Informațiile din acest articol oferă o înțelegere generală a numere întregi... În primul rând, este dată definiția numerelor întregi și sunt date exemple. Mai mult, sunt luate în considerare numere întregi pe linia numerică, din care devine clar care numere sunt numite numere întregi pozitive și care sunt numere întregi negative. După aceea, se arată cum sunt descrise modificările valorilor folosind numere întregi, iar numerele întregi negative sunt considerate în sensul datoriei.
Navigare în pagină.
Numere întregi - definiție și exemple
Definiție.
Numere întregi - acestea sunt numere naturale, numărul zero, precum și numere opuse numerelor naturale.
Definiția numerelor întregi afirmă că oricare dintre numerele 1, 2, 3, ..., numărul 0, precum și oricare dintre numerele −1, −2, −3, ... este un număr întreg. Acum putem conduce cu ușurință exemple de numere întregi... De exemplu, 38 este un număr întreg, 70 040 este, de asemenea, un număr întreg, zero este un număr întreg (reamintim că zero NU este un număr natural, zero este un număr întreg), numerele −999, −1, −8 934 832 sunt, de asemenea, exemple de numere întregi numere.
Este convenabil să se reprezinte toate numerele întregi ca o succesiune de numere întregi, care are următoarea formă: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... O secvență de numere întregi poate fi scrisă astfel: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Definiția numerelor întregi implică faptul că mulțimea numerelor naturale este un subset al mulțimii întregi. Prin urmare, orice număr natural este întreg, dar nu orice număr întreg este natural.
Numere întregi pe linia de coordonate
Definiție.
Numere întregi pozitive Sunt numere întregi care sunt mai mari decât zero.
Definiție.
Numere întregi negative Sunt numere întregi mai mici de zero.
Numerele întregi pozitive și negative pot fi, de asemenea, determinate de poziția lor pe linia de coordonate. Pe linia de coordonate orizontale, punctele ale căror coordonate sunt numere întregi pozitive se află în dreapta originii. La rândul lor, punctele cu coordonate întregi negative sunt situate în stânga punctului O.
Este clar că mulțimea tuturor numerelor întregi pozitive este mulțimea numerelor naturale. La rândul său, mulțimea tuturor numerelor întregi negative este mulțimea tuturor numerelor care sunt opuse numerelor naturale.
Separat, am dori să vă atragem atenția asupra faptului că putem numi în siguranță orice număr natural un număr întreg și NU putem numi niciun număr întreg natural. Putem numi natural numai orice număr întreg pozitiv, deoarece numerele întregi negative și zero nu sunt naturale.
Numere întregi non-pozitive și numere întregi non-negative
Să dăm definiții ale numerelor întregi ne-pozitive și întregi ne-negative.
Definiție.
Se numesc toate numerele întregi pozitive împreună cu numărul zero numere întregi non-negative.
Definiție.
Numere întregi non-pozitive Sunt toate numerele întregi negative împreună cu numărul 0.
Cu alte cuvinte, un număr întreg negativ este un număr întreg mai mare decât zero sau egal cu zero, iar un număr întreg ne-pozitiv este un număr întreg mai mic decât zero sau egal cu zero.
Exemple de numere întregi non-pozitive sunt numerele −511, −10,030, 0, −2 și, ca exemple de numere întregi non-negative, dăm numerele 45, 506, 0, 900 321.
Cel mai adesea, termenii "numere întregi non-pozitive" și "numere întregi non-negative" sunt folosiți pentru scurtă. De exemplu, în loc de sintagma „numărul a este un număr întreg și a este mai mare sau egal cu zero”, puteți spune „a este un număr întreg negativ”.
Descrierea valorilor modificate folosind numere întregi
Este timpul să vorbim despre ce sunt întregi.
Scopul principal al numerelor întregi este că este convenabil să le utilizați pentru a descrie modificarea numărului de obiecte. Să ne dăm seama cu exemple.
Să presupunem că există unele piese în stoc. Dacă, de exemplu, mai sunt aduse 400 de piese în depozit, atunci numărul de piese din depozit va crește, iar numărul 400 exprimă această modificare a cantității într-o direcție pozitivă (în sus). Dacă, de exemplu, 100 de piese sunt luate din depozit, atunci numărul de piese din depozit va scădea, iar numărul 100 va exprima modificarea cantității în direcția negativă (în jos). Piesele nu vor fi aduse la depozit, iar piesele din depozit nu vor fi luate, atunci putem vorbi despre invariabilitatea numărului de piese (adică se va putea vorbi despre schimbarea zero a cantității).
În exemplele date, modificarea numărului de părți poate fi descrisă folosind numere întregi 400, -100 și respectiv 0. Un număr întreg pozitiv 400 indică o schimbare pozitivă a cantității (creștere). Un număr întreg negativ -100 exprimă o schimbare negativă în cantitate (scădere). Un număr întreg 0 indică faptul că cantitatea a rămas neschimbată.
Confortul de a utiliza numere întregi peste numere naturale este că nu trebuie să indicați în mod explicit dacă numărul este în creștere sau în scădere - un număr întreg cuantifică schimbarea, iar semnul întregului indică direcția schimbării.
