De obicei, un polinom este reprezentat ca:
$ f (x) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 0) ^ (n) a_k x ^ k $
f (x) \u003d a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a k x k
Unde a k acestea sunt numere reale reprezentând coeficienții polinomului și
x k acestea sunt variabile polinomiale.
Polinomul de mai sus se numește polinomul de gradul al n-lea, adică deg (f (x)) \u003d nUnde n reprezintă cel mai înalt grad al unei variabile.
Schema lui Horner pentru divizarea unui polinom este un algoritm pentru a simplifica calculul valorii unui polinom f (x) la o anumită valoare x \u003d x 0 prin împărțirea unui polinom în monomii (polinoame de gradul 1). Fiecare monomiu include cel mult un proces de multiplicare și un proces de adunare. Rezultatul obținut dintr-un monomiu se adaugă la rezultatul obținut din următorul monomial și așa mai departe într-o manieră cumulativă. Acest proces de fisiune se mai numește fisiune sintetică.
Pentru a explica cele de mai sus, să rescriem polinomul în formă extinsă;
f (x 0) \u003d a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 2 + ... + a n x 0 n
Poate fi scris și ca:
f (x 0) \u003d a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + ... + (a n-1 + a n x 0) ....)
Algoritmul propus de această schemă se bazează pe găsirea valorilor monomiilor formați mai sus, începând cu cele care sunt închise în mai multe paranteze și deplasându-se spre exterior pentru a găsi valorile monomiilor din parantezele exterioare.
Algoritmul este declanșat urmând pașii de mai jos:
1. Dat k \u003d n
2. Să b k \u003d a k
3. Să b k - 1 \u003d a k - 1 + b k x 0
4. Să k \u003d k - 1
5. Dacă k ≥ 0apoi reveniți la pasul 3
altfel Sfârșit
Acest algoritm poate fi vizualizat și grafic, ținând cont de polinomul de gradul 5 dat:
f (x) \u003d a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5
a cărei valoare se găsește ca x \u003d x 0prin rearanjarea acestuia după cum urmează:
f (x 0) \u003d a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + x 0 (a 4 + a 5 x 0))))
O altă modalitate de a prezenta rezultatele folosind acest algoritm este sub forma tabelului de mai jos:
Deci f (2) \u003d 83.
De ce trebuie să facem acest lucru?
De obicei, găsind valorile unui polinom la o anumită valoare a unei variabile, suntem obișnuiți să substituim această valoare în polinom și să efectuăm calcule. De asemenea, putem dezvolta un program de calculator pentru calcul matematic, care este o necesitate atunci când avem de-a face cu polinoame complexe de grade superioare.
Modul în care computerul tratează problema depinde în mare măsură de modul în care, în calitate de programator, îl descrieți computerului. Puteți proiecta programul dvs. pentru a găsi valoarea unui polinom prin substituirea directă a valorii unei variabile sau puteți utiliza diviziunea sintetică dată în schema Horner. Singura diferență dintre aceste două abordări este viteza cu care computerul va găsi o soluție la un anumit caz.
Avantajul schemei lui Horner este că reduce numărul de multiplicări. Având în vedere că timpul de procesare al fiecărui proces de multiplicare este de 5 până la 20 de ori mai mare decât timpul de procesare al procesului de adăugare, puteți susține că construirea unui program pentru a găsi valoarea unui polinom conform schemei lui Horner va reduce semnificativ timpul de calcul petrecut pe computer.
Teorema lui Bezout, în ciuda aparentei sale simplități și clarități, este una dintre teoremele de bază ale teoriei polinoamelor. În această teoremă, caracteristicile algebrice ale polinoamelor (permit lucrul cu polinoame ca și cu numere întregi) sunt asociate cu caracteristicile lor funcționale (care ne permit să considerăm polinoamele ca funcții).
Teorema lui Bezout afirmă că restul împărțirii unui polinom la un polinom este.
Coeficienții unui polinom se află într-un inel comutativ cu unitate (de exemplu, în câmpul numerelor reale sau complexe).
