Picardova Metóda Picard Charles Émile (1856-1941) - ریاضیات فرانکوزکی.
Táto Metóda umožňuje získať približné riešenie diferenciálnej rovnice (1) vo forme analyticky prezentovanej funkcie.
Nech je za podmienok existencecie vety potrebné nájsť riešenie rovnice (1) s počiatočnou podmienkou (2). Integrujme ľavú a pravú stranu rovnice (1) v rozsahu od do:
Riešenie integrálnej rovnice (9) bude spĺňať diferenciálnu rovnicu (1) a počiatočnú podmienku (2). V skutočnosti dostávame:
یکپارچه سازی rovnica (9) برای استفاده از برنامه های کاربردی پس از نصب. Pravú stranu vzorca (9) budeme považovať za operator mapujúci akúkoľvek funkciu (z tryy funkcií، قبل از ایجاد یکپارچه وجود v (9)) و inú funkciu tej istej tryy:
Ak je tento operátor kontrahujúci (čo vyplýva z podmienky Picardovej vety)، potom je možné zostrojiť postupnosť aproximácií konvergujúcich k presnému riešeniu. Zoberie sa počiatočná proximácia a nájde sa prvá aproximácia
یکپارچه vpravo obsahuje iba premennú x; po nájdení tohto integrálu dostaneme analytic výraz pre aproximáciu ako funkciu premennej x. Ďalej nahradíme y na pravej strane rovnice (9) nájdenou hodnotou a získame druhú aproximáciu
در Vo všeobecnom prípade má iteračný vzorec tvar
(n = 1، 2 ...) (10)
Cyklická application vzorca (10) dáva postupnosť funkcií
konvergujúce k riešeniu integrálnej rovnice (9) (a následne diferenciálnej rovnice (1) s počiatočnými podmienkami (2)). به تساوی znamená k-tý termín postupnosť (11) je aproximáciou presného riešenia rovnice (1) s určitým kontrolovaným stupňom presnosti.
Všimnite si, že pri použití metódy postupných aproximácií nie je potrebná analyticita pravej strany diferenciálnej rovnice, preto je možné túto metódu použiť aj v prípadoch.
روش چیبا پیکاردووی
Odhad chyby pre k-tu aproximáciu je daný vzorcom
kde y (x) je presné riešenie, je Lipschitzova konštanta z nerovnosti (4).
V praxi sa Picardova metóda používa veľmi zriedkavo. Jedným Z dôvodov JE، ZE integrály، ktoré JE potrebné vypočítať PRI konštrukcii ďalších aproximácií، SA najčastejšie analyticky nenachádzajú ICH aplikácia NA výpočet numerických metód natoľko komplikuje riešenie، ز JE oveľa pohodlnejšie priamo aplikovať INE metódy، ktoré SU spočiatku číselné.
Príklady riešenia problému v Maple
Úloha číslo 1: Metódou postupných aproximácií nájdite hodnotu, kde je riešenie diferenciálnej rovnice: splnenie počiatočnej podmienky na segmente, urobenie kroku (výpočet na druhú aproximáciu).
Vzhľadom na to: - Diferenciálnej rovnice
Počiatočný stav
فاصله
نجس: ویزنام
ریشنیه:
> y1: = zjednodušiť (1 + int (x + 1، x = 0… x));
> y2: = zjednodušiť (1 + int (x + zjednodušiť (1 + int (x + 1, x = 0… x)) ^ 2, x = 0… x));
Nájdite hodnotu pri x = 0.5:
Úloha číslo 2: Pomocou metódy postupných aproximácií nájdite približné riešenie diferenciálnej rovnice v, spĺňajúce počiatočnú podmienku.
Vzhľadom na to: - Diferenciálnej rovnice
Počiatočný stav
نجس: ویزنام
ریشنیه:
Na segmente s krokom (ľubovoľne zvolenom) nájdeme približné riešenie tohto DE.
Pre tento prípad napíšeme vzorec v tvare (10)
> y1: = zjednodušiť (1 + int (x * 1، x = 0… x));
>y2: = zjednodušiť (1 + int (x * zjednodušiť (1 + int (x * 1, x = 0… x))، x = 0… x));
تقریبی در مورد سه بعدی:
> y3: = zjednodušiť (1 + int (x * zjednodušiť (1 + int (x * zjednodušiť) (1 + int (x * 1، x = 0… x))، x = 0… x))، x = 0 ... ایکس))؛
Nájdime približné riešenie tohto DE na, preto v tretej aproximácii namiesto x dosadíme a dostaneme:
Porovnajme ziskaný približný výsledok s presným riešením DE:
Podľa výsledkov tabuľky je vidieť, že chyba výpočtu je veľmi malá.
