18) պետք է հավասար լինի ջերմահաղորդության պատճառով մակերեսի միավորին մատակարարվող ջերմությանը: մարմնի ներքին ծավալներից (4.7), այսինքն

, (4.19)

որտեղ n- ը մարմնի մակերեսին նորմալ է. «C» ենթակետը ցույց է տալիս, որ ջերմաստիճանը և գրադիենտը վերաբերում են մարմնի մակերեսին (n \u003d 0):

Վերջապես, երրորդ տեսակի սահմանային պայմանը կարող է գրվել տեսքով

. (4.20)

Հավասարումը (4.20), ըստ էության, մարմնի մակերեսի համար էներգիայի պահպանման օրենքի հատուկ արտահայտությունն է:

D. Չորրորդ տեսակի սահմանային պայմաններ, որոնք բնութագրում են մարմնի համակարգի կամ մարմնի շրջակա միջավայրի հետ ջերմափոխանակման պայմանները `համաձայն ջերմային հաղորդունակության օրենքի: Ենթադրվում է, որ մարմինների միջեւ կատարյալ շփում է տեղի ունենում (շփման մակերեսների ջերմաստիճանը նույնն է): Քննարկվող պայմաններում շփման մակերեսով անցնող ջերմային հոսքերը հավասար են.

. (4.21)

Էջ 4

. (2.24)

Հավասարումը (2.24) կոչվում է դիֆերենցիալ ջերմության հավասարություն (կամ դիֆերենցիալ Ֆուրիեի հավասարություն) եռաչափ անկայուն ջերմաստիճանային դաշտի համար `ջերմության ներքին աղբյուրների բացակայության պայմաններում: Այն հիմնականն է ջերմահաղորդման միջոցով ջերմության փոխանցման գործընթացում ջեռուցման և հովացման մարմինների հիմնախնդիրների ուսումնասիրության մեջ և կապ է հաստատում ոլորտի ցանկացած կետում ժամանակային և տարածական ջերմաստիճանի փոփոխությունների միջև: Լազերների օտոլարինգոլոգիայի լազերային կիրառում:

Երմային դիֆուզիվությունը նյութի ֆիզիկական պարամետր է և ունի m2 / վրկ միավոր: Ոչ ստացիոնար ջերմային գործընթացներում բնութագրվում է ջերմաստիճանի փոփոխության տեմպը:

(2.24) հավասարումից հետեւում է, որ մարմնի ցանկացած կետի համար ջերմաստիճանի փոփոխությունը ժամանակի հետ համամասնական է a- ի արժեքին: Հետևաբար, նույն պայմաններում, ջերմաստիճանը բարձրանում է ավելի արագ այն մարմնում, որն ունի բարձր ջերմային դիֆուզիվություն:

Մարմնի ներսում ջերմության աղբյուրի հետ ջերմության հաղորդման դիֆերենցիալ հավասարումը ունի հետևյալ տեսքը.

, (2.25)

որտեղ qV- ը աղբյուրի հատուկ հզորությունն է, այսինքն `թողարկված ջերմության քանակը մեկ միավորի ծավալով մեկ միավորի ընթացքում:

Այս հավասարումը գրված է Կարտեզյան կոորդինատներում: Այլ կոորդինատներում Laplace օպերատորը ունի այլ ձև, հետևաբար, հավասարության ձևը նույնպես փոխվում է: Օրինակ, գլանաձեւ կոորդինատներում ջերմության հաղորդման դիֆերենցիալ հավասարումը ներքին ջերմության աղբյուրով հետևյալն է.

, (2.26)

որտեղ r գլանաձեւ կոորդինատային համակարգում շառավղի վեկտորն է.

Բեւեռային անկյուն:

2.5 Սահմանային պայմաններ

Արդյունքում ստացված դիֆերենցիալ Ֆուրիեի հավասարումը նկարագրում է ջերմային հաղորդունակությամբ ջերմափոխանակման երևույթները առավել ընդհանուր ձևով: Այն հատուկ գործի վրա կիրառելու համար անհրաժեշտ է իմանալ մարմնի ջերմաստիճանի բաշխումը կամ նախնական պայմանները: Բացի այդ, պետք է հայտնի լինի հետևյալը.