Numerele întregi pot exprima, de asemenea, nu numai o modificare a cantității, ci și o modificare a unei cantități. Să ne ocupăm de acest lucru folosind exemplul schimbărilor de temperatură.
O creștere a temperaturii de, să zicem, 4 grade este exprimată ca un întreg pozitiv 4. O scădere a temperaturii, de exemplu, cu 12 grade poate fi descrisă de un număr întreg negativ -12. Și constanța temperaturii este schimbarea sa, determinată de numărul întreg 0.
Separat, trebuie spus despre interpretarea numerelor întregi negative ca suma datoriei. De exemplu, dacă avem 3 mere, atunci întregul pozitiv 3 indică numărul de mere pe care îl deținem. Pe de altă parte, dacă trebuie să dăm 5 mere cuiva, dar nu le avem, atunci această situație poate fi descrisă folosind un întreg negativ −5. În acest caz, „avem” −5 mere, semnul minus indică datoria, iar numărul 5 cuantifică datoria.
Înțelegerea unui număr întreg negativ ca datorie face posibilă, de exemplu, justificarea regulii pentru adăugarea unor numere întregi negative. Să dăm un exemplu. Dacă cineva datorează 2 mere unei persoane și un măr altuia, atunci datoria totală este de 2 + 1 \u003d 3 mere, deci −2 + (- 1) \u003d - 3.
Lista de referinte.
- Vilenkin N. Ya. și alte matematici. Clasa a 6-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
În acest articol, vom defini setul de numere întregi, luăm în considerare care numere întregi sunt numite pozitive și care sunt negative. Vom arăta, de asemenea, modul în care sunt utilizate numerele întregi pentru a descrie modificările anumitor cantități. Să începem cu definiția și exemplele de numere întregi.
Numere întregi. Definiție, exemple
Să ne amintim mai întâi numerele naturale ℕ. Numele însuși sugerează că acestea sunt numere care au fost folosite în mod natural pentru numărare din timpuri imemoriale. Pentru a acoperi conceptul de numere întregi, trebuie să extindem definiția numerelor naturale.
Definiție 1. Numere întregi
Numerele întregi sunt numere naturale, numerele opuse și numărul zero.
Mulțimea numerelor întregi este notată cu litera ℤ.
Mulțimea numerelor naturale ℕ este un subset al întregilor ℤ. Orice număr natural este un număr întreg, dar nu orice număr întreg este un număr natural.
Din definiție rezultă că oricare dintre numerele 1, 2, 3 este un număr întreg. ... , numărul 0, precum și numerele - 1, - 2, - 3 ,. ...
În conformitate cu aceasta, vom da exemple. Numerele 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 sunt numere întregi.
Lăsați linia de coordonate să fie trasată orizontal și direcționată spre dreapta. Să aruncăm o privire pentru a vizualiza aranjamentul numerelor întregi pe o linie.
Originea de pe linia de coordonate corespunde numărului 0, iar punctele situate pe ambele părți ale zero corespund unor numere întregi pozitive și negative. Fiecare punct corespunde unui singur număr întreg.
Puteți ajunge la orice punct al unei linii drepte, a cărui coordonată este un număr întreg, punând deoparte un anumit număr de segmente de unitate de la origine.
Numere întregi pozitive și negative
Din toate numerele întregi, este logic să se separe numerele întregi pozitive și negative. Să le dăm definițiile.
Definiție 2. Numere întregi pozitive
Întregii pozitivi sunt numere întregi cu semn plus.
De exemplu, numărul 7 este un semn plus, adică un număr întreg pozitiv. Pe linia de coordonate, acest număr se află în dreapta punctului de referință, pentru care este luat numărul 0. Alte exemple de numere întregi pozitive: 12, 502, 42, 33, 100500.
Definiție 3. Numere întregi negative
Numere întregi negative sunt numere întregi cu semn minus.
Exemple de numere întregi negative: - 528, - 2568, - 1.
Numărul 0 separă numerele întregi pozitive și negative și nu este în sine nici pozitiv, nici negativ.
Orice număr care este opusul unui număr întreg pozitiv este, prin definiție, un număr întreg negativ. Conversa este, de asemenea, adevărată. Inversul oricărui număr întreg negativ este un număr întreg pozitiv.
Puteți da alte definiții ale numerelor întregi negative și pozitive utilizând comparația lor cu zero.
Definiție 4. Numere întregi pozitive
Numerele întregi pozitive sunt numere întregi care sunt mai mari decât zero.
Definiție 5. Numere întregi negative
Întregii negativi sunt numere întregi care sunt mai mici decât zero.
În consecință, numerele pozitive sunt la dreapta originii pe linia de coordonate, iar numerele întregi negative sunt la stânga zero.
Am spus mai devreme că numerele naturale sunt un subset de numere întregi. Să clarificăm acest punct. Mulțimea numerelor naturale este alcătuită din numere întregi pozitive. La rândul său, mulțimea numerelor întregi negative este mulțimea numerelor naturale opuse.
Important!
Orice număr natural poate fi numit număr întreg, dar orice număr întreg nu poate fi numit natural. Când răspundeți la întrebarea dacă numerele negative sunt naturale, trebuie să spuneți cu îndrăzneală - nu, nu sunt.
