Atunci când construim teoria axiomatică a numerelor naturale, termenii primari vor fi „element” sau „număr” (pe care în contextul acestui manual îl putem considera ca sinonime) și „mulțime”, principalele relații: „apartenență” (un element aparține mulțimii), „egalitate” și " urmare", Notat cu a / (citiți" numărul și linia urmează numărul a ", de exemplu, cele două sunt urmate de un trei, adică 2 / \u003d 3, numărul 10 este urmat de numărul 11, adică 10 / \u003d 11 etc.).
Multe numere naturale(serie naturală, numere întregi pozitive) este o mulțime N cu relația introdusă „urmați după”, în care sunt îndeplinite următoarele 4 axiome:
A 1. Mulțimea N conține un element numit unitatecare nu urmează niciun alt număr.
A 2. Pentru fiecare element al seriei naturale, urmează unul singur.
A 3. Fiecare N element urmează cel mult un element natural.
A 4. ( Axioma de inducție) Dacă un subset M al unei mulțimi N conține o unitate și împreună cu fiecare dintre elementele sale a conține și un element a / care îl urmează, atunci M coincide cu N.
Aceleași axiome pot fi rezumate în simboluri matematice:
А 1 ( 1 N) ( a N) a / ≠ 1
A 2 ( a N) ( a / N) a \u003d b \u003d\u003e a / \u003d b /
A 3 a / \u003d b / \u003d\u003e a \u003d b
Dacă elementul b urmează elementul a (b \u003d a /), atunci spunem că elementul a este precedent pentru elementul b (sau precedă b). Acest sistem de axiome se numește sisteme de axiome Peano (de când a fost introdus în secolul al XIX-lea de matematicianul italian Giuseppe Peano). Acesta este doar unul dintre seturile posibile de axiome care vă permit să definiți setul de numere naturale; există alte abordări echivalente.
Cele mai simple proprietăți ale numerelor naturale
Proprietatea 1... Dacă elementele sunt diferite, atunci următoarele sunt și ele diferite, adică
a b \u003d\u003e a / b /.
Dovezi se realizează prin metoda contradicției: să presupunem că a / \u003d b /, apoi (conform A3) a \u003d b, care contrazice condiția teoremei.
Proprietatea 2... Dacă elementele sunt diferite, atunci cele precedente (dacă există) sunt diferite, adică
a / b / \u003d\u003e a b.
Dovezi: să presupunem că a \u003d b, apoi, conform A2, avem a / \u003d b /, care contrazice condiția teoremei.
Proprietatea 3... Niciun număr natural nu este egal cu următorul.
Dovezi: Introducem în considerare setul M format din astfel de numere naturale pentru care această condiție este îndeplinită
М \u003d (a N | a a /).
Dovada va fi efectuată pe baza axiomei de inducție. Prin definiția mulțimii M, este un subset al mulțimii numerelor naturale. Mai mult, 1M, deoarece unitatea nu urmează niciun număr natural (A1) și, prin urmare, inclusiv pentru a \u003d 1, avem: 1 1 /. Să presupunem acum că unele a M. Aceasta înseamnă că a a / (prin definiția lui M), de unde a / (a /) / (proprietatea 1), adică a / M. Din cele spuse mai sus, pe baza axiomele de inducție, putem concluziona că M \u003d N, adică teorema noastră este adevărată pentru toate numerele naturale.
Teorema 4... Pentru orice număr natural, altul decât 1, există un număr care îl precedă.
Dovezi: Luați în considerare setul
М \u003d (1) (c N | ( a N) c \u003d a /).
М dat este un subset al setului de numere naturale, unitatea aparține în mod clar acestui set. A doua parte a acestui set este elemente pentru care există unele precedente, prin urmare, dacă a M, atunci a / aparține și lui M (a doua parte a acesteia, deoarece a / are o precedentă, este a). Astfel, pe baza axiomei de inducție, M coincide cu mulțimea tuturor numerelor naturale, ceea ce înseamnă că toate numerele naturale sunt fie 1, fie cele pentru care există un element precedent. Teorema este dovedită.
Coerența teoriei axiomatice a numerelor naturale
Ca model intuitiv al setului de numere naturale, se pot lua în considerare seturi de liniuțe: numărul 1 va corespunde |, numărul 2 || etc., adică seria naturală va avea forma:
|, ||, |||, ||||, ||||| ….
Aceste rânduri de liniuțe pot servi drept model al numerelor naturale dacă folosim „atribuirea unei liniuțe unui număr” ca relație „urmează după”. Valabilitatea tuturor axiomelor este intuitivă evidentă. Desigur, acest model nu este strict logic. Pentru a construi un model riguros, trebuie să aveți o altă teorie axiomatică evident consecventă. Dar nu avem la dispoziție o astfel de teorie, așa cum s-a menționat mai sus. Astfel, fie suntem obligați să ne bazăm pe intuiție, fie să nu recurgem la metoda modelelor, ci să facem referire la faptul că de mai bine de 6 mii de ani, timp în care se efectuează studiul numerelor naturale, nu au fost găsite contradicții cu aceste axiome.
Independența sistemului axiomelor Peano
Pentru a dovedi independența primei axiome, este suficient să construim un model în care axioma А 1 este falsă, iar axiomele А 2, А 3, А 4 sunt adevărate. Să considerăm numerele 1, 2, 3 ca termeni (elemente) primare, iar relația „urmează după” este definită de rapoartele: 1 / \u003d 2, 2 / \u003d 3, 3 / \u003d 1.
Nu există niciun element în acest model care să nu urmeze niciun altul (axioma 1 este falsă), dar toate celelalte axiome sunt îndeplinite. Astfel, prima axiomă este independentă de celelalte.
