مختصات کروی استوانه ای سه گانه انتگرال. سخنرانی های سه گانه انتگرال

روش محاسبه یک انتگرال سه گانه مشابه عملیات مربوط به یک انتگرال دو برابر است. برای توصیف آن ، ما مفهوم یک منطقه سه بعدی منظم را معرفی می کنیم:

تعریف 9.1. یک منطقه سه بعدی V محدود شده توسط یک سطح بسته S به طور منظم خوانده می شود:

1. هر خط مستقیم به موازات محور Oz و کشیده شده از طریق نقطه داخلی منطقه ، S را در دو نقطه قطع می کند.
2. کل منطقه V بر روی صفحه Oxy به یک منطقه منظم دو بعدی پیش بینی می شود.
3. هر قسمت از منطقه V ، توسط یک صفحه موازی با هر یک از صفحات مختصات از آن جدا شده ، دارای خصوصیات 1) و 2) است.

یک منطقه منظم V را در نظر بگیرید ، که از زیر و بالا توسط سطوح z \u003d χ (x ، y) و z \u003d ψ (x، y) محدود شده و بر روی صفحه Oxy قرار دارد و به یک منطقه منظم D ، داخل آن x از a تا b متغیر است ، و توسط منحنی ها محدود می شود y \u003d φ1 (x) و y \u003d φ2 (x) (شکل 1). اجازه دهید یک تابع مداوم f (x، y، z) را در دامنه V تعریف کنیم.

تعریف 9.2. بیایید انتگرال سه گانه تابع f (x، y، z) را در منطقه V بیان یک فرم قرار دهیم:

انتگرال سه برابر دارای همان خصوصیات انتگرال دو برابر است. ما آنها را بدون اثبات لیست می کنیم ، زیرا ثابت شده مشابه مورد انتگرال مضاعف است.

محاسبه انتگرال سه گانه.

قضیه 9.1. انتگرال سه گانه تابع f (x، y، z) در منطقه منظم V برابر است با انتگرال سه برابر در همان منطقه:

. (9.3)

شواهد و مدارک.

ما منطقه V را با هواپیما های موازی با صفحات مختصات به n منطقه منظم تقسیم می کنیم. سپس از ویژگی 1 نتیجه می شود که

انتگرال سه گانه تابع f (x، y، z) در دامنه کجاست؟

با استفاده از فرمول (9.2) ، برابری قبلی را می توان به صورت زیر نوشت:

از شرط پیوستگی تابع f (x، y، z) نتیجه می شود که حد جمع انتگرال در سمت راست این برابری وجود دارد و برابر با انتگرال سه گانه است. سپس ، با عبور از حد مجاز ، به دست می آوریم:

q.E.D.

اظهار نظر.

به طور مشابه در مورد یکپارچه دوگانه ، می توان ثابت کرد که تغییر ترتیب ادغام ، ارزش انتگرال سه برابر را تغییر نمی دهد.

مثال. اجازه دهید انتگرال را در جایی که V یک هرم مثلثی است با رئوس در نقاط (0 ، 0 ، 0) ، (1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 1 ، 0) و (0 ، 0 ، 1) محاسبه کنیم. برآمدگی آن روی صفحه Oxy یک مثلث با رئوس (0 ، 0) ، (1 ، 0) و (0 ، 1) است. منطقه از پایین به صفحه z \u003d 0 و از بالا با صفحه x + y + z \u003d 1 محدود می شود. اجازه دهید به انتگرال سه برابر برویم:

عواملی که به متغیر یکپارچه سازی بستگی ندارند می توانند خارج از علامت انتگرال مربوطه منتقل شوند:

سیستم های مختصات منحنی در فضای سه بعدی.

1. سیستم مختصات استوانه ای.

مختصات استوانه ای نقطه P (ρ ، φ، z) مختصات قطبی ρ ، φ فرافکنی این نقطه در صفحه Oxy و کاربرد این نقطه z است (شکل 2).

فرمولهای انتقال از مختصات استوانه ای به مختصات دکارتی را می توان به شرح زیر تعیین کرد:

x \u003d ρ cosφ، y \u003d ρ sinφ، z \u003d z. (9.4)

1. سیستم مختصات کروی.

