«Թվային համակարգեր» դասընթացի ուսումնասիրման մեթոդական առաջարկներ: Տեսություն կառուցելու աքսիոմատիկ եղանակի մասին

Բնական թվերի աքսիոմատիկ տեսությունը կառուցելիս առաջնային տերմինները կլինեն «տարրը» կամ «թիվը» (որոնք այս դասագրքի համատեքստում կարող ենք համարել հոմանիշներ) և «բազմություն», հիմնական հարաբերությունները ՝ «պատկանելություն» (տարրը պատկանում է բազմության), «հավասարություն» և « հետամուտ լինել", Նշվում է ա / -ով (կարդա" թիվը և հարվածը հաջորդում է ա թվին ", օրինակ` երկուսին հաջորդում է երեքը, այսինքն `2 / \u003d 3, 10 թվին հաջորդում է 11 թիվը, այսինքն` 10 / \u003d 11 և այլն):

Բնական շատ թվեր(բնական շարք, դրական ամբողջ թվեր) N բազմություն է `« հետևել հետո »ներդրված հարաբերությամբ, որում լրացվում են հետևյալ 4 աքսիոմները.

Ա 1 N բազմությունը պարունակում է կոչվող տարր միավորորը չի հետևում որևէ այլ համարի:

Ա 2 Բնական շարքի յուրաքանչյուր տարրի համար դրան հաջորդում է մի հատ:

Ա 3 Յուրաքանչյուր N տարր հետեւում է առավելագույնը մեկ բնական տարրի:

Ա 4. ( Ինդուկցիոն աքսիոմա) Եթե N բազմության M ենթաբազմությունը պարունակում է միավոր, և նաև, իր յուրաքանչյուր a տարրով հանդերձ, պարունակում է նաև հետևյալ a / տարրը, ապա M- ը համընկնում է N- ի հետ:

Նույն աքսիոմները կարող են ամփոփվել մաթեմատիկական խորհրդանիշներում.

А 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a \u003d b \u003d\u003e a / \u003d b /

A 3 a / \u003d b / \u003d\u003e a \u003d b

Եթե \u200b\u200bb տարրը հետևում է a (b \u003d a /) տարրին, ապա մենք ասում ենք, որ a տարրը նախորդում է b տարրին (կամ նախորդում է b): Աքսիոմների այս համակարգը կոչվում է peano աքսիոմային համակարգեր (քանի որ այն ներդրվել է 19-րդ դարում իտալացի մաթեմատիկոս useուզեպպե Պիանոյի կողմից): Սա ընդամենը աքսիոմների հնարավոր բազմություններից է, որոնք թույլ են տալիս սահմանել բնական թվերի բազմությունը. կան այլ համարժեք մոտեցումներ:

Բնական թվերի ամենապարզ հատկությունները

Գույք 1... Եթե \u200b\u200bտարրերը տարբեր են, ապա տարբեր են նաև հետևյալները, այսինքն

a  b \u003d\u003e a /  b /:

Ապացույցներ ենթադրվում է, որ a / \u003d b /, ապա (ըստ A3) a \u003d b, ինչը հակասում է թեորեմի վարկածին:

Գույք 2... Եթե \u200b\u200bտարրերը տարբեր են, ապա նախորդները (եթե դրանք գոյություն ունեն) տարբեր են, այսինքն

a /  b / \u003d\u003e a  b:

Ապացույցներ: ենթադրենք, որ a \u003d b, ապա, ըստ A2- ի, մենք ունենք a / \u003d b /, ինչը հակասում է թեորեմի պայմանին:

Գույք 3... Ոչ մի բնական թիվ հավասար չէ հաջորդին:

ԱպացույցներՄենք հաշվի ենք առնում M բազմությունը, որը բաղկացած է այնպիսի բնական թվերից, որոնց համար բավարարվում է այս պայմանը

М \u003d (a  N | a  a /):

Ապացույցը կիրականացվի ինդուկցիոն աքսիոմայի հիման վրա: M բազմության սահմանմամբ ՝ դա բնական թվերի բազմության ենթաբազմություն է: Բացի այդ, 1M, քանի որ միավորը չի հետևում որևէ բնական թվին (A1), և, հետևաբար, ներառյալ a \u003d 1 – ի համար, մենք ունենք ՝ 1  1 /: Ենթադրենք հիմա, որ ոմանք a  M. Սա նշանակում է, որ a  a / (M- ի սահմանմամբ), որտեղից a /  (a /) / (հատկություն 1), այսինքն ՝ a /  M. Վերևից ասվածից ելնելով ՝ ինդուկցիոն աքսիոմա, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ M \u003d N, այսինքն ՝ մեր թեորեմը ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար:

Թեորեմ 4... 1-ից բացի ցանկացած այլ բնական թվի համար կա դրան նախորդող թիվ:

ԱպացույցներԴիտարկենք հավաքածուն

М \u003d (1)  (c N | ( a  N) c \u003d a /):

Տրված М- ն բնական թվերի բազմության ենթաբազմություն է, միավորը հստակ պատկանում է այս բազմությանը: Այս բազմության երկրորդ մասը տարրեր են, որոնց համար կան նախորդներ, հետևաբար, եթե a  M, ապա a / նույնպես պատկանում է M (նրա երկրորդ մասը, քանի որ a / ունի նախորդը, սա a): Այսպիսով, ինդուկցիոն աքսիոմայի հիման վրա M- ը համընկնում է բոլոր բնական թվերի բազմության հետ, ինչը նշանակում է, որ բոլոր բնական թվերը կա՛մ 1 են, կա՛մ նրանք, որոնց համար կա նախորդ տարր: Թեորեմն ապացուցված է:

Բնական թվերի աքսիոմատիկ տեսության հետեւողականություն

Որպես բնական թվերի բազմության ինտուիտիվ մոդել, մենք կարող ենք համարել գծանշանների բազմություններ. 1 թիվը կհամապատասխանի |, 2 թիվը || և այլն, այսինքն ՝ բնական շարքը կունենա ձևը.

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Dանցերի այս շարքերը կարող են ծառայել որպես բնական թվերի մոդել, եթե մենք օգտագործենք «թվին մեկ գծանշում նշանակելը» որպես «հետևել հետո» հարաբերությունը: Բոլոր աքսիոմների վավերությունը ինտուիտիվորեն ակնհայտ է: Իհարկե, այս մոդելը խիստ տրամաբանական չէ: Խիստ մոդել կառուցելու համար անհրաժեշտ է ունենալ ևս մեկ ակնհայտորեն կայուն աքսիոմատիկ տեսություն: Բայց մենք մեր տրամադրության տակ չունենք այդպիսի տեսություն, ինչպես նշվեց վերևում: Այսպիսով, կամ մենք ստիպված ենք ապավինել ինտուիցիային, կամ չօգտվել մոդելների մեթոդից, բայց վկայակոչել այն փաստը, որ ավելի քան 6 հազարամյակների ընթացքում, որի ընթացքում իրականացվում է բնական թվերի ուսումնասիրությունը, այս աքսիոմների հետ ոչ մի հակասություն չի հայտնաբերվել:

Peano աքսիոմային համակարգի անկախություն

Առաջին աքսիոմայի անկախությունն ապացուցելու համար բավական է կառուցել մի մոդել, որում А 1 աքսիոմը կեղծ է, իսկ А 2, А 3, А 4 աքսիոմները ճիշտ են: Եկեք համարենք 1, 2, 3 թվերը որպես առաջնային տերմիններ (տարրեր), իսկ «հետևել հետո» հարաբերությունը սահմանվում է հարաբերակցություններով `1 / \u003d 2, 2 / \u003d 3, 3 / \u003d 1:

Այս մոդելի մեջ չկա որևէ տարր, որը որևէ այլի չհետևի (աքսիոմա 1-ը կեղծ է), բայց մնացած բոլոր աքսիոմները կատարված են: Այսպիսով, առաջին աքսիոման անկախ է մյուսներից:

Երկրորդ աքսիոման ունի երկու մաս ՝ գոյություն և եզակիություն: Այս աքսիոմայի անկախությունը (գոյության տեսանկյունից) կարելի է պատկերել երկու թվերի (1, 2) մոդելի միջոցով `մեկ հարաբերությամբ տրված հետևյալ հարաբերությամբ. 1 / \u003d 2:

Երկուսի համար հաջորդ տարրը բացակայում է, մինչդեռ A 1, A 3, A 4 աքսիոմները ճիշտ են:

Այս աքսիոմայի անկախությունը, յուրահատկության տեսանկյունից, պատկերված է մի մոդելով, որում N բազմությունը կլինի բոլոր սովորական բնական թվերի, ինչպես նաև լատինական այբուբենի տառերից կազմված բոլոր տեսակի բառեր (տառերի հավաքածուներ, որոնք պարտադիր չէ, որ ունենան իմաստ) (z տառից հետո հաջորդը կլինի aa, ապա ab ... az, ապա ba ...; բոլոր հնարավոր երկու տառերով բառերը, որոնցից վերջինը կլինի zz, կհաջորդի aaa- ն և այլն): Մենք ներկայացնում ենք «հետևել» հարաբերությունը, ինչպես ցույց է տրված նկարում.

