مفهوم حداقل نقطه یک تابع. مقادیر عملکرد و حداکثر و حداقل امتیازات

نقطه extremeum یک تابع نقطه ای از حوزه عملکرد است که در آن مقدار تابع حداقل یا حداکثر مقدار خود را می گیرد. مقادیر تابع در این نقاط را افراط (حداقل و حداکثر) تابع می نامند.

تعریف... نقطه ایکس1 دامنه عملکرد f(ایکس) نامیده میشود حداکثر نقطه عملکرد ، اگر مقدار تابع در این نقطه بیشتر از مقادیر تابع در نقاط کاملاً نزدیک به آن واقع در سمت راست و چپ آن باشد (یعنی نابرابری f(ایکس0 ) > f(ایکس0 + Δ ایکس) ایکس1 بیشترین.

تعریف... نقطه ایکس2 دامنه عملکرد f(ایکس) نامیده میشود حداقل نقطه عملکرد، اگر مقدار تابع در این نقطه کمتر از مقادیر تابع در نقاط کاملاً نزدیک به آن واقع در سمت راست و چپ آن باشد (یعنی نابرابری f(ایکس0 ) < f(ایکس0 + Δ ایکس) ) در این حالت ، گفته می شود که عملکرد در نقطه وجود دارد ایکس2 کمترین.

بگذارید بگوییم اشاره کنید ایکس1 حداکثر نقطه تابع است f(ایکس) سپس در فاصله تا ایکس1 عملکرد افزایش می یابد ، بنابراین مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس)\u003e 0) و در فاصله بعد ایکس1 عملکرد کاهش می یابد ، بنابراین ، و مشتق یک تابع کمتر از صفر ( f "(ایکس) < 0 ). Тогда в точке ایکس1

اجازه دهید ما نیز فرض کنیم که نکته ایکس2 حداقل نقطه تابع است f(ایکس) سپس در فاصله تا ایکس2 تابع کاهش می یابد ، و مشتق تابع کمتر از صفر است ( f "(ایکس) < 0 ), а в интервале после ایکس2 تابع افزایش می یابد ، و مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس)\u003e 0). در این مورد ، همچنین در نقطه ایکس2 مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد.

قضیه فرما (یک معیار ضروری برای وجود یک حد افراطی از یک تابع)... اگر نقطه ایکس0 - نقطه extremeum از عملکرد f(ایکس) ، سپس در این مرحله مشتق تابع برابر است با صفر ( f "(ایکس) \u003d 0) یا وجود ندارد.

تعریف... به نقاطی که مشتق یک تابع صفر است یا وجود ندارد گفته می شود نقاط بحرانی .

مثال 1 بیایید یک تابع را در نظر بگیریم.

در نقطه ایکس \u003d 0 ، مشتق تابع برابر است با صفر ، بنابراین ، نقطه ایکس \u003d 0 نقطه بحرانی است. با این حال ، همانطور که در نمودار عملکرد مشاهده می شود ، در کل دامنه تعریف افزایش می یابد ، بنابراین نکته ایکس \u003d 0 نقطه افراطی این عملکرد نیست.

بنابراین ، شرایطی که مشتق یک تابع در یک نقطه برابر با صفر باشد یا وجود نداشته باشد ، شرایط لازم برای یک حالت افراطی است ، اما کافی نیست ، زیرا نمونه های دیگری از توابع که این شرایط برای آنها برآورده می شود ، اما این تابع در نقطه مربوطه دارای حد نهایی نیست ، می تواند ارائه شود. از این رو شما باید علائم کافی داشته باشید، اجازه می دهد تا قضاوت شود که آیا در یک نقطه حساس خاص افراطی وجود دارد و کدام یک حداکثر یا حداقل است.

قضیه (اولین معیار کافی برای وجود یک حد تابع از یک تابع). نقطه بحرانی ایکس0 f(ایکس) ، اگر مشتق تابع هنگام عبور از این نقطه تغییر علامت دهد و اگر علامت از "به اضافه" به "منفی" تغییر کند ، حداکثر نقطه و اگر از "منفی" به "بعلاوه" ، پس حداقل نقطه.