در مختصات کروی ، موقعیت یک نقطه در فضا با مختصات خطی ρ - فاصله از نقطه تا مبدا سیستم مختصات دکارتی (یا قطب سیستم کروی) ، φ - زاویه قطبی بین نیمه محوری مثبت Ox و برآمدگی نقطه روی صفحه Oxy و θ - زاویه بین محور مثبت محور مشخص می شود Оz و بخش OP (شکل 3). که در آن

اجازه دهید فرمول های انتقال از مختصات کروی به مختصات دکارتی را تعریف کنیم:

x \u003d ρ sinθ cosφ، y \u003d ρ sinθ sinφ، z \u003d ρ cosθ. (9.5)

یعقوبیان و معنای هندسی آن.

حالت کلی تغییر متغیرها را در یک انتگرال مضاعف در نظر بگیرید. اجازه دهید دامنه D محدود به خط L در صفحه Oxy داده شود. فرض کنید x و y توابع متغیرهای جدید و متغیرهای جدید با ارزش یکتا و متغیر باشند:

x \u003d φ (u ، v) ، y \u003d ψ (u ، v). (9.6)

یک سیستم مختصات مستطیلی Ouv را در نظر بگیرید ، نقطه P΄ (u ، v) آن مربوط به نقطه P (x، y) از دامنه D است. همه این نقاط ، دامنه D΄ را در صفحه Ouv محدود شده به خط L΄ تشکیل می دهند. می توانیم بگوییم که فرمول ها (9.6) یک مکاتبات یک به یک بین نقاط مناطق D و D΄ برقرار می کنند. در این حالت ، خطوط u \u003d const و

v \u003d const در صفحه Ouv با برخی خطوط صفحه Oxy مطابقت خواهد داشت.

در صفحه Ouv یک منطقه مستطیل ΔS΄ را در نظر بگیرید که با خطوط مستقیم u \u003d const ، u + Δu \u003d const ، v \u003d const و v + Δv \u003d const محدود شده است. این مربوط به یک منطقه منحنی ΔS در صفحه Oxy خواهد بود (شکل 4). مناطق سایت های مورد بررسی نیز با ΔS΄ و ΔS مشخص می شوند. در این حالت ΔS΄ \u003d Δu Δv. بیایید منطقه ΔS را پیدا کنیم. ما رئوس این چهار ضلعی منحنی را P1 ، P2 ، P3 ، P4 نشان می دهیم ، جایی که

P1 (x1 ، y1) ، x1 \u003d φ (u ، v) ، y1 \u003d ψ (u ، v) ؛

P2 (x2 ، y2) ، x2 \u003d φ (u + Δu، v) ، y2 \u003d ψ (u + Δu، v) ؛

P3 (x3 ، y3) ، x3 \u003d φ (u + Δu ، v + Δv) ، y3 \u003d ψ (u + Δu ، v + Δv) ؛

P4 (x4 ، y4) ، x4 \u003d φ (u ، v + Δv) ، y4 \u003d ψ (u ، v + Δv).

افزایش های کوچک Δu و Δv را با دیفرانسیل های مناسب جایگزین کنید. سپس

در این حالت ، چهار ضلعی Р1 Р2 Р3 Р4 را می توان یک متوازی الاضلاع در نظر گرفت و مساحت آن را می توان با استفاده از فرمول هندسه تحلیلی تعیین کرد:

(9.7)

تعریف 9.3. تعیین کننده را عامل عملکردی یا ژاکوبین توابع φ (x، y) و ψ (x، y) می نامند.

با عبور از حد برابر در برابر (9.7) ، معنای هندسی یعقوبی را بدست می آوریم:

یعنی مدول ژاکوبین حد نسبت مناطق مناطق بی نهایت کوچک ΔS و ΔS΄ است.

اظهار نظر. به روشی مشابه می توان مفهوم ژاکوبین و معنی هندسی آن را برای یک فضای n بعدی تعریف کرد: اگر x1 \u003d φ1 (u1 ، u2 ،… ، un) ، x2 \u003d φ2 (u1 ، u2 ،… ، un) ،… ، xn \u003d φ (u1 ، u2 ، ... ، un) ، بنابراین

(9.8)

علاوه بر این ، مدول Jacobian محدوده نسبت "حجم" مناطق کوچک فضاهای x1 ، x2 ، ... ، xn و u1 ، u2 ، ... ، un را می دهد.

