Definiție:Dacă fiecare element xmulțimi Xprin orice lege f(sau conform unei anumite reguli f) i se atribuie un singur element laa multimii Avea, apoi se spune că este dat dependență funcțională ladin xconform legii y= f(x) sau funcţie y= f(x).
Unde xnumit variabila independenta (sau argument ),y -variabilă dependentă (sau valoarea funcției ). O multime de Xnumit scop (sau zona de existență) funcție și se notează D(f) , o multime de Aveanumit gamă funcție și notat E (f).
Dacă setul Xnu este specificat, atunci domeniul de definiție al funcției înseamnă gama de valori admisibile ale variabilei independente x, pentru care formula are sens. De exemplu, pentru.
Setați funcția - înseamnă a indica legea fsau o regulă care permite cunoașterea xgăsiți valoarea potrivită la.
Modalități de a seta o funcție :
1. Analitic - dacă funcția este specificată folosind o formulă. Cel mai convenabil mod de analiză matematică, care vă permite să explorați funcția.
2. Tabular - dacă este dat un tabel cu valori ale funcției corespunzătoare unei valori de argument specifice. Această metodă are o largă aplicare în economie: măsurători experimentale, tabele de situații financiare, date bancare, statistice etc.
3. Grafic - dacă este stabilit un program. Această metodă este de obicei utilizată cu utilizarea înregistratoarelor (osciloscoape, seismografe etc.). Economia utilizează grafice care caracterizează dinamica parametrilor economici: PIB, venituri, cursuri de schimb, prețurile acțiunilor etc.
4. Verbal - dacă funcția este descrisă de o regulă, compunând, de exemplu, funcția Dirichlet: f(x)=1 , dacă x - rațional și f(x)=0 , dacă x- irațional.
Proprietățile de bază ale funcțiilor
1. Paritate pară și ciudată
Funcţie y= f(x) numit chiar , dacă x D (f)sunt îndeplinite condițiile: -X D (f)și f (-x) \u003d f (x);ciudat dacă x D (f)sunt îndeplinite următoarele condiții: x D (f)și f (-x)= f (x).
Unde D (f) numit simetric în ceea ce privește O (0; 0). Graficul unei funcții pare este simetric despre Oy, iar graficul unei impare este despre O (0; 0).
2. Monotonie
Funcția se numește crescând
intre Eu
D (f)dacă condiția este îndeplinită: 
și nedescrescând
, dacă 
... Funcția se numește in scadere
intre Eu
D (f)dacă condiția este îndeplinită: 
și ne-crescătoare
, dacă 
.
De exemplu, fscade la x (a; b), nu scade la x (b; c)și crește la x (din;d)
Funcții crescătoare, non-descrescătoare, descrescătoare și non-crescătoare pe interval Eu D (f)sunt numite monoton pe acest interval, și crescând și descrescând - strict monotonă .
3. Prescripţie
Funcția se numește limitat
pe platou D (f)dacă există un număr M\u003e 0 astfel încât
x
D (f)inegalitatea se menține 
... Sau pe scurt:
Graficele acestor funcții sunt limitate la linii drepte 
... De exemplu, y \u003dpăcat
x
limitat la direct 
.
4. Periodicitate
Funcția se numește periodic pe platou D (f)dacă există un număr T\u003e 0 astfel încât x D (f)valoare (x + T) D (f)și f(x+ T)= f(x) .
Se numește numărul T perioadă funcții. Dacă Т este o perioadă, atunci nT este și o perioadă, unde n \u003d ± 1; ± 2; ...
De exemplu, funcția y \u003dpăcat x este periodic, deoarece x D (f) păcat(x+2 π )= păcat x. În mod similar, se poate demonstra că ± 2π; ± 4π; ± 6π; ... sunt și perioade. Perioada 2π este cel puțin pozitiv și a sunat principalul .
Aplicarea funcțiilor în economie
Funcțiile sunt utilizate pe scară largă în teoria și practica economică. Cele mai des utilizate funcții sunt:
1.Funcția de utilitate (funcția de preferință) - dependența de utilitate, adică rezultatul, efectul unei acțiuni asupra nivelului (intensității) acestei acțiuni.
2.Funcția de producție dependența rezultatului activității de producție de factorii care au determinat-o.
3.Funcția de eliberare (un anumit tip de funcție de producție) - dependența volumului de producție de disponibilitatea sau consumul de resurse.
4.Funcția de cost (un anumit tip de funcție de producție) - dependența costurilor de producție de volumul de producție.
5.Funcția de cerere, consum și aprovizionare - dependența volumului cererii, consumului sau ofertei pentru bunuri sau servicii individuale de diferiți factori (de exemplu, preț, venituri etc.).
