1 مفهوم انتگرال نامحدود جدول خاصیت. عملکرد ضد اشتقاقی

تابع بازیابی شده از مشتق یا دیفرانسیل خود نامیده می شود ضد اشتقاق.

تعریف.تابع F (x) نامیده می شود ضد اشتقاق برای عملکرد

f (x) در هر بازه ، اگر در هر نقطه از این فاصله باشد

F "(x) \u003d f (x)

یا ، چه

dF (x) \u003d f (x) dx

برای مثال، F (x) \u003d گناه x آنتی ویروسی برای f (x) \u003d cos x در محور عدد کل ایایکس، زیرا

(گناه x) "\u003d cos x

اگر تابع F(ایکس) ضد عملکردی برای عملکرد وجود دارد f(ایکس) بر [ آ; ب] ، سپس تابع F(ایکس) + Cجایی که جهر عدد واقعی نیز برای آن ضد ویروسی است f(ایکس) برای هر ارزشی ج... در واقع ( F(ایکس) + ج)" = F"(ایکس) + ج" = f(ایکس).

مثال.

تعریف.اگر یک F (x) یکی از آنتی ویروس ها برای عملکرد f (x) بر [ آ; ب] ، سپس عبارت F (x) + Cجایی که ج ثابت دلخواه نامیده می شود انتگرال نامعین از عملکرد f (x) و با علامت نشان داده می شود f(ایکس) dx (بخوانید: انتگرال نامعین از f (x) بر dx) بنابراین،

ʃ f (ایکس ) dx \u003d F (ایکس ) + C ,

جایی که f (x) یکپارچه نامیده می شود ، f (x) dx- یک مجتمع ، ایکس متغیر ادغام است و نماد symbol علامت انتگرال نامعین است.

خصوصیات انتگرال نامعین و خصوصیات هندسی آن.

از تعریف انتگرال نامعین نتیجه می شود که:

1. مشتق انتگرال نامشخص برابر است با انتگرال:

واقعاً F "(ایکس) = f(ایکس) و f(ایکس) dx \u003d F(ایکس) + C... سپس

2. دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر با انتگرال است

واقعاً

3. انتگرال نامشخص مشتق برابر است با خود تابع به علاوه یک ثابت دلخواه:

واقعاً F "(ایکس) = f(ایکس) سپس،

4. انتگرال نامشخص دیفرانسیل برابر است با تابع قابل تفکیک به علاوه یک ثابت دلخواه:

واقعاً ... سپس،

5. ضرب ثابت ک(ک 0 ≠) را می توان خارج از علامت انتگرال نامعین گرفت:

6. انتگرال نامعین جمع جبری تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع جبری انتگرال های این توابع:

بیایید نمودار را ضد سود بنامیم منحنی انتگرال F (x)... نمودار سایر داروهای ضد اشتها F (x) + Cبا انتقال موازی منحنی انتگرال بدست می آید F (x) در امتداد محور اوه.

مثال.

جدول انتگرال های اساسی

تکنیک های اساسی ادغام

1. ادغام مستقیم (جدولی).

ادغام مستقیم (جدولی) عبارت است از کاهش انتگرال به فرم جدولی با استفاده از خصوصیات و فرمول های اساسی ریاضیات ابتدایی.

مثال 1

تصمیم:

مثال2 .

تصمیم:

مثال3 .

تصمیم:

2. روش آوردن زیر دیفرانسیل.

مثال 1

تصمیم:

مثال2 .

تصمیم:

مثال3 .

تصمیم:

مثال4 .

تصمیم:

مثال5 .

تصمیم:

مثال6 .

تصمیم:

مثال7 .

تصمیم:

مثال8 .

تصمیم:

مثال9 .

تصمیم:

مثال10 .

تصمیم:

3. روش دوم جمع بندی دیفرانسیل.

مثال 1

تصمیم:

مثال2 .

تصمیم:

4. روش تعویض متغیر (تعویض).

مثال.

تصمیم:

5. روش ادغام توسط قطعات.

طبق این فرمول ، انواع انتگرال زیر گرفته شده است:

1 نوع

, فرمول اعمال می شود n- وقت ، استراحت dv.

2 یک نوع.

, فرمول یک بار اعمال می شود

مثال1 .

تصمیم:

مثال 2

تصمیم:

مثال3 .

تصمیم:

مثال4 .

تصمیم:

ادغام کسرهای منطقی.

