محاسبه ضرایب چند جمله ای. ضرایب چند جمله ای

اگر این عبارت با توجه به برخی متغیرهای x چند جمله ای باشد ، نه به شکل معمول 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... ، بلکه به عنوان محصولی از چند جمله های ساده تر ، ضرایب a 0 + a 1 + a 2 آسان است توسط پردازنده نمادین Mathcad تعریف شده اند. ضرایب خود می توانند توابع (بعضی اوقات کاملاً پیچیده) از متغیرهای دیگر باشند.

شکل: 5.10 محاسبه ضرایب چند جمله ای

برای محاسبه ضرایب چند جمله ای در عبارت با استفاده از منو (شکل 5-10):

یک عبارت وارد کنید.
نام یا عبارتی را که می خواهید ضرایب چند جمله ای را برای آن محاسبه کنید برجسته کنید (در مثال شکل 5.10 ، این متغیر z است).
دستور Symbolic / Polynomial Coefficients را اجرا کنید.

در نتیجه ، بردار متشکل از ضرایب چند جمله ای در زیر عبارت ظاهر می شود. اولین عنصر بردار عبارت آزاد a 0 ، دومی 1 و غیره است.

یک مشکل خاص که به محاسبه ضرایب چند جمله ای احتیاج دارد ، در بخشی اختصاص داده شده به تفکیک عددی ریشه های چند جمله ای (به بخش "ریشه های چند جمله ای" مراجعه کنید ، فصل 8).

برای محاسبه ضرایب چند جمله ای با استفاده از عملگر خروجی نمادین:

یک عبارت وارد کنید.
روی دکمه Coeffs در نوار ابزار Symbolic کلیک کنید.
بعد از ضریب کلمات کلیدی درج شده ، استدلال چند جمله ای را در محل نگهدارنده وارد کنید.
عملگر خروجی کاراکتر را وارد کنید -\u003e
کلید را فشار دهید .

نمونه هایی از محاسبه ضرایب چند جمله ای در لیست های 5.7 و 5.8 نشان داده شده است. لیست 5.7 محاسبه ضرایب مختلف را نشان می دهد. آخرین لیست امکان تعیین ضرایب را نه تنها برای متغیرهای منفرد ، بلکه برای عبارات پیچیده تری که در فرمول در نظر گرفته شده به عنوان یک جز component نشان می دهد.

لیست 5.7. محاسبه ضرایب چند جمله ای

لیست 5.8. محاسبه ضرایب چند جمله ای برای یک متغیر ساده و عبارت

با استفاده از رگرسیون ، درون یابی و هموار سازی ، داده ها و منحنی ها را متناسب کنید

Curve Fitting Toolbox an یک برنامه و توابع را برای اتصال منحنی ها و سطوح به داده ها فراهم می کند. جعبه ابزار به شما امکان می دهد تجزیه و تحلیل داده های اکتشافی ، پیش پردازش و داده های پس از پردازش ، مقایسه مدل های کاندیدا و حذف پرتگاه ها را انجام دهید. می توانید تجزیه و تحلیل رگرسیون را با استفاده از کتابخانه مدل های خطی و غیرخطی ارائه شده انجام دهید یا معادلات خود را تعریف کنید. این کتابخانه پارامترهای حل بهینه شده و شرایط شروع را برای بهبود کیفیت متناسب شما فراهم می کند. جعبه ابزار همچنین از تکنیک های مدل سازی غیرپارامتری مانند splines ، درون یابی ، و aliasing ضد.

پس از ایجاد تناسب ، می توانید انواع تکنیک های پس از پردازش را برای طراحی ، درون یابی و برون یابی استفاده کنید. برآورد فاصله اطمینان ؛ و محاسبه انتگرال ها و مشتقات.