De exemplu, examinând dependența cererii pentru diverse bunuri de venit, puteți stabili niveluri de venit 
la care începe achiziționarea anumitor bunuri și niveluri (puncte) de saturație 
pentru grupuri de bunuri de prima și a doua necesitate. (vezi fig. 1)
Având în vedere curbele cererii și ofertei în același sistem de coordonate, este posibil să se stabilească prețul de echilibru (piață) al unui produs dat în procesul de formare a prețurilor pe o piață competitivă ( model de pânză de păianjen) (vezi fig. 2)
Studierea teoriei cererii consumatorilor curbe de indiferență (liniile de-a lungul cărora utilitatea a două bunuri xși la același), de exemplu, dat în formular x y=
Uși linia bugetară 
la prețurile mărfurilor 
și venitul consumatorului I, putem stabili cantitatea optimă de bunuri 
având utilitate maximă 
(vezi fig. 3).
Luxuri Bunuri de prima necesitate Bunuri esențiale
fig. 3 fig. 4
Luand in considerare funcții de cost (costuri totale) cu (q)
și sursa de venit firme r(q)
, putem instala dependența profit π (q)=
c(q)-
r(q)
din volumul producției q (a se vedea Fig. 4) și identificați nivelurile de volum de producție la care producția este neprofitabilă ( 0<
q<
q 
)
și face profit 
, dă pierderea maximă ( q=
q)
și profitul maxim ( q=
q)
, și găsiți dimensiunea acestor pierderi sau profituri.
Funcția și metodele de atribuire a acestuia.
A seta o funcție înseamnă a stabili o regulă (lege) prin care valorile corespunzătoare ale funcției ar trebui să fie găsite din valorile date ale variabilei independente. Să luăm în considerare câteva modalități de a defini funcții.
Mod tabular. Destul de obișnuit este să specificați un tabel cu valori ale argumentelor individuale și valorile funcției corespunzătoare. Această metodă de definire a unei funcții este utilizată în cazul în care domeniul funcției este un set finit discret.
Cu metoda tabelară de definire a unei funcții, puteți calcula aproximativ valorile funcției care nu sunt conținute în tabel și care corespund valorilor intermediare ale argumentului. Pentru aceasta, se folosește o metodă de interpolare.
Avantajele modului tabular de definire a unei funcții sunt că face posibilă determinarea anumitor valori specifice simultan, fără măsurători sau calcule suplimentare. Cu toate acestea, în unele cazuri, tabelul nu definește pe deplin funcția, ci doar pentru unele valori ale argumentului și nu oferă o reprezentare vizuală a naturii modificării funcției în funcție de modificarea argumentului.
Mod grafic. Graficul funcției y \u003d f (x) este mulțimea tuturor punctelor planului ale căror coordonate satisfac ecuația dată.
Modul grafic de definire a unei funcții nu face întotdeauna posibilă determinarea corectă a valorilor numerice ale argumentului. Cu toate acestea, are un mare avantaj față de alte metode - claritate. În inginerie și fizică, este adesea folosit un mod grafic de definire a unei funcții, iar un grafic este singura modalitate disponibilă pentru aceasta.
Pentru ca setarea grafică a funcției să fie complet corectă din punct de vedere matematic, este necesar să se indice construcția geometrică exactă a graficului, care, cel mai adesea, este setată de ecuație. Acest lucru duce la următorul mod de a defini funcția.
Metoda analitică. Cel mai adesea, legea care stabilește relația dintre un argument și o funcție este specificată prin intermediul formulelor. Această metodă de definire a unei funcții se numește analitică.
Această metodă face posibil ca fiecare valoare numerică a argumentului x să găsească valoarea numerică corespunzătoare a funcției y exact sau cu o anumită precizie.
Dacă relația dintre x și y este dată de o formulă rezolvată pentru y, adică are forma y \u003d f (x), atunci spunem că funcția lui x este dată explicit.
Dacă valorile lui x și y sunt legate de o ecuație de forma F (x, y) \u003d 0, adică formula nu este rezolvată cu privire la y, despre care se spune că este o funcție implicită y \u003d f (x).
Funcția poate fi definită prin diferite formule în diferite părți ale zonei sarcinii sale.
Modul analitic este cel mai comun mod de a defini funcții. Compacitatea, concizia, capacitatea de a calcula valoarea unei funcții pentru o valoare arbitrară a unui argument din domeniul definiției, capacitatea de a aplica aparatul de analiză matematică unei funcții date sunt principalele avantaje ale metodei analitice de definire a funcţie. Dezavantajele includ lipsa de claritate, care este compensată de posibilitatea trasării unui grafic și de necesitatea efectuării unor calcule uneori foarte greoaie.
Mod verbal. Această metodă constă în faptul că dependența funcțională este exprimată în cuvinte.
