transcendentalne cislo. Čo je transcendencia alebo prečo sa nemôžeme poznať Transcendentné číslo e

Iľja Ščurov

Matematik Ilya Shchurov despre desatinných zlomkoch, transcendencii a iracionalite Pi.

Ako ten „jeden“ pomohol vybudovať prve mestá a veľké ríše? Ako ste inšpirovali vynikajúce mysle ľudstva? Akú úlohu zohrala pri vzniku peňazí? Ako sa „jedna“ spojila s nulou, aby vládla modernom svete? História jednotky je neoddeliteľne spojená s históriou európskej civilizácie. Terry Jones Pomocou počítačovej grafiky v tomto program jednotka ožíva rôznymi spôsobmi. Z histórie jednotky je jasné, odkiaľ sa vzali moderné čísla a ako nás vynález nuly zachránil od toho, aby sme dnes museli používať rímske číslice.

Jacques Cesiano

O Diofantovi vieme malo. Zda sa, že žil v Alexandrii. Žiaden grécky matematik ho pred 4. storočím nespomína, takže žil pravdepodobne v polovici 3. storočia. Najviac hlavna praca Diophantus, „Aritmetika” (Ἀριθμητικά), sa odohrala na začiatku 13 „kníh” (βιβλία), t.j. capitolul. Dnes ich máme 10, a to: 6 v gréckom texte a 4 ďalšie v stredovekom arabskom preklade, ktorých miesto je uprostred gréckych kníh: knihy I-III v gréčtine, IV-VII v arabčine, VIII-X po grécky. „Aritmetika“ Diophantusa je predovšetkým súbor problémov, celkovo ich je asi 260. V skutočnosti neexistuje žiadna teória; v úvode knihy sú len všeobecné pokyny a v prípade potreby špecifické poznámky k niektorým problémom. „Aritmetika“ už má črty algebraického pojednania. Prvý si Diophantus užíva rozne znamenia, na vyjadrenie neznámeho a jeho právomocí, aj niektoré výpočty; ako všetka algebraická symbolika stredoveku, jej symbolika pochádza z matematických slov. Potom Diophantus vysvetľuje, ako vyriešiť problém algebraickým spôsobom. Diofantinove problémy však nie sú algebraické v obvyklom zmysle, pretože takmer všetky sú redukované na riešenie neurčitej rovnice alebo sústavy takýchto rovníc.

George Shabat

Program kurzu: Historia. Prve hodnotenia. Problema sumernosti obvodu kruhu s jeho priemerom. Nekonečné radiy, produce un iné výrazy pre π. Konvergencia a jej kvalita. Výrazy obsahujuce π. Sekvencie, ktoré rýchlo konvergujú k π. Moderné metódy na výpočet π, použitie počítačov. O iracionalite a transcendencii π a niektorých ďalších čísel. Na pochopenie kurzu nie sú potrebné žiadne predchádzajúce znalosti.

Vedci z Oxfordskej univerzity uviedli, že prvé známe použitie čísla 0 na označenie absencie hodnoty miesta (ako v čísle 101) možno nájsť v texte indického rukopisu Bakhshali.

Vasilij Pispanen

Cine v detstve nehral hru "vymenuj najväčšie číslo"? Už teraz je ťažké predstaviť si milióny, bilióny a iné "-ony" v mysli, ale pokúsime sa rozoznať "mastodonta" v matematike – Grahamovo číslo.

Viktor Kleptsyn

Real číslo možno ľubovoľne presne aproximovať racionálnymi číslami. A ako dobré môže byť takéto priblíženie v porovnaní s jeho zložitosťou? Napríklad prerušenie desiatkového zapisu čísla x at k-ta cislica za desatinnou čiarkou dostaneme aproximáciu x≈a/10^k s chybou rádovo 1/10^k. A vo všeobecnosti, ak zafixujeme menovateľa q aproximačného zlomku, určite dostaneme aproximáciu s chybou rádovo 1/q. A da sa to urobiť lepšie? Známa aproximácia π≈22/7 dáva chybu rádovo 1/1000, čo je jednoznačne oveľa lepšie, ako by sa dalo očakávať. Un preco? Máme šťastie, že π má takúto aproximáciu? Ukazuje sa, že pre každé iracionálne číslo existuje nekonečne veľa zlomkov p/q, ktoré ho aproximujú lepšie ako 1/q^2. Toto tvrdí Dirichletova veta - a kurz začneme trochu neštandardným dôkazom.

V roku 1980 Guinessova kniha rekordov zopakovala Gardnerove tvrdenia, čo ešte viac podporilo záujem verejnosti o toto číslo. Grahamovo veľke cisla, ako je googol, googolplex a ešte viac ako Skewesovo číslo a Moserovo číslo. V skutočnosti je celý pozorovateľný vesmír príliš malý na to, aby obsahoval bežné desatinné vyjadrenie Grahamovho čísla.

Dmitri Anosov

Prednášky číta Anosov Dmitrij Viktorovič, doktor fyzikálnych a matematických vied, profesor, akademik Ruskej akadémie vied. Letná skola "Moderná matematika", Dubna. 16-18 iulie 2002

Na túto otázku nie je možné správne odpovedať, pretože číselny rad nemá hornu hranicu. K akémukoľvek číslu teda stačí pridať jedno a dostanete ešte väčšie číslo. Hoci samotné čísla sú nekonečné, nemajú príliš veľa vlastných mien, pretože väčšina z nich sa uspokojí s menami zloženými z menších čísel. Je jasné, že v konečnom subore čísel, ktoré ľudstvo ocenilo vlastným menom, musí byť nejaké najväčšie číslo. Ako sa však volá a čomu sa rovná? Skúsme na to prísť a zároveň zistiť, na aké veľké čísla prišli matematici.

čo nám pre a = 1 slúžilo na určenie súčtu geometrickej postupnosti. Za predpokladu, že Gaussova veta bola dokázaná, predpokladáme, že a = a 1 je koreň rovnice (17), takže

	) = a n + a		un n-1			un n-2		a 1 + a

Odčítaním tohto výrazu od f(x) a preskupením členov dostaneme identitu

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − an 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Teraz pomocou vzorca (20) môžeme extrahovať faktor x − a 1 z každého člena a potom ho vyňať zo zátvorky a stupeň polynómu, ktorý zostane v zátvorkách, bude už o jeden menší. Opätovným preusporiadaním podmienok získame identitu

f(x) = (x − a1 )g(x),

kde g(x) je polynóm stupňa n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 +. . . + b1 x + b0 .

(Výpočet koeficientov označených b nás tu nezaujíma.) Aplikujme rovnaký argument ďalej na polynóm g(x). Podľa Gaussovej vety existuje koreň a2 rovnice g(x) = 0, takže

g(x) = (x − a2 )h(x),

kde h(x) je nový polynóm stupňa už n − 2. Zopakovaním týchto argumente n − 1-krát

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x - an).

