Procedura pentru calcularea unei integrale triple este similară operației corespunzătoare pentru o integrală dublă. Pentru a-l descrie, introducem conceptul unei regiuni tridimensionale regulate:
Definiție 9.1. O regiune tridimensională V delimitată de o suprafață închisă S se numește regulată dacă:
- orice linie dreaptă paralelă cu axa Oz și trasată prin punctul interior al regiunii intersectează S în două puncte;
- întreaga regiune V este proiectată pe planul Oxy într-o regiune bidimensională regulată D;
- orice parte a regiunii V, tăiată de ea de un plan paralel cu oricare dintre planurile de coordonate, posedă proprietățile 1) și 2).
Luați în considerare o regiune regulată V, delimitată de jos și de sus de suprafețele z \u003d χ (x, y) și z \u003d ψ (x, y) și care se proiectează pe planul Oxy într-o regiune regulată D, în cadrul căreia x variază de la a la b, delimitat de curbele y \u003d φ1 (x) și y \u003d φ2 (x) (Fig. 1). Să definim o funcție continuă f (x, y, z) în domeniul V.
Definiție 9.2. Să numim integralul triplu al funcției f (x, y, z) peste regiunea V o expresie a formei:
O integrală triplă are aceleași proprietăți ca o integrală dublă. Le enumerăm fără dovadă, deoarece sunt dovedite similar cu cazul unei integrale duble.
Calculul integralei triple.
Teorema 9.1. Integrala triplă a funcției f (x, y, z) peste regiunea regulată V este egală cu integrala triplă din aceeași regiune:
. (9.3)
Dovezi.
Împărțim regiunea V prin planuri paralele cu planurile coordonate în n regiuni regulate. Apoi rezultă din proprietatea 1 că
unde este integralul triplu al funcției f (x, y, z) asupra domeniului.
Folosind formula (9.2), egalitatea anterioară poate fi rescrisă ca:
Din condiția de continuitate a funcției f (x, y, z) rezultă că limita sumei integrale din partea dreaptă a acestei egalități există și este egală cu tripla integrală. Apoi, trecând la limita la, obținem:
q.E.D.
Cometariu.
În mod similar cu cazul unei integrale duble, se poate dovedi că o modificare a ordinii de integrare nu modifică valoarea unei integrale triple.
Exemplu. Să calculăm integralul în care V este o piramidă triunghiulară cu vârfuri la punctele (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) și (0, 0, 1). Proiecția sa pe planul Oxy este un triunghi cu vârfuri (0, 0), (1, 0) și (0, 1). Regiunea este mărginită de jos de planul z \u003d 0, iar de sus de planul x + y + z \u003d 1. Să ne întoarcem la integralul triplu:
Factorii care nu depind de variabila de integrare pot fi mutați în afara semnului integralei corespunzătoare:
Sisteme de coordonate curvilinee în spațiul tridimensional.
- Sistem de coordonate cilindrice.
Coordonatele cilindrice ale punctului P (ρ, φ, z) sunt coordonatele polare ρ, φ ale proiecției acestui punct pe planul Oxy și aplicatul acestui punct z (Fig. 2).
Formule de tranziție din coordonate cilindrice la Cartezian poate fi setat după cum urmează:
x \u003d ρ cosφ, y \u003d ρ sinφ, z \u003d z. (9.4)
- Sistem de coordonate sferice.
În coordonate sferice, poziția unui punct în spațiu este determinată de coordonata liniară ρ - distanța de la punct la origine sistem cartezian coordonatele (sau polii unui sistem sferic), φ este unghiul polar dintre semiaxa pozitivă Ox și proiecția unui punct pe planul Oxy și θ este unghiul dintre semiaxa pozitivă a axei Oz și segmentul OP (Fig. 3). Unde
Să definim formulele pentru trecerea de la coordonatele sferice la cele carteziene:
x \u003d ρ sinθ cosφ, y \u003d ρ sinθ sinφ, z \u003d ρ cosθ. (9,5)
Jacobian și a lui sensul geometric.