Exemplul 1: funcția E (x) este partea întreagă a numărului x. În general, E (x) \u003d [x] reprezintă cel mai mare dintre numerele întregi care nu depășește x. Cu alte cuvinte, dacă x \u003d r + q, unde r este un număr întreg (poate fi negativ) și q aparține intervalului \u003d r. Funcția E (x) \u003d [x] este constantă pe intervalul \u003d r.
Exemplul 2: funcția y \u003d (x) - parte fracționată a unui număr. Mai exact, y \u003d (x) \u003d x - [x], unde [x] este partea întreagă a lui x. Această funcție este definită pentru toate x. Dacă x este un număr arbitrar, atunci prezentându-l ca x \u003d r + q (r \u003d [x]), unde r este un număr întreg și q se află în interval. Și dacă am vorbi despre găsirea domeniului de definiție a unei funcții date analitic Apoi, așa cum am făcut în § 7, ar trebui să cheltuim timp și efort pentru a rezolva inegalitatea. metode grafice de definire a funcțiilor. Cu toate acestea, după doi ani de studiu algebră la școală, sunteți deja obișnuiți cu asta.
În plus față de analitică și grafică, în practică, se folosește o metodă tabelară de definire a unei funcții. Cu această metodă, este dat un tabel în care sunt indicate valorile funcției (uneori exacte, alteori aproximative) pentru un set finit de valori ale argumentelor. Exemple de definiție tabelară a unei funcții sunt tabelele de pătrate de numere, cuburi de numere, rădăcini pătrate etc.
În multe cazuri, definirea în tabel a unei funcții este convenabilă. Vă permite să găsiți valoarea funcției pentru valorile argumentelor prezente în tabel fără calcule.
Analitice, grafice, tabulare - tabulare, mai simple și, prin urmare, cele mai populare atribuții verbale ale funcției, pentru nevoile noastre aceste metode sunt destul de suficiente. De fapt, în matematică, există destul de multe modalități diferite de a defini o funcție, dar vă vom prezenta doar o singură metodă care este utilizată în situații foarte specifice. Vorbim despre un mod verbal, când regula pentru stabilirea unei funcții este descrisă în cuvinte. Aici sunt cateva exemple.
Exemplul 1.
Funcția y \u003d f (x) este dată pe setul tuturor numerelor non-negative folosind următoarea regulă: fiecărui număr x\u003e 0 i se atribuie prima zecimală în notația zecimală a numărului x. Dacă, să zicem, x \u003d 2.534, atunci f (x) \u003d 5 (prima zecimală este numărul 5); dacă x \u003d 13.002, atunci f (x) \u003d 0; dacă atunci, scriind sub forma unei fracții zecimale infinite 0,66666 ..., găsim f (x) \u003d 6. Și care este valoarea lui f (15)? Este egal cu 0, deoarece 15 \u003d 15.000 ..., și vedem că prima zecimală după punctul zecimal este 0 (de fapt, egalitatea 15 \u003d 14.999 ... este de asemenea adevărată, dar matematicienii au fost de acord să nu ia în considerare fracții zecimale periodice infinite cu o perioadă nouă).
Orice număr negativ x poate fi scris sub forma unei fracții zecimale (finite sau infinite) și, prin urmare, pentru fiecare valoare a lui x, puteți găsi o anumită valoare a primei zecimale, astfel încât să putem vorbi despre o funcție , deși oarecum neobișnuit. Această funcție 
Exemplul 2.
Funcția y \u003d f (x) este dată pe setul tuturor numerelor reale folosind următoarea regulă: fiecare număr x este asociat cu cel mai mare dintre toate numerele întregi care nu depășesc x. Cu alte cuvinte, funcția y \u003d f (x) este determinată de următoarele condiții:
a) f (x) este un număr întreg;
b) f (x)< х (поскольку f(х) не превосходит х);
c) f (x) + 1\u003e x (deoarece f (x) este cel mai mare număr întreg care nu depășește x, prin urmare f (x) + 1 este deja mai mare decât r). Dacă, să zicem, x \u003d 2.534, atunci f (x) \u003d 2, deoarece, în primul rând, 2 este un număr întreg și, în al doilea rând, 2< 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если х = 47, то /(х) = 47, поскольку, во-первых, 47 - целое число, во-вторых, 47< 47 (точнее, 47 = 47) и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение f(-0,(23))? Оно равно -1. Проверяйте: -1 - наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят числа -0,232323....
Această funcție are un (set de numere întregi).
Funcția discutată în exemplul 2 se numește partea întreagă a numărului; pentru partea întreagă a numărului x utilizați notația [x]. De exemplu, \u003d 2, \u003d 47, [-0, (23)] \u003d -1. Graficul funcției y \u003d [x] arată foarte ciudat (Fig. 54).
Se încarcă ...