Teorema lui Bezout este o dovadă.
Împărțim cu restul polinomul P (x) prin polinom (x-a):
Pe baza faptului că deg R (x)< deg (x-a) = 1
- un polinom de grad cel mult zero. Înlocuim, deoarece, obținem 
.
Dar cel mai important nu este doar teorema, ci corolarul teoremei lui Bezout:
1. Numărul este rădăcina unui polinom P (x) dacă și numai dacă P (x) divizibil în binomii x-a.
Pe baza acestuia, ansamblul rădăcinilor polinomului P (x) este identic cu mulțimea rădăcinilor ecuației corespunzătoare x-a.
2. Termenul liber al unui polinom este împărțit la orice rădăcină integrală a polinomului cu coeficienți întregi (când coeficientul principal este egal cu unul, toate rădăcinile raționale sunt întregi).
3. Să presupunem că aceasta este o rădăcină întreagă a polinomului redus P (x) cu coeficienți întregi. Prin urmare, pentru orice număr întreg, numărul este divizibil cu.
Teorema lui Bezout face posibilă, după găsirea unei rădăcini a unui polinom, să căutăm mai departe rădăcinile unui polinom al cărui grad este deja cu 1 mai mic: dacă, atunci polinomul dat P (x) ar arăta așa:
Exemplele teoremei lui Bezout:
Găsiți restul împărțirii unui polinom la un binom.
Exemple de soluții ale teoremei lui Bezout:
Pe baza teoremei lui Bezout, restul dorit corespunde valorii polinomului din punct. Apoi vom găsi, pentru aceasta înlocuim valoarea în expresia polinomului în loc de. Primim:
Răspuns: Rămășiță \u003d 5.
Schema lui Horner.
Schema lui Horner este un algoritm pentru împărțirea (împărțirea prin schema lui Horner) a polinoamelor, scris pentru un caz particular, dacă coeficientul este egal cu binomul.
Să construim acest algoritm:
Să presupunem că acesta este dividendul
Privat (gradul său este probabil mai mic), r - rest (deoarece diviziunea este realizată de un polinom Primul grad, apoi gradul restului va fi cu unul mai mic, adică zero, deci restul este o constantă).
Prin definiția diviziunii cu rest P (x) \u003d Q (x) (x-a) + r... După înlocuirea expresiilor polinoamelor obținem:
Deschidem parantezele și echivalăm coeficienții la aceleași grade, după care exprimăm coeficienții coeficientului prin coeficienții dividendului și divizorului:
Este convenabil să rezumați calculele în următorul tabel:
În ea, sunt evidențiate acele celule, al căror conținut este implicat în calcule la pasul următor.
Exemple de schemă Horner:
Să fie necesar să împărțim un polinom într-un binom x-2.
Creați un tabel cu două rânduri. Într-o linie scriem coeficienții polinomului nostru. În a doua linie, vom primi coeficienții coeficientului incomplet conform următoarei scheme: în primul rând, rescriem coeficientul principal al polinomului dat, apoi, pentru a obține următorul coeficient, înmulțim ultimul găsit cu a \u003d 2 și se adaugă cu coeficientul corespunzător al polinomului F (x)... Cel mai recent coeficient va fi restul, iar toți cei anteriori vor fi coeficienții coeficientului incomplet.
Site-ul web „profesor profesionist de matematică” continuă ciclul articolelor metodologice despre predare. Public descrieri ale metodelor muncii mele cu cele mai dificile și problematice subiecte din programa școlară. Acest material va fi util profesorilor și tutorilor din matematică care lucrează cu elevii din clasele 8-11, atât în \u200b\u200bprogramul obișnuit, cât și în clasele de matematică.
