اعداد به شکل مثلثاتی.
فرمول Moivre
بگذارید z 1 \u003d r 1 (cos 1 + isin 1) و z 2 \u003d r 2 (cos 2 + isin 2).
فرم مثلثاتی علامت گذاری برای یک عدد مختلط برای انجام عملیات ضرب ، تقسیم ، افزایش به یک عدد صحیح و استخراج ریشه قدرت n مناسب است.
z 1 ∙ z 2 \u003d r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin ( 1 + 2)).
هنگام ضرب دو عدد مختلط در فرم مثلثاتی ، ماژول های آنها ضرب می شوند ، و استدلال های آنها اضافه می شود. هنگام تقسیم کردن ماژول های آنها تقسیم شده و استدلال ها کم می شوند.
نتیجه قانون ضرب عدد مختلط ، قانون افزایش عدد مختلط به توان است.
z \u003d r (cos + i sin).
z n \u003d r n (cos n + isin n).
به این نسبت گفته می شود با فرمول Moivre.
مثال 8.1 محصول و ضریب را پیدا کنید:
و 
تصمیم گیری
z 1 ∙ z 2 
∙
=
;
مثال 8.2 یک عدد را به صورت مثلثاتی بنویسید
∙
–من) 7.
تصمیم گیری
ما نشان می دهیم 
و z 2 \u003d 
- من.
r 1 \u003d | z 1 | \u003d √ 1 2 + 1 2 \u003d √ 2 ؛ 1 \u003d arg z 1 \u003d آرکتان 
;
z 1 \u003d 
;
r 2 \u003d | z 2 | \u003d √ (√ 3) 2 + (- 1) 2 \u003d 2 ؛ 2 \u003d arg z 2 \u003d آرکتان 
;
z 2 \u003d 2 
;
z 1 5 \u003d ( 
) 5 
؛ z 2 7 \u003d 2 7 
z \u003d ( 
) 5 2 7 
=
2 9 
§ 9 استخراج ریشه از یک عدد مختلط
تعریف. ریشهnقدرت دوم یک عدد مختلط z (نشان دادن 
) یک عدد مختلط w است به طوری که w n \u003d z. اگر z \u003d 0 باشد ، پس 
= 0.
بگذارید z 0 ، z \u003d r (cos + isin). ما w \u003d (cos + sin) را نشان می دهیم ، سپس معادله w n \u003d z را می توان به شکل زیر نوشت
n (cos (n ) + isin (n )) \u003d r (cos + isin).
از این رو n \u003d r ،
=
بنابراین ، w k \u003d 
·
.
در بین این مقادیر دقیقاً n مقادیر مختلف وجود دارد.
بنابراین ، k \u003d 0 ، 1 ، 2 ،… ، n - 1.
در صفحه پیچیده ، این نقاط رئوس یک n-gon منظم است که در یک دایره با شعاع حک شده است 
در نقطه O قرار دارد (شکل 12).
شکل 12
مثال 9.1همه مقادیر را پیدا کنید 
.
تصمیم گیری
بیایید این عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. بیایید ماژول و استدلال آن را پیدا کنیم.
w k \u003d 
، جایی که k \u003d 0 ، 1 ، 2 ، 3.
w 0 \u003d 
.
w 1 \u003d 
.
w 2 \u003d 
.
w 3 \u003d 
.
در صفحه پیچیده ، این نقاط رئوس یک مربع است که در یک دایره با شعاع حک شده است 
در مبدا قرار دارد (شکل 13).
تصویر 13 تصویر 14
مثال 9.2همه مقادیر را پیدا کنید 
.
تصمیم گیری
z \u003d - 64 \u003d 64 (cos + isin) ؛
w k \u003d 
، جایی که k \u003d 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5.
w 0 \u003d 
؛ w 1 \u003d 
;
w 2 \u003d 
w 3 \u003d 
w 4 \u003d 
؛ w 5 \u003d 
.
در صفحه پیچیده ، این نقاط رئوس یک شش ضلعی منظم است که در یک دایره شعاع 2 مرکز شده در نقطه O (0؛ 0) نقش بسته است - شکل 14.
§ 10 فرم نمایی یک عدد مختلط.
