گروه ضرب حلقه باقیمانده. گروه ضرب گروه ضرب یک حلقه با واحد

در §1.1 یک تعریف بدیهی از یک رشته داده شد ، مفاهیم معرفی شدند و مثالهایی از یک زمینه ساده و گسترده ارائه شد.

تعمیم آنچه در §1.1 و §1.3 گفته شد ، تعاریف زیر است:

1. برای زمینه های ساده:

2. برای زمینه های گسترده:

چند جمله ای π (x) ، علاوه بر نیاز به عدم کاهش ، منوط به یک نیاز اساسی دیگر است - عناصر غیر صفر این میدان قدرت ریشه α چند جمله ای π (x) هستند .

اگر عناصر میدان غیر صفر باشد GF (متر) می تواند به عنوان قدرت برخی از عناصر α نشان داده شود ، سپس α عنصر بدوی این زمینه نامیده می شود.

در §1.1 نشان داده شد که این قسمت GF (2 2 ) دارای 1 ، α ، 1 + α به عنوان عناصر غیر صفر است ، جایی که α ریشه π (x) \u003d 1 + x + x 2 است ، به عنوان مثال 1 + α + α 2 \u003d 0. از آنجا که 1 \u003d α 0 ، و 1 + α \u003d α 2 ، بنابراین تمام عناصر غیر صفر است GF (2 2 ) با قدرت ریشه π (x) نشان داده می شوند. عنصر α یک عنصر ابتدایی است Gf(2 2 ) و π (x) \u003d 1 + x + x 2 یک چند جمله ای غیرقابل کاهش ابتدایی است.

زمینه را در نظر بگیرید GF (5)از آنجا که 5 یک عدد اصلی است ، مدول حلقه حلقه 5 قسمت را تشکیل می دهد GF (5)جدول جمع و ضرب مدول 5 در 31.3 آورده شده است. یک عنصر ابتدایی نیز برای این قسمت وجود دارد که درجات آن توسط همه عناصر غیر صفر این رشته داده می شود. به عنوان مثال ، 2 0 \u003d 1 ، 2 1 \u003d 2 ، 2 2 \u003d 4 ، 2 3 \u003d 8 \u003d 3.2 4 \u003d 16 \u003d 1.2 \u003d 5 5 \u003d 32 \u003d 2.

این مثالها را می توان به صورت زیر خلاصه کرد. در هر گروه ضرب محدود ، می توان مجموعه عناصر تشکیل شده توسط برخی از عناصر g و قدرتهای آن g 2 ، g 3 و غیره را در نظر گرفت. از آنجا که تعداد محدودی از عناصر در گروه وجود دارد ، تکرار ناگزیر ظاهر می شود ، یعنی برای بعضی از i و j g i \u003d g j خواهد بود.

اگر g i \u003d g j مشاهده شود ، پس g j - i \u003d 1. بنابراین ، مقداری از قدرت g برابر است با 1 ه کوچکترین عدد مثبت است , که در آن g ه =1. مجموعه عناصر 1 ، g ، g 2 ، ... ، g e -1 برای عملکرد ضرب یک زیر گروه تشکیل می دهد ، یک عنصر واحد 1 ، بسته بودن ، وجود عناصر معکوس وجود دارد: برای g i عنصر معکوس g e - i. گروهی متشکل از تمام درجات یکی از عناصر خود این نام را دریافت کردند گروه چرخه ای .

عدد ه ترتیب عنصر نامیده می شود g .

به طور خلاصه موارد فوق به شرح زیر است:

اگر یک گروه ضرب کننده q شامل یک زیر گروه چرخه ای از عناصر e تولید شده توسط برخی از عناصر g باشد ، تعداد کاست های تجزیه گروه به زیر گروه چرخه q / e خواهد بود ، و هر مجموعه نیز حاوی عناصر e خواهد بود. از این رو ، جمله زیر درست است:

جایی که φ (ه ) آیا تابع اویلر استبرابر با تعداد اعداد تقلبی با ه و کوچکتر ه... عملکرد اولر را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

اگر ه - شماره ترکیبی فرم ه =
جایی که پمن \u003e 1 ساده است ، و منمن یک عدد طبیعی است و من = 1,2, ... تیسپس

φ( ه) =
.

به طور خاص ، برای یک ساده است Rو کل و

φ( r و)= r و - r a-1 , φ( r) = p - 1

بعلاوه،

φ( و 1 و 2) \u003d φ ( و 1) φ ( و 2),

اگر و 1 و و 2 نسبتاً ساده است.

برای مثال:

φ (1) \u003d 1 ، φ (4) \u003d 2 ،

φ (2) \u003d 1 ، φ (5) \u003d 4 ،

φ (3) \u003d 2 ، φ (6) \u003d 2.

مثال 1.4.1... تعداد عناصر Ni میدان GF (2 6) را با ترتیب i \u003d 1 ، 3 ، 7 ، 9 ، 21 ، 63 تعیین کنید.

راه حل: Ni \u003d φ (i) ، جایی که φ (i) تابع اویلر است ، برای محاسبه اینکه شما باید بدانید تجزیه متعارف عدد i:

1 \u003d 1 ، 3 \u003d 3 ، 7 \u003d 7 ، 9 \u003d 3 2 ، 21 \u003d 3 × 7 ، 63 \u003d 3 2 × 7.

اکنون می یابیم:

N9 \u003d φ (9) \u003d 9 (1-1 / 3) \u003d 9 × 2/3 \u003d 6 ،

N21 \u003d φ (21) \u003d 21 (1-1 / 3) (1-1 / 7) \u003d 21 × 2/3 6/7 \u003d 12 یا φ (21) \u003d φ (3) φ (7) \u003d 2 × 6 \u003d 12 ،

N63 \u003d φ (63) \u003d 63 (1-1 / 3) (1-1 / 7) \u003d 63 × 2/3 6/7 \u003d 36.

اعداد در نظر گرفته شده 1 ، 3 ، 7 ، 9 ، 21 ، 63 مقسوم کننده 63 هستند و بنابراین کلیه ترتیب های احتمالی عناصر گروه ضرب زمینه GF را تعیین می کنند (2 6). نتیجه را می توان به صورت زیر خلاصه کرد:

نتیجه مهم آنچه در نظر گرفته شده موارد زیر است و - عنصر بدوی GF (p m) سفارش و برابر است با p m-1 ، یعنی α
\u003d 1 اگر در میان عناصر میدان GF (p m) یک عنصر β از نظم p r -1 وجود داشته باشد ، جایی که r< m, т.е. βα ، سپس توالی عناصر β 1 ، β 2 ،… ،
=
، یک زیر گروه چرخشی از گروه ضرب GF (p m) تشکیل می دهد ، یعنی شامل تمام عناصر غیر صفر از قسمت جدید GF (p r) است ، که زیرمجموعه ای از GF (p m) است. بنابراین ،

در § 2.1 نشان داده خواهد شد اگر p r m را تقسیم کند اگر r m را تقسیم کند. پس بالاخره

مثال 1.4.2به عنوان مثال ، زیرشاخه های میدان GF را در نظر بگیرید (2 12). عدد 12 بر 6،4،3 و 2 قابل تقسیم است ، یعنی در این زمینه GF (2 12) به عنوان زیرمجموعه از زمینه های GF (2 6) ، GF (2 4) ، GF (2 3) ، GF (2 2) وجود دارد. از آنجا که هر فیلد گسترده شامل یک قسمت اصلی است ، هر یک از قسمتهای مشخص شده شامل یک قسمت GF (2) است. بگذارید گروه های حلقوی رشته های مورد بررسی را پیدا کنیم. بیایید عناصر اولیه فیلدها را مشخص کنیم:

GF (2 12) → α، GF (2 6) → β، GF (2 4) → γ، GF (2 3) → δ، GF (2 2) → ε، GF (2) → ζ.

اجازه دهید عناصر غیر صفر فیلدها را از نظر قدرت عناصر بدوی بیان کنیم:

GF (2 12): α 1 ، α 2 ، α 3 ، ... ، α 4095 \u003d α -1 \u003d 1 \u003d α 0 و ترتیب α 4095 است.

GF (2 6): β 1 ، β 2 ، β 3 ،… ، β 63 \u003d β -1 \u003d 1 \u003d β 0 و ترتیب β 63 است. GF (2 4): γ 1 ، γ 2 ، γ 3 ، ... ، γ 15 \u003d γ -1 \u003d 1 \u003d γ 0 و ترتیب γ 15 است. GF (2 3): δ 1 ، δ 2 ، δ 3 ، ... ، δ 7 \u003d δ -1 \u003d 1 \u003d δ 0 و ترتیب δ 7 است. GF (2 2): ε 1 ، ε 2 ، ε 3 \u003d ε -1 \u003d 1 \u003d ε 0 و ترتیب ε 3 است. GF (2): ζ 1 \u003d ζ -1 \u003d 1 \u003d ζ 0 و ترتیب ζ 1 است.

