Eliminácia neistoty „jedna do stupňa nekonečna. Hlavné neistoty limitov a ich zverejnenie Počet v nekonečnom stupni sa rovná

Metódy riešenia limitov. Neistoty.
Poradie rastu funkcie. Metóda výmeny

Príklad 4

Nájdite hranicu

Toto je jednoduchší príklad riešenia typu „urob si sám“. V navrhovanom príklade je opäť neistota (vyššieho rádu rastu ako koreň).

Ak „x“ smeruje k „mínus nekonečnu“

Duch "mínus nekonečna" je v tomto článku už dlho. Zvážte limity s polynómami, v ktorých. Princípy a metódy riešenia budú úplne rovnaké ako v prvej časti lekcie, s výnimkou niekoľkých nuancií.

Zvážte 4 čipy, ktoré budú potrebné na riešenie praktických úloh:

1) Vypočítajte limit

Hodnota limitu závisí len od termínu, keďže má najvyššie poradie rastu. Ak potom nekonečne veľké modulo záporné číslo na PÁRNA mocnina, v tomto prípade - vo štvrtom, rovná sa "plus nekonečno":. konštantný ("dva") pozitívne, Preto:

2) Vypočítajte limit

Tu opäť vyšší titul dokonca, Preto: . Ale pred "mínusom" ( negatívne konštanta -1), preto:

3) Vypočítajte limit

Hraničná hodnota závisí len od. Ako si pamätáte zo školy, „mínus“ teda „vyskakuje“ spod nepárneho stupňa nekonečne veľké modulo záporné číslo na nepárnu mocninu rovná sa "mínus nekonečno", v tomto prípade:.
Konštantný ("štyri") pozitívne, znamená:

4) Vypočítajte limit

Prvý chlap v dedine má opäť zvláštny stupňa, navyše v lone negatívne konštantný, čo znamená: Takže:
.

Príklad 5

Nájdite hranicu

Pomocou vyššie uvedených bodov sme dospeli k záveru, že existuje neistota. Čitateľ a menovateľ sú rovnakého rádu rastu, čo znamená, že v limite dostanete konečné číslo. Poďme zistiť odpoveď a vyhoďte všetky potery:

Riešenie je triviálne:

Príklad 6

Nájdite hranicu

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

A teraz možno najzávažnejší z prípadov:

Príklad 7

Nájdite hranicu

Vzhľadom na hlavné pojmy dospejeme k záveru, že existuje neistota. Čitateľ je vyššieho rádu rastu ako menovateľ, takže môžete okamžite povedať, že limit je nekonečno. Ale aké nekonečno, plus alebo mínus? Technika je rovnaká - v čitateli a menovateli sa zbavíme maličkostí:

Rozhodujeme sa:

Vydeľte čitateľa a menovateľa podľa

Príklad 15

Nájdite hranicu

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Hrubý príklad ukončenia na konci hodiny.

Niekoľko ďalších zaujímavých príkladov nahradenia premenných:

Príklad 16

Nájdite hranicu

Pri dosadení jednotky v limite sa získa neistota. Nahradenie premennej je už zrejmé, ale najprv transformujeme dotyčnicu pomocou vzorca. Naozaj, prečo potrebujeme tangentu?

Všimnite si, že preto. Ak to nie je úplne jasné, pozrite sa na sínusové hodnoty v trigonometrická tabuľka... Okamžite sa teda zbavíme násobilky, navyše dostaneme známejšiu neistotu 0:0. Bolo by tiež pekné, keby sa limit blížil k nule.

Poďme nahradiť:

Ak potom

Pod kosínusom máme „x“, ktoré musí byť vyjadrené aj cez „te“.
Z náhrady vyjadrujeme:.

Dokončujeme riešenie:

(1) Vykonávame striedanie

(2) Rozbaľte zátvorky pod kosínusom.

(4) Organizovať prvá úžasná limitka, umelo vynásobte čitateľa a prevráteného.

Zadanie pre nezávislé riešenie:

Príklad 17

Nájdite hranicu

Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

V ich triede to neboli ťažké úlohy, v praxi môže byť všetko horšie a navyše redukčné vzorce, musíte použiť rôzne trigonometrické vzorce, ako aj iné triky. V článku Ťažké limity som rozobral pár reálnych príkladov =)

V predvečer sviatku si konečne vyjasnime situáciu s ešte jednou rozšírenou neistotou:

Eliminácia neistoty "jedna do stupňa nekonečna"

Táto neistota je "obsluhovaná" druhá úžasná hranica a v druhej časti tejto lekcie sme veľmi podrobne preskúmali štandardné príklady riešení, s ktorými sa vo väčšine prípadov stretávame v praxi. Teraz bude obrázok s vystavovateľmi dokončený, navyše záverečné úlohy lekcie budú venované limitom - „trikom“, v ktorých sa ZDÁ, že je potrebné uplatniť 2. nádherný limit, hoci to nie je celý prípad.

Nevýhodou dvoch pracovných vzorcov 2. pozoruhodnej limity je, že argument musí smerovať k „plus nekonečnu“ alebo k nule. Čo ak však argument smeruje k inému číslu?

