عملکرد و مطالعه ویژگی های آن یکی از فصل های اصلی ریاضیات مدرن را به خود اختصاص داده است. م componentلفه اصلی هر تابع نمودارهایی است که نه تنها خصوصیات آن ، بلکه پارامترهای مشتق این تابع را نیز نشان می دهد. بیایید نگاهی به این موضوع دشوار بیندازیم. بنابراین بهترین راه برای جستجوی حداکثر و حداقل نقاط یک تابع چیست؟
عملکرد: تعریف
هر متغیری که به نوعی به مقادیر کمیت دیگر بستگی داشته باشد را می توان یک تابع نامید. به عنوان مثال ، تابع f (x 2) درجه دوم است و مقادیر کل مجموعه x را تعیین می کند. بگذارید بگوییم که x \u003d 9 ، سپس مقدار تابع ما 9 2 \u003d 81 خواهد بود.
توابع به اشکال مختلف وجود دارد: منطقی ، بردار ، لگاریتمی ، مثلثاتی ، عددی و غیره. ذهن برجسته ای مانند لاکروا ، لاگرانژ ، لایب نیتس و برنولی درگیر مطالعه خود بودند. نوشته های آنها به عنوان یک سنگر در روشهای مدرن مطالعه عملکردها عمل می کند. قبل از یافتن حداقل امتیازها ، درک معنای اصلی عملکرد و مشتق آن بسیار مهم است.
مشتق و نقش آن
همه توابع به مقادیر متغیر خود وابسته هستند ، به این معنی که آنها می توانند در هر زمان مقدار خود را تغییر دهند. روی نمودار ، این به صورت یک منحنی نشان داده می شود که یا پایین می رود یا در امتداد مختصر بالا می رود (این مجموعه کل اعداد "y" در امتداد عمود نمودار است). بنابراین تعریف نقطه حداکثر و حداقل تابع فقط با این "نوسانات" مرتبط است. بگذارید توضیح دهیم این رابطه چیست.
مشتق هر تابعی برای بررسی خصوصیات اصلی آن و محاسبه سرعت تغییر عملکرد (برای مثال تغییر مقدار آن بسته به متغیر "x") روی نمودار رسم می شود. در لحظه افزایش تابع ، نمودار مشتق آن نیز افزایش می یابد ، اما در هر ثانیه ممکن است تابع شروع به کاهش کند و سپس نمودار مشتق کاهش می یابد. به نقاطی که مشتق از علامت منهای به جمع می رود حداقل نقاط گفته می شود. برای اینکه بدانید چگونه حداقل امتیازها را پیدا کنید ، باید بهتر درک کنید
چگونه مشتق را محاسبه کنم؟
تعریف و تابع متضمن مفاهیم مختلفی است به طور كلی ، تعریف كامل مشتق را می توان به صورت زیر بیان كرد: این مقداری است كه میزان تغییر تابع را نشان می دهد.
روش ریاضی تعریف آن برای بسیاری از دانشجویان دشوار به نظر می رسد ، اما در واقع همه چیز بسیار ساده تر است. شما فقط باید برای یافتن مشتق هر تابعی از برنامه استاندارد پیروی کنید. در زیر توضیح داده شده است که چگونه می توانید حداقل نقطه یک تابع را بدون اعمال قوانین تمایز و بدون حفظ جدول مشتقات پیدا کنید.
- می توانید مشتق یک تابع را با استفاده از نمودار محاسبه کنید. برای انجام این کار ، شما باید خود تابع را به تصویر بکشید ، سپس یک نقطه بر روی آن بگیرید (نقطه A در شکل). یک خط را به صورت عمودی به پایین به سمت محور ابسیسا رسم کنید (نقطه x 0) ، و در نقطه A یک خط مماس به نمودار عملکرد بکشید. محور ابسیسا و خط مماس زاویه خاصی را تشکیل می دهند. برای محاسبه مقدار سرعت افزایش عملکرد ، محاسبه مماس این زاویه ضروری است.
- به نظر می رسد که مماس زاویه بین مماس و جهت محور x مشتق تابع در یک بخش کوچک با نقطه A است. این روش یک روش هندسی برای تعیین مشتق محسوب می شود.
روشهای تحقیق در مورد عملکرد
در برنامه درسی ریاضیات مدرسه ، یافتن حداقل نقطه یک تابع از دو طریق امکان پذیر است. ما قبلاً روش اول را با استفاده از نمودار تجزیه و تحلیل کرده ایم ، اما چگونه مقدار عددی مشتق را تعیین کنیم؟ برای این کار ، شما باید چندین فرمول را بیاموزید که خصوصیات مشتق را توصیف می کند و به تبدیل متغیرهایی مانند "x" به اعداد کمک می کند. روش زیر جهانی است ، بنابراین می توان آن را تقریباً در انواع توابع (هندسی و لگاریتمی) اعمال کرد.
- لازم است که تابع را با تابع مشتق برابر کنیم و سپس با استفاده از قوانین تمایز ، عبارت را ساده کنیم.
- در بعضی موارد ، وقتی تابعی داده می شود که متغیر "x" در مقسوم علیه است ، لازم است دامنه مقادیر مجاز را تعیین کنید ، به غیر از نقطه "0" از آن (به همین دلیل ساده که در ریاضیات به هیچ وجه نمی توانید بر صفر تقسیم کنید).
- پس از آن ، شما باید شکل اصلی تابع را به یک معادله ساده تبدیل کنید ، کل عبارت را به صفر برسانید. به عنوان مثال ، اگر تابع به این شکل بود: f (x) \u003d 2x 3 + 38x ، بنابراین طبق قوانین تمایز ، مشتق آن f "(x) \u003d 3x 2 +1 است. سپس این عبارت را به یک معادله از شکل زیر تبدیل می کنیم: 3x 2 +1 \u003d 0 ...
- پس از حل معادله و یافتن نقاط "x" ، باید آنها را بر روی ابسیسا بکشید و تعیین کنید که آیا مشتق در این مناطق بین نقاط مشخص شده مثبت است یا منفی. پس از تعیین مشخص خواهد شد که در چه نقطه ای تابع شروع به کاهش می کند ، یعنی نشانه خود را از منفی به عکس تغییر می دهد. به این ترتیب می توانید هم حداقل و هم حداکثر امتیاز را پیدا کنید.
قوانین تمایز
اساسی ترین م componentلفه در مطالعه یک تابع و مشتق آن ، آگاهی از قوانین تمایز است. فقط با کمک آنها می توان عبارات حجیم و عملکردهای پیچیده بزرگ را تغییر داد. بیایید با آنها آشنا شویم ، تعداد کمی از آنها وجود دارد ، اما همه آنها به دلیل خواص طبیعی توابع قدرت و لگاریتمی بسیار ساده هستند.