Luați în considerare cazul general al unei schimbări de variabile într-o integrală dublă. Să se dea un domeniu D în planul Oxy, delimitat de linia L. Să presupunem că x și y sunt funcții cu o singură valoare și care pot fi diferențiate continuu ale noilor variabile u și v:
x \u003d φ (u, v), y \u003d ψ (u, v). (9,6)
Considera sistem dreptunghiular coordonatele Оuv, al căror punct Р΄ (u, v) corespunde punctului Р (x, y) din domeniul D. Toate aceste puncte formează în planul Оuv domeniul D΄ mărginit de linia L΄. Putem spune că formulele (9.6) stabilesc o corespondență unu-la-unu între punctele regiunilor D și D΄. În acest caz, liniile u \u003d const și
v \u003d const în planul Ouv va corespunde unor linii din planul Oxy.
Se consideră în plan Оuv o zonă dreptunghiulară ΔS΄ mărginită de drepte u \u003d const, u + Δu \u003d const, v \u003d const și v + Δv \u003d const. Va corespunde unei zone curbate ΔS în planul Oxy (Fig. 4). Zonele site-urilor în cauză vor fi, de asemenea, notate cu ΔS΄ și ΔS. În acest caz, ΔS΄ \u003d Δu Δv. Să găsim zona ΔS. Notăm vârfurile acestui patrulater curbiliniu P1, P2, P3, P4, unde
P1 (x1, y1), x1 \u003d φ (u, v), y1 \u003d ψ (u, v);
P2 (x2, y2), x2 \u003d φ (u + Δu, v), y2 \u003d ψ (u + Δu, v);
P3 (x3, y3), x3 \u003d φ (u + Δu, v + Δv), y3 \u003d ψ (u + Δu, v + Δv);
P4 (x4, y4), x4 \u003d φ (u, v + Δv), y4 \u003d ψ (u, v + Δv).
Înlocuiți micile trepte Δu și Δv cu diferențialele corespunzătoare. Atunci
În acest caz, patrulaterul Р1 Р2 Р3 Р4 poate fi considerat un paralelogram și aria acestuia poate fi determinată folosind formula din geometria analitică:
(9.7)
Definiție 9.3. Determinantul se numește determinant funcțional sau Jacobianul funcțiilor φ (x, y) și ψ (x, y).
Trecând la limita at în egalitate (9.7), obținem semnificația geometrică a iacobianului:
adică modulul iacobianului este limita raportului dintre zonele zonelor infinitezimale ΔS și ΔS΄.
Cometariu. Într-un mod similar, se poate defini conceptul Jacobianului și semnificația sa geometrică pentru un spațiu n-dimensional: dacă x1 \u003d φ1 (u1, u2,…, un), x2 \u003d φ2 (u1, u2, ..., un) ,…, Xn \u003d φ (u1, u2, ..., un), apoi
(9.8)
Mai mult, modulul iacobianului dă limita raportului „volumelor” regiunilor mici ale spațiilor x1, x2, ..., xn și u1, u2, ..., un.
Schimbarea variabilelor în integrale multiple.
Să investigăm cazul general al unei schimbări de variabile folosind exemplul unei integrale duble.
Să se dea o funcție continuă z \u003d f (x, y) în domeniul D, a cărei valoare corespunde aceleiași valori a funcției z \u003d F (u, v) în domeniul D΄, unde
F (u, v) \u003d f (φ (u, v), ψ (u, v)). (9,9)
Luați în considerare suma integrală
unde suma integrală din dreapta este preluată asupra domeniului D΄. Trecând la limita la, obținem o formulă de transformare a coordonatelor într-o integrală dublă.
Să avem două sisteme de coordonate dreptunghiulare în spațiu și 
, și sistemul de funcții
(1)
care stabilesc o corespondență unu-la-unu între punctele unor zone 
și 
în aceste sisteme de coordonate. Să presupunem că funcțiile sistemului (1) au în 
derivate parțiale continue. Determinant compus din aceste derivate parțiale
,
se numește Jacobian (sau determinant Jacobi) al sistemului de funcții (1). Vom presupune că 
în 
.
