Ֆունկցիայի ծայրահեղ կետը գործառույթի տիրույթի այն կետն է, որի դեպքում ֆունկցիայի արժեքը տանում է իր նվազագույն կամ առավելագույն արժեքը: Այս կետերում ֆունկցիայի արժեքները կոչվում են ֆունկցիայի էքստրեմա (նվազագույն և առավելագույն).
Սահմանում... Կետ x1 ֆունկցիայի տիրույթ զ(x) կոչվում է գործառույթի առավելագույն կետ , եթե այս պահին ֆունկցիայի արժեքն ավելի մեծ է, քան ֆունկցիայի արժեքները դրան բավականաչափ մոտ կետերում, որոնք գտնվում են դրանից աջ և ձախ (այսինքն ՝ անհավասարություն զ(x0 ) > զ(x0 + Δ x) x1 առավելագույնը
Սահմանում... Կետ x2 ֆունկցիայի տիրույթ զ(x) կոչվում է գործառույթի նվազագույն կետը, եթե այս պահին ֆունկցիայի արժեքն ավելի փոքր է, քան դրա աջ և ձախ կողմերում գտնվող ֆունկցիայի արժեքները բավականաչափ մոտ կետերում, այսինքն `անհավասարությունը զ(x0 ) < զ(x0 + Δ x) ) Այս դեպքում ասում են, որ գործառույթը կետում է x2 նվազագույն
Ասենք ՝ մատնացույց արեք x1 գործառույթի առավելագույն կետն է զ(x) Հետո ընդմիջումից մինչև x1 գործառույթը մեծանում է , այնպես որ ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից մեծ է ( զ "(x)\u003e 0), իսկ դրանից հետո ընդմիջումից x1 գործառույթը նվազում է, հետեւաբար, եւ ֆունկցիայի ածանցյալ զրոյից պակաս ( զ "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
Ենթադրենք նաև, որ կետը x2 գործառույթի նվազագույն կետն է զ(x) Հետո ընդմիջումից մինչև x2 ֆունկցիան նվազում է, և ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից պակաս է ( զ "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ֆունկցիան մեծանում է, և ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից մեծ է ( զ "(x)\u003e 0): Այս դեպքում, նույնպես կետում x2 ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի:
Ֆերմատի թեորեմ (ֆունկցիայի ծայրահեղության գոյության անհրաժեշտ չափանիշ)... Եթե \u200b\u200bկետը x0 - գործառույթի ծայրահեղ կետ զ(x), ապա այս պահին ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի ( զ "(x) \u003d 0) կամ գոյություն չունի:
Սահմանում... Կոչվում են այն կետերը, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի կրիտիկական կետեր .
Օրինակ 1. Եկեք դիտարկենք գործառույթ:
Կետում x \u003d 0, ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է, հետեւաբար ՝ կետը x \u003d 0-ը կրիտիկական կետն է: Այնուամենայնիվ, ինչպես երեւում է ֆունկցիայի գծապատկերի վրա, այն աճում է սահմանման ողջ տիրույթում, հետեւաբար ՝ կետում x \u003d 0-ը այս գործառույթի ծայրահեղ կետը չէ:
Այսպիսով, պայմանները, երբ ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի, ծայրահեղության համար անհրաժեշտ պայմաններ են, բայց ոչ բավարար, քանի որ կարող են տրվել գործառույթների այլ օրինակներ, որոնց համար այդ պայմանները բավարարված են, բայց համապատասխան կետում ֆունկցիան չունի ծայրահեղություն: հետեւաբար դուք պետք է ունենաք բավարար նշաններ, թույլ տալով դատել, թե արդյոք կա ծայրահեղականություն որոշակի կրիտիկական կետում, և որը `առավելագույն կամ նվազագույն:
Թեորեմ (ֆունկցիայի ծայրահեղության գոյության առաջին բավարար չափանիշ): Քննադատական \u200b\u200bկետ x0 զ(x), եթե այս կետով անցնելիս ֆունկցիայի ածանցյալը փոխում է նշանը, և եթե նշանը փոխվում է «գումարած» -ից «մինուս», ապա առավելագույն կետը, իսկ եթե «մինուսից» «գումարած», ապա նվազագույն կետը:
Եթե \u200b\u200bկետին մոտ է x0 , դրանից ձախ և աջ, ածանցյալը պահպանում է նշանը, ապա սա նշանակում է, որ գործառույթը կամ միայն նվազում է, կամ միայն ավելանում է կետի որոշ հարևանությամբ: x0 ... Այս դեպքում ՝ կետում x0 ծայրահեղություն չկա:
Այսպիսով, ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը որոշելու համար անհրաժեշտ է կատարել հետևյալը :
- Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը:
- Սահմանեք ածանցյալը զրոյի և որոշեք կրիտիկական կետերը:
- Մտավոր կամ թղթի վրա թվանշանային առանցքի վրա նշեք կրիտիկական կետերը և ստացված ընդմիջումներով որոշեք ֆունկցիայի ածանցյալի նշանները: Եթե \u200b\u200bածանցյալի նշանը փոխվում է «գումարած» -ից «մինուս», ապա կրիտիկական կետը առավելագույն կետն է, իսկ եթե «մինուս» -ից «գումարած», ապա նվազագույն կետը:
- Հաշվեք ֆունկցիայի արժեքը ծայրահեղ կետերում:
Օրինակ 2. Գտեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը 
.
Որոշում: Եկեք գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը.
Եկեք ածանցյալը զրոյի դնենք, որպեսզի գտնենք կրիտիկական կետերը.
.
Քանի որ «x» - ի ցանկացած արժեքի համար հայտարարը զրո չէ, մենք համարիչը հավասարեցնում ենք զրոյի.
Ստացվեց մեկ շրջադարձային կետ x \u003d 3 Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը սույն կետով սահմանված ընդմիջումներում.
մինուս անսահմանությունից 3-ի սահմաններում - մինուս նշանը, այսինքն ՝ ֆունկցիան նվազում է,
3-ից գումարած անսահմանության սահմաններում `գումարած նշանը, այսինքն ՝ ֆունկցիան մեծանում է:
Այսինքն ՝ կետ x \u003d 3-ը նվազագույն կետն է:
Եկեք գտնենք ֆունկցիայի արժեքը նվազագույն կետում.
Այսպիսով, հայտնաբերվում է ֆունկցիայի ծայրահեղ կետը ՝ (3; 0), և դա նվազագույն կետն է:
Թեորեմ (ֆունկցիայի ծայրահեղության գոյության երկրորդ բավարար չափանիշ): Քննադատական \u200b\u200bկետ x0 գործառույթի ծայրահեղ կետն է զ(x) եթե այս պահին ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը զրո չէ ( զ ""(x) ≠ 0), և եթե երկրորդ ածանցյալը զրոյից մեծ է ( զ ""(x)\u003e 0), ապա առավելագույն կետը, իսկ եթե երկրորդ ածանցյալը զրոյից պակաս է ( զ ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
Նշում 1. Եթե կետում է x0 ինչպես առաջին, այնպես էլ երկրորդ ածանցյալները անհետանում են, ապա այս պահին անհնար է դատել ծայրահեղության առկայությունը երկրորդ բավարար հատկության հիման վրա: Այս դեպքում անհրաժեշտ է օգտագործել գործառույթի ծայրահեղության առաջին բավարար ցուցանիշը:
Նշում 2. Ֆունկցիայի ծայրահեղության երկրորդ բավարար չափանիշը նույնպես կիրառելի չէ, եթե առաջին ածանցյալը գոյություն չունի ստացիոնար կետում (ապա երկրորդ ածանցյալը նույնպես գոյություն չունի): Այս դեպքում անհրաժեշտ է նաև օգտագործել գործառույթի ծայրահեղության առաջին բավարար ցուցանիշը:
Ֆունկցիայի ծայրահեղությունների տեղական բնույթը
Վերոնշյալ սահմանումներից հետեւում է, որ ֆունկցիայի ծայրահեղությունը տեղական բնույթ ունի. Սա ֆունկցիայի ամենամեծ և փոքրագույն արժեքն է ՝ համեմատած մոտակա արժեքների հետ:
Ենթադրենք, որ դուք դիտում եք ձեր վաստակը մեկ տարվա ընթացքում: Եթե \u200b\u200bմայիսին վաստակել եք 45,000 ռուբլի, իսկ ապրիլին ՝ 42,000 ռուբլի, իսկ հունիսին ՝ 39,000 ռուբլի, ապա մայիս ամսվա աշխատավարձը վաստակի գործառույթի առավելագույն ցուցանիշն է ՝ համեմատած մոտակա արժեքների հետ: Բայց հոկտեմբերին դուք վաստակել եք 71,000 ռուբլի, սեպտեմբերին ՝ 75,000 ռուբլի, իսկ նոյեմբերին ՝ 74,000 ռուբլի, այնպես որ հոկտեմբեր ամսվա վաստակը մոտակա արժեքների համեմատ վաստակի գործառույթի նվազագույն մասն է: Եվ հեշտությամբ կարող եք տեսնել, որ ապրիլ-մայիս-հունիս ամիսների արժեքների մեջ առավելագույնը պակաս է սեպտեմբեր-հոկտեմբեր-նոյեմբեր ամիսների նվազագույնից:
Ընդհանուր առմամբ, ֆունկցիան կարող է ունենալ մի քանի ծայրահեղություն ընդմիջման վրա, և կարող է պարզվել, որ ֆունկցիայի ցանկացած նվազագույնը մեծ է ցանկացած առավելագույնից: Այսպիսով, վերևում նկարում ցույց տրված գործառույթի համար.
Այսինքն ՝ չպետք է մտածել, որ ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույնը, համապատասխանաբար, դրա ամենամեծ և փոքրագույն արժեքներն են ամբողջ դիտարկված միջակայքում: Առավելագույն կետում ֆունկցիան ունի ամենամեծ արժեքը միայն այն արժեքների համեմատությամբ, որոնք այն ունի բոլոր կետերում, որոնք բավական մոտ են առավելագույն կետին, և նվազագույն կետում `փոքրագույն արժեքը միայն այն արժեքների համեմատ, որոնք ունի բոլոր կետերում` բավականին մոտ: նվազագույն կետին:
Այդ պատճառով հնարավոր է հստակեցնել գործառույթի ծայրահեղ կետերի վերոհիշյալ հասկացությունը և նվազագույն միավորները անվանել տեղական նվազագույն միավորներ, իսկ առավելագույն միավորները ՝ տեղական առավելագույն միավորներ:
Միասին փնտրում են ֆունկցիայի էքստրեմա
Օրինակ 3.
Լուծում. Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական է ամբողջ թվային գծի վրա: Դրա ածանցյալը 
գոյություն ունի նաև ամբողջ թվային գծի վրա: Հետեւաբար, այս դեպքում կրիտիկական կետերը միայն նրանք են, որոնցում, այսինքն. , որտեղից և. Քննադատական \u200b\u200bկետերով և ֆունկցիայի ամբողջ տիրույթը բաժանեք միատոնության երեք միջակայքերի. Եկեք դրանցից յուրաքանչյուրում ընտրենք մեկ հսկիչ կետ և այս կետում գտնենք ածանցյալի նշանը:
Ընդմիջման համար կառավարման կետը կարող է լինել. Ընդմիջումից մի կետ վերցնելով `մենք ստանում ենք, և ընդմիջումից միավոր վերցնելով` ունենք: Այսպիսով, ընդմիջումներով և, և ընդմիջումներով: Anայրահեղության առաջին բավարար չափանիշի համաձայն, կետում ծայրահեղություն չկա (քանի որ ածանցյալը պահպանում է իր նշանը միջակայքում), իսկ կետում ֆունկցիան ունի նվազագույն (քանի որ ածանցյալը այս կետով անցնելիս մինուսից գումարած է փոխում նշանը): Եկեք գտնենք ֆունկցիայի համապատասխան արժեքները., Եւ. Միջանկյալ ժամանակահատվածում ֆունկցիան նվազում է, ինչպես այս միջակայքում, այնպես էլ ընդմիջումից, այն մեծանում է, ինչպես այս միջակայքում:
Գրաֆիկի կառուցումը հստակեցնելու համար մենք կգտնենք դրա խաչմերուկի կետերը կոորդինատային առանցքների հետ: Համար, մենք ստանում ենք մի հավասարություն, որի արմատները և, այսինքն, ֆունկցիայի գծապատկերի երկու կետերը (0; 0) և (4; 0) հայտնաբերված են: Օգտագործելով ստացված ողջ տեղեկատվությունը, մենք կառուցում ենք գրաֆիկ (տես օրինակի սկզբում):
Հաշվարկների ընթացքում ինքնավերստուգման համար կարող եք օգտագործել առցանց ածանցյալ հաշվիչ .
Օրինակ 4.Գտեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունները և կառուցեք դրա գրաֆիկը:
Ֆունկցիայի տիրույթը համարի ամբողջ գիծն է, բացառությամբ կետի, այսինքն. ...
Հետազոտությունը կրճատելու համար կարող եք օգտագործել այն փաստը, որ այս գործառույթը հավասար է, քանի որ 
... Հետեւաբար, դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի վերաբերյալ Օյ և հետախուզումը կարող է կատարվել միայն ընդմիջումից:
Գտեք ածանցյալը 
և գործառույթի կրիտիկական կետերը.
1) 
;
2) 
,
բայց ֆունկցիան այս պահին խախտվում է, ուստի այն չի կարող լինել ծայրահեղ կետ:
Այսպիսով, տրված գործառույթն ունի երկու կարևոր կետ. Եւ. Հաշվի առնելով ֆունկցիայի հավասարությունը, եկեք ստուգենք միայն կետը ծայրահեղության երկրորդ բավարար չափանիշով: Դրա համար մենք գտնում ենք երկրորդ ածանցյալը 
և սահմանել դրա նշանը `մենք ստանում ենք: Քանի որ և, ապա գործառույթի նվազագույն կետն է, մինչդեռ 
.
Ֆունկցիայի գրաֆիկի ավելի ամբողջական պատկեր ստանալու համար եկեք պարզենք դրա վարքը սահմանման տիրույթի սահմաններում.
(այստեղ խորհրդանիշը ցույց է տալիս ցանկությունը x զրոյից աջ, և x մնում է դրական; նույն կերպ նշանակում է ձգտում x ձախից զրոյին, և x մնում է բացասական): Այսպիսով, եթե, ապա. Հետագայում մենք գտնում ենք
,
այդ Եթե, ապա.
Ֆունկցիայի գծապատկերը առանցքների հետ հատման կետ չունի: Նկարը օրինակի սկզբում է:
Հաշվարկների ընթացքում ինքնավերստուգման համար կարող եք օգտագործել առցանց ածանցյալ հաշվիչ .
Մենք միասին շարունակում ենք որոնել ֆունկցիայի էքստրեմա
Օրինակ 8.Գտեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունները:
Որոշում: Եկեք գտնենք գործառույթի տիրույթը: Քանի որ անհավասարությունը պետք է պահպանվի, մենք ստանում ենք:
Եկեք գտնենք ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը:
1 ° Գործառույթի ծայրահեղության որոշում:
Երկու փոփոխականների ֆունկցիայի առավելագույն, նվազագույն, ծայրահեղ հասկացությունները նման են մեկ անկախ փոփոխականի ֆունկցիայի համապատասխան հասկացություններին:
Թող գործառույթը z \u003dզ (x; յ) որոշ տարածքում որոշված D, կետ N (x 0;y 0) Դ.
Կետ (x 0;y 0) կոչվում է կետ առավելագույնը գործառույթ զ= զ (x;y),եթե կա կետի neighborhood հարեւանություն (x 0;y 0), ինչ յուրաքանչյուր կետի համար (x; y), տարբերվում է (x 0;y 0) այս թաղամասից անհավասարությունը զ (x;յ)< զ (x 0;y 0): Նկար 12-ում. N 1 - առավելագույն կետ, ա N 2 - գործառույթի նվազագույն կետ z \u003dզ (x;յ)
Կետը նվազագույն գործառույթները ՝ բոլոր կետերի համար (x 0;y 0),Բացի դրանից (x 0;y 0),d- կետի հարևանությունից (x 0;y 0) անհավասարությունը պահպանում է. զ (x 0;y 0)\u003eզ (x 0;y 0):
Երեք և ավելի փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղությունը որոշվում է նույն կերպ:
Գործառույթի արժեքը կոչվում է առավելագույն (նվազագույն) կետում առավելագույն (նվազագույն) գործառույթները:
Ֆունկցիայի առավելագույնը և նվազագույնը դա անվանում են ծայրահեղություն
Նկատենք, որ ըստ սահմանման, ֆունկցիայի ծայրահեղ կետը գտնվում է ֆունկցիայի տիրույթում: առավելագույնը և նվազագույնը ունեն տեղական (տեղական) բնույթ. ֆունկցիայի արժեքը մի կետում (x 0;y 0)համեմատվում է իր արժեքների հետ բավական մոտ կետերում (x 0;y 0): Տարածքում Դ ֆունկցիան կարող է ունենալ մի քանի ծայրահեղություն կամ ոչ մի:
2 ° Extremայրահեղության համար անհրաժեշտ պայմաններ.
Հաշվի առեք ֆունկցիայի ծայրահեղության գոյության պայմանները:
Երկրաչափորեն հավասար զ » y (x 0;y 0)\u003d 0 և զ » y (x 0;y 0) \u003d0 նշանակում է, որ գործառույթի ծայրահեղ կետում զ = զ (x; յ) շոշափելի հարթություն ֆունկցիան ներկայացնող մակերեսին զ (x; y), հարթությանը զուգահեռ Օհ, քանի որ տանգենս հարթության հավասարումը է z \u003dz 0.
Մեկնաբանություն Ֆունկցիան կարող է ծայրահեղություն ունենալ այն կետերում, որտեղ մասնակի ածանցյալներից գոնե մեկը գոյություն չունի: Օրինակ ՝ գործառույթը 
կետում ունի առավելագույնը ՄԱՍԻՆ(0; 0), բայց այս պահին չունի մասնակի ածանցյալ գործիքներ:
Այն կետը, երբ գործառույթի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները զ = զ (x;յ) հավասար են զրոյի, այսինքն. զ » x = 0, զ" y \u003d 0-ը կոչվում է ստացիոնար կետ գործառույթ զ.
Կոչվում են ստացիոնար կետեր և կետեր, որոնցում առնվազն մեկ մասնակի ածանցյալ գոյություն չունի կրիտիկական կետեր:
Կրիտիկական կետերում ֆունկցիան կարող է ծայրահեղություն ունենալ կամ չունենալ: Ialայրահեղության գոյության համար անհրաժեշտ, բայց ոչ բավարար պայման է մասնակի ածանցյալների զրոյին հավասարությունը: Հաշվի առեք, օրինակ, գործառույթը զ = հու Դրա համար 0 (0; 0) կետը կարևոր է (այնտեղ է, որ դրանք անհետանում են): Այնուամենայնիվ, դրա ծայրահեղ գործառույթը z \u003d xy չունի, քանի որ O կետի (0; 0) կետի բավական փոքր հարևանությամբ կան կետեր, որոնց համար z\u003e\u003e 0 (կետեր I և III եռամսյակներ) և զ< 0 (կետեր II և IV եռամսյակներ):
Այսպիսով, տվյալ տարածքում ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է ֆունկցիայի յուրաքանչյուր կրիտիկական կետը ենթարկել լրացուցիչ հետազոտության:
Կայուն կետերը հայտնաբերվում են հավասարումների համակարգը լուծելով
|
fx (x, y) \u003d 0, f "y (x, y) \u003d 0 |
(ծայրահեղության համար անհրաժեշտ պայմաններ).
Համակարգը (1) համարժեք է մեկ հավասարության df (x, y) \u003d 0: Ընդհանուր առմամբ, ծայրահեղ կետում P (a, b) գործառույթ f (x, y) կամ df (x, y) \u003d 0, կամ df (a, b)) գոյություն չունի.
3 ° Conditionsայրահեղության համար բավարար պայմաններ... Թող լինի P (a; b) - ֆունկցիայի ստացիոնար կետ զ(x, y), այսինքն ... df (a, b) \u003d 0... Հետո.
եւ եթե d2f (a, b)< 0 ժամը, ուրեմն զ(ա, բ) կա առավելագույնը գործառույթ զ (x, y);
բ) եթե d2f (a, b)\u003e 0 ժամը, ուրեմն զ(ա, բ)կա նվազագույն գործառույթ զ (x, y);
գ) եթե d2f (a, b) փոխում է նշանը, ապա զ (ա, բ) գործառույթի ծայրահեղություն չէ զ (x, y):
Այս պայմանները համարժեք են հետևյալին. Թող 
և. Եկեք կազմենք խտրական
Δ \u003d AC -B²
1) եթե Δ\u003e 0, ապա գործառույթը կետում ծայրահեղություն ունի P (a; b) մասնավորապես առավելագույնը, եթե Ա<0 (կամ ԱՅՍՏԵ<0 ), իսկ նվազագույնը, եթե Ա\u003e 0 (կամ C\u003e 0);
2) եթե Δ< 0, то экстремума в точке P (a; b) ոչ
3) եթե Δ \u003d 0, ապա կետում ֆունկցիայի ծայրահեղության առկայության հարցը P (a; b) մնում է բաց (անհրաժեշտ է լրացուցիչ հետազոտություն):
4 ° Մի քանի փոփոխականների գործառույթի դեպք... Երեք կամ ավելի փոփոխականների գործառույթի համար ծայրահեղության գոյության համար անհրաժեշտ պայմանները նման են պայմաններին (1), իսկ բավարար պայմանները `ա), բ), գ) 3 ° պայմաններին:
Օրինակ... Ուսումնասիրեք ծայրահեղության գործառույթը z \u003d x³ + 3xy²-15x-12y.
Որոշում: Եկեք գտնենք մասնակի ածանցյալները և կազմենք հավասարումների համակարգը (1):
Լուծելով համակարգը `մենք ստանում ենք չորս ստացիոնար կետ.
Գտեք 2-րդ կարգի ածանցյալները
և կազմել խտրականը Δ \u003d AC - B² յուրաքանչյուր ստացիոնար կետի համար:
1) Մի կետի համար. 
, Δ \u003d AC-B² \u003d 36-144<0
... Այսպիսով, կետում ծայրահեղություն չկա:
2) P2 կետի համար. A \u003d 12, B \u003d 6, C \u003d 12; Δ \u003d 144 - 36\u003e 0, Ա\u003e 0... P2 կետում ֆունկցիան ունի նվազագույն: Այս նվազագույնը հավասար է գործառույթի արժեքին ժամը x \u003d 2, y \u003d 1: zmin \u003d 8 + 6-30-12 \u003d -28.
3) Մի կետի համար. A \u003d -6, B \u003d -12, C \u003d -6; Δ \u003d 36-144<0 ... Extremայրահեղություն չկա:
4) P 4 կետի համար. A \u003d -12, B \u003d -6, C \u003d -12; Δ \u003d 144-36\u003e 0... Р4 կետում ֆունկցիան ունի առավելագույն հավասար Zmax \u003d -8 -6 + 30 + 12 \u003d 28.
5 ° Պայմանական ծայրահեղություն... Ամենապարզ դեպքում պայմանական ծայրահեղություն գործառույթ զ(x, y) կոչվում է այս ֆունկցիայի առավելագույն կամ նվազագույնը, որը ձեռք է բերվում այն \u200b\u200bպայմանով, որ դրա փաստարկները կապված են հավասարման միջոցով φ (x, y) \u003d 0 (կաշկանդման հավասարումը) Ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղությունը գտնելու համար զ(x, y) հարաբերությունների առկայության դեպքում φ (x, y) \u003d 0, կազմեք այսպես կոչված Լագրանժի գործառույթը
F (x,y) \u003dզ (x,յ) +λφ (x,y),
որտեղ λ- ը չսահմանված հաստատուն գործոն է, և որոնվում է այս օժանդակ գործառույթի սովորական ծայրահեղությունը: Anայրահեղության համար անհրաժեշտ պայմանները իջեցվում են երեք հավասարումների համակարգի
|
|
երեք անհայտներով x, y, λ, որից հնարավոր է, ընդհանուր առմամբ, որոշել այդ անհայտները:
Պայմանական ծայրահեղության գոյության և բնույթի հարցը լուծվում է Լագրանժի ֆունկցիայի երկրորդ դիֆերենցիալի նշանի ուսումնասիրման հիման վրա:
փորձարկվող արժեքների համակարգի համար x, y, λ(2) -ից ստացված պայմանով, որ dx և դու կապված է հավասարմամբ
.
Այսինքն ՝ գործառույթը զ(x, y) ունի պայմանական առավելագույն, եթե d²F< 0, իսկ պայմանական նվազագույնը, եթե d²F\u003e 0... Մասնավորապես, եթե գործառույթի համար տարբերակող Δ F (x, y) ստացիոնար կետում դրական է, ապա այս պահին գործում է ֆունկցիայի պայմանական առավելագույնը զ(x, y), Եթե Ա< 0 (կամ ԱՅՍՏԵ< 0), իսկ պայմանական նվազագույնը, եթե Ա\u003e Ո (կամ C\u003e 0).
Նմանապես, երեք կամ ավելի փոփոխականների ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղությունը հայտնաբերվում է մեկ կամ մի քանի կաշկանդման հավասարումների առկայության դեպքում (որոնց թիվը, սակայն, պետք է պակաս լինի փոփոխականների քանակից): Այստեղ անհրաժեշտ է Լագրանժի ֆունկցիայի մեջ ներմուծել այնքան անորոշ գործոն, որքան կաշկանդման հավասարումներ:
Օրինակ. Գտեք գործառույթի ծայրահեղությունը z \u003d 6-4x -3յպայմանով, որ փոփոխականները x և ժամը բավարարել հավասարումը x² + y² \u003d 1.
Որոշում: Երկրաչափականորեն, խնդիրը վերածվում է հայտատուի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու զ Ինքնաթիռ z \u003d 6 - 4x - Zu գլանի հետ իր հատման կետերի համար x2 + y2 \u003d 1:
Մենք կազմում ենք Lagrange ֆունկցիան F (x, y) \u003d 6 -4x -3y + λ (x2 + y2 -1)).
Մենք ունենք 
... Անհրաժեշտ պայմանները տալիս են հավասարումների համակարգը
լուծում, որը մենք գտնում ենք.
.
,
դF \u003d 2λ (dx ² +dy):
Եթե \u200b\u200bդու ես, ուրեմն դF\u003e 0, և, հետևաբար, այս պահին ֆունկցիան ունի պայմանական նվազագույն: Եթե 
եւ հետո դՖ<0,
և, հետևաբար, այս պահին ֆունկցիան ունի պայմանական առավելագույն:
Այս կերպ,
6 ° Ֆունկցիայի ամենաբարձր և ամենացածր արժեքները:
Թող գործառույթը z \u003dզ (x; յ) սահմանված և շարունակական `սահմանափակ փակ տարածքում . Հետո այն հասնում է որոշ կետերի դրա ամենամեծը Մ ու ամենափոքրը տ արժեքներ (այսպես կոչված. գլոբալ ծայրահեղություն): Այս արժեքները ստացվում են տարածաշրջանի ներսում տեղակայված կետերում գործառույթի միջոցով , կամ տարածքի սահմանին ընկած կետերում:
Extremeայրահեղ կետեր գտնելու պարզ ալգորիթմ:
- Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը
- Այս ածանցյալը հավասարեցրեք զրոյի
- Գտեք ստացված արտահայտության փոփոխականի արժեքները (փոփոխականի արժեքները, որոնցում ածանցյալը վերածվում է զրոյի)
- Մենք կոորդինատային գիծը բաժանում ենք այս արժեքների միջակայքերի (այս դեպքում մի մոռացեք ընդմիջման կետերի մասին, որոնք նույնպես պետք է կիրառվեն գծի վրա), այս բոլոր կետերը ծայրահեղության համար անվանում են «կասկածելի» կետեր
- Մենք հաշվարկում ենք, թե այս ընդմիջումներից որ դեպքում է ածանցյալը դրական, և որ բացասական: Դա անելու համար հարկավոր է արժեքը ընդմիջումից փոխարինել ածանցյալի:
Anայրահեղության մեջ կասկածելի կետերից անհրաժեշտ է ճշգրիտ գտնել: Դա անելու համար մենք կոորդինատային գծի վրա նայում ենք մեր ընդմիջումներին: Եթե \u200b\u200bինչ-որ կետով անցնելիս ածանցյալի նշանը գումարածից մինուս է փոխվում, ապա այս կետը կլինի առավելագույնը, իսկ եթե մինուսից գումարած, ապա նվազագույն.
Ֆունկցիայի ամենամեծ և փոքրագույն արժեքը գտնելու համար հարկավոր է հաշվարկել ֆունկցիայի արժեքը հատվածի ծայրերում և ծայրահեղ կետերում: Դրանից հետո ընտրեք ամենաբարձր և ամենացածր արժեքը:
Դիտարկենք մի օրինակ
Գտեք ածանցյալը և հավասարեցրեք այն զրոյի:
Փոփոխականների ստացված արժեքները կիրառվում են կոորդինատային գծի վրա, և ածանցյալի նշանը հաշվարկվում է ընդմիջումներից յուրաքանչյուրում: Դե, օրինակ, առաջինի համար վերցնենք-2
, ապա ածանցյալը կլինի-0,24
, երկրորդը, որ վերցնում ենք0
, ապա ածանցյալը կլինի2
, իսկ երրորդի համար մենք վերցնում ենք2
, ապա ածանցյալը կլինի-0.24: Մենք դնում ենք համապատասխան ցուցանակներ:
Մենք տեսնում ենք, որ -1 կետով անցնելիս ածանցյալը փոխում է նշանը մինուսից գումարած, այսինքն ՝ դա կլինի նվազագույն կետ, իսկ 1-ով անցնելիս ՝ համապատասխանաբար գումարածից մինուս, սա առավելագույն կետ է:
Ֆունկցիայի արժեքները և առավելագույն և նվազագույն միավորները
Ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը
Ամենափոքր գործառույթի արժեքը
Ինչպես կնքահայրն ասաց. «Ոչինչ անձնական»: Միայն ածանցյալներ:
12, վիճակագրության առաջադրանքը համարվում է բավականին բարդ, և բոլորը այն պատճառով, որ տղաները չեն կարդացել այս հոդվածը (կատակ): Շատ դեպքերում մեղավոր է անզգուշությունը:
12 առաջադրանքները երկու տեսակի են.
- Գտեք առավելագույն / նվազագույն կետը (խնդրվում է գտնել «x» արժեքները):
- Գտեք ֆունկցիայի ամենամեծ / ամենափոքր արժեքը (խնդրեք գտնել «y» արժեքները):
Գտեք բարձր / ցածր կետը
- Սահմանեք այն զրոյի:
- Գտնվել կամ գտնվել է «x» և կլինեն նվազագույնի կամ առավելագույնի միավորները:
- Որոշեք նշանները ՝ օգտագործելով spacing մեթոդը և ընտրեք, թե որ կետն է անհրաժեշտ առաջադրանքի մեջ:
Քննության հետ կապված առաջադրանքներ.
Գտեք գործառույթի առավելագույն կետը
- Մենք վերցնում ենք ածանցյալը.
Իշտ է, նախ գործառույթը մեծանում է, հետո նվազում - սա առավելագույն կետն է:
Պատասխան. −15
Գտեք գործառույթի նվազագույն կետը
- Եկեք վերափոխենք և վերցնենք ածանցյալը.
- Գերազանց! Նախ, գործառույթը նվազում է, հետո ավելանում - սա նվազագույն կետն է:
Գտեք ֆունկցիայի ամենամեծ / ամենափոքր արժեքը
- Վերցրեք առաջարկվող գործառույթի ածանցյալը:
- Սահմանեք այն զրոյի:
- Գտնվել է «x» և կլինի նվազագույնի կամ առավելագույնի կետը:
- Որոշեք նիշերը ՝ օգտագործելով spacing մեթոդը և ընտրեք, թե որ կետն է անհրաժեշտ աշխատանքում:
- Նման առաջադրանքների ժամանակ միշտ բաց է դրվում. 3-րդ քայլում հայտնաբերված x- ները պետք է ներառվեն այս բացի մեջ:
- Ստացված առավելագույն կամ նվազագույն կետը փոխարինելով նախնական հավասարմանը, մենք ստանում ենք ֆունկցիայի ամենամեծ կամ փոքրագույն արժեքը:
Քննության հետ կապված առաջադրանքներ.
Գտեք գործառույթի ամենամեծ արժեքը հատվածի վրա [−4; −1]
Պատասխան. −6
Գտեք գործառույթի ամենամեծ արժեքը հատվածի վրա
- Ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը հավասար է «11» -ին առավելագույն կետում (այս հատվածի վրա) «0»:
Պատասխան ՝ 11
Եզրակացություններ.
- Սխալների 70% -ը կայանում է նրանում, որ տղաները չեն հիշում ՝ ինչին ի պատասխան գործառույթի ամենաբարձր / ամենացածր արժեքը պետք է գրվի «y»և շարունակվում է առավելագույն / նվազագույն կետ «x» գրի:
- Ածանցյալը լուծում չունի՞ ֆունկցիայի արժեքները գտնելիս:Կարևոր չէ, փոխարինեք բացի ծայրահեղ կետերը:
- Պատասխանը միշտ կարող է գրվել որպես թվային կամ տասնորդական կոտորակ: Ոչ Դրանից հետո նորից լուծեք օրինակը:
- Առաջադրանքների մեծ մասում կստացվի մեկ միավոր, և արդարացված կլինի առավելագույնը կամ նվազագույնը ստուգելու մեր ծուլությունը: Մենք մեկ միավոր ստացանք. Ի պատասխան կարող եք ապահով գրել:
- Եվ ահա Դուք չպետք է դա անեք, երբ գործառույթի արժեք եք փնտրում: Համոզվեք, որ դա ճիշտ կետն է, հակառակ դեպքում բացվածքի ծայրահեղ արժեքները կարող են լինել ավելի մեծ կամ փոքր:
Ֆունկցիան և դրա առանձնահատկությունների ուսումնասիրությունը զբաղեցնում են ժամանակակից մաթեմատիկայի առանցքային գլուխներից մեկը: Functionանկացած գործառույթի հիմնական բաղադրիչը գծապատկերներն են, որոնք պատկերում են ոչ միայն դրա հատկությունները, այլև այս ֆունկցիայի ածանցյալի պարամետրերը: Եկեք նայենք այս բարդ թեմային: Այսպիսով, ո՞րն է գործառույթի առավելագույն և նվազագույն միավորներ փնտրելու լավագույն միջոցը:
Ֆունկցիան. Սահմանում
Variableանկացած փոփոխական, որը ինչ-որ կերպ կախված է մեկ այլ մեծության արժեքներից, կարելի է անվանել ֆունկցիա: Օրինակ, f (x 2) ֆունկցիան քառակուսային է և որոշում է x ամբողջ բազմության արժեքները: Ասենք, որ x \u003d 9, ապա մեր ֆունկցիայի արժեքը կլինի 9 2 \u003d 81:
Ֆունկցիաները ունեն բազմազան ձևեր ՝ տրամաբանական, վեկտորային, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական, թվային և այլն: Լակրուան, Լագրանժը, Լայբնիցը և Բեռնուլին, այնպիսի կարկառուն մտքեր էին զբաղվում իրենց ուսումնասիրությամբ: Նրանց գրությունները պատվար են ծառայում գործառույթների ուսումնասիրման ժամանակակից ձևերում: Նվազագույն միավորներ գտնելուց առաջ շատ կարևոր է հասկանալ գործառույթի և դրա ածանցյալի բուն իմաստը:
Ածանցյալը և դրա դերը
Բոլոր գործառույթները կախված են դրանց փոփոխական արժեքներից, ինչը նշանակում է, որ նրանք ցանկացած պահի կարող են փոխել իրենց արժեքը: Գրաֆիկի վրա սա կպատկերվի որպես կորի, որը կամ իջնում \u200b\u200bէ, կամ բարձրանում է կոորդինատի երկայնքով (սա գծապատկերի ուղղահայացով «y» թվերի ամբողջ բազմությունն է): Այսպիսով, ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն կետերի սահմանումը պարզապես կապված է այս «տատանումների» հետ: Եկեք բացատրենք, թե ինչ է այս հարաբերությունը:
Functionանկացած ֆունկցիայի ածանցյալը գծագրվում է գծապատկերի վրա, որպեսզի ուսումնասիրի դրա հիմնական բնութագրերը և հաշվարկի, թե որքան արագ է գործառույթը փոխվում (այսինքն ՝ փոխում է դրա արժեքը ՝ կախված «x» փոփոխականից): Այն պահին, երբ ֆունկցիան ավելանում է, դրա ածանցյալի գրաֆիկը նույնպես կբարձրանա, բայց ցանկացած վայրկյան ֆունկցիան կարող է սկսել նվազել, այնուհետև ածանցյալի գրաֆիկը կնվազի: Այն կետերը, որոնցում ածանցյալը մինուս նշանից անցնում է գումարած, կոչվում են նվազագույն միավորներ: Որպեսզի իմանաք, թե ինչպես գտնել նվազագույն միավորները, պետք է ավելի լավ հասկանաք
Ինչպե՞ս հաշվեմ ածանցյալը:
Սահմանումը և գործառույթը ենթադրում են մի քանի հասկացություններ Ընդհանրապես, ածանցյալի բուն սահմանումը կարող է արտահայտվել հետևյալը. Դա արժեքն է, որը ցույց է տալիս ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը:
Շատ ուսանողների համար այն սահմանելու մաթեմատիկական եղանակը դժվար է թվում, բայց իրականում ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է: Պարզապես պետք է հետևել ցանկացած գործառույթի ածանցյալ գտնելու ստանդարտ պլանին: Ստորև նկարագրված է, թե ինչպես կարելի է գտնել գործառույթի նվազագույն կետը `առանց տարբերակման կանոնների կիրառման և առանց ածանցյալների աղյուսակը անգիր:
- Կարող եք ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկել ՝ օգտագործելով գրաֆիկ: Դա անելու համար հարկավոր է բուն ֆունկցիան պատկերել, ապա դրա վրա վերցնել մեկ կետ (նկարի Ա կետ): Ուղղահայաց գիծ քաշեք դեպի աբսցիսայի առանցքը (կետ x 0), իսկ Ա կետում շոշափեք գործառույթի գծապատկերին: Աբսիսսայի առանցքը և շոշափող գիծը կազմում են որոշակի անկյուն a. Հաշվարկելու համար, թե որքան արագ է գործառույթը մեծանում, անհրաժեշտ է հաշվարկել այս անկյան տանգենսը a.
- Ստացվում է, որ տանգենսի և x առանցքի ուղղության միջև ընկած անկյունի տանգենսը A կետով փոքր հատվածում ֆունկցիայի ածանցյալն է: Այս մեթոդը համարվում է ածանցյալը որոշելու երկրաչափական եղանակ:
Ֆունկցիաների հետազոտման մեթոդները
Մաթեմատիկայի դպրոցական ծրագրում ֆունկցիայի նվազագույն կետը հնարավոր է գտնել երկու եղանակով: Մենք արդեն վերլուծել ենք առաջին մեթոդը ՝ օգտագործելով գրաֆիկը, բայց ինչպե՞ս որոշել ածանցյալի թվային արժեքը: Դա անելու համար հարկավոր է սովորել ածանցյալի հատկությունները նկարագրող մի քանի բանաձևեր և օգնել «x» - ի նման փոփոխականները թվերի վերածել: Հետևյալ մեթոդը համընդհանուր է, ուստի այն կարող է կիրառվել գրեթե բոլոր տեսակի գործառույթների համար (և երկրաչափական, և լոգարիթմական):
- Անհրաժեշտ է ֆունկցիան հավասարեցնել ածանցյալ ֆունկցիային, ապա պարզեցնել արտահայտությունը ՝ օգտագործելով տարբերակման կանոններ:
- Որոշ դեպքերում, երբ տրվում է մի ֆունկցիա, որում «x» փոփոխականը բաժանարարի մեջ է, անհրաժեշտ է որոշել թույլատրելի արժեքների տիրույթը ՝ բացառելով դրանից «0» կետը (պարզ պատճառով, որ մաթեմատիկայում ոչ մի դեպքում չի կարելի զրոյի բաժանել):
- Դրանից հետո դուք պետք է ֆունկցիայի բնօրինակը ձևափոխեք պարզ հավասարման ՝ ամբողջ արտահայտությունը հավասարեցնելով զրոյի: Օրինակ, եթե ֆունկցիան այս տեսքն ուներ. F (x) \u003d 2x 3 + 38x, ապա ըստ տարբերակման կանոնների, դրա ածանցյալը f "(x) \u003d 3x 2 +1 է: Այնուհետև այս արտահայտությունը վերափոխում ենք հետևյալ ձևի հավասարման. 3x 2 +1 \u003d 0 ...
- Հավասարությունը լուծելուց և «x» կետերը գտնելուց հետո դրանք պետք է նկարես աբսցիսայի առանցքի վրա և որոշես ՝ նշված տարածքներում ածանցյալը դրական է, թե՞ բացասական: Նշումից հետո պարզ կդառնա, թե որ կետում է գործառույթը սկսում նվազել, այսինքն ՝ իր նշանը մինուսից դառնում է հակառակ: Այսպիսով, դուք կարող եք գտնել ինչպես նվազագույն, այնպես էլ առավելագույն միավորներ:
Տարբերակման կանոններ
Ֆունկցիայի և դրա ածանցյալի ուսումնասիրության ամենահիմնական բաղադրիչը տարբերակման կանոնների իմացությունն է: Միայն նրանց օգնությամբ է հնարավոր փոխակերպել զանգվածային արտահայտություններն ու մեծ բարդ գործառույթները: Եկեք ծանոթանանք դրանց հետ, դրանք բավականին քիչ են, բայց դրանք բոլորը շատ պարզ են `ինչպես ուժային, այնպես էլ լոգարիթմական գործառույթների բնական հատկությունների շնորհիվ:
- Constantանկացած հաստատունի ածանցյալը զրո է (f (x) \u003d 0): Այսինքն, f (x) \u003d x 5 + x - 160 ածանցյալը կստանա այս ձևը. F "(x) \u003d 5x 4 +1.
- Երկու տերմինի հանրագումարի ածանցյալ ՝ (f + w) "\u003d f" w + fw ":
- Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ. (Log a d) "\u003d d / ln a * d. Այս բանաձևը վերաբերում է բոլոր տեսակի լոգարիթմներին:
- Ածանցյալ աստիճան ՝ (x n) "\u003d n * x n-1. Օրինակ ՝ (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x:
- Սինուսոիդային ֆունկցիայի ածանցյալ. (Sin a) "\u003d cos a. Եթե a անկյան մեղքը 0,5 է, ապա դրա ածանցյալը /3 / 2 է:
Extայրահեղ միավորներ
Մենք արդեն պարզել ենք, թե ինչպես գտնել նվազագույն միավորները, բայց կա նաև ֆունկցիայի առավելագույն միավորների հասկացություն: Եթե \u200b\u200bնվազագույնը նշանակում է այն կետերը, որոնցում ֆունկցիան մինուս նշանից անցնում է գումարած, ապա առավելագույն կետերն են այն կետերը աբսցիսայի առանցքի վրա, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալը փոխվում է գումարածից հակառակ ՝ մինուս:
Դուք կարող եք գտնել վերը նկարագրված մեթոդով, պարզապես հիշեք, որ դրանք նշանակում են այն հատվածները, որոնցում գործառույթը սկսում է նվազել, այսինքն ՝ ածանցյալը զրոյից պակաս կլինի:
Մաթեմատիկայում ընդունված է ընդհանրացնել երկու հասկացությունները ՝ դրանք փոխարինելով «ծայրահեղ կետեր» արտահայտությամբ: Երբ առաջադրանքը խնդրում է որոշել այս կետերը, դա նշանակում է, որ անհրաժեշտ է հաշվարկել այս ֆունկցիայի ածանցյալը և գտնել նվազագույն և առավելագույն միավորները:
Բեռնվում է ...