A doua axiomă are două părți - existența și unicitatea. Independența acestei axiome (în termeni de existență) poate fi ilustrată printr-un model de două numere (1, 2) cu următoarea relație dată de o singură relație: 1 / \u003d 2:
Pentru doi, elementul următor lipsește, în timp ce axiomele A 1, A 3, A 4 sunt adevărate.
Independența acestei axiome, în termeni de unicitate, este ilustrată de un model în care mulțimea N va fi mulțimea tuturor numerelor naturale obișnuite, precum și tot felul de cuvinte (seturi de litere care nu au neapărat un sens) compuse din litere ale alfabetului latin (după litera z, următoarea va fi aa, atunci ab ... az, apoi ba ...; toate cuvintele posibile din două litere, dintre care ultimul va fi zz, vor fi urmate de aaa și așa mai departe). Introducem relația „urmați” așa cum se arată în figură:
Aici axiomele A 1, A 3, A 4 sunt de asemenea adevărate, dar 1 este urmat imediat de două elemente 2 și a. Astfel, Axiom 2 nu depinde de celelalte.
Independența Axiom 3 este ilustrată de model:
în care A 1, A 2, A 4 sunt adevărate, dar numărul 2 urmează atât numărul 4, cât și numărul 1.
Pentru a demonstra independența axiomei de inducție, folosim mulțimea N formată din toate numerele naturale, precum și din trei litere (a, b, c). Puteți introduce următoarea relație în acest model așa cum se arată în figura următoare:
Aici, pentru numerele naturale, se folosește următoarea relație obișnuită, iar pentru litere, următoarea relație este definită de următoarele formule: a / \u003d b, b / \u003d c, c / \u003d a. Evident, 1 nu urmărește niciun număr natural, pentru fiecare există următorul și, în plus, doar unul, fiecare element urmează nu mai mult de un element. Cu toate acestea, dacă luăm în considerare un set M format din numere naturale obișnuite, atunci acesta va fi un subset al acestui set care conține unul, precum și următorul element pentru fiecare element din M. literele a, b, c. Astfel, axioma de inducție nu se menține în acest model și, prin urmare, axioma de inducție nu depinde de celelalte axiome.
Teoria axiomatică a numerelor naturale este categoric (complet în sens restrâns).
(n /) \u003d ( (n)) /.
Principiul inducției matematice complete.
Teorema inducției.Să se formuleze o oarecare afirmație P (n) pentru toate numerele naturale și să fie adevărată a) P (1), b) din faptul că P (k) este adevărat, rezultă că și P (k /) este adevărat. Apoi, afirmația P (n) este adevărată pentru toate numerele naturale.
Pentru dovadă, introducem mulțimea M a acestor numere naturale n (M (N) pentru care afirmația P (n) este adevărată. Vom folosi axioma A 4, adică vom încerca să dovedim că:
k M \u003d\u003e k / M.
Dacă reușim, atunci, conform axiomei A4, putem concluziona că M \u003d N, adică P (n) este adevărat pentru toate numerele naturale.
1) Prin condiția a) a teoremei, P (1) este adevărat; prin urmare, 1 M.
2) Dacă unele k M, atunci (prin construcția lui M) P (k) este adevărat. Prin condiția b) a teoremei, aceasta implică adevărul lui P (k /) și, prin urmare, k / M.
Astfel, prin axioma inducției (A4) M \u003d N și, prin urmare, P (n) este adevărat pentru toate numerele naturale.
Astfel, axioma inducției ne permite să creăm o metodă de demonstrare a teoremelor „prin inducție”. Această metodă joacă un rol cheie în demonstrarea principalelor teoreme ale aritmeticii referitoare la numerele naturale. Se compune din următoarele:
1) validitatea declarației este verificată pentrun=1 (baza de inducție) ,
2) validitatea acestei afirmații este asumată pentrun= kUndek - un număr natural arbitrar(ghicire de inducție) , și luând în considerare această ipoteză, validitatea declarației pentrun= k / (pas de inducție ).
O dovadă bazată pe un algoritm dat se numește dovadă prin inducție matematică .
Sarcini de auto-ajutor
Nr. 1.1. Aflați care dintre sistemele enumerate satisfac axiomele lui Peano (sunt modele ale mulțimii numerelor naturale), determinați ce axiome sunt îndeplinite și care nu.
a) N \u003d (3, 4, 5 ...), n / \u003d n + 1;
b) N \u003d (n 6, n N), n / \u003d n + 1;
c) N \u003d (n - 2, n Z), n / \u003d n + 1;
d) N \u003d (n - 2, n Z), n / \u003d n + 2;
e) numere naturale impare, n / \u003d n +1;
f) numere naturale impare, n / \u003d n +2;
g) Numere naturale cu raportul n / \u003d n + 2;
h) N \u003d (1, 2, 3), 1 / \u003d 3, 2 / \u003d 3, 3 / \u003d 2;
i) N \u003d (1, 2, 3, 4, 5), 1 / \u003d 2, 2 / \u003d 3, 3 / \u003d 4, 4 / \u003d 5, 5 / \u003d 1;
j) Numere naturale divizibile cu 3 cu raportul n / \u003d n + 3
k) Numere pare naturale cu raportul n / \u003d n + 2
m) Numere întregi, 
.
În construcția axiomatică a oricărei teorii matematice, sigur reguli:
· Unele concepte ale teoriei sunt alese ca de bază și sunt acceptate fără definiție;
· Fiecare concept al teoriei, care nu este inclus în lista celor de bază, primește o definiție;
· Axiomele sunt formulate - propoziții care sunt acceptate în această teorie fără dovezi; ele dezvăluie proprietățile conceptelor de bază;
· Fiecare propoziție a unei teorii care nu este conținută în lista axiomelor trebuie dovedită; astfel de propoziții se numesc teoreme și le demonstrează pe baza axiomelor și teoremelor.