- مشتق هر ثابت صفر است (f (x) \u003d 0). یعنی مشتق f (x) \u003d x 5 + x - 160 به شکل زیر در می آید: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
- مشتق از جمع دو اصطلاح: (f + w) "\u003d f" w + fw ".
- مشتق یک تابع لگاریتمی: (log a d) "\u003d d / ln a * d. این فرمول برای انواع لگاریتم ها اعمال می شود.
- درجه مشتق: (x n) "\u003d n * x n-1. به عنوان مثال ، (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x.
- مشتق یک تابع سینوسی: (sin a) "\u003d cos a. اگر گناه زاویه a 0.5 باشد ، مشتق آن /3 / 2 است.
امتیازات افراطی
ما قبلاً فهمیدیم که چگونه حداقل نقاط را پیدا کنیم ، اما یک مفهوم از حداکثر نقاط یک تابع نیز وجود دارد. اگر حداقل نقاطی را نشان می دهد که در آن تابع از علامت منفی به بعلاوه عبور می کند ، حداکثر نقاط آن نقاطی از محور ابشسی هستند که در آن مشتق تابع از جمع به مقابل تغییر می کند - منهای.
با روشی که در بالا توضیح داده شد می توانید پیدا کنید ، فقط بخاطر داشته باشید که آنها بخشهایی را نشان می دهند که در آنها عملکرد شروع به کاهش می کند ، یعنی مشتق کمتر از صفر خواهد بود.
در ریاضیات ، معمول است كه هر دو مفهوم را تعمیم داده و عبارت "نقاط فوق العاده" را جایگزین آنها كنیم. وقتی وظیفه برای تعیین این نقاط درخواست می کند ، به این معنی است که لازم است مشتق این تابع را محاسبه کرده و حداقل و حداکثر نقاط را پیدا کنید.
ارزش
بهترین
ارزش
کمترین
حداکثر امتیاز
حداقل امتیاز
مشکلات یافتن نقاط انتهایی عملکرد با توجه به طرح استاندارد در 3 مرحله حل می شود.
مرحله 1... مشتق تابع را پیدا کنید
- فرمول های مشتق توابع ابتدایی و قوانین اساسی تمایز را برای یافتن مشتق به خاطر بسپارید.
y ′ (x) \u003d (x3−243x + 19) ′ \u003d 3x2−243.
گام 2... صفرهای مشتق را پیدا کنید
- برای یافتن صفرهای مشتق معادله حاصل را حل کنید.
3x2−243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d −9 ، x2 \u003d 9.
مرحله 3... نقاط شدید را پیدا کنید
- برای تعیین علائم مشتق از روش فاصله استفاده کنید.
- در حداقل نقطه ، مشتق صفر است و علامت را از منفی به مثبت تغییر می دهد و در حداکثر نقطه - از منفی به منفی.
بیایید این روش را برای حل مشکل زیر در پیش بگیریم:
حداکثر نقطه تابع y \u003d x3−243x + 19 را پیدا کنید.
1) مشتق را پیدا کنید: y ′ (x) \u003d (x3−243x + 19) ′ \u003d 3x2−243؛
2) معادله y ′ (x) \u003d 0 را حل کنید: 3x2−243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d −9 ، x2 \u003d 9 ؛
3) مشتق برای x\u003e 9 و x مثبت است<−9 и отрицательная при −9 چگونه بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنیم برای حل مسئله یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع لازم: در بسیاری از کارها کمک می کند قضیه: اگر فقط یک نقطه افراط در قطعه وجود داشته باشد و این حداقل نقطه باشد ، کوچکترین مقدار تابع در آنجا حاصل می شود. اگر این حداکثر نقطه باشد ، بیشترین مقدار در آنجا حاصل می شود. 14. مفهوم و خصوصیات اساسی انتگرال نامعین. اگر تابع f(ایکس ایکسو ک یک عدد است ، پس به اختصار: ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد. اگر توابع باشد f(ایکس) و g(ایکس) در این فاصله داروهای ضد اشتها دارند ایکس سپس به اختصار: انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها. اگر تابع f(ایکس) در این بازه ضد ویروس دارد ایکس ، سپس برای نقاط داخلی این فاصله: به اختصار: مشتق انتگرال برابر است با انتگرال. اگر تابع f(ایکس) بر روی فاصله مداوم است ایکس و در نقاط داخلی این فاصله قابل تغییر است ، سپس: به اختصار: انتگرال دیفرانسیل یک تابع برابر است با این تابع به علاوه ثابت ادغام. بگذارید یک تعریف دقیق ریاضی ارائه دهیم مفاهیم انتگرال نامشخص. اصطلاح مهربان نامیده می شود انتگرال عملکرد f (x)
جایی که f (x)
- یکپارچه ، که داده شده است (شناخته شده) ، dx
- دیفرانسیل ایکس
، با نماد همیشه وجود دارد dx
. تعریف. انتگرال نامعین تابع نامیده می شود F (x) + C
حاوی یک ثابت دلخواه ج
که دیفرانسیل آن برابر است یکپارچه اصطلاح f (x) dx
، یعنی یا به یاد بیاورید که - عملکرد دیفرانسیل و به شرح زیر تعریف می شود: وظیفه یافتن انتگرال نامعین برای یافتن چنین تابعی است ، مشتق که برابر با انتگراند است. این تابع تا یک ثابت تعیین می شود ، از مشتق یک ثابت برابر با صفر است. به عنوان مثال ، معلوم است که ، سپس معلوم می شود که پیدا کردن کار انتگرال نامعین از توابع آنطور که در نگاه اول به نظر می رسد ساده و آسان نیست. در بسیاری از موارد ، باید مهارت در کار با وجود داشته باشد انتگرال نامشخص ، باید تجربه ای باشد که همراه با تمرین و مداوم باشد حل مثالها برای انتگرال نامعین. شایان توجه است این واقعیت که انتگرال نامعینبرخی از توابع (تعداد زیادی از آنها) در توابع ابتدایی گرفته نمی شوند. 15. جدول انتگرال های نامعین اساسی. فرمول های اساسی 16. انتگرال مشخص به عنوان حد جمع انتگرال. معنای هندسی و فیزیکی انتگرال. اجازه دهید تابع y \u003d ƒ (x) بر روی بخش [a؛ باند< b. Выполним следующие действия. 1. با کمک نقاط x 0 \u003d a ، x 1 ، x 2 ، ... ، x n \u003d B (x 0 2. در هر بخش جزئی ، i \u003d 1،2، ...، n ، یک نقطه دلخواه با i choose انتخاب کنید و مقدار تابع را در آن ، یعنی مقدار ƒ (با i) محاسبه کنید. 3. مقدار یافت شده تابع ƒ (با i) را در طول ∆x i \u003d x i -x i-1 بخش جزئی مربوطه ضرب کنید: ƒ (با i) ∆x i. 4- بیایید مجموع S n را برای همه این محصولات جمع کنیم: به مجموع فرم (35.1) مجموع انتگرال تابع y \u003d ƒ (x) در فاصله [a؛ ب] بگذارید λ طول بزرگترین بخش جزئی را نشان دهد: λ \u003d حداکثر ∆x i (i \u003d 1،2 ، ... ، n). 