عناصر زمینه های GF (2 6) ، GF (2 4) ، GF (2 3) ، GF (2 2) و GF (2) در GF (2 12) گنجانده شده اند. علاوه بر این ، β \u003d α 65 ، از آنجا که β 63 \u003d α 4095 \u003d 1 \u003d (α 65) 63. به طور مشابه γ \u003d α 273 ، δ \u003d α 585 ، ε \u003d α 1365 ، ζ \u003d α 4095. رابطه بین زمینه های در نظر گرفته شده در شکل 1.1 نشان داده شده است.

شکل 1.1 فیلد GF (2 12) و زیرمجموعه های آن

فصل 2 چند جمله ای X n -1 ، ریشه ها و عوامل غیرقابل کاهش آن است

2.1 .اتصال بین ریشه X n -1 و عناصر میدان Gf ( س )

چند جمله ای X n-1 ، عوامل غیرقابل کاهش آن و ریشه های آن نقش اساسی در ساخت مهمترین کلاس کدهای گروه - کدهای حلقوی - دارند. دانستن ریشه عوامل X n -1 به شما امکان می دهد مشکل انتخاب کد مورد نیاز برای یک کانال گسسته خاص را حل کنید.

مورد کلی را در نظر بگیرید:

بگذارید X n-1 روی فیلد GF (q) تعریف شود. شناخته شده است که GF (q) دارای یک گروه چرخشی از q-1 از عناصر غیر صفر آن است.

ترتیب هر عنصر غیر صفر GF (q) نمی تواند بالاتر از q-1 باشد ، به این معنی که α q -1 \u003d 1 برای هر عنصر غیر صفر α از GF (q) ، به عنوان مثال هر عنصر غیر صفر GF (q) X q-1 را صفر می کند و بنابراین ریشه آن است. از آنجا که X q -1 -1 دقیقاً ریشه q-1 دارد ، بنابراین ، تمام عناصر غیر صفر GF (q) ریشه X q -1 هستند.

به این ترتیب

در مورد کدهای حلقوی باینری ، ما به چند جمله ای علاقه مند هستیم که در زمینه های گسترده Galois GF (2 متر) ریشه داشته باشد. مطابق با نتیجه فوق ، عبارت زیر درست است:

مهم است که بتوان مجموعه ای از عناصر GF (q) ، در مورد خاص GF (2 متر) را با ریشه عوامل غیرقابل کاهش X q -1 -1 مقایسه کرد (در حالت باینری ، با ریشه X -1-) ، دقیقاً مانند ریشه های X n-1 برای دلخواه n.

هنگام شناسایی فاکتورهای X n-1 ، ویژگی های زیر مفید هستند ، که توصیف کننده اتصالات بین عناصر GF (q) و چند جمله ای ها هستند که تقسیم کننده های X n -1 هستند.

املاک 1... حضور در دو جمله ای X n-1 از فاکتورهای فرم X m-1 ، جایی که m

بگذارید n \u003d m × d ، جایی که n ، m و d عدد صحیح مثبت هستند. دو جمله ای Y d-1 را در نظر بگیرید بدیهی است که برای Y \u003d 1 از بین می رود و 1 ریشه Y d-1 است.

سپس ، با قضیه بزوت ، Y d-1 بر Y-1 قابل تقسیم است. فرض کنید Y \u003d X m. بنابراین ، بدیهی است که X md-1 بر X m-1 قابل تقسیم است. بنابراین ، موارد زیر درست است:

خاصیت 2زمینه های گالوسی GF (p متر) که توسط کلاس های باقی مانده چند جمله ای مدول تشکیل می شود یک چند جمله ای ابتدایی π (x) درجه m غیرقابل کاهش در زمینه GF (p) نامیده می شود مشخصات فنیp برای هر انتخاب متر. در قسمت GF (p) ، عنصر p \u003d 0.

در یک قسمت مشخصه p ، برای هر عدد a و b ، قضیه دو جمله ای معتبر است:

(a + b) p \u003d a p + C a p-1 b + C a p-2 b 2 + ... + b p ،

که در آن ضرایب دو جمله ای C i محاسبه شده توسط فرمول:

بنابراین ، درست است:

املاک 3اجازه دهید چند جمله ای f (x) \u003d a0 + a1x + ... + amx متر درجه m غیر قابل کاهش باشد

زمینه GF (p). (f (x)) p را در نظر بگیرید.

توسط مالکیت قبلی:

(f (x)) p \u003d (a 0) p + (a1x 1) + ... + (amx m) p \u003d

A0 p + a1 p (x p) ’+ ... + am p (x p) m \u003d

A0 + a1 (x p) ’+ ... + am (x p) m \u003d f (x p).

این نتیجه بدست می آید به این دلیل که برای هر عنصر a i از GF (p) درست است: ai p -1 \u003d 1 و ai p \u003d ai.

بگذارید β ریشه f (x) باشد ، سپس f (β) \u003d 0 باشد.

با توجه به نتیجه به دست آمده (f (β)) p \u003d f (β p) \u003d 0 ، یعنی برای هر ریشه β از چند جمله ای f (x) ، درست است که β پ همچنین یک ریشه است f(ایکس) از آنجا که چند جمله ای غیرقابل کاهش است f(ایکس) درجه متر کل دارد متر ریشه ها و یکی از ریشه های آن پس β است متر درجه β از p 0 \u003d 1 تا p m -1 ریشه های f ( ایکس) ، یعنی درست است:

اگر f(ایکس) چند جمله ای درجه m با ضرایب از این زمینه است Gf(پ) در این زمینه غیرقابل کاهش است ، و β یک ریشه f است ( ایکس) ، سپس β ، β p ، ... ، β p
- همه ریشه ها f(ایکس).

4نتیجه مستقیم اموال 3 موارد زیر است:

همه ریشه های چند جمله ای غیرقابل کاهش نظم یکسانی دارند.

برای اثبات این ویژگی ، فرض کنید که ریشه های چند جمله ای غیرقابل کاهش است f(ایکس) درجه متر β از نظم است ه و β مرتب سازی من... سپس (β ) ه = (β ه)=1، و بنابراین هتقسیم بر من... بطور مشابه ، β من = (β ) من =β
=((β ) من)
=1
\u003d 1 ، به طوری که من تقسیم بر ه. .چون ه و من اعداد صحیح مثبت هستند ، بنابراین ه = من، که مالکیت 4 را اثبات می کند.

اموال 5در بالا ، مکاتبات یک به یک بین عناصر غیر صفر نشان داده شده است Gf(پ متر) و ریشه های دوجمله ای ایکس
-1 ... ما نوع چند جمله ای را تعریف می کنیم که ریشه های آن همه عناصر زمینه هستند Gf(پ متر) بگذار α - یک عنصر دلخواه از قسمت سفارش پ متر -1 ... پس درست است: α \u003d α ، یعنی α ریشه معادله است

ایکس - ایکس = 0.

این نتیجه در ادبیات معروف است قضیه فرما:

هر عنصر α زمینه های Gf ( پ متر ) هویت را برآورده می کند α =α یا معادل آن ریشه این معادله است ایکس - x \u003d 0 .

نتیجه قضیه فرما این واقعیت است که دوجمله ای است ایکس - ایکس می تواند به عنوان یک اثر ارائه شود پ متر عوامل به شرح زیر است:

جایی که آ من = Gf(پ متر) ، یعنی همه عناصر آ من یا Gf(پ متر) ریشه های دو جمله ای هستند ایکس - ایکس ، و هر ریشه فقط یک بار اتفاق می افتد.

در بالا ، ما نشان دادیم که عنصر میدان است Gf(پ متر) α سفارش پ متر -1 ابتدایی نامیده می شود و هر عنصر غیر صفر این رشته درجه است α ، به عنوان مثال ، برای عناصر غیر صفر آ من نمایشگاه آ من = α من ، جایی که من مقداری را از آن می گیرم 1 قبل از پ متر -1.

املاک 6

ویژگی 3 ارتباطی بین توالی های ریشه های یک چند جمله ای غیرقابل کاهش را برقرار می کند f(ایکس) طبیعی است که ریشه را تصور کنیم f(ایکس) - عنصر زمینه توسعه یافته Gf(پ متر) حداکثر درجه چند جمله ای غیرقابل کاهش با ریشه از چه می تواند باشد Gf(پ متر) یا همان چیست - حداکثر درجه فاکتور غیرقابل کاهش چیست ایکس - ایکس ?

پاسخ این سوال با تجزیه و تحلیل حداکثر درجه احتمالی توالی ریشه ها داده می شود:

در نظر گرفتن توالی نیروها در بیان ریشه از نظر عنصر بدوی این زمینه راحت است Gf(پ متر) سپس توالی فوق ریشه ها به طور منحصر به فرد با دنباله درجه عناصر اولیه مطابقت دارد:

(ها,

پ 2 s,

پ 3 s,…, پ
د)

جایی که متر s کوچکترین عدد مثبت است به طوری که پ ها=sمدول پ متر -1 ... مدول پ متر -1 منعکس کننده ترتیب عنصر بدوی است. در توالی درجه ریشه ، درجه بعدی β =β ، یعنی

حداکثر درجه چند جمله ای غیرقابل کاهش در گسترش - و همچنین در گسترش چند جمله ای - ، متر.

