Հորների սխեման ՝ աստիճանը իջեցնելով: Բազմակողմանի եղջյուրի գործոնավորում

Սովորաբար բազմանդամը ներկայացվում է որպես.

$ f (x) \u003d \\ գում \\ սահմանափակումներ_ (k \u003d 0) ^ (n) a_k x ^ k $

f (x) \u003d a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a k x k

Որտեղ ա կ սրանք իրական թվեր են, որոնք ներկայացնում են բազմանդամի և
x կ սրանք բազմանդամ փոփոխականներ են:

Վերոնշյալ բազմանդամը կոչվում է 9-րդ աստիճանի բազմանդամ, այսինքն deg (f (x)) \u003d nորտեղ ն ներկայացնում է փոփոխականի ամենաբարձր աստիճանը:

Բազմակնությունը բաժանելու համար Հորների սխեման բազմանդամի արժեքի հաշվարկը պարզեցնելու ալգորիթմ է զ (x) որոշակի արժեքով x \u003d x 0 բազմանդամը բաժանելով միաբանի (1-ին աստիճանի բազմանդամներ): Յուրաքանչյուր մոնոմ ընդգրկում է առավելագույնը մեկ բազմացման գործընթաց և մեկ լրացման գործընթաց: Մեկ մոնոմիայից ստացված արդյունքը գումարվում է հաջորդ մոնոմիայից ստացված արդյունքին և այլն `կուտակային եղանակով: Այս տրոհման գործընթացը կոչվում է նաև սինթետիկ տրոհում:

Վերոգրյալը բացատրելու համար եկեք վերաշարադրենք բազմանդամը ընդլայնված տեսքով;

f (x 0) \u003d a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 2 + ... + a n x 0 n

Այն կարող է գրվել նաև որպես.

f (x 0) \u003d a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + ... + (a n-1 + a n x 0) ....))

Այս սխեմայի առաջարկած ալգորիթմը հիմնված է վերևում կազմված մոնոմենտների արժեքները գտնելու վրա ՝ սկսած դրանցից, որոնք փակված են ավելի շատ փակագծերում և շարժվում են դեպի դուրս ՝ արտաքին փակագծերում մոնոմների արժեքները գտնելու համար:

Ալգորիթմը գործարկվում է հետևյալ քայլերին հետևելով.

1. Հաշվի առնելով k \u003d n
2. Թող b k \u003d a k
3. Թող b k - 1 \u003d a k - 1 + b k x 0
4. Թող k \u003d k - 1
5. Եթե կ ≥ 0ապա վերադառնալ քայլ 3
հակառակ դեպքում Վերջ

Այս ալգորիթմը կարող է նաև պատկերացվել գրաֆիկորեն ՝ հաշվի առնելով տրված 5-րդ աստիճանի բազմանդամը.

f (x) \u003d a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5

որի արժեքը հայտնաբերվում է որպես x \u003d x 0այն վերադասավորելով հետևյալ կերպ.

f (x 0) \u003d a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + x 0 (a 4 + a 5 x 0)))))

Արդյունքները ներկայացնելու մեկ այլ եղանակ `այս ալգորիթմի միջոցով, ստորև բերված աղյուսակի տեսքով է.

Այսպիսով, f (2) \u003d 83:

Ինչու՞ պետք է դա անենք:

Սովորաբար, գտնելով բազմանդամի արժեքները փոփոխականի որոշակի արժեքում, մենք սովոր ենք այդ արժեքը փոխարինել բազմանդամում և կատարել հաշվարկներ: Կարող ենք նաև մաթեմատիկական հաշվարկման համակարգչային ծրագիր մշակել, որը պարտադիր է բարձրագույն աստիճանի բարդ բազմանդամների հետ գործ ունենալիս:

Համակարգչի կողմից խնդրի կարգավորման ձևը մեծապես կախված է նրանից, թե դուք, որպես ծրագրավորող, այն նկարագրում եք համակարգչին: Կարող եք նախագծել ձեր ծրագիրը ՝ բազմանդամի արժեքը գտնելու համար փոփոխականի արժեքի ուղղակի փոխարինմամբ կամ օգտագործելով Հորների սխեմայում տրված սինթետիկ բաժանումը: Այս երկու մոտեցումների միակ տարբերությունն այն արագությունն է, որով համակարգիչը որոշակի գործի լուծում կգտնի:

Հորների սխեմայի առավելությունն այն է, որ այն նվազեցնում է բազմապատկումների քանակը: Հաշվի առնելով, որ յուրաքանչյուր բազմացման գործընթացի մշակման ժամանակը 5-ից 20 անգամ ավելի է, քան գումարման գործընթացի մշակման ժամանակը, կարող եք պնդել, որ Հորների սխեմայի համաձայն բազմանդամի արժեքը գտնելու համար ծրագրի կառուցումը զգալիորեն կնվազեցնի համակարգչի կողմից անցկացրած հաշվարկային ժամանակը:

Բեզուտի թեորեմը, չնայած իր ակնհայտ պարզությանը և ակնհայտությանը, բազմանդամների տեսության հիմնական թեորեմներից մեկն է: Այս թեորեմում բազմանդամների հանրահաշվական բնութագրերը (դրանք թույլ են տալիս աշխատել բազմանդամների հետ ինչպես ամբողջ թվերի հետ) կապված են դրանց ֆունկցիոնալ բնութագրերի հետ (ինչը թույլ է տալիս մեզ բազմանդամները համարել գործառույթներ):

Բեզուտի թեորեմը նշում է, որ բազմանդամը բազմանդամի վրա բաժանելու մնացորդն է.

Բազմանունի գործակիցները ստում են ինչ-որ կոմուտատիվ օղակում միասնությամբ (օրինակ, իրական կամ բարդ թվերի դաշտում):

Բեզուտի թեորեմը ապացույց է:

Մնացած մասով բազմանդամը բաժանում ենք P (x) ըստ բազմանդամի (x-a):

Հիմնվելով այն փաստի վրա, որ deg R (x)< deg (x-a) = 1 - աստիճանի բազմանդամ առավելագույնը զրո: Մենք փոխարինում ենք, քանի որ ստանում ենք .

Բայց ամենակարևորը ոչ միայն թեորեմն է, այլ Բեզուտի թեորեմի հետևյալը.

1. Թիվը բազմանդամի արմատն է P (x) եթե և միայն եթե P (x) բաժանվող երկիշխանությունների x-a.

Դրանից ելնելով ՝ բազմանդամի արմատների ամբողջությունը P (x) նույնական է համապատասխան հավասարման արմատների բազմությանը x-a.

2. Բազմանունի ազատ տերմինը բաժանվում է բազմանդամի ցանկացած ամբողջական արմատով `ամբողջ գործակիցներով (երբ առաջատար գործակիցը հավասար է մեկին, բոլոր ռացիոնալ արմատները ամբողջ թիվ են):

3. Ենթադրենք, որ դա կրճատված բազմանդամի ամբողջ արմատն է P (x) ամբողջ գործակիցների հետ: Հետևաբար, ցանկացած ամբողջ թվերի համար թիվը բաժանվում է ըստ.

Բեզաուտի թեորեմը հնարավորություն է տալիս բազմանդամի մեկ արմատ գտնելուց հետո հետագայում փնտրել բազմանդամի արմատներ, որի աստիճանն արդեն 1-ով պակաս է. Եթե, ապա տրված բազմանդամ P (x) այս տեսքը կունենար.

Բեզուտի թեորեմի օրինակները.

Գտեք բազմանդամը երկնիշով բաժանելու մնացորդը:

Բեզուտի թեորեմի լուծման օրինակներ.

Ելնելով Բեզաուտի թեորեմից ՝ ցանկալի մնացորդը համապատասխանում է կետում բազմանդամի արժեքին: Հետո մենք կգտնենք, որ սրա փոխարեն արժեքը փոխարինենք բազմանդամի արտահայտության փոխարեն: Մենք ստանում ենք.

Պատասխանել՝ մնացորդ \u003d 5:

Հորների սխեման:

Հորների սխեման հանդիսանում է բազմանդամների բաժանման (բաժանման միջոցով Հորների սխեմայով) բազմանդամների ալգորիթմ, որը գրված է որոշակի դեպքի համար, եթե գործակիցը հավասար է երկընտրանքի:

Եկեք կառուցենք այս ալգորիթմը.

Ենթադրենք, որ դա շահաբաժինն է

Մասնավոր (դրա աստիճանը հավանաբար մեկով պակաս կլինի), ռ - մնացորդ (քանի որ բաժանումն իրականացվում է բազմանդամով) 1-ին աստիճան, ապա մնացորդի աստիճանը կլինի մեկով պակաս, այսինքն. զրո, այնպես որ մնացորդը հաստատուն է):

Մնացորդով բաժանման սահմանմամբ P (x) \u003d Q (x) (x-a) + r... Բազմանիշների արտահայտությունները փոխարինելուց հետո մենք ստանում ենք.

Մենք բացում ենք փակագծերը և հավասարեցնում նույն գործակիցների գործակիցները, որից հետո բաժնետոմսի գործակիցները արտահայտում ենք շահաբաժնի և բաժանարարի գործակիցների միջոցով.

Հաշվարկները հարմար է ամփոփել հետևյալ աղյուսակում.

Դրանում ընդգծվում են այդ բջիջները, որոնց բովանդակությունը մասնակցում է հաջորդ քայլին հաշվարկներին:

Հորների սխեմայի օրինակներ.

Թող անհրաժեշտ լինի բազմանդամը բաժանել երկնիշի x-2.

Ստեղծեք երկու շարքով աղյուսակ: 1 տողում մենք դուրս ենք գրում մեր բազմանդամի գործակիցները: Երկրորդ տողում մենք կստանանք թերի գործակիցի գործակիցները ըստ հետևյալ սխեմայի. Առաջին հերթին վերաշարադրում ենք տրված բազմանդամի առաջատար գործակիցը, այնուհետև հաջորդ գործակիցը ստանալու համար բազմապատկում ենք հայտնաբերված վերջինը ա \u003d 2 և ավելացնել բազմանդամի համապատասխան գործակցով F (x)... Ամենավերջին գործակիցը կլինի մնացածը, և բոլոր նախորդները կլինեն թերի գործակիցի գործակիցները:

«Մասնագիտական \u200b\u200bմաթեմատիկայի դաստիարակ» կայքը շարունակում է դասավանդման մեթոդական հոդվածների ցիկլը: Հրապարակում եմ իմ աշխատանքի մեթոդների նկարագրությունը `դպրոցի ուսումնական ծրագրի ամենադժվար ու խնդրահարույց թեմաներով: Այս նյութը օգտակար կլինի մաթեմատիկայի ուսուցիչների և կրկնուսույցների համար, ովքեր աշխատում են 8-11-րդ դասարանների աշակերտների հետ, ինչպես կանոնավոր ծրագրի, այնպես էլ մաթեմատիկայի դասերին:

Մաթեմատիկայի դասավանդողը միշտ չէ, որ կարողանում է բացատրել այն նյութը, որը վատ է ներկայացված դասագրքում: Դժբախտաբար, այսպիսի թեմաները ավելի ու ավելի շատ են, և ձեռնարկների հեղինակներին հետևելու ընթացքում ներկայացման սխալները կատարվում են մասշտաբային մասշտաբով: Սա վերաբերում է ոչ միայն սկսնակ մաթեմատիկայի կրկնուսույցներին և կես դրույքով ուսուցիչներին (կրկնուսույցներ ՝ ուսանողներ և համալսարանական դասախոսներ), այլ նաև փորձառու ուսուցիչներ, կրկնուսույցներ ՝ մասնագետներ, փորձառու և որակավորմամբ ուսուցիչներ: Մաթեմատիկայի ոչ բոլոր դասավանդողները ունեն դպրոցական դասագրքերի կոպտության իրավասու սրբագրողի տաղանդ: Ոչ բոլորն են հասկանում նաև, որ այդ ուղղումները (կամ լրացումները) անհրաժեշտ են: Միայն քչերն են զբաղվում երեխաների կողմից դրանց որակական ընկալման համար նյութի հարմարեցմամբ: Unfortunatelyավոք, անցել է ժամանակ, երբ մաթեմատիկայի ուսուցիչները, մեթոդաբանների և հրատարակությունների հեղինակների հետ միասին, զանգվածաբար քննարկում էին դասագրքի յուրաքանչյուր տառ: Ավելի վաղ, նախքան դպրոց դասագիրք դնելը, նրանք լուրջ վերլուծություններ և ուսումնասիրություններ էին կատարում ուսման արդյունքների վերաբերյալ: Եկել է ժամանակը, երբ սիրահարները ձգտում են ձեռնարկները դարձնել համընդհանուր ՝ դրանք հարմարեցնելով ուժեղ մաթեմատիկայի դասերի չափանիշներին:

Տեղեկատվության քանակի ավելացման մրցավազքը միայն հանգեցնում է դրա յուրացման որակի անկմանը և, որպես հետեւանք, մաթեմատիկայում իրական գիտելիքների մակարդակի իջեցմանը: Բայց ոչ ոք դրան ուշադրություն չի դարձնում: Եվ մեր երեխաները ստիպված են սովորել արդեն 8-րդ դասարանում այն, ինչ մենք անցել ենք ինստիտուտում ՝ հավանականության տեսություն, բարձր աստիճանի հավասարումների լուծում և այլ բան: Գրքերում նյութի հարմարեցումը երեխայի կողմից դրա լիարժեք ընկալման համար ցանկալի է թողնում, և մաթեմատիկայի դասախոսը ստիպված է ինչ-որ կերպ պայքարել դրա հետ:

Եկեք խոսենք այնպիսի առանձնահատուկ թեմայի ուսուցման մեթոդաբանության մասին, ինչպիսին է «բազմանդամի բազմանդամի բաժանումը անկյունով», որը մեծահասակների մաթեմատիկայում ավելի հայտնի է որպես «Բեզուտի թեորեմ և Հորների սխեման»: Ընդամենը մի քանի տարի առաջ հարցը մաթեմատիկայի դասավանդողի համար այդքան սուր չէր, քանի որ այն ներառված չէր դպրոցի հիմնական ուսումնական ծրագրում: Այժմ Տելյակովսկու խմբագրությամբ դասագրքի հարգված հեղինակները փոփոխություններ են կատարել վերջին տպաքանակում, իմ կարծիքով, դասագրքում, և, վերջապես փչացնելով այն, միայն ավելորդ հոգսեր են ավելացրել դասավանդողի վրա: Մաթեմատիկայի կարգավիճակ չունեցող դպրոցների և դասարանների ուսուցիչները, կենտրոնանալով հեղինակների նորամուծությունների վրա, սկսեցին ավելի հաճախ իրենց դասերին ներառել լրացուցիչ պարբերություններ, և հետաքրքրասեր երեխաները, դիտելով իրենց մաթեմատիկայի դասագրքի գեղեցիկ էջերը, ավելի ու ավելի հաճախ հարցնում են դաստիարակին. «Ո՞րն է այս անկյունային բաժինը: Մենք սրա միջով անցնո՞ւմ ենք: Ինչպե՞ս կիսել անկյունը »: Դուք չեք կարող թաքնվել նման ուղղակի հարցերից: Դասավանդողը ստիպված կլինի ինչ-որ բան ասել երեխային:

Բայց ինչպես? Հավանաբար, ես չէի նկարագրի թեմայի հետ աշխատելու մեթոդը, եթե այն ճիշտ ներկայացվեր դասագրքերում: Ինչպե՞ս է դա մեզ մոտ անցնում: Դասագրքերը պետք է տպվեն և վաճառվեն: Եվ դրա համար անհրաժեշտ է պարբերաբար թարմացնել: Համալսարանի ուսուցիչները բողոքում են, որ երեխաները իրենց մոտ գալիս են դատարկ գլխի՞ց, առանց գիտելիքների ու հմտությունների: Մաթեմատիկայի պահանջները աճո՞ւմ են: Գերազանց! Եկեք հեռացնենք որոշ վարժություններ, փոխարենը տեղադրենք թեմաներ, որոնք դասավանդվում են այլ ծրագրերում: Ինչու՞ է մեր դասագիրքն ավելի վատ: Ներառենք մի քանի լրացուցիչ գլուխներ: Դպրոցականները չգիտե՞ն անկյունով բաժանման կանոնը: Սա տարրական մաթեմատիկա է: Անհրաժեշտ է նման պարբերությունը դարձնել ընտրովի ՝ այն վերնագրելով «նրանց համար, ովքեր ցանկանում են ավելին իմանալ»: Դաստիարակները դեմ են Ընդհանրապես ի՞նչն է մեզ հետաքրքրում դաստիարակների վրա: Արդյո՞ք մեթոդաբաններն ու դպրոցի ուսուցիչները նույնպես դեմ են: Մենք չենք բարդացնի նյութը և կդիտարկենք դրա ամենապարզ մասը:

Եվ այստեղից է սկսվում: Թեմայի պարզությունն ու դրա յուրացման որակը նախ և առաջ բաղկացած են դրա տրամաբանությունից, և ոչ այն փաստից, որ դասագրքի հեղինակների ցուցումներով կատարում են գործողությունների որոշակի շարք, որոնք միմյանց հետ կապված չեն: Հակառակ դեպքում ուսանողի գլխի մառախուղը կապահովվի: Եթե \u200b\u200bհեղինակները հույսը դնում են համեմատաբար ուժեղ ուսանողների վրա (բայց սովորում են սովորական ծրագրով), ապա չպետք է թեման ներկայացնեք թիմային ձևով: Ի՞նչ ենք տեսնում դասագրքում: Երեխաները պետք է բաժանվեն ըստ այս կանոնի: Ստացեք բազմանդամը անկյունի տակ: Այսպիսով, սկզբնական բազմանդամը գործոնավորված է: Այնուամենայնիվ, անհասկանալի է, թե ինչու են անկյունի տակ գտնվող տերմիններն ընտրվում այս եղանակով, ինչու դրանք պետք է բազմապատկվեն անկյունի վրայի բազմանդամով, ապա հանել ընթացիկ մնացած մասից: Եվ որ ամենակարևորն է, անհասկանալի է, թե ինչու պետք է վերջում ավելացվեն ընտրված մոնոմոլները, և ինչու են ստացված փակագծերը լինելու սկզբնական բազմանդամի տարրալուծումը: Competentանկացած իրավասու մաթեմատիկոս համարձակ հարցական նշան է դնելու դասագրքում տրված բացատրությունների վրա:

Ես ուսուցիչների և մաթեմատիկայի ուսուցիչների ուշադրությանն եմ ներկայացնում խնդրի իմ լուծումը, որը գործնականում ուսանողի համար ակնհայտ է դարձնում այն \u200b\u200bամենը, ինչ նշված է դասագրքում: Փաստորեն, մենք կապացուցենք Բեզուտի թեորեմը. Եթե a թիվը բազմանդամի արմատ է, ապա այս բազմանդամը կարող է քայքայվել գործոնների, որոնցից մեկը x-a է, իսկ երկրորդը ստացվել է բնօրինակից երեք եղանակով. Գծային գործոնն առանձնացնելով փոխակերպումների միջոցով, բաժանելով անկյունը, կամ ըստ Հորների սխեմայի: Այս ձևակերպմամբ է, որ մաթեմատիկայի դասավանդողի համար ավելի հեշտ կլինի աշխատել:

Ի՞նչ է դասավանդման մեթոդաբանությունը: Առաջին հերթին դա բացատրությունների և օրինակների հաջորդականության հստակ կարգն է, որի հիման վրա արվում են մաթեմատիկական եզրակացություններ: Այս թեման բացառություն չէ: Մաթեմատիկայի դասավանդողի համար շատ կարևոր է երեխային ներկայացնել Բեզուտի թեորեմը նախքան անկյունային բաժանումը կատարելը... Դա շատ կարեւոր է! Հասկացողության հասնելու լավագույն միջոցը կոնկրետ օրինակի միջոցով է: Եկեք վերցնենք ընտրված արմատով մի քանի բազմանդամ և ցույց տանք դրա ֆակտորիզացման տեխնիկան նույնական փոխակերպումների մեթոդի միջոցով, որը աշակերտին ծանոթ է 7-րդ դասարանից: Մաթեմատիկայի դասավանդողի համապատասխան ուղեկցող բացատրություններով, շեշտադրումներով և խորհուրդներով միանգամայն հնարավոր է նյութը փոխանցել առանց ընդհանուր մաթեմատիկական հաշվարկների, կամայական գործակիցների և աստիճանների:

Կարևոր խորհուրդ մաթեմատիկայի դասավանդողի համար - հետևեք հրահանգներին սկզբից մինչև վերջ և մի փոխեք այս հաջորդականությունը:

Այսպիսով, ասենք, որ մենք ունենք բազմանդամ: Եթե \u200b\u200b1 թիվը փոխարինենք նրա x- ով, ապա բազմանդամի արժեքը հավասար կլինի զրոյի: Ուստի x \u003d 1-ը դրա արմատն է: Փորձենք բաժանվել երկու տերմինի, որպեսզի դրանցից մեկը լինի գծային արտահայտության և որոշ մոնոմի արդյունք, իսկ երկրորդը մեկից պակաս աստիճան ունենա: Այսինքն ՝ մենք դա ներկայացնում ենք տեսքով

Կարմիր դաշտի համար մենք ընտրում ենք մոնոմալը այնպես, որ այն բազմապատկած առաջատար տերմինով բազմացնելիս այն ամբողջովին համընկնի սկզբնական բազմանդամի առաջատար տերմինի հետ: Եթե \u200b\u200bուսանողը ամենաթույլը չէ, ապա նա բավականին կկարողանա անվանել ցանկալի արտահայտությունը մաթեմատիկայի դասավանդողին. Պետք է անմիջապես առաջարկվի դասավանդողին այն ներդնել կարմիր դաշտի մեջ և ցույց տալ, թե ինչ կստացվի դրանց բացման ժամանակ: Այս վիրտուալ ժամանակավոր բազմանդամը լավագույնն է ստորագրել սլաքների տակ (լուսանկարի տակ) ՝ այն ընդգծելով ինչ-որ գույնով, օրինակ ՝ կապույտով: Սա կօգնի ընտրել կարմիր դաշտի տերմինը, որը կոչվում է ընտրության մնացած մասը: Խորհուրդ կտայի դասախոսներին այստեղ հստակ նշել, որ այս մնացորդը կարելի է գտնել հանումով: Կատարելով այս գործողությունը `մենք ստանում ենք.

Մաթեմատիկայի դասախոսը պետք է ուսանողի ուշադրությունը հրավիրի այն փաստի վրա, որ այս հավասարության մեջ մեկին փոխարինելով, մենք երաշխավորված կլինենք, որ նրա ձախ կողմում զրո կստանանք (քանի որ 1-ը սկզբնական բազմանդամի արմատն է), իսկ աջից, ակնհայտորեն, մենք նույնպես կզրոյացնենք առաջին կիսամյակը: Այսպիսով, առանց որևէ ստուգման, կարող ենք ասել, որ մեկը «կանաչ մնացորդի» արմատն է:

Մենք դա կանենք նույն կերպ, ինչպես որ արեցինք սկզբնական բազմանդամի հետ ՝ նրանից հանելով նույն գծային գործոնը: Մաթեմատիկայի դասավանդողը ուսանողի առջև երկու շրջանակ է նկարում և խնդրում լրացնել ձախից աջ:

Ուսանողը կրկնուսույցի համար ընտրում է կարմիր դաշտի մոնոմալը այնպես, որ բազմապատկած գծային արտահայտության առաջատար տերմինով տա ընդարձակվող բազմանդամի առաջատար տերմինը: Մենք մտնում ենք շոշափող շրջանակի մեջ, անմիջապես բացում ենք փակագիծը և կապույտ գույնով ընդգծում ենք այն արտահայտությունը, որն անհրաժեշտ է հանել ընդարձակվողից: Կատարելով այս գործողությունը, մենք ձեռք ենք բերում

Եվ, վերջապես, նույնն անելով վերջին մնացորդով

մենք վերջապես ստանում ենք

Հիմա եկեք փակագիծը հանենք արտահայտությունը և մենք կունենանք սկզբնական բազմանդամի տարրալուծումը գործոնների, որոնցից մեկը «x հանած ընտրված արմատն» է:

Որպեսզի ուսանողը չմտածի, որ վերջին «կանաչ մնացորդը» պատահաբար քայքայվել է անհրաժեշտ գործոնների մեջ, մաթեմատիկայի դասավանդողը պետք է մատնանշի բոլոր կանաչ մնացորդների կարևոր հատկությունը. Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի արմատ: 1. Քանի որ այդ մնացորդների աստիճանները նվազում են, ապա նախնականի որ աստիճանը: մեզ ոչ մի բազմանդամ չի տրվել, վաղ թե ուշ, մենք կստանանք 1 արմատով գծային «կանաչ մնացորդ», ուստի այն պետք է քայքայվի ինչ-որ թվերի և արտահայտության արտադրյալի մեջ:

Նման նախապատրաստական \u200b\u200bաշխատանքներից հետո մաթեմատիկայի դասավանդողի համար դժվար չի լինի ուսանողին բացատրել, թե ինչ է պատահում անկյուն բաժանելիս: Սա նույն գործընթացն է, միայն ավելի կարճ և կոմպակտ տեսքով, առանց հավասար նշանների և առանց նույն ընտրված տերմինների վերաշարադրման: Բազմակնությունը, որից արդյունահանվում է գծային գործոնը, գրված է անկյունի ձախ կողմում, ընտրված կարմիր մոնոմիաները հավաքվում են անկյան տակ (այժմ պարզ է դառնում, թե ինչու դրանք պետք է ավելացվեն), «կապույտ բազմանդամները» ստանալու համար «կարմիրները» պետք է բազմապատկվեն x-1-ով, ապա հանել ընտրված հոսանքից: ինչպես դա արվում է սյունակում թվերի սովորական բաժանման ժամանակ (այստեղ դա անալոգիա է ավելի վաղ ուսումնասիրվածի հետ): Արդյունքում առաջացած «կանաչ մնացորդները» ենթակա են նոր ընտրության և «կարմիր մոնոմիաների» ընտրության: Եվ այսպես, մինչեւ զրոյական «կանաչ մնացորդ» ստացվի: Ամենակարևորն այն է, որ ուսանողը հասկանա անկյունի վերևում և ներքևում գրված բազմանդամների հետագա ճակատագրի մասին: Ակնհայտ է, որ դրանք փակագծեր են, որոնց արտադրանքը հավասար է սկզբնական բազմանդամին:

Մաթեմատիկայի դասավանդողի աշխատանքի հաջորդ փուլը Բեզուտի թեորեմի ձևակերպումն է: Իրականում, դասավանդողի այս մոտեցմամբ դրա ձևակերպումը ակնհայտ է դառնում. Եթե a թիվը բազմանդամի արմատն է, ապա այն կարող է տարրալուծվել գործոնների, որոնցից մեկը, իսկ մյուսը, բնագրից ստացվում է երեք եղանակով.

• ուղղակի քայքայում (խմբավորման մեթոդին անալոգ)
• անկյունով բաժանում (սյունակում)
• Հորների սխեմայի միջոցով

Պետք է ասել, որ մաթեմատիկայի ոչ բոլոր դասավանդողներն են աշակերտներին ցույց տալիս ստանդարտ սխեմա, և ոչ բոլոր դպրոցների ուսուցիչները (բարեբախտաբար հենց դաստիարակների համար) դասասենյակում այդքան խորն են մտնում թեմայի մեջ: Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկայի դասարանի աշակերտի համար ես հիմք չեմ տեսնում կանգ առնել երկար բաժանման վրա: Ավելին, ամենահարմարն ու արագ քայքայման տեխնիկան հիմնված է հենց Հորների սխեմայի վրա: Երեխային բացատրելու համար, թե որտեղից է դա, բավական է հետագծել, օգտագործելով անկյունով բաժանման օրինակը, կանաչ մնացորդներում ավագ գործակիցների տեսքը: Պարզ է դառնում, որ նախնական բազմանդամի առաջատար գործակիցը տեղափոխվում է առաջին «կարմիր մոնոմի» գործակից, իսկ ներկայիս վերին բազմանդամի երկրորդ գործակիցից հետո հանվում է«կարմիր մենոցի» ընթացիկ գործակիցը բազմապատկելու արդյունքը. Ուստի հնարավոր է ավելացնել -ով բազմապատկելու արդյունքը: Ուսանողի ուշադրությունը գործակիցներով գործողությունների առանձնահատկությունների վրա կենտրոնացնելուց հետո մաթեմատիկայի դասախոսը կարող է ցույց տալ, թե ինչպես են սովորաբար այդ գործողությունները կատարվում ՝ առանց իրենց փոփոխականները գրանցելու: Դա անելու համար հարմար է արմատը և սկզբնական բազմանդամի գործակիցները ըստ առաջնության կարգի մուտքագրել հետևյալ աղյուսակում.

Եթե \u200b\u200bբազմանդամում որևէ աստիճան բացակայում է, ապա դրա զրոյական գործակիցը հարկադրվում է աղյուսակ: Ըստ «մանգաղի» կանոնի «կարմիր բազմանդամների» գործակիցները հատ-հատ շարվում են ներքևում.

Արմատը բազմապատկվում է վերջին հանված «կարմիր գործակիցով», ավելացվում է վերին գծի հաջորդ գործակցին և արդյունքն իջնում \u200b\u200bէ ներքևի տող: Վերջին սյունակում երաշխավորված է ստանալ վերջին «կանաչ մնացորդի» ավագ գործակիցը, այսինքն ՝ զրո: Գործընթացի ավարտից հետո համարները տեղադրված է համապատասխան արմատի և զրո մնացորդի միջև երկրորդ (ոչ գծային) գործոնի գործակիցներն են:

Քանի որ ա արմատը ներքևի տողի վերջում զրո է տալիս, Հորների սխեման կարող է օգտագործվել բազմանդամի արմատի համարները ստուգելու համար: Եթե \u200b\u200bկա ռացիոնալ արմատ ընտրելու հատուկ թեորեմ: Նրա կոչմամբ ստացված այս կոչման բոլոր թեկնածուները պարզապես մեկ առ մեկ ձախով տեղադրվում են Հորների սխեմայի մեջ: Հենց զրոն ստանանք, ստուգված թիվը արմատ կդառնա, և միևնույն ժամանակ կստանանք դրա գծի վրա սկզբնական բազմանդամի գործոնացման գործակիցները: Շատ հարմարավետ:

Ամփոփելով, ես կցանկանայի նշել, որ Հորների սխեման ճշգրիտ ներմուծելու, ինչպես նաև թեմայի գործնական համախմբման համար մաթեմատիկայի դասախոսը պետք է իր տրամադրության տակ ունենար բավարար քանակությամբ ժամեր: «Շաբաթը մեկ անգամ» ռեժիմի հետ աշխատող ուսուցիչը չպետք է բաժանումը կատարի անկյունով: Ege- ում մաթեմատիկայի և GIA- ի մաթեմատիկայում դժվար թե առաջին մասում երբևէ գտնվի նման միջոցներով լուծված երրորդ աստիճանի հավասարություն: Եթե \u200b\u200bկրկնուսույցը երեխային նախապատրաստում է Մոսկվայի պետական \u200b\u200bհամալսարանի մաթեմատիկայի քննությունից, թեմայի ուսումնասիրությունը դառնում է պարտադիր: Համալսարանի ուսուցիչները, ի տարբերություն քննություն կազմողների, շատ են սիրում ստուգել դիմորդի գիտելիքների խորությունը:

Կոլպակով Ալեքսանդր Նիկոլաևիչ, մաթեմատիկայի դաստիարակ, Մոսկվա, Ստրոգինո

Հավասարություններ և անհավասարություններ լուծելիս հաճախ անհրաժեշտ է տարբերակել բազմանդամը, որի աստիճանը երեք կամ ավելի է: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք դա անելու ամենահեշտ ձևին:

Սովորության համաձայն, եկեք օգնության համար դիմենք տեսությանը:

Բեզուտի թեորեմը նշում է, որ բազմանդամը երկնիշի բաժանելու մնացորդն է:

Բայց մեզ համար թեորեմը ոչ թե կարևոր է, այլ հետևանք դրանից.

Եթե \u200b\u200bթիվը բազմանդամի արմատ է, ապա բազմանդամը բաժանվում է երկբայականի առանց մնացորդի:

Մեր խնդիրն է ինչ-որ կերպ գտնել բազմանդամի գոնե մեկ արմատ, ապա բազմանդամը բաժանել, որտեղ է բազմանդամի արմատը: Արդյունքում, մենք ստանում ենք բազմանդամ, որի աստիճանը մեկով պակաս է բնագրի աստիճանից: Եվ ապա, անհրաժեշտության դեպքում, կարող եք կրկնել գործընթացը:

Այս առաջադրանքը երկու մասի է ընկնում. ինչպես գտնել բազմանդամի արմատը և ինչպես բազմանդամը բաժանել երկնիշի.

Եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք այս կետերին:

1. Ինչպե՞ս գտնել բազմանդամի արմատը:

Նախ ստուգում ենք ՝ արդյոք 1 և -1 թվերը բազմանդամի արմատներն են:

Այստեղ մեզ կօգնեն հետևյալ փաստերը.

Եթե \u200b\u200bբազմանդամի բոլոր գործակիցների հանրագումարը զրո է, ապա թիվը բազմանդամի արմատն է:

Օրինակ ՝ բազմանդամում գործակիցների գումարը զրո է. Հեշտ է ստուգել, \u200b\u200bթե որն է բազմանդամի արմատը:

Եթե \u200b\u200bբազմանդամի գործակիցների հանրագումարը զույգ աստիճաններով հավասար է կենտ աստիճաններով գործակիցների հանրագումարին, ապա թիվը բազմանդամի արմատն է: Ազատ ժամկետը համարվում է զույգի աստիճանի գործակից, քանի որ և զույգ թիվ է:

Օրինակ ՝ բազմանդամում գործակիցների հանրագումարը զույգ ուժերի դեպքում. Եվ գործակիցների հանրագումարը կենտ ուժերի դեպքում. Հեշտ է ստուգել, \u200b\u200bթե որն է բազմանդամի արմատը:

Եթե \u200b\u200bո՛չ 1, ո՛չ -1 բազմանդամի արմատները չեն, ապա անցեք առաջ:

Աստիճանի իջեցված բազմանդամի համար (այսինքն ՝ բազմանդամ, որի առաջատար գործակիցը ՝ գործակիցը հավասար է մեկին), վիետայի բանաձեւը վավեր է.

Որտեղ են բազմանդամի արմատները:

Կան նաև Vieta- ի բանաձևեր, որոնք վերաբերում են բազմանդամի մնացած գործակիցներին, բայց մեզ հետաքրքրում է այս մեկը:

Vieta- ի այս բանաձևից հետևում է դրան եթե բազմանդամի արմատները ամբողջ թիվ են, ապա դրանք նրա ազատ տերմինի բաժանարարներ են, որը նույնպես ամբողջ թիվ է:

Ելնելով դրանից, մենք պետք է բազմապատկենք բազմանդամի ազատ տերմինը, և հաջորդաբար ՝ փոքրից մեծ, ստուգենք, թե գործոններից որն է բազմանդամի արմատը:

Հաշվի առեք, օրինակ, բազմանդամը

Անվճար անդամ բաժանարարներ .; ; ;

Հետևաբար, բազմանդամի բոլոր գործակիցների հանրագումարը 1 թիվը բազմանդամի արմատ չէ:

Գործակիցների հանրագումարը հավասար ուժերի համար.

Գործակիցների գումարը տարօրինակ աստիճաններով.

Հետեւաբար, -1 թիվը նույնպես բազմանդամի արմատ չէ:

Եկեք ստուգենք ՝ արդյո՞ք 2 թիվը բազմանդամի արմատ է. Հետևաբար, 2 թիվը բազմանդամի արմատ է: Հետևաբար, Բեզուտի թեորեմով, բազմանդամը բաժանվում է առանց մնացորդի երկանունի:

2. Ինչպես բաժանել բազմանդամը երկանունի:

Բազմանունը սյունով կարելի է բաժանել երկանունի:

Բազմակնությունը սյունակի միջոցով բաժանում ենք երկանունի.

Բազմակնությունը երկիշխանության բաժանելու մեկ այլ եղանակ էլ կա ՝ Հորների սխեման:

Դիտեք այս տեսանյութը ՝ հասկանալու համար ինչպես բաժանել բազմանդամը երկուականով սյունով և օգտագործել Հորների սխեման:

Ուշադրություն դարձրեք, որ եթե սյունով բաժանելիս անհայտի ինչ-որ աստիճան բացակայում է սկզբնական բազմանդամում, մենք դրա տեղում գրում ենք 0, ճիշտ այնպես, ինչպես Հորների սխեմայի համար աղյուսակ կազմելիս:

Այսպիսով, եթե մեզ անհրաժեշտ է բազմանդամը բաժանել երկնիշի և բաժանման արդյունքում ստանալ բազմանդամ, ապա Horner սխեմայի միջոցով կարող ենք գտնել բազմանդամի գործակիցները.

Կարող ենք նաև օգտագործել Հորների սխեման ստուգելու համար, թե տվյալ համարը բազմանդամի արմատ է. եթե թիվը բազմանդամի արմատ է, ապա բազմանդամը բաժանելու մնացորդը հավասար է զրոյի, այսինքն ՝ Հորների սխեմայի երկրորդ շարքի վերջին սյունակում մենք ստանում ենք 0:

Օգտագործելով Հորների սխեման ՝ մենք «մեկ քարով երկու թռչուն ենք սպանում». Միաժամանակ ստուգում ենք ՝ արդյո՞ք թիվը բազմանդամի արմատ է և բաժանում ենք այս բազմանդամը երկանունի վրա:

Օրինակ. Լուծեք հավասարումը.

1. Եկեք գրենք ազատ տերմինի բաժանարարները, իսկ բազմանդամի արմատները կփնտրենք ազատ տերմինի բաժանարարների մեջ:

24-ի բաժանարարներ.

2. Ստուգեք ՝ արդյոք 1 թիվը բազմանդամի արմատ է:

Հետևաբար, բազմանդամի գործակիցների հանրագումարը, 1 թիվը բազմանդամի արմատն է:

3. Բնօրինակ բազմանդամը բաժանեք երկանունների ՝ օգտագործելով Հորների սխեման:

Ա) Աղյուսակի առաջին շարքում գրենք սկզբնական բազմանդամի գործակիցները:

Քանի որ պարունակող անդամը բացակայում է, աղյուսակի սյունակում, որի գործակիցը պետք է լինի, գրիր 0. Ձախ կողմում գրի՛ր գտած արմատը ՝ թիվ 1:

Բ) Մենք լրացնում ենք աղյուսակի առաջին շարքը:

Վերջին սյունակում, ինչպես սպասվում էր, մենք ստացանք զրո, մենք սկզբնական բազմանդամը բաժանեցինք երկդիմի ՝ առանց մնացորդի: Բաժանման արդյունքում առաջացող բազմանդամի գործակիցները աղյուսակի երկրորդ շարքում ցույց են տրված կապույտով.

Հեշտ է ստուգել, \u200b\u200bոր 1 և -1 թվերը բազմանդամի արմատները չեն

Գ) Եկեք շարունակենք աղյուսակը: Եկեք ստուգենք, թե արդյոք 2 թիվը բազմանդամի արմատ է.

Այսպիսով, բազմանդամի աստիճանը, որը ստացվում է մեկի բաժանման արդյունքում, պակաս է, քան սկզբնական բազմանդամի աստիճանը, ուստի գործակիցների քանակը և սյունակների քանակը մեկով պակաս է:

Վերջին սյունակում մենք ստացանք -40 - թիվ, որը հավասար չէ զրոյի, հետևաբար, բազմանդամը բաժանվում է մնացորդով երկուականի, իսկ թիվ 2-ը բազմանդամի արմատ չէ:

Գ) Ստուգեք, թե -2 թիվը բազմանդամի արմատ է: Քանի որ նախորդ փորձը չկարողացավ խուսափել գործակիցների հետ շփոթությունից, ես կջնջեմ այս փորձին համապատասխան տողը.

Գերազանց! Մնացորդում մենք զրո ստացանք, հետեւաբար, բազմանդամը բաժանվեց բինոմի ՝ առանց մնացորդի, հետեւաբար, -2 թիվը բազմանդամի արմատն է: Բազմանունի գործակիցները, որոնք ստացվում են բազմանդամը երկբայակի վրա բաժանելով, աղյուսակում ցույց են տրված կանաչով:

Բաժանման արդյունքում մենք ստացանք քառակուսի եռանուն , որի արմատները հեշտությամբ հայտնաբերվում են Վիետայի թեորեմում.

Այսպիսով, բուն հավասարման արմատները.

{}

Պատասխան. }

Սլայդ 3

Հորներ Ուիլյամս Georgeորջը (1786-22.9.1837) անգլիացի մաթեմատիկոս էր: Ristնվել է Բրիստոլում: Նա սովորել և աշխատել է այնտեղ, այնուհետև Բաթի դպրոցներում: Հիմնական աշխատանքները հանրահաշվի վրա: 1819-ին: հրատարակել է բազմանդամի իրական արմատների մոտավոր հաշվարկման մեթոդ, որն այժմ անվանում են Ռուֆինի-Հորներ մեթոդ (այս մեթոդը չինացիներին հայտնի էր դեռ 13-րդ դարում): Հորների անունը բազմանդամը binom- ի x-a- ի բաժանելու սխեմա է:

Սլայդ 4

ԳՈՐՆԵՐԻ ՍԽԱՄԱ

9-րդ աստիճանի բազմանդամի գծային երկիշխանությունների բաժանման մեթոդ `a, հիմնված այն փաստի վրա, որ թերի գործակիցի և մնացած r գործակիցները կապված են բաժանվող բազմանդամի գործակիցների հետ և a- ի բանաձևերով.

Սլայդ 5

Հորների սխեմայի համաձայն հաշվարկները տեղադրվում են աղյուսակում.

Օրինակ 1. Բաժանել Թերի գործակիցը x3-x2 + 3x - 13 է, իսկ մնացած մասը ՝ 42 \u003d f (-3):

Սլայդ 6

Այս մեթոդի հիմնական առավելությունը կոմպակտությունն է և բազմանդամը երկիշխանության արագ բաժանելու ունակությունը: Իրականում, Հորների սխեման խմբագրման մեթոդի համար նշագրման մեկ այլ ձև է, չնայած, ի տարբերություն վերջինիս, այն լիովին սիրված է: Պատասխանը (ֆակտորիզացումը) այստեղ ստացվում է ինքնին, և մենք չենք տեսնում այն \u200b\u200bստանալու գործընթաց: Մենք չենք զբաղվելու Հորների սխեմայի խստորեն հիմնավորմամբ, այլ միայն ցույց կտանք, թե ինչպես է այն գործում:

Սլայդ 7

Օրինակ 2.

Եկեք ապացուցենք, որ P (x) \u003d x4-6x3 + 7x-392 բազմանդամը բաժանվում է x-7-ի, և գտնենք բաժանման գործակիցը: Որոշում: Օգտագործելով Հորների սխեման, մենք գտնում ենք P (7). Այսպիսով, մենք ստանում ենք P (7) \u003d 0, այսինքն. մնացորդը, երբ բազմանդամը x-7- ի բաժանելիս հավասար է զրոյի, և, հետևաբար, P (x) բազմանդամը (x-7) -ի բազմապատիկ է: Ավելին, աղյուսակի երկրորդ շարքում թվերը P (x) - ի (x-7) բաժանման գործակիցն է, ուստի P (x) \u003d (x-7) (x3 + x2 + 7x + 56):

Սլայդ 8

Գործոն ՝ բազմանդամ x3 - 5x2 - 2x + 16:

Այս բազմանդամն ունի ամբողջ գործակիցներ: Եթե \u200b\u200bամբողջ թիվը այս բազմանդամի արմատն է, ապա այն 16-ի բաժանարար է: Այսպիսով, եթե տվյալ բազմանդամն ունի ամբողջ թվերի արմատներ, ապա այն կարող է լինել միայն ± 1; ± 2; ± 4; ± 8; 16 ֆունտ Ուղղակի ստուգմամբ մենք համոզվում ենք, որ 2 թիվը այս բազմանդամի արմատն է, այսինքն x3 - 5x2 - 2x + 16 \u003d (x - 2) Q (x), որտեղ Q (x) երկրորդ աստիճանի բազմանդամ է

Սլայդ 9

Արդյունքում ստացված 1, −3, −8 թվերը բազմանդամի գործակիցներն են, որոնք ձեռք են բերվում սկզբնական բազմանդամը x - 2. բաժանելու միջոցով: Հետևաբար, բաժանման արդյունքը. 1 · x2 + (–3) x + (–8) \u003d x2 - 3x - 8: Բաժանման արդյունքում առաջացող բազմանդամի աստիճանը միշտ 1-ով պակաս է բնագրի աստիճանից: Այսպիսով ՝ x3 - 5x2 - 2x + 16 \u003d (x - 2) (x2 - 3x - 8):