5- بگذارید حد جمع انتگرال (35.1) را به صورت n → find پیدا کنیم تا λ → 0. اگر در این حالت مجموع انتگرال S n دارای محدودیت I باشد ، این به روش تقسیم بخش [a؛ b] به بخشهای جزئی ، یا از بین انتخاب نقاط موجود در آنها ، سپس عدد I را انتگرال مشخصی از تابع y \u003d ƒ (x) روی قطعه [a؛ b] و به این ترتیب نشان داده می شود اعداد a و b را به ترتیب حد پایین و بالا یکپارچه سازی می نامند ، ƒ (x) - یکپارچه ، ƒ (x) dx - یکپارچه ، x - متغیر ادغام ، قطعه [a؛ b] - منطقه (بخش) ادغام. تابع y \u003d ƒ (x) ، که برای آن در بخش [a؛ b] در این بازه انتگرال مشخصی وجود دارد که integrable نامیده می شود. حال اجازه دهید قضیه ای درباره وجود یک انتگرال معین را تدوین کنیم. قضیه 35.1 (کوشی). اگر تابع y \u003d ƒ (x) روی قطعه [a؛ b] ، سپس انتگرال مشخص توجه داشته باشید که تداوم یک تابع شرط کافی برای یکپارچه سازی آن است. با این حال ، یک انتگرال مشخص نیز می تواند برای برخی از توابع ناپیوسته ، به ویژه برای هر تابع محدود به یک بازه و داشتن تعداد محدودی از نقاط انقطاع روی آن ، وجود داشته باشد. بگذارید برخی از خصوصیات انتگرال مشخص را مشخص کنیم که مستقیماً از تعریف آن (35.2) ناشی می شود. 1. انتگرال مشخص مستقل از تعیین متغیر یکپارچه سازی است: این از این واقعیت ناشی می شود که مجموع انتگرال (35.1) و در نتیجه ، حد آن (35.2) به این بستگی ندارد که کدام حرف استدلال این تابع را نشان می دهد. 2. یک انتگرال مشخص با همان محدوده های ادغام برابر با صفر است: 3. برای هر شماره واقعی ج. 17. فرمول نیوتن-لایب نیتس. خصوصیات اساسی یک انتگرال مشخص. اجازه دهید تابع y \u003d f (x) مداوم در بخش
و F (x) یکی از آنتی ویروس های عملکرد این بخش است فرمول نیوتن-لایب نیتس: فرمول نیوتن-لایب نیتس نامیده می شود فرمول اساسی حساب انتگرال. برای اثبات فرمول نیوتن-لایب نیتس ، ما به مفهوم انتگرال با حد بالایی متغیر نیاز داریم. اگر تابع y \u003d f (x) مداوم در بخش
، سپس برای آرگومان انتگرال فرم تابعی از حد بالایی است. ما این عملکرد را نشان می دهیم در واقع ، ما افزایش تابع مربوط به افزایش آرگومان را یادداشت می کنیم و از ویژگی پنجم انتگرال معین و نتیجه ویژگی دهم استفاده می کنیم: ما این برابری را دوباره بازنویسی می کنیم بیایید محاسبه کنیم F (a)با استفاده از اولین ویژگی انتگرال معین: بنابراین ،. ما هنگام محاسبه از این نتیجه استفاده خواهیم کرد F (b): ، به عنوان مثال افزایش عملکرد معمولاً به صورت نشان داده می شود برای استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس ، فقط کافی است یکی از آنتی ویروس ها را بشناسیم y \u003d F (x) تابع یکپارچه y \u003d f (x) در بخش
و افزایش این ضد سود را روی این بخش محاسبه کنید. در مقاله ، روشهای ادغام ، روشهای اصلی یافتن ماده ضد پادشاهی مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد. در اینجا چند نمونه از محاسبه انتگرال های مشخص با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس برای شفاف سازی آورده شده است. مثال. مقدار انتگرال مشخص را با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس محاسبه کنید. تصمیم گیری برای شروع ، توجه داشته باشید که انتگرال پیوسته بر روی بخش است
، بنابراین ، در آن قابل جمع شدن است. (ما در مورد توابع قابل ادغام در بخش توابع که یک انتگرال مشخص برای آنها وجود دارد صحبت کردیم). از جدول انتگرال های نامعین می توان فهمید که برای یک تابع مجموعه ای از ضد مشتقات برای تمام مقادیر واقعی آرگومان (و بنابراین برای) به صورت اکنون باقی مانده است که از فرمول نیوتن-لایب نیتس برای محاسبه یک انتگرال مشخص استفاده کنید: 18. کاربردهای هندسی انتگرال معین. کاربردهای ژئومتریک یک قطعه خاص محاسبه حجم بدن محاسبه حجم بدن از مناطق شناخته شده بخشهای موازی: حجم بدنه چرخش :؛ ... مثال 1... مساحت یک شکل محدود شده توسط یک منحنی y \u003d sinx ، خطوط مستقیم را پیدا کنید تصمیم: مساحت شکل را پیدا کنید: مثال 2... مساحت یک شکل محدود شده توسط خطوط را محاسبه کنید تصمیم: بیایید abscissas نقاط تلاقی نمودارهای این توابع را پیدا کنیم. برای این کار ، سیستم معادلات را حل می کنیم از اینجا می یابیم x 1 \u003d 0 ، x 2 \u003d 2.5. 19. مفهوم کنترل های دیفرانسیل. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول. معادله دیفرانسیل - معادله ای که مقدار مشتق یک تابع را با خود تابع متصل می کند ، مقادیر متغیر مستقل ، اعداد (پارامترها). ترتیب مشتقات موجود در معادله می تواند متفاوت باشد (به طور رسمی با هیچ چیز محدود نمی شود). مشتقات ، توابع ، متغیرها و پارامترهای مستقل را می توان در ترکیبات مختلف در معادله گنجانید ، یا همه ، به جز حداقل یک مشتق ، ممکن است به طور کلی وجود نداشته باشد. هر معادله ای حاوی مشتقات یک تابع ناشناخته یک معادله دیفرانسیل نیست. برای مثال، معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) معادلاتی هستند که حاوی توابع ناشناخته چندین متغیر و مشتقات جزئی آنها هستند. شکل کلی این معادلات را می توان به صورت زیر نشان داد: که در آن متغیرهای مستقل وجود دارد ، و تابعی از این متغیرها است. ترتیب معادلات دیفرانسیل جزئی را می توان به همان روش معادلات دیفرانسیل معمولی تعیین کرد. طبقه بندی مهم دیگر معادلات دیفرانسیل جزئی تقسیم آنها به معادلات بیضوی ، سهمی و هذلولی ، به ویژه برای معادلات مرتبه دوم است. معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی را می