Odată cu construcția axiomatică a unei teorii, toate afirmațiile sunt deduse din axiome prin dovadă.
Prin urmare, sistemul axiomelor este supus unor caracteristici speciale cerințe:
· Consistență (un sistem de axiome se numește consistent dacă este imposibil să se deducă logic din acesta două propoziții care se exclud reciproc);
· Independență (un sistem de axiome se numește independent dacă niciuna dintre axiomele acestui sistem nu este o consecință a altor axiome).
Un set cu o relație dată în el se numește modelul unui sistem dat de axiome dacă toate axiomele unui sistem dat sunt satisfăcute în el.
Există multe modalități de a construi un sistem de axiome pentru mulțimea numerelor naturale. Conceptul de bază poate fi luat, de exemplu, suma numerelor sau relația de ordine. În orice caz, trebuie să specificați un sistem de axiome care să descrie proprietățile conceptelor de bază.
Să oferim un sistem de axiome, acceptând conceptul de bază al operației de adunare.
Set non-gol N se numește mulțimea numerelor naturale dacă operația este definită în ea (a; b) → a + b, numit adunare și având proprietățile:
1. adiția este comutativă, adică a + b \u003d b + a.
2. adăugarea este asociativă, adică (a + b) + c \u003d a + (b + c).
4. în orice set ȘIcare este un subset al mulțimii NUnde ȘIexistă un număr așa încât toate hasunt egale a + bUnde bN.
Axiomele 1 - 4 sunt suficiente pentru a construi întreaga aritmetică a numerelor naturale. Dar cu o astfel de construcție nu mai este posibil să ne bazăm pe proprietățile mulțimilor finite care nu sunt reflectate în aceste axiome.
Să luăm ca concept de bază relația „urmează direct ...”, dată pe un set ne-gol N... Apoi, seria naturală a numerelor va fi mulțimea N, în care relația „urmează imediat” este definită, și toate elementele lui N vor fi numite numere naturale și următoarele axiomele lui Peano:
AXIOM 1.
În platouN există un element care nu urmează imediat niciun element din acest set. Îi vom numi o unitate și o vom nota cu simbolul 1.
AXIOM 2.
Pentru fiecare element a de laN există doar un element a imediat după a.
AXIOM 3.
Pentru fiecare element a de laN există cel mult un element urmat imediat de a.
AXOIM 4.
Orice subset M al setuluiN coincide cuNdacă are următoarele proprietăți: 1) 1 este conținut în M; 2) din faptul că a este conținut în M, rezultă că a este conținut și în M.
Multe N, pentru elementele cărora se stabilește relația „urmează direct ...”, care satisface axiomele 1 - 4, se numește set de numere naturale iar elementele sale sunt numere naturale.
Dacă ca set N pentru a alege un set specific, pe care este dată o relație specifică „urmează direct ...”, satisfacând axiomele 1 - 4, atunci obținem diferite interpretări (modele) dat sisteme de axiome.
Modelul standard al sistemului de axiome al lui Peano este o serie de numere care au apărut în procesul de dezvoltare istorică a societății: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Orice set numărabil poate fi un model al axiomelor lui Peano.
De exemplu, I, II, III, IIII, ...
ooo ooo oooo, ...
unu doi trei patru, …
Luați în considerare o secvență de mulțimi în care mulțimea (oo) este elementul inițial și fiecare mulțime ulterioară este obținută din cea anterioară prin alocarea unui cerc mai mult (Fig. 15).
Apoi N există un set format din seturi de tipul descris și este un model al sistemului axiomelor Peano.
Într-adevăr, în set Nexistă un element (oo) care nu urmează imediat niciun element al setului dat, adică Axioma 1. este valabilă. Pentru fiecare set ȘI setul luat în considerare, există un set unic care este obținut din ȘI prin adăugarea unui cerc, adică Axioma 2. este valabilă. Pentru fiecare set ȘI există cel mult un set din care setul ȘIprin adăugarea unui cerc, adică Axioma 3. se menține. Dacă MN și se știe că setul ȘI cuprins în M, rezultă că mulțimea în care există un cerc mai mult decât în \u200b\u200bmulțime ȘI, conținut și în Mapoi M \u003dNși, prin urmare, se menține Axiom 4.
În definiția unui număr natural, nici una dintre axiome nu poate fi omisă.
Să stabilim care dintre mulțimile prezentate în Fig. 16 sunt un model al axiomelor lui Peano.
|
Decizie. Figura 16 a) prezintă un set în care sunt îndeplinite axiomele 2 și 3. Într-adevăr, pentru fiecare element există unul singur imediat după el și există un singur element urmat de acesta. Dar acest set nu conține Axioma 1 (Axioma 4 nu are sens, deoarece setul nu conține un element care nu urmează imediat niciunui altul). Prin urmare, acest set nu este un model al axiomelor lui Peano.
Figura 16 b) prezintă un set în care axiomele 1, 3 și 4 sunt satisfăcute, dar în spatele elementului și urmează imediat două elemente și nu unul, așa cum se cere în axioma 2. Prin urmare, acest set nu este un model al axiomelor lui Peano.
În fig. 16 c) arată un set în care axiomele 1, 2, 4 sunt satisfăcute, dar elementul din urmează imediat imediat două elemente. Prin urmare, acest set nu este un model al axiomelor lui Peano.
În fig. 16 d) descrie o mulțime care satisface axiomele 2, 3 și dacă luăm numărul 5 ca element inițial, atunci acest set va satisface axiomele 1 și 4. Adică, în acest set pentru fiecare element există unul unic imediat după și există un singur element pe care îl urmează. Există, de asemenea, un element care nu urmărește imediat niciun element din acest set, acesta este 5 , acestea. se menține axioma 1. În consecință, se va ține și axioma 4. Prin urmare, acest set este un model al axiomelor lui Peano.