اگر نزدیک نقطه است ایکس0 ، در سمت چپ و راست آن ، مشتق علامت خود را حفظ می کند ، سپس این بدان معنی است که این تابع یا فقط در برخی از محله های نقطه کاهش می یابد یا فقط افزایش می یابد ایکس0 ... در این حالت ، در نقطه ایکس0 هیچ افراطی وجود ندارد

بنابراین، برای تعیین نقاط شدید عملکرد ، باید موارد زیر را انجام دهید :

1. مشتق تابع را پیدا کنید.
2. مشتق را روی صفر تنظیم کنید و نقاط بحرانی را تعیین کنید.
3. به صورت ذهنی یا روی کاغذ ، نقاط بحرانی را در محور عددی علامت گذاری کرده و علائم مشتق تابع را در فواصل بدست آمده تعیین کنید. اگر علامت مشتق از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند ، آنگاه نقطه بحرانی حداکثر نقطه و اگر از "منفی" به "بعلاوه" باشد ، حداقل نقطه.
4. مقدار تابع را در نقاط انتهایی محاسبه کنید.

مثال 2 موارد اضافی یک تابع را پیدا کنید .

تصمیم گیری بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

اجازه دهید مشتق را صفر کنیم تا نقاط مهم را پیدا کنیم:

.

از آنجا که برای هر مقدار از "x" مخرج صفر نیست ، ما عدد را برابر صفر می کنیم:

یک نکته مهم داشتید ایکس \u003d 3 بگذارید علامت مشتق را در فواصل مشخص شده توسط این نقطه تعیین کنیم:

در محدوده منهای بی نهایت تا 3 - علامت منهای ، یعنی عملکرد کاهش می یابد ،

در محدوده 3 به علاوه بی نهایت - علامت بعلاوه ، یعنی عملکرد افزایش می یابد.

یعنی اشاره کنید ایکس \u003d 3 حداقل امتیاز است.

بیایید مقدار تابع را در حداقل نقطه پیدا کنیم:

بنابراین ، نقطه افراطی تابع پیدا می شود: (3؛ 0) ، و آن حداقل نقطه است.

قضیه (دومین ملاک کافی برای وجود یک حد افراطی از یک تابع). نقطه بحرانی ایکس0 نقطه Extreme عملکرد است f(ایکس) اگر مشتق دوم تابع در این نقطه صفر نباشد ( f ""(ایکس) ≠ 0) ، و اگر مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد ( f ""(ایکس)\u003e 0) ، حداکثر نقطه ، و اگر مشتق دوم کمتر از صفر باشد ( f ""(ایکس) < 0 ), то точкой минимума.

نکته 1. اگر در نقطه باشد ایکس0 مشتقات اول و دوم ناپدید می شوند ، پس در این مرحله قضاوت در مورد وجود یک افراط بر اساس معیار کافی دوم غیرممکن است. در این حالت ، شما باید از اولین شاخص کافی برای عملکرد شدید استفاده کنید.

نکته 2. دومین معیار کافی برای extremeum یک تابع نیز قابل استفاده نیست در صورتی که مشتق اول در نقطه ثابت وجود نداشته باشد (در نتیجه مشتق دوم نیز وجود ندارد). در این حالت ، استفاده از اولین شاخص کافی برای عملکرد شدید نیز ضروری است.

شخصیت محلی افراط در عملکرد

از تعاریف فوق نتیجه می شود که حد نهایی یک تابع از نوع محلی است - این بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در مقایسه با نزدیکترین مقادیر است.

فرض کنید در یک بازه یک ساله به دنبال درآمد خود هستید. اگر در ماه مه 45000 روبل ، و در آوریل 42000 روبل و در ژوئن 39000 روبل درآمد کسب کرده اید ، پس درآمد ماه مه در مقایسه با نزدیکترین مقادیر حداکثر تابع درآمد است. اما در ماه اکتبر 71000 روبل ، در سپتامبر 75000 روبل و در نوامبر 74000 روبل درآمد کسب کردید ، بنابراین درآمد اکتبر در مقایسه با مقادیر نزدیک ، حداقل عملکرد درآمد است. و به راحتی می بینید که حداکثر در بین مقادیر آوریل-مه-ژوئن کمتر از حداقل سپتامبر-اکتبر-نوامبر است.