Այստեղ Ա 1, Ա 3, Ա 4 աքսիոմները նույնպես ճիշտ են, բայց 1-ին անմիջապես հաջորդում են 2 և ա երկու տարրերը: Այսպիսով, Axiom 2-ը կախված չէ մյուսներից:

Axiom 3 – ի անկախությունը պատկերված է մոդելով.

որոնցում ճիշտ են A 1, A 2, A 4, բայց 2 թիվը հետևում է ինչպես 4 թվին, այնպես էլ 1 թվին:

Ինդուկցիոն աքսիոմայի անկախությունն ապացուցելու համար մենք օգտագործում ենք N բազմությունը, որը բաղկացած է բոլոր բնական թվերից, ինչպես նաև երեք տառերից (a, b, c): Դուք կարող եք մուտքագրել հետևյալ հարաբերությունը այս մոդելի մեջ, ինչպես ցույց է տրված հետևյալ նկարում.

Այստեղ բնական թվերի համար օգտագործվում է սովորական հետևյալ հարաբերությունը, իսկ տառերի համար հետևյալ հարաբերությունը որոշվում է հետևյալ բանաձևերով. A / \u003d b, b / \u003d c, c / \u003d a. Ակնհայտ է, որ 1-ը չի հետևում որևէ բնական թվին, յուրաքանչյուրի համար կա մեկ այլ, և, ավելին, միայն մեկ, յուրաքանչյուր տարրը հետևում է ոչ ավելի, քան մեկ տարրին: Այնուամենայնիվ, եթե մենք դիտարկենք M բազմություն, որը բաղկացած է սովորական բնական թվերից, ապա սա կլինի այս բազմության ենթաբազմություն, որը պարունակում է մեկ, ինչպես նաև յուրաքանչյուր տարրի հաջորդ տարրը M.- ից: Այնուամենայնիվ, այս ենթաբազմությունը չի համընկնի քննարկվող ամբողջ մոդելի հետ, քանի որ այն չի պարունակի a, b, c տառերը: Այսպիսով, ինդուկցիոն աքսիոման այս մոդելի մեջ չի մտնում, և, հետեւաբար, ինդուկցիոն աքսիոմը կախված չէ մյուս աքսիոմներից:

Բնական թվերի աքսիոմատիկ տեսությունն է կատեգորիկ (ամբողջական ՝ նեղ իմաստով):

 (n /) \u003d ( (n)) /:

Ամբողջական մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքը.

Ինդուկցիայի թեորեմ:Թող որոշ պնդում P (n) ձևակերպվի բոլոր բնական թվերի համար, և ա) P (1) ճիշտ լինի, բ) P (k) ճշմարտացի լինելուց, հետեւաբար, P (k /) նույնպես ճիշտ է: Հետո պնդումը P (n) վավեր է բոլոր բնական թվերի համար:

Ապացույցի համար մենք ներկայացնում ենք n այնպիսի բնական թվերի M բազմությունը (M  N), որոնց համար P (n) պնդումը ճիշտ է: Մենք կօգտագործենք աքսիոմա A 4, այսինքն ՝ կփորձենք ապացուցել, որ.

k  M \u003d\u003e k /  Մ.

Եթե \u200b\u200bհաջողության հասնենք, ապա, ըստ A4 աքսիոմայի, կարող ենք եզրակացնել, որ M \u003d N, այսինքն ՝ P (n) ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար:

1) թեորեմի ա) պայմանով P (1) ճշմարիտ է. Հետևաբար, 1  Մ.

2) Եթե որոշ k  M է, ապա (M- ի կառուցմամբ) P (k) ճիշտ է: Թեորեմի բ) պայմանով սա ենթադրում է P (k /) - ի ճշմարտություն, և, հետեւաբար, k /  M:

Այսպիսով, ինդուկցիայի աքսիոմով (A4) M \u003d N, և հետևաբար P (n) ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար:

Այսպիսով, ինդուկցիայի աքսիոմը թույլ է տալիս ստեղծել «ինդուկցիայի միջոցով» թեորեմների ապացուցման մեթոդ: Այս մեթոդը կարևոր դեր է խաղում բնական թվերի վերաբերյալ թվաբանության հիմնական թեորեմները ապացուցելու գործում: Այն բաղկացած է հետևյալից.

1) հայտարարության վավերությունը ստուգվում է դրա համարն=1 (ինդուկցիոն հիմք) ,

2) ենթադրվում է, որ սույն հայտարարության վավերականությունըն= կորտեղկ - կամայական բնական թիվ(ինդուկցիայի գուշակություն) , և հաշվի առնելով այս ենթադրությունը ՝ հայտարարության վավերականությունը համարն= կ / (ինդուկցիայի քայլ ).

Տվյալ ալգորիթմի վրա հիմնված ապացույցը կոչվում է ապացույց մաթեմատիկական ինդուկցիայի միջոցով .

Ինքնօգնության հանձնարարություններ

Թիվ 1.1. Պարզեք, թե թվարկված համակարգերից որն է բավարարում Peano- ի աքսիոմները (բնական թվերի բազմության մոդելներ են), որոշեք, թե որ աքսիոմներ են կատարված, որոնք `ոչ:

ա) N \u003d (3, 4, 5 ...), n / \u003d n + 1;

բ) N \u003d (n  6, n) Ն), n / \u003d n + 1;

գ) N \u003d (n  - 2, n) Z), n / \u003d n + 1;

դ) N \u003d (n  - 2, n) Z), n / \u003d n + 2;

ե) կենտ բնական թվեր, n / \u003d n +1;

զ) կենտ բնական թվեր, n / \u003d n +2;

է) բնական թվեր `n / \u003d n + 2 հարաբերակցությամբ.

ը) N \u003d (1, 2, 3), 1 / \u003d 3, 2 / \u003d 3, 3 / \u003d 2;

թ) N \u003d (1, 2, 3, 4, 5), 1 / \u003d 2, 2 / \u003d 3, 3 / \u003d 4, 4 / \u003d 5, 5 / \u003d 1;

ժ) 3-ի վրա բաժանվող բնական թվերը n / \u003d n + 3 հարաբերակցությամբ

ժա) Նույնիսկ բնական թվեր n / \u003d n + 2 հարաբերակցությամբ

ժգ) ամբողջ թվեր,
.

Mathematանկացած մաթեմատիկական տեսության աքսիոմատիկ կառուցվածքում, որոշակի կանոնակարգերը:

· Տեսության որոշ հասկացություններ ընտրվում են որպես հիմնական և ընդունվում են առանց սահմանման:

· Տեսության յուրաքանչյուր հայեցակարգ, որը չի պարունակվում հիմնարարների ցանկում, տրվում է սահմանման.

· Ձևակերպվում են աքսիոմներ. Նախադասություններ, որոնք այս տեսության մեջ ընդունվում են առանց ապացույցների: դրանք բացահայտում են հիմնական հասկացությունների հատկությունները.

· Տեսության յուրաքանչյուր նախադասություն, որը չի պարունակվում աքսիոմների ցուցակում, պետք է ապացուցվի. նման առաջարկությունները կոչվում են թեորեմներ և ապացուցվում են աքսիոմների և թեորեմների հիման վրա:

Տեսության աքսիոմատիկ կառուցման հետ մեկտեղ, բոլոր պնդումները աքսիոմներից հանվում են ապացուցման միջոցով:

Հետեւաբար, աքսիոմների համակարգը ենթակա է հատուկ Պահանջներ.