Budme uvažovať obyčajnú diferenciálnu rovnicu (ODR) prvého rádu
s počiatočnou podmienkou
y (x 0) = y 0، (2)
kde f (x) je nejaká daná، vo všeobecnom prípade، nelineárna funkcia dvoch premenných. Budeme predpokladať, že pre daný problem (1) - (2), nazývaný počiatočný problem alebo Cauchyho problem, sú splnené požiadavky, ktoré zabezpečujú existenciu.
Napriek zdanlivej jednoduchosti rovnicu (1) ju riešte analyticky, t.j. نجس spoločné rozhodnutie y = y (x، C)، aby sme z nej potom extrahovali integrálnu krivku y = y (x) prechádzajúcu daným bodom (x 0; y 0) je možné len pre niektoré špeciálne typy takýchto rovníc. Preto, ako v príbuznom probléme výpočtu integrálov pre (1) - (2), je potrebné spoliehať sa na približné metódy riešenia počiatočných problémov pre ODR, ktoré možno rozdeliť do troch skup
1) روش تحلیلی približné;
2) grafický alebo strojový متد گرافیکی;
3) روش عددی.
Metódy prvej skupiny zahŕňajú tie, ktoré umožňujú nájsť aproximáciu riešenia y (x) okamžite vo forme nejakej “dobrej” funkcie. φ (NS). Napríklad je všeobecne známy روش موکنینوفیچ رادوف، v jednej z implementácií je znázornenie požadovanej funkcie y (x) segmentom Taylorovho radu, kde Taylorove koeficienty obsahujúce derivácie vyšších rádov sa nachádzajú postupným rodovmo derivovaním 1 Ďalším zástupcom tejto skupiny metód je metóda postupných aproximácií، ktorej podstata je uvedená nižšie.
názov متد گرافیکی hovorí o približnom zobrazení požadovaného riešenia y (x) na intervale vo forme grafu, ktorý je možné vykresliť podľa určitých pravidiel súvisiacich s grafickou interpretáciou tohto problému. Základom počítačových grafických metód na približné riešenie je fyzikálna alebo možno presnejšie povedané elektrotechnická interpretácia počiatočných úloh pre určité typy rovníc. قبل از تحقق بخشیدن به فرآیندهای الکترونیکی الکترونیکی و تکنیکی و تکنیکی برای انجام فرآیندهای مختلف. Zmena parametrov rovnice vedie k adekvátnej zmene v správaní riešení, čo je základom pre špecializované analógové počítače (AVM).
Napokon súčasnosti najvýznamnejšie V، charakterizované prudkým rozvojom prenikaním digitálnej výpočtovej techniky انجام všetkých sfér ľudskej činnosti، سو numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc، ktoré zahŕňajú získanie číselnej tabuľky približných hodnôt یی požadované riešenie Y (x) را NA určitej mriežke 
hodnoty argumentu x. Ďalšia prezentácia bude venovaná týmto metódam. Čo robiť so získanými číselnými hodnotami riešenia závisí od použitej formulácie problému. Ak hovoríme o nájdení iba hodnoty y (b)، potom bod b je zahrnutý ako konečný bod v system návrhových bodov xi a všetky približné hodnoty yi ≈ y (xi), okrem poslednej, sajko Ak potrebujete mať približné riešenie y (x) v ľubovoľnom bode x، potom môžete na výslednú číselnú tabuľku yi použiť ktorúkoľvek z metód na aproximáciu funkcií tabuladovy. hodnoty. Možné sú aj iné použitia číselných údajov riešenia.
Dotknime sa jednej približnej analytickej metódy riešenia počiatočnej úlohy (1) - (2)، v ktorej je hľadané riešenie y = y (x) v niektorom pravom okolí bodu x 0 limitou postupínosturbit.
Integrujme ľavú a pravú stranu rovnice (1) v medziach od x 0 do x:
Ak teda vezmeme do úvahy skutočnosť, že jedna z primitív pre y "(x) je y (x), dostaneme
alebo pomocou počiatočnej podmienky (2)،
(3)
Daná diferenciálna rovnica (1) s počiatočnou podmienkou (2) bola teda transformovaná na integrálnu rovnicu (tu neznáma funkcia je zahrnutá pod znamienko integrálu).