Na pomoc prichádza univerzálny vzorec (čo je vlastne dôsledok druhého pozoruhodného limitu):

Neistotu možno odstrániť pomocou vzorca:

Niekde, ako už bolo vysvetlené, čo hranaté zátvorky znamenajú. Nič zvláštne, zátvorky sú ako zátvorky. Zvyčajne sa používajú na sprehľadnenie matematického zápisu.

Zdôraznime základné body vzorca:

1) Je len o neistote a o nicom inom.

2) Argument "x" môže mať tendenciu ľubovoľná hodnota(a nielen na nulu alebo najmä na "mínus nekonečno" alebo na akýkoľvek konečný počet.

Pomocou tohto vzorca môžete vyriešiť všetky príklady lekcie. Úžasné limity ktoré patria do 2. pozoruhodnej hranice. Vypočítajme napríklad limit:

V tomto prípade a podľa vzorca :

Je pravda, že vám to neodporúčam, v tradícii je stále používať „bežný“ dizajn riešenia, ak sa dá použiť. ale pomocou vzorca je veľmi pohodlné kontrolovať„Klasické“ príklady na 2. pozoruhodnej hranici.

V predchádzajúcom článku sme si povedali, ako správne vypočítať limity elementárnych funkcií. Ak vezmeme zložitejšie funkcie, potom sa nám vo výpočtoch objavia výrazy s nedefinovanou hodnotou. Nazývajú sa neistoty.

Existujú tieto hlavné typy neistôt:

  1. Delenie 0 0 0 0;
  2. Delenie jedného nekonečna druhým ∞ ∞;

    3. 0 zvýšená na nulovú mocninu 0 0;

  3. nekonečno zvýšené na nulovú mocninu ∞ 0.

Uviedli sme všetky hlavné neistoty. Iné výrazy v rôznych podmienkach môžu nadobúdať konečné alebo nekonečné hodnoty, preto ich nemožno považovať za nejednoznačnosti.

Zverejnenie neistôt

Neistotu možno odhaliť:

  1. Zjednodušením tvaru funkcie (použitím skrátených vzorcov na násobenie, goniometrických vzorcov, dodatočného násobenia konjugovanými výrazmi a následnou redukciou atď.);

    2. S úžasnými limitmi;

    Použitie L'Hôpitalovho pravidla;

    Nahradením jedného infinitezimálneho výrazu jeho ekvivalentným výrazom (tento úkon sa spravidla vykonáva pomocou tabuľky nekonečne malých výrazov).

Všetky vyššie uvedené informácie je možné graficky znázorniť vo forme tabuľky. Na ľavej strane je znázornený typ neistoty, na pravej strane vhodná metóda na jej odhalenie (nájdenie limitu). Táto tabuľka je veľmi vhodná na použitie pri výpočtoch súvisiacich s hľadaním limitov.

Neistota Metóda zverejnenia neistoty
1. Delenie 0 na 0 Transformácia a následné zjednodušenie výrazu. Ak je výraz v tvare sin (k x) k x alebo k x sin (k x), potom musíte použiť prvú pozoruhodnú hranicu. Ak takéto riešenie nevyhovuje, použijeme L'Hôpitalovo pravidlo alebo tabuľku ekvivalentných infinitezimálnych výrazov
2. Delenie nekonečna nekonečnom Transformácia a zjednodušenie výrazu alebo použitie L'Hôpitalovho pravidla
3. Násobenie nuly nekonečnom alebo nájdenie rozdielu medzi dvoma nekonečnami Konverzia na 0 0 alebo ∞ ∞ nasledovaná L'Hôpitalovým pravidlom
4. Jednotka na mocninu nekonečna Použitie druhej nádhernej limitky
5. Zvýšenie nuly alebo nekonečna na nulový výkon Logaritmovanie výrazu pomocou rovnosti lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x)

Pozrime sa na pár problémov. Tieto príklady sú pomerne jednoduché: v nich sa odpoveď získa ihneď po nahradení hodnôt a neexistuje žiadna nejednoznačnosť.

Príklad 1

Nájdite hranicu lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3.

Riešenie

Vykonávame nahradenie hodnôt a dostávame odpoveď.

lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

odpoveď: limit x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2.

Príklad 2

Vypočítajte limit lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2.

Riešenie

Máme exponenciálnu funkciu, v základe ktorej je potrebné dosadiť x = 0.

(x 2 + 2, 5) x = 0 = 0 2 + 2, 5 = 2, 5

Preto môžeme limit previesť na nasledujúci výraz:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2

Teraz sa poďme zaoberať exponentom - mocninnou funkciou 1 x 2 = x - 2. Pozrime sa na tabuľku limitov mocninových funkcií s exponentom menším ako nula a získame nasledovné: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ a lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞

Môžeme teda napísať, že lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2,5 + ∞.

Teraz vezmeme tabuľku limitov exponenciálnych funkcií so základňami väčšími ako 0 a dostaneme:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞

odpoveď: limit x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = + ∞.