به طور کلی ، یک تابع می تواند چندین مورد اضافی در این بازه داشته باشد ، و ممکن است معلوم شود که حداقل تابع از هر حداکثر بیشتر است. بنابراین ، برای عملکرد نشان داده شده در شکل بالا ،

یعنی نباید فکر کرد که حداکثر و حداقل یک تابع به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر آن در کل بازه در نظر گرفته شده هستند. در حداکثر نقطه ، تابع فقط در مقایسه با مقادیری که در همه نقاط به اندازه کافی نزدیک به حداکثر نقطه دارد بیشترین مقدار را دارد و در حداقل نقطه - کوچکترین مقدار فقط در مقایسه با مقادیری که در تمام نقاط به اندازه کافی نزدیک دارد به حداقل نقطه

بنابراین ، می توان مفهوم فوقانی نقاط انتهایی یک تابع را روشن کرد و حداقل نقاط را به عنوان حداقل نقاط محلی و حداکثر نقاط - حداکثر نقاط محلی را فراخوانی کرد.

به دنبال موارد اضافی یک عملکرد با هم هستیم

مثال 3

راه حل: این تابع در کل خط عددی تعریف شده و مداوم است. مشتق آن در کل خط اعداد نیز وجود دارد. بنابراین ، در این حالت ، نقاط مهم فقط مواردی هستند که در آنها ، یعنی ، از کجا و نقاط بحرانی و کل حوزه عملکرد را به سه بازه یکنواختی تقسیم کنید:. بیایید در هر یک از آنها یک نقطه کنترل انتخاب کنیم و علامت مشتق را در این نقطه پیدا کنیم.

برای فاصله ، نقطه کنترل می تواند این باشد: با گرفتن یک نقطه در فاصله ، می گیریم و با گرفتن یک امتیاز در فاصله ، باید داشته باشیم. بنابراین ، در فواصل و ، و در فاصله. با توجه به اولین معیار کافی برای extremeum ، در نقطه Extremum وجود ندارد (از آنجا که مشتق در این فاصله علامت خود را حفظ می کند) و در نقطه عملکرد تابع حداقل است (از آنجا که مشتق هنگام عبور از این نقطه علامت را از منفی به مثبت تغییر می دهد). بیایید مقادیر متناظر تابع را پیدا کنیم: ، و. در این بازه ، تابع کاهش می یابد ، همانطور که در این فاصله وجود دارد و در این بازه ، مانند این بازه ، افزایش می یابد.

برای روشن ساختن نمودار ، نقاط تلاقی آن با محورهای مختصات را پیدا خواهیم کرد. زیرا ، ما معادله ای را بدست می آوریم که ریشه آن باشد و به عنوان مثال دو نقطه (0؛ 0) و (4؛ 0) نمودار تابع پیدا می شود. با استفاده از تمام اطلاعات به دست آمده ، گرافیکی را ایجاد می کنیم (به ابتدای مثال مراجعه کنید).

برای بررسی خودکار در حین محاسبات ، می توانید استفاده کنید ماشین حساب مشتق آنلاین .

مثال 4موارد اضافی تابع را پیدا کرده و نمودار آن را بسازید.

دامنه تابع کل خط عدد است ، به جز نقطه ، یعنی ...

برای کوتاه کردن تحقیق ، می توانید از این واقعیت استفاده کنید که این عملکرد یکنواخت است ، از آنجا که ... بنابراین نمودار آن در مورد محور متقارن است اوه و اکتشاف فقط برای یک بازه زمانی قابل انجام است.

مشتق را پیدا کنید و نقاط حساس تابع:

1) ;

2) ,

اما عملکرد در این مرحله شکسته می شود ، بنابراین نمی تواند یک نقطه افراط باشد.

بنابراین ، تابع داده شده دارای دو نقطه مهم است: و. با در نظر گرفتن برابری عملکرد ، اجازه دهید فقط با توجه به معیار دوم کافی از حد شدید ، نقطه را بررسی کنیم. برای این ، مشتق دوم را پیدا می کنیم و علامت آن را در تعریف کنید: می گیریم. از آنجا که ، و سپس حداقل نقطه عملکرد است ، در حالی که .

برای بدست آوردن تصویر کامل تر از نمودار یک تابع ، بیایید رفتار آن را در مرزهای حوزه تعریف بشناسیم:

(در اینجا نماد نشان دهنده میل است ایکس به صفر در سمت راست ، و ایکس مثبت باقی می ماند؛ به همین ترتیب به معنای آرزو است ایکس در سمت چپ به صفر ، و ایکس منفی باقی می ماند). بنابراین ، اگر ، پس علاوه بر این ،

,

آنهایی که اگر پس از آن.

