Calculul muncii forțelor. Formula de lucru

Definiție

În cazul în care, sub influența unei forțe, există o modificare a modulului de viteză a corpului, atunci ei spun că forța acționează muncă... Se crede că, dacă viteza crește, atunci munca este pozitivă, dacă viteza scade, atunci munca pe care o face forța este negativă. Schimbarea energiei cinetice a unui punct material în cursul mișcării sale între două poziții este egală cu munca pe care o face forța:

Acțiunea unei forțe asupra unui punct material poate fi caracterizată nu numai prin schimbarea vitezei corpului, ci și prin amploarea mișcării pe care corpul în cauză o face sub acțiunea forței ().

Lucrare elementară

Lucrarea elementară a unei forțe este definită ca produsul punct:

Raza este vectorul punctului la care se aplică forța, este mișcarea elementară a punctului de-a lungul traiectoriei, este unghiul dintre vectori și. Dacă lucrarea este un unghi obtuz mai mic decât zero, dacă unghiul este acut, atunci lucrarea este pozitivă, cu

În coordonatele carteziene, formula (2) are forma:

unde F x, F y, F z - proiecții vectoriale pe axele carteziene.

Când luați în considerare munca unei forțe aplicate unui punct material, puteți utiliza formula:

unde este viteza punctului material, este impulsul punctului material.

Dacă mai multe forțe acționează simultan asupra corpului (sistemul mecanic), atunci lucrarea elementară pe care aceste forțe o efectuează asupra sistemului este egală cu:

unde se realizează însumarea muncii elementare a tuturor forțelor, dt este un interval de timp mic în timpul căruia se efectuează munca elementară asupra sistemului.

Lucrarea rezultată a forțelor interne, chiar dacă corpul rigid se mișcă, este zero.

Lăsați un corp rigid să se rotească în jurul unui punct fix - originea (sau o axă fixă \u200b\u200bcare trece prin acest punct). În acest caz, lucrarea elementară a tuturor forțelor externe (să spunem că numărul lor este n) care acționează asupra corpului este egală cu:

unde este momentul rezultant al forțelor raportat la punctul de rotație, este vectorul rotației elementare, este viteza unghiulară instantanee.

Munca forțată la sfârșitul traiectoriei

Dacă forța efectuează lucrări pentru a mișca corpul în secțiunea finală a traiectoriei mișcării sale, atunci lucrarea poate fi găsită ca:

În cazul în care vectorul forței este o valoare constantă pe întregul segment de deplasare, atunci:

unde este proiecția forței asupra tangentei la traiectorie.

Unități de lucru

Unitatea de bază de măsură a momentului de lucru în sistemul SI este: [A] \u003d J \u003d N m

În SGS: [A] \u003d erg \u003d dyn cm

1J \u003d 10 7 erg

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplu

Sarcina. Punctul material se deplasează în linie dreaptă (Fig. 1) sub influența forței, care este dată de ecuația :. Forța este îndreptată de-a lungul mișcării unui punct material. Care este activitatea unei forțe date pe un segment al căii de la s \u003d 0 la s \u003d s 0?

Decizie. Ca bază pentru rezolvarea problemei, luăm formula pentru calcularea muncii formei:

unde, ca în conformitate cu enunțul problemei. Înlocuiți expresia pentru modulul forței date de condiții, luați integralul:

Răspuns.

Exemplu

Sarcina. Punctul material se mișcă în cerc. Viteza sa se modifică în conformitate cu expresia :. În acest caz, munca forței care acționează asupra punctului este proporțională cu timpul :. Care este valoarea lui n?

Această prelegere abordează următoarele probleme:

1. Lucrarea puterii.

2. Forțele conservatoare.

2. Puterea.

3. Exemple de calcul al muncii.

4. Energia potențială

5. Energia cinetică

6. Teorema despre schimbarea energiei cinetice a unui punct.

7. Teorema momentelor.

Studiul acestor probleme este necesar pentru dinamica centrului de masă al unui sistem mecanic, dinamica mișcării de rotație a unui corp rigid, momentul cinetic al unui sistem mecanic, pentru rezolvarea problemelor din disciplinele „Teoria mașinilor și mecanismelor” și „Părțile mașinilor”.

Lucrare de forță. Putere.

Pentru a caracteriza acțiunea exercitată de forță asupra corpului cu o oarecare mișcare, se introduce conceptul lucrării forței.

Fig. 1

În acest caz, lucrarea caracterizează acțiunea forței, care determină schimbarea modul viteza punctului de mișcare.

Să introducem mai întâi conceptul lucrării elementare a forței pe o deplasare infinitesimală ds ... Lucrare elementară a forței(Fig. 1) scalarul se numește:

,

unde este proiecția forței la tangenta la traiectoria îndreptată spre deplasarea punctului șids - deplasarea infinitesimală a unui punct îndreptat de-a lungul acestei tangente.

Această definiție corespunde conceptului de muncă ca o caracteristică a acțiunii forței care duce la o schimbare a modulului vitezei punctului. Într-adevăr, dacă extindeți forțaîn componente și , apoi doar componentadând accelerare tangențială punctului. Componentasau modifică direcția vectorului viteză v (conferă accelerație normală până la punctul), sau, dacă nu liber, mișcarea schimbă presiunea asupra legăturii. Per componentă a modulului de viteză nu va influența, adică, așa cum se spune, puterea"Nu va produce muncă."

Observând că, obținem:

.(1)

Astfel, lucrarea elementară a forței este egală cu proiecția forței pe direcția de mișcare a punctului, înmulțită cu deplasarea elementarăds sau lucrarea elementară a forței este egală cu produsul modulului forței prin deplasarea elementarăds și de cosinusul unghiului dintre direcția forței și direcția de mișcare.

Dacă unghiul ascuțit, atunci munca este pozitivă. În special, pentrulucrare elementarădA= Fds.

Dacă unghiul prost, atunci munca este negativă. În special, pentrulucrare elementarădA=- Fds.

Dacă unghiul , adică dacă forța este direcționată perpendicular pe deplasare, atunci lucrarea elementară a forței este zero.