Un profesor de matematică nu este întotdeauna capabil să explice materialul care este slab prezentat într-un manual. Din păcate, există din ce în ce mai multe astfel de subiecte, iar erorile de prezentare, în urma autorilor manualelor, sunt comise la scară masivă. Acest lucru se aplică nu numai tutorilor începători de matematică și tutorilor cu normă parțială (tutori - studenți și tutori universitari), ci și profesorilor cu experiență, tutorilor - profesioniștilor, tutorilor cu experiență și calificări. Nu toți tutorii de matematică au talentul unui corector competent al durității manualelor școlare. Nu toată lumea înțelege, de asemenea, că aceste corecții (sau completări) sunt necesare. Doar câțiva sunt angajați în adaptarea materialului pentru percepția sa calitativă de către copii. Din păcate, a trecut vremea când profesorii de matematică, împreună cu metodologii și autorii publicațiilor, au discutat masiv fiecare literă a manualului. Anterior, înainte de a introduce un manual în școli, au efectuat analize serioase și cercetări privind rezultatele învățării. A sosit timpul ca amatorii care caută să facă manualele universale, ajustându-le la standardele unor clase puternice de matematică.
Cursa de creștere a cantității de informații duce doar la o scădere a calității asimilării sale și, în consecință, la o scădere a nivelului de cunoștințe reale în matematică. Dar nimeni nu este atent la asta. Și copiii noștri sunt obligați să studieze deja în clasa a VIII-a ceea ce am trecut la institut: teoria probabilității, soluția ecuațiilor de grade mari și altceva. Adaptarea materialului din cărți pentru percepția sa deplină de către copil lasă mult de dorit, iar tutorele de matematică este obligat să se ocupe cumva de el.
Să vorbim despre metodologia de predare pentru un subiect atât de specific ca „împărțirea unui polinom la un polinom la un colț”, mai cunoscută în matematica adulților ca „teorema lui Bezout și schema lui Horner”. Cu doar câțiva ani în urmă, întrebarea nu era atât de acută pentru un profesor de matematică, deoarece nu era inclus în programa școlară principală. Acum, autorii respectați ai manualului, editat de Telyakovsky, au făcut modificări la cea mai recentă ediție a celui mai bun manual, după părerea mea, și, în cele din urmă, stricându-l, au adăugat doar îngrijorări inutile tutorelui. Profesorii școlilor și claselor care nu au statutul de matematică, concentrându-se pe inovațiile autorilor, au început să includă paragrafe suplimentare în lecțiile lor mai des, iar copiii curioși, uitându-se la frumoasele pagini ale manualului lor de matematică, îl întreabă tot mai des pe tutor: „Ce este această diviziune de colț? Vom trece prin asta? Cum să distribui un colț? " Nu te poți ascunde de astfel de întrebări directe. Tutorul va trebui să-i spună copilului ceva.
Dar ca? Probabil că nu aș descrie metoda de lucru cu subiectul dacă ar fi prezentat corect în manuale. Cum merge cu noi? Manualele trebuie să fie tipărite și vândute. Și pentru aceasta, acestea trebuie actualizate în mod regulat. Profesorii universitari se plâng că copiii vin la ei cu capul gol, fără cunoștințe și abilități? Cerințele matematice sunt în creștere? Excelent! Să eliminăm câteva dintre exerciții și, în schimb, să inserăm subiecte care sunt predate în alte programe. De ce este manualul nostru mai rău? Să includem câteva capitole suplimentare. Școlarii nu cunosc regula împărțirii prin colț? Aceasta este matematica elementară. Este necesar ca un astfel de paragraf să fie opțional, îndreptându-l spre „pentru cei care vor să afle mai multe”. Tutori împotriva? Ce ne pasă de tutori în general? Se opun și metodologii și profesorii școlari? Nu vom complica materialul și vom lua în considerare cea mai simplă parte a acestuia.