تغییر متغیرها در چندین انتگرال.

اجازه دهید با استفاده از مثال یک انتگرال دوگانه ، مورد کلی تغییر متغیرها را بررسی کنیم.

اجازه دهید یک تابع مداوم z \u003d f (x، y) در دامنه D داده شود ، هر مقدار آن مربوط به همان مقدار تابع z \u003d F (u ، v) در دامنه D΄ است ، جایی که

F (u ، v) \u003d f (φ (u ، v) ، ψ (u ، v)). (9.9)

جمع انتگرال را در نظر بگیرید

جایی که مجموع انتگرال در سمت راست دامنه D΄ گرفته می شود. با عبور از حد مجاز ، یک فرمول تحول مختصات را در یک انتگرال دو به دست می آوریم.

اجازه دهید ما دو سیستم مختصات مستطیلی در فضا داشته باشیم و
، و سیستم توابع

(1)

که مکاتبات یک به یک را بین نقاط برخی مناطق برقرار می کند
و
در این سیستم های مختصات فرض کنید که عملکردهای سیستم (1) در
مشتقات نسبی مداوم. عامل تعیین کننده از این مشتقات جزئی تشکیل شده است

,

یاكوبین (یا تعیین كننده ژاكوبی) از سیستم توابع نامیده می شود (1). ما فرض خواهیم کرد که
در
.

طبق مفروضات بالا ، فرمول عمومی زیر برای تغییر متغیرها در انتگرال سه گانه حفظ می شود:

همانطور که در مورد یکپارچه دوگانه ، سیستم (1) یک به یک و شرط است
در نقاط جداگانه ، روی خطوط جداگانه و روی سطوح جداگانه نقض می شود.

سیستم عملکرد (1) هر نقطه
با یک نقطه واحد مطابقت دارد
... این سه عدد
مختصات منحنی خطی نامیده می شود ... امتیاز در فضا
، که یکی از این مختصات برای آن ثابت است ، به اصطلاح تشکیل می شود. سطح مختصات.

II انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای

سیستم مختصات استوانه ای (CSK) توسط صفحه تعریف می شود
، که در آن سیستم مختصات قطبی و محور است
عمود بر این صفحه است. مختصات نقطه استوانه ای
جایی که
- مختصات قطبی یک نقطه - پیش بینی t عینک در هواپیما
، و آیا مختصات نقطه پیش بینی شده است در هر محور
یا
.

داخل هواپیما
مختصات دکارتی را به روش معمول معرفی می کنیم ، محور کاربرد در امتداد محور هدایت می شود
CSK اکنون بدست آوردن فرمول هایی که مختصات استوانه ای را با مختصات دکارتی متصل کنند دشوار نیست:

(3)

این فرمول ها منطقه را بر اساس کل فضا ترسیم می کنند
.

سطوح مختصات در این حالت:

1)
- سطوح استوانه ای با ژنراتورهای موازی محور
، توسط حلقه های داخل هواپیما هدایت می شود
، مرکز آن نقطه است ;

2)

;

3)
- هواپیماهای موازی با هواپیما
.

یعقوبیان سیستم (3):

.

فرمول کلی در مورد CSK به شکل زیر است:

یادداشت 1 . انتقال به مختصات استوانه ای در مواردی توصیه می شود که ناحیه ادغام یک استوانه دایره ای یا مخروطی یا یک سهموی چرخشی باشد (یا قطعات آنها) ، و محور این بدنه با محور برنامه مصادف باشد
.

یادداشت 2 مختصات استوانه ای را می توان به همان ترتیب مختصات قطبی در صفحه تعمیم داد.

مثال 1 انتگرال سه گانه یک تابع را محاسبه کنید

بر اساس منطقه
نمایانگر قسمت داخلی استوانه
محدود به مخروط
و سهموی
.

