طرح هورنر کاهش درجه. فاکتور بندی هورنر یک چند جمله ای

معمولاً یک چند جمله ای به صورت زیر نشان داده می شود:

$ f (x) \u003d \\ sum \\ limit_ (k \u003d 0) ^ (n) a_k x ^ k $

f (x) \u003d a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a k x k

جایی که a k اینها اعداد واقعی هستند که ضرایب چند جمله ای را نشان می دهند و
x k اینها متغیرهای چند جمله ای هستند.

چند جمله ای فوق چند جمله ای درجه n نامیده می شود ، یعنی deg (f (x)) \u003d nجایی که n نشان دهنده بالاترین درجه یک متغیر است.

طرح هورنر برای تقسیم چند جمله ای یک الگوریتم برای ساده سازی محاسبه مقدار یک چند جمله ای است f (x) در یک مقدار خاص x \u003d x 0 با تقسیم یک چند جمله ای به یک جمله (چند جمله ای درجه 1). هر تک صد حداکثر شامل یک فرآیند ضرب و یک فرآیند جمع است. نتیجه بدست آمده از یک مونوم به نتیجه حاصل از مونوم بعدی و غیره به صورت تجمعی اضافه می شود. به این فرآیند شکافت شکافت مصنوعی نیز گفته می شود.

برای توضیح موارد بالا ، بیایید چند جمله ای را به شکل گسترش یافته دوباره بنویسیم.

f (x 0) \u003d a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 2 + ... + a n x 0 n

همچنین می توان به صورت زیر نوشت:

f (x 0) \u003d a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + ... + (a n-1 + a n x 0) ....))

الگوریتم پیشنهادی توسط این طرح مبتنی بر یافتن مقادیر تک صدایی است که در بالا تشکیل شده است ، برای شروع یافتن مقادیر یکجمله در براکت های بیرونی ، از مقادیری که در براکت های بیشتری محصور شده اند و به سمت بیرون حرکت می کنند.

الگوریتم با دنبال کردن مراحل زیر آغاز می شود:

1. داده شده k \u003d n
2. بگذارید b k \u003d a k
3. بگذارید b k - 1 \u003d a k - 1 + b k x 0
4. اجازه دهید k \u003d k - 1
5. اگر k ≥ 0سپس به مرحله 3 برگردید
در غیر این صورت پایان دهید

این الگوریتم همچنین می تواند با در نظر گرفتن چند جمله ای درجه 5 داده شده ، به صورت گرافیکی تجسم شود:

f (x) \u003d a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5

ارزش آن به عنوان یافت می شود x \u003d x 0با تنظیم مجدد آن به شرح زیر:

f (x 0) \u003d a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + x 0 (a 4 + a 5 x 0)))))

روش دیگر برای ارائه نتایج با استفاده از این الگوریتم به شکل جدول زیر است:

بنابراین f (2) \u003d 83.

چرا ما باید این کار را انجام دهیم؟

معمولاً با یافتن مقادیر چند جمله ای در مقدار مشخصی از یک متغیر ، عادت داریم که این مقدار را در چند جمله ای جایگزین کرده و محاسبات را انجام دهیم. ما همچنین می توانیم یک برنامه رایانه ای برای محاسبات ریاضی ایجاد کنیم ، که هنگام کار با چند جمله ای های پیچیده درجات بالاتر ، یک ضرورت است.

نحوه برخورد کامپیوتر با این مشکل تا حد زیادی به نحوه توصیف شما به عنوان یک برنامه نویس برای رایانه بستگی دارد. می توانید با جایگزینی مستقیم مقدار یک متغیر ، برنامه خود را برای یافتن مقدار چند جمله ای طراحی کنید یا از تقسیم مصنوعی ارائه شده در طرح هورنر استفاده کنید. تنها تفاوت این دو روش در سرعت یافتن رایانه برای راه حل مورد خاص است.

مزیت طرح هورنر این است که تعداد ضرب ها را کاهش می دهد. با توجه به اینکه زمان پردازش هر فرآیند ضرب 5 تا 20 برابر بیشتر از زمان پردازش فرآیند جمع است ، می توانید استدلال کنید که ساخت یک برنامه برای یافتن مقدار چند جمله ای مطابق با طرح هورنر باعث کاهش قابل توجه زمان محاسبات در کامپیوتر می شود.

قضیه بزوت، علی رغم سادگی و بدیهی آشکار ، یکی از قضایای اساسی نظریه چند جمله ای ها است. در این قضیه ، ویژگی های جبری چند جمله ای ها (آنها اجازه کار با چند جمله ها را با عدد صحیح) با ویژگی های عملکردی آنها همراه است (که به ما امکان می دهد چند جمله ها را به عنوان توابع در نظر بگیریم).

قضیه بزوت بیان می کند که باقیمانده تقسیم یک چند جمله ای به یک چند جمله ای است.

ضرایب چند جمله ای در برخی از حلقه های تغییر با وحدت (مثلاً در زمینه اعداد واقعی یا مختلط) نهفته است.

قضیه بزوت یک دلیل است.