Conform ipotezelor de mai sus, urmează următoarea formulă generală pentru schimbarea variabilelor în integrala triplă:
Ca și în cazul unei integrale duble, sistemul (1) este unu-la-unu și condiția 
poate fi încălcat în puncte separate, pe linii separate și pe suprafețe separate.
Sistem funcțional (1) fiecare punct 
se potrivește cu un singur punct 
... Aceste trei numere 
numite coordonate curvilinee ale punctului 
... Puncte în spațiu 
, pentru care una dintre aceste coordonate rămâne constantă, formează așa-numitul. suprafața coordonată.
II Triplă integrală în coordonate cilindrice
Un sistem de coordonate cilindrice (CSK) este definit de un plan 
, în care sistemul de coordonate polare și axa 
perpendicular pe acest plan. Coordonatele punctului cilindric 
Unde 
- coordonatele polare ale unui punct 
- proiecții t 
ochelari 
in avion 
, și 
Sunt coordonatele punctului proiectat 
pe axă 
sau 
.
In avion 
introducem coordonatele carteziene în mod obișnuit, axa aplicatului este îndreptată de-a lungul axei 
CSK. Acum nu este dificil să obțineți formule care să conecteze coordonatele cilindrice cu cele carteziene:
(3)
Aceste formule mapează zona la întregul spațiu 
.
Suprafețele de coordonate în acest caz vor fi:
1)
– suprafețe cilindrice cu generatoare paralele cu axa 
, ghidate de cercuri în plan 
, centrat în punct 
;
2)
;
3)
- planuri paralele cu planul 
.
Jacobian al sistemului (3):
.
Formula generală în cazul CSK ia forma:
Observația 1
.
Trecerea la coordonatele cilindrice este recomandată în cazul în care regiunea de integrare este un cilindru circular sau un con, sau un paraboloid de revoluție (sau părțile lor), iar axa acestui corp coincide cu axa aplicatului 
.
Observația 2. Coordonatele cilindrice pot fi generalizate în același mod ca și coordonatele polare pe un plan.
Exemplul 1. Calculați integrala triplă a unei funcții
după regiune 
reprezentând partea interioară a cilindrului 
delimitat de un con 
și paraboloid 
.
Decizie. Am luat deja în considerare acest domeniu în §2, exemplul 6 și am primit o înregistrare standard în DPSK. Cu toate acestea, calcularea integralei în acest domeniu este dificilă. Să mergem la CSK:
.
Proiecție 
corp 
in avion 
Este un cerc 
... Prin urmare, coordonata 
variază de la 0 la 
, și 
- de la 0 la R.
Printr-un punct arbitrar 
trasați o linie dreaptă paralelă cu axa 
... Direct va intra 
pe un con, dar va ieși pe un paraboloid. Dar conul 
are în CSK ecuația 
iar paraboloidul 
- ecuația 
... Deci avem
III Integrală triplă în coordonate sferice
Un sistem de coordonate sferice (SSC) este definit de un plan 
, în care este specificat UCS și axa 
perpendicular pe plan 
.
Coordonatele punctului sferic 
spațiile se numesc trei numere 
Unde 
- unghiul polar de proiecție al unui punct pe un plan 
,
- unghiul dintre axă 
și vector 
și 
.
In avion 
introducem axele de coordonate carteziene 
și 
în mod obișnuit, iar axa aplicatului este compatibilă cu axa 
... Formulele care leagă coordonatele sferice cu coordonatele carteziene sunt după cum urmează:
(4)
Aceste formule mapează zona la întregul spațiu 
.
Jacobian al sistemului de funcții (4):
.
Suprafețele coordonate alcătuiesc trei familii:
1)
- sfere concentrice centrate la origine;
2)
- semiplane care trec prin ax 
;
3)
- conuri circulare cu vârf la origine, a căror axă este axa 
.
Formula pentru tranziția la SSK în integrala triplă:
Observația 3.