Výsledná integrálna rovnica (3) má tvar úlohy s pevným bodom 
قبل از عملیات 
Formálne možno na tento problem použiť metódu Jednoduchej Iterácie
dostatočne podrobne uvažované vo vzťahu k systémom lineárnych a nelineárnych algebraických a transcendentálnych rovníc. Ak vezmeme konštantu y 0 uvedenú v (2) ako počiatočnú funkciu y 0 (x), pomocou vzorca (4) pre n = 0, nájdeme prvú aproximáciu
Jeho substitúcia v (4) za n = 1 dáva druhú aproximáciu
در Táto približná analytická metóda, nazývaná metóda postupných aproximácií alebo Picardova metóda, je teda určená vzorcom
(5)
kde n = 0،1، 2، ... a yo (x) = y0.
Zaznamenali sme dve charakteristiky Picardovej metódy postupných aproximácií, ktoré možno pripísať negatívnym. Po prvé, kvôli dobre známym problémom s účinným nájdením primitívnych derivátov je metóda (5) zriedka realizovateľná vo svojej čistej forme. Po druhé, ako je možné vidieť z vyššie uvedeného tvrdenia, táto metóda by sa mala považovať za lokálnu, vhodnú na aproximáciu riešenia v malom pravom susedstve počiatočného bodu. Vyššia hodnota Picardova metóda má skôr dokázať existenciu a jedinečnosť riešenia Cauchyho problému، než ho nájsť v praxi.
Lekcia číslo 17. Eulerove metódy.
Cieľ - oboznámiť študentov s Eulerovými metódami riešenia Cauchyho úlohy pre obyčajné diferenciálne rovnice.
Táto Metóda je Predstaviteľom tryy približných metód
Myšlienka metódy je mimoriadne jednoduchá a scvrkáva sa na sekvenčný postup.
aproximácie na riešenie integrálnej rovnice, ku ktorej
je daná pôvodná diferenciálna rovnica.
مشکل Nech je položený Cauchyho
,
Integrujme napísanú rovnicu
.
(5.2)
Postup postupných aproximácií Picardovej metódy je Implementovaný podľa nasledujúcej schémy
,
(5.3)
پریکلاد ... Vyriešte Picardovu rovnicu
,
Riešenie tejto rovnice nie je vyjadrené elementárnymi funkciami.
,
Je vidieť, že séria rýchlo konverguje. Metóda je vhodná، ak integrály možno brať analyticky.
Metódy Dokážme Konvergenciu Picardovej Metódy. Vpustite nejaké ohraničené
domény je pravá strana spojitá a navyše spĺňa Lipschitzovu podmienku vzhľadom na premennú، t.j.
kde je nejaká konštanta.
Vzhľadom na ohraničenosť domény, nerovnosti
Odčítaním vzorca (5.2) od (5.3) dostaneme pre moduly pravý a ľavý
,
.
Nakoniec pomocou Lipschitzovej podmienky continuity ziskame
,
(5.4)
kde je chyba približného riešenia.
Dôsledná aplikácia vzorca (5.4) در dáva nasledujúci reťazec vzťahov berúc do úvahy skutočnosť, že
,
,
.
Pretože، potom mame
.
Nahradením Stirlingovým vzorcom nakoniec získame odhad chyby približného riešenia
.
(5.5)
Z (5.4) vyplýva, že pri, chybovom module, t.j.
približné riešenie rovnomerne konverguje k presnému.
5.2.2. Metódy Runge-Kutta
روش اعدادی.
V praxi sa používajú metódy Runge-Kutta, ktoré poskytujú post-
rojenie diferenčných schém (metód) rôzneho rádu presnosti. وچشینا
používajú sa schémy (metódy) druhého a štvrtého rádu. اونی من آ
zvážte nižšie.
Najprv predstavíme niektoré pojmy a definície. Sieťka zapnutá
سگمنت je pevná množina bodov tohto segmentu.
Funkcia definovaná v týchto bodoch sa nazýva mriežková funkcia.
Súradnice bodov spĺňajú podmienky
بدن sú uzly mriežky. Mnoho bodov je nakreslených jednotnou mriežkou.
,
,
kde je krok mriežky.
Pri riešení diferenciálnych rovníc približnou metódou je hlavnou otázkou konvergencia. Pri použití diferenčných metód sa tradične častejšie používa koncept konvergencie at. Označujeme hodnoty funkcie mriežky, hodnoty presného riešenia diferenciálnej rovnice (5.1) v uzle - (sú približné hodnoty). Konvergencia znamená nasledovné. Upevníme bod a zostavíme množinu mriežok takým spôsobom, že 
(v ktorom). Potom sa numerická metóda považuje za konvergujúcu v bode, ak 
v. Metóda konverguje na segmente, ak konverguje v každom bode. O metóde sa hovorí, že má tý rád presnosti, ak je možné nájsť číslo také, že 
pri.