توان به تقسیم کرد خطی و غیرخطی... اگر تابع ناشناخته و مشتقات آن فقط در درجه اول وارد معادله شوند (و با هم ضرب نشوند) یک معادله دیفرانسیل خطی است. برای چنین معادلاتی ، راه حل ها یک فضای زیرین فضای تابع را تشکیل می دهند. نظریه DE خطی بسیار عمیق تر از تئوری معادلات غیرخطی توسعه یافته است. نمای کلی معادله دیفرانسیل خطی nسفارش هفتم: جایی که p i(ایکس) توابع شناخته شده متغیر مستقل هستند که ضرایب معادله نامیده می شوند. تابع ر(ایکس) در سمت راست نامیده می شود عضو رایگان (تنها اصطلاح مستقل از تابع ناشناخته) یک کلاس خاص مهم از معادلات خطی معادلات دیفرانسیل خطی با است ضرایب ثابت. یک زیر کلاس از معادلات خطی هستند همگن معادلات دیفرانسیل - معادلاتی که شامل یک اصطلاح آزاد نیستند: ر(ایکس) \u003d 0. برای معادلات دیفرانسیل همگن ، اصل برهم زدن تحقق یافته است: یک ترکیب خطی از راه حل های خاص چنین معادله ای نیز راه حل آن خواهد بود. تمام معادلات دیفرانسیل خطی دیگر نامیده می شوند ناهمگون معادلات دیفرانسیل. در حالت کلی ، معادلات دیفرانسیل غیرخطی روشهای حل توسعه یافته ای ندارند ، مگر بعضی از کلاسهای خاص. در بعضی موارد (با استفاده از یک یا تقریب دیگر) می توان آنها را به خطی تقلیل داد. به عنوان مثال ، معادله خطی یک نوسان ساز هارمونیک · - معادله دیفرانسیل همگن از مرتبه دوم با ضرایب ثابت. راه حل یک خانواده از توابع است ، جایی که ثابت های دلخواه هستند و هستند ، که برای یک راه حل خاص از شرایط اولیه جداگانه تعیین می شوند. این معادله ، به ویژه ، حرکت یک نوسانگر هارمونیک با فرکانس چرخشی 3 را توصیف می کند. قانون دوم نیوتن را می توان در قالب یک معادله دیفرانسیل نوشت · معادله دیفرانسیل بسل یک معادله همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب متغیر است: راه حل های آن توابع بسل است. نمونه ای از یک معادله دیفرانسیل معمولی غیر خطی غیر یکنواخت از مرتبه 1: در گروه مثالهای بعدی ، تابع ناشناخته است تو به دو متغیر بستگی دارد ایکس و تی یا ایکس و بله. معادله دیفرانسیل جزئی با مرتبه اول همگن: معادله موج یک بعدی - یک معادله دیفرانسیل جزئی جزئی همگن از نوع هذلولی مرتبه دوم با ضرایب ثابت ، لرزش رشته را توصیف می کند ، اگر - انحراف رشته در یک نقطه با مختصات ایکس درحال حاضر تیو پارامتر آ ویژگی های رشته را تنظیم می کند: معادله لاپلاس در فضای دو بعدی یک معادله دیفرانسیل جزئی جزئی مرتبه دوم از نوع بیضوی با ضرایب ثابت است که در بسیاری از مشکلات فیزیکی مکانیک ، هدایت گرما ، الکترواستاتیک ، هیدرولیک بوجود می آید: معادله Korteweg-de Vries ، یک معادله دیفرانسیل جزئی غیر خطی مرتبه سوم و توصیف امواج غیر خطی ثابت ، از جمله سالیتون ها: 20. معادلات دیفرانسیل با قابل تفکیک قابل اجرا. معادلات خطی و روش برنولی. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول معادله ای است که نسبت به یک تابع ناشناخته و مشتق آن خطی است. فرم دارد بزرگترین مقدار عملکرد کوچکترین مقدار عملکرد همانطور که پدرخوانده می گفت: "این هیچ چیز شخصی نیست." فقط مشتقات! 12 ، وظیفه آمار بسیار دشوار در نظر گرفته می شود ، و همه به این دلیل است که بچه ها این مقاله را نخوانده اند (شوخی). در بیشتر موارد ، بی احتیاطی مقصر است. 12 وظیفه دو نوع است: وظایف با آزمون: حداکثر نقطه تابع را پیدا کنید حداقل نقطه تابع را پیدا کنید وظایف با آزمون: بیشترین مقدار تابع را در بخش پیدا کنید [−4؛ −1] پاسخ: −6 بیشترین مقدار یک تابع را در یک بخش پیدا کنید پاسخ: 11 نتیجه گیری: قضیه
(شرط لازم برای وجود افراطی) اگر تابع f (x) در نقطه x \u003d x 1 قابل تغییر باشد و نقطه x 1 نقطه extremeum باشد ، مشتق تابع در این نقطه ناپدید می شود. شواهد و مدارک.
فرض کنید که تابع f (x) حداکثر در نقطه x \u003d x 1 باشد. سپس برای Dx مثبت مثبت 0\u003e کمی نابرابری زیر صحیح است: با تعریف: آنهایی که اگر Dx®0 باشد ، اما Dx باشد<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0 ، سپس f ¢ (x 1) £ 0. و این تنها درصورتی امکان پذیر است که در Dх®0 f ¢ (x 1) \u003d 0 باشد. برای موردی که تابع f (x) در نقطه x 2 حداقل داشته باشد قضیه به طور مشابه اثبات می شود. قضیه اثبات شده است. نتیجه.
این صحبت درست نیست. اگر مشتق یک تابع در بعضی از نقاط برابر با صفر باشد ، این بدان معنا نیست که در این مرحله تابع دارای یک حالت افراطی است. یک مثال فصیح از این تابع y \u003d x 3 است که مشتق آن در نقطه x \u003d 0 صفر است ، اما در این مرحله تابع فقط یک عطف دارد و نه حداکثر یا حداقل. تعریف. نقاط بحرانی توابع به نقاطی گفته می شود که مشتق تابع در آنها وجود نداشته باشد یا برابر با صفر باشد. قضیه ای که در بالا در نظر گرفته شد ، شرایط لازم را برای وجود افراط در اختیار ما قرار می دهد ، اما این کافی نیست. مثال: f (x) \u003d ôxô مثال: f (x) \u003d در نقطه x \u003d 0 تابع حداقل دارد ، اما در نقطه x \u003d 0 تابع هیچ یک از آنها را ندارد هیچ مشتقی ندارد حداکثر ، بدون حداقل ، بدون تولید به طور کلی ، تابع f (x) می تواند در نقاطی که مشتق در آن وجود ندارد یا برابر با صفر است ، دارای حالت افراطی باشد. قضیه
(شرایط کافی برای وجود افراطی) بگذارید تابع f (x) در فاصله (a ، b) ، که شامل نقطه بحرانی x 1 است ، مداوم باشد و در تمام نقاط این فاصله قابل تفکیک باشد (به جز ، شاید نقطه x 1 خود). اگر ، هنگام عبور از نقطه x 1 از چپ به راست ، مشتق تابع f ¢ (x) تغییر علامت از "+" به "-" ، سپس در نقطه x \u003d x 1 تابع f (x) حداکثر است ، و اگر مشتق تغییر علامت از "- "در" + "- سپس عملکرد حداقل است. شواهد و مدارک.