Príklad 3

Nájdite limit lim x → 1 x 2 - 1 x - 1.

Riešenie

Vykonávame zámenu hodnoty.

limit x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

V dôsledku toho sme sa dostali do neistoty. Pomocou tabuľky vyššie vyberte metódu riešenia. Uvádza, že musíte zjednodušiť výraz.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) (X + 1) x - 1 = limit x → 1 (x + 1) x - 1 = = 1 + 1 1 - 1 = 2 0 = 0

Ako vidíme, zjednodušenie viedlo k odhaleniu neistoty.

odpoveď: limit x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0

Príklad 4

Nájdite hranicu lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x.

Riešenie

Nahraďte hodnotu a získajte záznam v nasledujúcom formulári.

limit x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0

Dospeli sme k nutnosti deliť nulu nulou, čo je neistota. Požadovaný spôsob riešenia si pozrime v tabuľke – ide o zjednodušenie a transformáciu výrazu. Urobme dodatočné vynásobenie čitateľa a menovateľa výrazom 12 - x + 6 + x konjugované s menovateľom:

limit x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = limit x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x

Násobenie menovateľa sa vykonáva tak, že neskôr môžete použiť vzorec pre znížené násobenie (rozdiel štvorcov) a vykonať zníženie.

lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = limit x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = limit x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = limit x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = limit x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3

Ako vidíme, v dôsledku týchto akcií sa nám podarilo zbaviť sa neistoty.

odpoveď: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3.

Je dôležité poznamenať, že pri riešení takýchto problémov sa veľmi často používa multiplikačný prístup, preto vám odporúčame, aby ste si presne zapamätali, ako sa to robí.

Príklad 5

Nájdite hranicu lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2.

Riešenie

Vykonávame striedanie.

limit x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0

V dôsledku toho sme sa dostali do neistoty. Odporúčaný spôsob riešenia problému v tomto prípade je zjednodušenie výrazu. Keďže keď sa x rovná jednej, čitateľ a menovateľ zaniknú, môžeme ich rozdeliť a potom zrušiť x - 1, a potom neistota zmizne.

Vykonáme faktorizáciu čitateľa:

x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1

Teraz urobíme to isté s menovateľom:

3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1

Dostali sme nasledujúci limit:

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4

Ako vidíme, pri premene sa nám podarilo zbaviť neistoty.

odpoveď: limit x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4.

Ďalej musíme zvážiť prípady limity v nekonečne v exponenciálnych výrazoch. Ak sú exponenty týchto výrazov väčšie ako 0, potom bude aj limita v nekonečne nekonečná. V tomto prípade má najväčší význam primárny význam a zvyšok možno ignorovať.

Napríklad lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ alebo lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.

Ak máme pod medzným znamienkom zlomok s exponenciálnymi výrazmi v čitateli a menovateli, tak ako x → ∞ máme neurčitosť tvaru ∞ ∞. Aby sme sa zbavili tejto nejednoznačnosti, musíme vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku x m a x (m, n). Uveďme príklad riešenia podobného problému.

Príklad 6

Nájdite hranicu lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12.

Riešenie

limit x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞

Mocniny čitateľa a menovateľa sú 7. Vydelíme ich x 7 a dostaneme:

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3

odpoveď: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3.

Príklad 7

Vypočítajte limit lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1.

Riešenie

limit x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Čitateľ má stupeň 8 3 a menovateľ 2. Rozdeľme čitateľa a menovateľa x 8 3:

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

odpoveď: limit x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞.

Príklad 8

Vypočítajte limit lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3.

Riešenie

limit x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞

Máme čitateľa na mocninu 3 a menovateľa na mocninu 10 3. Čitateľ a menovateľ teda musíme vydeliť x 10 3:

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = limit x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 = 12 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0

odpoveď: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0.

závery

V prípade limitu vzťahu existujú tri hlavné možnosti:

    Ak sa stupeň čitateľa rovná stupňu menovateľa, potom sa limit bude rovnať pomeru koeficientov na vyšších stupňoch.

    Ak je stupeň čitateľa väčší ako stupeň menovateľa, potom sa limit bude rovnať nekonečnu.

    Ak je stupeň čitateľa menší ako stupeň menovateľa, potom bude limit nula.

Iným metódam zverejňovania neistôt sa budeme venovať v samostatných článkoch.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Derivácia funkcie nespadá veľmi ďaleko a v prípade L'Hôpitalových pravidiel padá presne rovnakým smerom ako pôvodná funkcia. Táto okolnosť pomáha pri odhalení neistôt v tvare 0/0 alebo ∞ / ∞ a niektorých ďalších neistôt, ktoré vznikajú pri výpočte limit pomer dvoch nekonečne malých alebo nekonečne veľkých funkcií. Výpočet je pomocou tohto pravidla výrazne zjednodušený (v skutočnosti dve pravidlá a poznámky k nim):

Ako ukazuje vzorec vyššie, pri výpočte limity pomeru dvoch nekonečne malých alebo nekonečne veľkých funkcií možno limitu pomeru dvoch funkcií nahradiť limitou ich pomeru. deriváty a tak získať určitý výsledok.

