بارگیری از Depositfiles
هندسه متفاوت
من... بردار-عملکرد مقیاس سرخپوشان
عملکرد بردار (تعریف 1.1) ، روش های انتساب آن.
بردار شعاع و هودوگراف ، تنظیم پارامتری هودوگراف.
مشتق یک تابع برداری (تعریف 1.6).
معنای هندسی مشتق یک تابع بردار.
قوانین تمایز برای توابع بردار.
1.1 تعریف عملکرد ناقلین
تعریف 1.1اگر هر مقدار از آرگومان مقیاس بردار نقشه برداری شده 
فضای سه بعدیR 3 ، سپس آنها می گویند که یک تابع بردار (یا تابع بردار) از استدلال مقیاس بر روی مجموعه X داده شده استتی
.
اگر در فضا باشدR 3 یک سیستم مختصات دکارتی مشخص شده استدر باره
xyz
، سپس تنظیم بردار - تابع 
, 
معادل تعیین سه عملکرد مقیاسی استایکس (
تی
),
y
(
تی
),
z
(
تی
)
- مختصات بردار:
= { ایکس ( تی ), y ( تی ), z ( تی )} (1.1)
یا ، (1.2)
جایی که 
- بردارهای واحد را مختص کنید.
1.2 خط فضایی به عنوان سال بردار رادیو
تعریف 1.2 اگر ابتدای همه بردارها باشد ،در مبدا قرار می گیرند ، آنها را بردارهای شعاع می نامند.
تعریف 1.3 خطی که محل انتهای بردارهای شعاع است ، هودوگراف عملکرد بردار نامیده می شود و منشا common مشترک آنها قطب هودوگراف است.
اگر پارامتر باشد تی زمان است و بردار شعاع نقطه متحرک است ، سپس هودوگراف تابع مسیر حرکت نقطه متحرک است.
معادله هودوگراف را می توان به صورت بردار (1.2) یا به صورت پارامتریک نوشت:
(1.3)
به طور خاص ، اگر عملکرد بردار باشدبا تغییر در آرگومان ، فقط مدول آن تغییر می کند ، اما جهت تغییر نمی کند () ، سپس hodograph چنین عملکردی بردار یک پرتوی خطی است که از مبدأ می آید. فقط اگر جهت بردار تغییر کند و مدول آن بدون تغییر بماند ( 
) ، سپس هودوگراف تابع بردار یک منحنی واقع در یک کره متمرکز در قطب و با شعاع برابر با مدول ثابت بردار است.
تصویر 1
1.3 عملکرد ، محدودیت ، تداوم و بردارهای اشتققی
تعریف 14 بردار 
حد تابع بردار نامیده می شوددر 
، اگر
.
(1.4)
تعریف 1.5 تابع برداری نامیده می شود مداوم در نقطهتی 0, اگر در این نقطه محدودیتی برابر با مقدار عملکرد بردار در این نقطه داشته باشد:
. (1.5)
تعریف 1.6 تابع بردار مشتق در نقطه تی
حد نسبت افزایش عملکرد بردار به افزایش آرگومان است 
در 
:
(1.6)
1.4. معنی ژئومتری و مکانیکی اولین عملکرد بردار مشتق
معنای هندسی اولین مشتق از یک تابع بردار از یک استدلال مقیاسی این است که این مشتق یک بردار جدید مماس با هودوگراف است:
... بگذارید آن را نشان دهیم.
شکل 2
فرض خواهیم کرد که هودوگراف عملکرد بردار مورد بررسی یک خط پیوسته است که در هر نقطه مماس است.
بیایید بحث کنیم تی
افزایش ، سپس رابطه هندسی 
آیا برخی از بردار است 
دراز کشیده بر روی MM مستقل. وقتی این بردار می چرخد \u200b\u200bو به بردار تبدیل می شود 
، روی مماس دراز کشیده و در جهت افزایش یافته هدایت می شودتی
.
بنابراین ، بردار
(1.7)
بردار مماس واحد خواهد بود که به سمت پارامتر در حال افزایش استتی .
بنابراین ، بردار
را می توان به عنوان بردار جهت مماس منحنی در نقطه در نظر گرفت) ، (یا 
) ، و معادله مماس را به صورت زیر بنویسید:
(1.8)
اگر تی
–
زمان و - بردار شعاع نقطه 
در فضای سه بعدی حرکت می کنید ، سپس آهنسبت را میانگین سرعت یک نقطه روی قطعه می نامند [تی;
تی+
تی].
معنای مکانیکی اولین مشتق تابع بردار این است که این مشتق سرعت نقطه M در لحظه استتی
: 
قوانین تمایز برای توابع بردار
اجازه دهید قانون 1 را با استفاده از قوانین کسر بردارها و تقسیم بردار به تعداد ثابت کنیم:
اثبات بقیه قوانین براساس قانون 1 و قوانین برخورد با بردارها است.
مثال 1.1: با توجه به یک تابع برداری.هودوگراف خود را بسازید و معادله مماس آن را در یک نقطه دلخواه بنویسید.
تصمیم گیری برای هر نقطه ای (
ایکس
,
y
,
z
)
بردار hodograph - توابع ما:ایکس
=
هزینه
;
y
=
asint
;
z
=
bt
و بنابراین برای هر 
برابری برقرار استایکس
2
+
y
2
=
آ
2
,
و ژنراتور موازی محور استاوز اگر پارامتر باشد
تی
به عنوان زمان تفسیر می شود ، سپس با حرکت یکنواخت در امتداد محیط برآمدگی انتهای بردار شعاع بر روی صفحهاکسی
فرافکنی آن در محوراوز
با سرعت به طور مساوی و مستقیم حرکت خواهد کردب
.