بگذار با قضیه لاگرانژ: f (x) - f (x 1) \u003d f ¢ (e) (x - x 1) ، که در آن x< e < x 1 . سپس: 1) اگر x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0 f ¢ (e) (x - x 1)<0, следовательно f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) اگر x\u003e x 1 ، پس e\u003e x 1 f ¢ (e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f (x) - f (x 1)<0 или f(x) < f(x 1). از آنجا که پاسخ ها یکسان هستند ، می توانیم بگوییم که f (x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. اثبات قضیه برای حداقل امتیاز مشابه است. قضیه اثبات شده است. بر اساس موارد فوق ، می توانید یک روش واحد برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک بخش ایجاد کنید: 1) نقاط حساس تابع را پیدا کنید. 2) مقادیر تابع را در نقاط حساس پیدا کنید. 3) مقادیر تابع را در انتهای بخش پیدا کنید. 4) از بین مقادیر بدست آمده بزرگترین و کوچکترین را انتخاب کنید. بررسی یک تابع برای استفاده شدید مشتقات سفارشات بالاتر. بگذارید در نقطه x \u003d x 1 f ¢ (x 1) \u003d 0 و f ¢¢ (x 1) وجود داشته باشد و در برخی از محله های نقطه x 1 پیوسته باشد. قضیه
اگر f ¢ (x 1) \u003d 0 باشد ، تابع f (x) در نقطه x \u003d x 1 حداکثر اگر f ¢¢ (x 1) باشد<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
شواهد و مدارک.
بگذارید f ¢ (x 1) \u003d 0 و f ¢¢ (x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . زیرا f ¢¢ (x) \u003d (f ¢ (x))< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 در x در مورد حداقل تابع ، قضیه به روشی مشابه اثبات می شود. اگر f ¢¢ (x) \u003d 0 باشد ، ماهیت نقطه بحرانی ناشناخته است. برای تعیین آن تحقیقات بیشتری لازم است. تحدب و تقعر یک منحنی. نقاط عطف. تعریف.
منحنی رو به تحدب بالا در فاصله (a ، b) ، اگر تمام نقاط آن در زیر هر یک از مماسهای آن در این فاصله قرار داشته باشد. یک منحنی رو به محدب رو به بالا نامیده می شود محدب، و منحنی رو به تحدب رو به پایین نامیده می شود مقعر. شکل تصویری از تعریف فوق را نشان می دهد. قضیه 1
اگر در تمام نقاط فاصله (a ، b) مشتق دوم تابع f (x) منفی باشد ، منحنی y \u003d f (x) محدب به بالا (محدب) است. شواهد و مدارک.
بگذارید x 0 Î (a، b). در این نقطه یک خط مماس به منحنی بکشید. معادله منحنی: y \u003d f (x) ؛ معادله مماس: باید ثابت شود که توسط قضیه لاگرانژ برای f (x) - f (x 0): ، x 0< c < x. توسط قضیه لاگرانژ برای بگذارید x\u003e x 0 سپس x 0 باشد< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 و c - x 0\u003e 0 ، و علاوه بر این ، توسط شرط در نتیجه، . بگذارید x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то به طور مشابه ، ثابت شده است که اگر f ¢¢ (x)\u003e 0 در فاصله (a ، b) باشد ، منحنی y \u003d f (x) در فاصله (a ، b) مقعر است. قضیه اثبات شده است. تعریف.
به نقطه جدا کننده قسمت محدب منحنی از مقعر گفته می شود نقطه عطف. بدیهی است که در نقطه عطف ، مماس منحنی را قطع می کند. قضیه 2
اجازه دهید منحنی با معادله y \u003d f (x) تعریف شود. اگر مشتق دوم f ¢¢ (a) \u003d 0 یا f ¢¢ (a) وجود نداشته باشد و هنگام عبور از نقطه x \u003d a f ¢¢ (x) علامت تغییر کند ، آنگاه نقطه منحنی با abscissa x \u003d a نقطه عطف است. شواهد و مدارک.
1) اجازه دهید f ¢¢ (x)< 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 برای x\u003e a. سپس در ایکس< a кривая выпукла, а при x > a منحنی مقعر است ، به عنوان مثال نقطه x \u003d a - نقطه عطف. 2) اجازه دهید f ¢¢ (x)\u003e 0 برای x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > ب - محدب به بالا. سپس x \u003d b یک نقطه عطف است. قضیه اثبات شده است. مجانب در مطالعه توابع ، اغلب اتفاق می افتد که وقتی مختصات x نقطه منحنی به سمت بی نهایت حرکت می کند ، منحنی به یک خط مستقیم مشخص و بدون محدودیت نزدیک می شود. تعریف.