Forța pozitivăF (α\u003e 90 ° ) sunt numite conducereși negativ (α\u003e 90 ° ) – cu forta rezistenţă.

Să găsim o expresie analitică pentru munca elementară. Pentru aceasta extindem forțaîn componente de-a lungul direcțiilor axelor de coordonate (Fig. 2; forța însășineprezentată în desen).

Fig. 2

Mișcarea elementarăcompus din deplasăridx, dy , dz de-a lungul axelor de coordonate, unde x, y, z- coordonatele punctelor M... Apoi munca de forțăpe deplasare ds poate fi calculat ca suma lucrărilor componentelor salela deplasare dx, dy , dz .

Dar în mișcaredx funcționează doar o componentă, iar munca sa esteF x dx... Lucrați la deplasaredy și dz se calculează în mod similar.

În cele din urmă găsim:dA= F x dx+ F y dy+ F z dz.

Formula oferă o expresie analitică pentru munca elementară a forței.

Forțați lucrul la orice deplasare finală M 0 M 1 este calculat ca suma integrală a lucrărilor elementare corespunzătoare și va fi egal cu:

Prin urmare, forța de muncă pe orice deplasare M 0 M 1 este egal cu integralul lucrării elementare luate de-a lungul acestei deplasări. Limitele integralei corespund valorilor variabilelor de integrare la puncte M 0 și M 1. Grafic, zona de sub întreaga curbă M 0 și M 1 și va fi jobul dorit.

Fig. 3

Dacă valoarea este constantă ( , denotând apoi deplasarea M 0 M 1 până laprimim:.

Un astfel de caz poate avea loc atunci când forța de acțiune este constantă în mărime și direcție (F= const), iar punctul la care se aplică forța se deplasează în linie dreaptă (Fig. 3). În acest cazși forță.

Unitatea de măsură pentru lucru în sistemul SI este joule (1 j \u003d 1 N ∙ m). 1 J - lucrare realizată cu o forță de 1 N pe 1 m de drum.

Forțele conservatoare .

Forțele care acționează asupra corpului pot fi conservatoare și neconservatoare. Puterea este numită conservator sau potenţialdacă lucrarea făcută de această forță atunci când se deplasează un punct material dintr-o poziție în alta, nu depinde din tipul de traiectorie (forma căii) și este determinată numai de pozițiile inițiale și finale ale corpului (Figura 3.1): ȘI 1B2 \u003d ȘI 1C2 \u003d ȘI 12 .

Figura 3.1

Cand dacă corpul se mișcă în direcția opusă ȘI 12 = –ȘI 21, adică schimbarea direcției de mișcare de-a lungul traiectoriei către opus determină o modificare a semnului lucrării. Prin urmare, atunci când un punct material se mișcă de-a lungul unei traiectorii închise, activitatea forței conservatoare este zero (de exemplu, ridicarea și coborârea unei sarcini):

Forțele conservatoare sunt forțe gravitaționale, forțe elastice, forțe electrostatice. Se numesc forțe care nu îndeplinesc condiția (1) neconservatoare... Forțele neconservatoare includ forțe de frecare și rezistență. Câmpul în care acționează forțele conservatoare se numește potențial.

Putere.

Putere numită valoarea care determină munca realizată de forța pe unitate de timp. Dacă lucrarea se face uniform, atunci puterea

unde t - timp în care s-a făcut lucrarea A... În general

Prin urmare, puterea este egală cu produsul componentei tangențiale a forței și viteza de mișcare.

Unitatea de măsură pentru puterea din sistem SI este un watt (1 marți = 1 j / s). În tehnologie, o unitate de putere este adesea luată ca 1 putere, egală cu 75 kGm / sec sau 736 marți

Munca efectuată de o mașină poate fi măsurată în funcție de produsul puterii sale ori timpul de funcționare. De aici a apărut unitatea de măsură a kilowata-oră, care este utilizată în tehnologie (1 kWh \u003d 3,6 ∙ 10 6 j ≈ 367100 kgm).

Din egalitate se poate observa că pentru un motor cu o putere datăW, forța de tracțiune va fi cu cât este mai mare, cu atât este mai mică viteza de mișcareV. Prin urmare, de exemplu, pe o pantă sau pe o porțiune proastă a drumului, mașina este angajată în trepte de viteză inferioare, permițându-i să se deplaseze la putere maximă la o viteză mai mică și să dezvolte mai multă tracțiune.

Exemple de calcul de lucru.

Exemplele luate în considerare mai jos oferă rezultate care pot fi utilizate direct în rezolvarea problemelor.

1) Lucrarea gravitației. Lasă punctul M, care este afectată de gravitație, se mută din poziție M 0 ( x­ 0 , la 0,z 0 ) în poziție M 1 (x 1, y 1,z 1 ). Să alegem axele de coordonate astfel încât axaOza fost îndreptată vertical în sus (Fig. 4).

Fig. 4

Atunci R x=0, R y \u003d 0,P z= -R... Înlocuind aceste valori și ținând cont de variabila de integrarez:

Dacă punct M 0 de mai sus M 1 , atunciUnde h- cantitatea de mișcare verticală a punctului;

Dacă punctul M 0 sub punct M 1 atunci .

În cele din urmă obținem:.

În consecință, lucrarea gravitației este egală cu produsul modulului forței și deplasarea verticală a punctului de aplicare a acestuia, luată cu un semn plus sau minus. Lucrarea este pozitivă dacă punctul de pornire este mai mare decât punctul final și negativ dacă punctul de pornire este mai mic decât punctul final. Din rezultatul obținut, rezultă că lucrarea gravitației nu depinde de tipul traiectoriei de-a lungul căreia se deplasează punctul de aplicare al acesteia.

Forțele care posedă această proprietate sunt numite potențiale.

2) Munca forței elastice . Luați în considerare încărcătura Mîntins pe un plan orizontal și atașat la capătul liber al unui arc (Fig. 5, a). Marcăm pe plan cu un punct DESPRE poziția ocupată până la sfârșitul arcului atunci când nu este stresat (este lungimea arcului neaccentuat) și luați acest punct ca origine. Dacă acum tragem sarcina departe de poziția de echilibru DESPRE prin extinderea arcului la valoarel, atunci forța arcului va acționa asupra sarcinii Fspre punct DESPRE.