Folosind axiomele lui Peano, putem demonstra o serie de afirmații. De exemplu, vom demonstra că pentru toate numerele naturale inegalitatea x x.
Dovezi.Să denotăm prin ȘI ansamblul numerelor naturale pentru care aaNumăr 1 aparține ȘIîntrucât nu urmează niciun număr din Nși, prin urmare, nu urmează de la sine: 1 1. Lasa aA, apoi aa Denotăm și prin b... În virtutea axiomei 3, șib,acestea. b bși bА.
Metoda axiomatică în matematică.
Concepte și relații de bază ale teoriei axiomatice a seriei naturale. Determinarea unui număr natural.
Adunarea numerelor naturale.
Înmulțirea numerelor naturale.
Proprietățile mulțimii numerelor naturale
Scăderea și împărțirea numerelor naturale.
Metoda axiomatică în matematică
În construcția axiomatică a oricărei teorii matematice, anumite reguli:
1. Unele concepte ale teoriei sunt alese ca major și sunt acceptate fără definiție.
2. Formulat axiome, care în această teorie sunt acceptate fără dovezi, dezvăluie proprietățile conceptelor de bază.
3. Fiecare concept al teoriei care nu este inclus în lista celor de bază este dat definiție, își explică semnificația cu ajutorul conceptului principal și precedent.
4. Fiecare propoziție dintr-o teorie care nu se află în lista axiomelor trebuie dovedită. Astfel de propuneri sunt chemate teoreme și demonstrați-le pe baza axiomelor și teoremelor care o preced pe cea considerată.
Sistemul de axiome ar trebui să fie:
a) consecvent:trebuie să fim siguri că, tragând tot felul de concluzii dintr-un sistem dat de axiome, nu vom ajunge niciodată la o contradicție;
b) independent: nicio axiomă nu ar trebui să fie o consecință a altor axiome ale acestui sistem.
în) complet, dacă în cadrul său este întotdeauna posibil să se demonstreze fie această afirmație, fie negarea acesteia.
Primul experiment în construcția axiomatică a unei teorii poate fi considerat prezentarea geometriei de către Euclid în „Elementele” sale (secolul III î.Hr.). O contribuție semnificativă la dezvoltarea metodei axiomatice de construcție a geometriei și algebrei a fost adusă de N.I. Lobachevsky și E. Galois. La sfârșitul secolului al XIX-lea. matematicianul italian Peano a dezvoltat un sistem de axiome pentru aritmetică.
Concepte de bază și relații ale teoriei axiomatice a numerelor naturale. Determinarea unui număr natural.
Ca concept de bază (nedefinit) într-un anumit set N selectat atitudine și, de asemenea, a folosit concepte teoretice de seturi, precum și regulile logice.
Elementul imediat după element și,denota și".
Relația „urmează imediat” îndeplinește următoarele axiome:
Axiomele lui Peano:
Axioma 1... Decorul N există un element direct nu următorul dincolo de orice element al acestui set. O vom numi unitate și se notează prin simbol 1 .
Axioma 2... Pentru fiecare articol și de N există un singur element și" imediat urmatoare și .
Axioma 3... Pentru fiecare articol și de Nexistă cel mult un element urmat imediat de și .
Axioma 4. Orice subset M mulțimi N coincide cu N dacă are următoarele proprietăți: 1) 1 cuprins în M ; 2) din faptul că și cuprins în M , rezultă că și" cuprins în M.
Definiția 1... Multe N , pentru ale cărei elemente relația „Urmăriți direct»Axiomele satisfăcătoare 1-4 se numesc set de numere naturaleiar elementele sale sunt numere naturale.
Această definiție nu spune nimic despre natura elementelor setului N . Prin urmare, poate fi orice. Alegerea ca set N un set specific, pe care este stabilită o relație specifică „urmează direct”, satisfăcând axiomele 1-4, obținem modelul acestui sistem axiome.
Modelul standard al sistemului de axiome al lui Peano este o serie de numere care au apărut în procesul de dezvoltare istorică a societății: 1,2,3,4, ... Seria naturală începe cu numărul 1 (axioma 1); fiecare număr natural este urmat imediat de un singur număr natural (axioma 2); fiecare număr natural urmează imediat cel mult un număr natural (axioma 3); începând de la numărul 1 și trecând în ordine la cel imediat următor după celelalte numere naturale, obținem întregul set al acestor numere (axioma 4).
Deci, am început construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale cu alegerea elementului de bază urmează direct relația și axiomele care îi descriu proprietățile. Construcția ulterioară a teoriei implică luarea în considerare a proprietăților bine-cunoscute ale numerelor naturale și a operațiilor pe ele. Ele trebuie dezvăluite în definiții și teoreme, adică sunt deduse dintr-un mod pur logic din relația „urmează imediat”, iar axiomele 1-4.
Primul concept pe care îl vom introduce după definirea unui număr natural este atitudine „Imediat precede” , care este adesea folosit atunci când se iau în considerare proprietățile zonei naturale.
Definiția 2. Dacă un număr natural b urmează direct numar natural și, acel număr și numit imediat precedent (sau precedent) numărul b .
Relația „precede” are o serie de proprietăți.
Teorema 1. Unitatea nu are un număr natural precedent.
Teorema 2. Fiecare număr natural șialtul decât 1 are un singur număr precedent b,astfel încât b "= și.
Construcția axiomatică a teoriei numerelor naturale nu este luată în considerare nici în școala primară, nici în cea secundară. Cu toate acestea, acele proprietăți ale relației „urmează imediat”, care se reflectă în axiomele lui Peano, fac obiectul studiului în cursul inițial de matematică. Deja în clasa întâi, când luăm în considerare numerele primelor zece, devine clar modul în care poate fi obținut fiecare număr. În acest caz, se utilizează conceptele „ar trebui” și „preced”. Fiecare număr nou acționează ca o continuare a segmentului studiat al seriei naturale de numere. Elevii sunt convinși că fiecare număr este urmat de următorul și, în plus, doar unul, că seria naturală a numerelor este infinită.