Trecerea la SSC este recomandată atunci când regiunea de integrare este o minge sau o parte a acesteia. În acest caz, ecuația sferei 
intră în. La fel ca CSK-ul discutat mai devreme, SSK este „legat” de axă 
... Dacă centrul sferei este deplasat de o rază de-a lungul axei de coordonate, atunci cea mai simplă ecuație sferică va fi obținută atunci când este deplasată de-a lungul axei 
:
Observația 4. Este posibil să generalizați SSK:
cu jacobian 
... Acest sistem de funcții va traduce elipsoidul
în „paralelipiped”
Exemplul 2.
Găsiți distanța medie a punctelor unei mingi de rază 
din centrul său.
Decizie.
Reamintim că valoarea medie a funcției 
în zona 
Este tripla integrală a funcției peste zonă împărțită la volumul zonei. În cazul nostru
Deci avem
Transformare integrală dublă a coordonatelor dreptunghiulare, 
la coordonatele polare 
raportat la coordonatele dreptunghiulare prin rapoarte 
,
, se efectuează conform formulei
Dacă regiunea integrării 
delimitată de două grinzi 
,
(
), ieșind din pol și două curbe 
și 
, atunci integralul dublu este calculat prin formula
.
Exemplul 1.3.Calculați aria formei mărginită de aceste linii: 
,
,
,
.
Decizie.Pentru a calcula aria unei zone 
să folosim formula: 
.
|
|
Să desenăm zona ,
,
Să trecem la coordonatele polare:
În sistemul de coordonate polare, zona |
(fig. 1.5). Pentru a face acest lucru, transformați curbele:
,
.
,
.
.
descris de ecuații:
.
1.2. Integrale triple
Proprietățile de bază ale integralelor triple sunt similare cu cele ale integralelor duble.
În coordonatele carteziene, integralul triplu este de obicei scris astfel:
.
În cazul în care un 
, apoi integrala triplă peste regiune 
numeric egal cu volumul corpului 
:
.
Calculul integralei triple
Lăsați domeniul integrării 
delimitat dedesubt și, respectiv, deasupra, de suprafețe continue cu o singură valoare 
,
, și proiecția regiunii 
pe planul de coordonate 
există o zonă plană 
(fig. 1.6).
|
|
Apoi, pentru valori fixe Apoi obținem:
Dacă, în plus, proiecția
unde |
aplicații potrivite 
zona punctelor 
variază în interior.
.
este definit de inegalități
,
,
- neechivoc continuu 
atunci
.
Exemplul 1.4.calculati 
Unde 
- corp delimitat de avioane:
|
|
Decizie. Zona de integrare este piramida (Fig. 1.7). Proiecția zonei
|
|
|
Prin plasarea limitelor de integrare pentru triunghi
|
,
,
,
(
,
,
).
există un triunghi 
delimitat de linii drepte 
,
,
(fig. 1.8). Când 
aplicatoare de puncte 
satisfac inegalitatea 
, asa de
.
, primim
Integră triplă în coordonate cilindrice
Când mergeți de la coordonatele carteziene 
la coordonate cilindrice 
(Fig. 1.9) asociat cu 
rapoarte 
,
,
, și
|
|
integralul triplu este convertit: Exemplul 1.5.Calculați volumul unui corp delimitat de suprafețe: Decizie.Volumul corpului dorit |
|
|
Zona de integrare este partea cilindrului delimitată de jos de plan Să trecem la coordonatele cilindrice.
sau în coordonate cilindrice: |
,
,,
,
,
.
este egal 
.
, și de sus de avion 
(Figura 1.10). Proiecția zonei 
există un cerc 
centrată la originea și raza unității.
,
,
... Când 
aplicatoare de puncte 
, satisfac inegalitatea
Regiune 
delimitat de curbă 
, va lua forma sau 
, în timp ce unghiul polar
... Ca urmare, avem
.
2. Elemente ale teoriei câmpurilor
Să ne amintim mai întâi metodele de calculare a integralelor curbiliniare și de suprafață.
Calculul integralei curvilinee peste coordonatele funcțiilor definite pe curbă 
, se reduce la calcularea unei integrale definite a formei
dacă curba 
dat parametric 
corespunde punctului de plecare al curbei 
, și 
- punctul său final.