• հետեւողականություն (աքսիոմների համակարգը կոչվում է կայուն, եթե դրանից տրամաբանորեն հնարավոր չէ եզրակացնել երկու բացառող նախադասություն);

· Անկախություն (աքսիոմների համակարգը կոչվում է անկախ, եթե այս համակարգի աքսիոմներից ոչ մեկը այլ աքսիոմների հետևանք չէ):

Մի հավաքածու, որում կա որոշակի հարաբերություն, կոչվում է աքսիոմների տվյալ համակարգի մոդել, եթե դրանում կատարված են այս համակարգի բոլոր աքսիոմները:

Բնական թվերի բազմության համար աքսիոմների համակարգ կառուցելու բազմաթիվ եղանակներ կան: Հիմնական հասկացության համար կարող եք վերցնել, օրինակ, թվերի գումարը կամ կարգի հարաբերությունը: Ամեն դեպքում, դուք պետք է նշեք աքսիոմների համակարգ, որոնք նկարագրում են հիմնական հասկացությունների հատկությունները:

Եկեք տանք աքսիոմների համակարգ ՝ ընդունելով լրացման գործողության հիմնական հայեցակարգը:

Ոչ դատարկ հավաքածու Ն կոչվում է բնական թվերի բազմություն, եթե գործողությունը սահմանված է դրանում (ա; բ) → a + b, որը կոչվում է լրացում և ունենալով հատկություններ.

1. լրացումը փոխարկիչ է, այսինքն. ա + բ \u003d բ + ա

2. լրացումը ասոցիատիվ է, այսինքն. (ա + բ) + գ \u003d ա + (բ + գ):

4. ցանկացած հավաքածուի մեջ Աորը բազմության ենթաբազմություն է Նորտեղ Ակա մի թիվ այնպիսին, որ բոլորը Հահավասար են ա + բորտեղ bN

1 - 4 աքսիոմները բավարար են բնական թվերի ամբողջ թվաբանությունը կառուցելու համար: Բայց նման կառուցվածքով այլևս հնարավոր չէ ապավինել վերջավոր բազմությունների հատկություններին, որոնք չեն արտացոլվում այս աքսիոմներում:

Որպես հիմնական հասկացություն ընդունենք ոչ դատարկ բազմության վրա տրված «ուղղակիորեն հետևել ...» հարաբերությունը Ն... Այդ դեպքում թվերի բնական շարքը կլինի N բազմությունը, որում սահմանվում է «անմիջապես հաջորդում» հարաբերությունը, և N- ի բոլոր տարրերը կկոչվեն բնական թվեր, և հետևյալը peano- ի աքսիոմները:

ԱՔՍԻՈՄ 1.

ՀավաքածունՆ կա մի տարր, որն անմիջապես չի հետևում այս բազմության որևէ տարրի: Մենք այն կանվանենք միավոր և կնշենք այն 1 խորհրդանիշով:

ԱՔՍԻՈՄ 2.

Յուրաքանչյուր տարրի համար `aՆ կա միայն մեկ տարր `ա-ից անմիջապես հետո:

ԱՔՍԻՈՄ 3.

Յուրաքանչյուր տարրի համար `aՆ կա առավելագույնը մեկ տարր, որին անմիջապես հաջորդում է ա.

ԱՔՍՈԻՄ 4.

Կոմպլեկտի ցանկացած M ենթաբազմությունՆ համընկնում է հետՆեթե այն ունի հետևյալ հատկությունները. 1) 1-ը պարունակվում է M- ում; 2) այն փաստից, որ a- ն պարունակվում է M- ում, հետեւում է, որ a- ն պարունակվում է նաեւ M- ում:

Մի փունջ N, որոնց համար կոչվում է «անմիջականորեն հետևել ...» հարաբերությունը, որը բավարարում է 1-4 աքսիոմները բնական թվերի ամբողջություն իսկ դրա տարրերն են բնական թվեր:

Եթե \u200b\u200bորպես հավաքածու Ն ընտրեք որևէ հատուկ հավաքածու, որի վրա դրվում է որոշակի հարաբերություն «ուղղակիորեն հետևում է ...» ՝ բավարարելով 1–4 աքսիոմները, ապա մենք ստանում ենք տարբեր մեկնաբանություններ (մոդելներ) տրված աքսիոմների համակարգեր:

Peano- ի աքսիոմների համակարգի ստանդարտ մոդելը թվերի շարք է, որոնք առաջացել են հասարակության պատմական զարգացման գործընթացում. 1, 2, 3, 4, 5, ...

Countանկացած հաշվելի հավաքածու կարող է լինել Peano- ի աքսիոմների մոդել:

Օրինակ, I, II, III, IIII, ...

օօօ օօօօ, ...

մեկ երկու երեք չորս, …

Դիտարկենք բազմությունների հաջորդականություն, որոնցում բազմությունը (oo) սկզբնական տարրն է, և յուրաքանչյուր հաջորդ հավաքածուն ստացվում է նախորդից ՝ մեկ այլ շրջան նշանակելով (նկ. 15):

Հետո Ն կա նկարագրված տիպի հավաքածուներից բաղկացած հավաքածու, և դա Peano աքսիոմային համակարգի մոդել է:

Իսկապես, հավաքածուում Նկա մի տարր (oo), որն անմիջապես չի հետևում տվյալ բազմության որևէ տարրի, այսինքն. Աքսիոմը 1-ն է: Յուրաքանչյուր հավաքածուի համար Ա քննարկվող բազմությունը կա յուրահատուկ շարք, որը ստացվում է Ա ավելացնելով մեկ շրջան, այսինքն. Աքսիոմը 2-ն է: Յուրաքանչյուր հավաքածուի համար Ա կա առավելագույնը մեկ հավաքածու, որից հավաքածուն Աավելացնելով մեկ շրջան, այսինքն. Աքսիոմ 3-ը պահպանում է, եթե ՄՆ և հայտնի է, որ հավաքածուն Ա պարունակվում է Մ, հետեւում է, որ այն բազմությունը, որում կա մեկ ավելի շրջան, քան բազմության մեջ Ա, պարունակվում է նաև Մապա Մ \u003dՆ, և, հետեւաբար, Axiom 4-ը պահում է:

Բնական թվաքանակի սահմանման մեջ աքսիոմներից ոչ մեկը չի կարող անտեսվել:

Եկեք հաստատենք, թե նկարում պատկերված հավաքածուներից որն է: 16-ը Peano- ի աքսիոմների մոդելն է:

1 ա բ դ ա

դ) Նկար 16

Որոշում: Նկար 16 ա) -ն ցույց է տալիս մի շարք, որում կատարվում են 2-րդ և 3-րդ աքսիոմները: Իրոք, յուրաքանչյուր տարրի համար կա մի մեկը, որին անմիջապես հաջորդում է, և կա մեկ տարր, որին հաջորդում է դրան: Բայց այս բազմությունը չի պահում Axiom 1-ը (Axiom 4-ը իմաստ չունի, քանի որ այն չի պարունակում այնպիսի տարր, որը անմիջապես չի հաջորդում որևէ այլի): Հետեւաբար, այս հավաքածուն Peano- ի աքսիոմների մոդել չէ:

Նկար 16 բ) ցույց է տալիս մի շարք, որում բավարարվում են 1, 3 և 4 աքսիոմները, բայց տարրի ետևում ա անմիջապես հետևում են երկու տարրեր, և ոչ թե մեկը, ինչպես պահանջվում է աքսիոմայում 2. Հետևաբար, այս բազմությունը Peano- ի աքսիոմների մոդել չէ:

Նկարում 16 գ) ցույց է տալիս մի շարք, որում բավարարվում են 1, 2, 4 աքսիոմները, բայց տարրը սկսած անմիջապես անմիջապես հետևում է երկու տարրերին: Հետեւաբար, այս հավաքածուն Peano- ի աքսիոմների մոդել չէ:

Նկարում 16 դ) պատկերում է 2, 3 աքսիոմները բավարարող բազմություն, և եթե որպես սկզբնական տարր վերցնենք 5 թիվը, ապա այս բազմությունը կբավարարի 1 և 4 աքսիոմները: Այսինքն, յուրաքանչյուր տարրի համար այս բազմության մեջ կա մի յուրահատուկ, որին հաջորդում է անմիջապես այն, և դրան հետեւում է մեկ տարր: Կա նաև մի տարր, որն անմիջապես չի հետևում այս բազմության որևէ տարրի, սա 5 է , այդ գործում է աքսիոմը 1. Ըստ այդմ, կպահպանվի նաև աքսիոմա 4-ը: Հետևաբար, այս հավաքածուն Peano- ի աքսիոմների մոդել է:

Օգտագործելով Peano- ի աքսիոմները, մենք կարող ենք ապացուցել մի շարք հայտարարություններ: Օրինակ, մենք կապացուցենք, որ բոլոր բնական թվերի համար անհավասարությունը x x

ԱպացույցներԵկեք նշենք դրանով Ա որի համար բնական թվերի ամբողջություն է աաԹիվ 1-ը պատկանում է Աքանի որ այն չի հետևում որևէ համարի Ն, և, հետեւաբար, ինքն իրեն չի հետևում. 1 1. Թող aA, ապա աա Նշում ենք ա այն կողմում բ... 3-րդ աքսիոմայի ուժով աբ,այդ բ բև բԱ

Աքսիոմատիկ մեթոդը մաթեմատիկայում:

Բնական շարքի աքսիոմատիկ տեսության հիմնական հասկացություններն ու հարաբերությունները: Բնական թվի որոշում:

Բնական թվերի գումարումը:

Բնական թվերի բազմապատկում:

Բնական թվերի բազմության հատկությունները

Բնական թվերի հանում և բաժանում:

Աքսիոմատիկ մեթոդը մաթեմատիկայում

Mathematանկացած մաթեմատիկական տեսության աքսիոմատիկ կառուցվածքում, որոշակի կանոններ:

1. Տեսության որոշ հասկացություններ ընտրվում են որպես մայոր և ընդունվում են առանց սահմանման:

2. Ձևակերպված աքսիոմներ, որոնք այս տեսության մեջ ընդունվում են առանց ապացույցի, դրանք բացահայտում են հիմնական հասկացությունների հատկությունները:

3. Տրված է տեսության յուրաքանչյուր հայեցակարգ, որը ներառված չէ հիմնականի ցուցակում սահմանում, այն բացատրում է իր իմաստը հիմնականի և այս հայեցակարգին նախորդող օգնությամբ:

4. Տեսության յուրաքանչյուր առաջարկ, որը աքսիոմների ցուցակում չէ, պետք է ապացուցվի: Նման առաջարկները կոչվում են թեորեմներ և ապացուցել դրանք ՝ հիմնվելով աքսիոմների և թեորեմների, որոնք նախորդում են դիտարկվողին:

Աքսիոմային համակարգը պետք է լինի.

ա) հետեւողական.մենք պետք է վստահ լինենք, որ աքսիոմների տվյալ համակարգից ամեն տեսակի եզրակացություններ անելով ՝ մենք երբեք հակասության չենք հասնի.

բ) անկախոչ մի աքսիոմ չպետք է լինի այս համակարգի այլ աքսիոմների հետևանք:

մեջ) ամբողջական, եթե դրա շրջանակներում միշտ հնարավոր է ապացուցել կամ այս հայտարարությունը, կամ դրա հերքումը:

Տեսության աքսիոմատիկ կառուցման առաջին փորձը կարելի է համարել երկրաչափության ներկայացումը Էվկլիդեսի կողմից իր «Էլեմենտներում» (մ.թ.ա. 3-րդ դար): Երկրաչափության և հանրահաշվի կառուցման աքսիոմատիկ մեթոդի մշակման գործում նշանակալի ներդրում ունեցավ Ն.Ի. Լոբաչովսկին և Է. Գալոիսը: 19-րդ դարի վերջին: իտալացի մաթեմատիկոս Peano- ն մշակեց թվաբանության աքսիոմների համակարգ:

Բնական թվերի աքսիոմատիկ տեսության հիմնական հասկացություններն ու հարաբերությունները: Բնական թվի որոշում:

Որպես հիմնական (չսահմանված) հասկացություն որոշ հավաքածուներում Ն ընտրված վերաբերմունք , և նաև օգտագործեց բազմատեսակ հասկացություններ, ինչպես նաև տրամաբանության կանոններ:

Տարրին անմիջապես հաջորդող տարրը ա,նշանակել ա »:

«Անմիջապես հետևել» հարաբերությունը բավարարում է հետևյալ աքսիոմները.

Peano- ի աքսիոմները:

Աքսիոմ 1... Հավաքածուն Ն ուղղակիորեն կա մի տարր ոչ հաջորդը այս հավաքածուի ցանկացած տարրից այն կողմ: Մենք այն կանվանենք միավոր և նշել ըստ խորհրդանիշի 1 .

Աքսիոմ 2... Յուրաքանչյուր իրի համար ա ի Ն կա միայն մեկ տարր ա » անմիջապես հաջորդում է ա .

Աքսիոմ 3... Յուրաքանչյուր իրի համար ա ի Նկա առավելագույնը մեկ տարր, որին անմիջապես հաջորդում է ա .

Աքսիոմ 4: Անկացած ենթաբազմություն Մ բազմություններ Ն համընկնում է հետ Ն եթե այն ունի հետևյալ հատկությունները. 1) 1 պարունակվում է Մ ; 2) այն փաստից, որ ա պարունակվում է Մ , դա հետեւում է դրան ա » պարունակվում է Մ.

Սահմանում 1... Մի փունջ Ն , որի տարրերի համար սահմանվում է հարաբերությունը «Ուղիղ հետեւեք»1-4 բավարարող աքսիոմները կոչվում են բնական թվերի ամբողջությունիսկ դրա տարրերն են բնական թվեր.

Այս սահմանումը ոչինչ չի ասում հավաքածուի տարրերի բնույթի մասին Ն . Այսպիսով, դա կարող է լինել ամեն ինչ: Ընտրելով որպես հավաքածու Ն ինչ-որ հատուկ հավաքածու, որի վրա դրվում է «ուղղակիորեն հետևում» հատուկ հարաբերություն, բավարարելով 1-4 աքսիոմները, մենք ստանում ենք այս համակարգի մոդելը աքսիոմներ

Peano– ի աքսիոմների համակարգի ստանդարտ մոդելը հասարակության պատմական զարգացման գործընթացում առաջացած թվերի շարք է ՝ 1,2,3,4, ... Բնական շարքը սկսվում է 1 թվից (աքսիոմա 1); յուրաքանչյուր բնական թվին անմիջապես հաջորդում է մեկ բնական թիվ (աքսիոմա 2); յուրաքանչյուր բնական թիվ անմիջապես հետևում է առավելագույնը մեկ բնական թվին (աքսիոմա 3); սկսած թիվ 1-ից և անմիջապես հաջորդող բնական թվերին անցնելու համար մենք ստանում ենք այդ թվերի ամբողջ բազմությունը (աքսիոմա 4):

Այսպիսով, մենք սկսեցինք բնական թվերի համակարգի աքսիոմատիկ կառուցումը հիմնականի ընտրությամբ ուղղակիորեն հետևել հարաբերություններին և դրա հատկությունները նկարագրող աքսիոմները: Տեսության հետագա կառուցումը ներառում է բնական թվերի հայտնի հատկությունների և դրանց վրա գործողությունների դիտարկումը: Դրանք պետք է բացահայտվեն սահմանումներում և թեորեմներում, այսինքն. «անմիջապես հետևում են» հարաբերությունից զուտ տրամաբանական ճանապարհից են բերվում, և 1-4 աքսիոմները:

Առաջին հասկացությունը, որը մենք կներկայացնենք բնական թիվը որոշելուց հետո, դա է վերաբերմունք «Անմիջապես նախորդում է» , որը հաճախ օգտագործվում է բնական տիրույթի հատկությունները դիտարկելիս:

Սահմանում 2. Եթե \u200b\u200bբնական թիվ է բ ուղղակիորեն հետեւում է բնական թիվը ա, այդ թիվը ա կոչված անմիջապես նախորդում է (կամ նախորդ) համարը բ .