نمودار عملکرد هیچ نقطه تلاقی با محورها ندارد. تصویر در ابتدای مثال است.

برای بررسی خودکار در حین محاسبات ، می توانید استفاده کنید ماشین حساب مشتق آنلاین .

ما با هم به جستجوی موارد اضافی عملکرد می پردازیم

مثال 8موارد اضافی عملکرد را پیدا کنید.

تصمیم گیری بیایید دامنه عملکرد را پیدا کنیم. از آنجا که نابرابری باید ادامه داشته باشد ، از آنچه بدست می آوریم.

بیایید اولین مشتق تابع را پیدا کنیم.

1 درجه

1 درجه تعیین قسمت فوقانی عملکرد.

مفاهیم حداکثر ، حداقل ، افراطی یک تابع از دو متغیر مشابه مفاهیم مربوط به یک تابع از یک متغیر مستقل است.

اجازه دهید تابع z \u003d \u003df (ایکس؛ y) در بعضی مناطق تعریف شده است D ، نقطه N (x 0y 0) د.

نقطه (x 0y 0) یک نقطه نامیده می شود بیشترین تابع z= f (ایکس؛y) ،اگر محله  نقطه وجود داشته باشد (x 0y 0) ، چه برای هر نقطه (x؛ y) ، متفاوت از (x 0y 0) از این محله نابرابری f (ایکس؛y)< f (x 0y 0). در شکل 12: N 1 - حداکثر نقطه ، الف N 2 - حداقل نقطه عملکرد z \u003d \u003df (ایکس؛y)

نکته کمترین توابع: برای همه نقاط (x 0y 0) ،غیر از (x 0y 0) ،از d - همسایگی نقطه (x 0y 0) نابرابری برقرار است: f (x 0y 0)\u003ef (x 0y 0).

حد نهایی یک تابع از سه یا چند متغیر به طور مشابه تعیین می شود.

مقدار تابع در نقطه حداکثر (حداقل) فراخوانی می شود حداکثر (حداقل) کارکرد.

حداکثر و حداقل تابع آن را فراخوانی می کند افراط و تفریط

توجه داشته باشید که ، طبق تعریف ، نقطه انتهایی عملکرد در دامنه عملکرد قرار دارد. حداکثر و حداقل داشته باشد محلی نویسه (محلی): مقدار یک تابع در یک نقطه (x 0y 0)با مقادیر آن در نقاط نزدیک به اندازه کافی مقایسه می شود (x 0y 0). در محدوده ی د یک تابع می تواند چندین مورد اضافی داشته باشد یا هیچ.

2 درجه شرایط لازم برای افراطی.

شرایط وجود یک حد اکثر تابع را در نظر بگیرید.

از نظر هندسی برابر است f " y (x 0y 0)\u003d 0 و f " y (x 0y 0) \u003d0 به این معنی است که در نقطه انتهایی عملکرد z = f (ایکس؛ y) صفحه مماس با سطح نشان دهنده عملکرد f (ایکس؛ y) ، موازی با هواپیما اوه هو از آنجا که معادله صفحه مماس است z \u003d \u003dz 0.

اظهار نظر. یک تابع می تواند در نقاطی که حداقل یکی از مشتقات جزئی وجود ندارد ، دارای حالت افراطی باشد. به عنوان مثال ، عملکرد حداکثر در نقطه است در باره(0؛ 0) ، اما در این مرحله مشتقات جزئی ندارد.

نقطه ای که در آن مشتقات جزئی درجه یک تابع z = f (ایکس؛y) برابر با صفر هستند ، یعنی f " ایکس = 0, f" y \u003d 0 نامیده می شود نقطه ثابت تابع z

نقاط ساکن و نقاطی که حداقل یک مشتق جزئی در آنها وجود ندارد ، نامیده می شوند نقاط بحرانی.

در نقاط حساس ، یک عملکرد ممکن است دارای افراط باشد. برابری مشتقات جزئی با صفر شرط لازم اما کافی برای وجود یک افراط نیست. به عنوان مثال ، عملکرد را در نظر بگیرید z = هو برای آن ، نقطه 0 (0؛ 0) حیاتی است (در آنجا است که آنها محو می شوند). با این حال ، عملکرد فوق العاده آن است z \u003d xy ندارد ، زیرا در یک محله به اندازه کافی کوچک از نقطه O (0؛ 0) نقاطی برای آن وجود دارد z\u003e\u003e 0 (امتیازهای I و III چهارم) و z< 0 (امتیاز دو و چهارم چهارم).