Prejdime k presnejším formuláciám L'Hôpitalových pravidiel.

L'Hôpitalovo pravidlo pre prípad limity dvoch nekonečne malých veličín... Nechajte funkcie f(X) a g(X a... A v samom bode a a derivácia funkcie g(X) sa nerovná nule ( g"(X a sa navzájom rovnajú a rovnajú sa nule:

.

L'Hôpitalovo pravidlo pre prípad hranice dvoch nekonečne veľkých veličín... Nechajte funkcie f(X) a g(X) majú derivácie (t. j. diferencovateľné) v niektorom okolí bodu a... A v samom bode a môžu alebo nemusia mať deriváty. Navyše v okolí bodu a derivácia funkcie g(X) sa nerovná nule ( g"(X) ≠ 0) a limity týchto funkcií, keďže x smeruje k hodnote funkcie v bode a sa navzájom rovnajú a rovnajú sa nekonečnu:

.

Potom sa limita pomeru týchto funkcií rovná limite pomeru ich derivácií:

Inými slovami, pre neistoty tvaru 0/0 alebo ∞ / ∞ sa limita pomeru dvoch funkcií rovná limite pomeru ich derivácií, ak druhá existuje (konečná, to znamená rovná a určitý počet alebo nekonečno, to znamená rovnajúce sa nekonečnu).

Poznámky.

1. Pravidlá L'Hôpital sa vzťahujú aj na funkcie f(X) a g(X) nie sú definované pre X = a.

2. Ak pri výpočte limity podielu derivácií funkcií f(X) a g(X) opäť dospejeme k neurčitosti tvaru 0/0 alebo ∞ / ∞, potom by sa L'Hôpitalove pravidlá mali aplikovať viackrát (aspoň dvakrát).

3. L'Hôpitalove pravidlá sú použiteľné aj vtedy, keď argument funkcií (x) nemá tendenciu ku konečnému číslu a a do nekonečna ( X → ∞).

Neistoty iných typov možno tiež zredukovať na neistoty typu 0/0 a ∞ / ∞.

Zverejnenie neistôt typu "nula delená nulou" a "nekonečno delené nekonečnom"

Príklad 1

X= 2 vedie k neistote tvaru 0/0. Preto deriváciu každej funkcie a získame

Derivácia polynómu bola vypočítaná v čitateli a v menovateli - derivácia komplexnej logaritmickej funkcie... Pred posledným znakom rovnosti je obvyklé limit, nahradením dvoch namiesto x.

Príklad 2 Vypočítajte limitu pomeru dvoch funkcií pomocou L'Hôpitalovho pravidla:

Riešenie. Substitúcia hodnoty v danej funkcii X

Príklad 3 Vypočítajte limitu pomeru dvoch funkcií pomocou L'Hôpitalovho pravidla:

Riešenie. Substitúcia hodnoty v danej funkcii X= 0 má za následok neistotu tvaru 0/0. Preto vypočítame derivácie funkcií v čitateli a menovateli a dostaneme:

Príklad 4 Vypočítajte

Riešenie. Dosadenie hodnoty x rovnej plus nekonečnu do danej funkcie vedie k neurčitosti tvaru ∞ / ∞. Preto aplikujeme L'Hôpitalovo pravidlo:

Komentujte. Vráťme sa k príkladom, v ktorých L'Hôpitalovo pravidlo musí byť aplikované dvakrát, to znamená dostať sa na limitu pomerov druhých derivácií, keďže limita pomeru prvých derivácií je neurčitosťou tvaru 0 /0 alebo ∞ / ∞.

Zverejnenie neistôt tvaru "nula krát nekonečno"

Príklad 12. Vypočítajte

.

Riešenie. Dostaneme

Tento príklad používa trigonometrickú identitu.

Zverejnenie neistôt typu "nula na mocninu nuly", "nekonečno na mocninu nuly" a "jedna na mocninu nekonečna"

Neistoty tvaru alebo sa zvyčajne redukujú na tvar 0/0 alebo ∞ / ∞ pomocou logaritmu funkcie tvaru

Na výpočet limitu výrazu by sme mali použiť logaritmickú identitu, ktorej špeciálnym prípadom je vlastnosť logaritmu .

Pomocou logaritmickej identity a vlastnosti kontinuity funkcie (prekročenie medzného znaku) by sa mal limit vypočítať takto:

Samostatne by ste mali nájsť limit výrazu v exponente a zostave e do zisteného stupňa.

Príklad 13.

Riešenie. Dostaneme

.

.

Príklad 14. Vypočítajte pomocou L'Hôpitalovho pravidla

Riešenie. Dostaneme

Vypočítame limitu výrazu v exponente

.

.

Príklad 15. Vypočítajte pomocou L'Hôpitalovho pravidla

Táto neistota je "obsluhovaná" druhá úžasná hranica a v druhej časti tejto lekcie sme veľmi podrobne preskúmali štandardné príklady riešení, s ktorými sa vo väčšine prípadov stretávame v praxi. Teraz bude obrázok s vystavovateľmi dokončený, navyše záverečné úlohy lekcie budú venované limitom - „trikom“, v ktorých sa ZDÁ, že je potrebné uplatniť 2. nádherný limit, hoci to nie je celý prípad.