شروع کار

اصول جعبه ابزار نصب منحنی را بیاموزید

رگرسیون خطی و غیرخطی

منحنی ها یا سطوح متناسب با مدل های کتابخانه ای خطی و غیرخطی و مدل های سفارشی

درون یابی

نصب منحنی ها یا سطوح درون یابی ، مقادیر بین داده های شناخته شده را تخمین بزنید

صاف کردن

استفاده مناسب از اسلات های هموار کننده و رگرسیون موضعی ، داده های هموار با میانگین متحرک و فیلترهای دیگر

پس از پردازش مناسب

رسم نمودارها ، پرتگاه ها ، باقیمانده ها ، فاصله اطمینان ، داده های اعتبار سنجی ، انتگرال ها و مشتقات ، کد MATLABL را تولید می کند

اسپلینز

خطوط با یا بدون داده ایجاد کنید. صفحات صفحات نازک ppform ، B شکل ، محصول تانسور ، منطقی و شکل گرفته

کار آزمایشگاهی شماره 7

تداخل عملکرد توسط چندمجموعه ها

لاگرانژ

وظیفه با استفاده از چند جمله ای درون یابی لاگرانژ ، مقدار تقریبی تابع را برای یک مقدار مشخص از آرگومان x * محاسبه کنید. یک نمودار از چند جمله ای لاگرانژ که از شش نقطه داده شده عبور می کند ، ایجاد کنید.

شرح مختصر روش.

ما با در نظر گرفتن مسئله درون یابی در ساده ترین و کاملاً بررسی شده ترین مورد درون یابی توسط چند جمله ای های جبری شروع می کنیم. برای یک جدول داده داده شده)

چند جمله ای درون یابیاگر شرایط را تأمین کند

برابری (7.2) را می توان به عنوان یک سیستم معادلات نوشت

با توجه به ضرایب چند جمله ای و به ... این سیستم منحصراً قابل حل است ، زیرا سیستم توابع 1 ، x ، x 2 ،…x n در نقاط x 0 بصورت خطی مستقل است ، x و .x ص قابل حل بودن منحصر به فرد سیستم (7.3) از این واقعیت مشهور ناشی می شود که تعیین کننده این سیستم ( تعیین کننده Vandermonde)

اگر گره های درون یابی از نظر جفتی متفاوت باشند ، صفر است. بنابراین ، قضیه زیر درست است.

قضیه 7.1. یک چند جمله ای درون یابی منحصر به فرد از درجه n وجود دارد که شرایط را برآورده می کند(7.2).

اظهار نظر. در عمل ، هرگز از سیستم (7.3) برای محاسبه ضرایب چند جمله ای درون یابی استفاده نمی شود. نکته این است که غالباً شرطی نیست. علاوه بر این ، اشکال صریح و متنوعی مختلف برای چند جمله ای درون یابی وجود دارد که در درون یابی استفاده می شود. سرانجام ، در بیشتر کاربردهای چند جمله ای درون یابی ، محاسبه صریح ضرایب و به لازم نیست.

مشکل درون یابی شامل ساخت یک تابع (x) است که شرایط را تأمین می کند. به عبارت دیگر ، مسئله ایجاد تابعی است که نمودار آن از نقاط داده شده عبور می کند (x i ، y i) از آنجا که تابع (x) از تمام نقاط داده شده عبور می کند ، این روش نامیده می شود درون یابی جهانی ساده ترین و کاملترین مورد بررسی شده ، درون یابی توسط چند جمله ای های جبری است. یکی از اشکال علامت گذاری برای چند جمله ای درون یابی چند جمله ای لاگرانژ:

به راحتی می توان فهمید که یک چند جمله ای است که شرایط را برآورده می کند

بنابراین ، چند جمله ای لاگرانژ در واقع درون یابی است.

در عمل مهندسی ، از الحاق چند جمله ای درجه اول ، دوم و سوم اغلب استفاده می شود. ما فرمول های مربوطه را برای نوشتن چند جمله ای های لاگرانژ درجه یک و درجه دوم ارائه می دهیم:

مثال 7.1 اجازه دهید یک جدول از مقادیر تابع داده شود در\u003d ln x:

ایکس	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
دارند	0,000000	0,095310	0,182322	0,262364	0,336472

برای محاسبه تقریبی مقدار ln (1.23) ، از درونیابی خطی و درجه دوم استفاده می کنیم.

x 0 \u003d 1.2 و x 1 \u003d 1.3 را در نظر بگیرید. محاسبه با فرمول (7.4) مقدار 1n (1.23) 0.206335 را می دهد.