بنابراین ، برای یافتن موارد اضافی یک تابع در یک منطقه معین ، لازم است که هر نقطه بحرانی از تابع را تحت تحقیقات تکمیلی قرار دهیم.

نقاط ثابت با حل سیستم معادلات پیدا می شوند

fx (x، y) \u003d 0 ، f "y (x ، y) \u003d 0

(شرایط لازم برای یک حالت افراطی).

سیستم (1) معادل یک معادله است df (x ، y) \u003d 0. به طور کلی ، در نقطه extremeum P (a ، b) تابع f (x ، y) یا df (x ، y) \u003d 0، یا df (a ، b)) وجود ندارد.

3 درجه شرایط کافی برای افراطی... بگذار P (a؛ b) - نقطه ثابت عملکرد f(x ، y) ، یعنی ... df (a ، b) \u003d 0... سپس:

چه می شود اگر d2f (a ، b)< 0 در ، پس f(الف ، ب) وجود دارد بیشترین تابع f (x ، y);

ب) اگر d2f (a ، b)\u003e 0 در ، پس f(الف ، ب)وجود دارد کمترین تابع f (x ، y);

ج) اگر d2f (a ، b) تغییر علامت ، پس f (الف ، ب) افراطی در عملکرد نیست f (x ، y).

این شرایط معادل موارد زیر است: بگذارید و بیایید آهنگسازی کنیم تبعیض آمیز Δ \u003d AC -B²

1) اگر Δ\u003e 0 باشد ، آنگاه تابع در نقطه انتهایی دارد P (a؛ b) یعنی حداکثر اگر آ<0 (یا از جانب<0 ) ، و حداقل اگر A\u003e 0 (یا C\u003e 0);

2) اگر Δ< 0, то экстремума в точке P (a؛ b) نه

3) اگر Δ \u003d 0 باشد ، سوال از وجود تند عملکرد در نقطه است P (a؛ b) باز می ماند (تحقیقات بیشتر لازم است).

4 درجه مورد تابعی از چندین متغیر... برای تابعی از سه یا بیشتر متغیرها ، شرایط لازم برای وجود یک حالت افراطی شبیه شرایط (1) و شرایط کافی مشابه شرایط a) ، b) ، c) 3 درجه است.

مثال... عملکرد را بررسی کنید z \u003d x³ + 3xy²-15x-12y.

تصمیم گیری بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم و سیستم معادلات را بسازیم (1):

با حل سیستم ، چهار نقطه ثابت بدست می آوریم:

مشتقات مرتبه 2 را پیدا کنید

و تبعیض را سرود Δ \u003d AC - B² برای هر نقطه ثابت

1) برای یک امتیاز: , Δ \u003d AC-B² \u003d 36-144<0 ... بنابراین هیچ نقطه افراطی در نقطه وجود ندارد.

2) برای نقطه P2: A \u003d 12 ، B \u003d 6 ، C \u003d 12 ؛ Δ \u003d 144 - 36\u003e 0 ، A\u003e 0... در نقطه P2 ، عملکرد حداقل است. این حداقل برابر است با مقدار تابع در x \u003d 2 ، y \u003d 1: zmin \u003d 8 + 6-30-12 \u003d -28.

3) برای یک امتیاز: A \u003d -6 ، B \u003d -12 ، C \u003d -6 ؛ Δ \u003d 36-144<0 ... هیچ افراطی وجود ندارد.

4) برای نقطه P 4: A \u003d -12 ، B \u003d -6 ، C \u003d -12 ؛ Δ \u003d 144-36\u003e 0... در نقطه Р4 ، تابع حداکثر برابر با است Zmax \u003d -8 -6 + 30 + 12 \u003d 28.

5 درجه افراط شرطی... در ساده ترین حالت افراط شرطی تابع f(x ، y) حداکثر یا حداقل این تابع نامیده می شود ، به شرطی که آرگومانهای آن با معادله مرتبط شوند φ (x ، y) \u003d 0 (معادله محدودیت) برای یافتن حد نهایی شرطی f(x ، y) در حضور رابطه φ (x ، y) \u003d 0، به اصطلاح را تشکیل می دهند عملکرد لاگرانژ

F (ایکس،y) \u003df (ایکس،y) +λφ (ایکس،y) ،

جایی که λ یک فاکتور ثابت تعریف نشده است و افراط معمول این عملکرد کمکی را جستجو می کند. شرایط لازم برای یک حالت افراطی به یک سیستم سه معادله ای کاهش می یابد

با سه ناشناخته x ، y ، λ، به طور کلی ، برای تعیین این ناشناخته ها از آن امکان پذیر است.