Nevýhodou dvoch pracovných vzorcov 2. pozoruhodnej limity je, že argument musí smerovať k „plus nekonečnu“ alebo k nule. Čo ak však argument smeruje k inému číslu?

Na pomoc prichádza univerzálny vzorec (čo je vlastne dôsledok druhého pozoruhodného limitu):

Neistotu možno odstrániť pomocou vzorca:

Niekde, ako už bolo vysvetlené, čo hranaté zátvorky znamenajú. Nič zvláštne, zátvorky sú ako zátvorky. Zvyčajne sa používajú na sprehľadnenie matematického zápisu.

Zdôraznime základné body vzorca:

1) Je len o istote a o nicom inom.

2) Argument "x" môže mať tendenciu ľubovoľná hodnota(a nielen na nulu alebo najmä na "mínus nekonečno" alebo na akýkoľvek konečný počet.

Pomocou tohto vzorca môžete vyriešiť všetky príklady lekcie. Úžasné limity ktoré patria do 2. pozoruhodnej hranice. Vypočítajme napríklad limit:

V tomto prípade a podľa vzorca :

Je pravda, že vám to neodporúčam, v tradícii je stále používať „bežný“ dizajn riešenia, ak sa dá použiť. ale pomocou vzorca je veľmi pohodlné kontrolovať„Klasické“ príklady na 2. pozoruhodnej hranici.

To všetko je dobré, ale teraz sú v zábere zaujímavejšie zábery:

Príklad 18

Vypočítať limit

V prvom kroku sa nebudem unúvať opakovaním dosadíme do výrazu pod medzným znakom hodnotu „x“. Čo ak tam nie je vôbec žiadna neistota? To sa stáva! Ale nie v tejto dobe. Nahradením „trojky“ dospejeme k záveru, že existuje neistota



Používame vzorec

Aby sa písmeno "e" neťahalo a nebolo malé, indikátor je pohodlnejšie vypočítať samostatne:

V tomto prípade:

Touto cestou:

Z pohľadu výpočtovej techniky je všetko rutina: najprv privedieme prvý člen do spoločného menovateľa, potom vyberieme konštanty a vykonáme redukcie, čím sa zbavíme neistoty 0:0.

Ako výsledok:

Sľúbený darček s rozdielom v logaritmoch a neistote:

Príklad 19

Vypočítať limit

Najprv úplné riešenie, potom komentáre:

(1) - (2) V prvých dvoch krokoch používame vzorce ... Mať komplexné deriváty logaritmy „rozbijeme“, ale tu ich naopak treba „zozbierať“.

(3) Presuňte ikonu limitu pod logaritmus. Dá sa to urobiť vďaka danému logaritmu nepretržitý do „mínus nekonečna“. Okrem toho sa limit týka „plnenia“ logaritmu.

(4) - (5) Štandardná technika diskutovaná v základnej lekcii o úžasné limity, neistotu transformujeme do formy.

(6) Používame vzorec .

(7) Exponenciálne a logaritmické funkcie sú vzájomne inverzné funkcie, preto je možné odstrániť „e“ aj logaritmus. V skutočnosti podľa vlastnosti logaritmu:. Do menovateľa pridáme mínus pred zlomok:

(8) Bez komentára =)

Uvažovaný typ limitu nie je taký zriedkavý, našiel som príklady 30-40.

Príklad 20

Vypočítať limit

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Okrem použitia vzorca môže byť limit reprezentovaný ako a zredukovať riešenie prípadu .

Na záver zvážte hranice „falošného“.

Vráťme sa k neistote. Táto neistota nie vždy možno redukovať na neistotu a použiť 2. pozoruhodný limit alebo vzorec-dôsledok. Konverzia je realizovateľná, ak čitateľ a menovateľ základu stupňa - ekvivalent nekonečne veľké funkcie... Napríklad: .

Odíďme od ukazovateľa a vypočítajme základný limit:

V prijatom limite jednotka, teda čitateľ a menovateľ nielen rovnakého rádu rastu, ale aj ekvivalentné... Na lekcii Pozoruhodné limity. Príklady riešení tento príklad sme bez problémov zredukovali na neistotu a dostali sme odpoveď.

Môžete si predstaviť veľa podobných limitov:
atď.

Zlomky týchto príkladov sú spojené vyššie uvedeným znakom:. V ostatných prípadoch s neistotou 2. pozoruhodná hranica neplatí.

Príklad 21

Nájdite hranice

Bez ohľadu na to, ako veľmi sa snažíte, neistota sa nedá premeniť na neistotu.

Tu sú čitatelia a menovatelia základov rovnaké poradie rastu, ale nie ekvivalenty: .

Druhá pozoruhodná hranica a navyše vzorec, NEDÁ SA PRIHLÁSIŤ.

! Poznámka: nezamieňať s príkladom č. 18, kde čitateľ a menovateľ základu nie sú ekvivalentné. Existuje hotová neistota, ale tu hovoríme o neistote.