کسر منطقی نسبت دو چند جمله ای - درجه است متر و - درجه n,

موارد زیر امکان پذیر است:

1. اگر ، سپس روش تقسیم زاویه را اعمال کنید تا کل قسمت را حذف کنید.

2. اگر مخرج دارای یک مثلث مربع نیز باشد ، در این صورت از روش مکمل یک مربع کامل استفاده می شود.

مثال 1

تصمیم:

مثال2 .

تصمیم:

3. روش ضرایب تعریف نشده در گسترش کسر منطقی منظم به جمع ساده ترین کسرات.

هر کسر عقلانی منظم ، جایی که می تواند به عنوان مجموع ساده ترین کسرات نشان داده شود:

جایی که A ، B ، C ، D ، E ، F ، M ، N ، ...‒ ضرایب تعریف نشده

برای یافتن ضرایب تعریف نشده لازم است که سمت راست را به یک مخرج مشترک برسانید. از آنجا که مخرج با مخرج کسر در سمت راست منطبق است ، می توان آنها را کنار گذاشت و اعداد را برابر کرد. سپس ، برابر کردن ضرایب در همان درجه ها ایکس در دو طرف چپ و راست ، ما یک سیستم از معادلات خطی با n- ناشناخته. با حل این سیستم ، ضرایب مورد نیاز را پیدا می کنیم آ, ب, ج, د و غیره. بنابراین ، کسر عقلانی منظم را به ساده ترین کسرات گسترش می دهیم.

بیایید نمونه هایی از گزینه های احتمالی را در نظر بگیریم:

1. اگر فاکتورهای مخرج خطی و متفاوت باشند:

2. اگر عوامل کوتاه در میان عوامل مخرج وجود دارد:

3. اگر در میان عوامل مخرج یک مثلث مربع وجود دارد ، که به عوامل تجزیه نمی شود:

مثال ها: کسر منطقی را به جمع ساده ترین ها بسط دهید. ادغام کنید

مثال 1

از آنجا که مخرج کسرها برابر هستند ، باید عددها نیز برابر باشند ، یعنی

مثال 2

مثال3 .

درس 2. حساب انتگرال

انتگرال نامشخص و آن معنای هندسی... خصوصیات اساسی انتگرال نامعین.

روشهای اساسی ادغام انتگرال نامعین.

انتگرال مشخص و معنای هندسی آن.

فرمول نیوتن-لایب نیتس. روشهای محاسبه انتگرال مشخص.

با دانستن مشتق یا افتراقی یک تابع ، می توانید خود تابع را پیدا کنید (بازگرداندن تابع). این عمل ، در مقابل تمایز ، ادغام نامیده می شود.

عملکرد ضد اشتقاقیدر رابطه با این تابع ، چنین تابعی نامیده می شود
، مشتق آن برابر با تابع داده شده است ، یعنی

برای این عملکرد ضد ویروسی بی شماری وجود دارد ، از هر یک از توابع
، همچنین ضد اشتها برای.

مجموعه تمام آنتی ویروس ها برای عملکرد معین آن است انتگرال نامعین با نماد مشخص می شود:

جایی که

یکپارچه ، تابع نامیده می شود
- یکپارچه

معنای هندسی انتگرال نامعین.از نظر هندسی ، انتگرال نامعین خانواده ای از منحنی های انتگرال در صفحه است که با ترجمه موازی نمودار تابع بدست می آید
در امتداد مختصر (شکل 3).

خصوصیات اساسی انتگرال نامعین

ویژگی 1. مشتق انتگرال نامشخص برابر است با انتگرال:

ویژگی 2. دیفرانسیل انتگرال نامشخص برابر است با انتگرال:

ویژگی 3. انتگرال دیفرانسیل یک تابع برابر است با این تابع به علاوه ساختار:

ویژگی 4. خطی بودن انتگرال.

جدول انتگرال های اساسی

	انتگرال
آرام بخشیدن
نشان دهنده
مثلثاتی
معکوس مثلثاتی

روشهای اساسی ادغام

ادغام توسط قطعات آیا روشی با استفاده از فرمول زیر است:

.

این روش در صورت انتگرال استفاده می شود
حل آن آسان تر از
... به عنوان یک قاعده ، این روش برای حل انتگرال های فرم استفاده می شود
جایی که
چند جمله ای است و یکی از توابع زیر است:
,
,
, , ,
,
.