Z identitate (22) vyplýva nielen to, že komplexné čísla a1 , a2 ,

A sú korene rovnice (17), ale aj skutočnosť, že rovnica (17) nemá žiadne iné korene. Ak by totiž číslo y bolo koreňom rovnice (17), potom by to vyplývalo z (22).

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Ale videli sme (s. 115) Takže jeden z faktorov y − ar sa rovná 0, t.j. y = ar, čo je to, čo bolo potrebné stanoviť.

§ 6.

1. Definiţie a otázky existencie. Algebraické číslo je akékoľvek číslo x, skutočné alebo imaginárne, ktoré spĺňa nejakú algebraickú rovnicu tvaru

an xn + an-1 xn-1 +. . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6 = 0),

130 MATEMATICKÁ NUMERICKÁ SÚSTAVA kap. II

kde čísla ai su celé čísla. Takže napríklad číslo 2 je algebraické, pretože spĺňa rovnicu

x2 − 2 = 0.

Rovnakým spôsobom je algebraickým číslom každý koreň akejkoľvek rovnice s celočíselnými koeficientmi tretieho, štvrtého, piateho, akéhokoľvek stupňa a bez ohľadu rovnice s celočíselnými koeficientmi tretieho, štvrtého, piateho, akéhokoľvek stupňa a bez ohľadu rovnice s-a lebodľadu na to, vľoľadu na radija. Pojem algebraické číslo je prirodzeným zovšeobecnením pojmu racionálne číslo, ktoré zodpovedá konkrétnemu prípadu n = 1.

Nie každé realne číslo je algebraické. Vyplýva to z nasledujúcej Cantorovej vety: množina všetkých algebraických čísel je spočítateľná. Od množstva všetkých realne cisla nespočítateľné, potom musia nevyhnutne existovať realne čísla, ktoré nie sú algebraické.

Naznačme jednu z metód na prepočet množiny algebraických čísel. Každá rovnica tvaru (1) je spojená s kladnym celým číslom

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | +n,

ktorú pre stručnosť nazveme "výška" rovnice. Pre každú pevnú hodnotu n existuje len konečný počet rovníc tvaru (1) s výškou h. Každá z týchto rovníc má najviac n koreňov. Preto môže existovať len konečný počet algebraických čísel generovaných rovnicami s výškou h; preto môžu byť všetky algebraické čísla usporiadané vo forme postupnosti, pričom najprv sú uvedené čísla generované rovnicami výšky 1, potom čísla výšky 2 atď.

Tento dôkaz, že množina algebraických čísel je spočítateľná, potvrdzuje existenciu realnych čísel, ktoré nie sú algebraické. Takéto čísla sa nazývajú transcendentálne (z latinského transcendere - prejsť, prekonať); Euler im dal toto meno, pretože „prekračujú silu algebraických metód“.

Cantorov dôkaz existencie transcendentalnych čisel nie je konštruktívny. Teoreticky povedané, transcendentálne číslo by sa dalo zostrojiť diagonálnou procedúrou vykonanou na imaginárnom zozname desiatkových expanzií všetkých algebraických čísel; ale takýto postup nemá žiadnu praktickú hodnotu a neviedol de k číslu, ktorého rozšírenie na desatinný (alebo nejaký iný) zlomok de sa skutočne dalo zapísať. Najzaujímavejšie problémy spojené s transcendentálnymi číslami spočívajú v dokazovaní, že určité konkrétne čísla (sem patria čísla p a e, pozri s. 319–322) sú transcendentalne.

ALGEBRAICKÉ A TRANSCENDENTNÉ ČÍSLA

**2. Liouvilleova veta a konštrukcia transcendentalnych čisel. Dôkaz o existencii transcendentalnych čísel ešte pred Cantorom podal J. Liouville (1809–1862). Umožňuje skutočne zostaviť príklady takýchto čísel. Liouvillov dôkaz je zložitejší ako Cantorov, a to nie je prekvapujúce, pretože zostaviť príklad je vo všeobecnosti zložitejšie ako dokázať existenciu. Pri uvádzaní Liouvillovho dôkazu nižšie máme na mysli iba trénovaného čitateľa, hoci znalosť elementárnej matematiky úplne postačuje na pochopenie dôkazu.

Ako zistil Liouville, iracionálne algebraické čísla majú tú vlastnosť, že ich nemožno aproximovať racionálnymi číslami s veľmi vysokým stupňom presnosti, pokiaľ nie sú menovatele extreme veľločný proxima.

Predpokladajme, že číslo z spĺňa algebraickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +. . . + an xn = 0 (an 6 = 0),

ale nespĺňa rovnakú rovnicu nižšieho stupňa. Potom

povedzme, že samotné x je algebraické číslo stupňa n. Napriklad,

číslo z = 2 je algebraické číslo stupňa 2, pretože spĺňa rovnicu x2 − 2 = 0√ stupňa 2, ale nespĺňa rovnicu prvého stupňa; číslo z = 3 2 je stupňa 3, pretože spĺňa rovnicu x3 − 2 = 0, ale nespĺňa (ako ukážeme v kapitole III) rovnicu nižšieho stupňa. Algebraické číslo stupňa n > 1

nemôže byť racionálne, keďže racionálne číslo z = p q spĺňa

spĺňa rovnicu qx − p = 0 stupňa 1. Každé iracionálne číslo z možno aproximovať s ľubovoľným stupňom presnosti pomocou racionálneho čísla; to znamená, že vždy môžete zadať postupnosť racionálnych čísel

p1, p2,. . .

q 1 q 2

s neobmedzene rastúcimi menovateľmi, ktorý má vlastnosť

Ze

p r → z. qr

Liouvilleova veta hovorí: nech je algebraické číslo z stupňa n > 1 akékoľvek, nemôže byť aproximované racionálnym

dostatočne veľké menovatele, nerovnosť

z−p q			> qn1+1.

SISTEMUL MATEMATICKÝ ČÍSELNÝ

Dáme dôkaz tejto vety, ale najprv ukážeme, ako ju možno použiť na zostavenie transcendentálnych čísel. Zvážte cislo

z = a1 10−1! + a2 10-2! + a3 10-3! + . . . + dopoludnia · 10-m! + . . . == 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000 . . . ,

kde ai znamená ľubovoľné číslice od 1 do 9 (najjednoduchšie de bolo nastaviť všetky ai na 1) un simbol n!, ako obvykle (pozri str. 36), znamená 1 2 . . . n. Charakteristickou vlastnosťou desatinného rozvoja takéhoto čísla je, že sa v ňom striedajú skupiny núl s rýchlo rastúcou dĺžkou s jednotlivými číslicami inými ako nula. Označme zm konečný desatinný zlomok získaný zobratím všetkých členov do am · 10−m! vratane. Potom dostaneme nerovnosť

Predpokladajme, že z de bolo algebraické číslo stupňa n. Potom nastavením Liouvilleovej nerovnosti (3) p q = zm = 10 p m! , musíme mať

|z - zm | > 10(n+1)m!

na dosť veľke hodnoty m. Porovnanie poslednej nerovnosti s nerovnicou (4) dáva

10(n+1)m!		10(m+1)!			10(m+1)!-1

odkiaľ nasleduje (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 pre dostatočne veľke m. To však neplatí pre hodnoty m väčšie ako n (nech si čitateľ dá tú námahu a podrobne dokáže toto tvrdenie). Dostali sme sa do rozporu. Takže číslo z je transcendentalne.