Metóda riešenia „falošných“ limitov je jednoduchá a znak Ohm: potrebujete čitateľa a menovateľa základy delené „x“ v najvyššom stupni (bez ohľadu na indikátor):

Ak majú čitateľ a menovateľ základne rôzne poradie rastu, riešenie je úplne rovnaké:

Príklad 22

Nájdite hranice

Toto sú krátke príklady samoštúdia.

Niekedy nemusí byť vôbec žiadna neistota:

Takéto triky milujú najmä zostavovatelia Kuznecovovej zbierky. Preto je veľmi dôležité v prvom kroku VŽDY dosadiť „x“ vo výraze pod medzným znakom!


Príklad 2

Najvyšší stupeň čitateľa: 2; najvyšší stupeň menovateľa: 3.
:

Príklad 4

Vydeľte čitateľa a menovateľa podľa :


Poznámka : úplne posledná akcia vynásobila čitateľa a menovateľa o zbaviť sa iracionality v menovateli.

Príklad 6

Vydeľte čitateľa a menovateľa podľa :

Príklad 8

Vydeľte čitateľa a menovateľa podľa :

Poznámka : termín prechod na nulu je pomalší ako , Preto je "hlavná" nula menovateľa. .

Príklad 22


Poznámka : infinitezimálna funkcia má tendenciu nulovať sa pomalšie ako , preto „väčšia“ nula menovateľa hrá rozhodujúcu úlohu:

Zvyčajne je druhý pozoruhodný limit napísaný v tejto forme:

\ začiatok (rovnica) \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (1) (x) \ vpravo) ^ x = e \ koniec (rovnica)

Číslo $ e $ uvedené na pravej strane rovnosti (1) je iracionálne. Približná hodnota tohto čísla je nasledovná: $ e \ cca (2 (,) 718281828459045) $. Ak vykonáme substitúciu $ t = \ frac (1) (x) $, potom vzorec (1) možno prepísať takto:

\ begin (rovnica) \ lim_ (t \ až (0)) \ biggl (1 + t \ biggr) ^ (\ frac (1) (t)) = e \ koniec (rovnica)

Rovnako ako pri prvej pozoruhodnej limite nezáleží na tom, ktorý výraz predstavuje premennú $ x $ vo vzorci (1) alebo namiesto premennej $ t $ vo vzorci (2). Hlavná vec je splnenie dvoch podmienok:

  1. Základ stupňa (t. j. výraz v zátvorkách vzorcov (1) a (2)) by mal smerovať k jednotke;
  2. Exponent (t. j. $ x $ vo vzorci (1) alebo $ \ frac (1) (t) $ vo vzorci (2)) by mal smerovať k nekonečnu.

Druhý pozoruhodný limit údajne odhaľuje nejednoznačnosť $ 1 ^ \ infty $. Všimnite si, že vo vzorci (1) nešpecifikujeme, o akom druhu nekonečna ($ + \infty $ alebo $ - \infty $) hovoríme. V každom z týchto prípadov je vzorec (1) správny. Vo vzorci (2) môže mať premenná $ t $ tendenciu k nule vľavo aj vpravo.

Všimnite si, že existuje aj niekoľko užitočných dôsledkov druhého pozoruhodného limitu. Príklady použitia druhej pozoruhodnej limity, ako aj dôsledkov z nej, sú veľmi obľúbené u zostavovateľov štandardných typických výpočtov a kontrolných prác.

Príklad #1

Vypočítajte limit $ \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (\ frac (3x + 1) (3x-5) \ vpravo) ^ (4x + 7) $.

Hneď si všimnite, že základňa stupňa (t.j. $ \ frac (3x + 1) (3x-5) $) má tendenciu k jednej:

$$ \ lim_ (x \ až \ infty) \ frac (3x + 1) (3x-5) = \ vľavo | \ frac (\ infty) (\ infty) \ vpravo | = \ lim_ (x \ do \ infty) \ frac (3+ \ frac (1) (x)) (3- \ frac (5) (x)) = \ frac (3 + 0) (3-0) = jeden. $$

V tomto prípade má exponent (výraz $ 4x + 7 $) tendenciu k nekonečnu, t.j. $ \ lim_ (x \ až \ infty) (4x + 7) = \ infty $.

Základ stupňa smeruje k jednotke, exponent k nekonečnu, t.j. máme do činenia s neistotou 1 $ ^ \ infty $. Aplikujme vzorec na odhalenie tejto neistoty. Základom stupňa vzorca je výraz $ 1 + \ frac (1) (x) $ a v príklade, ktorý uvažujeme, je základ stupňa nasledovný: $ \ frac (3x + 1) (3x-5) $. Prvým krokom je preto formálne prispôsobiť výraz $ \ frac (3x + 1) (3x-5) $ tak, aby vyzeral ako $ 1 + \ frac (1) (x) $. Najprv pridajme a odčítame jednu:

$$ \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (\ frac (3x + 1) (3x-5) \ vpravo) ^ (4x + 7) = | 1 ^ \ infty | = \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \ vpravo) ^ (4x + 7) $$