برخی از عملکردها را در نظر بگیرید
در فاصله تعریف شده است
، شکل. 4- 5 عمل انجام دهیم.

1. بازه را به صورت دلخواه در نقاط تقسیم کنید قطعات. ما نشان می دهیم
، و طولانی ترین طول این بخشهای جزئی با نشان داده می شود ، به درجه بخش تقسیم خواهد شد.

2. در هر سایت جزئی
یک نکته خودسرانه بگیرید و مقدار تابع را محاسبه کنید
.

3. بیایید یک اثر بسازیم

4. بیایید مقدار را بسازیم
... این مبلغ را جمع انتگرال یا مجموع ریمان می نامند.

5. خرد کردن خرد کردن (با افزایش تعداد نقاط خردایش) و همزمان هدایت درجه خردایش به صفر (
) یعنی (با افزایش تعداد نقاط خرد کردن ، اطمینان حاصل خواهیم کرد که طول تمام بخشهای جزئی کاهش یافته و به صفر می رسد
) ، ما حد توالی مبالغ انتگرال را پیدا خواهیم کرد

اگر این حد وجود داشته باشد ، به روش تقسیم و انتخاب نقاط بستگی ندارد ، آنرا فراخوانی می کنیم یک انتگرال مشخص تابع با فاصله است و به شرح زیر مشخص می شود:
.

معنای هندسی یک انتگرال مشخص.بگذارید فرض کنیم که تابع مداوم و مثبت است. یک ذوزنقه خمیده را در نظر بگیرید آ ب پ ت(شکل 4) جمع انتگرال
مجموع مساحت مستطیل های دارای پایه را به ما می دهد
و ارتفاعات
... می توان آن را به عنوان مقدار تقریبی مساحت ذوزنقه خمیده در نظر گرفت آ ب پ ت ، یعنی

,

علاوه بر این ، این برابری دقیق تر ، تقسیم بندی دقیق تر و در حد برابر خواهد بود n→+∞ و λ → 0 ما بدست خواهیم آورد:

.

این معنای هندسی یک انتگرال مشخص است.

خصوصیات اساسی یک انتگرال مشخص

ویژگی 1. یک انتگرال مشخص با همان محدوده ها برابر با صفر است.

ویژگی 2. هنگامی که محدودیت های ادغام معکوس می شوند ، انتگرال مشخص علامت خود را به عکس تغییر می دهد.

ویژگی 3. خطی بودن انتگرال.

ویژگی 4. اگر تابع باشد ، اعداد هرچه باشد
در هر یک از فواصل قابل ادغام است
,
,
(شکل 5) ، سپس:

قضیهاگر تابع روی فاصله مداوم باشد ، انتگرال مشخص این تابع نسبت به فاصله برابر است با تفاوت بین مقادیر برخی از آنتی ویروس های این تابع در حد بالا و پایین ادغام ، یعنی

(فرمول نیوتن-لایب نیتس) .

این فرمول یافتن انتگرال های مشخص را به یافتن انتگرال های نامعین کاهش می دهد. تفاوت
افزایش ضد مشتق نامیده می شود و نشان داده می شود
.

روشهای اصلی برای محاسبه یک انتگرال مشخص را در نظر بگیرید: تغییر متغیرها (جایگزینی) و ادغام توسط قطعات.

تعویض (تغییر متغیر) در یک انتگرال مشخص -شما باید موارد زیر را انجام دهید:

و
;

اظهار نظر. هنگام محاسبه انتگرال های مشخص با استفاده از تعویض ، دیگر نیازی به بازگشت به استدلال اصلی نیست.

2. ادغام توسط قطعات در یک انتگرال مشخص استفاده از فرمول زیر انجام می شود:

.

نمونه هایی از حل مسئله

تمرین 1. انتگرال نامعین را با یکپارچه سازی مستقیم پیدا کنید.

1.
... با استفاده از خاصیت انتگرال نامعین ، یک فاکتور ثابت را خارج از علامت انتگرال می گیریم. سپس ، با انجام تحولات ریاضی ابتدایی ، یکپارچه را به یک فرم قانون-قانون می رسانیم:

.

وظیفه 2 انتگرال نامعین را با استفاده از روش جایگزینی متغیر پیدا کنید.