به عبارت دیگر ، کاربرد نقطه هودوگراف از عملکرد بردار متناسب با زاویه چرخش طرح آن روی صفحه رشد می کنداکسی
... بنابراین ، هودوگراف مورد نظر شکلی را نشان می دهد که در شکل 3 نشان داده شده است و آن را یک خط مارپیچ می نامند. برای یافتن مماس های هودوگراف (خط مارپیچ) ، مشتق تابع بردار را پیدا می کنیم.
تصمیم گیری از آنجا که، سپس
و تمایز آن
یکی از ساده ترین راه ها برای تعریف منحنی فضایی تعریف معادله برداری است:
جایی که 
بردار شعاع نقطه منحنی است ، و 
- پارامتری که موقعیت نقطه را تعیین می کند.
بنابراین بردار متغیر 
یک عملکرد اسکالر وجود دارد 
... به این توابع در تحلیل ریاضی ، توابع برداری برهان مقیاسی گفته می شود.
در حال تجزیه شدن 
توسط orts ، معادله (1) را می توان به شکل زیر در آورد:
این گسترش امکان رفتن به معادله پارامتری منحنی را فراهم می کند:
به عبارت دیگر ، تعیین یک تابع برداری معادل تعیین سه تابع مقیاسی است.
با توجه به تابع برداری (1) ، که منحنی داده شده را تعیین می کند ، منحنی را خود هادوگراف این تابع می نامند. مبدا مختصات در این حالت قطب هودوگراف نامیده می شود.
حالا بگذار 
و 
- نقاط منحنی تعریف شده توسط معادله (1). علاوه بر این 
، آ 
بردارهای شعاع این نقاط خواهد بود
و 
.
بردار 
افزایش تابع بردار نامیده می شود 
مربوط به افزایش است 
استدلال آن ، و نشان دادن توسط 
,
عملکرد بردار 
یک تابع مداوم خواهد بود 
، اگر
.
برای یافتن مشتق 
ما به شرح زیر عمل خواهیم کرد -
.
حالا بیایید جهت را تعیین کنیم 
... واضح است که 
خطی با 
و در 
در همان جهت هدایت می شود 
و در 
- در جهت مخالف. اما در حالت اول 
و در دوم 
بنابراین بردار 
همیشه در امتداد سکوی هودوگراف هدایت می شود 
بطرف بالا 
.
با استفاده از تجزیه 
و 
توسط orts ، پس
از این رو ، تقسیم (*) بر 
و رفتن به حد مجاز 
برای 
گرفتن
بر اساس (4) ، می توان نشان داد که فرمول های زیر معتبر هستند:
(5) 
(6) 
یک عملکرد اسکالر است.
اثبات (7).
اجازه دهید اکنون برخی از خصوصیات را بررسی کنیم 
... اول از همه ، بیایید ماژول آن را پیدا کنیم:
.
زیرا ما قوس هودوگراف را قابل اصلاح می دانیم ، بنابراین 
طول وتر است ، و 
- طول کمان. از این رو
بنابراین مدول مشتق تابع برداری آرگومان مقیاس با مشتق قوس هودوگراف نسبت به همان استدلال برابر است.
نتیجه گیری 1. اگر 
یک بردار واحد است که در جهت افزایش مماس با هودوگراف است 
سپس
نتیجه گیری 2. اگر طول قوس هودوگراف به عنوان آرگومان عملکرد بردار در نظر گرفته شود 
سپس
(از آنجا که 
)
بنابراین مشتق تابع بردار در طول قوس هودوگراف برابر است با بردار واحد مماس به هودوگراف ، در جهت افزایش طول قوس هدایت می شود.
نتیجه 3. اگر hodograph یک تابع برداری به عنوان مسیر حرکت یک نقطه در نظر گرفته شود ، و 
- به عنوان زمان حرکت ، از برخی شمارش شده است 
سپس 
از نظر اندازه و جهت با بردار سرعت همزمان است 
.
در واقع ، سرعت اسکالر برابر با مشتق زمانی مسیر است:
علاوه بر این ، بردار 
در جهت حرکت مماس به مسیر حرکت می کند ، که مربوط به جهت افزایش است 
، یعنی مربوط به جهت است 
.
بنابراین 
.
اکنون در نظر بگیرید 
طول آن ثابت است ، 
، یعنی
(*) 
جایی که 
با تمایز (*) در می یابیم:
آنهایی که 
به طور خاص ، بردار مشتق هر متغیری در جهت واحد 
همیشه 
.
حالا بگذار 
زاویه بین شعاع کره واحد رسم شده در نقاط 
و 
هودوگراف 
... سپس طول وتر 
از مثلث 
برابر خواهد بود
مدول مشتق یک بردار متغیر واحد برابر با سرعت زاویه ای چرخش این بردار است.
در مورد توابع اسکالر ، دیفرانسیل یک تابع برداری در فرم نوشته شده است
اما حتی در آن زمان
انحنای منحنی فضا.
سه تایی همراه.
طبق نتیجه گیری 2 ، برای 
فرمول را می توانید بنویسید:
تغییر جهت 
همراه با تغییر در مماس به منحنی فضا ، منحنی منحنی را مشخص می کند. به عنوان اندازه گیری انحنای منحنی فضایی ، همانطور که برای یک صفحه ، محدوده نسبت زاویه مجاورت به طول قوس گرفته می شود 
انحنا ، 
زاویه مجاورت ، 
طول کمان.