خط مستقیم نامیده می شود مجانباگر فاصله از نقطه متغیر منحنی تا این خط مستقیم وقتی که نقطه به بی نهایت می رسد صفر شود ، منحنی است. لازم به ذکر است که هر منحنی مجانبی ندارد. مجانب می توانند مستقیم و مایل باشند. مطالعه توابع برای حضور مجانین از اهمیت بالایی برخوردار است و به شما امکان می دهد ماهیت عملکرد و رفتار نمودار منحنی را با دقت بیشتری تعیین کنید. به طور کلی ، یک منحنی که به طور نامحدود به مجانب خود نزدیک می شود ، می تواند آن را قطع کند و نه در یک نقطه ، همانطور که در نمودار عملکرد زیر نشان داده شده بیایید روشهای یافتن مجانب منحنی ها را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم. مجانب عمودی. از تعریف مجانب چنین برمی آید که اگر یا یا ، پس خط مستقیم x \u003d a مجانب منحنی y \u003d f (x) است. به عنوان مثال ، برای یک تابع ، خط x \u003d 5 مجانب عمودی است. مجانب مجرد فرض کنید منحنی y \u003d f (x) دارای یک مجانبی متمایل y \u003d kx + b باشد. ما نقطه تلاقی منحنی و عمود بر مجانب را نشان می دهیم - M ، P - نقطه تقاطع این عمود با مجانا. زاویه بین مجانب و محور Ox با j نشان داده می شود. عمود بر МQ به محور Ox مجانب را در نقطه N قطع می کند. سپس MQ \u003d y مختصات نقطه منحنی است ، NQ \u003d مختصات نقطه N روی مجانب است. به شرط: ، РNMP \u003d j ،. پس زاویه j ثابت است و برابر با 90 0 نیست سپس بنابراین ، خط مستقیم y \u003d kx + b مجانب منحنی است. برای تعیین دقیق این خط مستقیم ، یافتن راهی برای محاسبه ضرایب k و b ضروری است. در عبارت حاصل شده ، x را خارج از براکت می گیریم: زیرا х® ¥ ، پس سپس زیرا توجه داشته باشید که مجانب های افقی حالت خاصی از مجانب های مورب در k \u003d 0 هستند. مثال. 1) مجانای عمودی: y® + ¥ x®0-0: y®- ¥ x®0 + 0 ، بنابراین ، x \u003d 0 مجانب عمودی است. 2) علائم مجرد مورب: بنابراین ، خط y \u003d x + 2 یک مجانب مایل است. بیایید عملکرد را رسم کنیم: مثال. مجانب را پیدا کنید و عملکرد را نمودار کنید. خطوط مستقیم x \u003d 3 و x \u003d -3 مجانب عمودی منحنی هستند. مجانب های مورب را پیدا کنید: y \u003d 0 - مجانب افقی. مثال. مجانب را پیدا کنید و یک تابع را نمودار کنید خط مستقیم x \u003d -2 مجانب عمودی منحنی است. مجانب های مورب را پیدا کنید. بنابراین ، خط مستقیم y \u003d x - 4 یک مجانب مورب است. نمودار مطالعه عملکرد روند تحقیق در مورد عملکرد شامل چندین مرحله است. برای کاملترین تصویر از رفتار یک تابع و ماهیت نمودار آن ، باید موارد زیر را پیدا کنید: 1) منطقه وجود عملکرد. این مفهوم هم دامنه و هم دامنه عملکرد را شامل می شود. 2) نقاط شکست. (در صورت وجود) 3) بازه های افزایش و کاهش. 4) امتیاز حداکثر و حداقل. 5) حداکثر و حداقل مقدار تابع در حوزه تعریف آن. 6) مناطق تحدب و تقعر. 7) نقاط عطف (در صورت وجود). 8) مجانب. (در صورت وجود). 9) ساختن نمودار. بیایید با استفاده از یک مثال کاربرد این طرح را بررسی کنیم. مثال. عملکرد را بررسی کنید و آن را رسم کنید. منطقه وجود تابع را پیدا کنید. واضح است که محدوده تابع دامنه (- ¥؛ -1) È (-1؛ 1) È (1؛) است. به نوبه خود ، می توان خطوط x \u003d 1 ، x \u003d -1 را مشاهده کرد مجانب عمودی کج دامنه ارزشهااین تابع فاصله (- ¥ ؛ ¥) است. نقاط شکست توابع نقاط x \u003d 1 ، x \u003d -1 هستند. پیدا کردن نقاط بحرانی. مشتق تابع را پیدا کنید نکات مهم: x \u003d 0؛ x \u003d - ؛ x \u003d ؛ x \u003d -1 ؛ x \u003d 1 مشتق دوم تابع را پیدا کنید در دوره ها تحدب و تقعر منحنی را تعریف کنید. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ > 0 ، منحنی مقعر 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ > 0 ، منحنی مقعر < x < ¥, y¢¢ > 0 ، منحنی مقعر یافتن شکاف ها افزایشو کم شدن کارکرد. برای انجام این کار ، علائم مشتق تابع را در فواصل مشخص می کنیم. -¥ < x < - , y¢ > 0 ، عملکرد افزایش می یابد - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ > 0 ، عملکرد افزایش می یابد دیده می شود که نقطه x \u003d - یک نقطه است بیشترین، و نقطه x \u003d یک نقطه است کمترین... مقادیر تابع در این نقاط به ترتیب 3/2 و 3/2 است. در مورد عمودی مجانب قبلاً در بالا گفته شد. اکنون خواهیم یافت مجانب مورب. در کل ، معادله مجانب مایل y \u003d x است. بیا بسازیم برنامه کارکرد: توابع چندین متغیر
هنگام در نظر گرفتن توابع چندین متغیر ، ما خود را به توصیف دقیق توابع دو متغیر محدود می کنیم ، از این رو تمام نتایج بدست آمده برای توابع تعداد دلخواه متغیرها معتبر خواهد بود. تعریف: اگر هر جفت مستقل از یکدیگر اعداد (x ، y) از یک مجموعه را طبق یک قانون با یک یا چند مقدار از متغیر z مرتبط باشد ، متغیر z را تابعی از دو متغیر می نامند. تعریف:
اگر یک جفت عدد (x ، y) با یک مقدار z مطابقت داشته باشد ، تابع فراخوانی می شود بدون ابهام، و اگر بیش از یک باشد ، پس - مبهم. تعریف: دامنه تابع z مجموعه ای از جفت ها (x، y) است که تابع z برای آنها وجود دارد. تعریف: نزدیک نقطهМ 0 (x 0، y 0) شعاع r به مجموعه تمام نقاط (x، y) گفته می شود که شرایط را برآورده می کنند تعریف:
عدد A نامیده می شود حد تابع f (x ، y) به عنوان نقطه M (x، y) به نقطه M 0 (x 0، y 0) متمایل می شود ، اگر برای هر عدد e\u003e 0 یک عدد r\u003e 0 وجود داشته باشد به طوری که برای هر نقطه M (x ، ی) برای آن شرط شرایط آنها یادداشت می کنند: تعریف:
بگذارید نقطه М 0 (x 0، y 0) به حوزه تعریف تابع f (x، y) تعلق داشته باشد. سپس تابع z \u003d f (x، y) فراخوانی می شود مداوم در نقطه М 0 (x 0 ، y 0) ، اگر علاوه بر این ، نقطه M (x ، y) به روشی دلخواه به نقطه M 0 (x 0 ، y 0) تمایل دارد. اگر در برهه ای از شرایط شرط (1) برآورده نشود ، این نقطه فراخوانی می شود نقطه شکستتابع f (x ، y). این می تواند در موارد زیر باشد: 1) تابع z \u003d f (x، y) در نقطه M 0 (x 0، y 0) تعریف نشده است. 2) محدودیتی وجود ندارد. 3) این حد وجود دارد ، اما برابر با f (x 0 ، y 0) نیست. ویژگی.
اگر تابع f (x ، y ، ...) در یک بسته و. تعریف شده و مداوم باشد دامنه D محدود شده ، این دامنه حداقل شامل یک نقطه است N (x 0 ، y 0 ، ...) ، به طوری که نقاط باقی مانده نابرابری را برآورده می کنند f (x 0 ، y 0 ، ...) ³ f (x ، y ، ...) و همچنین نقطه N 1 (x 01 ، y 01 ، ...) به گونه ای است که برای همه نقاط دیگر نابرابری است f (x 01 ، y 01 ، ...) £ f (x ، y ، ...) سپس f (x 0 ، y 0 ، ...) \u003d M - بزرگترین ارزش توابع ، و f (x 01 ، y 01 ، ...) \u003d m - کوچکترین مقدارتابع f (x ، y ، ...) در دامنه D یک تابع پیوسته در یک دامنه بسته و محدود D حداقل یک بار به بیشترین مقدار و یکبار به کوچکترین می رسد. ویژگی.