تصمیم گیری ما قبلاً این منطقه را در §2 ، به عنوان مثال 6 ، در نظر گرفته ایم و یک رکورد استاندارد در DPSK دریافت کرده ایم. با این حال ، محاسبه انتگرال در این زمینه دشوار است. بیایید به CSK برویم:

.

پروجکشن
بدن
در هواپیما
یک دایره است
... بنابراین ، مختصات از 0 تا
، و - از 0 تا R. از طریق یک نکته دلخواه
یک خط مستقیم به موازات محور رسم کنید
... مستقیم وارد خواهد شد
روی یک مخروط ، اما با یک سهموی بزرگ بیرون می آید. اما مخروط
در CSK معادله دارد
و سهموی
- معادله
... بنابراین ما داریم

III انتگرال سه گانه در مختصات کروی

سیستم مختصات کروی (SSC) توسط صفحه تعریف می شود
، که در آن UCS مشخص شده است ، و محور
عمود بر صفحه
.

مختصات نقطه کروی فاصله ها را سه عدد می نامند
جایی که - زاویه قطبی فرافکنی یک نقطه در صفحه
,- زاویه بین محور
و بردار
و
.

داخل هواپیما
ما محورهای مختصات دکارتی را معرفی می کنیم
و
به روش معمول ، و محور درخواست کننده با محور سازگار است
... فرمول های اتصال مختصات کروی با مختصات دکارتی به شرح زیر است:

(4)

این فرمول ها منطقه را بر اساس کل فضا ترسیم می کنند
.

یعقوبی از سیستم توابع (4):

.

سطوح هماهنگ سه خانواده را تشکیل می دهد:

1)
- حوزه های متحدالمرکز در مرکز مبدا ؛

2)
- نیم هواپیما هایی که از محور عبور می کنند
;

3)
- مخروط های دایره ای با راس در مبدا ، که محور آن محور است
.

فرمول انتقال به SSK در انتگرال سه گانه:

یادداشت 3 انتقال به SSC زمانی توصیه می شود که منطقه ادغام یک توپ یا بخشی از آن باشد. در این حالت معادله کره
وارد می شود مانند CSK که قبلاً بحث شد ، SSK به محور "گره خورده" است
... اگر مرکز کره توسط شعاع در امتداد محور مختصات جابجا شود ، در صورت جابجایی در امتداد محور ، ساده ترین معادله کروی بدست خواهد آمد
:

یادداشت 4 تعمیم SSK امکان پذیر است:

با ژاکوبین
... این سیستم توابع بیضی ترجمه می کند

به "موازی"

مثال 2 میانگین فاصله نقاط یک توپ شعاع را پیدا کنید از مرکز آن

تصمیم گیری به یاد بیاورید که مقدار متوسط \u200b\u200bتابع
در محدوده ی
آیا انتگرال سه گانه عملکرد بیش از مساحت بر حجم منطقه تقسیم می شود. در مورد ما

بنابراین ما داریم

دگرگونی دوتایی مختصات مستطیل ، به مختصات قطبی
مربوط به مختصات مستطیل توسط نسبت ها
,
، طبق فرمول انجام می شود

اگر منطقه ادغام باشد
محدود شده توسط دو تیر
,
(
) ، در حال ظهور از قطب ، و دو منحنی
و
، سپس انتگرال دو برابر با فرمول محاسبه می شود

.

مثال 1.3.مساحت شکل محدود شده توسط این خطوط را محاسبه کنید:
,
,
,
.

تصمیم گیریبرای محاسبه مساحت یک منطقه
بیایید از فرمول استفاده کنیم:
.

بیایید منطقه را ترسیم کنیم (شکل 1.5) برای انجام این کار ، منحنی ها را تغییر دهید: , , , . بیایید به مختصات قطبی برویم: , . . در سیستم مختصات قطبی ، منطقه معادلات توصیف شده:

.

1.2 انتگرال های سه گانه

خصوصیات اساسی انتگرال های سه گانه مشابه انتگرال های دوتایی است.

در مختصات دکارتی ، انتگرال سه گانه معمولاً به صورت زیر نوشته می شود:

.

اگر
، سپس انتگرال سه گانه در منطقه از نظر عددی برابر با حجم بدن است :

.