Și de aici începe. Simplitatea subiectului și calitatea asimilării acestuia constă, în primul rând, în înțelegerea logicii sale, și nu în faptul că, conform instrucțiunilor autorilor manualului, efectuează un anumit set de operații care nu sunt în mod clar legate între ele. În caz contrar, va fi asigurată ceața din capul elevului. Dacă autorii se bazează pe studenți relativ puternici (dar studiază într-un program obișnuit), atunci nu ar trebui să trimiteți subiectul într-o formă de echipă. Ce vedem în manual? Copiii ar trebui împărțiți în conformitate cu această regulă. Obțineți polinomul sub colț. Astfel, polinomul original este factorizat. Cu toate acestea, nu este clar de ce termenii de sub colț sunt selectați în acest fel, de ce trebuie să fie înmulțiți cu un polinom peste colț, și apoi să se scadă din restul curent. Și cel mai important, nu este clar de ce monomiile alese trebuie adăugate la final și de ce parantezele rezultate vor fi descompunerea polinomului original. Orice matematician competent va pune un semn de întrebare îndrăzneț peste explicațiile date în manual.
Aduc la cunoștința tutorilor și a profesorilor de matematică soluția mea la problemă, care face practic tot ceea ce este menționat în manual evident pentru elev. De fapt, vom demonstra teorema lui Bezout: dacă numărul a este o rădăcină a unui polinom, atunci acest polinom poate fi descompus în factori, dintre care unul este x-a, iar al doilea este obținut din original într-unul din cele trei moduri: prin separarea unui factor liniar prin transformări, împărțirea la un unghi sau conform schemei lui Horner. Cu această formulare va fi mai ușor să lucreze un profesor de matematică.
Ce este metodologia de predare? În primul rând, este o ordine clară în secvența de explicații și exemple, pe baza căreia se trag concluzii matematice. Acest subiect nu face excepție. Este foarte important pentru un profesor de matematică să introducă copilul în teorema lui Bezout înainte de a se efectua divizarea de colț... Este foarte important! Cel mai bun mod de a obține înțelegere este printr-un exemplu concret. Să luăm un polinom cu o rădăcină selectată și să arătăm tehnica factorizării sale folosind metoda transformărilor identice, care este familiară elevului din clasa a VII-a. Cu explicațiile, accentele și sfaturile corespunzătoare de la un profesor de matematică, este foarte posibil să transmiteți materialul fără calcule matematice generale, coeficienți arbitrari și grade.
Sfaturi importante pentru un profesor de matematică - urmați instrucțiunile de la început până la sfârșit și nu modificați această secvență.
Deci, să spunem că avem un polinom. Dacă înlocuim numărul 1 cu x-ul său, atunci valoarea polinomului va fi egală cu zero. Prin urmare, x \u003d 1 este rădăcina sa. Să încercăm să descompunem în doi termeni, astfel încât unul dintre ei să fie produsul unei expresii liniare și a unor monomii, iar al doilea are un grad mai mic decât. Adică îl reprezentăm în formă
Alegem monomiul pentru câmpul roșu, astfel încât, atunci când îl înmulțim cu termenul principal, să coincidă complet cu termenul principal al polinomului original. Dacă elevul nu este cel mai slab, atunci el va putea numi expresia dorită tutorelui de matematică :. Tutorul ar trebui să se ofere imediat să îl introducă în caseta roșie și să arate ce va fi obținut atunci când vor fi deschise. Cel mai bine este să semnați acest polinom temporar virtual sub săgeți (sub fotografie), evidențiindu-l cu o anumită culoare, de exemplu, albastru. Acest lucru vă va ajuta să selectați termenul pentru câmpul roșu, numit restul selecției. Aș sfătui tutorii să sublinieze exact aici că acest rest poate fi găsit prin scădere. Efectuând această operațiune obținem:
Tutorul de matematică ar trebui să atragă atenția elevului asupra faptului că, înlocuind unul în această egalitate, ni se garantează că obținem zero în partea stângă (deoarece 1 este rădăcina polinomului original), iar în dreapta, evident, vom elimina și primul termen. Deci, fără nicio verificare, putem spune că una este rădăcina „reziduului verde”.
Vom face cu el în același mod ca și cu polinomul original, extragând același factor liniar din acesta. Tutorul de matematică desenează două cadre în fața elevului și cere să completeze de la stânga la dreapta.