Numere întregi non-pozitive și non-negative
Să dăm definiții.
Definiție 6. Numere întregi non-negative
Numere întregi care nu sunt negative sunt numere întregi pozitive și numărul zero.
Definiție 7. Numere întregi nepozitive
Numerele întregi pozitive sunt numere întregi negative și numărul zero.
După cum puteți vedea, numărul zero nu este nici pozitiv, nici negativ.
Exemple de numere întregi non-negative: 52, 128, 0.
Exemple de numere întregi non-pozitive: - 52, - 128, 0.
Un număr non-negativ este un număr mai mare sau egal cu zero. În consecință, un număr întreg pozitiv este un număr mai mic sau egal cu zero.
Termenii „număr non-pozitiv” și „număr non-negativ” sunt folosiți pentru concizie. De exemplu, în loc să spuneți că numărul a este un număr întreg mai mare sau egal cu zero, puteți spune: a este un număr întreg negativ.
Folosirea numărului întreg pentru a descrie schimbarea valorilor
La ce se folosesc numere întregi? În primul rând, cu ajutorul lor este convenabil să descrieți și să determinați modificarea numărului de obiecte. Să dăm un exemplu.
Lăsați depozitul să stocheze un anumit număr de arbori cotiți. Dacă se aduc încă 500 de arbori cotiți la depozit, numărul acestora va crește. Numărul 500 exprimă doar schimbarea (creșterea) numărului de detalii. Dacă sunt scoase apoi 200 de piese din depozit, atunci acest număr va caracteriza și modificarea numărului de arbori cotiți. De data aceasta, în jos.
Dacă nu se va lua nimic din depozit și nu se va aduce nimic, atunci numărul 0 va indica invariabilitatea numărului de piese.
Comoditatea evidentă a utilizării numerelor întregi, spre deosebire de numerele naturale, este că semnul lor indică în mod clar direcția schimbării valorii (creștere sau scădere).
O scădere a temperaturii cu 30 de grade poate fi caracterizată printr-un număr negativ - 30 și o creștere cu 2 grade - cu un număr întreg 2 pozitiv.
Iată un alt exemplu folosind numere întregi. De data aceasta, să ne imaginăm că trebuie să dăm 5 monede cuiva. Apoi, putem spune că avem - 5 monede. Numărul 5 descrie mărimea datoriei, iar semnul minus spune că trebuie să plătim înapoi monedele.
Dacă datorăm 2 monede unei persoane și 3 altei, atunci datoria totală (5 monede) poate fi calculată folosind regula adăugării de numere negative:
2 + (- 3) = - 5
Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter
Dacă atribuim numărul 0 la stânga unei serii de numere naturale, obținem o serie de numere întregi pozitive:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Numere întregi negative
Să ne uităm la un mic exemplu. Imaginea din stânga prezintă un termometru care arată o temperatură de 7 ° C căldură. Dacă temperatura scade cu 4 ° C, atunci termometrul va arăta căldura de 3 ° C. O scădere a temperaturii corespunde unei acțiuni de scădere:
Notă: toate gradele sunt scrise cu litera C (Celsius), semnul gradului este separat de număr printr-un spațiu. De exemplu, 7 ° C.
Dacă temperatura scade cu 7 ° C, termometrul va arăta 0 ° C. O scădere a temperaturii corespunde unei acțiuni de scădere:
Dacă temperatura scade cu 8 ° C, termometrul va arăta -1 ° C (1 ° C îngheț). Dar rezultatul scăderii 7 - 8 nu poate fi scris folosind numere naturale și zero.
Să ilustrăm scăderea pe o serie de numere întregi pozitive:
1) Din numărul 7, numărați 4 numere la stânga și obțineți 3:
2) Din numărul 7, numărați 7 numere la stânga și obțineți 0:
Este imposibil să se numere 8 numere dintr-o serie de numere întregi pozitive de la 7 la stânga. Pentru a face acțiunea 7 - 8 realizabilă, extindeți seria numerelor întregi pozitive. Pentru a face acest lucru, în stânga zero, notăm (de la dreapta la stânga) în ordine toate numerele naturale, adăugând fiecăruia dintre ele semnul -, indicând că acest număr este la stânga zero.
Intrări -1, -2, -3, ... citește minus 1, minus 2, minus 3 etc.:
5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Se numește seria de numere rezultată o serie de numere întregi... Punctele din stânga și din dreapta din această intrare înseamnă că rândul poate fi continuat la infinit la dreapta și la stânga.
În dreapta numărului 0 din acest rând se află numerele care sunt numite natural sau întreg pozitiv (pe scurt - pozitiv).
În stânga numărului 0 din acest rând sunt numere numite negativ întreg (pe scurt - negativ).
Numărul 0 este un număr întreg, dar nu este nici pozitiv, nici negativ. Separa numerele pozitive si negative.
Prin urmare, o serie de numere întregi constă din numere întregi negative, zero și numere întregi pozitive.
Compararea numerelor întregi
Comparați două numere întregi - înseamnă, pentru a afla care dintre ele este mai mare, care este mai mică sau pentru a determina dacă numerele sunt egale.