اگر یک تابع f (x ، y ، ...) در یک دامنه بسته D تعریف شده و مداوم باشد ، و M و m به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع در این دامنه هستند ، برای هر نقطه m Î یک نقطه وجود دارد N 0 (x 0 ، y 0 ،…) به طوری که f (x 0 ، y 0 ،…) \u003d m. به عبارت ساده ، یک تابع پیوسته دامنه D را با تمام مقادیر میانی بین M و m می گیرد. نتیجه این ویژگی این است که اگر اعداد M و m از علائم متضاد باشند ، در دامنه D عملکرد حداقل یک بار ناپدید می شود. ویژگی.
تابع f (x ، y ، ...) ، مداوم در یک دامنه محدود D ، محدود در این منطقه ، اگر یک عدد K وجود داشته باشد به طوری که برای تمام نقاط منطقه نابرابری باشد ویژگی.
اگر تابع f (x ، y ، ...) در یک دامنه محدود بسته D تعریف و مداوم باشد ، آن را انجام دهید یکنواخت مداوم در این منطقه ، یعنی برای هر عدد مثبت e ، یک عدد D\u003e 0 وجود دارد به طوری که برای هر دو نقطه (x 1 ، y 1) و (x 2 ، y 2) منطقه واقع در فاصله کمتر از D ، نابرابری خصوصیات فوق شبیه خصوصیات توابع یک متغیر است که روی یک بخش پیوسته است. خصوصیات توابع را که بر روی یک بخش مداوم هستند ، مشاهده کنید. مشتقات و افتراق عملکردها متغیرهای متعدد تعریف.
اجازه دهید تابع z \u003d f (x، y) در برخی از دامنه ها داده شود. یک نقطه دلخواه M (x ، y) بگیرید و افزایش Dx را روی متغیر x تنظیم کنید. سپس مقدار D x z \u003d f (x + Dx، y) - f (x، y) فراخوانی می شود افزایش جزئی تابع در x. می توانید بنویسید سپس تماس گرفت مشتق جزئیتابع z \u003d f (x، y) در x. تعیین: مشتق جزئی تابع با توجه به y به طور مشابه تعریف شده است. معنای هندسیمشتق جزئی (به عنوان مثال) مماس زاویه شیب مماس است که در نقطه N 0 (x 0 ، y 0 ، z 0) به قسمت سطح توسط صفحه y \u003d y 0 کشیده شده است. افزایش کامل و دیفرانسیل کامل.
هواپیمای مماس بگذارید N و N 0 نقطه های سطح داده شده باشند. بیایید یک خط مستقیم NN 0 ترسیم کنیم. صفحه ای که از نقطه N 0 عبور می کند نامیده می شود هواپیمای مماس در صورت تمایل زاویه بین NN 0 و این صفحه به سمت سطح ، هنگامی که فاصله NN 0 به صفر میل کند. تعریف. طبیعیبه سطح در نقطه N 0 یک خط مستقیم است که از نقطه N 0 عمود بر صفحه مماس به این سطح عبور می کند. در هر نقطه از سطح یا فقط یک صفحه مماس دارد ، یا اصلاً آن را ندارد. اگر سطح با معادله z \u003d f (x، y) داده شود ، در آنجا f (x ، y) تابعی است که در نقطه М 0 (x 0 ، y 0) قابل تغییر است ، صفحه مماس در نقطه N 0 (x 0 ، y 0 ، ( x 0، y 0)) وجود دارد و دارای این معادله است: معادله نرمال به سطح در این نقطه عبارت است از: معنای هندسی دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر f (x، y) در نقطه (x 0 ، y 0) افزایش اعمال شده (مختصات z) صفحه مماس به سطح هنگام عبور از نقطه (x 0 ، y 0) به نقطه (x 0 + Dx ، y 0 + Dy). همانطور که مشاهده می کنید ، معنای هندسی دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر ، آنالوگ فضایی معنای هندسی دیفرانسیل تابع یک متغیر است. مثال. معادلات صفحه مماس و نرمال را با سطح پیدا کنید در نقطه M (1 ، 1 ، 1). معادله هواپیمای مماس: معادله عادی: محاسبات تقریبی با استفاده از دیفرانسیل کل.
دیفرانسیل کل تابع u: مقدار دقیق این عبارت 1.049275225687319176 است. مشتقات جزئی با سفارش بالاتر. اگر تابع f (x، y) در بعضی از دامنه های D تعریف شده باشد ، مشتقات جزئی آن نیز در همان دامنه یا بخشی از آن تعریف می شوند. ما این مشتقات را خواهیم نامید مشتقات جزئی سفارش اول. مشتقات این توابع خواهد بود مشتقات جزئی از مرتبه دوم. در ادامه با تمایز برابرهای بدست آمده ، مشتقات جزئی سفارشات بالاتر را بدست می آوریم. از این مقاله ، خواننده در مورد اینکه افراط در ارزش عملکردی چیست و همچنین در مورد ویژگی های استفاده از آن در عمل ، آشنا خواهد شد. یادگیری چنین مفهومی برای درک اصول ریاضیات عالی ضروری است. این مبحث برای مطالعه عمیق تر این دوره اساسی است. در تماس با در دوره مدرسه ، تعاریف زیادی از مفهوم "افراط" ارائه شده است. هدف این مقاله عمیق و واضح ترین درک این اصطلاح برای افراد ناآگاه در این موضوع است. بنابراین ، این اصطلاح قابل درک است که تا چه اندازه فاصله عملکردی حداقل یا حداکثر مقدار را در یک مجموعه خاص به دست می آورد. extremeum هم حداقل مقدار عملکرد است و هم حداکثر همزمان. بین حداقل نقطه و حداکثر نقطه ، یعنی مقادیر شدید آرگومان در نمودار ، تفاوت قائل شوید. علوم اصلی که از این مفهوم استفاده می شود: نقاط اضافی نقش مهمی در تعیین توالی یک عملکرد خاص دارند. سیستم مختصات روی نمودار در بهترین حالت خود تغییر وضعیت شدید را بسته به تغییر عملکرد نشان می دهد. همچنین پدیده ای به نام "مشتق" وجود دارد. لازم است نقطه انتهایی تعیین شود. مهم است که حداقل و حداکثر امتیازها را با بیشترین و کمترین مقادیر اشتباه نگیرید. اینها مفاهیم مختلفی هستند ، گرچه ممکن است شبیه به هم باشند. مقدار تابع عامل اصلی در تعیین نحوه یافتن حداکثر نقطه است. مشتق از ارزشها شکل نگرفته است ، بلکه منحصراً از موقعیت