numerele în formă trigonometrică.
Formula Moivre
Fie z 1 \u003d r 1 (cos 1 + isin 1) și z 2 \u003d r 2 (cos 2 + isin 2).
Forma trigonometrică de notație pentru un număr complex este convenabilă de a utiliza pentru a efectua operațiile de multiplicare, împărțire, creștere la o putere întreagă și extragerea rădăcinii puterii n.
z 1 ∙ z 2 \u003d r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin ( 1 + 2)).
La înmulțirea a două numere complexe în formă trigonometrică, modulele lor sunt multiplicate și argumentele lor sunt adăugate. La divizare modulele lor sunt împărțite și argumentele sunt scăzute.
Consecința regulii pentru înmulțirea unui număr complex este regula pentru ridicarea unui număr complex la o putere.
z \u003d r (cos + i sin ).
z n \u003d r n (cos n + isin n).
Acest raport se numește după formula Moivre.
Exemplul 8.1 Găsiți produsul și coeficientul:
și 
Decizie
z 1 ∙ z 2 
∙
=
;
Exemplul 8.2 Scrieți un număr în formă trigonometrică
∙
–I) 7.
Decizie
Denotăm 
și z 2 \u003d 
- eu.
r 1 \u003d | z 1 | \u003d √ 1 2 + 1 2 \u003d √ 2; 1 \u003d arg z 1 \u003d arctan 
;
z 1 \u003d 
;
r 2 \u003d | z 2 | \u003d √ (√ 3) 2 + (- 1) 2 \u003d 2; 2 \u003d arg z 2 \u003d arctan 
;
z 2 \u003d 2 
;
z 1 5 \u003d ( 
) 5 
; z 2 7 \u003d 2 7 
z \u003d ( 
) 5 2 7 
=
2 9 
§ 9 Extragerea unei rădăcini dintr-un număr complex
Definiție. Rădăcinăn-a puterea unui număr complex z (denotați 
) este un număr complex w astfel încât w n \u003d z. Dacă z \u003d 0, atunci 
= 0.
Fie z 0, z \u003d r (cos + isin). Notăm w \u003d (cos + sin), atunci ecuația w n \u003d z poate fi scrisă în următoarea formă
n (cos (n ) + isin (n )) \u003d r (cos + isin).
Prin urmare, n \u003d r,
=
Astfel, w k \u003d 
·
.
Există exact n valori diferite între aceste valori.
Prin urmare, k \u003d 0, 1, 2, ..., n - 1.
Pe planul complex, aceste puncte sunt vârfurile unui n-gon regulat înscris într-un cerc cu o rază 
centrat în punctul O (Figura 12).
Figura 12
Exemplul 9.1Găsiți toate valorile 
.
Decizie.
Să reprezentăm acest număr în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și argumentul.
w k \u003d 
, unde k \u003d 0, 1, 2, 3.
w 0 \u003d 
.
w 1 \u003d 
.
w 2 \u003d 
.
w 3 \u003d 
.
Pe planul complex, aceste puncte sunt vârfurile unui pătrat înscris într-un cerc cu o rază 
centrat la origine (Figura 13).
Imaginea 13 Imaginea 14
Exemplul 9.2Găsiți toate valorile 
.
Decizie.
z \u003d - 64 \u003d 64 (cos + isin);
w k \u003d 
, unde k \u003d 0, 1, 2, 3, 4, 5.
w 0 \u003d 
; w 1 \u003d 
;
w 2 \u003d 
w 3 \u003d 
w 4 \u003d 
; w 5 \u003d 
.
Pe planul complex, aceste puncte sunt vârfurile unui hexagon regulat înscris într-un cerc de rază 2 centrat în punctul O (0; 0) - Figura 14.
§ 10 Forma exponențială a unui număr complex.
Formula lui Euler
Denotăm 
\u003d cos + isin și 
\u003d cos - isin . Aceste relații sunt numite formulele lui Euler .
Funcţie 
posedă proprietățile obișnuite ale funcției exponențiale:
Să se scrie numărul complex z în forma trigonometrică z \u003d r (cos + isin).
Folosind formula lui Euler, puteți scrie:
z \u003d r 
.
Această intrare se numește exemplar număr complex. Folosindu-l, obținem regulile pentru multiplicare, divizare, exponențiere și extracție de rădăcină.
Dacă z 1 \u003d r 1 
și z 2 \u003d r 2 
atunci
z 1 z 2 \u003d r 1 r 2 
;
·
z n \u003d r n 
, unde k \u003d 0, 1, ..., n - 1.
Exemplul 10.1 Scrieți un număr sub formă algebrică
z \u003d 
.
Decizie.
Exemplul 10.2Rezolvați ecuația z 2 + (4 - 3i) z + 4 - 6i \u003d 0.
Decizie.
Pentru orice coeficienți complecși, această ecuație are două rădăcini z 1 și z 1 (posibil coincidente). Aceste rădăcini pot fi găsite folosind aceeași formulă ca în cazul real. pentru că 
ia două valori care diferă doar în semn, atunci această formulă are forma:
Deoarece –9 \u003d 9 · e i, atunci valorile 
vor exista numere:
Atunci 
și 
.
|
Exemplul 10.3Rezolvați ecuațiile z 3 +1 \u003d 0; z 3 \u003d - 1. |
Decizie.
Rădăcinile căutate ale ecuației vor fi valorile 
.