Adunarea numerelor naturale
Conform regulilor pentru construirea unei teorii axiomatice, definiția adunării numerelor naturale trebuie introdusă folosind doar relația „Urmăriți direct”, și concepte "Numar natural" și „Numărul precedent”.
Prefațăm definiția adunării cu următoarele argumente. Dacă la orice număr natural șiadăugați 1, apoi obținem numărul și",imediat urmatoare și, adică și+ 1 \u003d a "și, prin urmare, obținem regula pentru adăugarea 1 la orice număr natural. Dar cum să adăugați la număr șinumar natural b,altul decât 1? Să folosim următorul fapt: dacă se știe că 2 + 3 \u003d 5, atunci suma 2 + 4 \u003d 6, care urmează imediat numărul 5. Acest lucru se întâmplă deoarece în suma 2 + 4 al doilea termen este numărul imediat după numărul 3. Deci 2 + 4 \u003d 2 + 3 " =(2+3)". În general, avem , .
Aceste fapte formează baza pentru definirea adunării numerelor naturale în teoria axiomatică.
Definiție 3. Adunarea numerelor naturale se numește operație algebrică cu următoarele proprietăți:
Număr a + b numit suma numerelor șiși b , și numerele în sine șiși b - termeni.
Acest sistem de axiome pentru teoria numerelor întregi nu este independent, așa cum sa menționat în exercițiul 3.1.4.
Teorema 1.Teoria axiomatică a numerelor întregi este consecventă.
Dovezi. Vom dovedi consistența teoriei axiomatice a numerelor întregi, presupunând că teoria axiomatică a numerelor naturale este consecventă. Pentru aceasta, vom construi un model pe care sunt îndeplinite toate axiomele teoriei noastre.
Să construim mai întâi un inel. Luați în considerare setul
N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.
a, b) numere naturale. Printr-o astfel de pereche înțelegem diferența de numere naturale a - b... Dar până când nu a fost dovedită existența unui sistem de numere întregi în care există o astfel de diferență, nu avem dreptul să folosim o astfel de denumire. În același timp, o astfel de înțelegere ne oferă posibilitatea de a seta proprietățile perechilor după cum avem nevoie.
Știm că diferențele diferite ale numerelor naturale pot fi egale cu același număr întreg. În consecință, introducem pe platou N´ N relație de egalitate:
(a, b) = (c, d) Û a + d \u003d b + c.
Este ușor de văzut că această relație este reflexivă, simetrică și tranzitivă. Prin urmare, este o relație de echivalență și are dreptul să fie numită egalitate. Setați factorul N´ N Z... Elementele sale vor fi numite numere întregi. Ele reprezintă clase de echivalență pe un set de perechi. Clasa care conține perechea
(a, b), denotăm prin [ a, b].
Z a, b] ca diferență a - b
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d];
[a, b] × [ c, d] = [ac + bd, ad + bc].
Trebuie avut în vedere faptul că, strict vorbind, utilizarea simbolurilor operației nu este complet corectă aici. Același simbol + denotă adunarea numerelor naturale și a perechilor. Dar, deoarece este întotdeauna clar în ce set se efectuează o anumită operație, aici nu vom introduce denumiri separate pentru aceste operații.
Este necesar să se verifice corectitudinea definițiilor acestor operațiuni și anume că rezultatele nu depind de alegerea elementelor ași bdefinirea perechii [ a, b]. Într-adevăr, lasă
[a, b] = [a 1 , b 1 ], [s, d] = [din 1 , d 1 ].
Înseamnă că a + b 1 = b + a 1 , c + d 1 = d + din 1. Adăugând aceste egalități, obținem
a + b 1 + c + d 1 = b + a 1 + d + din 1 Þ [ a + b, c + d] = [a 1 + din 1 , b 1 + d 1] Þ
Þ [ a, b] + [c, d] = [a 1 , b 1 ] + [c 1 , d 1 ].
Corectitudinea definiției multiplicării este determinată în mod similar. Dar aici trebuie verificat mai întâi că [ a, b] × [ c, d] = [a 1 , b 1] × [ c, d].
Acum ar trebui să verificăm dacă algebra rezultată este un inel, adică axiomele (Z1) - (Z6).
Să verificăm, de exemplu, comutativitatea adunării, adică axioma (Z2). Noi avem
[c, d] + [a, b] = = [a + c, b + d] = [a, b] + [c, d].
Comutativitatea adunării pentru numere întregi este derivată din comutativitatea adunării pentru numerele naturale, care este considerată a fi deja cunoscută.
Axiomele (Z1), (Z5), (Z6) sunt verificate în mod similar.
Perechea joacă rolul zero. O denotăm prin 0 ... Într-adevăr,
[a, b] + 0 = [a, b] + = [a +1, b +1] = [a, b].
In cele din urma, -[ a, b] = [b, a]. Într-adevăr,
[a, b] + [b, a] = [a + b, b + a] = = 0 .
Acum să verificăm axiomele extensiei. Trebuie avut în vedere faptul că în inelul construit nu există numere naturale ca atare, deoarece elementele inelului sunt clase de perechi de numere naturale. Prin urmare, este necesar să se găsească o subalgebră izomorfă la semiremiterea numerelor naturale. Iarăși ideea perechii [ a, b] ca diferență a - b... Numar natural n poate fi reprezentat ca diferența a două valori naturale, de exemplu, după cum urmează: n = (n + 1) - 1. Prin urmare, propoziția apare pentru a stabili corespondența f: N ® Z prin regulă
f(n) = [n + 1, 1].
Acest meci este injectiv:
f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m + 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m + 1) Þ n \u003d m.