از سوی دیگر، 
بردار واحد و بردار مشتق آن 
عمود بر آن است ، و ماژول آن است 
افتراق دادن 
توسط 
و معرفی 
بردار واحد با جهت 
، ما پیدا می کنیم:
بردار 
بردار انحنای منحنی فضا. جهت آن عمود بر جهت مماس جهت منحنی فضا طبیعی است. اما یک منحنی فضایی در هر نقطه دارای تعداد بیشماری نرمال است که همه آنها در صفحه ای عبور می کنند که از یک نقطه معین منحنی و عمود بر مماس در یک نقطه معین عبور می کند. به این صفحه صفحه معمولی منحنی فضا گفته می شود.
تعریف. نرمال منحنی که بردار انحنای منحنی به سمت آن معطوف می شود ، اصلی اصلی منحنی فضا است. بنابراین 
بردار واحد نرمال اصلی.
اکنون بردار واحد سوم را می سازیم 
برابر با محصول بردار 
و 
بردار 
پسندیدن 
عمود نیز 
آنهایی که در صفحه عادی نهفته است. جهت آن جهت دو حالته منحنی فضایی در یک نقطه مشخص نامیده می شود. بردارها 
و 
سه بردار واحد عمود متقابل را تشکیل می دهند ، جهت آنها به موقعیت یک نقطه بر روی منحنی فضایی بستگی دارد و از نقطه ای به نقطه دیگر متفاوت است. این بردارها اصطلاحاً تشکیل می شوند. سه وجهی همراه (سه وعده Frenet) منحنی فضایی. بردارها 
و 
یک سه گانه درست و همچنین بردارهای واحد واحد را تشکیل می دهند 
در سیستم مختصات مناسب.
جفت گرفته شده 
سه صفحه را که از همان نقطه منحنی عبور می کنند تعریف کنید و صورت های سه تایی همراه را تشکیل دهید. که در آن 
و 
صفحه مجاور تعیین می شود (یک قوس بی نهایت کوچک از یک منحنی در مجاورت یک نقطه معین ، یک قوس منحنی صفحه در یک صفحه مجاور تا یک بی نهایت از مرتبه بالاتر است) ؛
و 
- هواپیما صاف
و 
- هواپیمای معمولی.
معادلات مماس ، طبیعی و غیر عادی.
معادلات هواپیماهای سه وجهی همراه.
دانستن 
و 
، یا هر بردار غیر واحدی برای آنها هم خط است T ، N و ب ما معادلاتی را که در این بخش نامگذاری شده اند استخراج می کنیم.
برای این ، در معادله متعارف خط مستقیم
و در معادله صفحه عبوری از این نقطه
را برای 
مختصات نقطه انتخاب شده بر روی منحنی ، پشت 
یا به ترتیب برای 
مختصات یکی از بردارها را بگیرید 
یا 
، که جهت خط مستقیم یا نرمال را به صفحه مورد نظر تعیین می کند:
یا 
- برای هواپیمای مماس یا عادی ،
یا 
- برای صفحه اصلی اصلی و اصلاح کننده ،
یا 
- برای حالت عادی و دو طرفه.
اگر منحنی توسط معادله بردار داده شود 
یا 
سپس برای بردار 
مماس را می توان گرفت 
برای پیدا کردن 
و 
ما ابتدا تجزیه را پیدا می کنیم 
توسط بردارها 
در اوایل (نتیجه گیری 1) متوجه شدیم که 
افتراق توسط 
، ما گرفتیم:
اما از آنجایی که 
اکنون بردار را ضرب کنید 
و 
(*) 
بر اساس (*) در هر بردار 
با داشتن جهت دونجار ، می توان بردار را گرفت
اما بعد ، برای 
ما می توانیم محصول متقابل این موارد اخیر را بدست آوریم:
بنابراین در هر نقطه از منحنی دلخواه ، می توانیم تمام عناصر سه گانه همراه را تعریف کنیم.
مثال. معادله مماس ، طبیعی و غیر طبیعی به خط مارپیچ سمت راست در هر نقطه.
مماس 
اصلی عادی 
غیر عادی 
اجازه دهید مجموعه مقادیر تابع بردار آرگومان مقیاس در نقطه 0 به یک مبدأ مشترک تقلیل یابد. بیایید منشا سیستم مختصات دکارتی را با این نقطه ترکیب کنیم. سپس ، برای هر شخص ، بردار را می توان از نظر بردار گسترش داد
بنابراین ، تعیین یک تابع برداری از یک آرگومان اسکالر به معنای تعیین سه تابع اسکالر است 
هنگامی که مقدار آرگومان تغییر می کند ، انتهای بردار یک منحنی در فضا را توصیف می کند ، که به آن هودوگرافی بردار گفته می شود
بگذارید یک مقدار نزدیک برای وجود داشته باشد 
سپس مشتق تابع بردار به استدلال اسکالر فراخوانی می شود 
شماره 17 سرعت و شتاب یک نقطه در حرکت منحنی
سرعت
سرعت به عنوان مشخصه ای از حرکت یک نقطه ماده معرفی می شود. سرعت یک مقدار بردار است که هم با سرعت حرکت (مدول بردار سرعت) و هم جهت آن (جهت بردار سرعت) در یک زمان مشخص مشخص می شود. اجازه دهید نقطه ماده در امتداد خط سیر منحنی حرکت کند ، در حالی که در لحظه t با بردار شعاع r0 مطابقت دارد (شکل 1). در یک فاصله زمانی کوچک Δt ، نقطه مسیر Δs را کامل می کند و بنابراین یک جابجایی ابتدایی (بی نهایت کوچک) Δr را دریافت می کند.
بردار سرعت متوسط
جهت بردار سرعت متوسط \u200b\u200bبا جهت Δr همزمان می شود. با کاهش بی نهایت Δt ، سرعت متوسط \u200b\u200bبه مقداری متمایل می شود که سرعت آنی v نامیده می شود:
این بدان معنی است که سرعت لحظه ای v یک مقدار بردار است که با توجه به زمان برابر با مشتق اول بردار شعاع یک نقطه متحرک است. زیرا در حدی که ثانیه با مماس منطبق است ، بردار سرعت v در جهت حرکت مماس به مسیر حرکت می شود (شکل 2).