Zostava dokázať Liouvilleovu vetu. Predpokladajme, že z je algebraické číslo stupňa n > 1, ktoré spĺňa rovnicu (1), takže

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn ).

Vydelením oboch častí zm − z a použitím algebraického vzorca

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

dostaneme:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm2 + zm z + z2) +. . .
	zm − z
		An (zm n-1 + ... + zn-1). (6)

ALGEBRAICKÉ A TRANSCENDENTNÉ ČÍSLA

Keďže zm má tendinciu k z, potom pre dostatočne veľké m sa racionálne číslo zm bude líšiť od z o menej ako jedna. Preto pre dostatočne veľké môžeme urobiť nasledujúci hrubý odhad:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

navyše číslo M vpravo je konštantné, keďže z sa pri dokazovaní nemení. Vyberme teraz m take veľké, že

zlomok z m = p m má menovateľ q m bol väčší ako M; Potom qm

|z - zm | >	|f(zm )|			|f(zm )|

|f(zm )| =							-qn
							1 p +. . . + a
Justificare cislo zm =			nemôže byť koreňom rovnice

odvtedy de bolo možné extrahovať faktor (x − zm ) z polynómu f(x), a preto de z vyhovovalo rovnici stupňa nižšieho ako n. Takže f(zm ) 6= 0. Z porovnania vzťahov (8) a (9) teda vyplýva nerovnosť

|z - zm | >
					qn+1

čo je práve obsahom naznačenej vety.

Za posledných niekoľko desaťročí pokročil výskum o možnosti aproximácie algebraických čísel racionálnymi oveľa ďalej. Napríklad nórsky matematik A. Thue (1863–1922) zistil, že v Liouvilleovej nerovnosti (3) možno exponent n + 1 nahradiť menším exponentom n 2 + 1.

K. L. Siegel ukázal, že je možné brať aj menšie (ešte menšie

pre väčšie n) exponent 2 n.

Transcendentalne čísla boli vždy témou, ktorá priťahuje pozornosť matematikov. Ale až do pomerne nedávnej doby bolo medzi číslami, ktoré sú samy osebe zaujímavé, len veľmi málo známych, ktorých transcendentalny charakter bolo možné preukázať. (Z transcendencie čísla p, o ktorom bude reč v kapitole III, vyplýva nemožnosť kvadratúry kruhu pomocou pravítka a kružidla.) navrhol tridsať matematickych

ALGEBRA mnozin

problémy, ktoré pripúšťajú jednoduchú formuláciu, niektoré dokonca celkom elementárne a populárne, z ktorých nielenže neboli vyriešené, ale dokonca sa zdali byť vyriešené pomocou matematiky tej doby. Tieto „Hilbertove problémy“ mali silný stimulačný účinok počas celého nasledujúceho obdobia vo vývoji matematiky. Takmer všetky boli postupne vyriešené a v mnohých prípadoch bolo ich riešenie spojené s jasným pokrokom vo vývoji všeobecnejších a hlbších metód. Jeden problem, ktorý vyzeral dosť beznádejne, bol

dokaz, že číslo

je transcendentné (alebo aspoň iracionálne). Počas troch desaťročí nebol z nikoho ani náznak takého prístupu k problematike, ktorý by otvoril nádej na úspech. Napokon Siegel a nezávisle od neho aj mladý ruský matematik A. Gelfond objavili nové metódy na dokázanie transcendencie mnohých

čísla, ktoré su dôležité v matematike. Najma bolo stanovene

transcendencia nielen Hilbertovho čísla 2 2 , ale aj pomerne rozsiahlej triedy čísel tvaru ab , kde a je algebraické číslo iné ako 0 a 1 a b je iracionálne algebraické číslo.

DODATOK KU KAPITOLE II

Algebra mnozin

1. Teoria Všeobecna. Pojem triedy, zbierky alebo množiny obiectv je jedným z najzákladnejších v matematike. Množina je definovaná nejakou vlastnosťou („atribútom”) A, ktorú musí mať alebo nemá mať každý predmet, ktorý sa uvažuje; tie objekty, ktoré majú vlastnosť A tvoria množinu A. Ak teda uvažujeme celé čísla a vlastnosťou A je „byť prvočíslo“, potom zodpovedajúca množina A pozostáva zo všetkých prvočísel 2, 73, 5, 73,. . .

Matematická teória množín vychádza z toho, že z množín možno pomocou určitých operácií vytvárať nové množiny (tak ako sa nové čísla získavajú z čísel operaciami sčítania a nás). Štúdium operacií na množinách je predmetom „množinovej algebry“, ktorá má veľa spoločného s bežnou numerickou algebrou, hoci sa od nej v niečom líši. Skutočnosť, že algebraické metódy možno použiť na štúdium nenumerických objektov, ako sú množiny, je názorná.

ALGEBRA mnozin

ukazuje veľkú všeobecnosť myšlienok modernej matematiky. Nedávno sa ukázalo, že množinová algebra vrhá nové svetlo na mnohé oblasti matematiky, napríklad teóriu miery a teóriu pravdepodobnosti; je užitočná aj pri systematizácii matematických pojmov a objasňovaní ich logických súvislostí.

V nasledujúcom budem označovať určitú konštantnú množinu objektov, ktorých povaha je indiferentná a ktorú môžeme nazvať univerzálnou množinou (alebo vesmírom uvažovania) a

A, B, C,. . . budú nejaké podmnožiny I. Ak I je zbierka všetkých prirodzene cisla, potom A, povedzme, môže označovať množinu všetkých párnych čísel, B je množina všetkých nepárnych čísel, C je množina všetkých prvočísel atď. Ak I označuje množinu všetkých bodov v rovine, potom Je pre nás vhodné zahrnúť samotné I ako "podmnožinu", ako aj "prázdnu" množinu, ktorá neobsahuje akékoľvek prvky. Eu, ktoré túto vlastnosť majú. V prípade, že A je univerzálne implementovaná vlastnosť, ktorej príkladom je (ak. rozpravame sa na číslach) vlastnosť splnenia triviálnej rovnosti x = x, potom zodpovedajúca podmnožina I bude sama I, keďže túto vlastnosť má každý prvok; na druhej strane, ak A je nejaká vnútorne protirečivá vlastnosť (ako x 6= x), potom zodpovedajúca podmnožina neobsahuje vôbec žiadne prvky, je "prázdna" a je označená symbolom.