Uveďme si ďalej pojem reziduálna alebo aproximačná chyba diferenčnej rovnice nahrádzajúcej danú diferenciálnu rovnicu riešením pôvodnej rovnice, t.j. rezíduum je výsledkom dosadenia presného riešenia rovnice (5.1) do diferenčnej rovnice. Napríklad (5.1) možno nahradiť nasledujúcou najednoduchšou diferenčnou rovnicou
,
.
Potom je zvyšok určený nasledujúcim výrazom
.
Vo všeobecnosti sa približné riešenie nezhoduje s، preto sa zvyškový bod nerovná nule. Zavádza sa nasledujúca definícia: numerická metóda aproximuje pôvodnú diferenciálnu rovnicu, ak je pre, a má tý rád presnosti, ak 
.
Je dokázané, že poradie presnosti numerickej metódy na riešenie diferenciálnej rovnice sa zhoduje s rádom aproximácie za pomerne všeobecných predpokladov.
Teraz predime k analýze schém Runge-Kutta. Obráťme sa najprv na
schémy druhého rádu presnosti.
Pomocou Taylorovho vzorca riešenie diferenciálnej rovnice
(5.1) môže byť reprezentovaný ako
, (5.6)
kde je uvedené, 
,
.
Všimnite si, že podľa (5.1) 
,.
derivát nasledovne
,
kde sú zatiaľ neznáme množstvá. Nechať byť
Označme približnú hodnotu riešenia v uzle očíslovanom (práve toto riešenie získame, keď rad obmedzíme na členy s rádom nie vyšším ako druhý).
Tu zadané parametre podliehajú definícii.
Rozšírením pravej strany v Taylorovom rade a zmenšením podobných výrazov dostaneme
dôsledne
Podmienkou výberu parametrov a nastavme blízkosť výrazu
(5.7) do série (5.6)، potom
,
,
.
پارامتر Jeden zostáva voľný. نچ جه به پوتوم
,
,
a napokon z (5.7) s prihliadnutím na zistené vzťahy pre a
Vzťah (5.8) popisuje jednoparametrovú rodinu dvojčlenných Runge-Kuttovych vzorcov.
V odbornej literatúre je dokázané, že ak je spojitá a viazaná spolu so svojimi druhými deriváciami, potom približné riešenie schémy (5.8) konverguje rovnomerne k presnému riešenius. 
، t.j. schéma (5.8) má druhý rád presnosti.
V praxi výpočtov sa pre hodnoty parametra používajú vzorce (5.8).
Z (5.8) odvodzujeme
برنامه های کاربردی (5.9) برای شناسایی پس از ثبت نام:
1. Hodnota funkcie sa vypočíta približne (podľa schémy prerušovaných čiar)
2. Určite sklon integrálnej krivky v bode ()
3. Nájdite priemernú hodnotu derivácie funkcie v kroku
4. Vypočíta sa hodnota funkcie v () -tom uzle
Táto schéma má špeciálny názov "prediktor - korektor".
Podľa (5.8) získame
مشکل je vyriešený pomocou nasledujúcich krokov:
1. Vypočíta sa hodnota funkcie v polovičnom uzle
.
2.Určite hodnotu derivácie v uzle
.
3. Nájdite hodnotu funkcie v () -tom uzle
Okrem vyššie uvedených dvojčlenných schém sú v praxi výpočtov rozšírené schémy Runge-Kutta štvrtého rádu presnosti. Nižšie sú uvedené zodpovedajúce vzorce bez odvodenia
(5.10)
Schémy s veľkým počtom členov sa prakticky nepoužívajú. Päť-
výrazové vzorce poskytujú štvrtý rád presnosti، šesťčlenné vzorce majú šiesty rád، ale ich forma je veľmi komplikovaná.
Chyby daných schém Runge-Kutta sú určené maximom
hodnoty zodpovedajúcich derivátov.
Odhad chyby sa dá ľahko získať pre konkrétny prípad práva
časti diferenciálnej rovnice
.
V tomto prípade možno riešenie rovnice zredukovať na kvadratúru a
všetky schémy riesenia rozdielov sa zmenia na vzorce pre číselný integrál
prídelový. Napríklad schéma (5.9) má formu
,
به znamená، že má tvar lichobežníkového vzorca a schéma (5.10) sa mení na schému
čo je Simpsonov vzorec s krokom.