توالی بسته به مقدار ، محصور در مهاربندهای مجعد ، به نام کلاس سیکلوتومیک sممکن است حاوی باشد متر s مترعناصر. عدد s که در ابتدای کلاس سیکلوتومی قرار دارد ، نام تولید کننده یا نماینده کلاس سیکلوتومی را دریافت می کند. در زیر نشان داده خواهد شد که تعداد عناصر موجود در کلاس سیکلوتومی m باید تقسیم کننده عدد m باشد. موارد زیر درست است:

مجموعه ای از اعداد صحیح که قدرت های یک عنصر ابتدایی را نشان می دهند α زمینه های Gf(پ متر) در نمایش عناصر غیر صفر این میدان در قالب یک گروه چرخه ای به زیرمجموعه هایی تقسیم می شود که مدول کلاسهای سیکلوتومیک نامیده می شوند پ متر -1. هر کلاس سیکلوتومی به طور منحصر به فردی با یکی از عوامل غیرقابل کاهش مطابقت دارد - .

واضح است که:

تعداد کل کلاسهای سیکلوتومیک برای این رشته Gf(پ متر) با تعداد فاکتورهای غیرقابل کاهش چند جمله ای منطبق است - ، و مجموعه عناصر تحت پوشش کلاسهای سیکلوتومیک تمام عناصر غیر صفر این زمینه را ترسیم می کند Gf(پ متر).

به عنوان مثال ، کلاسهای سیکلوتومیک مدول 15 برای پ =2 هستند:

از جانب 0(15) ={0 },

ج 1(15) ={1 ,2 ,4 ,8 },

ج 3(15) ={3 ,6 ,12 ,9 },

ج 5(15) ={5 ,10 },

ج 7(15) ={7 ,14 ,13 ,11 }.

اینجا از جانب S (15) نشانگر یک کلاس سایکلوتومیک mod 15 است که با یک عدد شروع می شود s.

تجزیه و تحلیل توالی های داده شده به این معنی است که دوجمله ای ایکس 15 1+ بالای قسمت Gf(2 ) شامل 5 فاکتورهای غیرقابل کاهش: یک عامل درجه 1 با ریشه مرتبه 1 ، یک عامل درجه 2 با ریشه مرتبه 3 و سه عامل درجه 4 ، دو عامل دارای درجه ریشه 15 و یکی دیگر از آنها دارای ترتیب ریشه 5 است. نتایج این تجزیه و تحلیل نشان می دهد که توالی ج 0(15) مربوط به چند جمله ای است ایکس 1+ توالی ج 5(15) مربوط به چند جمله ای درجه 2 با ریشه های ترتیب 3 است - این یک چند جمله ای است x 2+ x +1 - عامل غیرقابل کاهش دوجمله ای x 3 +1 ؛ توالی ج 3(15) مربوط به یک عامل غیرقابل کاهش از درجه 4 دوجمله ای است x 5 + 1 \u003d ( ایکس +1)( ایکس 4 + ایکس 3 + ایکس 2 + ایکس 1+) ، از این رو ترتیب ریشه ها برابر با پنج است. چند جمله ای های مربوط به توالی ها ج 1(15) و ج 7(15) را می توان براساس قضیه بزوت یافت:

f 1 (ایکس)= (ایکس+ α ))(ایکس+ α 2 ))(ایکس+ α 4 ))(ایکس+ α 8 ),

f 7 (ایکس)= (ایکس+ α 7 )(ایکس+ α 11 )(ایکس+ α 13 ))(ایکس+ α 14 ).

تحلیل چند جمله ای ها f 1 (ایکس) و f 7 (ایکس) در زیر اجرا خواهد شد.

7تجزیه و تحلیل چند جمله ای های غیرقابل کاهش در تجزیه X

ریشه در میان عناصر GF (2 4) نشان می دهد که درجه از همه از چند جمله ای های غیرقابل کاهش: 1 ، 2 ، 4 تقسیم کننده 4 هستند. اجازه دهید این نتیجه را با استدلال زیر تعمیم دهیم.

بگذارید f (x) یک عامل غیرقابل کاهش درجه d ≤ m از چند جمله ای X باشد -X و بگذارید β یک عنصر از نظم p d-1 در زمینه GF (بعد از ظهر) باشد ، که یک عنصر ابتدایی از GF فرعی (pd) از زمینه GF (بعد از ظهر) است ، به گروه چرخه ای GF (بعد از ظهر) به ترتیب PM-1 تعلق دارد. ، و این تنها در صورتی امکان پذیر است که d m را تقسیم کند. از این رو درست است:

8استدلال مشابه منجر به بیان زیر می شود:

املاک 9

بیایید جزئیات چند جمله ای GF را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم:

f1 (ایکس) = (ایکس+ α )(ایکس+ α 2 )(ایکس+ α 4 )(ایکس+ α 8 ),

f7 (ایکس) = (ایکس+ α 7 )(ایکس+ α 11 )(ایکس+ α 13 )(ایکس+2 14 ).

ریشه این چند جمله ای ها عناصر زمینه GF هستند (2 4). با در نظر گرفتن قوانین جمع و ضرب در این زمینه ، با ضرب ساده می یابیم:

f1 (ایکس) = 1+ ایکس+ ایکس 4 ,

f7 (ایکس) = 1+ ایکس 3 + ایکس 4 .

چند جمله ای های f1 (x) و f7 (x) چند جمله ای های دوگانه (متقابل) هستند.

چند جمله ای f * (x) ، دو تا برخی چند جمله ای f (x) ، به عنوان f * (x) \u003d x m f (1 / x) تعریف می شود ، جایی که m درجه f (x) است.

برای چند جمله ای دوگانه f * (x) و f (x) درست است:

1. ریشه های f * (x) با ریشه های f (x) معکوس است.

2. چند جمله ای f * (x) در صورتی کاهش می یابد که فقط اگر f (x) غیرقابل کاهش باشد.

3- اگر چند جمله ای f (x) غیرقابل کاهش باشد ، f (x) و f * (x) متعلق به همان بیان هستند.

4) گروه ضرب کسرها توسط
module n
تعیین آن تا حدودی دشوارتر است
گروه ضربی کسورات توسط
module n عناصر این گروه تشکیل می شوند
مجموعه Z * n ، متشکل از عناصر Zn ،
coprime with n. مفهوم متقابل
سادگی به معنای زیر است:
اگر k یک عدد صحیح است ، پس gcd (a، n) \u003d 1
برابر است با GCD (a + kn، n) \u003d 1.

قضیه 7.

سیستم
یک گروه آبلیان محدود است.

شواهد و مدارک.

اجازه دهید بررسی کنیم که هر عنصری دارد
عکس این به معنای عملیات گروهی است.
(کلاس C1 عنصر خنثی است).
برای پیدا کردن معکوس عنصر a ، در نظر بگیرید
سه گانه (d ، x ، y) با روش بازگشت داده می شود
Extended-Euclid (a، n). از آنجا که
، اعداد a و n
coprime هستند و بنابراین d \u003d gcd (a، b) \u003d 1
تبر + ny \u003d 1 و
، به این روش ،
عنصر معکوس است
در یک گروه
.

منحصر به فرد بودن مکالمه را می توان اثبات کرد
(برای هر گروه) به شرح زیر است:
اگر x و x 'معکوس a باشند ، پس
,
و با مرتب سازی مجدد براکت ها توسط تداعی ،
گرفتن
، ch.d.

در ادامه ، برای سادگی ، مدول جمع و ضرب را با علامت های معمول + و ∙ (گاهی اوقات علامت ضرب را حذف می کنیم) ، و addit را نشان خواهیم داد

در ادامه ، برای سادگی ، نشان خواهیم داد
مدول جمع و ضرب معمولی
علائم + و ∙ (بعضی اوقات علامت ضرب را حذف می کنند) ، و
گروههای افزودنی و ضربی
modulo باقی مانده با Zn و Z * n مشخص می شود
(بدون اشاره به عملیات گروهی). عنصر ،
معکوس (با توجه به ضرب)
به a ، a-1mod n را نشان خواهیم داد. مثل همیشه،
ضریب a / b در Z * n به این صورت تعریف می شود
ab-1 (mod n) به عنوان مثال ، در
ما داریم
(مد 15) ،
چون
از جایی که
.

5) تعداد عناصر برگشت پذیر در حلقه باقی مانده.

تعداد عناصر برگشت پذیر در یک حلقه
کسر ، یعنی تعداد عناصر موجود در
,
نشان داده شده
... تابع فراخوانی می شود
- عملکرد اویلر.

می توان فرمول زیر را برای تابع اویلر ثابت کرد: این فرمول را می توان به شرح زیر توضیح داد: مورد

می توان چنین فرمولی را برای عملکرد ثابت کرد
اولر:
(3)
جایی که p1 ،…. ، ps لیستی از تمام بخشهای اصلی است
number n می توانید این فرمول را به شرح زیر توضیح دهید:
یک عدد تصادفی t تطبیق n است اگر
با p1 قابل تقسیم نیست (احتمال آن این است که)
(1-1 / p1)) ، بر p2 قابل تقسیم نیست (احتمال (1-1 / p2))
و غیره ، و این وقایع مستقل هستند.