ما با چند جمله ای باقیمانده تقسیم می کنیم P (x) توسط چند جمله ای (x-a):

بر اساس این واقعیت که deg R (x)< deg (x-a) = 1 - چند جمله ای درجه حداکثر صفر. ما جایگزین می کنیم ، از آنجا که ، می گیریم .

اما مهمترین مسئله فقط قضیه نیست ، بلکه نتیجه قضیه بزوت است:

1. عدد ریشه چند جمله ای است P (x) اگر و تنها اگر P (x) قابل تقسیم به دو جمله ای x-a.

بر این اساس ، مجموعه ای از ریشه های چند جمله ای است P (x) با مجموعه ریشه های معادله مربوطه یکسان است x-a.

2. اصطلاح آزاد چند جمله ای با هر ریشه عدد صحیح چند جمله ای با ضرایب عدد صحیح تقسیم می شود (وقتی ضریب پیشرو برابر با یک باشد ، همه ریشه های منطقی عدد صحیح هستند).

3. فرض کنید این یک ریشه صحیح از چند جمله ای کاهش یافته است P (x) با ضرایب عدد صحیح. از این رو ، برای هر عدد صحیح ، عدد با تقسیم می شود.

قضیه بزوت این امکان را فراهم می کند که با یافتن یک ریشه از چند جمله ای ، بیشتر به دنبال ریشه های چند جمله ای باشید که درجه آن در حال حاضر 1 کمتر است: اگر ، پس چند جمله ای داده شده P (x) به این شکل خواهد بود:

مثالهای قضیه بزوت:

باقیمانده تقسیم چند جمله ای بر دو جمله ای را پیدا کنید.

مثالهای حل قضیه بزوت:

براساس قضیه بزوت ، باقی مانده مورد نظر با مقدار چند جمله ای در نقطه مطابقت دارد. سپس پیدا خواهیم کرد ، برای این مقدار را به جای عبارت چند جمله ای در عبارت جایگزین می کنیم. ما گرفتیم:

پاسخ: باقیمانده \u003d 5.

طرح هورنر.

طرح هورنر الگوریتمی برای تقسیم (تقسیم بر اساس طرح هورنر) چند جمله ای ها است ، که برای یک مورد خاص نوشته شده است ، اگر ضریب مساوی با دوجمله باشد.

بیایید این الگوریتم را بسازیم:

فرض کنید این سود سهام است

خصوصی (مدرک آن احتمالاً یک درجه کمتر خواهد بود) ، ر - باقی مانده (از آنجا که تقسیم توسط یک چند جمله ای انجام می شود یکم درجه ، سپس درجه باقیمانده یک کمتر خواهد بود ، یعنی صفر ، بنابراین باقیمانده یک ثابت است).

با تعریف تقسیم با باقی مانده P (x) \u003d Q (x) (x-a) + r... پس از جایگزینی عبارات چند جمله ای به دست می آوریم:

براکت ها را باز می کنیم و ضرایب را در همان درجه برابر می کنیم ، پس از آن ضرایب ضریب را از طریق ضرایب سود سهام و تقسیم کننده بیان می کنیم:

جمع بندی محاسبات در جدول زیر مناسب است:

در آن سلولهایی برجسته شده اند که محتویات آنها در مرحله بعد در محاسبات دخیل هستند.

نمونه های طرح هورنر:

اجازه دهید لازم باشد یک چند جمله ای را به دو جمله ای تقسیم کنید x-2.

یک جدول با دو ردیف ایجاد کنید. در 1 خط ضرایب چند جمله ای خود را می نویسیم. در خط دوم ، ضرایب ضریب ناقص را با توجه به طرح زیر بدست خواهیم آورد: اول از همه ، ضریب ارشد چند جمله ای داده شده را دوباره می نویسیم ، سپس ، برای به دست آوردن ضریب بعدی ، آخرین پیدا شده را در ضرب می کنیم a \u003d 2 و با ضریب مربوط به چند جمله ای اضافه کنید F (x)... آخرین ضریب باقیمانده خواهد بود و تمام ضرایب قبلی ضرایب ضریب ناقص خواهند بود.

وب سایت "مربی حرفه ای ریاضیات" چرخه مقالات روش شناختی در زمینه آموزش را ادامه می دهد. من شرح روش کار خود را با دشوارترین و مسئله دارترین مباحث درسی مدرسه منتشر می کنم. این مطالب برای معلمان و مدرسان ریاضیاتی که با دانش آموزان کلاس 8-11 کار می کنند چه در برنامه منظم و چه در برنامه کلاسهای ریاضی مفید خواهد بود.