Fig. 5

Conform legii lui Hooke, amploarea acestei forțe este proporțională cu alungirea arcului... De vreme ce în cazul nostru, apoi modulo

Coeficient din numit coeficient de rigiditate arcuri. În tehnologie, ele măsoară de obicei valoarea din la H / cm, presupunând coeficientul din numeric egal cu forța care trebuie aplicată arcului pentru a-l întinde cu 1 cm .

Să găsim lucrarea efectuată de forța elastică atunci când mutăm sarcina din pozițieîn poziție De vreme ce în acest cazF x\u003d - F \u003d - cx, F y= F z\u003d 0, atunci obținem:

(Același rezultat poate fi obținut din graficul dependenței F din x(fig. 20, b), calculând ariatrapez eclozat în desen și ținând cont de semnul muncii.) În formula rezultatăreprezintă alungirea inițială a arcului, și prelungirea finală a primăverii... Prin urmare,

acestea. munca forței elastice este egală cu jumătate din produsul coeficientului de rigiditate prin diferența pătratelor alungirilor (sau compresiilor) inițiale și finale ale arcului.

Munca va fi pozitivă atunci când, adică când sfârșitul arcului se deplasează în poziția de echilibru și negativ când, adică sfârșitul arcului se îndepărtează de poziția de echilibru. Se poate dovedi că formula rămâne valabilă în cazul în care deplasarea punctului Mnu este direct.

Astfel, se dovedește că opera forței F depinde doar de valoriși și nu depinde de tipul traiectoriei punctului M... În consecință, forța elastică este, de asemenea, potențială.

Fig. 6

3) Lucrarea forței de frecare. Luați în considerare un punct care se deplasează de-a lungul unei suprafețe aspre (Fig. 6) sau a unei curbe. Forța de frecare care acționează asupra punctului este egală în modul fN Undef este coeficientul de frecare și- răspuns normal la suprafață. Forța de frecare este îndreptată opusă deplasării punctului. Prin urmare,F tr =- fN și prin formula

Dacă magnitudinea forței de frecare este constantă, atunci, Unde s- lungimea arcului curbei M 0 M 1 de-a lungul căruia punctul se mișcă.

În acest fel, lucrul cu frecare alunecare este întotdeauna negativ . Cantitatea acestei lucrări depinde de lungimea arcului. M 0 M 1 . Prin urmare, forța de frecare este forța non-potențial .

4) Lucrarea unei forțe aplicate unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe.

În acest caz (Fig. 7) punctul de aplicare a forțeise mișcă într-un cerc de razăr... Lucrări elementare, conform (1),Unde.

Fig. 7

Prin urmare.

Dar.

Acest lucru este ușor de stabilit prin descompunerea forței în trei componente (Fig. 7). (Momente de putereși egal cu zero). Prin urmare,

(2)

În special, dacă momentul forței în jurul axei, lucrarea forței la rotirea corpului sub un unghieste egal

.(3)

Semnul lucrării este determinat de semnele momentului de forță și unghiul de rotație. Dacă sunt la fel, munca este pozitivă.

Regula pentru determinarea muncii unei perechi de forțe rezultă din formula (3). Dacă un cuplu cu un momentm este situat în plan perpendicular pe axa de rotație a corpului, apoi funcționează atunci când corpul este rotit într-un unghi

.(4)

Dacă o pereche de forțe acționează într-un plan care nu este perpendicular pe axa de rotație, atunci trebuie înlocuită cu două perechi. Așezați unul într-un plan perpendicular pe axă, celălalt într-un plan paralel cu axa. Momentele lor sunt determinate de extinderea vectorului momentîn domeniile relevante:... Desigur, doar prima pereche va face treaba odată cu momentulUnde Este unghiul dintre vectorși axa de rotație z,

.(5)

Energie .

Impulsul corpului este măsura mișcării de translație, dar această caracteristică nu este universală. O măsură cantitativă universală a mișcării și interacțiunii tuturor tipurilor de materie este energie... Forme de energie: mecanică, termică, electrică, nucleară, internă etc. Energia dintr-o formă poate trece în alta. Energie mecanică îl caracterizează cantitativ din punctul de vedere al posibilelor transformări cantitative și calitative ale mișcării. Aceste transformări se datorează interacțiunii corpurilor sistemului între ele și cu corpurile externe. Astfel, mișcarea și energia sunt indisolubil legate, și de atunci mișcarea este o parte integrantă a materiei, apoi fiecare corp are un fel de energie.

Energie kinetică corpul se numește energie, care este o măsură a mișcării sale mecanice și este determinată de munca care trebuie făcută pentru a provoca această mișcare.

Dacă prin forțăcorpul dintr-o stare de repaus intră în mișcare cu o viteză, atunci se va lucra și energia corpului crește cu cantitatea de muncă cheltuită:

unde este mișcarea; dA – lucrare elementară.

Luând în considerare notația scalară a celei de-a doua legi a lui Newton:

Primim

Și întrucât munca depusă este egală cu creșterea energiei, atunci

Energia totală se găsește prin integrare, când viteza se schimbă de la 0 la o anumită valoareV:

Energia cinetică este întotdeauna pozitivă . Energia cinetică a unui sistem de puncte materiale este egală cu suma algebrică a energiilor cinetice ale tuturor punctelor materiale ale sistemului.

Energia cinetică a unui sistem este o funcție a stării mișcării sale.

Energia cinetică depinde de alegerea cadrului de referință, deoarece în cadre de referință inerțiale diferite viteza nu este aceeași.

Energie potențială - o parte din energia mecanică totală a sistemului, determinată de dispunerea reciprocă a corpurilor care acționează unul asupra celuilalt.

Se numește partea de spațiu în care o forță în funcție de locația punctului acționează asupra unui punct material plasat acolo câmp de forță.

Mai mult, această forță este determinată de funcția de forțău \u003d u (x, y, z). Dacă nu depinde de timp, atunci se numește un astfel de câmp staționar. Dacă este la fel în toate punctele, atunci câmpul - omogen.