Hovoríme, že množina A je podmnožinou množiny B, skrátka "A je zahrnuté v B", alebo "B obsahuje A", ak v množine A nie je prvok, ktorý by nebol aj v množine B. Tento vzťah zodpovedá zápisu

A B, alebo B A.

Napríklad množina A všetkých celých čísel deliteľných 10 je podmnožinou množiny B všetkých celých čísel deliteľných 5, keďže každé číslo deliteľné 10 je deliteľné 10 je deliteľu5 V. a tak či tak

To znamená, že každý prvok A je zároveň prvkom B a naopak, takže množiny A a B obsahujú presne tie isté prvky.

Vzťah A B medzi množinami v mnohých ohľadoch pripomína vzťah a 6 b medzi číslami. Predovšetkým si všimneme nasledovné

ALGEBRA mnozin

nasledujuce vlastnosti tohto pomeru:

1) A.

2) Ak A B a B A, potom A = B.

3) Ak A B a B C, potom A C.

Z tohto dôvodu sa vzťah A B niekedy označuje ako "relácia poradia". Hlavný rozdiel medzi uvažovaným vzťahom a vzťahom a 6 b ťahov a 6 b alebo b 6 a, zatiaľ čo pre vzťah A B medzi množinami podobné tvrdenie je unpravdive. Napríklad, ak A je množina pozostávajúca z čísel 1, 2, 3,

a B je množina pozostávajúca z čísel 2, 3, 4,

potom neplatí vzťah A B ani vzťah B A. Z tohto dôvodu hovoríme, že podmnožiny A, B, C, . . . množiny I sú „čiastočne usporiadané“, kým realne čísla a, b, c, . . .

tvoria "dobre usporiadaný" súbor.

Všimnite si, mimochodom, z definície vzťahu A B vyplýva, že bez ohľadu na podmnožinu A množiny I,

Vlastnosť 4) sa môže zdať trochu paradoxná, ale ak sa nad tým zamyslíte, logicalky presne zodpovedá presnému významu definície znaku. V skutočnosti de bol porušený iba vzťah A

V v prípade, že prázdna množina obsahovala prvok, ktorý de nebol obsiahnutý v A; ale keďže prázdna množina neobsahuje vôbec žiadne prvky, nemôže to tak byť, nech je A akékoľvek.

Teraz definujeme dve operácie na množinách, ktoré majú formálne mnohé z algebraických vlastností sčítania a násobenia čísel, hoci sú svojím vnútorným obsahom úplne odlištochých acii od t. Nech A a B sú nejaké dve množiny. Zjednotenie alebo "logický súčet" A la B

V B Tato sada je označená ako A + B. 1 „Priesečník“ alebo „logický súčin“ A a B sa chápe ako množina pozostávajúca z tých prvkov, ktoré sú obsiahnuté v A aj B. Táto množina sa označuje ako AB.2

Medzi doležité algebraické vlastnosti operacií A + B a AB uvádzame nasledovné. Čitateľ si bude môcť overiť ich platnosť na základe definície samotných operacií:

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	A(B + C) = AB + AC.		A + (BC) = (A + B) (A + C).
	Vzťah A B je ekvivalentný každému z týchto dvoch vzťahov

Kontrola všetkých týchto zákonov je vecou tej najzákladnejšej logiky. Napríklad pravidlo 10) uvádza, že množina prvkov obsiahnutých v A alebo A je len množina A; pravidlo 12) uvádza, že množina tých prvkov, ktoré sú obsiahnuté v A a súčasne sú obsiahnuté buď v B alebo v C, sa zhoduje so množinou prvkov, ktoré sú buď obsiahnuté vúčasne obsiahnuté vútés vús a súcs obsiahnuté vús a Búčasne A. a C Logické uvažovanie používané pri dôkazoch tohto druhu pravidiel je vhodne ilustrované, ak súhlasíme s reprezentáciou množín A, B, C, . . v podobe nejakých figúrok na rovine a budeme veľmi opatrní, aby sme nepremeškali niektorú z vynárajúcich salogicalkých možností, keď ide o prítomnosť spoločných prvkov dvoch množín prítomé bojnop, množín prítomé množnop su obsiahnuté v druhom.

ALGEBRA mnozin

Čitateľ nepochybne upozornil na skutočnosť, že zakony 6), 7), 8), 9) a 12) sú navonok totožné so známymi komutatívnymi, asociatívnymi a distributívnymi zákonmi bežnej algebry. Z toho vyplýva, že všetky pravidlá obyčajnej algebry, ktoré z týchto zákonov vyplývajú, platia aj v algebre množín. Naopak, zakony 10), 11) a 13) Napríklad binomický vzorec v množinovej algebre sa redukuje najjednoduchšiu rovnosť

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

čo vyplýva zo zakona 11). Zákony 14), 15) a 17) hovoria, že vlastnosti množín a I vo vzťahu k operáciám zjednotenia a prieniku množín sú veľmi podobné vlastnostiam čísel 0 a 1 vo vzťahu k operáciám zjednotenia a zjednotenia n. benie. Ale zakon 16) nemá v numerickej algebre obdobu.

Zostava definivať ešte jednu operaciu v algebre množín. A0 . Takže, ak I je množina všetkých prirodzených čísel a A je množina všetkých prvočísel, potom z A do A0 , pre ktorú neexistuje analóg v bežnej algebre má nasledujúce vlastnosti:

	A + A0 = I.		AA0 = .
	0 = I.		I0 = .

23) A 00 = A.

24) Vzťah A B je ekvivalentný vzťahu B 0 A0 .

25) (A + B)o = A0BO. 26) (AB)o = Ao + B0.

Overenie týchto vlastností opäť nechávame na čitateľa.

Zákony 1)–26) sú základom algebry množín. Majú pozoruhodnú vlastnosť „dualitate” v nasledujúcom zmysle:

Ak v niektorom zo zakonov 1)–26) nahradime zodpovedajúci

(pri každom ich výskyte), potom je výsledkom opäť jeden z tých istých zakonov. Napríklad zákon 6) prechádza do zákona 7), 12) - do 13), 17) - do 16) atď. Z toho vyplýva, že každej vete, ktorú možno odvodiť zo zákonov Skutočne, od dokazu

cap. II ALGEBRA množín 139

prva veta pozostava z konzistentna aplikácia(v rôznych štádiách prebiehajúceho uvažovania) niektorých zákonov 1–26), potom aplikácia "duálnych" zákonov v zodpovedajúcich štádiách bude predstavovať dôkaz "duálnej" vety. (Podobnú "dualitu" v geometria nájdete v kapitole IV.)