Puteți compara numerele întregi folosind o serie de numere întregi, deoarece numerele din acesta sunt situate de la cel mai mic la cel mai mare, dacă vă deplasați de-a lungul rândului de la stânga la dreapta. Prin urmare, într-o serie de numere întregi, puteți înlocui virgulele cu un semn mai mic:
5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
Prin urmare, din două numere întregi, cu atât este mai mare numărul din rândul din dreapta și cu cât este mai mic cel din stângamijloace:
1) Orice număr pozitiv mai mare decât zero și mai mare decât orice număr negativ:
1 > 0; 15 > -16
2) Orice număr negativ mai mic decât zero:
7 < 0; -357 < 0
3) Din două numere negative, cel mai mare este cel din dreapta în rândul numerelor întregi.
Număr- cel mai important concept matematic care s-a schimbat de-a lungul secolelor.
Primele idei despre număr au apărut din numărarea oamenilor, animalelor, fructelor, diverselor produse etc. Rezultatul este numerele naturale: 1, 2, 3, 4, ...
Din punct de vedere istoric, prima extindere a conceptului de număr este adăugarea numerelor fracționare la un număr natural.
Fracțiunese numește o parte (cota) unei unități sau mai multe părți egale ale acesteia.
Desemnat :, unde m, n- numere întregi;
Fracții cu numitorul 10 nUnde n- întreg, numit zecimal: .
Dintre fracțiile zecimale, un loc special este ocupat de fracții periodice: 
- fracția periodică pură; 
- fracție periodică mixtă.
Extinderea ulterioară a conceptului de număr este cauzată de dezvoltarea matematicii în sine (algebră). Descartes în secolul al XVII-lea introduce conceptul număr negativ.
Se numesc numere întregi (pozitive și negative), fracționate (pozitive și negative) și zero numere rationale... Orice număr rațional poate fi scris ca o fracție finită și periodică.
Pentru a studia continuu modificarea cantităților variabile, sa dovedit a fi necesară extinderea conceptului de număr - introducerea numerelor reale (reale) - prin adăugarea numerelor iraționale la numerele raționale: numere irationalesunt fracții infinite neperiodice zecimale.
Numerele iraționale au apărut atunci când se măsoară segmente incomensurabile (laterale și diagonale ale unui pătrat), în algebră - la extragerea rădăcinilor, un exemplu de număr transcendental, irațional este π, e .
Numere natural(1, 2, 3,...), întreg(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), raţional(reprezentabil ca o fracție) și iraţional(nu poate fi reprezentat ca o fracție ) formează un set real (real)numere.
Numerele complexe se disting separat în matematică.
Numere complexeapar în legătură cu problema rezolvării pătratelor pentru caz D< 0 (здесь D Este discriminantul ecuației pătratice). Pentru o lungă perioadă de timp aceste numere nu și-au găsit utilizarea fizică, prin urmare au fost numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum acestea sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii și tehnologiei: electrotehnică, hidro și aerodinamică, teoria elasticității etc.
Numere complexe sunt scrise ca: z \u003d a+ bi... Aici a și b – numere reale, și eu – unitate imaginară, adicăe. eu 2 = -1. Număr anumit abscisă, A b -ordonată număr complex a+ bi. Două numere complexe a+ biși a - bisunt numite asociat numere complexe.
Proprietăți:
1. Număr real și poate fi scris și ca număr complex: a+ 0eusau a -0eu... De exemplu 5 + 0 eu și 5 - 0 eu înseamnă același număr 5.
2. Numărul complex 0 + bi numit pur imaginar număr... Înregistrare biînseamnă același lucru cu 0 + bi.
3. Două numere complexe a+ bi și c+ di sunt considerate egale dacă a= cși b= d... În caz contrar, numerele complexe nu sunt egale.
Acțiuni:
Plus. Suma numerelor complexe a+ bi și c+ dise numește număr complex ( a+ c) + (b+ d)eu. În acest fel, atunci când se adaugă numere complexe, abscisele și ordonatele lor sunt adăugate separat.
Scădere. Diferența a două numere complexe a+ bi(descrescătoare) și c+ di (scăzut) se numește număr complex ( a - c) + (b - d)eu. În acest fel, la scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele lor sunt scăzute separat.
Multiplicare. Produsul numerelor complexe a+ bi și c+ dinumit un număr complex:
(ac - bd) + (anunț+ bc)eu. Această definiție rezultă din două cerințe:
1) numere a+ bi și c+ ditrebuie să fie înmulțit ca binomii algebrici,
2) număr eu are proprietatea principală: eu 2 = –1.
PRI me r. ( a + bi)(a - bi)\u003d a 2 + b 2 . Prin urmare, compoziţiedouă numere complexe conjugate este egal cu un număr real pozitiv.
Divizia. Împarte un număr complex a+ bi(divizibil) cu altul c+ di (despărțitor) - înseamnă a găsi al treilea număr e+ f i (chat), care fiind înmulțit cu un divizor c+ di, rezultă dividendul a+ bi. Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.
PRI me r. Găsiți (8 + eu) : (2 – 3eu) .