برای اعمال درون یابی درجه دوم ، x 0 \u003d 1.1 ، x 1 \u003d 1.2 ، x 2 \u003d 1.3 را بگیرید - سه نزدیک به نقطه x \u003d 1.23

گره با محاسبه فرمول (7.5) ، ما 1n (1.23) 0.207066 داریم.

ما بدون اثبات مشهورترین قضیه را درباره خطای درون یابی ارائه می دهیم.

قضیه 7.1.اجازه دهید تابع f (x) قابل تمایز n + 1

بار در هر بخش [a، b]، شامل گره های درون یابی سپس برای خطای درون یابی در نقطه برابری عادلانه

که در آن

- برخی از نقاط مربوط به فاصله است (الف ، ب)

عیب اصلی در استفاده از این قضیه ناشناخته بودن نکته است. بنابراین ، غالباً از خود قضیه استفاده نمی شود ، بلکه نتیجه آن است.

نتیجه. برآورد خطای درونی در نقطه معتبر است ، داشتن فرم

و همچنین برآورد حداکثر مدول خطای درون یابی بر روی یک بخش دارای فرم

مثال 7.2. اجازه دهید خطای تقریب ها را به

ln (1.23) با استفاده از درون یابی توسط چند جمله ای های درجه اول و دوم در مثال 7.1 بدست آمده است. در این موارد ، نابرابری (7.7) شکل می گیرد

توجه داشته باشید که برای ما و. بنابراین در اینجا

سپس ، به موجب نابرابری ها (7.9) و (7.10) ، تخمین خطای زیر را بدست می آوریم:

اگر روی بخش باشد , مشتق کمی تغییر می کند ، سپس مقدار خطای مطلق تقریباً به طور کامل توسط مقدار تابع تعیین می شود. ایده ای از رفتار معمول این عملکرد را می توان از شکل به دست آورد. 1. بیایید به این واقعیت توجه کنیم که وقتی آرگومان x از فاصله مشاهده فراتر رود ، مقدار به سرعت بسیار بزرگ می شود. این امر عدم اطمینان برون یابی عملکرد را برای مقادیر آرگومان که از بخش مشاهده دور هستند توضیح می دهد.

حالا بگذار و بگذار منمرحله سوم جدول ، یک برآورد کمی درشت (7.8) ، ما می توانیم نابرابری زیر را بدست آوریم

این به ما اجازه می دهد تا ادعا کنیم که برای یک عملکرد کاملاً صاف در یک درجه ثابت از چند جمله ای درون یابی ، خطای درون یابی در فاصله [х 0 ، х n] در هنگام تمایل به صفر کمتر از مقداری متناسب است. این واقعیت معمولاً به صورت زیر فرموله می شود: درون یابی با چند جمله ای درجه پ با توجه به h حداکثر دارای مرتبه دقت (n + 1) است. به طور خاص ، درون یابی خطی و درجه دوم به ترتیب مرتبه دوم و سوم دقیق است.

گزینه ها	ایکس *	x من	تو من	گزینه ها	ایکس *	x من	تو من
	0,702	0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75	1,63597 1,73234 1,87686 2,03345 2,22846 2,35973		0,152	0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30	1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
	0,512		0,174
	0,645		0,185
	0,736		0,203
	0,526	0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64	2,73951 2,30080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310		0,616	0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72	2,57418 2,32513 2,09336 1,?6203 1,74260 1,62098
	0,453		0,478
. 15	0,482		0,665
	0,552		0,537
	0,896	0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99	0.80866 0,89492 1,02964 1,20966 1,34087 1,52368		0,314	0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0.40	9,05421 6,61659 4,69170 3,35106 2,73951 2,36522
	0,812		0,235
	0,774		0,332
	0,915		0,275

الگوریتم برنامه

از ماژول ها استفاده کنید crtو نمودار

تعریف متغیرها؛

ابتدای قسمت اجرایی برنامه

تنظیم مقادیر عناصر آرایه x [i] و y [i] ؛ تنظیم مقدار آرگومان xz ؛ yz \u003d 0؛ در یک حلقه من 0 تا 5 اجرا کنید

| در یک حلقه توسط] از 0 تا 5 اگر * / سپس | xx \u003d xx اجرا کنید (xz - x [j] / (x [i] - x [j]) ؛

| y z \u003d y z + y [i] x x

پایان چرخه توسط من;

نمایش مقادیر xz و شما

منتظر فشردن کلید Enter ؛

انتقال به حالت گرافیکی ؛

تصویر نقاط داده شده (x i ، y i) ؛

تصویر نمودار چند جمله ای لاگرانژ ؛

منتظر فشار دادن هر انتهای کلیدی برنامه هستید.