Calculul integralei de suprafață a unei funcții 
definite pe o suprafață față-verso 
, se reduce la calcularea unei integrale duble, de exemplu, a formei
|
|
,dacă suprafața 
dată de ecuație 
, este proiectat în mod unic pe plan 
spre regiune 
... Aici 
- unghiul dintre vectorul normal al unității 
la suprafață 
și axă 
:
|
|
.Partea suprafeței cerută de condițiile problemei 
este determinată de alegerea semnului corespunzător din formula (2.3).
Definiție 2.1. Câmpul vector
este funcția vectorială a punctului 
împreună cu domeniul său de aplicare:
Câmpul vector 
caracterizat printr-un scalar - divergenţă:
Definiție 2.2. Curent
câmp vector
peste suprafață
se numește integral de suprafață:
|
|
,unde 
- vectorul normal al unității pe partea selectată a suprafeței 
, și 
- produs dot al vectorilor 
și 
.
Definiție 2.3. Prin circulație câmp vector
de
curbă închisă 
numită integral curbiliniar
|
|
,unde 
.
Formula Ostrogradsky-Gauss
stabilește o legătură între fluxul unui câmp vector
printr-o suprafață închisă
și divergența de câmp:
unde
- suprafață delimitată de un contur închis
, și
este vectorul normal al acestei suprafețe. Direcția normalului trebuie să fie în concordanță cu direcția de parcurgere a conturului
.
Exemplul 2.1.Calculați integralul suprafeței
,
unde 
- partea exterioară a conului 
(
), tăiat de avion 
(Figura 2.1).
Decizie.Suprafaţă 
proiectat în mod unic în zonă 
avion 
, iar integralul este calculat prin formula (2.2).
|
|
Unitatea de suprafață vector normal
Aici, semnul plus este selectat în expresia normalului, din moment ce unghiul |
găsim după formula (2.3):
.
între axă 
și normal 
- prost și deci 
trebuie să fie negativ. Având în vedere că 
, pe o suprafață 
primimRegiune 
există un cerc 
... Prin urmare, în ultima integrală, trecem la coordonatele polare, în timp ce 
,
:
Exemplul 2.2.Găsiți divergența și rotorul unui câmp vector 
.
Decizie.Prin formula (2.4), obținem
Rotorul acestui câmp vector se găsește prin formula (2.5)
Exemplul 2.3. Găsiți fluxul unui câmp vector 
printr-o parte a avionului 
:
situat în primul octant (normalul formează un unghi acut cu axa 
).
|
|
Decizie.În virtutea formulei (2.6)
Desenați o parte din plan
(fig. 2.3). Vectorul normal către plan are coordonate: |
|
|
|
.
:
situat în primul octant. Ecuația acestui plan în segmente are forma
, vector normal unitate
.
.
,
de unde 
, Prin urmare,unde 
- proiecția planului 
pe 
(fig. 2.4).
Exemplul 2.4.Calculați fluxul unui câmp vector printr-o suprafață închisă 
format de avion 
și o parte a conului 
(
) (fig.2.2).
Decizie.Folosim formula Ostrogradskii-Gauss (2.8)
.
Găsiți divergența câmpului vectorial 
după formula (2.4):
unde 
este volumul conului peste care se realizează integrarea. Folosim formula binecunoscută pentru a calcula volumul unui con 
(
- raza bazei conului, 
- înălțimea lui). În cazul nostru, obținem 
... În cele din urmă ajungem
.
Exemplul 2.5.Calculați circulația unui câmp vector 
de-a lungul conturului
format prin intersecția suprafețelor 
și 
(
). Verificați rezultatul folosind formula Stokes.
Decizie.Intersecția acestor suprafețe este un cerc 
,
(fig. 2.1). Direcția mersului este de obicei aleasă astfel încât zona delimitată de aceasta să rămână la stânga. Să scriem ecuațiile parametrice ale conturului
:
|
|
de unde 
parametrul 
variază de la 
inainte de 
... Prin formula (2.7), luând în considerare (2.1) și (2.10), obținem
.