یک معلم ریاضی ممکن است همیشه نتواند مطالبی را که در کتاب درسی ضعیف ارائه شده است ، توضیح دهد. متأسفانه ، این موضوعات بیشتر و بیشتر می شود ، و خطاهای ارائه ، پیروی از نویسندگان کتابچه ها ، در مقیاس گسترده ای مرتکب می شوند. این امر نه تنها به معلمان ابتدایی در ریاضیات و معلم های پاره وقت (مدرسان - دانشجویان و مدرسان دانشگاه ها) ، بلکه همچنین در مورد معلمان باتجربه ، مدرسان - متخصصان ، مدرسان با تجربه و صلاحیت ها نیز صدق می کند. همه مدرسان ریاضیات استعداد یک مصحح صحیح در مورد زبری کتابهای درسی مدرسه را ندارند. همه نیز نمی دانند که این اصلاحات (یا اضافات) ضروری است. فقط تعداد کمی درگیر اقتباس از مواد برای درک کیفی آن توسط کودکان هستند. متأسفانه ، زمانی می گذرد که معلمان ریاضیات ، همراه با روش شناسان و نویسندگان نشریات ، درباره هر حرف از کتاب درسی بحث می کردند. پیش از این ، قبل از قرار دادن کتاب درسی در مدارس ، آنها تجزیه و تحلیل و تحقیق جدی در مورد نتایج یادگیری انجام دادند. زمان آن فرا رسیده است که آماتورهایی که می خواهند این کتابچه ها را جهانی کنند و آنها را با استانداردهای کلاس های ریاضی قوی تطبیق دهند ، فرا رسیده است.

مسابقه برای افزایش میزان اطلاعات فقط منجر به کاهش کیفیت جذب آن و در نتیجه کاهش سطح دانش واقعی در ریاضیات می شود. اما هیچ کس به این توجه نمی کند. و فرزندان ما مجبورند همان چیزی را که ما در این مituteسسه گذرانده ایم ، در کلاس 8 بخوانند: نظریه احتمال ، حل معادلات درجه بالا و چیزهای دیگر. تطبیق مطالب موجود در کتابها برای درک کامل آن توسط کودک جای تعجب بسیاری را دارد و مربی ریاضی مجبور می شود به گونه ای با آن کنار بیاید.

بیایید در مورد روش های تدریس یک موضوع خاص مانند "تقسیم یک چند جمله ای به یک گوشه توسط یک چند جمله ای" صحبت کنیم ، که در ریاضیات بزرگسالان بیشتر به عنوان "قضیه بزوت و طرح هورنر" شناخته می شود. همین چند سال پیش ، این سوال برای یک معلم خصوصی ریاضی خیلی حاد نبود ، زیرا وی در برنامه درسی مدرسه اصلی قرار نگرفته بود. اکنون نویسندگان محترم کتاب درسی ، ویرایش شده توسط تلیاکوفسکی ، تغییراتی در آخرین نسخه از بهترین کتاب ها ، از نظر من ، کتاب درسی ایجاد کرده اند و در نهایت خراب کردن آن ، فقط نگرانی های بی مورد را به استاد راهنما اضافه کرده اند. معلمان مدارس و کلاسهایی که وضعیت ریاضی ندارند ، با تمرکز بر نوآوریهای نویسندگان ، اغلب دروس خود را با اضافه کردن پاراگرافهای اضافی شروع می کنند ، و کودکان کنجکاو ، با مشاهده صفحات زیبای کتاب ریاضیات خود ، بیشتر و بیشتر از معلم خصوصی می پرسند: "این بخش گوشه ای چیست؟ آیا ما می خواهیم از این طریق عبور کنیم؟ چگونه گوشه ای را به اشتراک بگذاریم؟ " نمی توانید از چنین س questionsالات مستقیمی پنهان شوید. مربی باید چیزی را به کودک بگوید.

اما به عنوان؟ احتمالاً من روش کار با موضوع را اگر به درستی در کتابهای درسی ارائه شده باشد ، توصیف نمی کنم. چطور با ما پیش می رود؟ کتب درسی نیاز به چاپ و فروش دارند. و برای این منظور آنها باید مرتباً به روز شوند. معلمان دانشگاه شکایت دارند که کودکان با سر خالی ، بدون دانش و مهارت به سراغ آنها می آیند؟ آیا الزامات ریاضی در حال رشد است؟ عالی! بیایید برخی از تمرینات را حذف کنیم ، و در عوض مباحثی را که در برنامه های دیگر تدریس می شود وارد کنیم. چرا کتاب درسی ما بدتر است؟ بیایید چند فصل اضافی را وارد کنید. دانش آموزان از قانون تقسیم بندی توسط یک گوشه اطلاع ندارند؟ این ریاضیات ابتدایی است. لازم است چنین پاراگرافی را اختیاری قرار دهید ، عنوان آن را "برای کسانی که می خواهند بیشتر بدانند" عنوان کنید. مربیان مخالف؟ ما به طور کلی به مدرسان چه اهمیتی می دهیم؟ آیا روش شناسان و معلمان مدارس نیز مخالف هستند؟ ما مطالب را پیچیده نخواهیم کرد و ساده ترین قسمت آن را در نظر خواهیم گرفت.