شکل 2
با کاهش Δt ، Δs بیشتر و بیشتر به | Δr نزدیک می شوند ، بنابراین ، مدول سرعت آنی
این به این معنی است که مدول سرعت لحظه ای با توجه به زمان برابر با مشتق اول مسیر است:
با یک حرکت ناهموار ، ماژول سرعت آنی در نقاط مختلف زمان متفاوت است. در این حالت از مقدار اسکالر استفاده می شود
اگر با گذشت زمان در محدوده t تا t + Δt ادغام شویم عبارت ds \u003d vdt (فرمول (2) را ببینید) ، سپس طول مسیر پیموده شده توسط نقطه را در طول زمان Δt پیدا خواهیم کرد:
در صورت حرکت یکنواخت ، مقدار عددی سرعت آنی ثابت است. سپس عبارت (3) شکل می گیرد
طول مسیر طی شده توسط یک نقطه در فاصله زمانی t1 تا t2 توسط انتگرال داده می شود
شتاب
وقتی حرکت ناهموار است ، اغلب لازم است بدانید که سرعت در طول زمان با چه سرعتی تغییر می کند. کمیت فیزیکی که میزان تغییر سرعت را در اندازه و جهت مشخص می کند ، شتاب نامیده می شود. حرکت صفحه را در نظر بگیرید - حرکتی که در آن مسیرهای هر نقطه از سیستم مورد بررسی در همان صفحه قرار می گیرند. بگذارید بردار v سرعت نقطه A در زمان t باشد. در طول زمان Δt ، نقطه به موقعیت B منتقل شد و سرعتی متفاوت از v از نظر اندازه و جهت و برابر با v1 + Δv دریافت کرد. ما بردار v1 را به نقطه A منتقل می کنیم و Δv را پیدا می کنیم (شکل 1).
شتاب متوسط \u200b\u200bحرکت ناهموار در فاصله t تا t + Δt یک مقدار بردار برابر با نسبت تغییر سرعت Δv به فاصله زمانی Δt است:
شتاب آنی a (شتاب) یک نقطه ماده در زمان t مقدار بردار خواهد بود:
برابر با مشتق اول سرعت نسبت به زمان است.
اجازه دهید بردار Δv را به دو جز تجزیه کنیم. برای این کار ، از نقطه A (شکل 1) در جهت سرعت v ، بردار AD ، مدول v1 را به تعویق می اندازیم. بدیهی است که CD بردار ، برابر با Δvτ ، تغییر سرعت را در طول زمان Δt در مدول تعیین می کند: Δvτ \u003d v1-v. دومین جز Δ Δvn بردار Δv مشخصه تغییر سرعت در طول زمان Δt در جهت است.
جز component مماس شتاب:
یعنی برابر است با مشتق بار اول مدول سرعت ، در نتیجه میزان تغییر در مدول را تعیین می کند.
ما به دنبال م componentلفه دوم شتاب هستیم. ما فرض می کنیم که نقطه B بسیار نزدیک به نقطه A است ، بنابراین Δs را می توان قوس دایره ای از شعاع r ، کمی متفاوت از وتر AB در نظر گرفت. مثلث های AOB شبیه مثلث EAD است ، که به معنای Δvn / AB \u003d v1 / r است ، اما از آنجا که AB \u003d vΔt ، پس
در حد Δt → 0 ، v1 → v به دست می آید.
زیرا v1 → v ، زاویه EAD به صفر متمایل است و از آن به بعد مثلث EAD برابر است ، سپس زاویه ADE بین v و Δvn به یک خط مستقیم متمایل می شود. بنابراین ، به عنوان Δt-0 ، بردارهای Δvn و v متقابلاً عمود می شوند. زیرا بردار سرعت به طور مماس به مسیر هدایت می شود ، سپس بردار Δvn ، عمود بر بردار سرعت ، به مرکز انحنای مسیر نقطه هدایت می شود. م componentلفه دوم شتاب ، برابر با
م normalلفه عادی شتاب نامیده می شود و در امتداد یک خط مستقیم عمود بر مماس مسیر قرار دارد (عادی نامیده می شود) به مرکز انحنای آن هدایت می شود (بنابراین به آن شتاب مرکز گریز نیز گفته می شود)
شتاب کل بدن مجموع هندسی اجزای مماس و عادی است (شکل 2):
این بدان معناست که م tanلفه مماسی شتاب مشخصه سرعت تغییر سرعت در مدول است (به صورت مماسی به مسیر حرکت می شود) و م normalلفه عادی شتاب نیز مشخصه ای از میزان تغییر سرعت در جهت (جهت مرکز انحنای مسیر) است. بسته به اجزای مماسی و طبیعی شتاب ، حرکت را می توان به صورت زیر طبقه بندی کرد:
1) aτ \u003d 0 ، an \u003d 0 - حرکت یکنواخت خطی ؛
2) aτ \u003d an \u003d ثابت و n \u003d 0 - حرکت متغیر مساوی مستقیم. با این نوع حرکت
اگر لحظه اولیه زمان t1 \u003d 0 باشد ، و سرعت اولیه v1 \u003d v0 باشد ، پس با نشان دادن t2 \u003d t و v2 \u003d v ، a \u003d (v-v0) / t بدست می آوریم ، از آنجا
با ادغام این فرمول در محدوده صفر تا لحظه دلخواه t ، در می یابیم که طول مسیر پیموده شده توسط نقطه ، در مورد یک حرکت به همان اندازه متغیر
3) aτ \u003d f (t) ، an \u003d 0 - حرکت مستقیم با شتاب متغیر ؛
4) aτ \u003d 0 ، an \u003d ترکیب. در aτ \u003d 0 ، مدول سرعت را تغییر نمی دهد ، بلکه جهت تغییر می کند. از فرمول an \u003d v2 / r نتیجه می شود که شعاع انحنا باید ثابت باشد. در نتیجه ، حرکت در اطراف دایره یکنواخت است ؛ حرکت منحنی یکنواخت ؛
5) aτ \u003d 0 ، یک حرکت منحنی خطی ≠ 0 ؛
6) aτ \u003d ساختار ، یک ≠ 0 - حرکت متغیر برابر منحنی ؛
7) aτ \u003d f (t) ، ≠ 0 - حرکت منحنی با شتاب متغیر.