Elevul selectează monomiul pentru câmpul roșu pentru tutor, astfel încât, atunci când este înmulțit cu termenul principal al expresiei liniare, să dea termenul principal al polinomului în expansiune. Intrăm în cadrul tangent, deschidem imediat parantezele și evidențiem în albastru expresia care trebuie scăzută din cea în expansiune. Efectuând această operațiune, obținem
Și, în cele din urmă, procedând la fel cu ultimul reziduu
ajungem în sfârșit
Acum să scoatem expresia din paranteză și vom avea descompunerea polinomului original în factori, dintre care unul este „x minus rădăcina aleasă”.
Pentru ca studentul să nu creadă că ultimul „reziduu verde” s-a descompus din greșeală în factorii necesari, un profesor de matematică ar trebui să sublinieze o proprietate importantă a tuturor reziduurilor verzi - fiecare dintre ele are o rădăcină 1. Deoarece gradele acestor reziduuri scad, atunci ce grad din valoarea inițială nu ne-a fost dat niciun polinom, mai devreme sau mai târziu, vom obține un „rest verde” liniar cu o rădăcină de 1 și, prin urmare, trebuie descompus în produsul unui anumit număr și o expresie.
După o astfel de muncă pregătitoare, nu va fi dificil pentru un profesor de matematică să explice elevului ce se întâmplă atunci când împarte un colț. Acesta este același proces, doar într-o formă mai scurtă și mai compactă, fără semne egale și fără rescrierea acelorași termeni selectați. Polinomul din care se extrage factorul liniar este scris în stânga colțului, monomiile roșii selectate sunt colectate într-un unghi (acum devine clar de ce ar trebui să se adune), pentru a obține „polinoamele albastre”, cele „roșii” trebuie să fie înmulțite cu x-1 și apoi scăzute din curentul selectat cum se face acest lucru în împărțirea obișnuită a numerelor într-o coloană (aici este o analogie cu studiatul anterior) „Reziduurile verzi” rezultate sunt supuse unei noi selecții și selecții de „monomii roșii”. Și tot așa până când se obține un „reziduu verde” zero. Cel mai important lucru este că elevul devine clar despre soarta ulterioară a polinoamelor notate deasupra și dedesubtul colțului. Evident, acestea sunt paranteze al căror produs este egal cu polinomul original.
Următoarea etapă a lucrării unui profesor de matematică este formularea teoremei lui Bezout. De fapt, formularea sa cu această abordare a tutorelui devine evidentă: dacă numărul a este rădăcina unui polinom, atunci poate fi descompus în factori, unul dintre care și celălalt, se obține din original într-unul din cele trei moduri:
- descompunere directă (analog metodei de grupare)
- împărțind la un colț (într-o coloană)
- prin schema lui Horner
Trebuie spus că nu toți tutorii de matematică le arată elevilor schema horner și nu toți profesorii de școală (din fericire pentru tutori înșiși) intră atât de profund în subiectul din clasă. Cu toate acestea, pentru un elev de la matematică, nu văd niciun motiv să mă opresc la diviziile lungi. Mai mult, cel mai convenabil și rapid tehnica descompunerii se bazează tocmai pe schema lui Horner. Pentru a explica copilului de unde provine, este suficient să se urmărească, folosind exemplul împărțirii la un colț, a apariției coeficienților superiori în reziduuri verzi. Devine clar că coeficientul principal al polinomului inițial este transferat la coeficientul primului „monomiu roșu” și mai departe de al doilea coeficient al polinomului superior curent dedusrezultatul înmulțirii coeficientului curent al „monomiului roșu” cu. De aceea este posibil adăuga rezultatul multiplicării cu. După concentrarea atenției elevului asupra specificului acțiunilor cu coeficienți, un profesor de matematică poate arăta cum se efectuează aceste acțiuni, de obicei, fără a înregistra variabilele în sine. Pentru a face acest lucru, este convenabil să introduceți rădăcina și coeficienții polinomului inițial în ordine de prioritate în următorul tabel:
Dacă lipsește vreun grad în polinom, atunci coeficientul său zero este forțat în tabel. Coeficienții „polinoamelor roșii” conform regulii „cârligului” sunt scrise rând pe rând unul câte unul: 
Rădăcina este înmulțită cu ultimul „coeficient roșu” eliminat, adăugat la următorul coeficient al liniei de sus și rezultatul este coborât la linia de jos. În ultima coloană ni se garantează obținerea coeficientului superior al ultimului „reziduu verde”, adică zero. După finalizarea procesului, numerele intercalat între rădăcina potrivită și restul zero se dovedesc a fi coeficienții celui de-al doilea factor (neliniar).