فرمول اولر
ما نشان می دهیم 
\u003d cos + isin و 
\u003d cos - isin. به این روابط گفته می شود فرمول های اولر .
تابع 
دارای خصوصیات عملکرد نمایی معمول است:
اجازه دهید عدد مختلط z در فرم مثلثاتی z \u003d r (cos + isin) نوشته شود.
با استفاده از فرمول اولر می توانید بنویسید:
z \u003d r 
.
این ورودی نامیده می شود مثال زدنی عدد مختلط. با استفاده از آن ، قوانین ضرب ، تقسیم ، بازنمایی و استخراج ریشه را بدست می آوریم.
اگر z 1 \u003d r 1 باشد 
و z 2 \u003d r 2 
سپس
z 1 z 2 \u003d r 1 r 2 
;
·
z n \u003d r n 
، جایی که k \u003d 0 ، 1 ،… ، n - 1.
مثال 10.1 عددی را به صورت جبری بنویسید
z \u003d \u003d 
.
تصمیم گیری
مثال 10.2معادله z 2 + (4 - 3i) z + 4 - 6i \u003d 0 را حل کنید.
تصمیم گیری
برای هر ضریب پیچیده ، این معادله دارای دو ریشه z 1 و z 1 است (احتمالاً همزمان است). این ریشه ها را می توان با همان فرمول موجود در حالت واقعی یافت. زیرا 
دو مقدار را می گیرد که فقط در علامت متفاوت هستند ، سپس این فرمول شکل دارد:
از –9 \u003d 9 · e i ، سپس مقادیر 
اعدادی وجود خواهد داشت:
سپس 
و 
.
|
مثال 10.3معادلات z 3 +1 \u003d 0 را حل کنید. z 3 \u003d - 1. |
تصمیم گیری
ریشه های جستجوی معادله ، مقادیر خواهند بود 
.
برای z \u003d –1 ، r \u003d 1 داریم ، arg (–1) \u003d.
w k \u003d 
، k \u003d 0 ، 1 ، 2.
تمرینات
9 اعداد را نشان دهید:
|
ب) |
د) |
+ من ؛
.10 اعداد را به صورت نمایی و جبری بنویسید:
|
و) |
در) |
|
ب) |
د) 7 (cos0 + isin0). |
11 اعداد را به اشکال جبری و هندسی بنویسید:
|
و) |
ب) |
در) |
د) |
12 عدد داده شده 
با ارائه آنها به صورت مثال ، پیدا کنید 
.
با استفاده از فرم نمایی یک عدد مختلط ، به شرح زیر عمل کنید:
و) 
ب) 
در) 
د) 
|
ه) |
|
|
|
|
.از جانب و عدد طبیعی n 2 .
عدد مختلط ز نامیده می شود ریشهn– ج، اگر ز n = ج.
تمام مقادیر ریشه را پیدا کنید n–
قدرت هفتم یک عدد مختلط از جانب... بگذار ج=|
ج|·(کوس
ارگ
ج+
من·
گناه کردن
ارگ از جانب)،و
ز
= |
ز| · (باسیستم عامل
ارگ
ز
+
من·
گناه کردن
ارگ
ز)
جایی که ز ریشه n-
قدرت هفتم یک عدد مختلط از جانب... پس باید وجود داشته باشد
=
ج
= |
ج|·(کوس
ارگ
ج+
من·
گناه کردن
ارگ از جانب)... از این رو نتیجه می شود که 
و n·
ارگ
ز
=
ارگ از جانب 
ارگ
ز
=
(ک=0,
1,…)
... در نتیجه، ز
=
(کوس
+
من·
گناه کردن
),
(ک=0,
1,…)
... به راحتی می توان هر یک از مقادیر را مشاهده کرد
,
(ک=0,
1,…)
با یکی از مقادیر متناظر متفاوت است
,(ک
= 0,1,…,
n-1)
توسط چند 2π... از این رو ، (ک
= 0,1,…,
n-1)
.
مثال.
ریشه (-1) را محاسبه کنید.
به طور مشخص |-1|
= 1,
استدلال کردن
(-1) =
π
-1 \u003d 1 (کوس π + من· گناه کردن π )
,
(k \u003d 0 ، 1).