و اینجاست که شروع می شود. سادگی موضوع و کیفیت جذب آن ، اول از همه در درک منطق آن است ، و نه در این واقعیت که ، طبق دستورالعمل های نویسندگان کتاب درسی ، مجموعه ای خاص از عملیات را انجام می دهد که ارتباط واضحی با یکدیگر ندارند. در غیر این صورت مه در سر دانش آموز ایجاد می شود. اگر نویسندگان روی دانشجویان نسبتاً قوی حساب کرده اند (اما در یک برنامه منظم تحصیل می کنند) ، شما نباید موضوع را به صورت تیمی ارسال کنید. در کتاب درسی چه می بینیم؟ کودکان باید طبق این قاعده تقسیم شوند. چند جمله ای را زیر گوشه بگیرید. بنابراین ، چند جمله ای اصلی فاکتوریل می شود. با این حال ، مشخص نیست که چرا اصطلاحات زیر گوشه به این روش انتخاب می شوند ، چرا باید آنها را در چند جمله ای گوشه ضرب کرد و از باقی مانده فعلی کم کرد. و از همه مهمتر ، مشخص نیست که چرا در انتها باید تک صداهای انتخاب شده جمع شوند و چرا براکت های حاصل ، گسترش چند جمله ای اصلی خواهد بود. هر ریاضیدان ذی صلاح علامت سوال پررنگی را روی توضیحات ارائه شده در کتاب درسی قرار می دهد.

من راه حل خود را برای مسئله ، که عملاً همه آنچه را که در کتاب درسی آمده است ، برای دانش آموز آشکار می کند ، مورد توجه مربیان و معلمان ریاضیات قرار می دهم. در حقیقت ، ما قضیه بزوت را اثبات خواهیم کرد: اگر عدد a ریشه چند جمله ای باشد ، می توان این چند جمله را به عواملی تجزیه کرد ، یکی از آنها x-a است ، و دومین مورد از اصلی به یکی از سه روش بدست می آید: با این فرمول است که کار برای یک معلم خصوصی ریاضی آسان تر خواهد بود.

روش تدریس چیست؟ اول از همه ، این یک ترتیب واضح در توالی توضیحات و مثال ها است ، که بر اساس آن نتیجه گیری های ریاضی انجام می شود. این موضوع نیز از این قاعده مستثنی نیست. برای یک معلم ریاضی بسیار مهم است که کودک را با قضیه بزوت آشنا کند قبل از تقسیم گوشه انجام شود... این خیلی مهمه! بهترین راه برای دستیابی به درک از طریق یک مثال مشخص است. بیایید چند جمله ای را با یک ریشه انتخاب شده بیاوریم و تکنیک فاکتورسازی آن را با استفاده از روش تبدیل های یکسان ، که از کلاس 7 برای دانش آموز آشنا است ، نشان دهیم. با توضیحات ، لهجه ها و نکات مناسب همراه با معلم خصوصی ریاضی ، انتقال مطالب بدون هیچ گونه محاسبات ریاضی عمومی ، ضرایب و درجه های دلخواه کاملاً امکان پذیر است.

توصیه مهم برای یک معلم خصوصی ریاضی - دستورالعمل ها را از ابتدا تا انتها دنبال کنید و این توالی را تغییر ندهید.

بنابراین ، بگذارید بگوییم که ما یک چند جمله ای داریم. اگر عدد 1 را جایگزین x کنیم ، آنگاه مقدار چند جمله ای برابر با صفر خواهد بود. بنابراین x \u003d 1 ریشه آن است. بیایید سعی کنیم به دو اصطلاح تجزیه شویم به طوری که یکی از آنها حاصل بیان خطی و مقداری مونومی باشد و دومی دارای درجه یک کمتر از آن باشد. یعنی ما آن را به شکل نشان می دهیم

ما یک جمله را برای قسمت قرمز انتخاب می کنیم تا هنگام ضرب آن در اصطلاح اصلی ، کاملاً منطبق با اصطلاح اصلی چند جمله ای اصلی باشد. اگر دانش آموز ضعیف ترین نباشد ، کاملاً قادر خواهد بود که عبارت مورد نظر را به استاد راهنمای ریاضیات نامگذاری کند:. استاد راهنما باید بلافاصله پیشنهاد دهد که آن را در جعبه قرمز وارد کرده و نشان دهد که با باز شدن آنها چه چیزی بدست می آید. بهتر است این چند جمله ای موقت مجازی را در زیر فلش ها امضا کنید ، و آن را با رنگی برجسته کنید ، به عنوان مثال آبی. این به شما کمک می کند تا اصطلاحی برای قسمت قرمز انتخاب شود ، که باقیمانده انتخاب نامیده می شود. من به مدرسان توصیه می کنم دقیقاً در اینجا به این نکته اشاره کنند که با تفریق می توان این مانده را پیدا کرد. با انجام این عمل ، موارد زیر را بدست می آوریم:

مدرس ریاضی باید توجه دانش آموز را به این نکته جلب کند که با جایگزینی یکی در این برابری ، تضمین می کنیم که در سمت چپ آن صفر بگیریم (از آنجا که 1 ریشه چند جمله ای اصلی است) ، و در سمت راست ، بدیهی است که ترم اول را نیز صفر خواهیم کرد. بنابراین ، بدون هیچ گونه تأیید ، می توان گفت که یکی از ریشه های "باقی مانده سبز" است.