سوال از وجود و ماهیت extremeum شرطی بر اساس مطالعه علامت دیفرانسیل دوم تابع لاگرانژ حل شده است

برای سیستم مقادیر تحت آزمایش x ، y ، λبه دست آمده از (2) به شرطی که dx و دو مربوط به معادله

.

یعنی عملکرد f(x ، y) حداکثر شرطی دارد اگر d²F< 0 ، و اگر حداقل شرط باشد d²F\u003e 0... به طور خاص ، اگر تفکیک Δ برای عملکرد F (x ، y) در یک نقطه ثابت مثبت است ، سپس در این نقطه حداکثر شرطی از تابع وجود دارد f(x ، y) ، اگر آ< 0 (یا از جانب< 0) ، و اگر حداقل شرط باشد A\u003e O (یا C\u003e 0).

به همین ترتیب ، حد نهایی شرطی تابعی از سه یا چند متغیر در حضور یک یا چند معادله محدودیت یافت می شود (با این وجود تعداد آنها باید از تعداد متغیرها کمتر باشد). در اینجا لازم است به اندازه معادلات محدودیت ، فاکتورهای نامشخصی را در تابع لاگرانژ وارد کنیم.

مثال. نتیجه نهایی را پیدا کنید z \u003d 6-4x -3بلهبه شرطی که متغیرها ایکس و در معادله را برآورده کن x² + y² \u003d 1.

تصمیم گیری از نظر هندسی ، مسئله به یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر مورد استفاده کاهش می یابد z سطح z \u003d 6 - 4x - Zu برای نقاط تلاقی آن با استوانه x2 + y2 \u003d 1.

ما تابع لاگرانژ را می سازیم F (x ، y) \u003d 6 -4x -3y + λ (x2 + y2 -1)).

ما داریم ... شرایط لازم به سیستم معادلات می دهد

حل آن را پیدا می کنیم:

.

,

دF \u003d 2λ (dx ² +dy ...)

اگر تو ، پس دF\u003e 0، و بنابراین ، در این مرحله تابع حداقل شرطی دارد. اگر و سپس دF<0, و بنابراین ، در این مرحله تابع دارای حداکثر شرطی است.

به این ترتیب

6 درجه بالاترین و کمترین مقادیر تابع.

اجازه دهید تابع z \u003d \u003df (ایکس؛ y) تعریف شده و مداوم در یک منطقه بسته محدود است . سپس در بعضی نقاط می رسد بزرگترین آن م و کوچکترین تی ارزشها (اصطلاحاً افراطی جهانی) این مقادیر با عملکرد در نقاط واقع در داخل منطقه بدست می آیند , یا در نقاطی که در مرز منطقه قرار دارند.

یک الگوریتم ساده برای یافتن نقاط شدید.

• مشتق تابع را پیدا کنید
• این مشتق را برابر با صفر کنید
• مقادیر متغیر عبارت حاصل را پیدا کنید (مقادیر متغیری که در آن مشتق به صفر تبدیل می شود)
• ما خط مختصات را با این مقادیر به فواصل زمانی تقسیم می کنیم (و نقاط شکست را فراموش نکنید ، که باید روی خط نیز اعمال شوند) ، همه این نقاط را برای قسمت فوقانی "مشکوک" می نامند
• ما محاسبه می کنیم که در کدام یک از این بازه ها مشتق مثبت باشد و در کدام منفی. برای این کار باید مقدار را از فاصله در مشتق جایگزین کنید.

از نقاط مشکوک به افراط ، لازم است دقیقاً پیدا کنید. برای این کار ، فاصله های خود را در خط مختصات بررسی می کنیم. اگر هنگام عبور از نقطه ای ، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند ، این نقطه خواهد بود بیشترین، و اگر از منفی به مثبت باشد ، پس کمترین.

برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع ، باید مقدار تابع را در انتهای قطعه و در نقاط انتهایی محاسبه کنید. سپس بالاترین و کمترین مقدار را انتخاب کنید.