محاسبه انتگرال سه گانه

اجازه دهید دامنه ادغام شود محدود و زیر ، به ترتیب ، توسط سطوح پیوسته تک ارزش
,
، و پیش بینی منطقه در صفحه مختصات
یک منطقه مسطح وجود دارد
(شکل 1.6)

سپس ، برای مقادیر ثابت برنامه های منطبق منطقه امتیاز در داخل متفاوت است. سپس ما دریافت می کنیم: . اگر ، علاوه بر این ، پیش بینی با نابرابری تعریف می شود , , جایی که توابع مداوم با یک ارزش هستند سپس

.

مثال 1.4.محاسبه
جایی که - بدن محدود شده توسط هواپیما:

	, , , ( , , ). تصمیم گیری منطقه ادغام هرم است (شکل 1.7). فرافکنی منطقه یک مثلث وجود دارد با خطوط مستقیم محدود می شود , , (شکل 1.8) چه زمانی اپلیکاتورهای نقطه ای برآورده ساختن نابرابری ، بنابراین .
	با قرار دادن حدود یکپارچه سازی برای مثلث ، ما گرفتیم

انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای

هنگام رفتن از مختصات دکارتی
به مختصات استوانه ای
(شکل 1.9) مرتبط با
نسبت ها
,
,
، و

	, ,, انتگرال سه گانه تبدیل می شود: مثال 1.5.حجم بدن محدود شده توسط سطوح را محاسبه کنید: , , . تصمیم گیریحجم بدن دلخواه برابر است .
	منطقه ادغام بخشی از استوانه است که از پایین به صفحه محدود می شود ، و از بالا با هواپیما (شکل 1.10). فرافکنی منطقه یک دایره وجود دارد در شعاع مبدا و واحد متمرکز است. بیایید به مختصات استوانه ای برویم. , , ... چه زمانی اپلیکاتورهای نقطه ای ، نابرابری را برآورده کنید یا در مختصات استوانه ای:

منطقه
منحنی محدود شده است
، شکل می گیرد ، یا
، در حالی که زاویه قطبی است
... در نتیجه ، ما داریم

.

2. عناصر نظریه میدان

اجازه دهید ابتدا روش های محاسبه انتگرال های منحنی و سطحی را بیاد آوریم.

محاسبه انتگرال منحنی خطی روی مختصات توابع تعریف شده روی منحنی ، به محاسبه انتگرال مشخص فرم تقلیل می یابد

اگر منحنی باشد به صورت پارامتری داده شده است
مربوط به نقطه شروع منحنی است ، و
- نقطه پایان آن

محاسبه انتگرال سطح یک تابع
در یک سطح دو طرفه تعریف شده است ، به محاسبه یک انتگرال دو برابر می شود ، به عنوان مثال ، از فرم

,

اگر سطح معادله داده شده است
، به طور منحصر به فرد بر روی هواپیما پیش بینی شده است
به منطقه
... اینجا - زاویه بین بردار طبیعی واحد به سطح و محور
:

.

طرف سطح مورد نیاز شرایط مشکل است با انتخاب علامت مربوطه در فرمول (2.3) تعیین می شود.

تعریف 2.1. فیلد برداری
تابع بردار نقطه است
همراه با دامنه آن:

فیلد برداری
با یک اسکالر مشخص می شود - واگرایی:

تعریف 2.2. پخش جریانی زمینه برداری
در سراسر سطح انتگرال سطح نامیده می شود:

,

جایی که - واحد طبیعی بردار را در سمت انتخاب شده سطح قرار دهید ، و
- محصول نقطه ای از بردارها و .

تعریف 2.3. توسط گردش خون زمینه برداری

توسط منحنی بسته انتگرال منحنی خطی نامیده می شود

,

جایی که
.

فرمول استروگرادسکی-گاوس پیوندی بین جریان یک قسمت برداری ایجاد می کند از طریق یک سطح بسته و واگرایی میدانی:

جایی که - سطح محدود شده توسط یک کانتور بسته ، و واحد بردار عادی این سطح است. جهت نرمال باید با جهت عبور از کانتور سازگار باشد .