2. Aplikácia na matematickú logiku. Overenie zákonov algebry množín bolo založené na analýze logického významu vzťahu A B a operacií A + B, AB a A0 . Teraz môžeme tento proces zvrátiť a považovať zákony 1)–26) za základ pre „algebru logiky“. Povedzme presnejšie: tú časť logiky, ktorá sa týka množín, alebo v podstate rovnakých vlastností uvažovaných objektov, možno zredukovať na formálny algebraický systém založený na zákonoch 6). Logický "podmienený vesmír" definuje množinu I; ktoré majú túto vlastnosť. Pravidlá na preklad bežnej logickej terminológie do stanoveného jazyka sú jasné z

nasledujuce priklady:
"Ani A ani B"			(A + B)0 alebo, čo je to isté, A0 B0
"Nie je pravda, ze A aj B"			(AB)0 alebo, čo je to isté, A0 + B0
je B", alebo
"Ak A, tak B"
"Od A nasleduje B"
„Niektore A je B”
"Nie A je B"			AB=
"Niektore A nie su B"			AB0 6=
„Neexistuje žiadne A”

Z hľadiska množinovej algebry má sylogizmus "Barbara", ktorý znamená "ak každé A je B a každé B je C, potom každé A je C", jednoduchú form:

3) Ak A B a B C, potom A C.

Podobne „zákon protirečenia“, ktorý uvádza, že „predmet nemôže mať a zároveň nemať nejakú vlastnosť“, je napísaný takto:

20) AA 0 = ,

A „zákon vylúčeného stredu“, ktorý hovorí, že „predmet buď musí mať alebo nemusí mať nejakú vlastnosť“ je napísaný:

19) A + Ao = I.

ALGEBRA mnozin

S tou časťou logiky, ktorá je vyjadrená pomocou symbolov, +, a 0 , možno teda zaobchádzať ako s formálnym algebraickým systémom podľa zákonov 1)–26). Na základe spojenia logickej analýzy matematiky a matematickej analýzy logiky vznikla nová disciplína - matematická logika, ktorá je v súčasnosti v procese prudkého rozvoja.

Z axiomatického hľadiska možno pozoruhodnú skutočnosť, že tvrdenia 1)–26), spolo so všetkými ostatnými vetami množinovej algebry, logicky odvodiť z nasledujúcich troch:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0)0 + (A0 + B)0 = A.

Z toho vyplýva, že algebra množín môže byť skonštruovaná ako čisto deduktívna teória, podobne ako euklidovská geometria, na základe týchto troch tvrdení braných ako axiómy. Ak sú tieto axiómy prijaté, potom operacia AB a vzťah A B sú definované v podmienkach A + B a A0 :

	označuje množinu (A0 + B0 )0 ,
	B znamena, že A + B = B.

Úplne iný príklad matematického systému, v ktorom sú splnené všetky formálne zákony algebry množín, poskytuje sústava ôsmich čísel 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: tu a +, o bľa cuľa

podľa definície najmenší spoločný násobok aab, ab je najväčší spoločný deliteľ aab, ab je výrok "b je deliteľné a" a a0 je číslo 30 a . Su-

Existencia takýchto príkladov viedla k štúdiu všeobecných algebraických systémov spĺňajúcich zákony 27). Takéto systémy sa nazývajú "Booleovské algebry" podľa anglického matematika a logika Georga Boolea (1815 – 1864), ktorého kniha Vyšetrovanie zákonov myslenia vyšla v roku 1854.

3. Jedna z aplikácií do teórie pravdepodobnosti. Množinová algebra úzko súvisí s teóriou pravdepodobnosti a umožňuje vám pozrieť sa na ňu v novom svetle. Uvažujme o najjednoduchšom príklade: predstavme si experiment s konečným počtom možných výsledkov, pričom všetky sú považované za "rovnako možné". Experimentul môže napríklad spočívať v náhodnom ťahaní karty z dobre zamiešaného plného balíčka. Ak množinu všetkých výsledkov experimentu označíme I a A nejakú podmnožinu I, potom pravdepodobnosť, že výsledok experimentu bude patriť do podmnožiny A, je definovaná ako pomer

p(A) = počet prvkov A . počet prvkov I

ALGEBRA mnozin

Ak súhlasíme, že počet prvkov v nejakej množine A označíme n(A), potom posledná rovnosť môže mať tvar

V našom príklade, za predpokladu, že A je podmnožinou palíc, dostaneme
n(A) = 13, n(I) = 52 a p(A)=

Myšlienky algebry množín sa nachádzajú pri výpočte pravdepodobností, keď je potrebné, poznať pravdepodobnosti niektorých množín, vypočítať pravdepodobnosti iných. Napríklad vzhľadom na pravdepodobnosti p(A), p(B) a p(AB) môžeme vypočítať pravdepodobnosť p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

Dokázať a nebude ťažké. Mame

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

keďže prvky obsiahnuté súčasne v A a B, t. j. prvky AB, sa pri výpočte súčtu n(A) + n(B) počítajú dvakrát, a preto je potrebné od tohto súčtu odpočítať n(AB). aby sa vypočítalo n(A + B) bolo vytvorené správne. Potom vydelením oboch strán rovnosti n(I) dostaneme vzťah (2).

Zaujímavejší vzorec získame, ak hovoríme o troch množinách A, B, C z I. Pomocou vzťahu (2) máme

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Zákon (12) z predchádzajúceho odseku nám dáva (A + B)C = AC + BC. Pentru znamena:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Nahradením hodnoty p[(A + B)C] a hodnoty p(A + B) prevzatej z (2) do vzťahu získaného skôr, dostaneme vzorec, ktorý potrebujeme:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Ako príklad zvážte nasledujúci experiment. Tri čísla 1, 2, 3 sú napísané v ľubovoľnom poradí. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň jedna z číslic bude na správnom (z hľadiska číslovania) mieste? Nech A je množina permutácií, v ktorých je číslo 1 na prvom mieste, B je množina permutácií, v ktorých je číslo 2 na druhom mieste, C je množina permutácií, v ktorých je číslo 3 na treťom mieste . miesto. Musíme vypočítať p(A + B + C). To je jasne

p(A) = p(B) = p(C) = 26 = 13;

skutočne, ak je akákoľvek číslica na správnom mieste, potom existujú dve možnosti, ako zmeniť usporiadanie zvyšných dvoch číslic z celkového počtu 3 2 1 = 6 možných permutácií. Palej

Cvicenie. Odvoďte vhodný vzorec pre p(A + B + C + D) a applikujte ho na experiment, ktorý bude zahŕňať 4 číslice. Zodpovedajúca pravdepodobnosť je 5 8 = 0,6250.