Dacă proiecția forței asupra axele carteziene sunt derivate parțiale ale funcției forței în raport cu coordonatele corespunzătoare

atunci se numește un astfel de câmp potenţial.

Dacă lucrarea depinde de traiectorie, atunci forțele sunt numite disipativ (forța de frecare).

Să calculăm forța câmpului potențial atunci când mutăm un punct din poziție M 1 la poziție M 2. (fig. 8).

Fig. 8

Lucrări elementare,

Acesta este diferențialul complet al funcției de putere.

Lucrări de deplasare finală

unde tu 2 și tu 1 - valorile funcției de forță în puncte M 2 și M 1 .

Prin urmare, munca forței câmpului potențial nu depinde de traiectoria punctului, ci este determinată doar de valorile funcției forței la pozițiile inițiale și finale ale punctului.

Bineînțeles, dacă punctul revine la poziția sa inițială, lucrarea forțeiva fi zero. Lucrul va fi egal cu zero atunci când vă deplasați într-un alt punct. M 3, dacă valoarea funcției de forță este aceeași ca în poziția inițială.

Este ușor de ghicit că punctele cu aceleași valori ale funcției de rezistență vor forma o suprafață întreagă. Și că câmpul de forță este un spațiu stratificat format din astfel de suprafețe (Fig. 8). Aceste suprafețe se numesc suprafețe nivelate sau suprafețe echipotențiale ... Ecuațiile lor:tu( x, y, z)= C(C- constantă egală cu valoareatu în punctele acestei suprafețe). Iar funcția de forță se numește, respectiv, potenţialcâmpuri.

Desigur, suprafețele echipotențiale nu se intersectează. În caz contrar, ar exista puncte ale câmpului cu un potențial nedefinit.

Deoarece, atunci când se deplasează un punct de-a lungul suprafeței echipotențiale, lucrarea forțeieste zero, atunci vectorul forței este perpendicular pe suprafață.

Alegem una dintre aceste suprafețe și o numim suprafața zero (punemtu= tu 0 ).

Munca pe care o va face puterea când un punct trece dintr-un anumit loc M pe o suprafață zero, se numește energia potențială a unui punct din acest loc special M:

Dacă corpul se află într-un câmp potențial de forțe, atunci va avea energie potențială. Energia potențială a corpului asociată cu nivelul zero al sistemului de referință este considerată zero, iar energia altor poziții este măsurată în raport cu nivelul zero.

Conform (8) funcției de putere... Prin urmare, proiecția forței pe axele carteziene, conform (6), din moment ce,

și vectorul forței.

Să luăm în considerare mai multe câmpuri potențiale.

1) Câmpul gravitațional.

Aproape de suprafața Pământului, forța gravitațională este aceeași în toate punctele, este egal cu greutatea corporală. Aceasta înseamnă că acest câmp de forță este uniform. Deoarece atunci când un punct se mișcă într-un plan orizontal, activitatea forței este zero, atunci suprafețele echipotențiale vor fi plane orizontale (Fig. 9) și ecuațiile lor:tu = z = C.

Fig. 9

Dacă atribuiți un plan ca suprafață zero xOy , apoi energia potențială a punctului din poziție M va fi egal cu opera gravitației:

W P \u003d A \u003d Ph= mgh.

aceasta este energia unui corp ridicat deasupra Pământului la o înălțimeh.

Deoarece originea este aleasă în mod arbitrar, atunciW P poate lua în general valori negative (de exemplu,W P în partea de jos a minei).

2) Câmp de forță elastic.

Când un corp elastic este deformat, de exemplu un arc, apare o forță. Adică, lângă acest corp apare un câmp de forță, ale cărui forțe sunt proporționale cu deformarea corpului și sunt direcționate spre starea nedeformată. La primăvară - la obiect M 0, unde se află capătul arcului nedeformat (fig. 10).

Fig. 10

Dacă mutați capătul arcului astfel încât lungimea acestuia să nu se schimbe, atunci lucrarea forței elasticeva fi zero. Aceasta înseamnă că suprafețele echipotențiale sunt suprafețe sferice centrate în punctul O.

Setați suprafața zero la o sferă care trece printr-un punct M 0 până la sfârșitul arcului nedeformat. Apoi energia potențială a arcului în poziție M: W P \u003d A = 0,5 kx 2 .

Cu această alegere a suprafeței zero, energia potențială va fi întotdeauna pozitivă (W P \u003e 0), atât întins cât și comprimat.

Energia mecanică totală a sistemului este egal cu energia mișcării mecanice și energia interacțiunii:

Energia mecanică totală a unui corp atunci când se deplasează de-a lungul oricărei traiectorii într-un câmp potențial rămâne constantă.

Exemplul 1.Masina de masaM se deplasează în linie dreaptă de-a lungul unui drum orizontal cu vitezăv... Coeficientul de frecare la rulare între roțile mașinii și șosea estef k , raza roții - r, forța rezistenței aerodinamice a aerului este proporțională cu pătratul vitezei:, unde μ Este un coeficient care depinde de forma vehiculului. Determinați puterea motorului transmisă pe osiile roților motoare într-o stare stabilă.

Decizie.

În conformitate cu teorema schimbării energiei cinetice, avem

unde - munca elementară a forței motrice,- lucrarea elementară a forțelor de rezistență la mișcare. La viteza de echilibruv mașina este constantă și, prin urmare, energia sa cinetică nu se schimbă, adicădT \u003d 0. Înseamnă că... Să extindem partea dreaptă a egalității rezultate:

Aici dS - mișcarea elementară a mașinii. Apoi, puterea transmisă de motor către osiile roților motoare va fi egală cu

Astfel, atunci când circulați cu o viteză constantă pe un drum orizontal, motorul mașinii dezvoltă o putere constantă; în consecință, combustibilul din rezervor este consumat uniform.

Exemplul 2.Mingea de oțel a căzut de la înălțimeH = 15 m fără viteză inițială. Găsiți viteza mingiiVîn momentul impactului său asupra solului. Neglijați rezistența la aer.