شماره 18 معادلات صفحه مماس و نرمال با سطح
تعریف. اجازه دهید تابعی از دو متغیر z \u003d f (x، y) در دامنه D داده شود ، M0 (x0؛ y0) نقطه داخلی دامنه D است ، M (x0 + Δx؛ y + Δy) یک نقطه از D. "مجاور" به M0 است.
افزایش کامل عملکرد را در نظر بگیرید:
اگر Δz به صورت زیر ارائه شده است:
که در آن A ، B ثابت هستند (مستقل از Δx ، Δy) ، 
- فاصله بین M و M0 ، α (Δ x ، Δy) - در Δx 0 ، Δy 0 بی نهایت کوچک ؛ سپس تابع z \u003d f (x، y) در نقطه M0 متغیر شناخته می شود ، و عبارت
دیفرانسیل کل تابع z \u003d f (x؛ y) در نقطه M0 نامیده می شود.
قضیه 1.1. اگر z \u003d f (x؛ y) در نقطه M0 قابل تغییر باشد ، پس
شواهد و مدارک
از آنجا که در (1.16) Δx ، Δy دلخواه بی نهایت کم است ، بنابراین می توانیم Δy \u003d 0 ، Δx ≠ 0 ، Δx 0 ، سپس
پس از آن از (1.16) نتیجه می شود
به طور مشابه می توان ثابت کرد که
و قضیه 1.1. اثبات شده
نکته: وجود مشتقات جزئی از تفاوت z \u003d f (x، y) در نقطه M0 ناشی می شود. برعکس درست نیست (وجود مشتقات جزئی در نقطه M0 به معنای تفاوت در نقطه M0 نیست).
در نتیجه ، با در نظر گرفتن قضیه 1.1 ، فرمول (1.18) به شکل زیر در می آید:
نتیجه. عملکرد متغیر در نقطه M0 در این نقطه مداوم است (زیرا از (1.17) چنین بر می آید که برای Δx 0، Δy 0: Δz 0، z (M) z (M0)).
توجه: به طور مشابه در مورد سه یا چند متغیر. عبارت (1.17) به شکل زیر است:
با استفاده از معنی هندسی (شکل 1.3) مشتقات جزئی و می توان معادله زیر (1.24) صفحه مماس πcas به سطح را بدست آورد: z \u003d f (x، y) در نقطه C0 (x0، y0، z0)، z0 \u003d z (M):
با مقایسه (1.24) و (1.21) ، معنای هندسی دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر را بدست می آوریم:
افزایش کاربرد z هنگام حرکت نقطه C در امتداد صفحه مماس از نقطه C0 به نقطه
از کجا یافت می شود (1.24).
معادله Ln نرمال به سطح: z \u003d f (x، y) در نقطه C0 به عنوان معادله یک خط مستقیم که از C0 عمود بر صفحه مماس عبور می کند بدست می آید:
شماره 19 مشتق جهت دار. شیب
اجازه دهید یک تابع در برخی از دامنه ها داده شود 
و اشاره کنید 
... بگذارید از یک نقطه بردار بکشیم که کسینوس ها جهت آن هستند 
... یک نقطه از بردار را در فاصله ای از مبدا آن در نظر بگیرید ، یعنی ...
ما فرض خواهیم کرد که این تابع است و مشتقات جزئی مرتبه اول آن در دامنه مداوم هستند.
حد نسبت at را مشتق تابع می نامند در نقطه در جهت بردار است و مشخص می شود ، ...
برای پیدا کردن مشتق تابع در یک نقطه مشخص 
در جهت بردار 
از فرمول استفاده کنید: ،
جایی که - کسینوس های جهت بردار ، که توسط فرمول ها محاسبه می شود: 
.
اجازه دهید در هر نقطه از یک منطقه تابعی داده شود .
برشی که پیش بینی های آن در محورهای مختصات مقادیر مشتقات جزئی این تابع در نقطه مربوطه است ، شیب تابع نامیده می شود و با یا نشان داده می شود (بخوانید "nabla y"):.
گفته می شود که یک قسمت برداری از شیب ها در منطقه تعریف شده است.
برای یافتن شیب تابع در یک نقطه مشخص از فرمول استفاده کنید:.
properties22 ویژگی های اساسی انتگرال نامعین
انتگرال نامعین
جایی که F آنتی ویروس عملکرد f (در فاصله) است. C یک ثابت دلخواه است.
خواص اساسی
1. 
2. 
3. اگر 
سپس
24) 
25) 
28) 
این روش در مواردی استفاده می شود که انتگراند محصولی یا ضریب توابع غیر مشابه باشد. در این حالت ، بخشی که به راحتی ادغام می شود V ’(x) در نظر گرفته می شود.
29) 
32) تجزیه کسری منطقی به کسرهای ساده.