Deoarece rădăcina a dă zero la sfârșitul liniei de jos, schema lui Horner poate fi utilizată pentru a testa numerele pentru rădăcina unui polinom. Dacă există o teoremă specială asupra selecției unei rădăcini raționale. Toți candidații la acest titlu obținuți cu ajutorul acestuia sunt pur și simplu inserați unul câte unul în stânga în schema Horner. De îndată ce obținem zero, numărul testat va fi o rădăcină și, în același timp, vom obține coeficienții factorizării polinomului original pe linia sa. Foarte confortabil.
În concluzie, aș dori să observ că pentru introducerea corectă a schemei lui Horner, precum și pentru consolidarea practică a subiectului, un tutor de matematică ar trebui să aibă la dispoziție un număr suficient de ore. Un tutore care lucrează cu regimul „o dată pe săptămână” nu ar trebui să facă împărțirea la colț. La Ege la matematică și la GIA la matematică, este puțin probabil ca în prima parte să existe vreodată o ecuație de gradul al treilea rezolvată prin astfel de mijloace. Dacă un tutore pregătește un copil pentru un examen de matematică la Universitatea de Stat din Moscova, studiul subiectului devine obligatoriu. Profesorii universitari, spre deosebire de compilatorii examenului, sunt foarte pasionați de verificarea profunzimii cunoștințelor solicitantului.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, profesor la matematică Moscova, Strogino
Atunci când se rezolvă ecuații și inegalități, este adesea necesar să se ia în calcul un polinom al cărui grad este de trei sau mai mult. În acest articol, vom analiza cel mai simplu mod de a face acest lucru.
Ca de obicei, să apelăm la teorie pentru ajutor.
Teorema lui Bezout afirmă că restul împărțirii unui polinom la un binom este.
Dar pentru noi nu este importantă teorema în sine, ci consecință din aceasta:
Dacă un număr este rădăcina unui polinom, atunci polinomul este divizibil cu un binom fără rest.
Sarcina noastră este să găsim într-un fel cel puțin o rădăcină a polinomului, apoi să împărțim polinomul la, unde este rădăcina polinomului. Ca rezultat, obținem un polinom al cărui grad este cu unul mai mic decât gradul originalului. Și apoi, dacă este necesar, puteți repeta procesul.
Această sarcină se împarte în două: cum să găsim rădăcina unui polinom și cum să împărțim un polinom într-un binom.
Să ne oprim asupra acestor puncte mai detaliat.
1. Cum se găsește rădăcina unui polinom.
În primul rând, verificăm dacă numerele 1 și -1 sunt rădăcinile polinomului.
Aici următoarele fapte ne vor ajuta:
Dacă suma tuturor coeficienților polinomului este zero, atunci numărul este rădăcina polinomului.
De exemplu, într-un polinom, suma coeficienților este zero :. Este ușor să verificați care este rădăcina polinomului.
Dacă suma coeficienților unui polinom la grade pare este egală cu suma coeficienților la grade impare, atunci numărul este rădăcina polinomului. Termenul liber este considerat un coeficient de grad par, deoarece, a este un număr par.
De exemplu, într-un polinom, suma coeficienților la puteri pare :, și suma coeficienților la puteri impare:. Este ușor să verificați care este rădăcina polinomului.
Dacă nici 1, nici -1 nu sunt rădăcinile polinomului, atunci continuați.