Prin urmare, avem o corespondență unu-la-unu între N și unele subseturi Z, pe care o denotăm prin N *... Să verificăm dacă salvează operațiunile:
f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m +2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n + m);
f(n) × f(m) = [n + 1, 1] × [ m + 1, 1] = [nm + n + m +2, n + m +2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).
Astfel, s-a stabilit că N * formează în Z în ceea ce privește operațiile de adunare și multiplicare, subalgebra este izomorfă N
Desemnăm o pereche [ n + 1, 1] din N * n, prin n a, b] noi avem
[a, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .
Astfel, în cele din urmă, conceptul de pereche [ a, b] ca diferență de numere naturale. În același timp, s-a stabilit că fiecare element din setul construit Z este reprezentat ca diferența a două valori naturale. Acest lucru va ajuta la verificarea axiomei minimalității.
Lasa M -subset Z, conținând N *și împreună cu orice elemente și și b diferența lor a - b... Să dovedim că în acest caz M \u003dZ... Într-adevăr, orice element din Z este reprezentat ca diferența a două numere naturale, care aparțin condiției M împreună cu diferența sa.
Z
Teorema 2.Teoria axiomatică a numerelor întregi este categorică.
Dovezi. Să dovedim că oricare două modele pe care se susțin toate axiomele acestei teorii sunt izomorfe.
Să b Z 1, +, ×, N 1 ñ și á Z 2, +, ×, N 2 ñ - două modele ale teoriei noastre. Strict vorbind, operațiunile din ele ar trebui să fie notate cu simboluri diferite. Ne vom îndepărta de această cerință pentru a nu aglomera calculele: de fiecare dată este clar despre ce fel de operație vorbim. Elementele aparținând modelelor avute în vedere vor fi furnizate cu indicii corespunzători 1 sau 2.
Vom defini o cartografiere izomorfă a primului model la al doilea. pentru că N 1 și N 2 sunt semirings de numere naturale, apoi există o cartografiere izomorfă j a primului semiring la al doilea. Definim o cartografiere f: Z 1 ® Z 2. Fiecare număr întreg x 1 Î Z 1 este reprezentat ca diferența a două valori naturale:
x 1 \u003d a 1 - b 1. Credem
f (x 1) \u003d j ( a 1) – j ( b 1).
Să dovedim asta f - izomorfism. Cartarea este definită corect: dacă x 1 = la 1, unde y 1 = c 1 – d 1, atunci
a 1 - b 1 = c 1 – d 1 Þ A 1 + d 1 = b 1 + c 1 Þ j ( a 1 + d 1) \u003d j ( b 1 + c 1) Þ
Þ j ( a 1) + j ( d 1) \u003d j ( b 1) + j ( c 1) Þ j ( a 1) - j ( b 1) \u003d j ( c 1) - j ( d 1) Þ f(x 1) = f (y 1).
De aici rezultă că f - cartografiere fără echivoc Z 1 in Z 2. Dar pentru oricine X 2 din Z Se pot găsi 2 elemente naturale a 2 și b 2 astfel încât X 2 \u003d a 2 - b 2. Deoarece j este un izomorfism, aceste elemente au imagini inverse a 1 și b 1. Prin urmare, x 2 \u003d j ( a 1) –
j ( b 1) =
= f (a 1 - b 1), și fiecare element din Z 2 este un prototip. De aici și corespondența f unu la unu. Să verificăm dacă salvează operațiunile.
În cazul în care un x 1 \u003d a 1 - b 1 , y 1 \u003d c 1 - d 1, atunci
x 1 + y 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 + d 1),
f(x 1 + y 1) \u003d j ( a 1 + c 1) – j ( b 1 + d 1) \u003d j ( a 1) + j ( c 1) – j ( b 1) – j ( d 1) =
J ( a 1) – j ( b 1) + j ( c 1)– j ( d 1) = f(x 1) + f(y 1).
În mod similar se verifică dacă se păstrează multiplicarea. Astfel, s-a stabilit că f Este un izomorfism, iar teorema este dovedită.
Exerciții
1. Dovediți că orice inel care include un sistem de numere naturale include și un inel de numere întregi.
2. Demonstrați că fiecare inel comutativ minim ordonat cu unitate este izomorf pentru inelul întregilor.
3. Demonstrați că fiecare inel ordonat cu unitate și fără divizoare zero conține și un singur inel izomorf la inelul numerelor întregi.
4. Demonstrați că inelul matricilor de ordinul doi peste câmpul numerelor reale conține infinit de mulți subineluri izomorfi pentru inelul numerelor întregi.
Câmpul numărului rațional
Definiția și construcția sistemului numerelor raționale se realizează în același mod în care se face pentru sistemul numerelor întregi.
Definiție.Un sistem de numere raționale este un câmp minim care este o extensie a inelului numerelor întregi.
În conformitate cu această definiție, obținem următoarea construcție axiomatică a unui sistem de numere raționale.
Termeni primari:
Î - un set de numere raționale;
0, 1 - constante;
+, × - operații binare pe Q;
Z - subset Î, un set de numere întregi;
Е, Д - operații binare pe Z.
Axiome:
I. Axiome de câmp.
(Q1) a+ (b + c) = (a + b) + c.
(Q2) a + b \u003d b + a.
(Q3) (" a) a + 0 = a.
(Q4) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.
(Q5) a× ( b× c) = (a× b) × c.
(Q6) a× b \u003d b× A.
(Q7) și × 1 \u003d și.
(Q8) („ a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.
(Q9) ( a + b) × c \u003d a × c + b× c.
II. Axiome de extensie.
(Q10) á Z, M, L, 0, 1ñ este inelul numerelor naturale.
(Q11) Z Í Î.
(Q12) (" a, bÎ Z) a + b \u003d aÅ b.
(Q13) (" a, bÎ Z) a× b \u003d aÄ b.