Decizie.

Mingea este acționată numai de forța gravitațională, care este potențială și potențialul ei nu depinde în mod clar de timp. Prin urmare, în conformitate cu (10), energia mecanică totală a mingii în timpul mișcării sale va fi constantă

Deoarece în momentul inițial, mingea era în repaus și avea doar energie potențială, atunci în momentul impactului asupra solului, toată energia potențială inițială este convertită în energie cinetică

De aici rezultă căRezultatul rezolvării acestei probleme ne dă dreptul să afirmăm că viteza căderii libere a corpurilor nu depinde de masa lor.

Exemplu3 . Luați în considerare căderea liberă a unei pietre cu o masămaruncat în câmpul gravitațional al Pământului de la punctul 1 la punctul 2 (Fig. 11).

Fig. 11

Lucrarea elementară realizată de gravitație la mișcarea unei pietre este egală cu:

Lucrarea completă pe site-ul 1-2 este la fel

unde F gr = mg - gravitatie; atunci primim:

Din ultima expresie se vede că lucrarea este determinată doar de poziția punctelor de început și de sfârșit ale traiectoriei corpului.

Exemplu4 . Să găsim energia potențială a unui corp deformat elastic (arc). Se știe că forța elastică este proporțională cu deformareax:

unde k - coeficientul de elasticitate;x - valoarea deformării; un semn (-) indică faptul căF control îndreptate în direcția opusă deformării.

Pentru a depăși forța elastică, este necesar să se aplice o forță:

Lucrare elementară - lucrare efectuată cu deformare infinitesimală:

Un job complet poate fi găsit ca

Lucrarea din acest exemplu este de a crește energia potențială a arcului. Eu grasx = 0 Castigat = 0, apoi c \u003d0. Energia potențială a unui corp deformat elastic este

Exemplu5 . Punct material după masăm se deplasează de-a lungul axei DESPRE x într-un câmp de forță potențial cu energie în funcție de coordonatăx în lege: W р \u003d - α x 4, unde α este o constantă pozitivă. Găsiți dependența de accelerație a unui punct de coordonatăx.

Decizie. Folosind legătura dintre forță și energie potențială:

găsiți dependența forței de coordonatăx:

Conform celei de-a doua legi a lui Newton, obținem o expresie pentru accelerație:

Dacă dependența energiei potențiale de unghiul de rotație în timpul mișcării de rotație este dată analitic sau grafic, atunci folosind relația, puteți exprima momentul forței și puteți găsi, de asemenea, accelerația unghiulară

Exemplu6 . Greutatea vagonului m \u003d 20 t în mișcare la fel de lent cu viteza inițialăv 0 \u003d 54 km / h, frecare F mp \u003d 6 kN se oprește după un timp. A cauta o slujbaA forțele de frecare și distanțaSpe care mașina o va trece la popas.

Decizie.

1) Munca ȘI efectuată de forța rezultată poate fi definită ca o măsură a modificării energiei cinetice a unui punct material:

unde W k \u003d mv 2/2 \u003d 0.

Prin urmare A \u003d - W k 0 ;

A\u003d -2,25 MJ

2) Distanță

Răspuns: Lucrarea forțelor de frecare este -2,25 MJ, distanța pe care o va parcurge mașina până la oprire este de 375 m.

Exemplu 7 . Figura arată dependența de proiecțieF xforța care acționează asupra unui punct material din coordonata x. Determinați lucrarea efectuată atunci când deplasați un punct la o distanță de 5 m.

Fig. 12

Decizie. Conform condiției, forța depinde de coordonatăx... Lucrarea forței variabile de lax 1 inainte dex 2 este egal

Geometric, integralul poate fi interpretat ca aria figurii mărginită de secțiunea corespunzătoare a graficului, de segmentul axeix iar perpendiculare au căzut de la punctele finale ale graficului la axa absciselor. În prima secțiune a graficului, proiecția forțeiF x negativ și munca este, de asemenea, negativă. Numeric, este egal cu aria triunghiului. În secțiunile a doua și a treiaF x\u003e 0, lucrul la aceste secțiuni este pozitiv și se calculează ca ariile corespunzătoare ale unui dreptunghi și unui triunghi. Drept urmare, avem:

A \u003d - (1∙ 2)/2 + 1 ∙ 2 + (1 ∙ 1) ∙ 2 \u003d 1,5 J.

Dacă este dată dependența momentului de forță de coordonata unghiularăφ , atunci calculul muncii se efectuează după o formulă similară fie analitic, fie grafic.

Exemplu 8 . La marginea masei disculuim \u003d 5 kg forță de forfecare aplicatăF = 19,6 N. Ce energie cineticăW la va avea un disc în timpt = 5 c după începerea forței?

Decizie.

1) - energia cinetică a discului;

2) ω = ε t - viteză unghiulară;

3)

4) Moment de inerție pentru disc ;

6) Înlocuind datele, obținem:

Răspuns: Energie cinetică, după 5 sec. după debutul acțiunii, forța va fi egală cu 1,9 kJ.

Teorema despre schimbarea energiei cinetice a unui punct.

Luați în considerare un punct cu masă t, deplasându-se sub acțiunea forțelor aplicate acestuia din poziție M 0 unde are viteza , în poziție M 1 unde este viteza sa .

Pentru a obține dependența dorită, să apelăm la ecuaţie exprimând legea de bază a dinamicii. Proiectând ambele părți ale acestei egalități pe tangentă a puncta traiectoria M, îndreptate spre mișcare, obținem:

Valoarea accelerației tangențiale din stânga poate fi reprezentată ca

Ca urmare, vom avea:

Înmulțind ambele părți ale acestei egalități cuds , adăuga t sub semnul diferențial. Apoi, observând asta unde - lucrare elementară de forțăF k obținem expresia teoremei asupra schimbării energiei cinetice sub formă diferențială:

Acum, integrând ambele părți ale acestei egalități în limitele corespunzătoare valorilor variabilelor la puncteM 0 șiM 1 , în cele din urmă găsim:

Ecuația exprimă teorema schimbării energiei cinetice a unui punct în forma finală: schimbarea energiei cinetice a unui punct pentru o parte din deplasarea sa este egală cu suma algebrică a muncii tuturor forțelor care acționează asupra punctului pe aceeași deplasare.