Odhady majorizačnej chyby pre lichobežníkový a Simpsonov vzorec sú známe (pozri časť 3.2). Z (3.4) a (3.5) je zrejmé, že presnosť schém Runge-Kutta je pomerne vysoká.
Výber jednej alebo druhej z vyššie uvedených schém na riešenie konkrétneho problému
dávanie je určené nasledujúcimi úvahami. Ak je funkcia v
pravá strana rovnice je spojitá a ohraničená، ako aj spojitá a
jeho štvrté deriváty sú obmedzené, potom sa dosiahne najlepší výsledok -
pomocou schémy (5.10). V prípade, že funkcia
nemá vyššie uvedené deriváty، limitujúci (štvrtý) rád
schému (5.10) nemožno dosiahnuť a ukazuje sa to ako účelné
uplatňovanie jednoduchších schém.
Okrem schém Runge-Kutta sú praktické viackrokové metódy, ktoré možno opísať nasledujúcim systémom rovníc
kde 
یک سو به číselné koeficienty، 
,.
Podľa tejto rovnice sa výpočet začína s. V tomto prípade získame vzťah tvaru
کراوات ak chcete začať počítať, musíte mať počiatočné hodnoty. Tieto hodnoty sa musia vypočítať inou metódou, napríklad metódou Runge-Kutta.
Spomedzi viackrokových metód je najrozšírenejšia Adamsova metóda, ktorej implementačná schéma vyplýva z (5.11) pre 
یک پیش 
:
.
Keď sa Adamsova metóda ukáže ako explicitná، ale implicitná.
Ide o približnú metódu riešenia, ktorá je zovšeobecnením metódy postupných aproximácií (pozri kapitolu V, § 2). Zvážte Cauchyho problém pre rovnicu prvého poriadku
Integráciou diferenciálnej rovnice nahradíme tento problem ekvivalentnou integrálnou rovnicou Volterrovho typu
Riesením tejto integrálnej rovnice metódou postupných aproximácií získame iteračný Picardov process
(približné riešenie na rozdiel od presného označíme y). Pri každej iterácii tohto processu sa integrácia vykonáva buď presne, resp روش عددی popísané v kapitole IV.
Dokážme konvergenciu metódy za predpokladu, že v nejakej ohraničenej oblasti je pravá strana spojitá a vyhovuje vzhľadom na premennú a Lipschitzovu podmienku
Keďže oblasť je ohraničená، vzťahy sú splnené. Označme chybu približného riešenia odčítaním (8) od (9) a použitím Lipschitzovej podmienky dostaneme
Vyriešenie tohto vzťahu opakovania a zohľadnenie, ktoré postupne zisťujeme
ناسلدوجه تدا اوداد چیبی
Je vidieť, že pri, t.j. približné riešenie konverguje rovnomerne k presnému v celej oblasti.
پریکلاد. Picardovu metódu aplikimujeme na Cauchyho úlohu pre rovnicu (3)، ktorej riešenie nie je vyjadrené elementárnymi funkciami.
V tomto prípade sú kvadratúry (9) vypočítané presne a ľahko získame
Je vidieť, že At, tieto aproximácie rýchlo konvergujú a umožňujú vypočítať riešenie s vysokou presnosťou,
Tento príklad ukazuje, že Picardovu metódu je výhodné použiť, ak integrály (9) možno vypočítať z hľadiska elementárnych funkcií. Ak je pravá strana rovnice (7) complikovanejšia، takže tieto integrály treba nájsť numericky, potom sa Picardova metóda stáva málo výhodnou.
Picardovu metódu možno jednoducho zovšeobecniť na sústavy rovníc metódou opísanou v časti 2. V praxi však platí, že čím vyšší rád sústavy, tým menej čésto obísanou často obísou
Existuje mnoho ďalších približných metód. Napríklad SA Chaplygin navrhol metódu، ktorá je zovšeobecnením Newtonovej algebraickej metódy na prípad diferenciálnych rovníc. Iný spôsob zovšeobecnenia Newtonovej metódy navrhol L. V. Kantorovich v roku 1948. V oboch týchto metódach, ako aj v Picardovej metóde, sa iterácie vykonávajú pomocou kvadratúry. Kvadratúry v nich však majú oveľa zložitejší tvar ako (9) a zriedka sa používajú v elementárnych funkciách. Preto sa tieto metódy takmer nepoužívajú.
ناچیتاوا...