III. Axioma minimalității.
(Q14) MÍ Î, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® a× b –1 Î M)Þ M = Î.
Număr a× b -1 se numește coeficient și și b, notat a/b sau.
Teorema 1.Orice număr rațional este reprezentat ca un coeficient de două numere întregi.
Dovezi. Lasa M - mulțimea numerelor raționale, reprezentată ca un coeficient de două numere întregi. În cazul în care un n - întreg, atunci n \u003d n/ 1 aparține M, prin urmare, ZÍ M... În cazul în care un a, bÎ Mapoi a \u003d k/ l, b \u003d m/ n,unde k, l, m, nÎ Z... Prin urmare, a/ b=
= (kn) / (lm)Î M... Prin axiomă (Q14) M= Î, iar teorema este dovedită.
Teorema 2.Câmpul numerelor raționale poate fi ordonat liniar și strict și într-un mod unic. Ordinea în câmpul numerelor raționale este Arhimede și continuă ordinea în inelul numerelor întregi.
Dovezi. Să denotăm prin Î + set de numere reprezentabile ca o fracție, unde kl \u003e 0. Este ușor de văzut că această condiție nu depinde de tipul fracției care reprezintă numărul.
Să verificăm asta Î + – parte pozitivă a câmpului Î... Din moment ce pentru un întreg kl sunt posibile trei cazuri: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, apoi pentru a \u003d obținem una dintre cele trei posibilități: a \u003d 0, aÎ Î +, –AÎ Î + ... Mai mult, dacă a \u003d, b \u003d aparține Î +, atunci kl > 0, mn \u003e 0. Atunci a + b \u003d, și ( kn + ml)ln \u003d kln 2 + mnl 2\u003e 0. Prin urmare, a + bÎ Î + ... Se verifică în mod similar că abÎ Î + ... În acest fel, Î + - partea pozitivă a câmpului Î.
Lasa Î ++ - orice parte pozitivă a acestui câmp. Noi avem
l \u003d .l 2 Î Î ++ .
De aici NÍ Î ++. Prin teorema 2.3.4, numerele inverse la numerele naturale aparțin, de asemenea Î ++. Apoi Î + Í Î ++. Prin teoremă 2.3.6 Î + =Î ++. Prin urmare, ordinele definite de părțile pozitive coincid și ele Î + și Î ++ .
pentru că Z + = NÍ Î +, apoi ordinea în Î continuă ordinea în Z.
Acum să fie a \u003d\u003e 0, b \u003d\u003e 0. Deoarece ordinea în inelul întregului este Arhimede, atunci pentru pozitiv knși ml există un firesc din astfel încât din× kn> ml... De aici dina \u003d din \u003e \u003d b. Prin urmare, ordinea în câmpul numerelor raționale este Arhimede.
Exerciții
1. Demonstrați că câmpul numerelor raționale este dens, adică pentru orice număr rațional a < b există un rațional r astfel încât a < r < b.
2. Dovediți că ecuația x 2 = 2 nu are soluții în Î.
3. Dovediți că setul Î numărabile.
Teorema 3.Teoria axiomatică a numerelor raționale este consecventă.
Dovezi. Consistența teoriei axiomatice a numerelor raționale este dovedită în același mod ca și pentru numerele întregi. Pentru aceasta, se construiește un model pe care sunt îndeplinite toate axiomele teoriei.
Luăm ca bază setul
Z´ Z * = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.
Elementele acestui set sunt perechi ( a, b) numere întregi. Printr-o astfel de pereche înțelegem coeficientul de numere întregi a/b... În conformitate cu aceasta, stabilim proprietățile perechilor.
Introduceți pe platou Z´ Z * relație de egalitate:
(a, b) = (c, d) Û ad \u003d bc.
Observăm că este o relație de echivalență și are dreptul să fie numită egalitate. Setați factorul Z´ Z * cu privire la această relație de egalitate prin care denotăm Î... Elementele sale vor fi numite numere raționale. Clasa care conține perechea ( a, b), denotăm prin [ a, b].
Introduceți în setul construit Î operații de adunare și multiplicare. Reprezentarea elementului [ a, b] ca privat a/ b... În conformitate cu aceasta, presupunem prin definiție:
[a, b] + [c, d] = [ad + bc, bd];
[a, b] × [ c, d] = [ac, bd].
Verificăm corectitudinea definițiilor acestor operații și anume că rezultatele nu depind de alegerea elementelor ași bdefinirea perechii [ a, b]. Acest lucru se face în același mod ca și în demonstrația teoremei 3.2.1.
Perechea joacă rolul zero. O denotăm prin 0 ... Într-adevăr,
[a, b] + 0 = [a, b] + = [a ×1 + 0 × b, b ×1] = [a, b].
Opus [ a, b] este o pereche - [ a, b] = [–a, b]. Într-adevăr,
[a, b] + [–a, b]= [ab - ab, bb] = = 0 .
Unitatea este o pereche \u003d 1 ... Inversul perechii [ a, b] - pereche [ b, a].
Acum să verificăm axiomele extensiei. Să stabilim o corespondență
f: Z ® Î prin regulă
f(n) = [n, 1].
Verificăm dacă aceasta este o corespondență unu-la-unu între Z și unele subseturi Î, pe care o denotăm prin Z *... În continuare verificăm dacă păstrează operațiile, ceea ce înseamnă că stabilește un izomorfism între Zși subring Z * în Î... Prin urmare, axiomele extensiei au fost verificate.
Desemnăm o pereche [ n, 1] din Z *corespunzător numărului natural n, prin n ... Apoi pentru o pereche arbitrară [ a, b] noi avem
[a, b] = [a,1] × \u003d [ a,1] / [b,1] = a /b .