Exemplu 9 . Conform graficului viteză versus timp v (t) determinați dacă activitatea unei forțe care acționează asupra unui punct material în intervalul de timp de la 0 inainte deτ pozitiv, negativ, egal cu zero (Fig. 13). Luați în considerare faptul că AO \u003d ОВ.

Fig. 13

Decizie. Lucrarea forței care acționează asupra particulei este egală cu creșterea energiei cinetice a particulei.

Energia cinetică a unui punct material este legată de viteză prin raport Deoarece viteza particulelor uneorit\u003d 0 șit= τ conform stării problemei sunt egale în mărime (pe graficul AO \u003d OB), atunci energiile cinetice din aceste stări sunt aceleași, adică Prin urmare, activitatea forței aplicate pentru perioada de timp specificată este egală cu zero.

Exemplu 10 . Punctul se deplasează de-a lungul axeiBou sub acțiunea unei forțe îndreptate de-a lungul axeix (fig. 14). Comparați valorile energiei cinetice a unui punct în stările inițiale și finale pentru cazurile în care proiecția forței pe axa coordonatelor se modifică conform graficelor „a” și „b” ?

Fig. 14

Decizie. Conform teoremei, creșterea energiei cinetice a particulei este egală cu activitatea forței care acționează asupra particulei.

Lucrarea forței variabile este determinată de raport Ținând seama de semnificația geometrică a integralei (aria unui trapezoid curviliniu), este ușor de văzut că în cazul „a” lucrarea este zero și energiile cinetice ale stărilor inițiale și finale coincid. În cazul în care „b” lucrarea este pozitivă și energia cinetică a stării finale este mai mare decât cea inițială.

Exemplu 11 . Două discuri cu mase egale, pe marimi diferite (R A = 2 R B ) rotiți până la aceleași viteze unghiulare. Găsiți relația lucrărilor produse.

Decizie. Lucrul la rotirea discului este egal cu creșterea energiei cinetice, adicăA= ∆ W k... Energia cinetică inițială a fiecărui disc este egală cu zero, cea finală este legată de viteza unghiulară prin formulă

Ținând cont că momentul de inerție al unui disc omogen solid este z , care poate fi văzut prin proiectarea ambelor părți ale egalitățiipe această axă. Expresia matematică a teoremei momentului despre axă este dată de formulă.

Întrebări de auto-testare

- Care sunt cele două măsuri ale mișcării mecanice și contorii corespunzători pentru acțiunea forței?

- Ce forțe se numesc forțe motrice?

- Ce forțe se numesc forțe de rezistență?

- Notați formulele pentru determinarea lucrării în mișcări de translație și rotație?

- Ce forță se numește forță de district? Ce este cuplul?

- Formulați o teoremă despre munca rezultatului.

- Cum se determină munca forței constante în mărime și direcție în mișcarea în linie dreaptă?

- Care este activitatea forței de frecare glisantă dacă această forță este constantă în mărime și direcție?

- În ce mod simplu puteți calcula munca unei forțe constante în mărime și direcție pe o deplasare curbiliniară?

- Care este activitatea forței rezultate.

- Cum să exprimăm lucrarea elementară a forței prin calea elementară a punctului de aplicare a forței și cum - prin creșterea coordonatei arcului acestui punct?

- Care este expresia vectorială a lucrării elementare?

- Care este expresia lucrării elementare a forței prin proiecția forței pe axa coordonatelor?

- Scrieți diferite tipuri de integrală curbiliniară, care determină lucrul unei forțe variabile pe o deplasare curbilinie finită.

- Care este modul grafic de a determina lucrul unei forțe variabile pe o mișcare curbată?

- Cum se calculează munca gravitațională și munca elasticității?

- Pe ce deplasări este opera gravitației: a) pozitivă, b) negativă, c) egală cu zero.

- În ce caz lucrarea forței elastice este pozitivă și în care - negativă?

- Ce forță se numește: a) conservatoare; b) neconservatoare; c) disipativ?

- Ce se numește potențialul forțelor conservatoare?

- Ce domeniu se numește potențial?

- Ce se numește funcția de forță?

- Ce se numește câmp de forță? Dați exemple de câmpuri de forță.

- Care sunt relațiile matematice dintre potențialul de câmp și funcția de forță?

- Cum se determină munca elementară a forțelor câmpului potențial și munca acestor forțe asupra deplasării finale a sistemului, dacă funcția de forță a câmpului este cunoscută?

- Care este activitatea forțelor care acționează asupra punctelor sistemului într-un câmp potențial, pe o deplasare închisă?

- Care este energia potențială a sistemului în orice poziție?

- Care este schimbarea energiei potențiale a unui sistem mecanic atunci când acesta este mutat dintr-o poziție în alta?

- Care este relația dintre funcția de forță a câmpului potențial și energia potențială a sistemului în acest câmp?

- Calculați modificarea energiei cinetice a unui punct cu o greutate de 20 kg, dacă viteza sa a crescut de la 10 la 20 m / s?

- Cum sunt determinate proiecțiile pe axele de coordonate ale forței care acționează în câmpul potențial în orice punct al sistemului?

- Ce suprafețe se numesc echipotențiale și care sunt ecuațiile lor?

- Cum este direcționată forța care acționează asupra unui punct material dintr-un câmp potențial în raport cu suprafața echipotențială care trece prin acest punct?

- Care este energia potențială a unui punct material și a unui sistem mecanic sub influența gravitației?

- Ce formă au suprafețele echipotențiale ale câmpului gravitațional și newtonian forțele gravitației?

- Care este legea conservării și transformării energiei mecanice?

- De ce un punct material descrie o curbă plană sub acțiunea unei forțe centrale?

- Ce se numește viteza sectorului și cum să-și exprime modulul în coordonate polare?

- Care este legea zonelor?

- Care este forma unei ecuații diferențiale în formă Binetdeterminarea traiectoriei unui punct care se mișcă sub acțiunea unei forțe centrale?