نشانگر اگر در حالت گرافیکی کار می کنید ، از برنامه های آزمایشگاه های قبلی استفاده کنید.

سوالات کنترلی

1. وظیفه درون یابی چیست؟

2. به چند جمله ای چند جمله ای درون یابی گفته می شود؟

3- تفاوت بین درونیابی جهانی و محلی چیست؟

4- درجه چند جمله ای درون یابی لاگرانژ چگونه به تعداد گره ها بستگی دارد؟

5- چند جمله ای وجود دارد که شرایط درون یابی را برآورده می کند؟

6. معایب چند جمله ای درون یابی لاگرانژ چیست؟

7. خطای درون یابی چگونه ارزیابی می شود؟

8- بسته به فاصله از بخش مشاهده ، دقت درون یابی چگونه تغییر می کند و چرا؟

این گزارش باید حاوی داده های اولیه ، بیان مسئله ، اطلاعات مربوط به روش حل ، متن برنامه ، نتایج بدست آمده و نمودار باشد.

روش اول با استفاده از نمودار ؛
راه 2 با عملکرد اکسل \u003d LINEST ();

در مورد چند جمله ای و نحوه محاسبه آن در Excel بعداً در مقاله ما بیشتر بخوانید.

روند چند جمله ای برای توصیف مقادیر سری زمانی ، به طور متناوب افزایش و کاهش استفاده می شود. چند جمله ای برای تجزیه و تحلیل مجموعه داده بزرگی از مقدار ناپایدار (به عنوان مثال ، فروش اقلام فصلی) عالی است.

چند جمله ای چیست؟ چند جمله ای یک تابع توان y \u003d ax 2 + bx + c (چند جمله ای درجه دوم) و y \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d (چند جمله ای درجه سوم) و غیره درجه چند جمله ای تعداد موارد اضافی (قله ها) را تعیین می کند ، به عنوان مثال مقادیر حداکثر و حداقل برای فاصله زمانی تجزیه و تحلیل شده.

دارند چند جمله ای درجه دو y \u003d ax 2 + bx + c (در نمودار زیر 1 حداکثر).

دارند چند جمله ای درجه سه y \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d می تواند باشد یک یا دو مورد اضافی.

یک افراطی

دو افراط

دارند چند جمله ای درجه چهارم بیشتر نه سه مورد اضافی و غیره.

چگونه می توان مقادیر چند جمله ای را در اکسل محاسبه کرد؟

3 روش برای محاسبه مقادیر چند جمله ای در اکسل وجود دارد:

روش اول با استفاده از نمودار ؛
روش دوم با استفاده از تابع Excel \u003d LINEST.
روش سوم با Forecast4AC PRO ؛

روش اول برای محاسبه چند جمله ای - استفاده از نمودار

یک سری با مقادیر انتخاب کنید و یک نمودار سری زمانی بسازید.

چند جمله ای درجه 6 به نمودار اضافه کنید.

سپس ، در قالب خط روند ، علامت "نشان دادن معادله روی نمودار" قرار دهید

پس از آن ، معادله روی نمودار y \u003d 3.7066x 6 - 234.94x 5 + 4973.6x 4 - 35930x 3 - 7576.8x 2 + 645515x + 5E + 06 رسم می شود. به منظور خواندن آخرین ضریب ، دکمه سمت چپ ماوس را نگه داشته و معادله چند جمله ای را انتخاب می کنیم

کلیک راست کرده و انتخاب کنید "قالب زیرنویس trendline"

یک شماره را در تنظیمات امضای خط روند انتخاب کنید و "عددی" را در قالب های عددی انتخاب کنید.