هر کسری منطقی صحیح 
را می توان به عنوان مجموع تعداد محدودی از ساده ترین کسرهای منطقی انواع اول - چهارم نشان داد. برای تجزیه لازم است که مخرج را به ساده ترین کسرات گسترش دهیم Q m (x) توسط فاکتورهای خطی و مربعی ، برای این که شما باید معادله را حل کنید:
- (5)
قضیه کسر منطقی درست است , جایی که 
, می تواند به صورت منحصر به فرد به جمع ساده ترین کسرها گسترش یابد:
- (6)
(A 1 ، A 2 ،… ، A k ، B 1 ، B 2 ،… ، B 1 ، M 1 ، N 1 ، M 2 ، M 2 ،… ، M s ، N s تعدادی واقعی هستند).
33) تجزیه کسر منظم به کسرهای ساده با ریشه های پیچیده مخرج
فرمول بندی مسئله. انتگرال نامعین را پیدا کنید
1 ... بیایید نماد را معرفی کنیم:
بیایید قدرت های عدد و مخرج را با هم مقایسه کنیم.
اگر انتگرال کسری عقلانی نامنظم باشد ، درجه عددn بزرگتر یا برابر با قدرت مخرجمتر ، سپس ابتدا با تقسیم عدد به مخرج کل قسمت تابع منطقی را انتخاب می کنیم:
در اینجا چند جمله ای باقیمانده تقسیم بر و درجه استPk (x) درجه کمترقم
2 ... گسترش کسر عقلانی صحیح
به کسرهای اولیه
اگر مخرج آن ریشه های پیچیده ساده ای داشته باشد
سپس انبساط فرم دارد
3 ... برای محاسبه ضرایب تعریف نشده ،A1 ، A2 ، A3 ... B1 ، B1 ، B3 ... کسر سمت راست هویت را به یک مخرج مشترک کاهش می دهیم ، پس از آن ضرایب را در همان درجه برابر می کنیمایکس در اعداد سمت چپ و راست. ما سیستم را دریافت می کنیم 2 س معادلات با 2 س ناشناخته است ، که یک راه حل منحصر به فرد دارد.
4 ما کسرهای ابتدایی فرم را ادغام می کنیم
47) اگر یک حد محدود I از مجموع انتگرال به عنوان λ → 0 وجود داشته باشد ، و این به روش انتخاب نقاط ξ i ، روش تقسیم بخش بستگی ندارد ، سپس این حد را انتگرال مشخصی از تابع f (x) بر روی بخش می نامند و به شرح زیر نشان داده می شود:
در این حالت به تابع f (x) integrable on گفته می شود. به اعداد a و b ، به ترتیب ، مرزهای پایین و بالا یکپارچه سازی ، f (x) - integrand ، x - متغیر یکپارچه سازی گفته می شود. لازم به ذکر است که مهم نیست کدام حرف متغیر ادغام انتگرال معین را نشان می دهد
از آنجا که تغییر در تعیین این نوع به هیچ وجه بر رفتار مجموع انتگرال تأثیر نمی گذارد. علیرغم شباهت در نت و اصطلاحات ، انتگرال های مشخص و نامشخص متفاوت است
48) قضیه وجود برای یک انتگرال مشخص
قسمت را به نقاط x1 ، x2 ، x3 تقسیم کنید ... به این ترتیب
بیایید طول del iX و حداکثر این طولها را با deltaX مشخص کنیم.
بیایید برخی از نقاط را به روشی دلخواه انتخاب کنیم تا (به آن "نقطه میانی" گفته شود) ، و بنویسیم
کمیت ، که مجموع انتگرال نامیده می شود
بیایید اکنون حد را پیدا کنیم
تعریف. اگر وجود داشته باشد و به آن بستگی نداشته باشد
الف) روشی برای تقسیم یک بخش به قطعات و از
ب) روش انتخاب نقطه میانی ،
یک انتگرال مشخص از تابع f (x) در بخش است.
تابع f (x) در این حالت با یک فاصله قابل ادغام فراخوانی می شود. مقادیر a و b را به ترتیب حد پایین و بالا یکپارچه سازی می نامند.
50) خصوصیات اصلی یک انتگرال خاص
1) اگر فاصله ادغام به تعداد محدودی از بازه های جزئی تقسیم شود ، آنگاه یک انتگرال مشخصی که از این بازه گرفته می شود برابر است با مجموع انتگرال های مشخصی که در تمام بازه های جزئی آن گرفته شده است.
2) قضیه مقدار متوسط.
اجازه دهید تابع y \u003d f (x) در یک فاصله قابل جمع شدن باشد ، m \u003d min f (x) و M \u003d max f (x) ، بنابراین چنین عددی وجود دارد
نتیجه.
اگر تابع y \u003d f (x) روی قطعه مداوم باشد ، یک عدد وجود دارد به این ترتیب.
3) با جایگزینی حدود ادغام ، یک انتگرال خاص علامت خود را به عکس تغییر می دهد.
4) انتگرال مشخص با همان محدوده های ادغام برابر با صفر است.
5) ادغام ماژول عملکرد
اگر تابع f (x) قابل تلفیق باشد ، پس مدول آن نیز در یک فاصله قابل جمع شدن است.
6) ادغام نابرابری
اگر f (x) و q (x) در یک فاصله قابل جمع شدن باشند و x متعلق به آن باشد
سپس
7) خطی بودن
عامل ثابت را می توان از نشانه انتگرال مشخص خارج کرد
اگر f (x) وجود داشته باشد و در این فاصله قابل جمع شدن باشد ، A \u003d ترکیب
اگر تابع y \u003d f (x) در یک بازه مداوم باشد و F (x) برخی از آنتی ویروسهای آن در (F '(x) \u003d f (x)) باشد ، فرمول زیر برقرار است:
اجازه دهید جایگزینی x \u003d α (t) برای محاسبه انتگرال یک تابع مداوم ساخته شود.