Astfel, conceptul de pereche [ a, b] ca coeficient de numere întregi. În același timp, sa stabilit că fiecare element din setul construit Î este reprezentat ca un coeficient de două întregi. Acest lucru va ajuta la verificarea axiomei minimalității. Verificarea se efectuează ca în Teorema 3.2.1.
Astfel, pentru sistemul construit Î toate axiomele teoriei întregi sunt îndeplinite, adică am construit un model al acestei teorii. Teorema este dovedită.
Teorema 4.Teoria axiomatică a numerelor raționale este categorică.
Dovada este similară cu cea a teoremei 3.2.2.
Teorema 5.Un câmp ordonat arhimedean este o extensie a câmpului numerelor raționale.
Dovadă - ca exercițiu.
Teorema 6.Lasa F - Câmp comandat arhimedic, a > b,unde a, bÎ F... Există un număr rațional Î F astfel încât a > > b.
Dovezi. Lasa a > b ³ 0. Atunci a - b\u003e 0 și ( a - b) –1\u003e 0. Există un firesc t astfel încât m× 1\u003e ( a - b) –1, de unde m –1 < a - b £ și... Mai mult, există un firesc k astfel încât k× m –1 ³ a... Lasa k Este cel mai mic număr pentru care se menține această inegalitate. pentru că k \u003e 1, atunci putem pune k \u003d n + 1, n Î N... Unde
(n + 1) × m –1 ³ a, n× m –1 < a... În cazul în care un n× m –1 £ bapoi a = b + (a - b) > b + m –1 ³ n× m –1 + m –1 =
= (n + 1) × m -1. Contradicţie. Prin urmare, a > n× m –1 > b.
Exerciții
4. Demonstrați că orice câmp care include un inel de numere întregi include și câmpul numerelor raționale.
5. Demonstrați că fiecare câmp ordonat minim este izomorf pentru câmpul numerelor raționale.
Numere reale
Pentru numerele reale, notate cu (așa-numitul R tăiat), se introduce operația de adunare ("+"), adică fiecare pereche de elemente ( x,y) din mulțimea numerelor reale, elementul x + y din același set, numit suma x și y .
Axiome de multiplicare
A fost introdusă operația de multiplicare ("·"), adică pentru fiecare pereche de elemente ( x,y) din setul de numere reale, un element (sau, pe scurt, xy ) din același set, denumit produs x și y .
Relația dintre adunare și multiplicare
Axiome de ordine
Pe relația de ordine dată "" (mai mică sau egală), adică pentru orice pereche x y din cel puțin una dintre condiții sau.
Relația de ordine și relația de adăugare
Relația de ordine și multiplicare
Axioma continuității
cometariu
Această axiomă înseamnă că dacă X și Da - două seturi ne-goale de numere reale astfel încât orice element din X nu depășește niciun element din Da, atunci se poate introduce un număr real între aceste seturi. Această axiomă nu se aplică numerelor raționale; exemplu clasic: luați în considerare numerele raționale pozitive și faceți referire la set X acele numere al căror pătrat este mai mic de 2, iar restul - k Da... Apoi între X și Da nu puteți insera un număr rațional (nu un număr rațional).
Această axiomă cheie oferă densitate și astfel face posibilă construirea analizei matematice. Pentru a ilustra importanța sa, să subliniem două consecințe fundamentale ale acesteia.
Consecințele axiomelor
Unele proprietăți importante ale numerelor reale rezultă direct din axiome, de exemplu,
- unicitatea zero,
- unicitatea elementelor opuse și opuse.
Literatură
- Zorich V.A. Analiza matematică. Volumul I. M.: Fazis, 1997, capitolul 2.
Vezi si
Link-uri
Fundația Wikimedia. 2010.
Vedeți ce este „Axiomatica numerelor reale” în alte dicționare:
Un număr real sau real este o abstracție matematică care a apărut din necesitatea de a măsura cantitățile geometrice și fizice ale lumii înconjurătoare, precum și de a efectua operațiuni precum extracția rădăcinii, calcularea logaritmilor, rezolvarea ... ... Wikipedia
Numere reale sau reale, o abstracție matematică, care servește, în special, la reprezentarea și compararea valorilor mărimilor fizice. Un astfel de număr poate fi reprezentat intuitiv ca descriind poziția unui punct pe o linie ... ... Wikipedia
Numere reale sau reale, o abstracție matematică, care servește, în special, la reprezentarea și compararea valorilor mărimilor fizice. Un astfel de număr poate fi reprezentat intuitiv ca descriind poziția unui punct pe o linie ... ... Wikipedia
Numere reale sau reale, o abstracție matematică, care servește, în special, la reprezentarea și compararea valorilor mărimilor fizice. Un astfel de număr poate fi reprezentat intuitiv ca descriind poziția unui punct pe o linie ... ... Wikipedia
Numere reale sau reale, o abstracție matematică, care servește, în special, la reprezentarea și compararea valorilor mărimilor fizice. Un astfel de număr poate fi reprezentat intuitiv ca descriind poziția unui punct pe o linie ... ... Wikipedia
Numere reale sau reale, o abstracție matematică, care servește, în special, la reprezentarea și compararea valorilor mărimilor fizice. Un astfel de număr poate fi reprezentat intuitiv ca descriind poziția unui punct pe o linie ... ... Wikipedia
Numere reale sau reale, o abstracție matematică, care servește, în special, la reprezentarea și compararea valorilor mărimilor fizice. Un astfel de număr poate fi reprezentat intuitiv ca descriind poziția unui punct pe o linie ... ... Wikipedia
Wikționarul conține articolul "axiomă" Axiomă (alte greci ... Wikipedia
O axiomă găsită în diferite sisteme axiomatice. Axiomatica numerelor reale Axiomatica lui Hilbert a geometriei euclidiene Axiomatica teoriei probabilității a lui Kolmogorov ... Wikipedia
Se încarcă ...