1.
... بیایید متغیر را تغییر دهیم
، سپس. انتگرال اولیه به صورت زیر است:

بنابراین ، یک انتگرال نامعین از فرم جدولی دریافت کردیم: یک تابع قدرت. با استفاده از قانون پیدا کردن انتگرال نامعین تابع توان ، می یابیم:

پس از جایگزینی معکوس ، پاسخ نهایی را دریافت می کنیم:

وظیفه 3 انتگرال نامعین را با استفاده از روش ادغام توسط قطعات پیدا کنید.

1.
... اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: معنی ... اصلی مفهوم انتگرال حساب - مفهوم تعریف نشده انتگرال ... تعریف نشده انتگرال اصلی خواص تعریف نشده انتگرال از جدول استفاده کنید عمده تعریف نشده ...

برنامه کاری چرخه رشته دانشگاهی "ریاضیات عالی"

برنامه کاری

... اصلی قوانین... انتگرال حساب توابع یک متغیر Antiderivative. نا معلوم انتگرال و خود خواص ... انتگرال و خود هندسی معنی. انتگرال ... مختصات. نا معلوم انتگرال و ... و عملی درس ها". پتروشکو I.M. ، ...

تعریف داروی ضد اشتها.

ضد مشتق یک تابع f (x) در فاصله (a؛ b) یک تابع F (x) است به طوری که برابری هر x از یک بازه داده شده برقرار است.

اگر این واقعیت را در نظر بگیریم که مشتق ثابت C برابر با صفر است ، پس برابری ... بنابراین ، تابع f (x) برای ثابت C دلخواه دارای مجموعه ای از ضد مشتقات F (x) + C است و این ضد مشتقات با یک مقدار ثابت دلخواه از یکدیگر متفاوت هستند.

تعریف انتگرال نامعین.

به کل مجموعه آنتی ویروس های تابعی f (x) انتگرال نامعین این عملکرد گفته می شود و نشان داده می شود .

اصطلاح گفته می شود یکپارچهو f (x) - یکپارچه... انتگرال دیفرانسیل تابع f (x) است.

عمل یافتن یک تابع ناشناخته برای یک دیفرانسیل معین نامیده می شود نا معلوم یکپارچه سازی ، زیرا نتیجه یکپارچه سازی یک تابع F (x) نیست ، بلکه مجموعه آنتی ویروس های F (x) + C است.

بر اساس خصوصیات مشتق ، می توان فرموله و اثبات کرد خصوصیات انتگرال نامشخص (خواص آنتی ویروس).

برابري هاي مياني ويژگي هاي اول و دوم انتگرال نامعين براي توضيح داده مي شود.

برای اثبات خصوصیات سوم و چهارم ، کافی است مشتقات طرف راست برابرها را پیدا کنید:

این مشتقات برابر با مجتمع ها هستند ، که اثبات آن به موجب ویژگی اول است. در آخرین انتقالها نیز استفاده می شود.

بنابراین ، مسئله یکپارچه سازی معکوس مسئله تمایز است ، و یک ارتباط بسیار نزدیک بین این مشکلات وجود دارد:

• اولین ویژگی به فرد اجازه می دهد تا ادغام را بررسی کند. برای بررسی صحت یکپارچه سازی انجام شده ، کافی است مشتق نتیجه بدست آمده را محاسبه کنید. اگر مشخص شود که تابعی که در نتیجه تمایز بدست آمده برابر با یکپارچه است ، این بدان معنی است که ادغام به درستی انجام شده است.
• خاصیت دوم انتگرال نامعین به ما اجازه می دهد که ضد اشتقاق آن را از دیفرانسیل شناخته شده تابع پیدا کنیم. محاسبه مستقیم انتگرال های نامعین بر اساس این ویژگی است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال.

ضد مشتق تابعی را پیدا کنید که مقدار آن برابر با یک باشد در x \u003d 1.

تصمیم گیری

ما از حساب دیفرانسیل می دانیم که (فقط به جدول مشتقات توابع اساسی نگاه کنید). بدین ترتیب، ... توسط خاصیت دوم ... یعنی ، ما ضد ویروسی زیادی داریم. برای x \u003d 1 مقدار را بدست می آوریم. به شرط ، این مقدار باید برابر با یک باشد ، بنابراین ، C \u003d 1. آنتی ویروس مورد نظر شکل می گیرد.

مثال.

انتگرال نامعین را پیدا کنید و نتیجه را با تمایز بررسی کنید.

تصمیم گیری

فرمول سینوسی دو زاویه از مثلثات ، بنابراین

انتگرال قسمت مهمی از حساب دیفرانسیل است. انتگرال ها می توانند دو ، سه و غیره باشند. انواع مختلف انتگرال برای یافتن سطح و حجم اجسام هندسی استفاده می شود.