افراطی آن در یک ترتیب یا نظم دیگر شکل گرفته است. خود مشتق بر اساس داده های نقاط extremeum تعیین می شود و نه بالاترین یا کمترین مقدار. در مدارس روسیه مرز بین این دو مفهوم به وضوح مشخص نشده است ، که به طور کلی در درک این موضوع تأثیر می گذارد. بیایید اکنون به چیزی تحت عنوان "extreme extremeum" نگاه کنیم. امروزه ، یک مقدار حداقل تیز و یک مقدار حداکثر حاد از هم متمایز می شوند. تعریف مطابق با طبقه بندی روسی نقاط بحرانی یک تابع ارائه شده است. مفهوم نقطه افراط در قلب یافتن نقاط بحرانی در نمودار است. برای تعریف چنین مفهومی ، استفاده از قضیه فرما متوسل می شود. مهمترین مورد در بررسی نقاط شدید است و ایده روشنی از وجود آنها در یک شکل یا شکل دیگر ارائه می دهد. برای اطمینان از افراط و تفریط ، ایجاد شرایط خاصی برای کاهش یا افزایش نمودار مهم است. برای پاسخ دقیق به سوال "چگونه حداکثر امتیاز را پیدا کنیم" ، باید موارد زیر را دنبال کنید: توجه!جستجوی نقطه بحرانی یک تابع تنها در صورت وجود مشتق حداقل مرتبه دوم امکان پذیر است که با وجود حضور زیاد یک نقطه افراطی اطمینان حاصل می شود. برای وجود یک حالت افراطی ، مهم است که هم حداقل و هم حداکثر امتیاز وجود داشته باشد. اگر این قاعده فقط تا حدی رعایت شود ، شرط وجود افراطی نقض می شود. هر عملکرد در هر موقعیتی باید متفاوت باشد تا مقادیر جدید خود را نشان دهد. درک این نکته مهم است که مورد از بین رفتن یک نقطه ، اصل اساسی برای یافتن یک نقطه قابل تغییر نیست. افراطی تیز و همچنین حداقل یک تابع ، جنبه بسیار مهمی برای حل یک مسئله ریاضی با استفاده از مقادیر شدید است. برای درک بهتر این م componentلفه ، مراجعه به مقادیر جدول برای تعیین عملکرد مهم است. 2. یافتن نقاط شکست ، انتهایی و تقاطع با محورهای مختصات. 3. فرآیند تعیین تغییرات موقعیت در نمودار. 4. تعیین توان و جهت تحدب و تحدب ، با در نظر گرفتن وجود مجانین. 5. ایجاد جدول خلاصه ای از مطالعه از نظر تعیین مختصات آن. 6. یافتن فواصل افزایش و کاهش نقاط شدید و تیز. 7. تعیین تحدب و تقعر منحنی. 8. ساختن نمودار بر اساس مطالعه به شما امکان می دهد حداقل یا حداکثر را پیدا کنید. معلمان مدارس اغلب به چنین جنبه مهمی که نقض فاحش روند آموزشی است ، حداکثر توجه نشان نمی دهند. رسم نمودار فقط به دنبال نتایج مطالعه داده های عملکردی ، تعیین حد شدید ، و همچنین نقاط روی نمودار رخ می دهد. انتهای شدید مشتق تابع با استفاده از روش استاندارد تعیین مجانب در نمودار مقدار دقیق رسم می شود. حداکثر و حداقل نقاط عملکرد با رسم پیچیده تر همراه است. این به دلیل نیاز عمیق تر برای حل مشکل یک حد شدید حاد است. همچنین یافتن مشتق یک عملکرد پیچیده و ساده ضروری است ، زیرا این یکی از مهمترین مفاهیم مشکلات افراط است. برای یافتن مقدار فوق ، باید به قوانین زیر پایبند باشید: همچنین از مفاهیمی مانند ضعیف کم و قوی قوی استفاده می شود. این امر باید هنگام تعیین حالت شدید و محاسبه دقیق آن مورد توجه قرار گیرد. در عین حال ، عملکرد واضح جستجو و ایجاد همه شرایط لازم برای کار با نمودار عملکرد است.
تابع فراخوانی می شود عملکرد ضد اشتقاقی ... ضد اشتقاقی عملکرد در یک مقدار ثابت تعیین می شود.
، در اینجا یک ثابت دلخواه وجود دارد.
.
، و این عملکرد مداوم و برابر است 
.
جایی که.
... اگر تعریف مشتق یک تابع را بخاطر بیاوریم و به حد مجاز برسیم ، در این صورت به دست می آوریم. یعنی یکی از آنتی ویروس های عملکرد است y \u003d f (x) در بخش
... بنابراین ، مجموعه ای از تمام داروهای ضد عفونی کننده F (x) می توان به عنوان ، کجا نوشت از جانب آیا یک ثابت دلخواه است.
... این برابری فرمول اثبات شده نیوتن-لایب نیتس را می دهد .
... با استفاده از این علامت گذاری ، فرمول نیوتن-لایب نیتس شکل می گیرد.
... آنتی ویروس را برای استفاده کنید C \u003d 0: .
. مستطیل S.K. عملکرد ، به صورت پارامتری داده شده است Polyarnaya S.K.
محاسبه مساحت ارقام مسطح
محاسبه طول قوس یک منحنی صفحه
محاسبه سطح انقلاب
معادله دیفرانسیل نیست.
می تواند به عنوان تقریب معادله غیرخطی آونگ ریاضی در نظر گرفته شود 
در مورد دامنه های کوچک ، بله ... گناه بله.
جایی که متر - جرم بدن، ایکس - مختصات آن ، F(ایکس, تی) نیرویی است که با مختصات بر روی بدن وارد می شود ایکس درحال حاضر تی... راه حل آن مسیر حرکت بدن تحت عمل نیروی مشخص شده است.
مقادیر عملکرد و حداکثر و حداقل امتیازات
چگونه می توان در این موارد پیش رفت؟ نقطه بالا / پایین را پیدا کنید
درست است ، ابتدا عملکرد افزایش می یابد ، سپس کاهش می یابد - این حداکثر نقطه است!
پاسخ: 15 پوند 
پاسخ: −2 بزرگترین / کوچکترین مقدار عملکرد را پیدا کنید
بله
در
... مجانای مایل آن y \u003d x است.
.
از آنجا که b \u003d ساختار ، پس 
.
، در نتیجه،
.
سپس 
، در نتیجه،
.
.
.
.
(1)
.
.
افراطی چیست؟
افراط و تفریط مشتق شده
یک شرط لازم برای عملکرد شدید
مطالعه کامل معنی
رسم یک مقدار
1. تعیین نقاط افزایش و کاهش مقادیر.
عنصر اصلی در مواردی که لازم است با افراط کار کنید ، ساخت دقیق نمودار آن است.
افراطی عملکردی
بارگذاری ...