Հարաբերությունները «նախորդում են» մի շարք հատկություններ.

Թեորեմ 1. միավորը չունի նախորդ բնական թիվ:

Թեորեմ 2. Յուրաքանչյուր բնական թիվ ա1-ից բացի ունի մեկ նախորդ նախորդ համար բ,այնպիսին է, որ բ »= ա

Բնական թվերի տեսության աքսիոմատիկ կառուցումը չի դիտարկվում ինչպես տարրական, այնպես էլ միջնակարգ դպրոցում: Այնուամենայնիվ, հարաբերությունների այն «հատկությունները, որոնք անմիջապես հետևում են», որոնք արտացոլվում են Peano- ի աքսիոմներում, մաթեմատիկայի նախնական ընթացքի ուսումնասիրության առարկա են: Արդեն առաջին դասարանում, առաջին տասնյակի համարները հաշվի առնելիս, պարզ է դառնում, թե ինչպես կարելի է յուրաքանչյուր թիվ ստանալ: Այս դեպքում օգտագործվում են «պետք է» և «նախորդել» հասկացությունները: Յուրաքանչյուր նոր թիվ գործում է որպես թվերի բնական շարքի ուսումնասիրված հատվածի շարունակություն: Ուսանողները համոզված են, որ յուրաքանչյուր համարին հաջորդում է հաջորդը, և ավելին, միայն մեկը, որ թվերի բնական շարքն անսահման է:

Բնական թվերի գումարումը

Ըստ աքսիոմատիկ տեսություն կառուցելու կանոնների, բնական թվերի գումարման սահմանումը պետք է ներդրվի ՝ օգտագործելով միայն հարաբերությունը «Ուղիղ հետևել», և հասկացությունները «Բնական թիվ» և «Նախորդ համարը».

Մենք ավելացնում ենք լրացման սահմանումը հետևյալ փաստարկներով. Եթե \u200b\u200bցանկացած բնական թվին աավելացնել 1, ապա մենք ստանում ենք համարը ա »,անմիջապես հաջորդում է ա, այսինքն ա+ 1 \u003d ա "և, հետևաբար, մենք ստանում ենք ցանկացած բնական թվին 1-ին գումարելու կանոն: Բայց ինչպես ավելացնել թվին աբնական թիվը բ,1-ից բացի Եկեք օգտագործենք հետևյալ փաստը. Եթե հայտնի է, որ 2 + 3 \u003d 5, ապա գումարը 2 + 4 \u003d 6, որն անմիջապես հետևում է թիվ 5-ին: Դա տեղի է ունենում, քանի որ 2 + 4 գումարի դեպքում երկրորդ տերմինը 3 թվին անմիջապես հաջորդող թիվն է: Այսպիսով, 2 + 4 \u003d 2 + 3 " =(2+3)". Ընդհանրապես, մենք ունենք , .

Այս փաստերը հիմք են հանդիսանում աքսիոմատիկ տեսության մեջ բնական թվերի գումարման սահմանման համար:

Սահմանում 3. Բնական թվերի գումարումը կոչվում է հանրահաշվական գործողություն հետևյալ հատկություններով.

Թիվ ա + բ կոչված թվերի գումար աև բ , և թվերն իրենք են աև բ - պայմանները.

Ամբողջ թվերի տեսության աքսիոմների այս համակարգը անկախ չէ, ինչպես նշված է 3.1.4 վարժությունում:

Թեորեմ 1:Ամբողջ թվերի աքսիոմատիկ տեսությունը հետևողական է:

Ապացույցներ Մենք կապացուցենք ամբողջ թվերի աքսիոմատիկ տեսության հետեւողականությունը այն ենթադրության վրա, որ բնական թվերի աքսիոմատիկ տեսությունը համահունչ է: Դրա համար մենք կկառուցենք մի մոդել, որի վրա կկատարվեն մեր տեսության բոլոր աքսիոմները:

Եկեք նախ օղակ կառուցենք: Հաշվի առեք հավաքածուն

Ն´ Ն = {(ա, բ)ï ա, բÎ Ն}.

ա, բ) բնական թվեր: Նման զույգ ասելով հասկանում ենք բնական թվերի տարբերությունը ա - բ... Բայց քանի դեռ չի ապացուցվել ամբողջ թվով համակարգի առկայությունը, որում գոյություն ունի նման տարբերություն, մենք իրավունք չունենք օգտագործել այս անվանումը: Միևնույն ժամանակ, նման ըմբռնումը մեզ հնարավորություն է տալիս սահմանել այն զույգերի հատկությունները, որքան մեզ անհրաժեշտ է:

Մենք գիտենք, որ բնական թվերի տարբեր տարբերությունները կարող են հավասար լինել նույն ամբողջ թվին: Ըստ այդմ, մենք ներկայացնում ենք նկարահանման հրապարակում Ն´ Ն հավասարության հարաբերություն.

(ա, բ) = (գ, դ) Û ա + դ \u003d բ + գ.

Հեշտ է տեսնել, որ այս հարաբերությունները արտացոլող են, սիմետրիկ և անցողիկ: Հետեւաբար, դա համարժեքության հարաբերություն է և իրավունք ունի անվանել հավասարություն: Սահմանել գործոն Ն´ Ն Z... Դրա տարրերը կկոչվեն ամբողջ թվեր: Նրանք ներկայացնում են համարժեքության դասեր զույգերի մի մասի վրա: Theույգ պարունակող դասը
(ա, բ), մենք նշում ենք [ ա, բ].

Z ա, բ] որպես տարբերություն ա - բ

[ա, բ] + [գ, դ] = [ա + գ, բ + դ];

[ա, բ] × [ գ, դ] = [ac + bd, գովազդ + bc].

Պետք է հիշել, որ, խստորեն ասած, շահագործման խորհրդանիշների օգտագործումն այստեղ ամբողջովին ճիշտ չէ: Նույն + խորհրդանիշը նշանակում է բնական թվերի և զույգերի գումարումը: Բայց քանի որ միշտ պարզ է, թե որ հավաքածուում է կատարվում տվյալ գործողությունը, այստեղ մենք չենք ներկայացնի այդ գործողությունների առանձին նշանակումներ:

Անհրաժեշտ է ստուգել այդ գործողությունների սահմանումների ճշտությունը, այն է, որ արդյունքները կախված չեն տարրերի ընտրությունից: աև բսահմանելով զույգը [ ա, բ] Իսկապես, թող

[ա, բ] = [ա 1 , բ 1 ], [ս, դ] = [սկսած 1 , դ 1 ].

Դա նշանակում է որ ա + բ 1 = բ + ա 1 , գ + դ 1 = դ + սկսած մեկը Այս հավասարությունները ավելացնելով `մենք ստանում ենք

ա + բ 1 + գ + դ 1 = բ + ա 1 + դ + սկսած 1 Þ [ ա + բ, գ + դ] = [ա 1 + սկսած 1 , բ 1 + դ 1]

Þ [ ա, բ] + [գ, դ] = [ա 1 , բ 1 ] + [գ 1 , դ 1 ].

Նմանապես որոշվում է բազմապատկման սահմանման ճիշտությունը: Բայց այստեղ նախ պետք է ստուգել, \u200b\u200bոր [ ա, բ] × [ գ, դ] = [ա 1 , բ 1] × [ գ, դ].

Այժմ մենք պետք է ստուգենք, որ արդյունքում հանրահաշիվը օղակ է, այսինքն ՝ աքսիոմներ (Z1) - (Z6):

Եկեք ստուգենք, օրինակ, լրացման փոխարկելիությունը, այսինքն ՝ աքսիոմը (Z2): Մենք ունենք

[գ, դ] + [ա, բ] = = [ա + գ, բ + դ] = [ա, բ] + [գ, դ].

Ամբողջ թվերի համար գումարման կոմուտացիան ստացվում է բնական թվերի համար գումարման կոմուտատիվությունից, որը համարվում է արդեն հայտնի:

Աքսիոմները (Z1), (Z5), (Z6) ստուգվում են նույն կերպ:

Theույգը խաղում է զրոյի դերը: Մենք նշում ենք դրանով 0 ... Իսկապես,

[ա, բ] + 0 = [ա, բ] + = [ա +1, բ +1] = [ա, բ].