ما معادله چند جمله ای را در قالب قابل خواندن دریافت می کنیم:

y \u003d 3.71x 6 - 234.94x 5 + 4 973.59x 4 - 35 929.91x 3 - 7 576.79x 2 + 645 514.77x + 4 693 169.35

از این معادله ضرایب را می گیریم a ، b ، c ، d ، g ، m ، v ، و وارد کنید به سلولهای مناسب در Excel

ما در سری زمانی به هر دوره یک شماره سریال اختصاص می دهیم که آن را به جای X در معادله جایگزین خواهیم کرد.

بیایید مقادیر چند جمله ای را برای هر دوره محاسبه کنیم. برای این کار فرم چند جمله ای y \u003d 3.71x 6 - 234.94x 5 + 4 973.59x 4 - 35 929.91x 3 - 7 576.79x 2 + 645 514.77x + 4 693 169.35 را وارد سلول اول کرده و رفع کنید پیوندها به ضرایب روند (نگاه کنید به)

R2C8 * RC [-3] ^ 6 + R3C8 * RC [-3] ^ 5 + R4C8 * RC [-3] ^ 4 + R5C8 * RC [-3] ^ 3 + R6C8 * RC [-3] ^ 2 + R7C8 * RC [-3] + R8C8

روش دوم برای محاسبه چند جمله ای در اکسل - تابع LINEST ()

بیایید ضرایب روند خطی را با استفاده از استاندارد محاسبه کنیم توابع اکسل \u003d بهترین()

برای محاسبه ضرایب در فرمول \u003d بهترین(مقادیر شناخته شده y ، مقادیر x شناخته شده ، ثابت ، آمار) وارد می کنیم:

"مقادیر شناخته شده y" (حجم فروش برای دوره ها) ،
"مقادیر x شناخته شده" (شماره توالی سری زمانی) ،
"1" را در ثابت قرار دهید ،
به آمار "0"

فرمول زیر را دریافت می کنیم:

LINEST (R [-4] C: R [-4] C؛ R [-5] C: R [-5] C؛ 1؛ 0) ،

اکنون فرمول Linear () ضرایب چند جمله ای را محاسبه کرد، باید درجه چند جمله ای را به آن اضافه کنیم ، ضرایبی که می خواهیم محاسبه کنیم.

برای انجام این کار ، در بخشی از فرمول با "مقادیر x شناخته شده" وارد می کنیم درجه چند جمله ای:

^ (1: 2: 3: 4: 5: 6) - برای محاسبه ضرایب چند جمله ای درجه 6
^ (1: 2: 3: 4: 5) - برای محاسبه ضرایب چند جمله ای درجه 5
^ (1: 2) - برای محاسبه ضرایب چند جمله ای درجه 2

فرمول زیر را دریافت می کنیم:

LINEST (R [-4] C: R [-4] C؛ R [-5] C: R [-5] C ^ (1: 2: 3: 4: 5: 6) ؛ 1؛ 0)

فرمول را در سلول وارد کنید ، 3.71 بدست می آید - مقدار (a) برای چند جمله ای درجه 6 y \u003d ax ^ 6 + bx ^ 5 + cx ^ 4 + dx ^ 3 + gx ^ 2 + mx + v

برای اینکه اکسل هر 7 ضریب چند جمله ای را محاسبه کند درجه 6 y \u003d ax ^ 6 + bx ^ 5 + cx ^ 4 + dx ^ 3 + gx ^ 2 + mx + v ، لازم است:

1. مکان نما را در یک سلول با فرمول قرار دهید و 7 سلول مجاور را در سمت راست مانند تصویر انتخاب کنید:

2. کلید F2 را فشار دهید

7 ضریب روند چند جمله ای درجه 6 بدست می آوریم.

با استفاده از ضرایب بدست آمده مقادیر روند چند جمله ای را محاسبه می کنیم. y \u003d 3.7 * x ^ 6 -234.9 * x ^ 5 + 4973.5 * x ^ 4 -35929.9 * x ^ 3 -7576.7 * x ^ 2 + 645514.7 * x را در معادله جایگزین کنید +4693169.3+ دوره دوره X که می خواهیم مقادیر چند جمله ای را برای آنها محاسبه کنیم.

به هر دوره از سری های زمانی یک شماره سریال اختصاص داده می شود که ما آن را به جای X در معادله چند جمله ای جایگزین خواهیم کرد.