Մարմնի երկրաչափական ձևը և չափերը,

Շրջակա միջավայրի և մարմնի ֆիզիկական պարամետրեր,

· Մարմնի մակերեսի վրա ջերմաստիճանի բաշխումը կամ ուսումնասիրված մարմնի փոխազդեցությունը բնութագրող սահմանային պայմանները:

Այս բոլոր առանձնահատկությունները, դիֆերենցիալ հավասարման հետ միասին, տալիս են ջերմության հաղորդման յուրահատուկ գործընթացի ամբողջական նկարագրություն և կոչվում են եզակիության պայմաններ կամ սահմանային պայմաններ:

Սովորաբար, ջերմաստիճանի բաշխման նախնական պայմանները նշվում են t \u003d 0 ակնթարթային ժամանակի համար:

Սահմանի պայմանները կարելի է հստակեցնել երեք եղանակով:

Առաջին տեսակի սահմանային պայմանը նշվում է մարմնի մակերևույթի վրա ջերմաստիճանի բաշխմամբ `ցանկացած պահի:

Երկրորդ տեսակի սահմանային պայմանը որոշվում է մարմնի մակերեսի յուրաքանչյուր կետում ջերմային հոսքի մակերևութային խտությամբ `ցանկացած պահի:

Երրորդ տեսակի սահմանային պայմանը սահմանվում է մարմնի շրջապատող միջավայրի ջերմաստիճանի և մարմնի մակերեսի և շրջակա միջավայրի միջև ջերմության փոխանցման օրենքի հիման վրա:

Givenերմահաղորդակցման դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը տրված յուրահատկության պայմաններում թույլ է տալիս որոշել ցանկացած պահի մարմնի ամբողջ ծավալի ջերմաստիճանի դաշտը կամ գտնել գործառույթը .

2.6 Theերմահաղորդականություն գնդակի պատի միջով

Հաշվի առնելով Բաժիններ 2.1 - 2.5-ում նկարագրված տերմինաբանությունը `սրա խնդիրը ժամկետային թուղթ կարող է ձևակերպվել հետևյալ կերպ. Անընդհատ ջերմային հոսքը ուղղորդվում է գնդաձեւ պատով, իսկ ջերմության աղբյուրը R1 շառավղի ներքին ոլորտն է: P աղբյուրի հզորությունը հաստատուն է: Սահմանային գնդերի միջև միջավայրը իզոտրոպ է, ուստի նրա ջերմահաղորդականությունը c- ը մեկ փոփոխականի գործառույթ է `հեռավորությունը գնդերի կենտրոնից (շառավիղ) r: Խնդրի պայմանով ... Արդյունքում, միջավայրի ջերմաստիճանն այս պարագայում նաև մեկ փոփոխականի գործառույթ է `շառավղ r: T \u003d T (r), և իզոթերմային մակերեսները համակենտրոն գնդեր են: Այսպիսով, որոնվող ջերմաստիճանի դաշտը ստացիոնար և միաչափ է, իսկ սահմանային պայմանները առաջին տեսակի պայմաններ են. T (R1) \u003d T1, T (R2) \u003d T2:

Temperatureերմաստիճանի դաշտի միաչափությունից հետեւում է, որ ջերմային հոսքի խտությունը j, ինչպես նաև ջերմային հաղորդունակությունն ու ջերմաստիճանը, այս դեպքում, մեկ փոփոխականի ՝ r շառավղի գործառույթներ են: J (r) և T (r) անհայտ գործառույթները կարող են որոշվել երկու եղանակով. Կա՛մ լուծել դիֆերենցիալ Ֆուրիեի հավասարումը (2,25), կա՛մ օգտագործել Ֆուրիեի օրենքը (2.11): Այս աշխատանքում ընտրվում է երկրորդ մեթոդը: Հետազոտված միաչափ գնդաձեւ սիմետրիկ ջերմաստիճանային դաշտի համար Ֆուրիեի օրենքն ունի հետևյալ ձևը ՝ 1 4