مثال 2.1انتگرال سطح را محاسبه کنید

,

جایی که - قسمت بیرونی مخروط
(
) ، قطع شده توسط هواپیما
(شکل 2.1).

تصمیم گیریسطح به طور منحصر به فرد به منطقه پیش بینی شده است
سطح
، و انتگرال با فرمول (2.2) محاسبه می شود.

واحد بردار عادی سطح ما با فرمول (2.3) پیدا می کنیم: . در اینجا ، در عبارت برای عادی ، علامت بعلاوه از زاویه انتخاب می شود بین محور و عادی - احمقانه و بنابراین باید منفی باشد با توجه به اینکه ، روی یک سطح ما گرفتیم

منطقه
یک دایره وجود دارد
... بنابراین ، در آخرین انتگرال ، به مختصات قطبی می رسیم ، در حالی که
,
:

مثال 2.2.واگرایی و روتور یک میدان برداری را پیدا کنید
.

تصمیم گیریبا فرمول (2.4) ، ما بدست می آوریم

روتور این قسمت برداری با فرمول (2.5) پیدا می شود

مثال 2.3. جریان یک میدان برداری را پیدا کنید
از طریق بخشی از هواپیما :
واقع در اوکتانت اول (حالت عادی با محور یک زاویه حاد تشکیل می دهد
).

	تصمیم گیریطبق فرمول (2.6) . بخشی از هواپیما را بکشید : واقع در هشتم اول. معادله این صفحه در قطعات دارای فرم است (شکل 2.3) بردار عادی هواپیما مختصات دارد: ، بردار نرمال واحد
	. . , از جایی که ، در نتیجه،

جایی که
- طرح ریزی هواپیما بر
(شکل 2.4).

مثال 2.4.جریان یک میدان برداری را از طریق یک سطح بسته محاسبه کنید توسط هواپیما تشکیل شده است
و بخشی از مخروط
(
) (شکل 2.2)

تصمیم گیریما از فرمول Ostrogradskii-Gauss استفاده می کنیم (2.8)

.

واگرایی قسمت برداری را پیدا کنید با فرمول (2.4):

جایی که
حجم مخروطی است که روی آن ادغام انجام می شود. ما از فرمول معروف برای محاسبه حجم مخروط استفاده می کنیم
(- شعاع پایه مخروط ، - اوج او) در مورد ما ، ما دریافت می کنیم
... سرانجام ما دریافت می کنیم

.

مثال 2.5.گردش یک میدان برداری را محاسبه کنید
در امتداد کانتور از تقاطع سطوح تشکیل شده است
و
(
) نتیجه را با استفاده از فرمول استوکس بررسی کنید.

تصمیم گیریتقاطع این سطوح به صورت دایره است
,
(شکل 2.1) جهت پیاده روی معمولاً به گونه ای انتخاب می شود که ناحیه محدود شده به آن در سمت چپ باقی بماند. بگذارید معادلات پارامتری کانتور را بنویسیم :

از جایی که

پارامتر متفاوت است از قبل از
... با فرمول (2.7) ، با در نظر گرفتن (2.1) و (2.10) ، ما بدست می آوریم

.

اکنون فرمول استوکس (2.9) را اعمال می کنیم. به عنوان یک سطح کشیده شده بر روی کانتور ، می توانید بخشی از هواپیما را سوار شوید
... جهت عادی
به این سطح با جهت عبور از کانتور سازگار است ... روتور این قسمت برداری در مثال 2.2 محاسبه شده است:
... بنابراین ، تیراژ مورد نظر

جایی که
- منطقه منطقه
.
- شعاع دایره
از جایی که

بارگیری از Depositfiles

انتگرال سه گانه.

سوالات کنترلی

انتگرال سه گانه ، ویژگی های آن.

تغییر متغیرها در یک انتگرال سه گانه. محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای.

محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات کروی.