Všeobecny vzorec pre spojenie n množín je

p(A1 + A2 + ... + An ) =
	p(Ai) −
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(A1 A2 ... An ), (4)
simboluri kde				označujú súčet všetkých možných

kombinácie obsahujuce jeden, dva, tri, . . . , (n − 1) písmená z A1 , A2 , . . .

un. Tento vzorec možno stanoviť matematickou indukciou - rovnako ako vzorec (3) bol odvodený zo vzorca (2).

Zo vzorca (4) môžeme usúdiť, že ak je n číslic 1, 2, 3, . . . , n sú napísané v ľubovoľnom poradí, potom pravdepodobnosť, že aspoň jedna z číslic bude na správnom mieste, sa rovná

pn = 1

kde pred posledným členom je znamienko + alebo − v závislosti od toho, či je n párne alebo nepárne. Najmä pre n = 5 sa táto pravdepodobnosť rovná

p5 = 1 − 2! + 3! - 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

V kapitole VIII uvidíme, že keď n ide do nekonečna, výraz

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! +4! − . . . ±n!

smeruje k hranici 1 e , ktorej hodnota s piatimi desatinnými miestami,

rovna sa 0.36788. Keďže zo vzorca (5) je jasné, že pn = 1 − Sn, z toho vyplýva, že ako n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Každé transcendentalne realne cislo je iracionálne, ale opak nie je pravdou. Napriklad cislo $\backslash sqrt\; 2$- iracionálny, ale nie transcendentný: je koreňom mnohočlenu $x^2-2$(a preto je algebraický).

Poradie na množine realych transcendentalnych čísel je izomorfné s poradím na množine iracionálnych čísel.

Mierou irationality takmer každého transcendentalneho čísla je 2.

Priklady

Pribeh

Prvýkrát koncept transcendentálneho čísla zaviedol J. Liouville v roku 1844, keď dokázal vetu, že algebraické číslo nemožno príliš dobre aproximovať racionálnym zlomkom.

|titlu3= Nástroje rozšírenia
číselné sústavy |nadpis4= Hierarchia čísel |zoznam4=

$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Cele cisla $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Rationale cisla $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Realne cisla
$-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$	Complexne cisla

$1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash bodky$ Cuaternionie $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; bodky$ transcendentalne cisla Cislo Ray Biquaternion

Úryvok charakterizujúci Transcendentné číslo

- Ako môžeš byť zdravý... keď morálne trpíš? Dá sa v našej dobe, keď má človek pocit, zostať pokojný? Povedala Anna Pavlovna. "Bol si so mnou celý večer, dúfam?"
- Un sviatok anglického vyslanca? Dnes je Streda. Musím sa tam ukázať,“ povedal princ. - Moja dcera ma vyzdvihne a vezme.
Myslel som, že tento sviatok bol zrušený. Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d "umelosť začína a devenir insipides." [Priznávam, že všetky tieto sviatky a ohňostroje sa stávajú neznesiteľnými.]
„Keby vedeli, že to chceš, sviatok by bol zrušený,” povedal princ zo zvyku ako hodiny na ranu a hovoril veci, ktorým nechcel veriť.
– Ne me tourmentez pas. Eh bien, qu "a t on rozhodnúť par rapport a la depeche de Novosiizoff? Vous save tout." [Nemucte ma. Nu, ako ste sa rozhodli pri príležitosti odoslania Novosiltsova? Všetci viete.]
- Ako ti to mám povedať? povedal princ chladnym, znudenym tonom. - Qu "a t on rozhodnúť? On a rozhodne que Buonaparte a brule ses vaisseaux, et je crois que nous sommes en train de bruler les notres." Ako ste sa rozhodli? Rozhodli sme sa, že Bonaparte spálil svoje lode; a zdá sa, že aj my pripravený spáliť naše.] - Princ Vasilij vždy hovoril lenivo, ako herec hovorí rolu starej hry. Anna Pavlovna Šerer, naopak, bola napriek štyridsiatim rokom plná animácií a impulzov.
Byť nadšencom sa stalo jej spoločenským postavením a niekedy, keď ani nechcela, sa z nej stala nadšenkyňa, aby neoklamala očakávania ľudí, ktorí ju poznali. Anny Pavlovnej, hoci sa netýkal jej zastaraných čŕt, vyjadroval, ako u rozmaznaných detí, neustále vedomie jej sladkého nedostatku, z ktorého ne chce, nemôže a ani to nepovažuje za potrebné. aby sa opravila.
Uprostred rozhovoru o politických akciách sa Anna Pavlovna vzrušila.
„Ach, nehovorte mi o Rakusku! Nerozumiem možno ničomu, ale Rakúsko vojnu nikdy nechcelo a nechce. Ona nas zradi. Muzica Spasiteľom Europy de len Rusko. Náš dobrodinec pozná svoje vysoké povolanie a bude mu verný. Tu je jedna vec, ktorej verim. Náš dobrý a úžasný suverén má najväčšiu úlohu na svete a je taký cnostný a dobrý, že ho Boh neopustí a on splní svoje povolanie rozdrviť hydru revolúcie, ktorá je teraz v tvá ri este h. tohto vraha a darebáka. Len my musíme odčiniť krv spravodlivých... V koho máme dúfať, pýtam sa vás?... Anglicko so svojím obchodným duchom nepochopí a nemôže pochopiť celú vznešenosť duše cisára Alexandra. Odmietla vycistiť Maltu. Chce vidieť, hľadá spätnú myšlienku našich činov. Čo povedali Novosilcovovi?... Nič. Nechápali, nedokážu pochopiť nezištnosť nášho cisára, ktorý nechce nič pre seba a všetko chce pre dobro sveta. A čo sľúbili? Nick. A čo sľúbili, to sa nestane! Prusko už vyhlásilo, že Bonaparte je neporaziteľný a že celá Európa proti nemu nič nezmôže... A ja neverím ani slovo Hardenbergovi, ani Gaugwitzovi. This fameuse neutralite prussienne, ce n "est qu" un piege. [Táto povestná neutralita Pruska je len pasca.] Verim v jedného Boha a vo vysoký osud nášho drahého cisara Zachráni Európu!...“

Na realnej čiare je okrem algebraických čísel ešte jedna množina, ktorej mohutnosť sa zhoduje s mohutnosťou celej čiary - ide o množinu transcendentálnych čísel.

Definiție 6 : Volá sa cislo, ktoré nie je algebraické transcendentny, teda transcendentalne číslo (lat. transcendere - prejsť, prekročiť) - ide o skutočné resp. complexne cislo, ktorý nemôže byť koreňom polynómu (nie identicky nula) s racionálnymi koeficientmi

Vlastnosti transcendentalnych čisel:

· Množina transcendentalnych čísel je súvislá.

· Každé transcendentalne realne číslo je iracionálne, ale opak nie je pravdou. Napríklad číslo je iracionálne, ale nie transcendentné: je koreňom polynómu (a preto je algebraické).