Վերջապես, - [ ա, բ] = [բ, ա] Իսկապես,

[ա, բ] + [բ, ա] = [ա + բ, բ + ա] = = 0 .

Հիմա եկեք ստուգենք ընդլայնման աքսիոմները: Պետք է հիշել, որ կառուցված օղակում բնական թվեր որպես այդպիսին չկան, քանի որ մատանու տարրերը բնական թվերի զույգերի դասեր են: Հետևաբար, պահանջվում է գտնել ենթալեգեբարի իզոմորֆ բնական թվերի սերմնահեղուկի համար: Այստեղ կրկին զույգի գաղափարը [ ա, բ] որպես տարբերություն ա - բ... Բնական թիվ ն կարող է ներկայացվել որպես երկու բնական արժեքների տարբերություն, օրինակ, հետևյալ կերպ. ն = (ն + 1) - 1. Հետևաբար, առաջարկությունն առաջանում է նամակագրություն հաստատելու համար զ: Ն ® Z կանոնով

զ(ն) = [ն + 1, 1].

Այս հանդիպումը վիրահատական \u200b\u200bէ.

զ(ն) = զ(մ) Þ [ ն + 1, 1]= [մ + 1, 1] Þ ( ն + 1) + 1= 1 + (մ + 1) n \u003d մ.

Հետեւաբար, մենք ունենք մեկ առ մեկ համապատասխանություն Ն և ինչ-որ ենթաբազմություն Z, որը մենք նշում ենք դրանով N *... Եկեք ստուգենք, որ այն խնայում է գործողությունները.

զ(ն) + զ(մ) = [ն + 1, 1]+ [մ + 1, 1] = [ն + մ +2, 2]= [ն + մ+ 1, 1] = զ(n + մ);

զ(ն) × զ(մ) = [ն + 1, 1] × [ մ + 1, 1] = [նմ + ն + մ +2, n + m +2]= [նմ+ 1, 1] = զ(նմ).

Այսպիսով, հաստատվեց, որ N * ձևավորում է Z գումարման և բազմապատկման գործողությունների նկատմամբ, ենթահաշիվը իզոմորֆ է Ն

Մենք նշում ենք զույգը [ ն + 1, 1] - ից N * ն, այն կողմում ն ա, բ] մենք ունենք

[ա, բ] = [ա + 1, 1] + = [ա + 1, 1] – [բ + 1, 1] = ա – բ .

Այսպիսով, վերջապես, զույգի գաղափարը [ ա, բ] որպես բնական թվերի տարբերություն: Միևնույն ժամանակ, հաստատվեց, որ կառուցված բազմությունից յուրաքանչյուր տարր Z ներկայացված է որպես երկու բնական արժեքների տարբերություն: Սա կօգնի ստուգել նվազագույնության աքսիոմը:

Թող Մ -ենթաբազմություն Z, Պարունակող N *և ցանկացած տարրերի հետ միասին ա և բ դրանց տարբերությունը ա - բ... Ապացուցենք, որ այս պարագայում Մ \u003dZ... Իրոք, ցանկացած տարր Z ներկայացված է որպես երկու բնական թվերի տարբերություն, որոնք ըստ պայմանի պատկանում են Մ իր տարբերության հետ միասին:

Թորեմա 2:Ամբողջ թվերի աքսիոմատիկ տեսությունը կատեգորիկ է:

Ապացույցներ Եկեք ապացուցենք, որ ցանկացած երկու մոդել, որոնց վրա հիմնված են այս տեսության բոլոր աքսիոմները, իզոմորֆ են:

Թող բ Z 1, +, ×, Ն 1 և á Z 2, +, ×, Ն 2 ñ - մեր տեսության երկու մոդել: Խստորեն ասած, դրանցում գործողությունները պետք է նշվեն տարբեր խորհրդանիշներով: Մենք կհեռանանք այս պահանջից, որպեսզի չխառնենք հաշվարկները. Ամեն անգամ պարզ է դառնում, թե ինչ տեսակի գործողություն է քննարկվում: Քննարկվող մոդելներին պատկանող տարրերը կմատակարարվեն համապատասխան 1 կամ 2 ցուցանիշներով:

Մենք պատրաստվում ենք սահմանել առաջին մոդելի իզոմորֆ քարտեզագրում երկրորդից: Ինչպես Ն 1 և Ն 2-ը բնական թվերի semirings է, ապա կա առաջին semering- ի երկրորդի իզոմորֆ քարտեզագրում: Մենք սահմանում ենք քարտեզագրում զ: Z 1 Z 2 Յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ x 1 Z 1-ը ներկայացված է որպես երկու բնական արժեքների տարբերություն.
x 1 \u003d ա 1 - բ մեկը Մենք հավատում ենք

զ (x 1) \u003d ժ ( ա 1) – ժ ( բ 1).

Եկեք ապացուցենք դա զ - իզոմորֆիզմ: Քարտեզագրումը ճիշտ է սահմանված. Եթե x 1 = ժամը 1, որտեղ յ 1 = գ 1 – դ 1, ապա

ա 1 - բ 1 = գ 1 – դ 1 ա 1 + դ 1 = բ 1 + գ 1 Þ ժ ( ա 1 + դ 1) \u003d ժ ( բ 1 + գ 1)

Þ j ( ա 1) + ժ ( դ 1) \u003d ժ ( բ 1) + ժ ( գ 1) Þ ժ ( ա 1) - ժ ( բ 1) \u003d ժ ( գ 1) - ժ ( դ 1) զ(x 1) = զ (յ 1).

Հետևաբար դրան հետեւում է զ - միանշանակ քարտեզագրում Z 1 դյույմ Z 2 Բայց ցանկացածի համար x 2-ը Z 2 բնական տարր կարելի է գտնել ա 2 և բ 2 այնպիսի, որ x 2 \u003d ա 2 - բ 2 Քանի որ j- ը իզոմորֆիզմ է, այս տարրերն ունեն հակադարձ պատկերներ ա 1 և բ մեկը Հետևաբար, x 2 \u003d ժ ( ա 1) – ժ ( բ 1) =
= զ (ա 1 - բ 1), և յուրաքանչյուր տարր ՝ Z 2-ը նախատիպ է: Այստեղից էլ գրագրությունը զ մեկ առ մեկ Եկեք ստուգենք, որ այն փրկում է գործողությունները:

Եթե x 1 \u003d ա 1 - բ 1 , յ 1 \u003d գ 1 - դ 1, ապա

x 1 + յ 1 = (ա 1 + գ 1) – (բ 1 + դ 1),

զ(x 1 + յ 1) \u003d ժ ( ա 1 + գ 1) – ժ ( բ 1 + դ 1) \u003d ժ ( ա 1) + ժ ( գ 1) – ժ ( բ 1) – ժ ( դ 1) =

J ( ա 1) – ժ ( բ 1) + ժ ( գ 1)– ժ ( դ 1) = զ(x 1) + զ(յ 1).

Նմանապես ստուգվում է, որ բազմապատկումը պահպանվի: Այսպիսով, հաստատվեց, որ զ Իզոմորֆիզմ է, և թեորեմն ապացուցված է:

Ercորավարժություններ

1. Ապացուցեք, որ ցանկացած բնական օղակ, որը ներառում է բնական թվերի համակարգ, ներառում է նաև ամբողջ թվերի օղակ:

2. Ապացուցեք, որ միասնությամբ յուրաքանչյուր նվազագույն պատվիրված փոխարկիչ օղակը հավասարաչափ է ամբողջ թվերի օղակի համար:

3. Ապացուցեք, որ յուրաքանչյուր պատվիրված օղակ ՝ միասնությամբ և առանց զրոյական բաժանարարների, պարունակում է և միայն մեկ ենթատող իզոմորֆ ամբողջ թվերի օղակին:

4. Ապացուցեք, որ երկրորդ կարգի մատրիցների օղակը իրական թվերի դաշտի վրա պարունակում է անսահմանորեն շատ ենթագրեր իզոմորֆ ամբողջ թվերի օղակի նկատմամբ:

Ռացիոնալ համարի դաշտ

Ռացիոնալ թվերի համակարգի սահմանումը և կառուցումն իրականացվում է նույն կերպ, ինչպես դա արվում է ամբողջ թվերի համակարգի համար:

ՍահմանումՌացիոնալ թվերի համակարգը նվազագույն դաշտ է, որն ամբողջ թվերի օղակի երկարացում է:

Այս սահմանմանը համապատասխան, մենք ստանում ենք ռացիոնալ թվերի համակարգի հետևյալ աքսիոմատիկ կառուցումը:

Առաջնային տերմիններ:

Հ - ռացիոնալ թվերի հավաքածու;

0, 1 - հաստատուններ;

+, × - երկուական գործողություններ միացված են Q;

Z - ենթաբազմություն Հ, ամբողջ թվերի մի ամբողջություն;

Е, Д - երկուական գործողություններ Z.