Pentru polinomul de grad redus (adică un polinom în care coeficientul principal - coeficientul la - este egal cu unul), formula Vieta este validă:
Unde sunt rădăcinile polinomului.
Există, de asemenea, formulele lui Vieta privind coeficienții rămași ai polinomului, dar suntem interesați de acesta.
Din această formulă Vieta rezultă că dacă rădăcinile unui polinom sunt întregi, atunci ele sunt divizorii termenului său liber, care este și un număr întreg.
Bazat pe acest lucru, trebuie să descompunem termenul liber al polinomului și, secvențial, de la cel mai mic la cel mai mare, să verificăm care dintre factori este rădăcina polinomului.
Luați în considerare, de exemplu, polinomul
Divizori membri liberi :; ; ;
Suma tuturor coeficienților polinomului este, prin urmare, numărul 1 nu este o rădăcină a polinomului.
Suma coeficienților pentru puteri uniforme:
Suma coeficienților la grade impare:
Prin urmare, numărul -1 nu este, de asemenea, o rădăcină a polinomului.
Să verificăm dacă numărul 2 este o rădăcină a unui polinom: prin urmare, numărul 2 este o rădăcină a unui polinom. Prin urmare, conform teoremei lui Bezout, polinomul este divizibil fără rest cu un binom.
2. Cum se împarte un polinom într-un binom.
Un polinom poate fi împărțit într-un binom printr-o coloană.
Împărțim polinomul în binomii printr-o coloană:
Există un alt mod de a împărți un polinom în binomi - schema lui Horner.
Urmăriți acest videoclip pentru a înțelege cum să împărțiți un polinom cu un binar la o coloană și folosind schema Horner.
Rețineți că, dacă, la împărțirea la o coloană, un anumit grad de necunoscut este absent în polinomul original, scriem 0 în locul său - la fel ca atunci când compilăm un tabel pentru schema Horner.
Deci, dacă trebuie să împărțim un polinom într-un binom și ca rezultat al divizării obținem un polinom, atunci putem găsi coeficienții polinomului folosind schema Horner:
Putem folosi și schema lui Horner pentru a verifica dacă un număr dat este rădăcina unui polinom: dacă un număr este o rădăcină a unui polinom, atunci restul împărțirii polinomului cu este egal cu zero, adică în ultima coloană a celui de-al doilea rând al schemei lui Horner, obținem 0.
Folosind schema lui Horner, „ucidem două păsări cu o singură piatră”: verificăm simultan dacă numărul este o rădăcină a polinomului și împărțim acest polinom cu un binom.
Exemplu. Rezolvați ecuația:
1. Să notăm divizorii termenului liber și vom căuta rădăcinile polinomului între divizorii termenului liber.
Divizoare de 24:
2. Verificați dacă numărul 1 este o rădăcină a polinomului.
Suma coeficienților polinomului, prin urmare, numărul 1 este rădăcina polinomului.
3. Împărțiți polinomul original în binomii folosind schema lui Horner.
A) Să notăm coeficienții polinomului original în primul rând al tabelului.
Deoarece membrul care conține este absent, în coloana tabelului în care ar trebui să fie coeficientul, scrieți 0. În stânga, scrieți rădăcina găsită: numărul 1.
B) Completăm primul rând al tabelului.
În ultima coloană, așa cum era de așteptat, am obținut zero, am împărțit polinomul original într-un binom fără rest. Coeficienții polinomului rezultat din împărțire sunt afișați în albastru în al doilea rând al tabelului:
Este ușor să verificați dacă numerele 1 și -1 nu sunt rădăcinile polinomului
C) Să continuăm masa. Să verificăm dacă numărul 2 este o rădăcină a polinomului:
Deci gradul polinomului, care se obține ca rezultat al împărțirii cu unul, este mai mic decât gradul polinomului original, prin urmare numărul de coeficienți și numărul de coloane este unul mai mic.
În ultima coloană, am obținut -40 - un număr care nu este egal cu zero, prin urmare, polinomul este divizibil cu un binar cu rest, iar numărul 2 nu este o rădăcină a polinomului.