Soluție. Să rescriem acest raport ca o fracție:
Înmulțind numeratorul și numitorul acestuia cu 2 + 3 euși după efectuarea tuturor transformărilor, obținem:
Exercițiul 1: Adună, scade, înmulțește și împarte z 1 pe z 2
Extragerea rădăcinii pătrate: Rezolvați ecuația x 2 = -a. Pentru a rezolva această ecuație suntem obligați să folosim numere de un nou tip - numere imaginare ... În acest fel, imaginar numit un număr a doua putere a cărei număr este negativ... Conform acestei definiții a numerelor imaginare, putem defini și imaginar unitate:
Apoi pentru ecuație x 2 \u003d - 25 obținem două imaginar rădăcină:
Tema 2: Rezolvați ecuația:
1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121
Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte pe linia numerică:
Iată ideea Aînseamnă numărul –3, punctul B–Numărul 2 și O-zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate de puncte pe planul de coordonate. Pentru aceasta alegem coordonate dreptunghiulare (carteziene) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complex a+ biva fi reprezentat printr-un punct P cu abscisași și ordonab... Acest sistem de coordonate se numește plan complex .
Modul numărul complex este lungimea vectorului OPreprezentând un număr complex pe coordonată ( un integrat) avion. Modul de număr complex a+ binotat cu | a+ bi | sau) scrisoare r și este egal cu:
Numerele complexe conjugate au același modul.
Regulile de proiectare a desenului sunt aproape aceleași ca pentru un desen într-un sistem de coordonate carteziene. De-a lungul axelor, trebuie să setați dimensiunea, rețineți:
e 
unitate de-a lungul axei reale; Re z
unitate imaginară de-a lungul axei imaginare. Im z
Sarcina 3. Construiți următoarele numere complexe pe planul complex: , , , , , , ,
1. Numere exacte și aproximative.Numerele pe care le întâlnim în practică sunt de două feluri. Unii dau adevărata valoare a valorii, alții doar aproximative. Primele sunt numite exacte, cele din urmă aproximative. Cel mai adesea, este convenabil să folosiți un număr aproximativ în loc de unul exact, mai ales că în multe cazuri este imposibil să găsiți un număr exact.
Deci, dacă spun că sunt 29 de elevi în clasă, atunci numărul 29 este exact. Dacă se spune că distanța de la Moscova la Kiev este de 960 km, atunci aici numărul 960 este aproximativ, deoarece, pe de o parte, instrumentele noastre de măsurare nu sunt absolut exacte, pe de altă parte, orașele în sine au o anumită lungime.
Rezultatul acțiunilor cu numere aproximative este, de asemenea, un număr aproximativ. Efectuând unele operații pe numere exacte (divizare, extragere rădăcină), puteți obține, de asemenea, numere aproximative.
Teoria calculelor aproximative permite:
1) cunoașterea gradului de acuratețe a datelor, evaluarea gradului de acuratețe a rezultatelor;
2) să ia date cu un grad adecvat de precizie suficient pentru a asigura precizia necesară a rezultatului;
3) raționalizați procesul de calcul, eliberându-l de acele calcule care nu vor afecta acuratețea rezultatului.
2. Rotunjire.Una dintre sursele pentru obținerea numărului aproximativ este rotunjirea. Rotunjiți atât cifrele aproximative, cât și cele exacte
Rotunjirea unui număr dat la unele dintre cifrele sale se numește înlocuirea acestuia cu un număr nou, care se obține dintr-un dat, aruncând toate cifrele sale scrise în dreapta cifrei acestei cifre sau înlocuindu-le cu zerouri. Aceste zerouri sunt de obicei subliniate sau scrise mai jos. Pentru a asigura o apropiere cât mai apropiată a unui număr rotunjit de un număr rotunjit, ar trebui să utilizați următoarele reguli: pentru a rotunji un număr la unul dintr-o anumită cifră, trebuie să aruncați toate cifrele după cifra acestei cifre și să le înlocuiți cu zerouri în întregul număr. În acest caz, se iau în considerare următoarele:
1) dacă prima (stânga) dintre cifrele aruncate este mai mică de 5, atunci ultima cifră din stânga nu este modificată (rotunjire cu o deficiență);
2) dacă prima cifră aruncată este mai mare de 5 sau egală cu 5, atunci ultima cifră din stânga este mărită cu una (rotunjire cu exces).
Să arătăm acest lucru cu exemple. Rotunji:
a) până la zecimi 12.34;
b) până la sutimi 3.2465; 1038.785;
c) până la miimi 3.4335.
d) până la 12375 mii; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ± 3,25; 1038,785 ± 1038,79;
c) 3.4335 ≈ 3.434.
d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.
3. Erori absolute și relative.Diferența dintre numărul exact și valoarea sa aproximativă se numește eroare absolută a numărului aproximativ. De exemplu, dacă rotunjiți numărul exact 1.214 la zecimi, veți obține un număr aproximativ de 1.2. În acest caz, eroarea absolută a numărului aproximativ 1.2 este 1.214 - 1.2, adică 0,014.