Treba poznamenať, že nemôžete len pridať jednotku. Ak sme nútení pridať jednotku, tak je potrebné ju aj odčítať, aby sa nezmenila hodnota celého výrazu. Aby sme mohli pokračovať v riešení, berieme to do úvahy

$$ \ frac (3x + 1) (3x-5) -1 = \ frac (3x + 1) (3x-5) - \ frac (3x-5) (3x-5) = \ frac (3x + 1- 3x + 5) (3x-5) = \ frac (6) (3x-5). $$

Pretože $ \ frac (3x + 1) (3x-5) -1 = \ frac (6) (3x-5) $, potom:

$$ \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \ vpravo) ^ (4x + 7) = \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (6) (3x-5) \ vpravo) ^ (4x + 7) $$

Pokračujme v „fitku“. Vo výraze $ 1 + \ frac (1) (x) $ vzorca obsahuje čitateľ zlomku 1 a v našom výraze $ 1 + \ frac (6) (3x-5) $ čitateľ obsahuje $ 6 $. Ak chcete získať 1 $ v čitateli, vynechajte 6 $ v menovateli pomocou nasledujúceho prevodu:

$$ 1+ \ frac (6) (3x-5) = 1 + \ frac (1) (\ frac (3x-5) (6)) $$

Touto cestou,

$$ \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (6) (3x-5) \ vpravo) ^ (4x + 7) = \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (1) (\ frac (3x-5) (6)) \ vpravo) ^ (4x + 7) $$

Čiže základ stupňa, t.j. $ 1 + \ frac (1) (\ frac (3x-5) (6)) $, upravené na tvar $ 1 + \ frac (1) (x) $, ktorý sa vyžaduje vo vzorci. Teraz začnime pracovať s exponentom. Všimnite si, že vo vzorci sú výrazy v exponentoch a v menovateli rovnaké:

To znamená, že v našom príklade musia byť exponent a menovateľ zredukované na rovnaký tvar. Ak chcete získať exponent $ \ frac (3x-5) (6) $, jednoducho vynásobte exponent týmto zlomkom. Prirodzene, aby ste kompenzovali takéto násobenie, budete musieť okamžite násobiť recipročným, t.j. podľa $ \ frac (6) (3x-5) $. Takže máme:

$$ \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (1) (\ frac (3x-5) (6)) \ vpravo) ^ (4x + 7) = \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (1) (\ frac (3x-5) (6)) \ vpravo) ^ (\ frac (3x-5) (6) \ cdot \ frac (6) (3x-5 ) \ cdot (4x + 7)) = \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (\ vľavo (1+ \ frac (1) (\ frac (3x-5) (6)) \ vpravo) ^ (\ frac (3x-5) (6)) \ vpravo) ^ (\ frac (6 \ cdot (4x + 7)) (3x-5)) $$

Uvažujme samostatne limit zlomku $ \ frac (6 \ cdot (4x + 7)) (3x-5) $, ktorý sa nachádza v mocnine:

$$ \ lim_ (x \ do \ infty) \ frac (6 \ cdot (4x + 7)) (3x-5) = \ vľavo | \ frac (\ infty) (\ infty) \ vpravo | = \ lim_ (x \ do \ infty) \ frac (6 \ cdot \ vľavo (4+ \ frac (7) (x) \ vpravo)) (3- \ frac (5) (x)) = 6 \ cdot \ frac (4) (3) = 8. $$

Odpoveď: $ \ lim_ (x \ až (0)) \ biggl (\ cos (2x) \ biggr) ^ (\ frac (1) (\ sin ^ 2 (3x))) = e ^ (- \ frac (2) (9) $.

Príklad č.4

Nájdite hranicu $ \ lim_ (x \ až + \ infty) x \ vľavo (\ ln (x + 1) - \ ln (x) \ vpravo) $.

Pretože pre $ x> 0 $ máme $ \ ln (x + 1) - \ ln (x) = \ ln \ vľavo (\ frac (x + 1) (x) \ vpravo) $, potom:

$$ \ lim_ (x \ až + \ infty) x \ vľavo (\ ln (x + 1) - \ ln (x) \ vpravo) = \ lim_ (x \ až + \ infty) \ vľavo (x \ cdot \ ln \ vľavo (\ frac (x + 1) (x) \ vpravo) \ vpravo) $$

Rozbalením zlomku $ \ frac (x + 1) (x) $ na súčet zlomkov $ \ frac (x + 1) (x) = 1 + \ frac (1) (x) $ dostaneme:

$$ \ lim_ (x \ až + \ infty) \ vľavo (x \ cdot \ ln \ vľavo (\ frac (x + 1) (x) \ vpravo) \ vpravo) = \ lim_ (x \ až + \ infty) \ vľavo (x \ cdot \ ln \ vľavo (1+ \ frac (1) (x) \ vpravo) \ vpravo) = \ lim_ (x \ až + \ infty) \ vľavo (\ ln \ vľavo (\ frac (x + 1) (x) \ vpravo) ^ x \ vpravo) = \ ln (e) = 1. $$

Odpoveď: $ \ lim_ (x \ až + \ infty) x \ vľavo (\ ln (x + 1) - \ ln (x) \ vpravo) = 1 $.