برای مثال،
,
از تقسیم کننده های اصلی 45
اعداد 3 و 5 هستند. برای یک عدد اول
ما داریم
(4)
از آنجا که همه اعداد 1،2 ، ... ، p -1 تطبیق تا p هستند.
اگر عدد n مرکب باشد ، پس

6) زیرگروه ها.

بگذار
یک گروه است و
.
اگر
همچنین یک گروه است ، پس
زیر گروه گروه نامیده می شود
... برای مثال،
اعداد زوج یک زیر گروه از اعداد صحیح را تشکیل می دهند
(با عمل جمع).

10. اگر یک زیر گروه از یک گروه محدود است ، پس تقسیم می شود.

قضیه 8 (لاگرانژ).
اگر
یک زیر گروه از یک گروه محدود است
سپس
تقسیم می کند
,

11. اثبات.

را می توان در کتابهای جبری یافت (گروه S
به کلاسهای جداگانه تقسیم می شود
نوع
، که هر کدام حاوی
عناصر).
زیر گروه S از گروه S ، منطبق با نیست
کل گروه ، به نام خود
زیرگروه.

12. نتیجه 8.1.

اگر S 'یک زیر گروه مناسب از متناهی است
گروه S ، پس
.
این نتیجه (آشکار) قضیه لاگرانژ است
در تجزیه و تحلیل احتمالات استفاده می شود
الگوریتم شیلر-رابین
(بررسی سادگی).

13. 7) زیرگروه تولید شده توسط عنصری از گروه.

بگذارید یک عنصر محدود باشد
از S. توالی را در نظر بگیرید
عناصر
با تشبیه با درجه (کار گروهی)
مربوط به ضرب است) ما خواهیم نوشت
و غیره.
درک آن آسان است
,
به خصوص
... مشابه
این بیانیه همچنین می تواند برای
"درجات منفی"
به خصوص
.

14. اگر گروه S متناهی باشد ، توالی دوره ای خواهد بود (عنصر بعدی توسط عنصر قبلی تعیین می شود ، بنابراین یک بار تکرار ، ایمیل

اگر گروه S محدود باشد ، پس
توالی
دوره ای خواهد بود (عنصر بعدی
بنابراین توسط مورد قبلی تعریف شده است
تکرار ، عناصر دوباره تکرار می شوند
چرخه) بنابراین توالی
فرم دارد
(سپس همه چیز تکرار می شود) و حاوی t است
عناصر مختلف ، جایی که t کوچکترین است
یک عدد مثبت که
.
به این عدد ترتیب عنصر a و
با ord (a) مشخص می شود.

15. عناصر t نشان داده شده ، یک زیر گروه تشکیل می دهند ، از آنجا که عملیات گروهی با افزودن "نمایان" مطابقت دارد. به این زیر گروه گفته می شود

عناصر مشخص شده t شکل می گیرند
زیر گروه ، زیرا مسابقات گروهی
علاوه بر "نمایان". این زیر گروه
تولید شده توسط عنصر a و
اگر می خواهیم صریحاً نشان دهیم با یا نشان داده می شوند
عملیات گروهی ، (
) عنصر الف
مولد زیر گروه نامیده می شود
؛ گفتن
که این زیر گروه را تولید می کند.
به عنوان مثال ، عنصر a \u003d 2 گروه Z6
یک زیر گروه از عناصر ایجاد می کند
0,2,4.

16. در اینجا چندین زیر گروه از گروه Z6 وجود دارد که توسط عناصر مختلف تولید شده اند: مثالی مشابه برای یک گروه ضرب کننده: در اینجا از آنچه گفته شد

در اینجا برخی از زیر گروه های گروه Z6 وجود دارد ،
تولید شده توسط عناصر مختلف:
... مشابه
مثال برای گروه ضرب
:
اینجا
موارد فوق دلالت بر قضیه 9 دارد.

17. اجازه دهید یک گروه محدود باشد. اگر ، پس تعداد عناصر موجود در زیرگروه با یک (همزمان) برابر است.

قضیه 9.
بگذار
- گروه آخر اگر
، سپس شماره
عناصر موجود در زیر گروه تولید شده توسط یک مصادف با
سفارش a (یعنی
).

18. نتیجه 9.1.

توالی
یک دوره دارد
t \u003d ord (a) ؛
به عبارت دیگر
، سپس و فقط پس از آن ،
چه زمانی
.
تناوب به شما امکان ادامه می دهد
توالی در هر دو جهت با تعریف
مانند
برای هر عدد صحیح i ، از جمله
منفی.

19. نتیجه 9.2.

در یک گروه محدود
با واحد e برای هر
برابری برقرار است
.
شواهد و مدارک. توسط قضیه لاگرانژ (a)
تقسیم می کند از کجا
جایی که
، ch.d.

20. 8) حل معادلات خطی دیوفانتین.

ما به عدد صحیح علاقه مند خواهیم شد
راه حل های معادله
(5)
(در اینجا a ، b و n عدد صحیح هستند ؛ چنین معادلاتی
"دیوفانتین خطی" نامیده می شود
معادلات "). روشن است که فقط
پس از تقسیم x بر n ، بنابراین آن محلول (5)
طبیعی است که نه یک عدد صحیح بلکه یک عنصر فراخوانی شود
از گروه Zn ، (کلاس اعدادی که همان را می دهند)
باقیمانده وقتی تقسیم بر n شود). بنابراین ، می توان
این کار را به صورت زیر تنظیم کنید: عناصری وجود دارد
,
ما به دنبال همه چیز هستیم
برای کدام
.

21. به یاد بیاورید که با نشان دادن زیرگروه تولید شده توسط عنصر a (در این مورد ، زیر گروه گروه Zn) است. بنابراین ، با تعریف ، معادلات

به یاد بیاورید که بعد از
نشان داده شده
زیر گروه تولید شده توسط عنصر a (در این
مورد ، یک زیر گروه از گروه Zn). با تعریف
بنابراین ، معادله (5)
حداقل و فقط یک راه حل دارد
سپس هنگامی که
... چه تعداد عنصر وجود دارد
?
طبق قضیه لاگرانژ (T8) این عدد است
divisor n در Zn ، یک عملیات گروهی است
علاوه بر این به دلیل بنابراین Zn یک گروه افزودنی است
.

22- بگذارید معادله قابل حل باشد و راه حل آن باشد. سپس معادله دارای d \u003d gcd (a ، n) راه حل در Zn است که با فرمول داده شده است ، جایی که i \u003d 0،1،2 ، ... ، n - 1.

قضیه 10.
بگذارید معادله شود
قابل حل و
تصمیم او است سپس معادله دارد
d \u003d gcd (a، n) از محلول ها در Zn با فرمول داده شده است
، جایی که من \u003d 0،1،2 ، ... ، n - 1.

23. اثبات.

با شروع و حرکت به ترتیب n / d ، ما هستیم
قبل از بستن دایره ، d مرحله بردارید ، زیرا
... تمام شماره های تصویب شده خواهد بود
راه حل های معادله
، از آنجا که در
x را با n / d محصول تبر افزایش دهید
n (a / d) افزایش می یابد ، یعنی توسط مضرب n. بنابراین
بنابراین ، ما همه راه حل های d را لیست کرده ایم.
a \u003d b
a (+ n / d) \u003d a + an / d \u003d a + na / d \u003d a + kn≡a
ساعت مچی

24- اجازه دهید n\u003e 1. اگر GCD (a، n) \u003d 1 باشد ، معادله یک راه حل منحصر به فرد دارد (در Zn). حالت b \u003d 1 از اهمیت ویژه ای برخوردار است - در این حالت عنصر معکوس n را پیدا می کنیم

نتیجه 10.1
اجازه دهید n\u003e 1. اگر GCD (a ، n) \u003d 1 ، پس معادله
یک راه حل منحصر به فرد دارد (در Zn).
مورد b \u003d 1 به ویژه مهم است - در اینجا ما
عنصر معکوس x x modulo n را پیدا می کنیم ،
عنصر معکوس گروه.

25. نتیجه 10.2

اجازه دهید n\u003e 1. اگر GCD (a ، n) \u003d 1 ، پس
معادله ax ≡ 1 (mod n)
(6)
یک راه حل منحصر به فرد در روی دارد.
برای gcd (a، n)\u003e 1 ، این معادله راه حل ها نیست
این دارد.
بنابراین ، ما محاسبه را یاد گرفته ایم
عنصر معکوس در یک گروه در O (ورود به سیستم n)
عملیات حسابی.

9/26) قضیه باقی مانده چینی.

حدود 100 سال قبل از میلاد آهنگ ریاضیدان چینی
تسو مسئله زیر را حل کرد: عددی را پیدا کنید که بدهد
وقتی به 3 ، 5 و 7 تقسیم شود ، باقی مانده های 2 ، 3 و 2
به ترتیب (نمای کلی محلول 23 + 105k
برای عدد صحیح k). بنابراین ، بیانیه در مورد
معادل سازی سیستم مقایسه برای متقابل
ماژول های ساده و مقایسه های مدولار
آثار "قضیه چینی در مورد
مانده ".