1) تابع x \u003d α (t) و مشتق آن x '\u003d α' (t) برای t متعلق به مداوم هستند
2) مجموعه مقادیر تابع x \u003d α (t) برای t متعلق به قطعه است
3) A α (c) \u003d a و α (v) \u003d b
بگذارید تابع f (x) در فاصله مداوم باشد و در x \u003d b یک ناپیوستگی بی نهایت داشته باشد. اگر محدودیتی وجود داشته باشد ، آن را انتگرال نامناسب از نوع دوم می نامند و نشان داده می شود.
بنابراین ، با تعریف ،
اگر محدودیتی در سمت راست وجود داشته باشد ، انتگرال نامناسب است همگرا می شود.اگر حد مشخص شده وجود نداشته باشد یا بی نهایت باشد ، آنها می گویند که انتگرال واگرایی
مثال 2 به عنوان مثال ، عملکرد سه متغیر را در نظر بگیرید f(ایکس, در, z), دارای جدول حقیقت زیر:
روش ماتریس
آیا این مجموعه متغیرها است ایکس n به دو نیم می شود در متر و z n - متر به گونه ای که تمام مقادیر واقعی ممکن بردار در متر توسط سطرهای ماتریس و همه مقادیر ممکن حقیقت بردار تعیین شده اند z n - متر - توسط ستون ها مقادیر حقیقت عملکرد fروی هر مجموعه n = ( 1 , ..., متر , متر + 1 ,..., n) در سلولهای تشکیل شده توسط تقاطعهای خط قرار می گیرند ( 1 , ..., متر) و ستون ( متر + 1 ,..., n).
در مثال 2 که در بالا در نظر گرفته شده است ، در مورد پارتیشن متغیر ( x ، y ، z) به زیر مجموعه ها ( ایکس) و ( y ، z) ماتریس به شکل زیر است:
|
y ،z |
|||||
یک ویژگی اساسی روش تنظیم ماتریس این است که مجموعه کامل متغیرها است ایکس n مربوط به سلولهای مجاور (هم به صورت عمودی و هم به صورت افقی) در یک مختصات متفاوت است.
اختصاص کامل درخت دودویی
برای توضیحات nعملکرد محلی f( ایکس n) از ویژگی ارتفاع باینری درخت استفاده می شود n، که شامل این واقعیت است که هر راس آویزان در آن با یک مجموعه خاص از مقادیر بردار مطابقت یک به یک دارد ایکس n ... بر این اساس ، به این راس آویزان می توان همان مقدار واقعی را که عملکرد در این مجموعه دارد ، اختصاص داد f... به عنوان مثال (شکل 1.3) ، ما یک کار را با استفاده از یک درخت باینری از عملکرد سه مکانه بالا ارائه خواهیم داد f \u003d(10110110).
ردیف اول اعداد منسوب به رأس آویزان درخت نشان دهنده شماره فرهنگ نامه مجموعه است ، دومی خود مجموعه است و سوم مقدار تابع روی آن است.
تلاش باn - مکعب واحد بعدیکه در n
از بالا که در n همچنین می تواند نگاشت یک به یک مجموعه همه مجموعه ها باشد ایکس n سپس nعملکرد محلی f(ایکس n) را می توان با اختصاص مقادیر واقعی آن به رئوس متناظر مکعب ، مشخص کرد که در n . شکل 1.4 تعریف عملکرد را نشان می دهد f= (10110110) در کوبا که در 3 مقادیر حقیقت به رئوس مکعب اختصاص داده شده است.
تعریف . جبر منطق به مجموعه ثابتها و متغیرهای بولی همراه با رابطهای منطقی معرفی شده روی آنها گفته می شود.
وظیفه فرمول
توابع جبر منطقی را می توان به عنوان عبارات تحلیلی تعیین کرد.
تعریف. اجازه دهید ایکس― الفبای متغیرها و ثابت های مورد استفاده در جبر منطقی ، F― مجموعه تعیین ها برای همه توابع ابتدایی و تعمیم آنها برای تعداد متغیرهای بیش از 2.
فرمول بیش از X ، F(فرمول جبر منطق) بیایید تمام سوابق فرم را فراخوانی کنیم:
آ) ایکس،جایی که ایکس ایکس;
ب) F 1 , F 1 &F 2 ,F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1 F 2 , جایی که F 1 ، F 2 - فرمول ها تمام شده است X ، F ؛
که در) ساعت(F 1 , … ,F n )، جایی که n > 2, F 1 ,… , F n - فرمول های دیگر ایکس, F, ساعت ― علامت گذاری عملکرد آستانه کلی از F .
همانطور که از تعریف بر می آید ، علامت گذاری پیوند برای توابع ابتدایی دو مکانه استفاده می شود ، که در آن یک نماد عملکردی بین آرگومان ها قرار می گیرد ، برای نفی و توابع تعمیم یافته ، یک نماد پیشوند استفاده می شود ، که در آن یک نماد عملکردی قبل از لیست آرگومان قرار می گیرد.
مثال 3
1. عبارات ایکس(درz); ( ایکس, y, z تو) فرمولهای جبر منطق هستند ، زیرا تعریف فوق را برآورده می کنند.
2. بیان ایکس (در z) فرمول بولی نیست ، از آنجا که عملیات operation .
تعریف. عملکردی که با فرمول F تحقق می یابد، تابعی است که با جایگزینی مقادیر متغیرها در بدست می آید اف.ما آن را نشان می دهیم f(F).