Aryերմության տարածումը ջերմահաղորդականությամբ հարթ և գլանաձեւ պատերում ՝ ստացիոնար պայմաններում (առաջին տեսակի սահմանային պայմաններ)

Միատարր միաշերտ հարթ պատ: Եկեք քննարկենք ջերմային հաղորդունակությամբ ջերմության տարածումը միատեսակ միաշերտ հարթ պատի մեջ, որի հաստությունը 8-ն է ՝ իր անսահմանափակ լայնությամբ և երկարությամբ:

Առանցք x ուղղակի պատին ուղղահայաց (նկ. 7.4): Պատի երկու մակերեսների վրա, ինչպես առանցքի ուղղությամբ y, և առանցքի ուղղությամբ ռ ջերմության միատեսակ մատակարարման և հեռացման շնորհիվ ջերմաստիճանը բաշխվում է հավասարաչափ:

Քանի որ այս առանցքների ուղղությամբ պատը ունի անսահման մեծ չափսեր, համապատասխանաբար ջերմաստիճանի գրադիենտները W / yy \u003d (կ / (կ \u003d \u003d 0, և, այդպիսով, պատի վերջնական մակերեսների ջերմահաղորդականության գործընթացի վրա ազդեցություն չկա: Խնդիրը պարզեցնող այս պայմաններում ջերմաստիճանի անշարժ դաշտը միայն կոորդինատի գործառույթն է x, այդ դիտարկվում է միաչափ խնդիր: Այս դեպքում ջերմության հաղորդման դիֆերենցիալ հավասարումը ստանում է ձև (համար դ ^ դքս = 0)

Տրված են առաջին տեսակի սահմանային պայմանները.

Նկար: 7.4.

Եկեք գտնենք ջերմաստիճանի զրոյի հավասարումը և որոշենք տարածքի հետ պատի հատվածով անցնող ջերմային հոսքը F ԵՎ (նկ. 1 լ պատը չի նշվում, քանի որ այն գտնվում է նկարի հարթությանը ուղղահայաց հարթության մեջ): Առաջին ինտեգրումը տալիս է

այդ ջերմաստիճանի գրադիենտը պատի ամբողջ հաստության վրա հաստատուն է:

Երկրորդ ինտեգրումից հետո մենք ստանում ենք պահանջվող ջերմաստիճանի դաշտի հավասարումը

Որտեղ և և Բ - անընդհատ ինտեգրում:

Այսպիսով, պատի հաստության երկայնքով ջերմաստիճանի փոփոխությունը հետևում է գծային օրենքին, և իզոթերմային մակերեսները պատի երեսներին զուգահեռ ինքնաթիռներ են:

Ինտեգրման կամայական հաստատությունները որոշելու համար մենք օգտագործում ենք սահմանային պայմանները.

Որովհետեւ? \u003e CT2, ապա առանցքի վրա գրադիենտի պրոյեկցիա x բացասական նման

դա պետք է ակնկալել առանցքի ընտրված ուղղության համար, որը համընկնում է ջերմային հոսքի մակերեսային խտության վեկտորի ուղղության հետ:

Փոխարինելով հաստատունների արժեքը (7.24) –ում, մենք ստանում ենք զրոյական ջերմաստիճանի վերջնական արտահայտությունը

Տող ա-բ թուզում 7.4, այսպես կոչված ջերմաստիճանի կորը, ցույց է տալիս ջերմաստիճանի փոփոխությունը, բայց պատի հաստությունը:

Իմանալով ջերմաստիճանի գրադիենտը, Ֆուրիեի (7.10) հավասարման միջոցով հնարավոր է գտնել առանցքի ուղղահայաց 4-ի առանցքի ուղղահայաց) ժամանակում անցնող 8 () ջերմության քանակը: տ

և մակերեսի համար ԵՎ

Formերմային հոսքի և մակերևութային ջերմային հոսքի խտության համար բանաձեւը (7.28) ձևավորվում է

Հաշվի առեք ջերմային հաղորդունակությամբ ջերմության տարածումը բազմաշերտ հարթ պատի մեջ, որը բաղկացած է միմյանց սերտ հարող մի քանի (օրինակ, երեք) շերտերից (տե՛ս Նկար 7.5):

Նկար: 7.5.