27. بگذارید تعدادی از n به عنوان حاصل تولید اعداد تقلبی جفتی نشان داده شود. قضیه باقی مانده چینی این عدد را بیان می کند

اجازه دهید تعدادی عدد n در فرم نشان داده شود
محصولات اعداد تقلبی جفتی
... قضیه باقی مانده چینی
بیان می کند که حلقه باقیمانده Zn به این صورت است
محصول حلقه های باقیمانده
(با جمع و ضرب م componentلفه).
این مکاتبات با الگوریتم مفید است
از آنجا که انجام آن آسان تر است
عملیات در همه مجموعه های Zni از
مستقیماً روی Zn.

28.10) درجه های یک عنصر.

در گروه ضرب در نظر بگیرید
کسر
توالی درجه
برخی از عناصر الف:
(7)
ما فرض را از ابتدا شروع می کنیم
;
i-th term of توالی قدرت های 3 in
ماژول 7 فرم زیر را دارد:
و برای قدرت شماره 2 mod 7:

29.11) قضیه 11 (اولر).

اگر n\u003e 1 یک عدد صحیح است ، پس
برای همه
جایی که
(8)
عملکرد phi اولر است.
بدون اثبات.
برای Prime n ، قضیه به "کوچک تبدیل می شود
قضیه فرما ".

30.12) قضیه 12 (قضیه کوچک فرما).

اگر p یک عدد اول است ، پس
(9)
برای همه
.
شواهد و مدارک. از آنجا که p برتر است ،
\u003d p-1 ، h.t.d.

31. نتیجه 12.1. بگذارید p یک عدد اول باشد نتیجه 12.2. بگذارید p یک عدد اول باشد ، سپس قضیه فرما در a \u003d 0 اعمال می شود.

13/32) قضیه 13 (تقویت قضیه اولر).

بگذارید n \u003d pq ، جایی که p و q اعداد اول مختلف هستند.
سپس برای هر عدد صحیح a و برای هر
هویت طبیعی است
.

33. h.t.d.

شواهد و مدارک.
ساعت مچی

34.14) محاسبه قدرت ها با استفاده از مربع سازی مکرر.

بیان مهم است.
نقش در بررسی سادگی اعداد و همچنین در
رمزنگاری سیستم RSA. مانند اعداد معمولی ،
ضرب مکرر سریعترین نیست
مسیر؛ بهتر است از الگوریتم استفاده کنید
دوباره مربع سازی

35. فرض کنید می خواهیم ab mod n را محاسبه کنیم ، جایی که a یک پسماند mod n است ، a b یک عدد صحیح غیر منفی است که دارای شکل باینری (bk ، bk-1 ، ... ، b1 ، b0) باشد (عدد h

فرض کنید می خواهیم ab mod n را در کجا محاسبه کنیم
a مدول باقیمانده n است ، a b یک عدد صحیح است
عدد غیر منفی با دودویی
سوابق فرم (bk ، bk-1 ، ... ، b1 ، b0) (تعداد نویسه ها)
ما آن را برابر با k + 1 می دانیم. ارقام بالا مانند
معمولاً در سمت چپ) ما ac mod n را برای محاسبه می کنیم
برخی از c ، که افزایش می یابد و ، در پایان
انتها برابر با b می شود.

36. هنگام ضرب c در 2 ، عدد ac به صورت مربع در می آید ، هنگام افزایش c در 1 ، عدد ac در a ضرب می شود. در هر مرحله ، علامت باینری تغییر می کند

بعد از 1 به چپ
که در صورت لزوم (bi \u003d 1) آخرین رقم است
نت دودویی از 0 به 1 تغییر می کند (توجه داشته باشید ،
که متغیر c در واقع استفاده نشده است و
ممکن است حذف شود.)

37. بیایید زمان عمل را تخمین بزنیم. اگر سه عددی که داده های اولیه آن هستند حداکثر بیت β دارند ، تعداد عملیات محاسبات برابر است

بیایید زمان اجرای روش را تخمین بزنیم. اگر
سه عدد که اصل آن است
داده ها حداکثر بیت β دارند ، سپس تعداد
عملیات حسابی O (β) و تعداد آن است
بیت - O (β 3).
یک مثال (a \u003d 7 ، b \u003d 560 ، n \u003d 561) در نشان داده شده است
شکل.
مربع زدن 1 شیفت به سمت چپ است
درجه تعداد

38.

من
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
بی
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
ج
1
2
4
8
17
35
70
140
280
560
د
7
49
157
526
160
241
298
166
67
1
شکل: کار روش نعوظ
درجه مدول n
با a \u003d 7 ، b \u003d 560 \u003d (1000110000) و n \u003d 561.
مقادیر متغیر نشان داده شده پس از
اجرای بعدی بدنه حلقه for.
روش پاسخ 1 را برمی گرداند.

اجسام گروهی هستند که عناصر آن همه عناصر غیر صفر جسم داده شده هستند و عمل همزمان با عمل ضرب در بدن است. M. field یک گروه آبلیایی است. O. A. Ivanova ... دانشنامه ریاضیات

سیستم کاهش یافته مدول m باقیمانده مجموعه تمام اعداد سیستم کامل مدول باقیمانده مانده m به m است. سیستم کاهش یافته باقی مانده های مدول متر از اعداد φ (متر) تشکیل شده است ، جایی که φ (·) تابع اویلر است. به عنوان یک سیستم کاهش کسر ... ... ویکی پدیا

نظریه گروه ... ویکی پدیا

یک گروه در جبر انتزاعی مجموعه ای غیر خالی است که بر روی آن یک عملیات باینری تعریف شده است و بدیهیات زیر را برآورده می کند. شاخه ریاضیات که با گروه ها سروکار دارد ، تئوری گروه نامیده می شود. همه اعداد واقعی آشنا از ... ... ویکی پدیا برخوردارند

گروه اتومورفیسم های یک شکل دایره ای مشخص f در سمت راست K ماژول E ، جایی که K یک حلقه است. علاوه بر این ، f و E (و گاهی K) شرایط اضافی را برآورده می کنند. هیچ تعریف دقیقی از K. g وجود ندارد. فرض بر این است که f یا صفر است یا غیر منحط است ... ... دانشنامه ریاضیات

گروه تمام ماتریس های برگشت پذیر درجه n بیش از یک حلقه انجمنی K با وحدت ؛ علامت گذاری رایج: GLn (K). یا GL (n ، K). P. l د. GL (n، K) را می توان به عنوان گروه اتومورفیسم AutK (V) از ماژول K رایگان راست Vc تعریف کرد دانشنامه ریاضیات

برای توصیف کلی نظریه گروه ، به گروه (ریاضیات) و نظریه گروه مراجعه کنید. اصطلاحات الكترونیكی پیوندی به این فرهنگ لغت را نشان می دهد. # A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U ... ویکی پدیا

شما برده نیستید!
دوره آموزشی بسته برای نخبگان: "آرایش واقعی جهان".
http://noslave.org

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

گروه ضرب حلقه باقیمانده مدول متر گروه ضرب کننده عناصر برگشت پذیر مدول حلقه باقی مانده است متر... در این حالت ، هر سیستم مدول باقیمانده کاهش می یابد متر.

سیستم کسر کاهش یافته است

سیستم کسر کاهش یافته است مدول متر - مجموعه تمام اعداد سیستم کامل مدول باقیمانده مترهمبستگی با متر... به عنوان یک سیستم مدول کاهش یافته از بقایا متر معمولاً با نسبت ساده گرفته می شوند متر اعداد از 1 قبل از متر - 1 .

مثال: سیستم کاهش یافته باقیمانده mod 42 خواهد بود: (1 ، 5 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 25 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41).

خواص

سیستم باقی مانده با مدول ضرب کاهش یافته است متر گروهی را تشکیل می دهد به نام گروه ضرب یا توسط گروه عناصر برگشت پذیر مدول حلقه باقیمانده متر ، که مشخص شده است texvc یا تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): U (\\ mathbb (Z) _m) .

اگر متر ساده ، بنابراین ، همانطور که در بالا ذکر شد ، عناصر 1 ، 2 ، ... ، متر-1 شامل می شوند تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): \\ Mathbb (Z) _m ^ (\\ بار) ... در این مورد تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): \\ Mathbb (Z) _m ^ (\\ بار) یک رشته است.

فرم ها را ضبط کنید

مدول حلقه باقیمانده n مشخص کن تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): \\ Mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z) یا تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): \\ Mathbb (Z) _n ... گروه ضرب آن ، مانند حالت کلی گروه های عناصر برگشت پذیر حلقه ها ، نشان داده می شود تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد نصب به ریاضی / README مراجعه کنید.): (\\ Mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)) ^ * ، تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد نصب به ریاضی / README مراجعه کنید.): (\\ Mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)) ^ \\ بار ، تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): U (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)) ، تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): E (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)) ، تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): \\ Mathbb (Z) _n ^ (\\ بارها) ، تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): U (\\ mathbb (Z) _n) .

ساده ترین حالت

برای درک ساختار گروه تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc ، ما می توانیم یک مورد خاص را در نظر بگیریم تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): N \u003d p ^ a جایی که تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc - یک عدد اول ، و آن را تعمیم دهید. ساده ترین حالت را در نظر بگیرید تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): A \u003d 1 ، یعنی تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): N \u003d p .