Poradie na množine realych transcendentalnych čísel je izomorfné s poradím na množine iracionálnych čísel.

· Miera irationality takmer každého transcendentalneho čísla sa rovná 2.

Existenciu transcendentalnych čisel prvýkrát dokázal Liouville. Laouvilleov dôkaz existencie transcendentalnych čísel je účinný; na základe nasledujúcej vety, ktorá je priamym dôsledkom vety 5, sú konštruované konkrétne príklady transcendentálnych čísel.

Veta 6 [3, strana 54].: Nechaj je skutocne cislo. Ak pre nejake prirodne n 1 akekoľvek skutocne c>0, existuje aspoň jeden racionálny zlomok taký, že (11), potom je transcendentalne cislo.

dokaz: Ak bol algebraický, potom de bolo (Veta 5) kladné celé číslo n o farfurie c>0 tak, že pre akýkoľvek zlomok by to bolo, a to odporuje skutočnosti, že (11) prebieha. Predpoklad, ze algebraické cislo, t.j. transcendentne cislo. Veta bola dokazana.

Čísla, pre ktoré, pre ľubovoľné n 1a c>0 nerovnosť (11) má riešenie v celých číslach A A b sa nazyvajú transcendentalne Liouvilleove čísla.

Teraz máme zariadenie na zostavovanie nealgebraických realnych čísel. Musíme zostrojiť číslo, ktoré umožňuje aproximácie ľubovoľne vysokého rádu.

Priklad:

A je transcendentalne cislo.

Berte svojvoľne skutočne n 1a c>0. Nechaj kde k vybrane tak veľké, ze kn, Potom

Keďže pre svojvoľne n 1a c>0, môžete nájsť taký zlomok, že potom je transcendentálne číslo.

Nastavme číslo v tvare nekonečneho desatinneho zlomku: kde

Potom, kdekoľvek, . Teda, a to znamená, že pripúšťa aproximácie ľubovoľne vysokého rádu, a preto nemôže byť algebraické.

V roku 1873 Sh. Pustnicul dokazal transcendenciu chisla e, zaklady prirodzenych logaritmov.

Dokazať transcendenciu chisla e su potrebne dve lemmy.

Leme 1. Ak g(X) je polynóm s celočíselnými koeficientmi, potom pre ľubovoľné kN vsetky koeficienty k- ach derivat g (k) (X) sa delia na k!.

Dokaz. Keďže operator d/dx lineárne, potom stačí overiť tvrdenie lemy len pre polynómy tvaru g(X)=X s, s 0.

Ak k>s, La g (k) (X)=0 a k!|0.

Ak k< s , La

binomický koeficient je celé číslo a g(k) ( X) je opäť deliteľné k! úplne.

Lema 2 (Identita pustovníka) . Nechaj f(X) je polinom ľubovoľného stupňa k s realnymi koeficientmi,

F( X)=f(X)+f" (X)+f"(X)+ … +f (k) (X) je súčtom všetkých jeho derivátov. Potom pre akékoľvek skutočné (a dokonca zložité, ale zatiaľ to nebudeme potrebovať) X hotovy:

Dokaz. Integracia podľa casti:

Integrál je opäť integrovaný po častiach atď. Opakovanim tohto postupu k+1 krat, dostaneme:

Veta 7 (Hermite, 1873). cislo e transcendent.

Dokaz. Dokážme toto tvrdenie protirečením. Predpokladajme, že e - algebraické cislo, mocniny m. Potom

A m e m + … +A 1 e+A 0 =0

pre niektore prirodzene m a niektore cele A m ,… A 1 , A 0 Namiesto toho dosaďte identitu Hermite (12). X cele cislo k ktorý nadobuda hodnoty od 0 do m; vynásobte každú rovnicu

respectiv na A k a potom ich všetky zratajte. Dostaneme:

Keďže (toto je náš nepríjemný predpoklad), ukázalo sa, že pre akýkoľvek polynóm f(X) musí byť splnená rovnosť:

Vhodnou voľbou polynomu f(X) môže byť urobené cava strana(13) nenulové celé číslo a pravá strana bude potom medzi nulou a jednotkou.

Zvážte polinom kde n defininovať neskôr ( nN, A n veľky).

Číslo 0 je koreňom násobnosti n-1 polinom f(X), numerele 1, 2,…, m- korene mnohosti n, teda:

f (l) (0)=0, l=1,2,…, n-2

f(n-1) (0) = (-1) mn (m!) n

f (l) (k)=0, l=0,1, …, n-1; k=1,2,…, m

Zvážte g( X)=X n-1 (X-1) n (X-2) n … (x-m) n je polinom similar f(X), ale s celočíselnými koeficientmi. Podľa Lemy 1 sú koeficienty g ( l) (X ascultă) sú celé čísla deliteľné číslom l!, teda keď l< n , derivata g ( l) (X) všetky koeficienty sú celé čísla deliteľné číslom n, pretože g( l) (X) sa získa z g (l) ( X) delene iba ( n-1)!. Preto

kde A je vhodné celé číslo a nad znamienkom súčtu je číslo ( m+1) n-1 - trepte polinomice f(X) a hoci je možné sčítať do nekonečna, nenulové derivácie y f(X) je presne toľko.

Podobne

kde B k- vhodne celé chisla, k = 1, 2,…, m.

Nechaj teraz nN - akékoľvek celé číslo, ktoré spĺňa podmienky:

Zvážte znova rovnosť (13):

V súčte vľavo sú všetky členy celé čísla a A k F(k)pri k = 1, 2,…, m deleno n, A A 0 F(0) zapnute n nezdieľa. Pentru a znamená, že celý súčet je celé číslo, n nezdieľa, t.j. nie je nullovy. teda

Poďme teraz odhadnúť pravú stranu rovnosti (13). Je jasné, že na segmente a teda aj na tomto segmente

kde su constanty C 0 a C 1 nezavisia od n. Să semnez

Preto za dostatocne veke n, pravá strana (13) je menšia ako jedna a rovnosť (13) nie je možná.

V roku 1882 Lindemann dokázal teorem o transcendencii moci e s nenulovým algebraickým exponentom, čím sa dokazuje transcendencia čísla.

Veta 8 (Lindemann) [3, țara 58]. Ak je algebraické cislo a, potom je cislo transcendentalne.

Lindemannova veta umožňuje konštruovať transcendentalne čísla.

Priklady:

Z Lindemann vety napríklad vyplýva, že číslo ln 2 - transcendentny, pretože 2=e V 2, a číslo 2 je algebraické, a ak číslo ln 2 bolo algebraické, potom de podľa lemy číslo 2 bolo transcendentalne číslo.

Vo všeobecnosti, pre akúkoľvek algebraiku, ln podľa Lindemannovej vety je transcendentalny. Ak transcendentne, potom ln nie nevyhnutne transcendentalne číslo, napr. V e =1

Ukazuje sa, že sme stále stredna skola videl veľa transcendentalnych čisel - ln 2,ln 3,ln() a tak ďalej.