ما با آن کار خواهیم کرد به همان روشی که با چند جمله ای اصلی انجام دادیم و همان فاکتور خطی را از آن استخراج کردیم. مدرس ریاضی دو قاب جلوی دانش آموز می کشد و می خواهد از چپ به راست پر کند.

دانش آموز واحد مورد نظر را برای قسمت قرمز برای استاد راهنما انتخاب می کند تا هنگامی که در اصطلاح اصلی بیان خطی ضرب شود ، اصطلاح اصلی چند جمله ای در حال گسترش را ارائه دهد. ما وارد قاب مماس می شویم ، بلافاصله براکت را باز می کنیم و عبارتی را که باید از عبارت منبسط شده با رنگ آبی برجسته کنیم. با انجام این عملیات ، ما بدست می آوریم

و سرانجام ، انجام همان کار با آخرین مانده

بالاخره می گیریم

حال بیایید این عبارت را از داخل براکت خارج کرده و تجزیه چند جمله ای اصلی را به فاکتورهایی بدست خواهیم آورد که یکی از آنها "x منهای ریشه انتخاب شده" است.

برای اینکه دانش آموز تصور نکند که آخرین "پسماند سبز" به طور تصادفی در عوامل لازم تجزیه شده است ، استاد راهنمای ریاضیات باید به یک ویژگی مهم از تمام باقی مانده های سبز اشاره کند - هر یک از آنها یک ریشه دارد. 1 هیچ چند جمله ای به ما داده نشده است ، دیر یا زود ، ما یک "باقی مانده سبز" خطی با ریشه 1 می گیریم ، بنابراین باید آن را به محصول برخی از تعداد و یک عبارت تجزیه کنیم.

پس از چنین کارهای مقدماتی ، برای یک معلم ریاضی دشوار نخواهد بود که برای دانش آموز توضیح دهد که هنگام تقسیم گوشه ای چه اتفاقی می افتد. این همان فرآیند است ، فقط به شکل کوتاه تر و فشرده تر ، بدون علائم برابر و بدون بازنویسی اصطلاحات مشابه. چند جمله ای که عامل خطی از آن استخراج می شود ، در سمت چپ گوشه نوشته می شود ، مونوم های قرمز انتخاب شده با یک زاویه جمع می شوند (اکنون مشخص می شود که چرا باید با هم جمع شوند) ، برای بدست آوردن "چند جمله های آبی" ، موارد "قرمز" باید در x-1 ضرب شوند ، و سپس از جریان انتخاب شده کسر شوند چگونه این کار در تقسیم معمول اعداد در یک ستون انجام می شود (در اینجا یک قیاس با موارد قبلی است). "باقیمانده های سبز" حاصل در معرض انتخاب و انتخاب جدیدی از "تک صداهای قرمز" قرار می گیرند. و همینطور ادامه دهید تا یک "باقی مانده سبز" صفر بدست آید. مهمترین چیز این است که دانش آموز در مورد سرنوشت بعدی چند جمله ای های نوشته شده در بالا و پایین گوشه روشن شود. بدیهی است که اینها براکتهایی هستند که محصول آنها برابر با چند جمله ای اصلی است.

مرحله بعدی کار یک معلم خصوصی ریاضی فرمول قضیه بزوت است. در واقع ، فرمول بندی آن با این رویکرد معلم واضح می شود: اگر عدد a ریشه یک چند جمله ای باشد ، می توان آن را به فاکتورهایی تجزیه کرد ، یکی از آنها و دیگری از اصل به یکی از سه روش بدست می آید:

• تجزیه مستقیم (مشابه روش گروه بندی)
• تقسیم توسط یک گوشه (در یک ستون)
• از طریق طرح هورنر

باید گفت که همه مربیان ریاضی به دانش آموزان برنامه هورنر نشان نمی دهند و همه معلمان مدارس (خوشبختانه خود معلمان) در کلاس خیلی عمیق به مبحث نمی پردازند. با این حال ، برای یک دانش آموز در کلاس ریاضی ، دلیلی نمی بینم که تقسیم طولانی را متوقف کنم. علاوه بر این ، راحت ترین و سریع روش تجزیه دقیقاً بر اساس طرح هورنر است. برای اینکه به کودک توضیح دهید که از کجا آمده است ، کافی است با استفاده از مثال تقسیم بر یک گوشه ، ضرایب ارشد در باقی مانده های سبز را ردیابی کنید. روشن می شود که ضریب اصلی چند جمله ای اولیه به ضریب اولین "یک جمله ای قرمز" و بیشتر از ضریب دوم چند جمله ای بالایی فعلی منتقل می شود کسرنتیجه ضرب ضریب جریان "یک جمله قرمز" در. بنابراین امکان پذیر است اضافه کردن نتیجه ضرب در. پس از تمرکز توجه دانش آموز به ویژگیهای اعمال با ضرایب ، یک استاد راهنما می تواند نحوه انجام این اقدامات را بدون ضبط خود متغیرها ، نشان دهد. برای انجام این کار ، راحت است که ریشه و ضرایب چند جمله ای اولیه را به ترتیب اولویت در جدول زیر وارد کنید:

اگر در چند جمله ای درجه ای از دست رفته باشد ، ضریب صفر آن به زور وارد جدول می شود. ضرایب "چند جمله ای قرمز" طبق قانون "قلاب" به نوبه خود در خط پایین قرار دارند:

ریشه در آخرین "ضریب قرمز" حذف شده ضرب می شود ، به ضریب بعدی خط بالا اضافه می شود و نتیجه به خط پایین منتقل می شود. در ستون آخر ضمانت ارشد آخرین "باقی مانده سبز" یعنی صفر را تضمین می کنیم. پس از اتمام روند ، اعداد بین ریشه همسان و باقیمانده صفر قرار دارد ضرایب عامل دوم (غیرخطی) هستند.

از آنجا که ریشه a در انتهای خط پایین صفر می دهد ، می توان از طرح Horner برای آزمایش اعداد برای ریشه چند جمله ای استفاده کرد. اگر قضیه خاصی در مورد انتخاب ریشه عقلانی وجود داشته باشد. تمام نامزدهای این عنوان با کمک آن به سادگی یکی در سمت چپ در طرح هورنر وارد می شوند. به محض اینکه به صفر رسیدیم ، عدد آزمایش شده یک ریشه است و در عین حال ضرایب ضریب چند جمله ای اصلی را روی خط آن بدست خواهیم آورد. خیلی راحت

در پایان ، می خواهم یادآوری کنم که برای معرفی دقیق طرح هورنر ، و همچنین برای تلفیق عملی موضوع ، یک مربی ریاضی باید تعداد کافی ساعت در اختیار داشته باشد. یک معلم خصوصی که با رژیم "هفته ای یک بار" کار می کند نباید تقسیم بندی را گوشه ای انجام دهد. در دوره Ege در ریاضیات و در GIA در ریاضیات بعید است که در قسمت اول معادله درجه سوم وجود داشته باشد که با این روش حل شده باشد. اگر یک معلم خصوصی کودک را برای امتحان ریاضیات در دانشگاه دولتی مسکو آماده کند ، مطالعه این موضوع اجباری می شود. معلمان دانشگاه برخلاف گردآورندگان آزمون ، بسیار علاقه مند به بررسی عمق دانش متقاضی هستند.

کلپاکوف الكساندر نیكولاویچ ، مربی ریاضیات مسكو ، استروگینو

در هنگام حل معادلات و نابرابری ها ، اغلب لازم است که یک چند جمله ای را که درجه آن سه یا بیشتر است ، فاکتور کنیم. در این مقاله ، ما به ساده ترین راه برای انجام این کار نگاه خواهیم کرد.

طبق معمول ، برای کمک به تئوری رجوع کنیم.

قضیه بزوت بیان می کند که باقیمانده تقسیم یک چند جمله ای به دو جمله ای است.

اما برای ما این قضیه مهم نیست ، بلکه نتیجه از آن:

اگر یک عدد ریشه یک چند جمله ای باشد ، در این صورت چند جمله ای با دوجمله بدون باقی مانده قابل تقسیم است.

وظیفه ما این است که به نوعی حداقل یک ریشه چند جمله ای را پیدا کنیم ، سپس چند جمله ای را بر اساس ریشه چند جمله ای تقسیم کنیم. در نتیجه ، ما یک چند جمله ای به دست می آوریم که درجه آن یکی کمتر از درجه اصلی است. و سپس ، در صورت لزوم ، می توانید مراحل را تکرار کنید.

این وظیفه به دو قسمت تقسیم می شود: چگونه ریشه چند جمله ای را پیدا کنیم و چگونه چند جمله ای را به دو جمله ای تقسیم کنیم.

بگذارید با جزئیات بیشتر در مورد این نکات صحبت کنیم.

1. چگونه می توان ریشه چند جمله ای را پیدا کرد.

ابتدا بررسی می کنیم که آیا اعداد 1 و -1 ریشه چند جمله ای هستند.

در اینجا حقایق زیر به ما کمک می کند:

اگر مجموع تمام ضرایب چند جمله ای صفر باشد ، عدد ریشه چند جمله ای است.

به عنوان مثال ، در یک چند جمله ای ، مجموع ضرایب صفر است:. بررسی اینکه ریشه چند جمله ای چیست آسان است.

اگر مجموع ضرایب چند جمله ای در درجه زوج برابر با مجموع ضرایب در درجه های فرد باشد ، عدد ریشه چند جمله ای است. ترم آزاد ضریب درجه زوج در نظر گرفته می شود ، و از این رو ، یک عدد زوج است.

به عنوان مثال ، در یک چند جمله ای ، مجموع ضرایب در قدرتهای زوج: ، و مجموع ضرایب در توانهای فرد :. بررسی اینکه ریشه چند جمله ای چیست آسان است.

اگر نه 1 و نه -1 ریشه چند جمله ای نیستند ، ادامه دهید.