قضیه: تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc - گروه چرخه ای

مثال : یک گروه را در نظر بگیرید تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc

تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): U (\\ mathbb (Z) / 9 \\ mathbb (Z)) \u003d (1،2،4،5،7،8) مولد گروه عدد 2 است. تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): 2 ^ 1 \\ Equ 2 \\ \\ pmod 9 تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): 2 ^ 2 \\ Equ 4 \\ \\ pmod 9 تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): 2 ^ 3 \\ Equ 8 \\ \\ pmod 9 تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): 2 ^ 4 \\ Equ 7 \\ \\ pmod 9 تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): 2 ^ 5 \\ Equ 5 \\ \\ pmod 9 تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): 2 ^ 6 \\ Equ 1 \\ \\ pmod 9 همانطور که مشاهده می کنید ، هر عنصر از گروه است تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): U (\\ mathbb (Z) / 9 \\ mathbb (Z)) می تواند به عنوان نمایش داده شود تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): 2 ^ l جایی که تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد تنظیمات به ریاضیات / README مراجعه کنید.): 1 \\ le \\ ell< \varphi(m) ... یعنی گروه تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): U (\\ mathbb (Z) / 9 \\ mathbb (Z)) - دوره ای

مورد کلی

برای در نظر گرفتن حالت کلی ، لازم است یک ریشه ابتدایی تعریف شود. مدول ریشه بدوی تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): P آیا عددی است که همراه با کلاس باقیمانده آن باعث ایجاد گروه می شود تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): U (\\ mathbb (Z) / p \\ mathbb (Z)) .

مثال ها: 2 11 ; 8 - مدول ریشه ابتدایی 11 ; 3 یک ریشه ابتدایی نیست 11 .

در مورد یک ماژول کامل تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد تنظیمات به ریاضیات / README مراجعه کنید.): N تعریف همان است.

ساختار یک گروه توسط قضیه زیر تعیین می شود: اگر p یک عدد اول فرد باشد و l یک عدد صحیح مثبت باشد ، پس مدول ریشه های ابتدایی وجود دارد تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README مراجعه کنید - راهنمای تنظیمات.): P ^ (l) ، یعنی تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): U (\\ mathbb (Z) / p ^ (l) \\ mathbb (Z)) - گروه چرخه ای

زیرمجموعه ای از شاهدان سادگی

بگذار تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc - عدد فرد بزرگتر از 1. تعداد تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc بدون ابهام به عنوان تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): M-1 \u003d 2 ^ s \\ cdot t جایی که تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): T فرد. عدد صحیح تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): الف , تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): 1< a < m نامیده میشود شاهد ساده بودن است شماره تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): M اگر یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد:

تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد تنظیمات به ریاضیات / README مراجعه کنید.): A ^ t \\ Equ 1 \\ pmod m

یک عدد صحیح وجود دارد تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): K , تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): 0 \\ leq k ، به طوری که تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد تنظیمات به ریاضیات / README مراجعه کنید.): A ^ (2 ^ kt) \\ Equ m-1 \\ pmod m.

اگر عدد باشد تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): M - کامپوزیت ، یک گروه فرعی از گروه ضربی حلقه باقی مانده وجود دارد که به آن زیر گروه شاهدان سادگی می گویند. عناصر آن به یک قدرت رسیده اند تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): M-1 همزمان با تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc مدول تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): M .

مثال : تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): M \u003d 9 ... وجود دارد تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): 6 باقیمانده همبستگی با تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc ، این هست تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README مراجعه کنید - راهنمای تنظیمات.): 1،2،4،5،7 و تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc . تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): 8 معادل با تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): -1 مدول تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد تنظیمات به ریاضیات / README مراجعه کنید.): 9 به معنای تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): 8 ^ (8) معادل با تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): 1 مدول تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد تنظیمات به ریاضیات / README مراجعه کنید.): 9 ... از این رو ، تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): 1 و تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): 8 - شاهدان عدد اول تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد تنظیمات به ریاضیات / README مراجعه کنید.): 9 ... در این حالت (1 ، 8) زیر گروه شاهدان سادگی است.

خواص

گروه غرفه دار

مجموعه در حال تولید

تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): U (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)) یک گروه چرخه ای است اگر و فقط اگر تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): \\ Varphi (n) \u003d \\ lambda (n). در مورد یک گروه چرخه ای ، به مولد ریشه اولیه گفته می شود.

مثال

سیستم مدول باقیمانده کاهش یافته است تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): 10 شامل تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): 4 کلاسهای کسر: تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README مراجعه کنید - راهنمای راه اندازی.): _ (10) ، _ (10) ، _ (10) ، _ (10) ... با توجه به ضرب تعریف شده برای کلاسهای باقیمانده ، آنها یک گروه تشکیل می دهند ، و تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc و تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README مراجعه کنید - راهنمای تنظیمات.): _ (10) متقابلاً معکوس (یعنی تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): _ (10) (\\ cdot) _ (10) \u003d _ (10)) ، و تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README مراجعه کنید - راهنمای تنظیمات.): _ (10) و تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README مراجعه کنید - راهنمای تنظیمات.): _ (10) با خودشان معکوس هستند

ساختار گروه

ضبط تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): C_n به معنی "گروه چرخشی مرتبه n" است.
ساختار گروه تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): U (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z))

تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): U (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)) تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc ژنراتور تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد ریاضیات / README را ببینید.): N \\؛ تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): U (\\ mathbb (Z) / n \\ mathbb (Z)) تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضیات / README مراجعه کنید.): \\ Varphi (n) تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): \\ Lambda (n) \\؛ ژنراتور
2 C 1 1 1 1 33 C 2 × C 10 20 10 10, 2
3 C 2 2 2 2 34 C 16 16 16 3
4 C 2 2 2 3 35 C 2 × C 12 24 12 6, 2
5 C 4 4 4 2 36 C 2 × C 6 12 6 19, 5
6 C 2 2 2 5 37 C 36 36 36 2
7 C 6 6 6 3 38 C 18 18 18 3
8 C 2 × C 2 4 2 7, 3 39 C 2 × C 12 24 12 38, 2
9 C 6 6 6 2 40 C 2 × C 2 × C 4 16 4 39, 11, 3
10 C 4 4 4 3 41 C 40 40 40 6
11 C 10 10 10 2 42 C 2 × C 6 12 6 13, 5
12 C 2 × C 2 4 2 5, 7 43 C 42 42 42 3
13 C 12 12 12 2 44 C 2 × C 10 20 10 43, 3
14 C 6 6 6 3 45 C 2 × C 12 24 12 44, 2
15 C 2 × C 4 8 4 14, 2 46 C 22 22 22 5
16 C 2 × C 4 8 4 15, 3 47 C 46 46 46 5
17 C 16 16 16 3 48 C 2 × C 2 × C 4 16 4 47, 7, 5
18 C 6 6 6 5 49 C 42 42 42 3
19 C 18 18 18 2 50 C 20 20 20 3
20 C 2 × C 4 8 4 19, 3 51 C 2 × C 16 32 16 50, 5
21 C 2 × C 6 12 6 20, 2 52 C 2 × C 12 24 12 51, 7
22 C 10 10 10 7 53 C 52 52 52 2
23 C 22 22 22 5 54 C 18 18 18 5
24 C 2 × C 2 × C 2 8 2 5, 7, 13 55 C 2 × C 20 40 20 21, 2
25 C 20 20 20 2 56 C 2 × C 2 × C 6 24 6 13, 29, 3
26 C 12 12 12 7 57 C 2 × C 18 36 18 20, 2
27 C 18 18 18 2 58 C 28 28 28 3
28 C 2 × C 6 12 6 13, 3 59 C 58 58 58 2
29 C 28 28 28 2 60 C 2 × C 2 × C 4 16 4 11, 19, 7
30 C 2 × C 4 8 4 11, 7 61 C 60 60 60 2
31 C 30 30 30 3 62 C 30 30 30 3
32 C 2 × C 8 16 8 31, 3 63 C 6 × C 6 36 6 2, 5
کاربرد

تاریخ

آرتین ، بیلهارز ، بروئر ، ویلسون ، گاوس ، لاگرانژ ، لمر ، وارینگ ، فرما ، هولی ، اولر در مطالعه ساختار گروه ضربی حلقه باقی مانده مشارکت داشتند. لاگرانژ لمی را اثبات کرد که اگر تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ برای کمک به پیکربندی به ریاضی / README مراجعه کنید.): F (x) \\ in k [x] ، و k یک زمینه است ، سپس f حداکثر n ریشه مشخص دارد ، جایی که n درجه f است. وی همچنین نتیجه مهمی از این لما را اثبات کرد که در مقایسه وجود دارد تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README - راهنمای تنظیم مراجعه کنید.): X ^ (p-1) -1 ≡ تجزیه و تحلیل امکان پذیر نیست (قابل اجرا texvc پیدا نشد؛ به ریاضیات / README مراجعه کنید - راهنمای راه اندازی.): (X-1) (x-2) ... (x-p + 1) mod (p) ... اولر قضیه کوچک فرما را اثبات کرد. وارینگ قضیه ویلسون را فرموله کرد و لاگرانژ آن را ثابت کرد. اولر وجود ریشه های بدوی را به عنوان یک عدد اول فرض کرد. گاوس آن را ثابت کرد. آرتین فرضیه خود را در مورد وجود و کمیت اعداد اول مطرح کرد ، مدولی که یک عدد صحیح داده شده یک ریشه ابتدایی است. Brower به مطالعه مشکل وجود مجموعه ای از اعداد صحیح متوالی کمک کرد ، که هر یک از آنها مدول توان kth p است. بیلهارز یک حدس و گمان از حدس آرتین را اثبات کرد. هولی حدس آرتین را با فرض حدس گسترده ریمان در زمینه های اعداد جبری ثابت کرد.