Աքսիոմներ:

Ես Դաշտային աքսիոմներ.

(Q1) ա+ (բ + գ) = (ա + բ) + գ.

(Q2) ա + բ \u003d բ + ա.

(Q3) (" ա) ա + 0 = ա.

(Q4) (" ա)($(–ա)) ա + (–ա) = 0.

(Q5) ա× ( բ× գ) = (ա× բ) × գ.

(Q6) ա× բ \u003d բ× ա.

(Q7) ա × 1 \u003d ա.

(Q8) (" ա¹ 0)($ ա –1) ա × ա –1 = 1.

(Q9) ( ա + բ) × c \u003d a × c + b× գ.

II. Երկարացման աքսիոմներ.

(Q10) á Z, M, L, 0, 1ñ բնական թվերի օղակ է:

(Q11) Z Í Հ.

(Q12) (" ա, բÎ Z) ա + բ \u003d աÅ բ.

(Q13) (" ա, բÎ Z) ա× բ \u003d աÄ բ.

III. Նվազագույնության աքսիոմա.

(Q14) ՄÍ Հ, ZÍ Մ, ("ա, բÎ Մ)(բ ¹ 0 ® ա× բ –1 Մ)Þ Մ = Հ.

Թիվ ա× բ -1 կոչվում է քանորդ ա և բ, նշվում է ա/բ կամ .

Թեորեմ 1:Rationանկացած ռացիոնալ թիվ ներկայացվում է որպես երկու ամբողջական թվերի քանորդ:

Ապացույցներ Թող Մ - ռացիոնալ թվերի ամբողջություն, որը ներկայացված է որպես երկու ամբողջ թվերի գործակից: Եթե ն - ամբողջական, ուրեմն n \u003d n/ 1-ը պատկանում է Մ, հետեւաբար, ZÍ Մ... Եթե ա, բÎ Մապա ա \u003d կ/ լ, բ \u003d մ/ n,Որտեղ k, l, m, nÎ Z... Հետևաբար, ա/ բ=
= (kn) / (ես)Î Մ... Աքսիոմայով (Q14) Մ= Հ, և թեորեմն ապացուցված է:

Թորեմա 2:Ռացիոնալ թվերի դաշտը կարող է գծային և խստորեն դասավորված լինել և եզակի ձևով: Ռացիոնալ թվերի դաշտում կարգը Արքիմեդես է և շարունակում է կարգը ամբողջ թվերի օղակում:

Ապացույցներ Եկեք նշենք դրանով Հ + թվերի հավաքածու, որը ներկայացնում է որպես կոտորակ, որտեղ kl \u003e 0. Հեշտ է տեսնել, որ այս պայմանը կախված չէ թիվը ներկայացնող կոտորակի տեսակից:

Եկեք ստուգենք դա Հ + – ոլորտի դրական մասը Հ... Քանի որ մի ամբողջ թիվ kl հնարավոր է երեք դեպք. kl = 0, klÎ Ն, –kl Î Ն, ապա a \u003d -ի համար մենք ստանում ենք երեք հնարավորություններից մեկը ՝ a \u003d 0, aÎ Հ +, –AÎ Հ + ... Հետագայում, եթե a \u003d, b \u003d պատկանում են Հ +, ուրեմն kl > 0, օր \u003e 0. Ապա a + b \u003d, և ( kn + մլ)ln \u003d kln 2 + միջին 2\u003e 0. Ուստի, a + bÎ Հ + ... Նմանապես ստուգվում է, որ abÎ Հ + ... Այս կերպ, Հ + - ոլորտի դրական մասը Հ.

Թող Հ ++ - այս ոլորտի ցանկացած դրական մաս: Մենք ունենք

l \u003d .l 2 Î Հ ++ .

Այստեղից ՆÍ Հ ++ 2.3.4 թեորեմի համաձայն `բնական թվերին հակադարձ թվերը նույնպես պատկանում են Հ ++ Հետո Հ + Í Հ ++ Թեորեմի կողմից 2.3.6 Հ + =Հ ++ Հետեւաբար, դրական մասերով սահմանված պատվերները նույնպես համընկնում են Հ + և Հ ++ .

Ինչպես Z + = ՆÍ Հ +, ապա կարգը ներս Հ շարունակում է կարգը ներս Z.

Հիմա եկեք a \u003d\u003e 0, b \u003d\u003e 0. Քանի որ ամբողջ թվերի օղակում կարգը Արքիմեդեսն է, ապա դրական knև մլ կա բնական սկսած այնպիսին է, որ սկսած× kn> մլ... Այստեղից սկսածա \u003d սկսած \u003e \u003d բ Հետևաբար, ռացիոնալ թվերի ոլորտում կարգը Արքիմեդեսն է:

Ercորավարժություններ

1. Ապացուցեք, որ ռացիոնալ թվերի դաշտը խիտ է, այսինքն `ցանկացած ռացիոնալ թվերի համար ա < բ կա բանական ռ այնպիսին է, որ ա < ռ < բ.

2. Ապացուցեք, որ հավասարումը x 2 = 2-ը լուծումներ չունի Հ.

3. Ապացուցեք, որ հավաքածուն Հ հաշվելի

Թեորեմ 3:Ռացիոնալ թվերի աքսիոմատիկ տեսությունը հետեւողական է:

Ապացույցներ Ռացիոնալ թվերի աքսիոմատիկ տեսության հետեւողականությունը ապացուցվում է նույն կերպ, ինչ ամբողջ թվերի համար: Դրա համար կառուցվում է մի մոդել, որի վրա կատարվում են տեսության բոլոր աքսիոմները:

Մենք հիմք ենք ընդունում հավաքածուն

Z´ Z * = {(ա, բ)ï ա, բÎ Z, բ ¹ 0}.

Այս հավաքածուի տարրերը զույգեր են ( ա, բ) ամբողջ թվեր: Նման զույգ ասելով հասկանում ենք ամբողջ թվերի գործակիցը ա/բ... Սրան համապատասխան, մենք սահմանում ենք զույգերի հատկությունները:

Ներկայացրե՛ք նկարահանման հրապարակում Z´ Z * հավասարության հարաբերություն.

(ա, բ) = (գ, դ) Û գովազդ \u003d մ.թ.ա..

Մենք նշում ենք, որ դա համարժեքության հարաբերություն է և իրավունք ունի անվանել հավասարություն: Սահմանել գործոն Z´ Z * այս հավասարության կապակցությամբ մենք նշում ենք Հ... Դրա տարրերը կկոչվեն ռացիոնալ թվեր: Pairույգ պարունակող դասը ( ա, բ), մենք նշում ենք [ ա, բ].

Ներկայացրե՛ք կառուցված հավաքածուում Հ գումարման և բազմապատկման գործողություններ: Տարրի ներկայացումը [ ա, բ] որպես շարքային ա/ բ... Սրան համապատասխան, մենք ըստ սահմանման ենթադրում ենք.

[ա, բ] + [գ, դ] = [գովազդ + bc, bd];

[ա, բ] × [ գ, դ] = [ac, bd].

Մենք ստուգում ենք այդ գործողությունների սահմանումների ճիշտությունը, այն է, որ արդյունքները կախված չեն տարրերի ընտրությունից աև բսահմանելով զույգը [ ա, բ] Դա արվում է այնպես, ինչպես 3.2.1 թեորեմի ապացույցում:

Theույգը խաղում է զրոյի դերը: Մենք նշում ենք դրանով 0 ... Իսկապես,

[ա, բ] + 0 = [ա, բ] + = [ա1 + 0 բ, բ ×1] = [ա, բ].