Dar, în majoritatea cazurilor, valoarea exactă a valorii luate în considerare este necunoscută, dar numai aproximativă. Apoi, eroarea absolută este, de asemenea, necunoscută. În aceste cazuri, indicați granița pe care nu o depășește. Acest număr se numește eroare absolută la graniță. Ei spun că valoarea exactă a unui număr este egală cu valoarea sa aproximativă, cu o eroare mai mică decât eroarea la graniță. De exemplu, numărul 23,71 este o valoare aproximativă a numărului 23,7125 cu o precizie de 0,01, deoarece eroarea absolută de aproximare este 0,0025 și mai mică de 0,01. Aici eroarea absolută la graniță este 0,01 *.
Eroare absolută la limită a numărului aproximativ șise notează prin simbolul Δ a... Înregistrare
x≈a(±Δ a)
trebuie înțeleasă după cum urmează: valoarea exactă a cantității xeste între numere și– Δ ași și+ Δ și, care se numesc respectiv limitele inferioară și superioară xși denotă NG xVG x.
De exemplu, dacă x≈ 2,3 (± 0,1), apoi 2,2<x< 2,4.
Dimpotrivă, dacă 7.3< x< 7,4, тоx≈ 7,35 (± 0,05). Eroarea absolută sau absolută la graniță nu caracterizează calitatea măsurătorii efectuate. Aceeași eroare absolută poate fi considerată semnificativă și nesemnificativă în funcție de numărul prin care este exprimată valoarea măsurată. De exemplu, dacă măsurăm distanța dintre două orașe cu o precizie de un kilometru, atunci această precizie este destul de suficientă pentru această schimbare, în același timp, atunci când măsurăm distanța dintre două case ale aceleiași străzi, o astfel de precizie va fi inacceptabilă. În consecință, acuratețea valorii aproximative a cantității depinde nu numai de magnitudinea erorii absolute, ci și de valoarea mărimii măsurate. Prin urmare, măsura preciziei este eroarea relativă.
Eroarea relativă este raportul dintre eroarea absolută și valoarea numărului aproximativ. Raportul dintre eroarea absolută la graniță și numărul aproximativ se numește eroare relativă la graniță; denotați-l după cum urmează: Se obișnuiește să se exprime erorile relative și relative la procente. De exemplu, dacă măsurătorile au arătat că distanța xîntre două puncte este mai mare de 12,3 km, dar mai puțin de 12,7 km, atunci media aritmetică a acestor două numere este luată ca valoare aproximativă, adică suma lor pe jumătate, atunci eroarea absolută la graniță este egală cu diferența pe jumătate a acestor numere. În acest caz x≈ 12,5 (± 0,2). Aici eroarea absolută la graniță este de 0,2 km, iar granița relativă
1) Împart imediat la, deoarece ambele numere sunt 100% divizibile cu:
2) Voi împărți la restul numerelor mari (și), deoarece acestea sunt împărțite uniform la (în același timp, nu voi descompune - este deja un divizor comun):
6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6
6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0
3) O voi lăsa în pace și voi începe să iau în considerare numerele și. Ambele numere sunt exact divizibile cu (se termină cu cifre pare (în acest caz, reprezentăm ca sau putem fi împărțite cu)):
4) Lucrăm cu numere și. Au factori comuni? Este la fel de ușor ca în pașii anteriori și nu vă dați seama, așa că mai departe le descompunem în factori primi:
5) După cum putem vedea, am avut dreptate: ambii nu au divizori comuni, iar acum trebuie să ne înmulțim.
MCD
Problema numărul 2. Găsiți mcd al numerelor 345 și 324
Nu găsesc rapid cel puțin un divizor comun aici, așa că mă descompun în factori primi (cât mai puțin posibil):
Exact, GCD și eu inițial nu am verificat semnul de divizibilitate și poate că nu ar trebui să fac atâtea acțiuni.
Dar ai verificat, nu?
După cum puteți vedea, nu este deloc dificil.
Cel mai mic multiplu comun (LCM) - economisește timp, ajută la rezolvarea problemelor în afara casetei
Să presupunem că aveți două numere - și. Care este cel mai mic număr care este divizibil și fără reziduuri (adică complet)? Greu de imaginat? Iată un indiciu vizual:
Îți amintești ce reprezintă litera? Așa este, doar numere întregi. Deci, care este cel mai mic număr care se potrivește cu x? :
În acest caz.
Din acest exemplu simplu decurg mai multe reguli.
Reguli pentru găsirea rapidă a NOC-urilor
Regula 1. Dacă unul dintre cele două numere naturale este divizibil cu un alt număr, atunci cel mai mare dintre aceste două numere este cel mai mic multiplu comun al lor.
Găsiți următoarele numere:
- LCM (7; 21)
- LCM (6; 12)
- LCM (5; 15)
- LCM (3; 33)
Desigur, ai făcut față cu ușurință acestei sarcini și ai primit răspunsuri - și.
Rețineți că în regulă vorbim despre DOUĂ numere, dacă există mai multe numere, atunci regula nu funcționează.
De exemplu, LCM (7; 14; 21) nu este egal cu 21, deoarece nu este divizibil în mod egal cu.
Regula 2. Dacă două (sau mai mult de două) numere sunt coprimă, atunci cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul lor.