Ակնհայտ է, որ ստացիոնար ջերմաստիճանի դաշտի դեպքում ջերմային հոսքը անցնում է նույն տարածքի մակերեսներով ԵՎ, նույնը կլինի բոլոր շերտերի համար: Հետեւաբար, շերտերից յուրաքանչյուրի համար կարող է օգտագործվել հավասարումը (7.29):

Առաջին շերտի համար

երկրորդ և երրորդ շերտերի համար

Որտեղ X 2, Եվ 3 - շերտերի ջերմային հաղորդունակություն; 8 1? 8 2, 8 3 - շերտի հաստությունը:

Արդյո՞ք ջերմաստիճանը հայտնի է եռաշերտ պատի արտաքին սահմաններում: St1 և? ST4 Temperaturesերմաստիճանը սահմանվա՞ծ է շերտերի տարանջատման հարթությունների երկայնքով: ST2 և? ST- ներ, որոնք անհայտ են համարվում: (7.31) - (7.33) հավասարումները լուծվում են ջերմաստիճանի տարբերությունների նկատմամբ.

և ապա ավելացնել տերմին առ տերմին և դրանով բացառել անհայտ միջանկյալ ջերմաստիճանը.

Ընդհանուրացնելով (7.36) r- շերտի պատի համար մենք ստանում ենք

Որոշել միջանկյալ ջերմաստիճանը CT2 ,? Մենք օգտագործում ենք բանաձևեր (7.34) շերտերի շերտերի հարթությունների երկայնքով.

Վերջապես, ածանցյալը ընդհանրացնելով n- շերտի պատին, մենք ստանում ենք ith և (r + 1) րդ շերտերի սահմանին ջերմաստիճանի բանաձևը.

Երբեմն նրանք օգտագործում են համարժեք ջերմահաղորդականության R eq հասկացությունը: Տափակ բազմաշերտ պատի միջով անցնող ջերմային հոսքի մակերևութային խտության համար,

որտեղ է բազմաշերտ պատի բոլոր շերտերի ընդհանուր հաստությունը: Համեմատելով (7.37) և (7.40) արտահայտությունները, մենք եզրակացնում ենք, որ

Նկարում Կոտրված գծի տեսքով 7.5-ը ցույց է տալիս ջերմաստիճանի փոփոխությունների գծապատկեր բազմաշերտ պատի հաստության վրա: Շերտի մեջ, ինչպես վերը ապացուցվեց, ջերմաստիճանի փոփոխությունը հետևում է գծային օրենքին: Լանջի cp- ի տանգենսը, ջերմաստիճանի գիծը դեպի հորիզոնական

այդ հավասար է ջերմաստիճանի գրադիենտի բացարձակ արժեքին ^ 1 "ac1 Այսպիսով, ուղիղ գծերի թեքությունը ab, մ.թ.ա. և

Հետևաբար

այդ Բազմաշերտ հարթ պատի առանձին շերտերի ջերմաստիճանի գրադիենտները հակադարձ համեմատական \u200b\u200bեն այդ շերտերի ջերմահաղորդությանը:

Սա նշանակում է, որ մեծ ջերմաստիճանի գրադիենտներ ստանալու համար (որը պահանջվում է, օրինակ, գոլորշու գծերը մեկուսացնելիս և այլն), պահանջվում են ցածր ջերմային հաղորդունակությամբ նյութեր:

Միատարր միաշերտ գլանաձեւ պատ: Եկեք գտնենք ջերմային հաղորդակցության ստացիոնար ռեժիմի համար միասնական միաշերտ գլանաձեւ պատի համար ջերմաստիճանի դաշտը և ջերմային հոսքի մակերևութային խտությունը (նկ. 7.6): Առաջադրված խնդիրը լուծելու համար գլանաձեւ կոորդինատներում մենք օգտագործում ենք ջերմության հաղորդման դիֆերենցիալ հավասարումը:

Առանցք 2-ն ուղղված է խողովակի առանցքի երկայնքով: Ենթադրենք, որ խողովակի երկարությունը անսահման մեծ է տրամագծի համեմատությամբ: Այս դեպքում կարելի է անտեսել խողովակի վերջի ազդեցությունը առանցքի 2-ի երկայնքով ջերմաստիճանի բաշխման վրա: Ենթադրենք, որ միասնական մատակարարման և ջերմության հեռացման հետ կապված, ներքին մակերեսի վրա ջերմաստիճանը ամենուր հավասար է: CT1, իսկ արտաքին մակերևույթի վրա. CT2 (առաջին տեսակի սահմանային պայմաններ): Այս պարզեցումներով (k / \u003d 0, և հաշվի առնելով ջերմաստիճանի դաշտի համաչափությունը ցանկացած տրամագծի նկատմամբ: Խնդիրը կրճատվում է `որոշելով միաչափ ջերմաստիճանի դաշտը: \u003d / (դ), որտեղ ռ գլանաձեւ պատի ընթացիկ շառավիղն է:

Նկար: 7.6.

Տրամադրված ջերմության հաղորդման դիֆերենցիալ հավասարումը (7.19) օր / օրm \u003d 0-ն ունենում է ձև

Ներկայացնենք նոր փոփոխական

ո՞րն է ջերմաստիճանի գրադիենը (աստիճանը):

Փոփոխականին փոխարինելը և (7.43) –ում մենք ստանում ենք առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարություն ՝ բաժանվող փոփոխականներով

կամ

Ինտեգրվելով ՝ մենք ստանում ենք

Գլանաձեւ պատի համար ջերմաստիճանի գրադիենտը փոփոխական է, որն աճում է նվազող շառավղով է. Հետեւաբար, ջերմաստիճանի գրադիենտը ավելի մեծ է ներքին մակերեսի վրա, քան արտաքինի վրա:

Արժեքը փոխարինելը և (7.44) -ից (7.45) -ից մենք ստանում ենք և

Որտեղ ա բ- անընդհատ ինտեգրում:

Հետեւաբար, պատի հաստության վրա ջերմաստիճանի բաշխման կորը լոգարիթմական կոր է (կոր) ա-բ թուզում 7.6):

Եկեք սահմանենք հաստատունները և և Բ, ընդգրկված է ջերմաստիճանի դաշտի հավասարման մեջ, ելնելով առաջին տեսակի սահմանային պայմաններից: Մակերեսի ներքին շառավղը նշվում է r x, բացօթյա - դ 2 Համապատասխան տրամագծերը նշվում են (1 լ և (1 2 . Հետո մենք ունենք հավասարումների համակարգ

Լուծելով հավասարումների այս համակարգը `մենք ստանում ենք

Theերմաստիճանի զրոյական հավասարումը ստանում է ձևը Երմաստիճանի գրադիենտը որոշվում է (7.45) բանաձևով.

Որովհետեւ? CT1\u003e? CT2, և r, r 2, ապա պրոյեկցիայի աստիճանը՞: շառավղի վեկտորի վրա բացասական է:

Վերջինս ցույց է տալիս, որ այս դեպքում ջերմային հոսքն ուղղվում է կենտրոնից դեպի ծայրամաս:

Որոշել հատվածով անցնող ջերմային հոսքը գլանաձեւ մակերես երկարություն Բ, մենք օգտագործում ենք հավասարումը

(7.46) -ից հետեւում է, որ գլանաձեւ մակերևույթով անցնող ջերմային հոսքը կախված է արտաքին և ներքին ճառագայթների հարաբերությունից r x (կամ տրամագիծը) գ 1 2 / (1 {), և ոչ թե պատի հաստությունից:

Գլանաձեւ մակերևույթի համար մակերևույթի ջերմային հոսքի խտությունը կարելի է գտնել `ջերմային հոսքը Ф ներքին մակերեսի տարածքին հղումով Եվ vp կամ դեպի արտաքին մակերեսը A np Հաշվարկներում երբեմն օգտագործվում է գծային ջերմային հոսքի խտությունը.