مثالی را در نظر بگیرید
مشتق را پیدا کنید و آن را برابر با صفر کنید:

مقادیر بدست آمده از متغیرها به خط مختصات اعمال می شود و علامت مشتق در هر یک از فواصل محاسبه می شود. خوب ، برای مثال ، برای اولین بار بیایید بگیریم-2 ، پس مشتق خواهد بود-0,24 ، برای دومی که می گیریم0 ، پس مشتق خواهد بود2 ، و برای سومین مورد استفاده می کنیم2 ، پس مشتق خواهد بود-0.24. علائم مناسب را پایین می گذاریم.

می بینیم که هنگام عبور از نقطه -1 ، مشتق علامت منهای را به مثبت تغییر می دهد ، یعنی حداقل نقطه خواهد بود و هنگام عبور از 1 - به ترتیب از جمع به منفی ، این یک نقطه حداکثر است.

مقادیر عملکرد و حداکثر و حداقل امتیازات

بزرگترین مقدار عملکرد

کوچکترین مقدار عملکرد

همانطور که پدرخوانده می گفت: "این هیچ چیز شخصی نیست." فقط مشتقات!

12 ، وظیفه آمار بسیار دشوار در نظر گرفته می شود ، و همه به این دلیل است که بچه ها این مقاله را نخوانده اند (شوخی). در بیشتر موارد ، بی احتیاطی مقصر است.

12 وظیفه دو نوع است:

1. حداکثر / حداقل نقطه را پیدا کنید (از شما خواسته می شود تا مقادیر "x" را پیدا کنید).
2. بزرگترین / کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنید (بخواهید مقادیر "y" را پیدا کنید).

چگونه می توان در این موارد پیش رفت؟

نقطه بالا / پایین را پیدا کنید

1. آن را روی صفر تنظیم کنید.
2. "x" پیدا شده یا پیدا شده است و نقاط حداقل یا حداکثر خواهد بود.
3. علائم را با استفاده از روش فاصله مشخص کنید و انتخاب کنید که کدام نقطه در کار مورد نیاز است.

وظایف با آزمون:

حداکثر نقطه تابع را پیدا کنید

• مشتق را می گیریم:

درست است ، ابتدا عملکرد افزایش می یابد ، سپس کاهش می یابد - این حداکثر نقطه است!
پاسخ: 15 پوند

حداقل نقطه تابع را پیدا کنید

• بیایید مشتق را تبدیل کنیم و از آن استفاده کنیم:

• عالی! اول ، عملکرد کاهش می یابد ، سپس افزایش می یابد - این حداقل نقطه است!

پاسخ: −2

بزرگترین / کوچکترین مقدار عملکرد را پیدا کنید

1. مشتق تابع پیشنهادی را در نظر بگیرید.
   
2. آن را روی صفر تنظیم کنید.
   
3. "x" پیدا شده و نقطه حداقل یا حداکثر خواهد بود.
   
4. با استفاده از روش فاصله نویسه ها را مشخص کنید و انتخاب کنید که کدام نقطه در کار مورد نیاز است.
5. در چنین وظایفی ، همیشه یک شکاف تعیین می شود: x های موجود در مرحله 3 باید در این شکاف گنجانده شوند.
6. با جایگزینی حداکثر یا حداقل نقطه بدست آمده در معادله اولیه ، بزرگترین یا کوچکترین مقدار تابع را بدست می آوریم.

وظایف با آزمون:

بیشترین مقدار تابع را در بخش پیدا کنید [−4؛ −1]

پاسخ: −6

بیشترین مقدار یک تابع را در یک بخش پیدا کنید

• بیشترین مقدار تابع برابر است با "11" در حداکثر نقطه (روی این بخش) "0".