بیایید مقادیر روند چند جمله ای را برای هر دوره محاسبه کنیم. برای انجام این کار ، فرم چند جمله ای را در سلول اول وارد کرده و پیوندها را به ضرایب روند اصلاح کنید (نگاه کنید به)

فرمول زیر را دریافت می کنیم:

R2C8 * RC [-3] ^ 6 + R3C8 * RC [-3] ^ 5 + R4C8 * RC [-3] ^ 4 + R5C8 * RC [-3] ^ 3 + R6C8 * RC [-3] ^ 2 + R7C8 * RC [-3] + R8C8

که در آن ضرایب روند ثابت هستند و ما به جای "x" پیوندی را به تعداد سری های زمانی فعلی جایگزین می کنیم (برای مقدار اول 1 ، برای 2 دوم و غیره)

ما همچنین "X" را به توان مناسب می رسانیم (نماد موجود در اکسل "^" به معنای نمایش است)

R2C8 * RC [-3] ^ 6 + R3C8 * RC [-3] ^ 5 + R4C8 * RC [-3] ^ 4 + R5C8 * RC [-3] ^ 3 + R6C8 * RC [-3] ^ 2 + R7C8 * RC [-3] + R8C8

اکنون فرمول را تا انتهای سری های زمانی کشیده و مقادیر محاسبه شده برای روند چند جمله ای را برای هر دوره دریافت می کنیم.

روش دوم دقیق تر از روش اول است ، زیرا ضرایب روند را بدون گرد کردن بدست می آوریم و این محاسبه نیز سریعتر است.

روش سوم برای محاسبه مقادیر چند جمله ای - Forecast4AC PRO

مکان نما را در ابتدای سری زمانی قرار دهید

به تنظیمات Forecast4AC PRO بروید ، "پیش بینی با رشد و فصلی" ، "چند جمله ای درجه 6" را انتخاب کنید ، دکمه "محاسبه" را فشار دهید.

ما با محاسبه گام به گام "ForPol6" به صفحه می رویم ، خط "روند فعلی" را پیدا می کنیم:

مقادیر را در برگه خود کپی می کنیم.

مقادیر چند جمله ای درجه 6 را بدست می آوریم که با استفاده از 3 روش محاسبه شده است:

ضرایب روند چند جمله ای نمایش داده شده در نمودار ؛
ضرایب چند جمله ای با استفاده از تابع اکسل \u003d LINEST محاسبه می شود
و با یک فشار کلید Forecast4AC PRO ، آسان و سریع.

به ما بپیوند!

برنامه های رایگان پیش بینی و تجزیه و تحلیل کسب و کار را بارگیری کنید:

Novo Forecast Lite - اتوماتیک محاسبه پیش بینی در برتری داشتن.
4analytics - تحلیل ABC-XYZ و تجزیه و تحلیل انتشارات در برتری داشتن.
Qlik Sense دسکتاپ و QlikViewنسخه شخصی - سیستم های BI برای تجزیه و تحلیل و تجسم داده ها.

قابلیت های راه حل های پرداخت شده را آزمایش کنید:

Novo Forecast PRO - پیش بینی در اکسل برای مجموعه داده های بزرگ.

در این مورد ذکر شده است که در موردی که مشخصه یک عنصر غیر خطی با عبارتی که بیش از سه نقطه دارد تقریب می یابد ، توصیه می شود مقدار تابع را در مقادیر مساوی استدلال انتخاب کنید. بعلاوه ، اگر تعداد نقاط مشخص از تعداد ضرایب تقریب تعیین شده بیشتر باشد ، توصیه می شود از "روش حداقل مربعات" استفاده کنید ، که در آن میانگین خطای مربع حداقل است ، یعنی با استفاده از این روش ، مجموع مربعات انحراف چند جمله ای یک درجه داده شده از منحنی کوچکترین است.

مطابق با این ، با وجود برنامه های رایانه ای موجود ، توصیه می شود یک دستور مختصر برای استفاده از این روش ارائه دهید ، که به دانش آموز امکان می دهد ماهیت ریاضی روش را درک کند و با استفاده از میکرو محاسبات ساده ، هر تقریب را در مدت زمان کوتاه بهینه انجام دهد.