مثال 4 فرمول را در نظر بگیرید F= هو (ایکسz). برای ساخت جدول حقیقت تابع در حال اجرا ، لازم است به ترتیب ، با در نظر گرفتن قدرت اتصالات منطقی ، ضرب منطقی انجام شود هو، و سپس مفاهیم ( ایکسz), سپس مدول مقادیر حقیقت بدست آمده را اضافه کنید. نتیجه انجام اقدامات در جدول نشان داده شده است:
|
ایکس z | |||||
نمایش فرمول توابع امکان ارزیابی پیشینی بسیاری از خصوصیات توابع را فراهم می کند. انتقال از یک کار فرمولی به یک جدول حقیقت همیشه می تواند با جایگزینی های پی در پی مقادیر حقیقت به توابع اولیه موجود در فرمول انجام شود. انتقال معکوس مبهم است ، زیرا همان عملکرد را می توان با فرمول های مختلف نشان داد. این نیاز به بررسی جداگانه دارد.
تعريف 1. بردار g را يك تابع بردار از آرگومان مقياس t مي نامند در صورتي كه هر مقدار از مقياس از محدوده مقادير قابل قبول با مقدار معيني از بردار r مطابقت داشته باشد. توابع آرگومان t هستند: تابع برداری آرگومان مقیاسی. هودوگراف محدودیت و تداوم عملکرد بردار آرگومان مقیاس برعکس ، اگر مختصات بردار r توابع t٪ باشد ، بردار r خود تابع t خواهد بود: بنابراین ، تعیین عملکرد بردار r (f) برابر است با تعیین سه تابع مقیاس y (t) ، z ( t) تعریف 2. هودوگراف تابع بردار r (t) یک آرگومان مقیاس ، کانون نقاطی است که انتهای بردار r (*) را هنگام تغییر t اسکالر توصیف می کند ، هنگامی که ابتدای بردار r (f) در یک نقطه ثابت O از فضای قرار می گیرد (شکل I ) هودوگراف برای بردار سبیل r \u003d r (*) حرکت - شکل. 1 نقطه خشک مسیر L این نقطه خواهد بود. هودوگراف سرعت v \u003d v (J) این نقطه خط دیگری L \\ (شکل 2) خواهد بود. بنابراین ، اگر یک نقطه ماده در امتداد یک دایره با سرعت ثابت حرکت کند | v | \u003d const ، سپس hodograph سرعت آن نیز یک دایره است که در نقطه 0 \\ و با شعاع برابر با | v | قرار دارد. مثال 1. هودوگراف بردار r \u003d ti + t \\ + t \\ را بسازید. تصمیم گیری 1. این ساخت و ساز را می توان با امتیازات اندازه گیری کرد ، و یک جدول درست کرد: شکل 3 2i همچنین می توانید این کار را انجام دهید. با نشان دادن مختصات بردار V از طریق x ، y ، z ، کلید Nц И از این معادلات خواهیم داشت ، پارامتر 1У ، ما معادلات سطوح y - z \u003d x1 را بدست می آوریم ، خط تقاطع L که هدوگراف بردار r () را تعیین می کند (شکل 3). D\u003e وظایف یک راه حل مستقل. هودوگرافهای بردار را بسازید: بگذارید تابع بردار r \u003d یک آرگومان مقیاس t در برخی از محله های مقدار آرگومان t تعریف شود ، به جز ، شاید همان مقدار پسوند 1. یک بردار ثابت A را برای بردار r (t) می نامیم اگر برای هر e\u003e 0 باشد δ\u003e 0 وجود دارد به طوری که برای همه t Φ برای برآورده کردن شرط 11 وجود دارد - نابرابری صدق می کند همانطور که در تجزیه و تحلیل معمولی ، آنها limr را می نویسند (0 \u003d A. شکل 4 از نظر هندسی ، این بدان معنی است که بردار) به عنوان t - * به سمت بردار تمایل دارد و هم از نظر طول و هم از جهت (شکل 4). تعریف 2. بردار a (t) را به اندازه t - »نامحدود می نامند تا اگر a (t) حد t - * to داشته باشد و این حد برابر با yy باشد: عملکرد بردار یک آرگومان مقیاسی. هودوگراف حد و تداوم عملکرد بردار یک استدلال اسکالر که آیا یکسان است ، برای هر ε\u003e 0 وجود دارد به گونه ای که برای همه t Φ برای برآورده کردن شرط ، نابرابری | a (t) | مثال 1 نشان دهید که بردار یک بردار بی نهایت قرمز برای t - * 0. راه حل است. ما از کجا مشخص شده ایم که اگر برای هر e 0 6 \u003d take بگیریم ، برای -0 | ما علامت گذاری خواهیم کرد |. مطابق تعریف ، این بدان معنی است که a (t) یک بردار قرمز مایل به قرمز برای t 0. 1\u003e مشکلات برای یک راه حل مستقل از r است. اگر حد انتهایی وجود داشته باشد ، نشان می دهد که حد مدول یک بردار برابر با مدول حد آن است. ... برای اثبات اینکه برای تابع بردار r (*) یک حد A برای وجود دارد ، لازم و کافی است که r (می تواند به عنوان یک تابع برداری از یک آرگومان مقیاس نشان داده شود. t) یک بردار است بی نهایت به عنوان t - * t0. 14. تابع بردار a + b (*) در t \u003d t0 مداوم است. آیا به این ترتیب بردارهای a (t) و b (J) نیز در t مداوم هستند - تا ؟ 15. ثابت کنید که اگر a (توابع بردار پیوسته هستند ، پس محصول مقیاس دار آنها (a (*) ، b (f)) و محصول برداری | a (f) ، b (t)] نیز پیوسته هستند.
بارگذاری ...