Poznamenávame tiež, že čísla vo forme sú transcendentalne pre akékoľvek nenulové algebraické číslo Napríklad čísla sú transcendentalne, .

Ak je to transcendentalne, potom nie nevyhnutne transcendentalne čísla, napr.

Dôkaz Lindemannovej vety je možné vykonať pomocou identitate Hermite, rovnakým spôsobom ako bola dokázaná transcendencia, s určitými komplikáciami v transformáciách. Presne tak to dokázal aj samotný Lindemann. A túto vetu môžete dokázať iným spôsobom, ako povedal sovietsky matematik A.O. Gelfond, ktorého myšlienky viedli v polovici 20. storočia k riešeniu Hilbertovho siedmeho problému.

V roku 1900 pe II. medzinárodnom kongrese matematikov Hilbert medzi problémami, ktoré sformuloval, sformuloval siedmy problém: „Ak je pravda, že čísla v tvare, kde, sú algebraické a sú iracionálne transcendentalne čísla? . Tento problem vyriešil v roku 1934 Gelfond, ktorý dokázal, že všetky takéto čísla sú skutočne transcendentalne.

Dôkaz transcendencie hodnôt exponenciálnej funkcie, navrhnutý Gelfondom, je založený na použití interpolačných metód.

Priklady:

1) Na základe Gelfondovej vety je možné napríklad dokázať, že číslo je transcendentálne, pretože ak de bolo algebraicky iracionálne, potom, keďže číslo 19 de praľa Gelfondovej vety bolo bolo transcendentalne, co.

2) Nechaite A A b- iracionalne cisla. Môže číslo A b de rațional?

Samozrejme, pri použití Hilbertovho siedmeho problému nie je ťažké vyriešiť tento problém. Toto číslo je skutočne transcendentné (pretože ide o algebraické iracionálne číslo). Ale všetky racionálne čísla sú algebraické, teda - iracionálne. Na druhej strane,

Takže sme práve predstavili tieto čísla:, Tento problém sa však dá vyriešiť aj bez akéhokoľvek odkazu na výsledok Gelfondu. Môžeme uvažovať takto: zvážte číslo. Ak je toto číslo racionálne, potom je problém vyriešený, napr A A b găsite. Ak je to iracionalne, tak berieme a.

Predstavili sme teda dva pary čisel A A b, tak, že jeden z týchto párov spĺňa podmienku, ale nevie, ktorá. Ale koniec koncov, nebolo potrebné prezentovať takýto pár! Toto riešenie je teda v istom zmysle existenciou teorémom.

Cislo sa vola algebricke, ak ide o koreň nejakého polynómu s celočíselnými koeficientmi

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(t.j. Koren rovnice a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, KDE un n, un n-1, ..., 1, 0 --- cele chisla, n 1, 0).

Množinu algebraických čísel označíme písmenom .

Je ľahké vidieť, že každé racionálne číslo je algebraické. V skutočnosti je koreňom rovnice qx-p=0 s celočíselnymi koeficientmi a 1 = q A a 0 =-p. takže, .

Nie všetky algebraické čísla sú však racionálne: napríklad číslo je koreňom rovnice x2-2 = 0, je teda algebraické cislo.

Na dlhu dobu zostala nevyriešená dôležitá otázka pre matematiku: Existujú nealgebraické realne čísla ? Až v roku 1844 uviedol Liouville prvý príklad transcendentného (t. j. nealgebraického) čísla.

Konštrukcia tohto čísla a dôkaz jeho transcendencie sú veľmi ťažké. Je oveľa jednoduchšie dokázať existenciu teorému pre transcendentálne čísla pomocou úvah o ekvivalencii a neekvivalencii číselných množín.

Totižto dokážeme, že množina algebraických čísel je spočítateľná. Potom.

Vytvorme medzi sebou korešpondenciu jedna ku jednej a nejaka podskupina . To bude znamenať, že - samozrejme alebo spočítateľne. Ale odvtedy , La nekonečné, a teda spočítateľné.

Nech je nejaké algebraické cislo. Zvážte všetky polynómy s celočíselnými koeficientmi, ktorých koreň je , a vyberte si z nich polynóm P minimálny stupeň (t. j. nebude existovať koreň žiadneho polynómu s celočíselnými koeficientmi menšieho stupňa).

Napríklad pre racionálne číslo má takýto polynóm stupeň 1 a pre číslo má stupeň 2.

Rozdeľte všetky koeficienty polynómu P k ich najväčšiemu spoločnému deliteľovi. Získame polynóm, ktorého koeficienty sú v súhrne relatívne prvočísla (ich najväčší spoločný deliteľ je 1). Nakoniec, ak je veduci koeficient un n je zaporné, vynásobíme všetky koeficienty polynómu o -1 .

Výsledný polynóm ny număr polinom.

Dá sa dokázať, že takýto polynóm je jednoznačne definovaný: každé algebraické číslo má práve jeden minimálny polynóm.

Počet realnych koreňov polynómu nie je väčší ako jeho stupeň. Preto je možné vymenovať (napríklad vo vzostupnom poradí) všetky korene takéhoto polynómu.

Teraz je každé algebraické číslo úplne určené jeho minimálnym polynómom (t. j. množinou jeho koeficientov) a číslom, ktoré tento polynóm odlišuje od iných koreňov: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Každému algebraickému číslu sme teda priradili konečnú množinu celých čísel a táto množina je jedinečne obnovená (t.j. rozne čísla zodpovedajú rôznym suborom).

Všetky prvočísla vymenujeme vo vzostupnom poradí (je ľahké ukázať, že ich je nekonečne veľa). Dostaneme nekonečnú postupnosť (buc): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Teraz mnozina celých čisel (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,an ,k) sa da zladiť

(toto číslo je pozitívne a racionálne, ale nie vždy prirodzene, pretože medzi číslami 0, 1, ..., un n-1, môže byť negatívny). Všimnite si. Všimnite si tiež, že dva ireducibilné zlomky s kladnými čitateľmi a menovateľmi sú rovnaké vtedy a len vtedy, ak sú obaja ich čitatelia rovnakí a ich menovatelia sú rovnakí.

Zvážte teraz postupne mapvanie:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Keďže rôznym algebraickým číslam a rôznym množinám sme priradili rôzne množiny celých čísel --- rozne racionálne čísla, potom sme teda vytvorili korešpondenciu jedna ku jednej medzi množinou a nejaka podskupina . Preto je množina algebraických čísel spočítateľná.

Keďže množina realnych čísel je nespočítateľná, dokázali sme existenciu nealgebraických čísel.

Existenčná veta však nenaznačuje, ako určiť, či je dané číslo algebraické. A táto otázka je niekedy pre matematiku veľmi dôležitá.