C) Verificați dacă numărul -2 este o rădăcină a polinomului. Deoarece încercarea anterioară nu a reușit să evite confuzia cu coeficienții, voi șterge linia corespunzătoare acestei încercări:
Excelent! În rest, am obținut zero, prin urmare, polinomul a fost împărțit într-un binom fără rest, prin urmare, numărul -2 este rădăcina polinomului. Coeficienții polinomului care se obține prin împărțirea polinomului la binom sunt afișați în verde în tabel.
Ca rezultat al divizării, am obținut un trinom pătrat 
, ale cărei rădăcini sunt ușor de găsit de teorema lui Vieta:
Deci, rădăcinile ecuației originale:
{
}
Răspuns: ( 
}
Slide 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) a fost un matematician englez. Născut în Bristol. A studiat și a lucrat acolo, apoi la școlile din Bath. Lucrări majore asupra algebrei. În 1819. a publicat o metodă pentru calculul aproximativ al rădăcinilor reale ale unui polinom, care acum se numește metoda Ruffini-Horner (această metodă era cunoscută chinezilor încă din secolul al XIII-lea) .Numele lui Horner este schema de divizare a unui polinom cu un binom x-a.
Diapozitivul 4
SCHEMA GORNER
O metodă de împărțire a unui polinom de gradul al n-lea la binomii liniari - a, bazată pe faptul că coeficienții coeficientului incomplet și restul r sunt corelați cu coeficienții polinomului divizibil și cu a prin formulele:
Diapozitivul 5
Calculele conform schemei lui Horner sunt plasate într-un tabel:
Exemplul 1. Împarte Cocientul incomplet este x3-x2 + 3x - 13 și restul este 42 \u003d f (-3).
Diapozitivul 6
Principalul avantaj al acestei metode este compacitatea și capacitatea de a împărți rapid un polinom în binomii. De fapt, schema lui Horner este o altă formă de notație pentru metoda de grupare, deși, spre deosebire de aceasta din urmă, este complet iubită. Răspunsul (factorizarea) aici este obținut de la sine și nu vedem chiar procesul de obținere a acestuia. Nu ne vom angaja într-o justificare riguroasă a schemei lui Horner, ci vom arăta doar cum funcționează.
Diapozitivul 7
Exemplul 2.
Să dovedim că polinomul P (x) \u003d x4-6x3 + 7x-392 este divizibil cu x-7 și să găsim câtul diviziunii. Decizie. Folosind schema lui Horner, găsim P (7): Prin urmare, obținem P (7) \u003d 0, adică restul la împărțirea polinomului cu x-7 este egal cu zero și, prin urmare, polinomul P (x) este multiplu de (x-7). Mai mult, numerele din al doilea rând al tabelului sunt coeficienții coeficientului de divizare a lui P (x) cu (x-7), P (x) \u003d (x-7) (x3 + x2 + 7x + 56).
Diapozitivul 8
Factorizați polinomul x3 - 5x2 - 2x + 16.
Acest polinom are coeficienți întregi. Dacă un număr întreg este o rădăcină a acestui polinom, atunci este un divizor de 16. Astfel, dacă un polinom dat are rădăcini întregi, atunci acesta poate fi doar numere ± 1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16. Prin verificare directă, ne asigurăm că numărul 2 este o rădăcină a acestui polinom, adică x3 - 5x2 - 2x + 16 \u003d (x - 2) Q (x), unde Q (x) este un polinom de gradul II
Diapozitivul 9
Numerele rezultate 1, −3, −8 sunt coeficienții polinomului, care se obține prin împărțirea polinomului original la x - 2. Prin urmare, rezultatul împărțirii: 1 · x2 + (–3) x + (–8) \u003d x2 - 3x - 8. Gradul polinomului rezultat din împărțire este întotdeauna cu 1 mai mic decât gradul originalului. Deci: x3 - 5x2 - 2x + 16 \u003d (x - 2) (x2 - 3x - 8).
Se încarcă ...