درباره مقاله "گروه ضرب حلقه باقیمانده" یک بررسی بنویسید
یادداشت

ادبیات

آیرلند ک. ، روزن ام. مقدمه ای کلاسیک برای نظریه اعداد مدرن. - م.: میر ، 1987.

Alferov A.P. ، Zubov A.Yu. ، Kuzmin A.S. چریوموشکین A.V. مبانی رمزنگاری. - مسکو: "Helios ARV" ، 2002.

Rostovtsev A.G. ، Makhovenko E.B. رمزنگاری نظری. - سن پترزبورگ: NPO Professional ، 2004.

پیوندها

بخشتاب A.A. نظریه اعداد. - م.: آموزش و پرورش ، 1966

وایستین ، اریک دبلیو (انگلیسی) در وب سایت Wolfram MathWorld.

گزیده ای توصیف کننده گروه ضربی حلقه باقیمانده
- من عجیب نیستم - من فقط زنده ام. اما من در میان دو جهان زندگی می کنم - زنده و مرده ... و می توانم آنچه را که بسیاری متاسفانه نمی بینند ، ببینم. چون ، احتمالاً هیچ کس به من اعتقاد ندارد ... اما اگر مردم حداقل یک دقیقه گوش دهند و فکر کنند ، همه چیز خیلی راحت تر خواهد بود ، حتی اگر ایمان نداشته باشند ... - به نوعی ، مطمئناً امروز این اتفاق نخواهد افتاد ... اما امروز من باید با این زندگی کنم ...
مرد زمزمه کرد: "متاسفم عزیزم ..." - و می دانید ، افراد زیادی مانند من اینجا هستند. هزاران نفر آنها در اینجا وجود دارد ... احتمالاً علاقه مند هستید با آنها صحبت کنید. حتی مثل من قهرمانان واقعی هم وجود دارند. تعداد زیادی از آنها در اینجا وجود دارد ...
ناگهان خواستم به این شخص غمگین و تنها کمک کنم. درست است ، من کاملاً نمی دانستم چه کاری می توانم برای او انجام دهم.
- آیا می خواهید ما تا اینجا هستیم دنیای دیگری برای شما بسازیم؟ .. - ناگهان از استلا پرسید.
این ایده بسیار خوبی بود و من کمی شرمنده شدم که اول به ذهنم خطور نکرده است. استلا شخصیتی شگفت انگیز بود و به نوعی همیشه چیز خوبی پیدا می کرد که می توانست دیگران را به وجد بیاورد.
- چه نوع "دنیای دیگر"؟ .. - مرد متعجب شد.
- و اینجا ، نگاه کن ... - و در غار تاریک و غم انگیز او ، ناگهان نوری درخشان و شادمانه تابید! .. - چگونه چنین خانه ای را دوست داری؟
چشمان دوست "غمگین" ما با خوشحالی روشن شد. با گیجی به اطراف نگاه کرد ، نفهمید چه اتفاقی در اینجا افتاده است ... و در غار وهم آلود و تاریک او حالا خورشید با شادی و خوش می درخشید ، سرسبز سرسبز بویی معطر می دهد ، آواز پرندگان زنگ می زند و بوی بوی شگفت انگیز گل های شکفته می دهد ... در گوشه دور آن جریانی شاد غرغره کرد و قطره هایی از خالص ترین و تازه ترین آب کریستال را پاشید ...
- خوب! هر جور راحتی؟ استلا با خوشرویی پرسید.
مرد ، کاملاً مبهوت آنچه که دیده بود ، هیچ کلمه ای بر زبان نیاورد ، او فقط با چشمانی که از تعجب گشوده بودند ، به همه این زیبایی نگاه کرد ، که در آن قطرات لرزان اشک "شاد" با الماس های خالص برق می زدند ...
- پروردگارا ، چه مدت است که خورشید را می بینم! .. - او به آرامی زمزمه کرد. - تو کی هستی دختر؟
- اوه ، من فقط یک مرد هستم. همان شما - مرده است. و اینجا او است ، شما می دانید - زنده است. ما گاهی اینجا با هم قدم می زنیم. و البته اگر بتوانیم کمک می کنیم.
کاملاً واضح بود که کودک از تأثیر تولید شده راضی است و به معنای واقعی کلمه از تمایل به طولانی شدن آن درحال تحریک است ...
- راستی دوست داری؟ آیا می خواهید آن طور بمانید؟
مرد فقط سرش را تکان داد و قادر به گفتن کلمه ای نبود.
من حتی سعی نکردم تصور کنم که بعد از آن وحشت سیاهی که روزانه در آن زندگی می کرد ، و برای مدت طولانی ، چه شادی باید تجربه می کرد! ..
- ممنون عزیزم ... - مرد آرام نجوا کرد. - فقط به من بگو ، چگونه می تواند بماند؟ ..
- آه ، ساده است! دنیای شما فقط در اینجا ، در این غار خواهد بود و هیچکس جز شما آن را نخواهد دید. و اگر شما اینجا را ترک نکنید ، او برای همیشه با شما خواهد ماند. خوب ، من برای بررسی به شما می آیم ... اسم من استلا است.
- نمی دانم برای این حرف چه بگویم ... من لیاقت آن را نداشتم. این احتمالاً اشتباه است ... اسم من لومینری است. بله ، تا آنجا که "نور" آورده نشده است ، همانطور که می بینید ...
- اوه ، هیچی ، بیشتر بیار! - مشخص بود که کودک به آنچه انجام داده بسیار افتخار می کند و از لذت می ترکد.
- ممنون عزیزم ... - لومینری با سر پر افتخار پایین نشسته بود و ناگهان مثل بچه کاملاً شروع به گریه کرد ...
- خوب ، بقیه هم چطور ، همینطور؟ .. - آرام در گوش استلا زمزمه کردم. - احتمالاً تعداد آنها زیاد است؟ با اینا چیکار کنیم؟ منصفانه نیست که به یکی کمک کنیم و چه کسی به ما حق داد که قضاوت کنیم کدام یک از آنها شایسته چنین کمک است؟
صورت استلینو بلافاصله اخم کرد ...
- نمی دانم ... اما مطمئناً می دانم که این درست است. اگر اشتباه بود ، ما موفق نمی شدیم. در اینجا قوانین دیگری وجود دارد ...
ناگهان به ذهنم رسید:
- یک لحظه صبر کنید ، اما هارولد ما چطور؟! .. بالاخره او یک شوالیه بود ، بنابراین او نیز کشته شد؟ چگونه او موفق شد آنجا ، در "طبقه آخر" بماند؟ ..
- او برای همه کارهایی که انجام داده است پرداخت کرده است ... من از او در این باره سال کردم - او بسیار گران پرداخت کرد ... - استلا با چروک شدن مضحک پیشانی اش به طور جدی پاسخ داد.
- چه - پرداخت شده؟ - من نفهمیدم
کودک با ناراحتی زمزمه کرد: "ذات ..." - او بخشی از ذات خود را برای آنچه در طول زندگی خود انجام داد داد. اما ذات او بسیار بالا بود ، بنابراین ، حتی اگر بخشی از آن را رها کرد ، او همچنان توانست "در اوج" بماند. اما تعداد کمی از افراد می توانند این کار را انجام دهند ، فقط موجودات بسیار بسیار پیشرفته ای هستند. معمولاً مردم بیش از حد ضرر می کنند و بسیار کمتر از آنچه در ابتدا بوده ترک می کنند. مثل یک نورانی ...
شگفت انگیز بود ... بنابراین ، مردم با انجام کار بد روی زمین ، مردم بخشی از بخش خود را (یا بهتر بگوییم ، بخشی از پتانسیل تکاملی خود) را از دست دادند ، و حتی در این صورت ، آنها هنوز هم مجبور بودند در آن وحشت کابوسی باقی بمانند که نامیده می شد - "پایین" اختری ... بله ، برای اشتباهات ، و در واقع ، شما مجبور به پرداخت گران بود ...
"خوب ، حالا ما می توانیم برویم" ، دخترک جیر جیر کرد ، و نه اینکه دست خود را تکان دهد. - خداحافظ ، درخشان! من میام پیش شما!
ما حرکت کردیم و دوست جدیدمان هنوز نشسته بود ، یخ زده از خوشبختی غیرمنتظره ، مشتاقانه گرما و زیبایی دنیای ایجاد شده توسط استلا را جذب می کرد و به همان اندازه عمیقی که یک فرد در حال مرگ داشت در آن فرو می رفت و زندگی را که ناگهان به او بازگشت ، جذب می کند ... ...
- بله ، درست است ، شما کاملاً درست گفتید! .. - متفکرانه گفتم.
استلا پرتو می زد.