- Prin ce formulă este determinat modulul newtonian forțele gravitației?

- Care este forma canonică a ecuației secțiunii conice și la ce valori ale excentricității este traiectoria unui corp care se mișcă într-un câmp newtonian forțele gravitaționale, este un cerc, elipsă, parabolă, hiperbolă?

- Formulați legile mișcării planetare descoperite de Kepler.

- În ce condiții inițiale corpul devine un satelit al Pământului și în ce condiții este capabil să depășească gravitația pământului?

- Care sunt prima și a doua viteză cosmică?

- Notați formulele pentru calcularea lucrării cu mișcări de translație și rotație?

- Un vagon cu greutatea de 1000 kg este deplasat de-a lungul unei căi orizontale cu 5 m, coeficientul de frecare este de 0,15. Definiți opera gravitației?

- Notați formulele pentru calcularea puterii pentru mișcările de translație și rotație?

- Determinați puterea necesară pentru a ridica o sarcină de 0,5 kN la o înălțime de 10 m în 1 minut?

- Care este activitatea forței aplicate unui corp în mișcare rectilinie și cântărind 100 kg, dacă viteza corpului a crescut de la 5 la 25 m / s?

- Determinați eficiența generală a mecanismului dacă, cu o putere a motorului de 12,5 kW și o rezistență totală la mișcare de 2 kN, viteza de mișcare este de 5 m / s.

- Dacă mașina conduce un munte cu o putere constantă a motorului, atunci încetinește. De ce?

- Lucrare de forță constantă cu mișcare liniară W=10 J... Care este unghiul direcției forței cu direcția mișcării?

1) unghi acut;

2) unghi drept;

3) unghiul obtuz.

- Cum se va schimba energia cinetică a unui punct în mișcare rectilinie dacă viteza sa se dublează?

1) se va dubla;

2) se va cvadrupla.

- Care este activitatea forței gravitaționale cu o mișcare orizontală a corpului?

1) produsul gravitației și al deplasării;

2) lucrarea gravitației este zero.

- Legea conservării energiei mecanice este îndeplinită dacă

1) suma tuturor forțelor interne este zero;

2) suma tuturor vitezei plăgii este zero;

3) suma tuturor forțelor externe;

4) suma tuturor momentelor forțelor externe rănite la zero;

5) sub acțiunea forțelor conservatoare.

- Munca în mecanică este

1)

1 ) forțe a căror muncă nu depinde de forma căii;

2 ) forțe a căror muncă depinde de forma cărării;

3 ) forțe de frecare;

4 ) forțe gravitaționale;

5 ) forțe electrostatice.

- Care este activitatea forței rezultate:

1 ) o schimbare a energiei cinetice a corpului;

2 ) energie kinetică

Derivarea formulei pentru calcularea muncii forțelor de câmp la mișcarea sarcinilor. Conceptul de potențial, natura potențială a câmpului electrostatic. Conexiunea dintre tensiune și potențial. Potențialul de câmp al unui condensator plat, a unui filament încărcat, a condensatorilor cilindrici și sferici.

4. 1. Derivarea formulei pentru calcularea muncii forțelor de câmp la mișcarea sarcinilor. 4. 2. Conceptul de potențial, natura potențială a câmpului electrostatic. 4. 3. Relația dintre tensiune și potențial. 4. 4. Potențialul câmpului unui condensator plat, a filamentului încărcat, condensatorilor cilindrici și sferici.

4. 1. Derivarea formulei pentru calcularea muncii forțelor de câmp la mișcarea sarcinilor. Să existe o sarcină pozitivă punctuală. Să calculăm munca de deplasare de la punctul 1 la punctul 2. Fig. 4. 1. Deplasarea unei sarcini pozitive punct de la punctul 1 la punctul 2.

(4. 1) Concluzie: munca de a muta o sarcină dintr-un punct al câmpului în altul este egală cu produsul mărimii acestei sarcini prin diferența de potențial a punctelor de început și de final ale traiectoriei. La cuprins

4. 2. Conceptul de potențial, natura potențială a câmpului electrostatic. poate servi ca o caracteristică a câmpului. Deoarece la partea funcțională a expresiei (4.2), atunci luăm const \u003d 0. Obținem (4. 3) Această valoare se numește potențialul câmpului unei sarcini punctuale. (4,4) (4,5)

Potențialul câmpului la un punct dat este o mărime fizică care este numerică egală cu munca de transfer al unei sarcini pozitive unitare dintr-un punct dat al câmpului la infinit. Lucrul forțelor câmpului electrostatic este egal cu pierderea de energie potențială, adică (4.6) (4.7) Apoi, comparând (4.4) și (4.6), obținem T. la. La (4.8), atunci potențialul câmpului la un punct dat este o mărime fizică care este numerică egală cu energia potențială, care este dobândită de o sarcină pozitivă unitară atunci când este transferată de la infinit într-un punct dat al câmpului. Să aflăm proprietățile câmpului electrostatic potențial. (4. 9) Fig. 4.2.

1. Lucrul de transfer al unui câmp electric de la un punct la altul nu depinde de forma traiectoriei. (4. 10) 2. Lucrul la transferul de încărcare de-a lungul căii închise este zero. 1 și 2 reflectă natura potențială a câmpului. 3. Într-un câmp electric, circulația vectorului de intensitate de-a lungul buclei închise este egală cu zero.

Suprafețe echipotențiale. Prefixul equi înseamnă egal. O suprafață echipotențială este o suprafață formată din puncte care au același potențial. Pentru descrierea geometrică a câmpului electric, împreună cu liniile de forță, sunt utilizate și suprafețe echipotențiale. 1. Liniile de forță sunt perpendiculare pe suprafețele echipotențiale. Figura: 4. 3. Suprafețe echipotențiale 2. Lucrul de deplasare a sarcinii de-a lungul suprafeței echipotențiale este zero.