در آن ذکر شده است که محاسبه ضرایب چند جمله ای با استفاده از حداقل مربعات با استفاده از معیارهای معرفی شده توسط Yu.B منطقی ترین است. Kobzarev از چند جمله ای های متعامد برای یک عدد مشخص N - نقاط فاصله برابر.

ما با چند جمله ای درجه نشان می دهیم من. سپس سیستم چند جمله ای ها برای تعداد مشخصی از نقاط در صورت وجود متعامد خواهد بود
برابری برقرار است

. (16)

با استفاده از چند جمله ای شناخته شده متعامد چبیشف با استفاده از روش Yu.B. کوبزارف هر هفت جمله چند جمله ای را پیدا کرد که چنین سیستمی را در فاصله تشکیل می دهند
برای N \u003d 11 نقطه با فاصله مساوی ، یعنی در
؛ –0.8 ؛ ... 0 ... 0.8؛ 1.0 ما داریم:

(17)

سیستم (17) چند جمله ای های متعامد دارای ویژگی قابل توجهی است که گسترش هر تابع داده شده در آنها بهترین تقریب را به معنای حداقل مربعات می دهد. بنابراین ، به جای مثال ، بیان (18) ، ضریب انتقال بر اساس درجه ولتاژ
با ضرایب ناشناخته ، می توانیم آن را با نشان دادن آن به عنوان یک جمع (19) از چند جمله ای های فوق در نظر بگیریم:

(18)

. (19)

اینجا R - درجه چند جمله ای ؛ r - یک عدد صحیح برابر با تعداد اصطلاحات ؛ - ضریب با بعد
، که می توان آن را شیب دار بودن سفارش نامید r، یعنی شیب سفارش صفر وجود دارد ، - سفارش اول و غیره

مقدار وارد شده در اینجا ایکس متناسب با ولتاژ
از وسط قسمت تقریب اندازه گیری می شود
، یعنی وقتی تغییر می کند
در داخل
,ایکس از 1 تا 1 متغیر است ، بنابراین

. (20)

برای تعیین ضریب
در (19) ، هر دو طرف برابری را با چند جمله ای ضرب می کنیم
و خلاصه تمام نقاط ... سپس ، با استفاده از ویژگی orthogonality (16) ، پیدا می کنیم

. (21)

, (22)

جایی که
- چند جمله ای نرمال شده

. (23)

از آنجا که گره صفر مربوط به انتهای سمت چپ تقریب است ، یعنی
، سپس جمع (22) به راحتی به مبالغ تقسیم می شود ، در کجا ایکس<0 и ایکس\u003e 0 ، از آنجا که حتی چند جمله ای ها ( r\u003d 0 ، 2 ، 4 ، 6) در این بخشها به هیچ وجه متفاوت نیستند و عجیب ( r\u003d 1 ، 3 ، 5 ، 7) فقط در علائم متفاوت است. در این راستا توصیه می شود یک فرد معرفی کنید
و حتی
به دست آوردن ملفه ها به:

(24)

جایی که
- تغییر مرحله ایکس (در مورد ما ، برای ن=11
);

- مقدار سود در امتیاز
.

اکنون ، به جای جمع بیش از مقادیر مثبت و منفی با استفاده از م evenلفه های زوج و فرد سود می توان مبالغی را فقط برای موارد مثبت گرفت. سپس

(25)

جمع بندی در جدول. 1 مقدار ضرایب چند جمله ای نرمال شده
و با استفاده از آنها ، یافتن ضرایب آسان است
طبق فرمول (25) ، سپس در (19) اصطلاحات را در گروه گروه بندی کنید ایکس و به بازنمایی سود در قالب یک چند جمله ای در قدرت ها بروید
... ضرایب این چند جمله ای به معنای حداقل مربعات ، که در آن منحنی آزمایشی
عملاً با منحنی نظری ادغام می شود
.

محاسبه ضرایب چند جمله ای مورد استفاده در تجزیه و تحلیل هارمونیک برای تعیین ضرایب و پارامترهای غیرخطی بودن و در نهایت ، برای انتخاب حالت بهینه دستگاه تقویت کننده ، یک مثال خاص را در نظر بگیرید.

میز 1