(7.47) - (7.49) -ից հետեւում է

Բազմաշերտ գլանաձեւ պատ: Հաշվի առեք ջերմային հաղորդունակությամբ ջերմության տարածումը ներքին տրամագծով A երկարությամբ եռաշերտ գլանաձեւ պատի (խողովակի) մեջ (Նկար 7.7) c1 x և արտաքին տրամագիծը (1 Լ.Անհատական \u200b\u200bշերտերի միջանկյալ տրամագիծը - գ 1 2 և X 2, X 3:

Նկար: 7.7.

Theերմաստիճանը հայտնի՞ է: CT) ներքին և ջերմաստիճանը: CT4 արտաքին մակերեսը: Theերմային հոսքը F և ջերմաստիճանը որոշվո՞ւմ է: ST2 և? STz շերտերի սահմաններում: Եկեք կազմենք ձևի հավասարություն (7.46) յուրաքանչյուր շերտի համար.

Լուծելով (7.51) - (7.53) ջերմաստիճանի տարբերությունների մասով, ապա ավելացնելով տերմին առ տերմին, մենք ստանում ենք

(7.54) -ից մենք ունենք հաշվարկված արտահայտություն եռաշերտ պատի ջերմային հոսքը որոշելու համար.

Եկեք ընդհանրացնենք բանաձեւը (7.55) n- շերտով խողովակի պատին.
Որտեղ ես - շերտի սերիական համարը:

(7.51) - (7.53) -ից մենք գտնում ենք արտահայտություն `ջերմաստիճանը որոշելու համար միջանկյալ շերտերի սահմաններում.

Երմաստիճանը Արվեստ +) սահմանին? -th և (ռ + 1) -րդ շերտը կարելի է որոշել նմանատիպ բանաձևով

Գրականությունը պարունակում է ջերմության հաղորդման դիֆերենցիալ հավասարման լուծույթներ ՝ խոռոչ ոլորտի համար սահմանային պայմանները առաջին տեսակի, ինչպես նաև լուծումներ բոլոր դիտարկվող մարմինների համար `երրորդ տեսակի սահմանային պայմաններում: Մենք չենք համարում այդ խնդիրները: Մեր դասընթացի շրջանակներից դուրս էին նաև կայուն և փոփոխական խաչմերուկների ձողերի (կողոսկրերի) ստացիոնար ջերմահաղորդականության խնդիրները, ինչպես նաև անկայուն ջերմահաղորդականության խնդիրները:

TMT- ի առաջադրանքների հայտարարություն

Մենք ունենք ջերմային բեռների վրա ազդող ծավալ, անհրաժեշտ է որոշել թվային արժեքը q Vև դրա բաշխումը ըստ ծավալի:

Նկար. 2 - Արտաքին և ներքին շփման աղբյուրները

1. Որոշեք ուսումնասիրված ծավալի երկրաչափությունը ընտրված ցանկացած կոորդինատային համակարգում:

2. Որոշեք ուսումնասիրված ծավալի ֆիզիկական բնութագրերը:

3. Որոշեք պայմանները, որոնք նախաձեռնում են TMT գործընթացը:

4. Հետազոտված ծավալում հստակեցրեք ջերմության փոխանցումը կարգավորող օրենքները:

5. Որոշեք նախնական ջերմային վիճակը ուսումնասիրված ծավալում:

TMT- ի վերլուծության ժամանակ լուծված առաջադրանքները.

