تابع همبستگی متقابل. نمایش سیگنال با استفاده از توابع متعامد تابع همبستگی متقابل

ویژگی های توابع همبستگی خودکار

توابع همبستگی نقش مهمی در نمایش فرآیندهای تصادفی و در تجزیه و تحلیل سیستم های عامل با سیگنال های ورودی تصادفی دارد. بنابراین ، ما برخی از خصوصیات توابع همبستگی خودکار فرآیندهای ثابت را ارائه می دهیم.

1.R x (0) \u003d M (X 2 (t)) \u003d D x (t).

2.R x (t) \u003d R x (-t). تابع همبستگی خودکار یک تابع یکنواخت است. این ویژگی تقارن نمودار یک تابع هنگام محاسبه تابع همبستگی خود بسیار مفید است ، زیرا بدان معنی است که محاسبات را فقط برای t مثبت می توان انجام داد و برای t منفی می توان آنها را با استفاده از ویژگی تقارن تعیین کرد.

3.1R x (t) 1 £ R x (0). تابع همبستگی خودکار ، به عنوان یک قاعده ، بیشترین مقدار را با t \u003d 0 می گیرد.

مثال... در یک فرایند تصادفی X (t) \u003d A Coswt ، جایی که A یک متغیر تصادفی با مشخصات است: M (A) \u003d 0 ، D (A) \u003d s 2 ، M (X) ، D (X) و R x (t 1) را پیدا کنید ، t 2).

تصمیم گیری... بیایید انتظار و واریانس ریاضی یک فرآیند تصادفی را پیدا کنیم:

M (X) \u003d M (A Coswt) \u003d Coswt × M (A) \u003d 0 ،

D (X) \u003d M ((A Coswt-0) 2) \u003d M (A 2) Cos 2 wt \u003d s 2 Cos 2 wt.

حال بیایید تابع همبستگی خودکار را پیدا کنیم

R x (t 1 ، t 2) \u003d M (A Coswt 1 × A Coswt 2) \u003d

M (A 2) Coswt 1 × Coswt 2 \u003d s 2 Coswt 1 × Coswt 2.

سیگنالهای تصادفی ورودی X (t) و خروجی Y (t) سیستم را می توان به عنوان یک فرآیند تصادفی برداری دو بعدی در نظر گرفت. اجازه دهید مشخصات عددی این فرآیند را معرفی کنیم.

انتظار و واریانس ریاضی یک فرآیند تصادفی برداری به عنوان انتظار و واریانس ریاضی اجزای آن تعریف می شود:

ما تابع همبستگی فرآیند برداری را با استفاده از یک ماتریس مرتبه دوم معرفی می کنیم:

جایی که R xy (t 1 ، t 2) تابع همبستگی فرایندهای تصادفی X (t) و Y (t) است ، به شرح زیر تعریف شده است

از تعریف تابع همبستگی متقابل حاصل می شود که

R xy (t 1 ، t 2) \u003d R yx (t 2 ، t 1).

تابع همبستگی متقابل نرمال شده دو فرایند تصادفی X (t) ، Y (t) تابع است

تعریف. اگر تابع همبستگی فرآیندهای تصادفی X (t) و Y (t) صفر باشد:

سپس فرآیندهای تصادفی غیر همبسته نامیده می شوند.

برای مجموع فرایندهای تصادفی X (t) و Y (t) ، تابع همبستگی خودکار است

R x + y (t 1، t 2) \u003d R x (t 1، t 2) + R xy (t 1، t 2) + R yx (t 1، t 2) + R y (t 1، t 2) )

برای فرآیندهای تصادفی غیر همبسته X (t) و Y (t) ، تابع همبستگی خود جمع حاصل از فرآیندهای تصادفی برابر با مجموع توابع همبستگی است

R x + y (t 1، t 2) \u003d R x (t 1، t 2) + R y (t 1، t 2) ،

و از این رو واریانس مجموع فرآیندهای تصادفی برابر است با مجموع واریانس ها:

D x + y (t) \u003d D x (t) + D y (t).

اگر جایی که X 1 (t) ، ... ، X n (t) فرایندهای تصادفی غیر همبسته هستند ، پس

هنگام انجام تحولات مختلف با فرآیندهای تصادفی ، اغلب نوشتن آنها به صورت پیچیده راحت است.

یک فرایند تصادفی پیچیده یک فرایند تصادفی از فرم است

Z (t) \u003d X (t) + i Y (t) ،

که در آن X (t) ، Y (t) فرایندهای تصادفی واقعی هستند.

انتظار ریاضی ، تابع همبستگی و واریانس یک فرایند تصادفی پیچیده به شرح زیر تعیین می شود:

M (Z) \u003d M (X) + i M (Y) ،

که در آن علامت * نشانگر صرف پیچیده است.

مثال... اجازه دهید یک فرایند تصادفی ، جایی که w ثابت است ، در اینجا A و j متغیرهای تصادفی مستقل هستند ، و M (A) \u003d m A ، D (A) \u003d s 2 ، و j یک متغیر تصادفی توزیع شده بر روی بازه است. انتظار ریاضی ، تابع همبستگی و واریانس یک فرایند تصادفی پیچیده Z (t) را تعیین کنید.

تصمیم گیری... بیایید انتظار ریاضی را پیدا کنیم:

با استفاده از توزیع یکنواخت متغیر تصادفی j بر روی فاصله ، داریم

تابع همبستگی خودکار فرآیند تصادفی Z (t) است

از این رو ما داریم

D z (t 1) \u003d R z (t 1 ، t 1) \u003d s 2 + m A 2.

از نتایج به دست آمده نتیجه می گیرد که فرایند تصادفی Z (t) به معنای گسترده ثابت است.

تابع همبستگی متقابل یک روش استاندارد برای ارزیابی میزان همبستگی بین دو توالی است. این اغلب برای جستجوی دنباله طولانی از توالی کوتاه تر استفاده می شود. دو ردیف f و g را در نظر بگیرید. همبستگی متقابل با فرمول تعیین می شود:

$(f\; \backslash \backslash \; star\; g)\; \_i\; \backslash \backslash \; \backslash \backslash \; stackrel\; (\backslash \backslash \; mathrm\; (def))\; (\backslash u003d)\; \backslash \backslash \; \backslash \backslash \; sum\_j\; f\; ^\; *\; \_\; j\; \backslash \backslash ،\; g\_\; (i\; +\; j)$,

جایی که $من$ - جابجایی بین توالی ها نسبت به یکدیگر ، و نوشتار فوقانی به شکل ستاره به معنای صرف ترکیب پیچیده است. به طور کلی ، برای عملکردهای مداوم f (تی) و g (تی) همبستگی به صورت زیر تعریف شده است

$(f\; \backslash \backslash \; star\; g)\; (t)\; \backslash \backslash \; \backslash \backslash \; stackrel\; (\backslash \backslash \; mathrm\; (def))\; (\backslash u003d)\; \backslash \backslash \; int\; \_\; (-\; \backslash \backslash \; infty)\; ^\; (\backslash \backslash \; infty)\; f\; ^\; *\; (\backslash \backslash \; tau)\; \backslash \backslash \; g\; (t\; +\; \backslash \backslash \; tau)\; \backslash \backslash \; ،\; d\; \backslash \backslash \; tau\; ،$

اگر $ایکس$ و $بله$ - به ترتیب دو عدد تصادفی مستقل با توابع توزیع احتمال f و g، و سپس همبستگی f $\backslash \backslash \; ستاره$ g مربوط به توزیع احتمال عبارت است $-X\; +\; Y$... در مقابل ، تجمع f $*$ g مربوط به توزیع احتمال جمع است $X\; +\; Y$.

خواص

همبستگی متقابل و تجمیع با هم مرتبط هستند:

$f\; (t)\; \backslash \backslash \; ستاره\; g\; (t)\; \backslash u003d\; f\; ^\; *\; (-\; t)\; *\; g\; (t)$

بنابراین ، اگر توابع f و g بنابراین ، حتی هستند

$(f\; \backslash \backslash \; ستاره\; g)\; \backslash u003d\; f\; *\; g$

همچنین: $(f\; \backslash \backslash \; ستاره\; g)\; \backslash \backslash \; ستاره\; (f\; \backslash \backslash \; ستاره\; g)\; \backslash u003d\; (f\; \backslash \backslash \; ستاره\; f)\; \backslash \backslash \; ستاره\; (g\; \backslash \backslash \; ستاره\; g)$

همچنین ببینید.

درباره مقاله "تابع همبستگی متقابل" یک نظر بنویسید

پیوندها

• عملکرد در MATLAB

گزیده ای از عملکرد همبستگی متقابل

آناتول همیشه از موقعیت خود ، خودش و دیگران راضی بود. او به طور غریزی با تمام وجود متقاعد شده بود که نمی تواند متفاوت از روشی که زندگی می کند زندگی کند و هیچ وقت در زندگی اش کار اشتباهی نکرده است. او قادر به درنظر گرفتن چگونگی پاسخ دادن به اعمالش به دیگران و همچنین عواقب ناشی از چنین عملی نبود. او متقاعد شد که همانطور که یک اردک ایجاد شده است تا همیشه در آب زندگی کند ، بنابراین او توسط خدا ایجاد شده است تا او باید با درآمد سی هزار نفر زندگی کند و همیشه بالاترین مقام را در جامعه داشته باشد. او چنان قاطعانه به این اعتقاد داشت که با نگاه به او ، دیگران در این باره متقاعد شدند و نه بالاترین مقام در جهان و نه پولی را که بدیهی است بدون بازگشت ، از پیشخوان و متقابل قرض گرفت ، انکار نمی کنند.
او قمارباز نبود ، حداقل هرگز نمی خواست برنده شود. او مغرور نبود. او اهمیتی نمی داد که کسی درباره اش چه فکری می کند. هنوز هم کمتر می تواند مقصر جاه طلبی باشد. او چندین بار به پدرش طعنه زد ، زندگی حرفه ای اش را خراب کرد و از همه افتخارات خندید. او بخیل نبود و کسی را که از او سال می کرد رد نمی کرد. یک چیز که او دوست داشت سرگرم کننده و زنانه بود ، و از آنجا که ، طبق ایده های او ، هیچ چیز قابل ذکری در این سلیقه ها وجود ندارد ، و او نمی تواند به آنچه که برای دیگران برای جلب سلیقه او بیرون آمده فکر کند ، پس در روح خود فکر کرد خودش فردی بی عیب و نقص بود ، صادقانه از افراد ناپسند و بدجنس مطرود بود و با وجدان پاک سرش را بالا می برد.
عیاشی ها ، این مگدالن های مرد ، بر اساس همان امید به بخشش ، یک احساس مخفیانه از برائت دارند ، همان زنان مگدالن. "همه چیز به او بخشیده خواهد شد ، زیرا او بسیار دوست داشت و همه چیز به او بخشیده خواهد شد ، زیرا او بسیار سرگرم بود."
دولوخوف که امسال پس از تبعید و ماجراهای پارسی خود بار دیگر در مسكو ظاهر شد و زندگی قمار و سرگرمی مجللی را در پیش گرفت ، به رفیق قدیمی پترزبورگ كوراگین نزدیك شد و از او برای اهداف خود استفاده كرد.
آناتول صادقانه دولوخوف را به خاطر هوش و شهامت دوست داشت. دولوخوف که به نام ، اشراف و ارتباطات آناتول کوراگین احتیاج داشت تا جوانان ثروتمند را به جامعه قمار خود بکشاند و اجازه ندهد این احساس را کند ، از کوراگین استفاده کرد و سرگرم کرد. علاوه بر محاسبه ای که وی به آناتول نیاز داشت ، فرایند کنترل اراده شخص دیگری برای دولوخوف یک لذت ، یک عادت و یک نیاز بود.

توابع همبستگی سیگنالها

تابع همبستگی متقابل (CCF) از سیگنال های مختلف (تابع همبستگی ، CCF) هم میزان شباهت شکل دو سیگنال و هم موقعیت نسبی آنها نسبت به یکدیگر را در امتداد مختصات (متغیر مستقل) توصیف می کند. با تعمیم فرمول (6.1) از تابع همبستگی خودکار به دو سیگنال مختلف s (t) و u (t) ، ما محصول مقیاسی زیر سیگنال ها را بدست می آوریم:

B su (t) \u003d s (t) u (t + t) dt. (6.14)

همبستگی متقابل سیگنال ها مشخصه همبستگی مشخصی از پدیده ها و فرایندهای فیزیکی نمایش داده شده توسط این سیگنال ها است و می تواند به عنوان معیار "ثبات" این رابطه باشد ، هنگامی که سیگنال ها به طور جداگانه در دستگاه های مختلف پردازش شوند. برای سیگنال های محدود انرژی ، CCF نیز محدود است ، با:

| B su (t) | £ || s (t) || × || u (t) || ،

که از نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی و استقلال هنجارهای سیگنال از تغییر در مختصات ناشی می شود.

با تغییر متغیر t \u003d t-t در فرمول (6.2.1) ، بدست می آوریم:

B su (t) \u003d s (t-t) u (t) dt \u003d u (t) s (t-t) dt \u003d B us (-t).

از این رو نتیجه می شود که شرایط یکنواختی برای CCF ، B su (t) ¹ B su (-t) برآورده نمی شود و مقادیر CCF لازم نیست حداکثر در t \u003d 0 باشند.

این را می توان به وضوح در شکل مشاهده کرد. 6.6 ، جایی که دو سیگنال یکسان با مراکز در نقاط 0.5 و 1.5 داده می شود. محاسبه با فرمول (14/6) با افزایش تدریجی مقادیر t به معنای تغییر پی در پی سیگنال s2 (t) به سمت چپ در امتداد محور زمان است (برای هر مقدار s1 (t) ، مقادیر s2 (t + t) برای یکپارچه در نظر گرفته می شود). در t \u003d 0 ، سیگنال ها متعامد و مقدار B 12 (t) \u003d 0 هستند. حداکثر B 12 (t) هنگامی مشاهده می شود که سیگنال s2 (t) با t \u003d 1 به سمت چپ منتقل شود ، که در آن سیگنال های s1 (t) و s2 (t + t) کاملاً ترکیب شوند.

شکل: 6.6 سیگنالها و CCF

همان مقادیر CCF مطابق فرمولهای (14/6) و (14/6 ") در همان موقعیت متقابل سیگنالها مشاهده می شود: هنگامی که سیگنال u (t) با فاصله t نسبت به s (t) به سمت راست در امتداد محور مختصات و سیگنال s (t تغییر می کند) ) با توجه به سیگنال u (t) در سمت چپ ، به عنوان مثال ، B su (t) \u003d B us (-t).

در شکل 6.7 نمونه هایی از CCF را برای یک سیگنال مستطیلی s (t) و دو سیگنال مثلثی یکسان u (t) و v (t) نشان می دهد. تمام سیگنال ها دارای مدت T یکسان هستند ، با سیگنال v (t) با فاصله T / 2 به جلو منتقل می شود.

شکل: 6.7 توابع کوواریانس متقابل سیگنال ها

سیگنالهای s (t) و u (t) از نظر موقعیت مکانی یکسان هستند و منطقه "همپوشانی" سیگنالها حداکثر در t \u003d 0 است که توسط تابع B su ثابت می شود. در همان زمان ، عملکرد B su به شدت نامتقارن است ، زیرا با شکل موج نامتقارن u (t) برای شکل موج متقارن s (t) (نسبت به مرکز سیگنال ها) ، منطقه همپوشانی سیگنال ها بسته به جهت تغییر متفاوت تغییر می کند (علامت t با افزایش مقدار از صفر). هنگامی که موقعیت اولیه سیگنال u (t) در امتداد سمت چپ به سمت چپ منتقل می شود (جلوتر از سیگنال s (t) - سیگنال v (t)) ، شکل CCF بدون تغییر باقی می ماند و با همان مقدار مقدار تغییر به سمت راست تغییر می کند - عملکرد B sv در شکل. 6.7 اگر عبارات توابع را در (14/6) مبادله کنیم ، سپس تابع جدید B در مقابل تابع B sv با توجه به t \u003d 0 منعکس خواهد شد.

با توجه به این ویژگی ها ، CCF کل ، به طور معمول ، به طور جداگانه برای تأخیرهای مثبت و منفی محاسبه می شود:

B su (t) \u003d s (t) u (t + t) dt. B us (t) \u003d u (t) s (t + t) dt. (6.14 ")

CCF مداوم توالی داده های xn و yn را می توان به عنوان نمونه ای از توابع وابسته به زمان x (t) و y (t) بدست آورد ، یعنی x (nT a) \u003d xn و y (nT a) \u003d yn با استفاده از کوواریانس و ضریب همبستگی ، می توان همبستگی را بررسی کرد مقادیر به طور همزمان نمونه برداری شده است. در مرحله بعدی ، می توانید بررسی کنید که آیا رابطه ای بین سیگنال موجود و سیگنال قبلی وجود دارد یا خیر. بر این اساس ، کوواریانس از نمونه گرفته شده در نقطه زمان nT a ، در نقطه زمان (n-k) T a سیگنال قبلی محاسبه می شود. برای هر مقدار kT a (k \u003d 1.2 ...) هر دو سیگنال ، تحت برخی شرایط ، مقادیر کوواریانس جدید بوجود می آیند و از این رو تابع وابسته به زمان تأخیر kT a نام خود را دارد: تابع همبستگی متقابل. سیگنال های x و y

بگذارید مقادیر میانگین x و y f-t های X (t) ، Y (t) داده شود:

واریانس به صورت تعریف شده است

کوواریانس بین سیگنال های X (t) ، Y (t) به صورت محاسبه می شود

با مقادیر متناوب ، مقادیر میانگین خطی \u003d 0 و فقط

برای به دست آوردن توابع همبستگی ، لازم است هر دو سیگنال وابسته به زمان را با t به تأخیر بیندازیم. برای سیگنالهای فاقد ملفه ثابت ، تابع همبستگی متقابل به صورت محاسبه می شود

توابع گسسته همبستگی.:

تجزیه و تحلیل همبستگی برای تعیین ارتباطات استاتیک بین فرآیندهای تصادفی یا اتصالات ایستایی بین مراحل همان فرآیند تصادفی استفاده می شود. توابع همبستگی دو نوع است: توابع همبستگی ، توابع همبستگی. تابع همبستگی مشخص کننده ارتباط بین دو فرآیند یا توالی تصادفی است:

برای یک تابع گسسته ، فاصله t به یک مرحله نمونه برداری در امتداد محور t حرکت می کند ، در هر نقطه نمونه گیری به دست می آید. x (t) و y (t-t) ضرب می شوند ، محصولات خلاصه شده و بر 2T تقسیم می شوند

34. تحلیل همبستگی. کوواریانس ضریب همبستگی.

تحلیل همبستگی. کوواریانس:

CA برای تعیین روابط آماری بین فرآیندهای تصادفی یا روابط آماری بین مراحل همان فرآیند تصادفی استفاده می شود. در حالت دوم ، تجزیه و تحلیل اصطلاح همبستگی نامیده می شود. CA برای سیگنال های قطعی و تصادفی استفاده می شود.

کوواریانس فرض کنید دو توالی تصادفی Xn و Yn داریم. توالی تصادفی را می توان با سطوح مختلف تصادفی مشخص کرد ، به عنوان مثال نمونه های همسایه ممکن است کاملاً مستقل باشند یا وابستگی خاصی داشته باشند. فرض کنید که ما مقادیر متوسط \u200b\u200bXav و Yav را می دانیم:

معیار و رابطه برای هر دو توالی Xn و Yn کواریانس sxy است:

اگر توالی های تصادفی Xn و Yn مرکز باشند (میانگین کم می شود) ، پس:

ضریب همبستگی:

کوف کورل r کوواریانس نرمال است ، و

1 £ r £ 1. نرمال سازی با تقسیم کوواریانس بر حاصل از انحرافات استاندارد sх و su اتفاق می افتد:

رابطه بین توالی داده های Xn و Yn و همچنین مقادیر ضریب همبستگی را می توان با رسم جفت مقادیر متناظر (Xn و Yn) در سیستم مختصات X / Y نشان داد. اگر هر دو توالی داده در یک جهت قرار داشته باشند ، پس از آن متغیر هستند و ضریب همبستگی مثبت است ، اگر در جهت مخالف باشد ، سپس منفی است. اگر ضریب. بشقاب \u003d 0 پس هیچ وابستگی بین مقادیر وجود ندارد. مقدار مطلق ضریب همبستگی نزدیکتر به 1 خواهد بود ، هر دو متغیر بیشتر به یکدیگر وابسته هستند.

2. تقریب. اعمال شده با چند جمله ای خطی.

درون یابی - منحنی از همه نقاط عبور می کند.

تقریب - منحنی ممکن است به هیچ وجه از نقاط عبور نکند.

(1 / N) å | Dy i | جایی که من \u003d 1 ، N.

مبلغ حاصل به N. Polen بستگی ندارد که درجه بالایی را تخمین نمی زند ، بنابراین ، آنها به یک چند جمله ای از مرتبه 3 محدود می شوند.

اگر نقطه A روی ده نقطه سقوط کند ، لبه به شدت منحرف می شود ، پس می توانید آن را کنار بگذارید.

دو روش وجود دارد:

1) مجموع اختلافات مطلق | f (x n) -y n | باید به حداقل برسد.

2) مجموع مربعات اختلاف باید به حداقل این روش حداقل فریم نزدیک باشد

در این فصل ، مفاهیم معرفی شده در فصل. 5 و 6 (شماره 1) در مورد یک جفت سری زمانی و فرایندهای تصادفی اعمال می شود. اولین چنین تعمیم داده شده در بخش Sec. 8.1 ، تابع همبستگی یک فرایند تصادفی ثابت دو بعدی است. این عملکرد همبستگی دو فرآیند را در تأخیرهای مختلف مشخص می کند. تعمیم دوم یک فرایند خطی دو بعدی است که توسط عملیات خطی روی دو منبع نویز سفید شکل می گیرد. فرآیند خود متراکم دو بعدی و فرایند میانگین متحرک دو بعدی موارد ویژه مهم چنین فرآیندی هستند.

در فرقه. 8.2 ما در مورد مسئله تخمین تابع همبستگی بحث خواهیم کرد. ما نشان خواهیم داد که اگر به هر دو سری فیلتر که آنها را به نویز سفید تبدیل می کند اعمال نکنیم ، در طی تخمین ، مقادیر بیش از حد تخمین زده شده همبستگی می تواند رخ دهد. در فرقه. 8.3 یک تعمیم سوم ارائه می شود - طیف متقابل یک فرآیند دو بعدی ثابت. طیف متقابل شامل دو نوع مختلف اطلاعات است که رابطه بین دو فرآیند را مشخص می کند. اطلاعات نوع اول در طیف انسجام موجود است ، که معیاری م ofثر برای همبستگی دو فرایند در هر یک از فرکانس ها است. اطلاعات نوع دوم توسط طیف فاز مشخص می شود که اختلاف فاز دو فرآیند را در هر یک از فرکانس ها مشخص می کند. در فرقه. 8.4 هر دو نوع این اطلاعات با مثالهای ساده نشان داده شده است.

8.1 عملکرد همبستگی متقابل

8.1.1 مقدمه

در این فصل ، ما به مباحث توصیف یک جفت سری زمانی یا سری های زمانی دو بعدی خواهیم پرداخت. روش های مورد استفاده تعمیم روش های استفاده شده در Ch است. 5 ، 6 ، و بنابراین کلیه احکام کلی مربوط به سری های زمانی ذکر شده در بخش Sec. 5.1 در این مورد قابل اجرا است. در فرقه. 5.1 تحت عنوان "زمان چند بعدی

series "به طور خلاصه ذکر کرد که مجموعه های زمانی جداگانه ای که یک سری چند بعدی را تشکیل می دهند ممکن است در رابطه با یکدیگر نابرابر باشند. برای مثال ، سیستم نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید. 8.1 که دارای دو ورودی و دو خروجی است

شکل: 8.1 سیستم فیزیکی با دو ورودی و دو خروجی.

دو حالت را می توان تشخیص داد. در حالت اول ، دو ردیف نسبت به یکدیگر در یک موقعیت قرار دارند ، به عنوان مثال ، دو ورودی در شکل. 8.1

شکل: 8.2 جریانهای فاز و تغییر فاز در خروجی ژنراتور توربین.

در این حالت ، ممکن است دو متغیر کنترل همبسته وجود داشته باشد که تعامل آنها می خواهیم بررسی کنیم. نمونه ای از قرار گرفتن یک جفت سری زمانی در این گروه در شکل نشان داده شده است. 8.2 ،

که در آن سوابق جریان ورودی در فاز و تغییر فاز توربوژنراتور آورده شده است.

در حالت دوم ، دو سری زمانی از نظر عللی با هم مرتبط هستند ، به عنوان مثال ورودی در شکل. 8.1 و خروجی وابسته آن. در چنین شرایطی معمولاً لازم است خصوصیات سیستم به گونه ای ارزیابی شود که پیش بینی خروجی از ورودی راحت باشد. نمونه ای از یک جفت سری زمانی از این نوع در شکل نشان داده شده است. 8.3 ، که سرعت ورودی گاز و غلظت دی اکسید کربن در خروجی کوره گاز را نشان می دهد.

شکل: 8.3 سیگنال های ورودی و خروجی اجاق گاز.

دیده می شود که خروجی به دلیل اینکه برای رساندن گاز به راکتور مدتی طول می کشد ، از ورودی عقب است.