Găsi NOC următoarele numere:
- LCM (1; 3; 7)
- LCM (3; 7; 11)
- LCM (2; 3; 7)
- LCM (3; 5; 2)
L-ai numărat? Iată răspunsurile - ,; ...
După cum vă puteți imagina, nu este întotdeauna atât de ușor să luați și să alegeți acest x, deci pentru numere puțin mai complexe există următorul algoritm:
Sa exersam?
Găsiți cel mai mic multiplu comun - LCM (345; 234)
Extindem fiecare număr:
De ce am scris imediat?
Amintiți-vă semnele divizibilității cu: divizibil cu (ultima cifră este pară) și suma cifrelor este divizibilă cu.
În consecință, ne putem împărți imediat, scriindu-l ca.
Acum scriem cea mai lungă expansiune dintr-o linie - a doua:
Să adăugăm la el numerele de la prima expansiune, care nu sunt în ceea ce am scris:
Notă: am scris totul, cu excepția faptului că avem deja.
Acum trebuie să înmulțim toate aceste numere!
Găsiți singur cel mai mic multiplu comun (LCM)
Ce răspunsuri ai primit?
Iată ce mi s-a întâmplat:
Cât timp ai petrecut găsind NOC? Timpul meu este de 2 minute, chiar știu un singur trucpe care vă sugerez să o deschideți chiar acum!
Dacă sunteți foarte atenți, probabil că ați observat că după numerele date am căutat deja MCD și ați putea lua în calcul factorizarea acestor numere din acel exemplu, simplificându-vă astfel sarcina, dar asta nu este tot.
Uită-te la imagine, poate îți vor veni și alte gânduri:
Bine? Permiteți-mi să vă dau un indiciu: încercați să vă înmulțiți NOC și MCD între ei și scrieți toți factorii care vor fi atunci când vor fi înmulțiți. Ai reușit? Ar trebui să sfârșiți cu următorul lanț:
Aruncați o privire mai atentă: comparați multiplicatorii cu modul și sunt extinse.
Ce concluzie puteți trage din aceasta? Corect! Dacă înmulțim valorile NOC și MCD între ei, atunci obținem produsul acestor numere.
În consecință, având numere și semnificație MCD (sau NOC), noi putem gasi NOC (sau MCD) conform următoarei scheme:
1. Găsiți produsul numerelor:
2. Împărțim lucrarea rezultată de a noastră MCD (6240; 6800) = 80:
Asta e tot.
Să scriem regula în general:
Încerca să găsească MCDdacă se știe că:
Ai reușit? ...
Numerele negative sunt „numere false” și recunoașterea lor de către umanitate.
După cum ați înțeles deja, acestea sunt numere opuse numerelor naturale, adică:
S-ar părea, ce este atât de special la ei?
Iar faptul este că numerele negative și-au „câștigat” locul de drept în matematică până în secolul al XIX-lea (până în acel moment a existat o cantitate uriașă de controverse dacă există sau nu).
Numărul negativ în sine a apărut dintr-o astfel de operație cu numere naturale ca „scădere”.
Într-adevăr, scădeți din - acesta este un număr negativ. De aceea sunt numite adesea multe numere negative "Extinderea setului de numere naturale".
Numerele negative nu au fost recunoscute de oameni de mult timp.
Deci, Egiptul Antic, Babilonul și Grecia Antică - luminatorii vremii lor, nu au recunoscut numerele negative și, în cazul obținerii rădăcinilor negative în ecuație (de exemplu, ca a noastră), rădăcinile au fost respinse ca imposibile.
Pentru prima dată numerele negative și-au obținut dreptul de a exista în China, apoi în secolul al VII-lea în India.
Care credeți că este motivul acestei recunoașteri?
Așa este, numerele negative au început să denote datorii (altfel - lipsă).
Se credea că numerele negative sunt o valoare temporară, care, ca urmare, se va schimba în pozitiv (adică banii vor fi înapoiați în continuare creditorului). Cu toate acestea, matematicianul indian Brahmagupta a considerat chiar și numere negative la fel cu cele pozitive.
În Europa, utilitatea numerelor negative, precum și faptul că pot denota datorii, au venit mult mai târziu, un fel, un mileniu.
Prima mențiune a fost remarcată în 1202 în „Cartea lui Abacus” de Leonard din Pisa (spun imediat că autorul cărții nu are nicio legătură cu Turnul înclinat din Pisa, dar numerele Fibonacci sunt lucrarea sa manuală (porecla lui Leonardo din Pisa - Fibonacci)).
Deci, în secolul al XVII-lea, Pascal credea asta.
Ce crezi că a justificat acest lucru?
Este adevărat, „nimic nu poate fi mai puțin decât NIMIC”.
Un ecou al acelor vremuri rămâne faptul că un număr negativ și operația de scădere sunt notate cu același simbol - un minus „-”. Și adevărul :. Numărul "" este pozitiv, din care se scade sau negativ, care se adaugă la ... Ceva din seria "ce este primul: pui sau ou?" Iată un astfel de fel de filozofie matematică.
Numerele negative și-au consolidat dreptul de a exista odată cu apariția geometriei analitice, cu alte cuvinte, atunci când matematicienii au introdus un astfel de concept ca axa numerică. 