با ماندن در "رنگین کمان" ترین حالت ، ما تازه به سمت کوه ها چرخیده بودیم که یک موجود عظیم الجثه و خاردار با خار ، ناگهان از ابرها بیرون آمد و مستقیم به ما هجوم برد ...
- مواظبش باش - استلا جیغ کشید ، و من فقط موفق شدم دو ردیف دندان تیغ \u200b\u200bتیغ را ببینم ، و از یک ضربه شدید به پشت ، سرم را روی پاشنه های زمین غلتاندم ...
از وحشت وحشی که ما را گرفت ، با گلوله هایی در امتداد یک دره وسیع هجوم آوردیم ، بدون اینکه حتی فکر کنیم که می توانیم به سرعت به "کف" دیگری برویم ... ما به راحتی نمی توانستیم به آن فکر کنیم - خیلی ترسیده بودیم.
این موجود دقیقاً بالای سر ما پرواز کرد ، با صدای بلند روی منقار دندانه دار شکاف دار خود کلیک کرد و ما تا آنجا که توانستیم هجوم آوردیم ، با پاشیدن لجن های لجن ناخوشایند به طرفین ، و از نظر ذهنی دعا کردیم که چیز دیگری ناگهان به این "پرنده معجزه گر" وحشتناک علاقه مند شود ... که بسیار سریعتر است و ما به سادگی فرصتی برای جدا شدن از آن نداریم. از آنجا که شر ، حتی یک درخت در این نزدیکی رشد نکرد ، هیچ بوته یا حتی سنگی وجود نداشت که پشت آن بتوان پنهان شد ، فقط یک سنگ سیاه شوم از دور دیده می شد.
- آنجا! - استلا فریاد زد و انگشت خود را به همان سنگ نشان داد.
اما ناگهان ، به طور غیر منتظره ، موجودی از جایی درست مقابل ما ظاهر شد ، از دید آن خون ما به معنای واقعی کلمه در رگ های ما یخ زد ... به نظر می رسید "مستقیم از هوای نازک" و واقعاً وحشتناک است ... لاشه سیاه بزرگ کاملا پوشیده شده بود موهای درشت و بلند ، آن را مانند یک خرس شکم گلدان نشان می دهد ، فقط این "خرس" به اندازه یک خانه سه طبقه بلند بود ... سر دست انداز هیولا با دو شاخ خمیده بزرگ "تاج گذاری" شد ، و یک جفت نیش فوق العاده بلند ، چاقو دهان خزنده آن را زینت داد ، فقط به نظر می رسید که با ترس و وحشت ، پاها جای خود را باز کردند ... و سپس ، به طرز غیرقابل گفتنی ما را شگفت زده کرد ، هیولا به راحتی از جا پرید و .... "ماک" پرواز را روی یکی از دندانهای نیش عظیم خود گرفت ... ما از شوک یخ زدیم.
- بریم بدویم !!! استلا جیغ زد. - ما می دویم در حالی که او "مشغول" است! ..
و ما از قبل آماده بودیم که بدون نگاه کردن به عقب ، عجله کنیم ، که ناگهان صدای نازکی از پشت ما بیرون آمد:
- دختران ، صبر کنید! فرار نکنید! .. دین شما را نجات داد ، او دشمن نیست!
ناگهان برگشتیم - دختری کوچک ، بسیار زیبا و چشم سیاه پشت سرش ایستاد ... و با آرامش هیولایی را که به طرفش آمده بود نوازش کرد! .. چشمانمان با تعجب به پیشانی هایمان رفتند ... باورنکردنی بود! مطمئناً - روز تعجب بود! .. دختری که به ما نگاه می کرد ، لبخند مطبوعی زد و از ترس هیولای خزدار کنار او نمی ترسید.
- لطفا از او نترسید. او خیلی مهربان است. دیدیم که اووارا شما را تعقیب می کند و تصمیم گرفتیم کمک کنیم. دین یک دوست خوب است ، به موقع. عزیزم نیست؟
"خوب" غوغا کرد ، که به نظر زلزله ای خفیف می آمد و با خم شدن سر ، صورت دختر را لیس زد.
- اوورا کیست ، و چرا او به ما حمله کرد؟ من پرسیدم.
- او به همه حمله می کند ، او یک درنده است. و بسیار خطرناک است ، - گفت: دختر کوچک با آرامش. - می توانم بپرسم اینجا چه می کنی؟ شما اهل اینجا نیستید دخترا؟
- نه ، از اینجا نیست. ما فقط داشتیم راه می رفتیم. اما همین سوال برای شما - اینجا چه می کنید؟
من پیش مادرم می روم ... - کودک ناراحت بود. - ما با هم مردیم ، اما به نوعی او به اینجا رسید. و حالا من اینجا زندگی می کنم ، اما این حرف را به او نمی گویم ، زیرا او هرگز با آن موافقت نخواهد کرد. او فکر می کند من تازه می آیم ...
- آیا واقعاً فقط آمدن بهتر نیست؟ اینجا خیلی افتضاح است! .. - استلا شانه های خود را بالا انداخت.
- من نمی توانم او را اینجا تنها بگذارم ، مراقب او هستم تا اتفاقی برایش نیفتد. و حالا دین با من است ... او به من کمک می کند.
من فقط باورم نمی شد ... این دختر کوچک و کوچک شجاع داوطلبانه "کف" زیبا و مهربان خود را ترک کرد تا در این جهان سرد ، وحشتناک و بیگانه زندگی کند و از مادرش که به شدت "مقصر" چیزی بود دفاع کند! فکر می کنم تعداد آنها زیاد نباشد ، حتی افراد بزرگسال ای شجاع و ازخودگذشته بودند! افرادی که تصمیم به چنین شاهکاری می گرفتند ... و من بلافاصله فکر کردم - شاید او فقط نمی فهمید که قصد دارد چه بلایی سر خودش بیاورد؟!
- چند وقت است که اینجا هستی ، دختر ، اگر این یک راز نیست؟
- اخیراً ... - کودک چشم سیاه با ناراحتی جواب داد و قفل سیاه موهای فرفری خود را با انگشتانش انگشت زد. - من هنگام مرگ به چنین دنیای زیبایی وارد شدم! .. او بسیار مهربان و سبک بود! .. و بعد دیدم که مادرم با من نیست و به دنبال او شتافت. در ابتدا خیلی ترسناک بود! به هر دلیلی او هیچ کجا یافت نشد ... و سپس من به این دنیای وحشتناک افتادم ... و سپس او را پیدا کردم. من اینجا خیلی خزنده بودم ... خیلی تنها ... مامان به من گفت که برو ، حتی مرا سرزنش کرد. اما من نمی توانم او را ترک کنم ... اکنون من یک دوست ، رئیس مهربانم دارم ، و می توانم به نوعی در اینجا وجود داشته باشم.
"دوست خوب" او دوباره غرید ، که باعث خزشهای بزرگ "کم استار" با استلا شد ... با جمع شدن خودم ، سعی کردم کمی آرام شوم و شروع کردم به تماشای این معجزه خزدار ... و او ، بلافاصله احساس کرد که متوجه شد ، دهان پرانتز خود را کاملاً برهنه کرد ... من به عقب پریدم.
- اوه ، نترس ، لطفا! این اوست که به تو لبخند می زند ، - دختر کوچک "اطمینان" داد.
بله ... شما از چنین لبخندی یاد خواهید گرفت که سریع بدوید ... - با خودم فکر کردم.
- اما چطور شد که با او دوست شدی؟ استلا پرسید.
- هنگامی که برای اولین بار به اینجا آمدم ، بسیار ترسیده بودم ، مخصوصاً وقتی امروز هیولاهایی مانند شما مورد حمله قرار گرفتند. و بعد یک روز ، وقتی تقریباً مرده بودم ، دین من را از شر یک "پرنده" وحشتناک پرواز نجات داد. من هم در ابتدا از او ترسیدم اما بعد فهمیدم چه قلب طلایی دارد ... او بهترین دوست است! من هرگز چنین چیزی نداشتم ، حتی وقتی که روی زمین زندگی می کردم.
- چطور خیلی زود به آن عادت کردید؟ ظاهر او کاملاً آشنا نیست ، بگذارید بگوییم آشنا است ...
- و در اینجا من یک حقیقت بسیار ساده را فهمیدم ، که به دلایلی روی زمین حتی متوجه آن هم نشدیم - فرقی نمی کند که یک شخص یا یک موجود قلب خوبی داشته باشد ... مادرم بسیار زیبا بود ، اما گاهی اوقات نیز بسیار شیطانی. و سپس همه زیبایی او در جایی ناپدید شد ... و دین ، \u200b\u200bاگرچه ترسناک است ، اما همیشه بسیار مهربان است و همیشه از من محافظت می کند ، من احساس خوبی او را دارم و از هیچ چیز نمی ترسم. و می توانید به ظاهر عادت کنید ...