برای چند جمله ای کاهش یافته درجه (یعنی چند جمله ای که ضریب پیشرو - ضریب در - برابر با یک باشد) ، فرمول Vieta معتبر است:

ریشه های چند جمله ای کجاست.

فرمول های ویتا نیز در مورد ضرایب باقی مانده از چند جمله ای وجود دارد ، اما ما به این یکی علاقه مند هستیم.

از این فرمول ویتا نتیجه می شود اگر ریشه های چند جمله ای عدد صحیح باشد ، آنها تقسیم کننده اصطلاح آزاد آن هستند که یک عدد صحیح نیز می باشد.

بر این اساس ، ما باید مدت آزاد چند جمله ای را فاکتور بگیریم و به ترتیب ، از کوچکترین به بزرگترین ، بررسی کنیم که کدام یک از عوامل ریشه چند جمله ای است.

به عنوان مثال چند جمله ای را در نظر بگیرید

تقسیم کننده های عضو رایگان :؛ ؛ ؛

حاصل جمع همه ضرایب چند جمله ای است ، بنابراین ، عدد 1 ریشه چند جمله ای نیست.

مجموع ضرایب برای قدرتهای مساوی:

مجموع ضرایب در درجه های عجیب و غریب:

بنابراین ، عدد -1 نیز ریشه چند جمله ای نیست.

بگذارید بررسی کنیم که آیا عدد 2 ریشه چند جمله ای است یا خیر: بنابراین ، عدد 2 ریشه چند جمله ای است. از این رو ، با توجه به قضیه بزوت ، چند جمله ای بدون باقی مانده با دو جمله ای قابل تقسیم است.

2. نحوه تقسیم چند جمله ای به دو جمله ای.

یک چند جمله ای را می توان توسط یک ستون به دو جمله ای تقسیم کرد.

ما چند جمله ای را با یک ستون به دو جمله تقسیم می کنیم:

روش دیگری برای تقسیم چند جمله ای به دوجمله ای وجود دارد - طرح هورنر.

برای درک این فیلم را تماشا کنید نحوه تقسیم چند جمله ای توسط باینری به ستون و استفاده از طرح هورنر.

توجه داشته باشید که اگر هنگام تقسیم بر یک ستون ، درجه ای از موارد ناشناخته در چند جمله ای اصلی وجود نداشته باشد ، ما 0 را به جای آن می نویسیم - دقیقاً مانند هنگام تهیه جدول برای طرح Horner.

بنابراین ، اگر لازم باشد یک چند جمله ای را به دو جمله ای تقسیم کنیم و در نتیجه تقسیم یک چند جمله ای بدست آوریم ، با استفاده از طرح هورنر می توان ضرایب چند جمله ای را پیدا کرد:

ما همچنین می توانیم استفاده کنیم طرح هورنر به منظور بررسی اینکه آیا یک عدد داده شده ریشه چند جمله ای است: اگر یک عدد ریشه چند جمله ای باشد ، پس باقیمانده تقسیم چند جمله ای بر برابر برابر با صفر است ، یعنی در ستون آخر ردیف دوم طرح هورنر ، 0 بدست می آوریم.

با استفاده از طرح هورنر ، ما "دو پرنده را با یک سنگ می کشیم": ما به طور همزمان بررسی می کنیم که آیا تعداد ریشه چند جمله ای است یا خیر و این چند جمله را با دوجمله تقسیم می کنیم.

مثال. معادله را حل کنید:

1. اجازه دهید تقسیم کننده های اصطلاح آزاد را بنویسیم و به دنبال ریشه های چند جمله ای در میان تقسیم کنندگان اصطلاح آزاد خواهیم بود.

مقسوم علیه 24:

2. بررسی کنید که آیا عدد 1 ریشه چند جمله ای است.

مجموع ضرایب چند جمله ای ، بنابراین ، عدد 1 ریشه چند جمله ای است.

3. چند جمله ای اصلی را با استفاده از طرح هورنر به دو جمله تقسیم کنید.

الف) اجازه دهید ضرایب چند جمله ای اصلی را در ردیف اول جدول یادداشت کنیم.

از آنجا که عضو موجود وجود ندارد ، در ستونی از جدول که ضریب باید در آن باشد ، 0 را بنویسید. در سمت چپ ، ریشه پیدا شده را بنویسید: عدد 1.

ب) ردیف اول جدول را پر می کنیم.

در ستون آخر ، همانطور که انتظار می رفت ، به صفر رسیدیم ، چند جمله ای اصلی را بدون باقی مانده به دو جمله ای تقسیم کردیم. ضرایب چند جمله ای حاصل از تقسیم با رنگ آبی در ردیف دوم جدول نشان داده شده است:

به راحتی می توان بررسی کرد که اعداد 1 و -1 ریشه چند جمله ای نیستند

ج) بیایید جدول را ادامه دهیم. بیایید بررسی کنیم که آیا شماره 2 ریشه چند جمله ای است:

بنابراین درجه چند جمله ای ، که در نتیجه تقسیم بر یک بدست می آید ، کمتر از درجه چند جمله ای اصلی است ، از این رو تعداد ضرایب و تعداد ستون ها یک کمتر است.