انتگرال نامعین فرم: \\ (∫f (x) \\، dx \\) و انتگرال مشخص: \\ (\\ int_a ^ b \\! F (x) \\، dx \\)

مساحت صفحه محدود شده توسط نمودار انتگرال مشخص:

عملیات یکپارچه سازی نقطه مقابل تمایز است. به همین دلیل ، ما باید داروی ضد مشتق ، عملکرد ، جدول مشتقات را به خاطر بسپاریم.

تابع \\ (F (x) \u003d x ^ 2 \\) ضد اشتقاق تابع \\ (f (x) \u003d 2x \\) است. توابع \\ (f (x) \u003d x ^ 2 + 2 \\) و \\ (f (x) \u003d x ^ 2 + 7 \\) نیز برای عملکرد \\ (f (x) \u003d 2x \\) ضد ساز هستند. \\ (2 \\) و \\ (7- \\) ثابتهایی هستند که مشتقات آنها برابر با صفر است ، بنابراین ما می توانیم آنها را به همان اندازه که دوست داریم جایگزین کنیم ، مقدار ماده مخدر تغییری نخواهد کرد. برای نوشتن انتگرال نامعین از \\ (∫ \\) استفاده کنید. انتگرال نامعین مجموعه ای از تمام آنتی ویروس های عملکرد \\ (f (x) \u003d 2x \\) است. عملیات یکپارچه سازی نقطه مقابل تمایز است. \\ (∫2x \u003d x ^ 2 + C \\) ، جایی که \\ (C \\) ثابت ادغام است ، یعنی اگر مشتق را محاسبه کنیم ((x ^ 2 \\) ، \\ (2x \\) بدست می آوریم ، و این \\ (x2x \\) است. آسان است ، نه؟ اگر نمی فهمید ، پس باید مشتق تابع را تکرار کنید. اکنون می توانیم فرمولی را بدست آوریم که با استفاده از آن انتگرال را محاسبه خواهیم کرد: \\ (^u ^ ndu \u003d \\ frac (u ^ n + 1) (n + 1) ، n ≠ -1 \\)... ما 1 را کم می کنیم ، اکنون 1 را اضافه می کنیم ، n نمی تواند 0 باشد. همچنین قوانین دیگری برای ادغام سایر توابع اساسی وجود دارد:

حل یک انتگرال نامشخص ، روند معکوس یافتن داروهای ضد مشتق است معادله دیفرانسیل... تابعی را پیدا کردیم که مشتق آن انتگرال است و فراموش نکنید که "+ C" را در انتها اضافه کنید.

اصول ناپدید شدن یکپارچه به طور مستقل توسط آیزاک نیوتن و گوتفرید لایب نیتس در اواخر قرن هفدهم تدوین شد. برنارد ریمان یک تعریف ریاضی دقیق از انتگرال ارائه داد. اولین روش سیستماتیک مستند که قادر به تعیین انتگرال است ، روش ناپدید شدن ستاره شناس یونان باستان Eudoxus است ، که سعی کرد مناطق و حجم ها را با تجزیه آنها در تعداد نامحدودی از مناطق و حجم های شناخته شده پیدا کند. این روش در قرن 3 قبل از میلاد توسط ارشمیدس بیشتر توسعه و استفاده شد. ه و برای محاسبه نواحی پارابولا و تقریب با مساحت دایره استفاده شد.

روشی مشابه در حدود قرن 3 میلادی توسط لیو هوی ، که از آن برای یافتن مساحت دایره استفاده کرد ، به طور مستقل در چین توسعه یافت. بعداً این روش در قرن پنجم توسط ریاضیدانان چینی - پدر و پسر زو چونگزی و زو گونگ برای یافتن حجم کره استفاده شد.

پیشرفتهای قابل توجه بعدی در حساب انتگرال تا قرن هفدهم ظاهر نشد. در این زمان ، کار کاوالیری و فرما پایه ریزی حساب دیفرانسیل مدرن را آغاز کرد.