Acum aplicăm formula lui Stokes (2.9). Ca suprafață 
întins peste contur
, puteți lua parte din avion 
... Direcție normală 
la această suprafață este în concordanță cu direcția de parcurgere a conturului
... Rotorul acestui câmp vector este calculat în exemplul 2.2: 
... Prin urmare, circulația dorită
unde 
- zona de zona 
.
- raza cercului 
de unde
Descărcați din Depozite
Integrală triplă.
Întrebări de testare.
Integră triplă, proprietățile sale.
Schimbarea variabilelor într-o integrală triplă. Calculul integralei triple în coordonate cilindrice.
Calculul integralei triple în coordonate sferice.
Să funcția tu= f(x y,z) este definit într-o regiune închisă delimitată V spaţiu R 3. Să despărțim zona Varbitrar mai departe n regiuni închise elementare V 1 , … , V n cu volume V 1 , …, V n respectiv. Denotăm d- cel mai mare dintre diametrele zonelor V 1 , … , V n ... În fiecare zonă V k alege un punct arbitrar P k (x k , y k , z k) și compune sumă integrală funcţie f(x, y, z)
S =
Definiție.Integrală triplă din funcție f(x, y, z) după zonă Vse numește limita sumei integrale 
dacă există.
Prin urmare,
(1)
Cometariu. Suma integrală S depinde de modul în care este partiționată regiunea V și selectarea punctelor P k (k=1, …, n ). Cu toate acestea, dacă există o limită, atunci nu depinde de metoda de partiționare a regiunii Vși selectarea punctelor P k ... Dacă comparăm definițiile integralelor duble și triple, atunci este ușor să vedem în ele o analogie completă.
O condiție suficientă pentru existența unei triple integrale.Integrala triplă (13) există dacă funcția f(x, y, z) este limitat la Vși continuu în V, cu excepția unui număr finit de suprafețe netede bucăți situate în V.
Unele proprietăți ale integralei triple.
1) Dacă DIN Atunci este o constantă numerică
3) Aditivitate pe zone. Dacă zona V defalcat pe zone V 1 și V 2, atunci
4) Volumul corpului V este egal
(2
)
Calculul integralei triple în coordonate carteziene.
Lasa D proiecția corpului Vin avion xOy, suprafete z=φ 1 (x, y), z=φ 2 (x, y) restricționează corpul Vjos și respectiv sus. Înseamnă că
V
=
{(x, y, z): (x, y)
D
, φ
1 (x, y) ≤ z ≤ φ 2 (x, y)}.
Vom numi un astfel de corp z-cilindric. Integră triplă (1) peste z-corp cilindric Vse calculează prin trecerea la integrala iterată formată din integrale duble și definite:
(3
)
Această integrală iterată calculează mai întâi integralul interior definit peste variabilă z, în care x, ysunt considerate permanente. Apoi integralul dublu al funcției rezultate este calculat peste regiune D.
În cazul în care un V x-cilindric sau y-corp cilindric, apoi formulele
În prima formulă D proiecția corpului Vpe planul de coordonate yOz , iar în al doilea, în avion xOz
Exemple.1) Calculați volumul corpului Vdelimitat de suprafețe z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .
Decizie. Calculăm volumul folosind integrala triplă prin formula (2) 
Să ne întoarcem la integrala iterată conform formulei (3).
Lasa D cerc x 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= X 2 + y 2. Apoi, prin formula (3), obținem
Pentru a calcula această integrală, apelăm la coordonatele polare. Cercul D se transformă într-un set
D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .
2) Corpul V
limitat la suprafețe z \u003d y
,
z \u003d –y
,
x \u003d
0
,
x \u003d
2,
y \u003d 1. Calculați 
Avioane z \u003d y , z \u003d –y limitează corpul, respectiv, de jos și de sus, planuri x \u003d 0 , x \u003d 2 limitează corpul, respectiv, în spate și în față, și avionul y \u003d 1 se limitează la dreapta. V -z- corp cilindric, proiecția acestuia D in avion azieste un dreptunghi OABS... Am pus φ 1 (x , y ) = –A
Se încarcă ...