Din acest moment a început egalitatea. Cu toate acestea, au existat încă mai multe întrebări decât răspunsuri, de exemplu:
proporţie
Această proporție se numește „paradoxul lui Arno”. Gândește-te ce este îndoielnic la asta?
Să vorbim împreună "" este mai mult decât "" nu? Astfel, conform logicii, partea stângă a proporției ar trebui să fie mai mare decât cea dreaptă, dar sunt egale ... Aici este paradoxul.
Drept urmare, matematicienii au fost de acord cu faptul că Karl Gauss (da, da, acesta este cel care a numărat suma (sau) numerele) în 1831 i-a pus capăt.
El a spus că numerele negative au aceleași drepturi ca și cele pozitive, iar faptul că nu se aplică la toate lucrurile nu înseamnă nimic, deoarece fracțiunile nu sunt aplicabile și multor lucruri (nu se întâmplă ca un excavator săpa o gaură, nu puteți cumpăra un bilet de film etc.).
Matematicienii s-au calmat abia în secolul al XIX-lea, când teoria numerelor negative a fost creată de William Hamilton și Hermann Grassmann.
Sunt atât de controversate, aceste numere negative.
Apariția „golului”, sau biografia zero.
În matematică, un număr special.
La prima vedere, acest lucru nu este nimic: adăugați, scădeți - nimic nu se va schimba, dar trebuie doar să-l atribuiți dreptului la „”, iar numărul rezultat va fi de câteva ori mai mare decât originalul.
Înmulțind cu zero, transformăm totul în nimic și împărțim prin „nimic”, adică nu putem. Într-un cuvânt, un număr magic)
Povestea lui Zero este lungă și confuză.
O urmă de zero a fost găsită în scrierile chinezilor din mileniul II d.Hr. și chiar mai devreme în Maya. Prima utilizare a simbolului zero, care este astăzi, a fost văzută de astronomii greci.
Există multe versiuni cu privire la motivul pentru care a fost aleasă această denumire „nimic”.
Unii istorici sunt înclinați să creadă că acesta este un omicron, adică prima literă a cuvântului grecesc pentru nimic este eliminată. Potrivit unei alte versiuni, cuvântul „obol” (o monedă de aproape nicio valoare) a dat viață simbolului zero.
Zero (sau zero) ca simbol matematic apare pentru prima dată printre indieni (atenție, numerele negative au început să „se dezvolte” în același loc).
Prima dovadă fiabilă a înregistrării zero datează din 876, iar în ele "" este o componentă a numărului.
Zero a venit și în Europa cu o întârziere - abia în 1600 și, la fel ca numerele negative, sa confruntat cu rezistență (ce poți face, sunt europeni).
„Zero a fost adesea urât, temut mult timp sau chiar interzis” - scrie matematicianul american Charles Seif.
Deci, sultanul turc Abdul-Hamid II la sfârșitul secolului al XIX-lea. a ordonat cenzorilor să șteargă formula pentru apă H2O din toate manualele de chimie, luând litera „O” pentru zero și nevrând ca inițialele sale să fie denigrate de vecinătate cu zero disprețuitor ”.
Pe Internet, puteți găsi fraza: „Zero este cea mai puternică forță din Univers, poate face totul! Zero creează ordine în matematică și îi aduce și haos. " Absolut drept observat :)
Rezumatul secțiunii și formulele de bază
Un set de numere întregi constă din 3 părți:
- numere naturale (le vom lua în considerare mai detaliat mai jos);
- numere opuse numerelor naturale;
- zero - ""
Setul de numere întregi este notat litera Z.
1. Numere naturale
Numerele naturale sunt numere pe care le folosim pentru a număra lucrurile.
Se notează mulțimea numerelor naturale litera N.
În operațiile cu numere întregi, aveți nevoie de capacitatea de a găsi GCD și LCM.
Cel mai mare divizor comun (GCD)
Pentru a găsi GCD aveți nevoie de:
- Descompuneți numerele în factori primi (în numere care nu pot fi împărțite cu altceva decât dvs. sau cu, de exemplu, etc.).
- Scrieți factorii care fac parte din ambele numere.
- Înmulțiți-le.
Cel mai puțin comun multiplu (LCM)
Pentru a găsi NOC aveți nevoie de:
- Descompune numerele în factori primi (știi deja cum să faci asta foarte bine).
- Scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere (este mai bine să luați cel mai lung lanț).
- Adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase.
- Găsiți produsul factorilor rezultați.
2. Numere negative
acestea sunt numere opuse numerelor naturale, adică:
Acum vreau să te aud ...
Sper că ați apreciat „trucurile” super-utile din această secțiune și ați înțeles cum vă vor ajuta la examen.
Și mai important, în viață. Nu vorbesc despre asta, dar, crede-mă, acesta este. Capacitatea de a număra rapid și fără greșeli salvează în multe situații de viață.
Acum e rândul tău!
Scrieți, veți folosi metodele de grupare, semnele de divizibilitate, mcd și LCM în calcule?
Poate le-ai mai folosit? Unde și cum?
Poate ai întrebări. Sau sugestii.
Scrieți în comentarii cum vă place articolul.
Și noroc cu examenele tale!
Se încarcă ...