به طور خاص ، قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال اجازه می دهد تا حل یک دسته از مسائل گسترده تر است. ساختار ریاضی پیچیده ای که نیوتن و لایب نیتس توسعه داده اند به همان اندازه مهم است. این ساختار از انتگرال ها مستقیماً از کار لایب نیتس گرفته شده و به حساب انتگرال مدرن تبدیل شده است و حساب توسط ریمان با استفاده از محدودیت ها اصلاح شد. متعاقباً ، توابع عمومی تری مورد توجه قرار گرفتند ، به ویژه در زمینه تحلیل فوریه ، که تعریف ریمان برای آنها اعمال نمی شود. Lebesgue تعریف دیگری از یک انتگرال را براساس تئوری اندازه گیری (زیرمجموعه ای از تحلیل واقعی) فرموله کرد.

نت مدرن برای انتگرال نامعین توسط گوتفرید لایب نیتس در سال 1675 معرفی شد.

از انتگرال به طور گسترده ای در بسیاری از زمینه های ریاضیات استفاده می شود. به عنوان مثال ، در نظریه احتمال ، از انتگرال ها برای تعیین احتمال سقوط یک متغیر تصادفی خاص در یک محدوده خاص استفاده می شود.

از انتگرال ها می توان برای محاسبه مساحت یک منطقه دو بعدی با یک مرز منحنی و همچنین برای محاسبه حجم یک جسم سه بعدی که دارای مرز منحنی است استفاده کرد.

از انتگرال ها در فیزیک ، در مناطقی مانند حرکت شناسی ، برای یافتن تغییر مکان ، زمان و سرعت استفاده می شود.

مفهوم انتگرال نامعین. تمایز عملی است که توسط آن ، برای یک تابع معین ، مشتق یا افتراق آن پیدا می شود. به عنوان مثال ، اگر F (x) \u003d x 10 ، پس F "(x) \u003d 10x 9 ، dF (x) \u003d 10x 9 dx.

ادغام -نقطه مقابل تمایز است. با ادغام بر روی مشتق یا دیفرانسیل یک تابع ، خود تابع پیدا می شود. به عنوان مثال ، اگر F "(x) \u003d 7x 6 ، پس F (x) \u003d\u003d x 7 ، از (x 7)" \u003d 7x 6.

تابع قابل تفکیک F (x) ، xЄ] a ؛ b [نامیده می شود ضد اشتقاق برای تابع f (x) در فاصله] a؛ B [اگر f "(x) \u003d f (x) برای هر xЄ] a؛ b [.

بنابراین ، برای تابع f (x) \u003d 1 / cos 3 x ، ضد مشتق تابع F (x) \u003d tan x است ، از آنجا که (tan x) "\u003d 1 / cos 2 x.

مجموعه تمام ضد مشتقات f (x) در فاصله] a؛ b [نامیده می شود انتگرال نامعین از تابع f (x) در این فاصله و نوشتن f (x) dx \u003d F (x) + С. در اینجا f (x) dx یکپارچه است.

F (x) - تابع زیر انتگرالی ؛ متغیر x یکپارچه سازی: C - ثابت دلخواه.

به عنوان مثال ، 5x 4 dx \u003d x 5 + C ، از آنجا که (x 3 + C) "\u003d 5x 4.

بگذارید بدهیم خصوصیات اساسی انتگرال نامعین... 1. دیفرانسیل انتگرال نامشخص برابر است با انتگرال:

D f (x) dx \u003d f (x) dx.

(2) انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع برابر است با این تابع اضافه شده به یک ثابت دلخواه ، یعنی.

3- عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال نامعین خارج کرد:

af (x) dx \u003d a f (x) dx

4. انتگرال نامعین مجموع جبر توابع برابر است با مجموع جبری انتگرال های نامعین هر تابع:

(f 1 (x) ± f 2 (x)) dx \u003d f 1 (x) dx ± f 2 (x) dx.

فرمول های اساسی ادغام

(انتگرال جدولی).

6.

مثال 1برای پیدا کردن

تصمیم گیری ما تعویض را 2 - 3x 2 \u003d t و سپس -6xdx \u003d dt ، xdx \u003d - (1/6) dt می کنیم. علاوه بر این ، ما دریافت می کنیم

مثال 3 برای پیدا کردن

تصمیم گیری ما 10x \u003d t قرار می دهیم سپس 10dx \u003d dt ، از آنجا dx \u003d (1/10) dt.

3.

بنابراین ، هنگام پیدا کردن sinl0xdx ، می توانید از فرمول sinkxdx \u003d - (1 / k) cos kx + C استفاده کنید ، جایی که k \u003d 10.