Pentru z \u003d –1, avem r \u003d 1, arg (–1) \u003d .
w k \u003d 
, k \u003d 0, 1, 2.
Exerciții
9 Reprezentați numerele:
|
b) |
d) |
+ i;
.10 Scrieți numerele în forme exponențiale și algebrice:
|
și) |
la) |
|
b) |
d) 7 (cos0 + isin0). |
11 Scrieți numerele în forme algebrice și geometrice:
|
și) |
b) |
la) |
d) |
12 Numere date 
Prezentându-le într-o formă exemplară, găsiți 
.
13 Folosind forma exponențială a unui număr complex, procedați după cum urmează:
și) 
b) 
la) 
d) 
|
e) |
|
|
|
|
.din și numărul natural n 2 .
Număr complex Z numit rădăcinăn– c, dacă Z n = c.
Găsiți toate valorile rădăcină n–
puterea a unui număr complex din... Lasa c=|
c|·(cos
Arg
c+
eu·
păcat
Arg din),și
Z
= |
Z| · (Cuos
Arg
Z
+
eu·
păcat
Arg
Z)
Unde Z rădăcină n-
puterea a unui număr complex din... Atunci ar trebui să existe
=
c
= |
c|·(cos
Arg
c+
eu·
păcat
Arg din)... De aici rezultă că 
și n·
Arg
Z
=
Arg din 
Arg
Z
=
(k=0,
1,…)
... Prin urmare, Z
=
(cos
+
eu·
păcat
),
(k=0,
1,…)
... Este ușor de văzut că oricare dintre valori
,
(k=0,
1,…)
diferă de una dintre valorile corespunzătoare
,(k
= 0,1,…,
n-1)
prin multiple 2π... Prin urmare, (k
= 0,1,…,
n-1)
.
Exemplu.
Calculați rădăcina lui (-1).
evident |-1|
= 1,
arg
(-1) =
π
-1 \u003d 1 (cos π + eu· păcat π )
,
(k \u003d 0, 1).
=
eu
Un grad cu un exponent rațional arbitrar
Luați un număr complex arbitrar din... Dacă n număr natural, atunci din n
= |
c|
n ·(dinos
nArg c +eu·
păcat
nArg din)(6). Această formulă este valabilă și în cazul respectiv n
= 0
(s ≠ 0)
... Lasa n
< 0
și n
Z și s ≠ 0 atunci
din n
=
(cos nArgdin+ i sin nArgdin)
=
(cos nArgdin + i sin nArgdin)
... Astfel, formula (6) este valabilă pentru orice n.
Ia un număr rațional 
Unde q numărul natural și r este întreg.
Apoi sub grad
c r vom înțelege numărul 
.
Obținem asta ,
(k = 0, 1, …, q-1). Aceste valori q bucăți dacă fracția nu este anulabilă.
Lectura №3 Limita unei secvențe de numere complexe
Se numește funcția de valoare complexă a unui argument natural o succesiune de numere complexeși notat (din n ) sau din 1 , din 2 , ..., din n . din n \u003d a n + b n · eu (n = 1,2, ...) numere complexe.
din 1 , din 2 , ... Sunt membrii secvenței; din n - termen comun
Număr complex din
=
a+
b·
eu numit limita unei secvențe de numere complexe (c n )
Unde din n
\u003d a n +
b n ·
eu
(n
= 1, 2, …)
unde pentru oricare 
asta pentru toti n
>
N inegalitatea se menține 
... Se numește o secvență care are o limită finită convergente secvenţă.
Teorema.
Pentru o succesiune de numere complexe (cu n ) (din n \u003d a n + b n · eu) convergea la un număr cu = a+ b· eu, este necesar și suficient ca egalitatealim a n = a, lim b n = b.
Dovezi.
Vom demonstra teorema pe baza următoarei duble inegalități evidente
Unde Z
=
x
+
y·
eu
(2)
Necesitate. Lasa lim (din n ) \u003d cu... Să arătăm că egalitățile lim a n = a și lim b n = b (3).
Evident (4)
pentru că 
cand n
→ ∞
, apoi rezultă din partea stângă a inegalității (4) că 
și 
cand n
→ ∞
... prin urmare, egalitățile (3) sunt valabile. Necesitatea este dovedită.
Adecvare. Acum lăsați egalitățile (3) să se mențină. Din egalitate (3) rezultă că 
și 
cand n
→ ∞
, prin urmare, în virtutea laturii din dreapta a inegalității (4), 
cand n→∞
mijloace lim(din n ) \u003d cu... Suficiența a fost dovedită.
Deci, întrebarea convergenței unei secvențe de numere complexe este echivalentă cu convergența a două secvențe de numere reale; prin urmare, toate proprietățile de bază ale limitelor secvențelor de numere reale se aplică succesiunii numerelor complexe.
De exemplu, pentru secvențe de numere complexe, criteriul Cauchy este valid: pentru o succesiune de numere complexe (cu n ) converge, este necesar și suficient ca pentru oricare 
asta pentru oricen,
m
>
N inegalitatea se menține 
.
Teorema.
Fie o succesiune de numere complexe (cu n ) și (z n ) converg respectiv la c șiz, apoi egalitatealim(din n
z n )
=
c 
z,
lim(din n ·
z n )
=
c·
z... Dacă se știe cu siguranță căz nu este egal cu 0, atunci egalitatea 
.
Se încarcă ...