Հակառակ [ ա, բ] զույգ է - [ ա, բ] = [–ա, բ] Իսկապես,

[ա, բ] + [–ա, բ]= [ab - ab, bb] = = 0 .

Միավորը զույգ է \u003d 1 ... Pairույգի հակադարձը [ ա, բ] - զույգ [ բ, ա].

Հիմա եկեք ստուգենք ընդլայնման աքսիոմները: Եկեք ստեղծենք նամակագրություն
զ: Z ® Հ կանոնով

զ(ն) = [ն, 1].

Մենք ստուգում ենք, որ սա մեկ առ մեկ նամակագրություն է Z և ինչ-որ ենթաբազմություն Հ, որը մենք նշում ենք դրանով Z *... Մենք հետագայում ստուգում ենք, որ այն պահպանում է գործողությունները, ինչը նշանակում է, որ այն իզոմորֆիզմ է հաստատում միջև Zև ենթաշերտ Z * մեջ Հ... Հետևաբար, երկարացման աքսիոմները ստուգվել են:

Մենք նշում ենք զույգը [ ն, 1] - ից Z *բնական թվին համապատասխան ն, այն կողմում ն ... Հետո կամայական զույգի համար [ ա, բ] մենք ունենք

[ա, բ] = [ա,1] × \u003d [ ա,1] / [բ,1] = ա /բ .

Այսպիսով, զույգի գաղափարը [ ա, բ] որպես ամբողջ թվերի քանակ: Միևնույն ժամանակ, հաստատվեց, որ կառուցված բազմությունից յուրաքանչյուր տարր Հ ներկայացված է որպես երկու ամբողջության գործակից: Սա կօգնի ստուգել նվազագույնության աքսիոմը: Ստուգումը կատարվում է ինչպես 3.2.1 թեորեմում:

Այսպիսով, կառուցված համակարգի համար Հ ամբողջ թվերի տեսության բոլոր աքսիոմները կատարված են, այսինքն ՝ մենք կառուցել ենք այս տեսության մոդելը: Թեորեմն ապացուցված է:

Թեորեմ 4:Ռացիոնալ թվերի աքսիոմատիկ տեսությունը կատեգորիկ է:

Ապացույցը նման է 3.2.2 թեորեմի ապացույցին:

Թորեմ 5.Արքիմեդական կարգավորված դաշտը ռացիոնալ թվերի դաշտի ընդլայնում է:

Ապացույց - որպես վարժություն:

Թորեմա 6:Թող Ֆ - Արքիմեդյան պատվիրված դաշտ, ա > բ,Որտեղ ա, բÎ Ֆ... Գոյություն ունի ռացիոնալ թիվ Ֆ այնպիսին է, որ ա > > բ.

Ապացույցներ Թող ա > բ ³ 0. Ապա ա - բ\u003e 0, և ( ա - բ) –1\u003e 0. Կա բնական տ այնպիսին է, որ մ× 1\u003e ( ա - բ) –1, որտեղից մ –1 < ա - բ £ ա... Հետագայում կա մի բնական կ այնպիսին է, որ կ× մ –1 ա... Թող կ Ամենափոքր թիվն է, որի համար այս անհավասարությունը պահպանվում է: Ինչպես կ \u003e 1, ապա մենք կարող ենք տեղադրել k \u003d n + 1, ն Î Ն... Որում
(ն + 1) մ –1 ա, ն× մ –1 < ա... Եթե ն× մ –1 բապա ա = բ + (ա - բ) > բ + մ –1 ն× մ –1 + մ –1 =
= (ն + 1) մ -մեկը: Հակասություն. Հետևաբար, ա > ն× մ –1 > բ.

Ercորավարժություններ

4. Ապացուցեք, որ ցանկացած դաշտ, որը ներառում է ամբողջ թվերի օղակ, ներառում է նաև ռացիոնալ թվերի դաշտ:

5. Ապացուցեք, որ յուրաքանչյուր նվազագույն դասավորված դաշտը իզոմորֆ է ռացիոնալ թվերի դաշտի հետ:

Իրական թվեր

Իրական թվերի համար, որոնք նշվում են (այսպես կոչված թակած R) –ով, ներդրվում է լրացման գործողություն («+»), այսինքն ՝ տարրերի յուրաքանչյուր զույգ ( x,յ) իրական թվերի բազմությունից, տարրը x + յ նույն հավաքածուից, որը կոչվում է գումար x և յ .

Բազմացման աքսիոմներ

Ներդրվել է բազմապատկման գործողությունը («·»), այսինքն ՝ յուրաքանչյուր զույգի տարրերի համար ( x,յ) իրական թվերի բազմությունից, մի տարր (կամ, կարճ ասած, xյ ) նույն հավաքածուից, որը կոչվում է արտադրանք x և յ .

Հարաբերություն գումարման և բազմապատկման միջև

Պատվիրեք աքսիոմներ

Տրված կարգի հարաբերության վրա "(պակաս կամ հավասար), այսինքն` ցանկացած զույգի համար x, y պայմաններից գոնե մեկից կամ.

Կարգի և լրացման փոխհարաբերություններ

Կարգի և բազմապատկման հարաբերություններ

Շարունակության աքսիոմա

Մեկնաբանություն

Այս աքսիոմը նշանակում է, որ եթե X և Յ - իրական թվերի երկու ոչ դատարկ բազմություն, որոնցից որևէ տարր է X չի գերազանցում որևէ տարր Յ, ապա այս բազմությունների միջեւ կարող է տեղադրվել իրական թիվ: Այս աքսիոմը չի պարունակում ռացիոնալ թվեր. դասական օրինակ. հաշվի առեք դրական ռացիոնալ թվերը և վկայակոչեք բազմությունը X այն թվերը, որոնց քառակուսին 2-ից պակաս է, իսկ մնացած մասը ՝ k Յ... Հետո արանքում X և Յ Դուք չեք կարող տեղադրել ռացիոնալ թիվ (ոչ թե ռացիոնալ թիվ):

Այս առանցքային աքսիոմը ապահովում է խտություն և այդպիսով հնարավորություն է տալիս կառուցել մաթեմատիկական վերլուծություն: Դրա կարևորությունը պարզաբանելու համար նշենք դրա երկու հիմնարար հետևանքները:

Աքսիոմների հետևանքները

Իրական թվերի որոշ կարևոր հատկություններ անմիջապես հետևում են աքսիոմներից, օրինակ ՝

զրոյի եզակիությունը,
հակառակ և հակառակ տարրերի յուրահատկությունը:

Գրականություն

Orորիչ Վ.Ա. Մաթեմատիկական վերլուծություն: Հատոր I. Մ. ՝ Ֆազիս, 1997, գլուխ 2:

տես նաեւ

Հղումներ

Վիքիմեդիա հիմնադրամ 2010 թ.

Տեսեք, թե ինչ է «Իրական թվերի աքսիոմատիկա» -ն այլ բառարաններում.

Իրական կամ իրական թիվը մաթեմատիկական աբստրակցիա է, որն առաջացել է շրջակա աշխարհի երկրաչափական և ֆիզիկական մեծությունները չափելու, ինչպես նաև արմատներ հանելը, լոգարիթմները հաշվարկելու, լուծելու այնպիսի գործողություններ իրականացնելու անհրաժեշտությունը, ...

Իրական կամ իրական թվեր, մաթեմատիկական աբստրակցիա, ծառայելով, մասնավորապես, ֆիզիկական մեծությունների արժեքները ներկայացնելու և համեմատելու համար: Նման թիվը կարելի է ինտուիտիվ կերպով ներկայացնել որպես գծի վրա կետի դիրքի նկարագրում ... ... Վիքիպեդիա

Վիքիբառարանը պարունակում է «աքսիոմ» հոդված աքսիոմ (այլ հունական ... Վիքիպեդիա

Աքսիոմա, որը տեղի է ունենում տարբեր աքսիոմատիկ համակարգերում: Իրական թվերի աքսիոմատիկա Էվկլիդեսի երկրաչափության Հիլբերտի աքսիոմատիկա Կոլմոգորովի հավանականության տեսության աքսիոմատիկա ... Վիքիպեդիա