1. TMT- ի «ուղիղ» առաջադրանքներ

Հաշվի առնելով `1,2,3,4,5

Որոշեք. Ջերմաստիճանի բաշխումը տարածության և ժամանակի մեջ (հետագա 6):

2. TMT- ի «հակադարձ» խնդիրները (հակադարձ):

ա) հակադարձել սահման առաջադրանքներ

Հաշվի առնելով `1,2,4,5,6

Որոշեք ՝ 3;

բ) հակադարձել հավանականություն առաջադրանքներ

Հաշվի առնելով `1,3,4,5,6

Սահմանել ՝ 2;

գ) հակադարձել հետահայաց առաջադրանք

Հաշվի առնելով `1,2,3,4,6

Որոշեք ՝ 5:

3. TMT- ի «ինդուկտիվ» առաջադրանքները

Հաշվի առնելով `1,2,3,5,6

Սահմանել ՝ 4:

HEերմափոխանակման ձևեր և ջերմային գործընթացներ

Գոյություն ունեն ջերմության փոխանցման 3 ձև.

1) ջերմային հաղորդունակությունը ներսում պինդ նյութերah (որոշվում է միկրո մասնիկների, իսկ մետաղներում ՝ ազատ էլեկտրոնների միջոցով);

2) կոնվեկցիա (որոշվում է շարժվող միջավայրի մակրոտնտեսությունների միջոցով).

3) ջերմային ճառագայթում (որոշվում է էլեկտրամագնիսական ալիքների միջոցով):

Պինդ մարմինների ջերմային հաղորդունակությունը

Ընդհանուր հասկացություններ

Երմաստիճանի դաշտ Հետազոտված ծավալի ջերմաստիճանի մի շարք է `վերցված ժամանակի որոշակի պահի:

t (x, y, z, τ) ջերմաստիճանի դաշտը որոշող գործառույթ է:

Տարբերակել ստացիոնար և ոչ ստացիոնար ջերմաստիճանի դաշտը.

ստացիոնար - t (x, y, z);

ոչ ստացիոնար - t (x, y, z, τ).

Կայունության պայմանն է.

Վերցրեք որոշակի մարմին և միացրեք հավասար ջերմաստիճաններով կետերը

Նկար. 3-peratերմաստիճանի գրադիենտ և ջերմային հոսք

աստիճանի տ - ջերմաստիճանի գրադիենտ;

մյուս կողմից: .

Ֆուրիեի օրենքը - պինդ մարմիններում ջերմային հոսքը համաչափ է ջերմաստիճանի գրադիենտին, այն մակերեսին, որով այն անցնում է և դիտարկվող ժամանակային ընդմիջումից:

Համաչափության գործակիցը կոչվում է ջերմային հաղորդունակության գործակից λ , Վտ / մկ

ցույց է տալիս, որ ջերմությունը տարածվում է ջերմաստիճանի գրադիենտ վեկտորին հակառակ ուղղությամբ:

;

Անսահման փոքր մակերեսի և որոշակի ժամանակահատվածի համար.

Atերմային հավասարություն (Ֆուրիեի հավասարություն)

Հաշվի առեք անսահման փոքր ծավալը. dv \u003d dx dy dz

Նկար. 4-Անսահման փոքր ծավալի ջերմային վիճակ

Մենք ունենք Թեյլորի շարք.

Նմանապես

; ; .

Ընդհանուր առմամբ, մենք ունենք խորանարդի մեջ q V ... Եզրակացությունը հիմնված է էներգիայի պահպանման ընդհանրացված օրենքի վրա.

.

Ֆուրիեի օրենքի համաձայն.

; ; .

Վերափոխումներից հետո մենք ունենք.

.

Կայուն գործընթացի համար.

Առաջադրանքների տարածական տարածականությունը որոշվում է այն ուղղությունների քանակով, որոնցում տեղի է ունենում ջերմության փոխանցում:

Միաչափ խնդիր. ;

ստացիոնար գործընթացի համար. ;

համար:

համար: ;

ա - ջերմային դիֆուզիվության գործակից, .կարտեզյան համակարգ;

k \u003d 1, ξ \u003d x -գլանաձեւ համակարգ;

k \u003d 2, ξ \u003d x - գնդաձեւ համակարգ:

Միանշանակ պայմաններ

Եզակիության պայման – սա պայման է, որը թույլ է տալիս իրական լուծումների բազմազանությունից ընտրել մեկական լուծում, որը համապատասխանում է առաջադրանքին: