Kruh, jeho časti, ich veľkosti a proporcie sú veci, s ktorými sa klenotník neustále stretáva. Prstene, náramky, kasty, fajky, gule, špirály – treba urobiť veľa okrúhlych vecí. Ako to všetko môžete vypočítať, najmä ak ste mali to šťastie, že ste v škole vynechali hodiny geometrie? ..
Najprv sa pozrime, aké časti kruhu majú a ako sa nazývajú.
- Kruh je čiara, ktorá obklopuje kruh.
- Oblúk je súčasťou kruhu.
- Polomer je úsečka spájajúca stred kruhu s ktorýmkoľvek bodom na kruhu.
- Tetiva je úsečka spájajúca dva body kružnice.
- Úsečka je časť kružnice ohraničená tetivou a oblúkom.
- Sektor je časť kruhu ohraničená dvoma polomermi a oblúkom.
Množstvá, ktoré nás zaujímajú, a ich označenia:
Teraz sa pozrime, aké úlohy súvisiace s časťami kruhu je potrebné vyriešiť.
- Nájdite dĺžku zametania ktorejkoľvek časti prsteňa (náramku). Vzhľadom na priemer a tetivu (možnosť: priemer a stredový uhol) nájdite dĺžku oblúka.
- Na rovine je kresba, jej veľkosť si treba zistiť v projekcii po ohnutí do oblúka. Vzhľadom na dĺžku a priemer oblúka nájdite dĺžku tetivy.
- Zistite výšku dielu získaného ohýbaním plochého obrobku do oblúka. Možnosti vstupných údajov: dĺžka a priemer oblúka, dĺžka oblúka a tetiva; nájdite výšku segmentu.
Život vám povie ďalšie príklady a ja som ich uviedol len preto, aby som ukázal, že je potrebné nastaviť nejaké dva parametre, aby ste našli všetky ostatné. Toto je to, čo budeme robiť. Konkrétne vezmeme päť parametrov segmentu: D, L, X, φ a H. Potom, keď z nich vyberieme všetky možné dvojice, budeme ich považovať za počiatočné údaje a pomocou brainstormingu nájdeme všetky ostatné.
Aby som čitateľa zbytočne nezaťažoval, nebudem uvádzať podrobné riešenia, ale výsledky uvediem len vo forme vzorcov (tie prípady, kde nie je formálne riešenie, upresním na ceste).
A ešte jedna poznámka: o jednotkách merania. Všetky veličiny, okrem stredového uhla, sa merajú v rovnakých abstraktných jednotkách. To znamená, že ak napríklad zadáte jednu hodnotu v milimetroch, druhú nie je potrebné zadať v centimetroch a výsledné hodnoty sa budú merať v rovnakých milimetroch (a plocha - v milimetroch štvorcových). To isté možno povedať o palcoch, stopách a námorných míľach.
A iba stredový uhol sa vo všetkých prípadoch meria v stupňoch a v ničom inom. Pretože, ako ukazuje prax, ľudia, ktorí navrhujú niečo okrúhle, nemajú sklon merať uhly v radiánoch. Fráza „uhol pí o štyri“ mnohých mätie, zatiaľ čo „uhol štyridsaťpäť stupňov“ je zrozumiteľný pre každého, pretože je len o päť stupňov vyšší ako normálne. Vo všetkých vzorcoch však bude ako medzihodnota prítomný ešte jeden uhol - α. Z hľadiska významu je to polovica stredového uhla, meraná v radiánoch, ale do tohto významu sa nemôžete ponoriť.
1. Vzhľadom na priemer D a dĺžku oblúka L
; dĺžka akordu 
;
výška segmentu 
; stredový roh 
.
2. Vzhľadom na priemer D a dĺžku tetivy X
; dĺžka oblúka;
výška segmentu ; stredový roh 
.
Keďže akord rozdeľuje kruh na dva segmenty, tento problém nemá jedno, ale dve riešenia. Ak chcete získať druhý, musíte nahradiť uhol α uhlom vo vyššie uvedených vzorcoch.
3. Daný priemer D a stredový uhol φ
; dĺžka oblúka;
dĺžka akordu ; výška segmentu .
4. Vzhľadom na priemer D a výšku segmentu H
; dĺžka oblúka;
dĺžka akordu ; stredový roh .
6. Daná dĺžka oblúka L a stredový uhol φ
; priemer;
dĺžka akordu ; výška segmentu .
8. Vzhľadom na dĺžku tetivy X a stredový uhol φ
; dĺžka oblúka 
;
priemer; výška segmentu .
9. Vzhľadom na dĺžku tetivy X a výšku segmentu H
; dĺžka oblúka ;
priemer; stredový roh .
10. Vzhľadom na stredový uhol φ a výšku segmentu H
; priemer 
;
dĺžka oblúka; dĺžka akordu .
Pozorný čitateľ si nemohol nevšimnúť, že mi unikli dve možnosti:
5. Vzhľadom na dĺžku oblúka L a dĺžku tetivy X
7. Vzhľadom na dĺžku oblúka L a výšku segmentu H
To sú práve tie dva nepríjemné prípady, keď úloha nemá riešenie, ktoré by sa dalo napísať vo forme vzorca. A úloha nie je taká zriedkavá. Predpokladajme napríklad, že máte plochý materiál dĺžky L a chcete ho ohnúť tak, aby sa jeho dĺžka zmenila na X (alebo výška na H). Aký je priemer tŕňa (závory)?
Táto úloha je zredukovaná na riešenie rovníc: 
; - v možnosti 5
; - v možnosti 7
a hoci nie sú riešené analyticky, dajú sa ľahko vyriešiť programovo. A dokonca viem, kde takýto program získať: na tejto stránke pod názvom. Všetko, o čom som tu dlho, ona robí v mikrosekundách.
Pre úplnosť pridajme k výsledkom našich výpočtov obvod a tri hodnoty plochy - kruh, sektor a segment. (Plochy nám veľmi pomôžu pri výpočte hmotnosti akýchkoľvek okrúhlych a polkruhových častí, ale o tom v samostatnom článku.) Všetky tieto hodnoty sa vypočítavajú pomocou rovnakých vzorcov:
obvod ;
oblasť kruhu 
;
sektorová oblasť 
;
oblasť segmentu 
;
A na záver mi dovoľte, aby som vám ešte raz pripomenul existenciu úplne bezplatného programu, ktorý vykonáva všetky vyššie uvedené výpočty, čím vás zbaví potreby pamätať si, čo je arkustangens a kde ho hľadať.
Definovanie segmentu kruhu
Segment je geometrický útvar, ktorý sa získa odrezaním časti kruhu tetivou.
Online kalkulačka
Tento obrazec sa nachádza medzi tetivou a oblúkom kruhu.
ChordIde o úsečku, ktorá leží vo vnútri kruhu a spája na ňom dva náhodne vybrané body.
Pri odrezaní časti kruhu pomocou tetivy možno zvážiť dve postavy: toto je náš segment a rovnoramenný trojuholník, ktorého strany sú polomery kruhu.
Plochu segmentu možno nájsť ako rozdiel medzi oblasťami sektora kruhu a tohto rovnoramenného trojuholníka.
Oblasť segmentu možno nájsť niekoľkými spôsobmi. Poďme sa im venovať podrobnejšie.
Vzorec pre oblasť segmentu kruhu z hľadiska polomeru a dĺžky oblúka kruhu, výšky a základne trojuholníka
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s - 1 2 ⋅ h ⋅ a S = \ frac (1) (2) \ cdot R \ cdot s- \ frac (1) (2) \ cdot h \ cdot aS =2 1 ⋅ R ⋅s -2 1 ⋅ h ⋅a
R R R- polomer kruhu;
s s s- dĺžka oblúka;
h h h- výška rovnoramenného trojuholníka;
a a a je dĺžka základne tohto trojuholníka.
Je daný kruh, jeho polomer je číselne rovný 5 (pozri), výška, ktorá je nakreslená k základni trojuholníka, sa rovná 2 (pozri), dĺžka oblúka je 10 (pozri). Nájdite oblasť segmentu kruhu.
Riešenie
R = 5 R = 5 R =5
h = 2 h = 2 h =2
s = 10 s = 10 s =1
0
Na výpočet plochy nám chýba už len základňa trojuholníka. Nájdeme to podľa vzorca:
A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R - h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 - 2) = 8 a = 2 \ cdot \ sqrt (h \ cdot (2 \ cdot Rh)) = 2 \ cdot \ sqrt (2 \ cdot (2 \ cdot 5-2)) = 8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R - h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) = 8
Teraz môžeme vypočítať plochu segmentu:
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s - 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 - 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S = \ frac (1) (2) \ cdot R \ cdot s- \ frac (1) (2) \ cdot h \ cdot a = \ frac (1) (2) \ cdot 5 \ cdot 10- \ frac (1) (2) \ cdot 2 \ cdot 8 = 17S =2 1 ⋅ R ⋅s -2 1 ⋅ h ⋅a =2 1 ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (pozri námestie)
odpoveď: 17 cm, štvorcových
Vzorec pre oblasť segmentu kruhu polomerom kruhu a stredovým uhlom
S = R 2 2 ⋅ (α - sin (α)) S = \ frac (R ^ 2) (2) \ cdot (\ alpha- \ sin (\ alpha))S =2 R 2 ⋅ (α − hriech (α))
R R R- polomer kruhu;
α \ alfa α
- stredový uhol medzi dvoma polomermi, pretínajúci tetivu, merané v radiánoch.
Nájdite oblasť segmentu kruhu, ak je polomer kruhu 7 (pozri) a stredový uhol je 30 stupňov.
Riešenie
R = 7 R = 7 R =7
α = 3 0 ∘ \ alfa = 30 ^ (\ circ)α
=
3
0
∘
Najprv prevedieme uhol v stupňoch na radiány. Pokiaľ ide o π \ pi π
radián sa rovná 180 stupňom, potom:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30 ^ (\ circ) = 30 ^ (\ circ) \ cdot \ frac (\ pi) (180 ^ (\ circ)) = \ frac (\ pi ) (6)3
0
∘
=
3
0
∘
⋅
1
8
0
∘
π
=
6
π
radián. Potom je oblasť segmentu:
S = R 2 2 ⋅ (α - sin (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 - sin (π 6)) ≈ 0,57 S = \ frac (R ^ 2) (2) \ cdot (\ alfa- \ sin (\ alpha)) = \ frac (49) (2) \ cdot \ Veľký (\ frac (\ pi) (6) - \ sin \ Veľký (\ frac (\ pi) (6) \ Veľký) \ Veľký ) \ približne 0,57S =2 R 2 ⋅ (α − hriech (α)) =2 4 9 ⋅ ( 6 π − hriech ( 6 π ) ) ≈ 0 . 5 7 (pozri námestie)
odpoveď: 0,57 cm.
- 01.10.2018
Na základe wi-fi modulu NodeMcu v3 s čipom ESP8266 (ESP-12e) si vyrobíte (napríklad) teplomer na digitálnom snímači 18B20, informácie o teplote pomocou požiadavky GET budú odoslané do databázy MySQL. Ďalší náčrt umožňuje posielať požiadavky GET na zadanú stránku, v mojom prípade je to test.php. #include
#include … - 22.09.2014
Automatický stacionárny stmievač riadený fotorezistorom R7 je určený pre prevádzku v náročných podmienkach chladného a mierne chladného podnebia pri teplote okolia -25 až +45°C, relatívnej vlhkosti vzduchu do 85% pri teplote +20°C. a atmosférický tlak v rozmedzí 200 ... 900 mm Hg. Stmievač slúži na reguláciu osvetlenia jednotlivých ...
- 25.09.2014
Aby nedošlo k poškodeniu elektroinštalácie počas opravy, je potrebné použiť zariadenie na detekciu skrytého zapojenia. Prístroj detekuje nielen miesto skrytej kabeláže, ale aj miesto poškodenia skrytej elektroinštalácie. Zariadenie je audiofrekvenčný zosilňovač, v prvom stupni je na zvýšenie vstupnej impedancie použitý tranzistor s efektom poľa. V druhej fáze operačného zosilňovača. Senzor -...
- 03.10.2014
Navrhované zariadenie stabilizuje napätie do 24V a prúd do 2A s ochranou proti skratu. V prípade nestabilného štartu stabilizátora treba použiť synchronizáciu z autonómneho generátora impulzov Obr. 2. Obvod stabilizátora je znázornený na obr. Na VT1 VT2 je namontovaný spúšť Schmitt, ktorý riadi výkonný regulačný tranzistor VT3. Podrobnosti: VT3 je vybavený chladičom ...
Matematická hodnota oblasti je známa už od starovekého Grécka. Už v tých vzdialených časoch Gréci zistili, že oblasť je súvislá časť povrchu, ktorá je zo všetkých strán ohraničená uzavretým obrysom. Je to číselná hodnota, ktorá sa meria v štvorcových jednotkách. Plocha je číselnou charakteristikou plochých geometrických útvarov (planimetrických) a povrchov telies v priestore (objemových).
V súčasnosti sa nachádza nielen v školských osnovách na hodinách geometrie a matematiky, ale aj v astronómii, každodennom živote, v stavebníctve, pri vývoji dizajnu, vo výrobe a u mnohých ďalších ľudí. Veľmi často sa pri zdobení krajinnej oblasti alebo pri renovácii ultramoderného dizajnu miestnosti uchyľujeme k výpočtu plôch segmentov na osobnom pozemku. Preto znalosť metód na výpočet oblasti rôznych bude užitočná vždy a všade.
Ak chcete vypočítať plochu kruhového segmentu a segmentu gule, musíte pochopiť geometrické pojmy, ktoré budú potrebné vo výpočtovom procese.
Po prvé, segment kruhu je fragmentom plochého tvaru kruhu, ktorý sa nachádza medzi oblúkom kruhu a tetivou, ktorá ho oddeľuje. Tento pojem by sa nemal zamieňať s údajom o sektore. To sú úplne iné veci.
Tetiva je segment, ktorý spája dva body ležiace na kruhu.
Stredový uhol je vytvorený medzi dvoma úsečkami - polomermi. Meria sa v stupňoch podľa oblúka, na ktorom spočíva.
Segment gule sa vytvorí, keď je časť odrezaná ľubovoľnou rovinou. V tomto prípade je základňou guľového segmentu kruh a jeho výška je kolmica, ktorá vedie od stredu kruhu k priesečníku s povrchom. sféry. Tento priesečník sa nazýva vrchol segmentu gule.
Aby ste mohli určiť plochu segmentu gule, musíte poznať orezaný kruh a výšku guľového segmentu. Súčinom týchto dvoch zložiek bude plocha segmentu gule: S = 2πRh, kde h je výška segmentu, 2πR je obvod a R je polomer veľkého kruhu.
Na výpočet plochy segmentu kruhu sa môžete uchýliť k nasledujúcim vzorcom:
1. Ak chcete najjednoduchším spôsobom nájsť oblasť segmentu, musíte vypočítať rozdiel medzi oblasťou sektora, v ktorom je segment vpísaný, a ktorého základňou je tetiva segmentu: S1 = S2-S3, kde S1 je plocha segmentu, S2 je plocha sektora a S3 je plocha trojuholníka.
Na výpočet plochy kruhového segmentu môžete použiť približný vzorec: S = 2/3 * (a * h), kde a je základňa trojuholníka alebo h je výška segmentu, čo je výsledok rozdielu medzi polomerom kruhu a
2. Plocha segmentu iného ako polkruh sa vypočíta takto: S = (π R2: 360) * α ± S3, kde π R2 je plocha kruhu, α je miera stredového uhla, ktorý obsahuje oblúk segmentu kruhu, S3 je plocha trojuholníka vytvoreného medzi dvoma polomermi kruhu a tetivu, ktorá má uhol v stredovom bode kruhu a dva vrcholy, kde sa polomery stretávajú s kruhom.
Ak je uhol α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 stupňov, platí znamienko plus.
3. Plochu segmentu môžete vypočítať pomocou iných metód pomocou trigonometrie. Ako základ sa spravidla berie trojuholník. Ak sa stredový uhol meria v stupňoch, potom je prijateľný nasledujúci vzorec: S = R2 * (π * (α / 180) - sin α) / 2, kde R2 je druhá mocnina polomeru kruhu, α je miera stupňa stredového uhla.
4. Na výpočet plochy segmentu pomocou goniometrických funkcií môžete použiť iný vzorec za predpokladu, že stredový uhol sa meria v radiánoch: S = R2 * (α - sin α) / 2, kde R2 je druhá mocnina polomer kruhu, α je miera stredného rohu.
Spočiatku to vyzerá takto:
Obrázok 463.1... a) existujúci oblúk, b) určenie dĺžky tetivy segmentu a výšky.
Keď teda vznikne oblúk, môžeme spojiť jeho konce a získať tetivu dĺžky L. V strede tetivy môžeme nakresliť čiaru kolmú na tetivu a tak získať výšku segmentu H. Teraz, keď vieme dĺžku tetivy a výšku segmentu môžeme najskôr určiť stredový uhol α, t.j. uhol medzi polomermi nakreslenými od začiatku a konca segmentu (nezobrazené na obrázku 463.1) a potom polomer kružnice.
Riešenie takéhoto problému bolo dostatočne podrobne zvážené v článku „Výpočet oblúkového prekladu“, takže tu uvediem iba základné vzorce:
tg ( a/4) = 2H/L (278.1.2)
a/ 4 = arctg ( 2H / L)
R = H/ (1 - cos ( a/2)) (278.1.3)
Ako vidíte, z hľadiska matematiky nie sú problémy s určením polomeru kruhu. Táto metóda umožňuje určiť hodnotu polomeru oblúka s akoukoľvek možnou presnosťou. Toto je hlavná výhoda tejto metódy.
Teraz si povedzme o nevýhodách.
Problém tejto metódy nie je ani v tom, že je potrebné zapamätať si vzorce zo školského kurzu geometrie, na ktoré sa pred mnohými rokmi úspešne zabudlo – na pripomenutie si vzorcov – existuje internet. A tu je kalkulačka s funkciou arctg, arcsin atď. nie každý užívateľ to má. A hoci tento problém úspešne rieši aj internet, netreba zabúdať, že riešime dosť aplikovaný problém. Tie. ani zďaleka nie vždy je potrebné určiť polomer kružnice s presnosťou 0,0001 mm, celkom prijateľná môže byť aj presnosť 1 mm.
Okrem toho, aby ste našli stred kruhu, musíte predĺžiť výšku segmentu a odložiť na túto čiaru vzdialenosť rovnajúcu sa polomeru. Keďže v praxi máme do činenia s nie ideálnymi meracími prístrojmi, treba k tomu prirátať možnú chybu pri označovaní, ukazuje sa, že čím menšia je výška segmentu v pomere k dĺžke tetivy, tým väčšia chyba môže nastať pri určovaní stredu. oblúka.
Opäť netreba zabúdať, že neuvažujeme o ideálnom prípade, t.j. To je to, čo sme nazvali krivkou oblúk priamo z pálky. V skutočnosti to môže byť krivka opísaná pomerne zložitým matematickým vzťahom. Preto sa polomer a stred takto nájdeného kruhu nemusia zhodovať so skutočným stredom.
V tejto súvislosti chcem navrhnúť iný spôsob určenia polomeru kruhu, ktorý sám často používam, pretože táto metóda je oveľa rýchlejšia a jednoduchšia na určenie polomeru kruhu, hoci presnosť je oveľa menšia.
Druhá metóda na určenie polomeru oblúka (metóda postupných aproximácií)
Pokračujme teda v úvahách o súčasnej situácii.
Keďže ešte potrebujeme nájsť stred kružnice, najprv nakreslíme aspoň dva oblúky ľubovoľného polomeru z bodov zodpovedajúcich začiatku a koncu oblúka. Cez priesečník týchto oblúkov bude prechádzať priamka, na ktorej je umiestnený stred požadovaného kruhu.
Teraz musíme spojiť priesečník oblúkov so stredom tetivy. Ak však nakreslíme z naznačených bodov nie jeden oblúk, ale dva, tak táto čiara bude prechádzať priesečníkom týchto oblúkov a potom nie je vôbec potrebné hľadať stred tetivy.
Ak je vzdialenosť od priesečníka oblúkov po začiatok alebo koniec uvažovaného oblúka väčšia ako vzdialenosť od priesečníka oblúkov po bod zodpovedajúci výške segmentu, potom je stred uvažovaného oblúka umiestnený nižšie. na priamke vedenej cez priesečník oblúkov a stred tetivy. Ak je menej, potom je hľadaný stred oblúka vyššie na priamke.
Na základe toho sa vyberie ďalší bod na priamke, pravdepodobne zodpovedajúci stredu oblúka, a z neho sa vykonajú rovnaké merania. Potom sa vykoná ďalší bod a merania sa zopakujú. S každým novým bodom bude rozdiel v meraniach menší a menší.
To je všetko. Napriek takémuto zdĺhavému a zložitému popisu stačia 1-2 minúty na to, aby ste takto určili polomer oblúka s presnosťou na 1 mm.
Teoreticky to vyzerá asi takto:
Obrázok 463.2... Určenie stredu oblúka metódou postupných aproximácií.
Ale v praxi asi takto:
Fotografia 463.1... Označenie obrobku zložitého tvaru s rôznymi polomermi.
Tu len dodám, že niekedy musíte nájsť a nakresliť niekoľko polomerov, pretože na fotografii je toho veľa pomiešané.
Načítava ...