=
من
درجه ای با بیان منطقی دلخواه
یک عدد مختلط دلخواه بگیرید از جانب... اگر n بنابراین تعداد طبیعی از جانب n
= |
ج|
n ·(از جانبسیستم عامل
nArg c +من·
گناه کردن
nArg از جانب)(6) این فرمول در مورد نیز صادق است n
= 0
(0 پوند)
... بگذار n
< 0
و n
ز و 0 پوند سپس
از جانب n
=
(cos nArgاز جانب+ من گناه می کنم argاز جانب)
=
(cos nArgاز جانب + من گناه می کنم argاز جانب)
... بنابراین ، فرمول (6) برای هر یک معتبر است n.
یک عدد منطقی بگیرید 
جایی که q تعداد طبیعی ، و r کامل است
سپس زیر درجه
ج ر ما عدد را درک خواهیم کرد 
.
ما آن را دریافت می کنیم ,
(ک = 0, 1, …, q-1). این ارزشها q اگر کسر قابل لغو نیست ، قطعه
سخنرانی شماره 3 حد دنباله اعداد مختلط
تابع ارزش پیچیده یک استدلال طبیعی نامیده می شود دنباله ای از اعداد مختلطو نشان داده شده است (از جانب n ) یا از جانب 1 ، از جانب 2 ، ...، از جانب n . از جانب n \u003d الف n + ب n · من (n = 1,2, ...) اعداد مختلط.
از جانب 1 ، از جانب 2 ،… اعضای دنباله هستند. از جانب n - اصطلاح رایج
عدد مختلط از جانب
=
آ+
ب·
من نامیده می شود حد دنباله اعداد مختلط (ج n )
جایی که از جانب n
\u003d الف n +
ب n ·
من
(n
= 1, 2, …)
برای هر کجا 
که برای همه n
>
ن نابرابری برقرار است 
... دنباله ای که حد محدودی دارد نامیده می شود همگرا توالی.
قضیه
به منظور دنباله ای از اعداد مختلط (با n ) (از جانب n \u003d الف n + ب n · من) به یک عدد با = آ+ ب· من، لازم و کافی است که برابریلیمو آ n = آ, لیمو ب n = ب.
شواهد و مدارک.
ما قضیه را بر اساس نابرابری مضاعف آشکار زیر اثبات خواهیم کرد
جایی که ز
=
ایکس
+
بله·
من
(2)
ضرورت بگذار لیمو (از جانب n ) \u003d با... بگذارید نشان دهیم که برابرها لیمو آ n = آ و لیمو ب n = ب (3).
بدیهی است (4)
زیرا 
چه زمانی n
→ ∞
، سپس از سمت چپ نابرابری (4) نتیجه می شود که 
و 
چه زمانی n
→ ∞
... بنابراین ، برابری (3) برقرار است. ضرورت اثبات شده است.
کفایت حالا بگذارید برابری ها (3) ثابت بمانند. از برابری (3) برمی آید که 
و 
چه زمانی n
→ ∞
بنابراین ، به موجب سمت راست نابرابری (4) ، 
چه زمانی n→∞
به معنای لیمو(از جانب n ) \u003d با... کافی بودن آن ثابت شده است.
بنابراین ، مسئله همگرایی توالی اعداد مختلط معادل همگرایی دو توالی اعداد واقعی است ؛ بنابراین ، تمام خصوصیات اساسی حدود توالی اعداد واقعی در توالی اعداد مختلط اعمال می شود.
به عنوان مثال ، برای توالی اعداد مختلط ، معیار کوشی معتبر است: به منظور دنباله ای از اعداد مختلط (با n ) همگرایی می کند ، لازم و کافی است که برای هر کس 
که برای هرn,
متر
>
ن نابرابری برقرار است 
.
قضیه
به دنباله ای از اعداد مختلط اجازه دهید (با n ) و (z n ) به ترتیب به c وz، سپس برابریلیمو(از جانب n
z n )
=
ج 
z,
لیمو(از جانب n ·
z n )
=
ج·
z... اگر به طور قطعی شناخته شده باشد کهz برابر با 0 نیست ، پس برابری است 
.
بارگذاری ...