سپس sinl0xdx \u003d - (1/10) cos10x + C

سوالات و تمرینات خودآزمایی

1. به چه عملی ادغام گفته می شود؟

2. به چه عملکردی ضد عملکرد برای f (x) گفته می شود؟

3- تعریف انتگرال نامعین را بیان کنید.

4- مشخصات اصلی انتگرال نامعین را فهرست کنید.

5- از چه اقدامی می توان برای بررسی ادغام استفاده کرد؟

6. فرمولهای اصلی ادغام را بنویسید (انتگرال جدولی).

7. انتگرال ها را پیدا کنید: الف) ب) ج)

جایی که a حد پایین است ، b حد بالایی است ، F (x) مقداری ضد عملکرد f (x) است.

این فرمول ترتیب محاسبه یک انتگرال مشخص را نشان می دهد 1) یکی از آنتی ویروسهای F (x) این عملکرد را پیدا کنید. 2) مقدار F (x) را در x \u003d a و x \u003d b پیدا کنید. 3) اختلاف F (b) - F (a) را محاسبه کنید.

مثال 1انتگرال را محاسبه کنید

تصمیم گیری بیایید از تعریف درجه با نمای کسری و منفی استفاده کنیم و انتگرال مشخص را محاسبه کنیم:

2. بخش ادغام را می توان به بخشهایی تقسیم کرد:

3. عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

4. انتگرال مجموع توابع برابر است با مجموع انتگرال تمام اصطلاحات:

2) حدود یکپارچه سازی را برای متغیر t مشخص کنید. برای x \u003d 1 t n \u003d 1 3 + 2 \u003d 3 ، برای x \u003d 2 t در \u003d 2 3 + 2 \u003d 10 بدست می آوریم.

مثال 3 انتگرال را محاسبه کنید

تصمیم گیری 1) قرار دادن cos x \u003d t ؛ سپس - sinxdx \u003d dt و

sinxdx \u003d -dt. 2) محدودیت های یکپارچه سازی را برای متغیر t تعریف می کنیم: t n \u003d cos0 \u003d 1: t در \u003d cos (π / 2) \u003d 0.

3) بیان یکپارچه از نظر t و dt و عبور از محدودیت های جدید ، بدست می آوریم

بیایید هر انتگرال را جداگانه محاسبه کنیم:

مثال 5 مساحت شکل محصور شده با سهمیه y \u003d x 2 ، خطوط مستقیم x \u003d - 1 ، x \u003d 2 و ابسیسا را \u200b\u200bمحاسبه کنید (شکل 47).

تصمیم گیری با استفاده از فرمول (1) ، ما بدست می آوریم

آنهایی که S \u003d 3 مربع واحد

مساحت شکل ABCD (شکل 48) ، محدود شده توسط نمودارها توابع مداوم y \u003d f 1 (x) و y f 2 \u003d (x) ، جایی که x Є [a، b] ، براساس بخشهای x \u003d a و x \u003d b ، با فرمول محاسبه می شود

		حجم یک جسم تشکیل شده توسط چرخش در اطراف محور Oy یک ذوزنقه منحنی خطی aABb محدود شده توسط یک منحنی مداوم x \u003d f (y) ، جایی که y Є [a ، b] ، یک بخش [a ، b] از محور Oy ، بخشهایی از خطوط مستقیم y \u003d a و y \u003d b (شکل 53) ، با فرمول محاسبه می شود مسیری که نقطه طی می کند... اگر یک نقطه در یک خط مستقیم حرکت کند و سرعت آن v \u003d f (t) یک تابع شناخته شده از زمان t باشد ، پس مسیر طی شده توسط یک نقطه در یک دوره زمانی با فرمول محاسبه می شود سوالات خودآزمایی 1. تعریف انتگرال مشخص را بیان کنید. 2. مشخصات اصلی انتگرال مشخص را فهرست کنید. 3. معنای هندسی یک انتگرال مشخص چیست؟ 4- فرمولهایی را برای تعیین مساحت یک شکل مسطح با استفاده از یک انتگرال مشخص بنویسید. 5. برای یافتن حجم بدنه انقلاب از چه فرمول هایی استفاده می شود؟ 6. فرمولی برای محاسبه مسیر طی شده توسط بدن بنویسید. 7. فرمولی برای محاسبه کار یک نیروی متغیر بنویسید. 8- از چه فرمولی برای محاسبه نیروی فشار مایع روی صفحه استفاده می شود؟