در ستون آخر ، -40 گرفتیم - عددی که برابر با صفر نیست ، بنابراین ، چند جمله ای با باینری باقیمانده قابل تقسیم است و عدد 2 ریشه چند جمله ای نیست.

ج) بررسی کنید که آیا عدد -2 ریشه چند جمله ای است. از آنجا که تلاش قبلی نتوانست از اشتباه با ضرایب جلوگیری کند ، خط مربوط به این تلاش را پاک می کنم:

عالی! در باقیمانده ، صفر گرفتیم ، بنابراین ، چند جمله ای بدون باقی مانده به دو جمله ای تقسیم شد ، بنابراین ، عدد -2 ریشه چند جمله ای است. ضرایب چند جمله ای که از تقسیم چند جمله ای به دوجمله بدست می آید در جدول با رنگ سبز نشان داده شده است.

در نتیجه تقسیم ، یک سه ضلعی مربع به دست آوردیم ، ریشه های آن توسط قضیه ویتا به راحتی یافت می شود:

بنابراین ، ریشه های معادله اصلی:

{}

پاسخ: ( }

اسلاید 3

هورنر ویلیامز جورج (1786-22.9.1837) ریاضیدان انگلیسی بود. متولد بریستول. او در آنجا تحصیل کرد و کار کرد ، سپس در مدارس بات. کارهای اصلی در جبر است. در سال 1819 م. روشی را برای محاسبه تقریبی ریشه های واقعی یک چند جمله ای منتشر کرد که اکنون روش Ruffini-Horner نامیده می شود (این روش در قرن سیزدهم توسط چینی ها شناخته شده بود). نام هورنر طرح تقسیم چند جمله ای به دوجمله x-a است.

اسلاید 4

طرح GORNER

روشی برای تقسیم چند جمله ای درجه n به دوجمله ای خطی - a ، براساس این واقعیت که ضرایب ضریب ناقص و r باقیمانده مربوط به ضرایب چند جمله ای قابل تقسیم و با فرمول های زیر است:

اسلاید 5

محاسبات مطابق با طرح هورنر در یک جدول قرار داده شده است:

مثال 1. تقسیم ضریب ناقص x3-x2 + 3x - 13 و باقیمانده 42 \u003d f (-3) است.

اسلاید 6

مزیت اصلی این روش فشردگی و قابلیت تقسیم سریع یک چند جمله ای به دوجمله است. در واقع ، طرح هورنر شکل دیگری از نشانه گذاری برای روش گروه بندی است ، اگرچه ، برخلاف روش دوم ، کاملاً دوست داشتنی است. پاسخ (فاکتورسازی) در اینجا به خودی خود به دست می آید و ما روند بدست آوردن آن را نمی بینیم. ما درگیر توجیه دقیق طرح هورنر نخواهیم شد ، بلکه فقط نحوه عملکرد آن را نشان خواهیم داد.

اسلاید 7

مثال 2

بگذارید ثابت کنیم که چند جمله ای P (x) \u003d x4-6x3 + 7x-392 قابل تقسیم بر x-7 است و ضریب تقسیم را پیدا می کنیم. تصمیم گیری با استفاده از طرح هورنر ، P (7) را پیدا می کنیم: از این رو P (7) \u003d 0 بدست می آوریم ، یعنی باقیمانده هنگام تقسیم چند جمله ای به x-7 برابر با صفر است و بنابراین ، چند جمله ای P (x) مضربی از (x-7) است. علاوه بر این ، اعداد در ردیف دوم جدول ضرایب ضریب تقسیم P (x) به (x-7) هستند ، بنابراین P (x) \u003d (x-7) (x3 + x2 + 7x + 56).

اسلاید 8

ضریب چند جمله ای x3 - 5x2 - 2x + 16.

این چند جمله ای دارای ضرایب عدد صحیح است. اگر یک عدد صحیح ریشه این چند جمله ای باشد ، تقسیم کننده 16 است. بنابراین ، اگر یک چند جمله ای داده شده ریشه صحیح داشته باشد ، فقط می تواند 1 ± باشد. 2 پوند 4 پوند 8 پوند 16 پوند با تأیید مستقیم ، اطمینان حاصل می کنیم که عدد 2 ریشه این چند جمله ای باشد ، یعنی x3 - 5x2 - 2x + 16 \u003d (x - 2) Q (x) ، جایی که Q (x) چند جمله ای درجه دوم است

اسلاید 9

اعداد حاصل از 1 ، −3 ، −8 ضرایب چند جمله ای هستند که با تقسیم چند جمله ای اصلی به x - 2 بدست می آیند. از این رو ، نتیجه تقسیم: 1 · x2 + (–3) x + (–8) \u003d x2 - 3x - 8. درجه چند جمله ای حاصل از تقسیم همیشه 1 درجه از درجه اصلی است. بنابراین: x3 - 5x2 - 2x + 16 \u003d (x - 2) (x2 - 3x - 8).