Príklad č.5

Nájdite limit $ \ lim_ (x \ až (2)) \ biggl (3x-5 \ biggr) ^ (\ frac (2x) (x ^ 2-4)) $.

Pretože $ \ lim_ (x \ až (2)) (3x-5) = 6-5 = 1 $ a $ \ lim_ (x \ až (2)) \ frac (2x) (x ^ 2-4) = \ infty $, potom máme do činenia s neurčitosťou tvaru $ 1 ^ \ infty $. Podrobné vysvetlenia sú uvedené v príklade č. 2, ale tu sa obmedzíme na krátke riešenie. Substitúciou $ t = x-2 $ dostaneme:

$$ \ lim_ (x \ až (2)) \ biggl (3x-5 \ biggr) ^ (\ frac (2x) (x ^ 2-4)) = \ vľavo | \ begin (zarovnané) & t = x- 2; x = t + 2 \\ & t \ až (0) \ koniec (zarovnaný) \ vpravo | = \ lim_ (t \ až (0)) \ biggl (1 + 3 t \ biggr) ^ (\ frac (2 t + 4) (t ^ 2 + 4 t)) = \\ = \ lim_ (t \ až (0) ) \ biggl (1 + 3t \ biggr) ^ (\ frac (1) (3t) \ cdot 3t \ cdot \ frac (2t + 4) (t ^ 2 + 4t)) = \ lim_ (t \ až (0) ) \ vľavo (\ biggl (1 + 3t \ biggr) ^ (\ frac (1) (3t)) \ vpravo) ^ (\ frac (6 \ cdot (t + 2)) (t + 4)) = e ^ 3. $$

Tento príklad môžete vyriešiť iným spôsobom pomocou náhrady: $ t = \ frac (1) (x-2) $. Samozrejme, odpoveď bude rovnaká:

$$ \ lim_ (x \ až (2)) \ biggl (3x-5 \ biggr) ^ (\ frac (2x) (x ^ 2-4)) = \ vľavo | \ begin (zarovnané) & t = \ frac ( 1) (x-2); \; x = \ frac (2t + 1) (t) \\ & t \ do \ infty \ koniec (zarovnané) \ vpravo | = \ lim_ (t \ až \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (3) (t) \ vpravo) ^ (t \ cdot \ frac (4t + 2) (4t + 1)) = \\ = \ lim_ (t \ to \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (1) (\ frac (t) (3)) \ vpravo) ^ (\ frac (t) (3) \ cdot \ frac (3) (t) \ cdot \ frac (t \ cdot (4t + 2)) (4t + 1)) = \ lim_ (t \ až \ infty) \ vľavo (\ vľavo (1+ \ frac (1) (\ frac (t) ( 3)) \ vpravo) ^ (\ frac (t) (3)) \ vpravo) ^ (\ frac (6 \ cdot (2t + 1)) (4t + 1)) = e ^ 3. $$

Odpoveď: $ \ lim_ (x \ až (2)) \ biggl (3x-5 \ biggr) ^ (\ frac (2x) (x ^ 2-4)) = e ^ 3 $.

Príklad č.6

Nájdite hranicu $ \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \ vpravo) ^ (3x) $.

Poďme zistiť, k čomu má tendenciu výraz $ \ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) $ pod podmienkou $ x \ to \ infty $:

$$ \ lim_ (x \ až \ infty) \ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) = \ vľavo | \ frac (\ infty) (\ infty) \ vpravo | = \ lim_ (x \ až \ infty) \ frac (2+ \ frac (3) (x ^ 2)) (2- \ frac (4) (x ^ 2)) = \ frac (2 + 0) (2 -0) = 1. $$

V danej limite teda máme do činenia s neurčitosťou tvaru $ 1 ^ \ infty $, ktorú odhalíme pomocou druhej pozoruhodnej limity:

$$ \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \ vpravo) ^ (3x) = | 1 ^ \ infty | = \ lim_ (x \ do \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) -1 \ vpravo) ^ (3x) = \\ = \ lim_ (x \ do \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (7) (2x ^ 2-4) \ vpravo) ^ (3x) = \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (1) (\ frac (2x ^ 2-4) (7)) \ vpravo) ^ (3x) = \\ = \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (1+ \ frac (1) (\ frac (2x ^ 2-4 ) (7)) \ vpravo) ^ (\ frac (2x ^ 2-4) (7) \ cdot \ frac (7) (2x ^ 2-4) \ cdot 3x) = \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (\ vľavo (1+ \ frac (1) (\ frac (2x ^ 2-4) (7)) \ vpravo) ^ (\ frac (2x ^ 2-4) (7)) \ vpravo) ^ ( \ frac (21x) (2x ^ 2-4)) = e ^ 0 = 1. $$

Odpoveď: $ \ lim_ (x \ až \ infty) \ vľavo (\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \ vpravo) ^ (3x) = 1 $.

Načítava ...Načítava ...