اجازه دهید تابع تو= f(x ، y,z) در یک منطقه بسته محدود تعریف شده است V فضا R 3 بیایید منطقه را بشکنیم Vخودسرانه در n مناطق بسته ابتدایی V 1 , … , V n با حجم V 1 , …,  V n به ترتیب. ما نشان می دهیم د- بزرگترین قطر مناطق V 1 , … , V n ... در هر منطقه ای V ک یک نقطه دلخواه را انتخاب کنید پ ک (ایکس ک ، ک , z ک) و آهنگسازی جمع انتگرال تابع f(ایکس, y, z)

S =

تعریف.انتگرال سه گانه از عملکرد f(ایکس, y, z) بر اساس منطقه Vحد مجموع انتگرال نامیده می شود
اگر وجود داشته باشد

به این ترتیب

(1)

اظهار نظر. جمع انتگرال S بستگی به نحوه تقسیم منطقه دارد V و انتخاب نقطه پ ک (ک=1, …, n ) اما اگر محدودیتی وجود داشته باشد ، به روش تقسیم منطقه بستگی ندارد Vو انتخاب نقطه پ ک ... اگر تعاریف انتگرال های دو و سه گانه را مقایسه کنیم ، به راحتی می توان یک تشابه کامل را در آنها مشاهده کرد.

شرط کافی برای وجود یک انتگرال سه گانه.انتگرال سه گانه (13) در صورت وجود تابع وجود دارد f(ایکس, y, z) محدود به Vو مداوم در V، به استثنای تعداد محدودی از سطوح صاف قطعه قطعه ای واقع در V.

برخی از خصوصیات انتگرال سه گانه.

1) اگر از جانب یک ثابت عددی است ، پس

3) افزودنی بر اساس منطقه. اگر منطقه باشد V به مناطق تقسیم شده V 1 و V 2 ، پس

4) حجم بدن V برابر است

(2 )

محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات دکارتی.

بگذار د فرافکنی بدن Vدر هواپیما xOy، سطوح z=φ 1 (ایکس, y), z=φ 2 (ایکس, y) بدن را محدود کنید Vبه ترتیب پایین و بالا. معنیش اینه که

V = {(ایکس, y, z): (ایکس, y)د , φ 1 (ایکس, y) ≤ z ≤ φ 2 (ایکس, y)}.

ما چنین جسمی را صدا خواهیم کرد z-استوانه ای. انتگرال سه گانه (1) بیش از z- بدنه استوانه ای Vبا عبور به انتگرال تکراری متشکل از انتگرال های دو و مشخص محاسبه می شود:

(3 )

این انتگرال تکراری ابتدا انتگرال مشخص داخلی را بر روی متغیر محاسبه می کند z، که در آن ایکس, yدائمی در نظر گرفته می شوند. سپس انتگرال مضاعف تابع حاصل از منطقه محاسبه می شود د.

اگر V ایکس-استوانه ای یا y-بدنه استوانه ای ، سپس فرمول ها

در فرمول اول د  فرافکنی بدن Vدر صفحه مختصات yOz ، و در مرحله دوم ، بر روی هواپیما xOz

مثال ها.1) حجم بدن را محاسبه کنید Vمحدود شده توسط سطوح z = 0, ایکس 2 + y 2 = 4, z = ایکس 2 + y 2 .

تصمیم گیری ما حجم را با استفاده از انتگرال سه گانه با فرمول محاسبه می کنیم (2)

بگذارید طبق فرمول (3) به انتگرال تکراری برویم.

بگذار د  دایره ایکس 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (ایکس , y ) = 0, φ 2 (ایکس , y )= ایکس 2 + y 2 سپس ، با فرمول (3) ، به دست می آوریم

برای محاسبه این انتگرال ، به مختصات قطبی می پردازیم. دایره د به یک مجموعه تبدیل می شود

د ر = { (ر , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ ر ≤ 2} .

2) بدن V محدود به سطوح z \u003d y , z \u003d –y , x \u003d 0 , x \u003d 2, y \u003d 1. محاسبه کنید

هواپیماها z \u003d y , z \u003d –y بدنه را به ترتیب از سطح پایین و بالا محدود کنید x \u003d 0 , x \u003d 2 بدن را به ترتیب ، در پشت و جلو و هواپیما محدود کنید y \u003d 1 محدوده به راست. V -z- بدنه استوانه ای ، فرافکنی آن د در هواپیما خوشحالمستطیل است OABS... ما گذاشتیم φ 1 (ایکس , y ) = –Y