Experiența 4. 1. Demonstrarea suprafețelor echipotențiale. Scop: Demonstrarea suprafețelor echipotențiale. Echipament: 1. Electrometru demonstrativ. 2. Conductor conic pe un suport izolator. 3. Baston de abanos. 4. Lână. 5. Minge de testare pe mânerul izolator. 6. Două conductoare: una - 1, 5 - 2 m lungime flexibilă, cealaltă - pentru împământarea electrometrului. Figura: 4. 4. Instalare Progresul lucrărilor: O bilă de testare cu un conductor lung este conectată la tija electroscopului, corpul este împământat. Încărcăm conductorul și mutăm bila pe întreaga suprafață (exterioară și interioară) a conductorului. Citirile electrometrului nu se modifică. Concluzii: suprafața unui conductor încărcat are același potențial peste tot. La cuprins

4. 3. Relația dintre tensiune și potențial. Să existe un câmp vectorial și un câmp scalar (4. 11) Se știe că există o legătură între puterea și potențialul câmpului electrostatic: (4. 12) Cuprinsul

4. 4. Potențialul câmpului unui condensator plat, a filamentului încărcat, condensatorilor cilindrici și sferici. Condensator plat omogen. (4.13) Fig. 4. 4. Condensator plat omogen Alocare pentru muncă independentă. Folosind materialul prelegerilor 3 și 4, obțineți formule care descriu potențialul câmpului unui filament încărcat, condensatori cilindrici și sferici. La cuprins

Pentru un condensator cilindric, știm că vom găsi diferența de potențial între plăcile condensatorului prin integrarea Dacă spațiul dintre plăci este relativ, adică condiția este îndeplinită în acest caz Fig. 4.5

Pentru un condensator sferic Fig. 4. 6 Pentru un fir încărcat, unde R este grosimea firului Fig. 4.7

Exemplele luate în considerare mai jos oferă rezultate care pot fi utilizate direct în rezolvarea problemelor.

1. Lucrarea gravitației. Să se deplaseze punctul M, care este acționat de forța gravitației P, din poziție în poziție. Să alegem axele de coordonate, astfel încât axa să fie direcționată vertical în sus (Fig. 231). Atunci. Înlocuind aceste valori în formula (44), obținem, ținând cont că variabila de integrare este:

Dacă punctul este mai mare, atunci, unde h este mișcarea verticală a punctului; dacă punctul este sub punctul atunci.

În cele din urmă ajungem

În consecință, lucrarea forței de greutate este egală cu produsul modulului forței și deplasarea verticală a punctului de aplicare a acestuia, luată cu un semn plus sau minus. Lucrul este pozitiv dacă punctul de pornire este mai mare decât punctul final și negativ dacă punctul de pornire este mai mic decât punctul final.

Din rezultatul obținut, rezultă că lucrarea gravitației nu depinde de tipul traiectoriei de-a lungul căreia se deplasează punctul de aplicare al acesteia. Forțele cu această proprietate sunt numite potențiale (a se vedea § 126).

2. Lucrarea forței elastice. Luați în considerare o sarcină M, situată pe un plan orizontal și atașată la capătul liber al unui arc (Fig. 232, a). Pe plan, marcați cu punctul O poziția ocupată de sfârșitul arcului, atunci când nu este stresat - lungimea arcului neaccentuat) și luați acest punct ca origine. Dacă acum îndepărtăm sarcina de poziția de echilibru O, întinzând arcul la o valoare I, atunci arcul va primi o alungire și forța elastică F îndreptată către punctul O va acționa asupra sarcinii. Deoarece în cazul nostru, conform formulei (6) din § 76

Ultima egalitate este valabilă și pentru (sarcina din stânga punctului O); atunci forța F este îndreptată spre dreapta și se dovedește, așa cum ar trebui,

Să găsim munca efectuată de forța elastică atunci când deplasăm sarcina din poziție în poziție

Deoarece în acest caz, substituind aceste valori în formula (44), găsim

(Același rezultat poate fi obținut din graficul dependenței lui F de (Fig. 232, b), calculând aria a a trapezului umbrit în desen și ținând cont de semnul muncii.) În formula rezultată, reprezintă alungirea inițială a arcului - alungirea finală a arcului Prin urmare,

adică munca forței elastice este egală cu jumătate din produsul coeficientului de rigiditate prin diferența dintre pătratele alungirilor (sau compresiilor) inițiale și finale ale arcului.

Lucrarea va fi pozitivă atunci când sfârșitul arcului se deplasează spre poziția de echilibru și negativă atunci când sfârșitul arcului se îndepărtează de poziția de echilibru.

Se poate dovedi că formula (48) rămâne valabilă în cazul în care deplasarea punctului M nu este rectilinie. Astfel, se dovedește că lucrarea forței F depinde numai de valorile și și nu depinde de tipul de traiectorie al punctului M. Prin urmare, forța elastică este, de asemenea, potențială.

3. Lucrarea forței de frecare. Luați în considerare un punct care se mișcă de-a lungul unei suprafețe aspre (Fig. 233) sau a unei curbe. Forța de frecare care acționează asupra punctului este egală în mărime în care f este coeficientul de frecare și N este reacția normală a suprafeței. Forța de frecare este îndreptată opusă deplasării punctului. Prin urmare, și prin formula (44)

Dacă forța de frecare este constantă numeric, atunci unde s este lungimea arcului curbei de-a lungul căreia se mișcă punctul.

Astfel, activitatea forței de frecare glisantă este întotdeauna negativă. Deoarece această lucrare depinde de lungimea arcului, prin urmare, forța de frecare este o forță non-potențială.

4. Lucrarea forței de greutate Dacă Pământul (planeta) este considerat o bilă omogenă (sau o bilă formată din straturi concentrice omogene), atunci punctul M cu masa, situat în afara mingii la o distanță de centrul său O (sau situat pe suprafața mingii), va fi să acționeze forța gravitațională F îndreptată spre centrul O (Fig. 234), a cărei valoare este determinată de formula (5) din § 76. Reprezentăm această formulă în forma

n definim coeficientul k din condiția ca atunci când un punct se află pe suprafața Pământului (r \u003d R, unde R este raza Pământului), forța de greutate este mg, unde g este accelerația gravitației (mai precis, forța de greutate) de pe suprafața pământului. Atunci ar trebui să existe