پاسخ: 11

نتیجه گیری:

1. 70٪ اشتباهات در این واقعیت نهفته است که بچه ها به خاطر نمی آورند که در پاسخ به چه چیزی بالاترین / کمترین مقدار تابع باید "y" نوشته شودو در نقطه حداکثر / حداقل نوشتن "x".
2. مشتق برای یافتن مقادیر تابع هیچ راه حلی ندارد؟مهم نیست ، نقاط شدید شکاف را جایگزین کنید!
3. پاسخ را می توان همیشه به صورت کسر عددی یا اعشاری نوشت. نه؟ سپس مثال را دوباره حل کنید.
4. در بیشتر کارها ، یک امتیاز به دست می آید و تنبلی ما برای بررسی حداکثر یا حداقل توجیه می شود. یک امتیاز گرفتیم - با خیال راحت می توانید در پاسخ بنویسید.
5. ولی هنگام جستجوی مقدار عملکرد نباید این کار را انجام دهید! اطمینان حاصل کنید که این نقطه صحیح است ، در غیر این صورت ممکن است مقادیر شدید شکاف بزرگتر یا کوچکتر باشد.

عملکرد و مطالعه ویژگی های آن یکی از فصل های اصلی ریاضیات مدرن را به خود اختصاص داده است. م componentلفه اصلی هر تابع نمودارهایی است که نه تنها خصوصیات آن ، بلکه پارامترهای مشتق این تابع را نیز نشان می دهد. بیایید نگاهی به این موضوع دشوار بیندازیم. بنابراین بهترین راه برای جستجوی حداکثر و حداقل نقاط یک تابع چیست؟

عملکرد: تعریف

هر متغیری که به نوعی به مقادیر کمیت دیگر بستگی داشته باشد را می توان یک تابع نامید. به عنوان مثال ، تابع f (x 2) درجه دوم است و مقادیر کل مجموعه x را تعیین می کند. بگذارید بگوییم که x \u003d 9 ، سپس مقدار تابع ما 9 2 \u003d 81 خواهد بود.

توابع به اشکال مختلف وجود دارد: منطقی ، بردار ، لگاریتمی ، مثلثاتی ، عددی و غیره. ذهن برجسته ای مانند لاکروا ، لاگرانژ ، لایب نیتس و برنولی درگیر مطالعه خود بودند. نوشته های آنها به عنوان یک سنگر در روشهای مدرن مطالعه عملکردها عمل می کند. قبل از یافتن حداقل امتیازها ، درک معنای اصلی عملکرد و مشتق آن بسیار مهم است.

مشتق و نقش آن

همه توابع به مقادیر متغیر خود وابسته هستند ، به این معنی که آنها می توانند در هر زمان مقدار خود را تغییر دهند. روی نمودار ، این به صورت یک منحنی نشان داده می شود که یا پایین می رود یا در امتداد مختصر بالا می رود (این مجموعه کل اعداد "y" در امتداد عمود نمودار است). بنابراین تعریف نقطه حداکثر و حداقل تابع فقط با این "نوسانات" مرتبط است. بگذارید توضیح دهیم این رابطه چیست.

مشتق هر تابعی برای بررسی خصوصیات اصلی آن و محاسبه سرعت تغییر عملکرد (برای مثال تغییر مقدار آن بسته به متغیر "x") روی نمودار رسم می شود. در لحظه افزایش تابع ، نمودار مشتق آن نیز افزایش می یابد ، اما در هر ثانیه ممکن است تابع شروع به کاهش کند و سپس نمودار مشتق کاهش می یابد. به نقاطی که مشتق از علامت منهای به جمع می رود حداقل نقاط گفته می شود. برای اینکه بدانید چگونه حداقل امتیازها را پیدا کنید ، باید بهتر درک کنید

چگونه مشتق را محاسبه کنم؟

تعریف و تابع متضمن مفاهیم مختلفی است به طور كلی ، تعریف كامل مشتق را می توان به صورت زیر بیان كرد: این مقداری است كه میزان تغییر تابع را نشان می دهد.

روش ریاضی تعریف آن برای بسیاری از دانشجویان دشوار به نظر می رسد ، اما در واقع همه چیز بسیار ساده تر است. شما فقط باید برای یافتن مشتق هر تابعی از برنامه استاندارد پیروی کنید. در زیر توضیح داده شده است که چگونه می توانید حداقل نقطه یک تابع را بدون اعمال قوانین تمایز و بدون حفظ جدول مشتقات پیدا کنید.

1. می توانید مشتق یک تابع را با استفاده از نمودار محاسبه کنید. برای انجام این کار ، شما باید خود تابع را به تصویر بکشید ، سپس یک نقطه بر روی آن بگیرید (نقطه A در شکل). یک خط را به صورت عمودی به پایین به سمت محور ابسیسا رسم کنید (نقطه x 0) ، و در نقطه A یک خط مماس به نمودار عملکرد بکشید. محور ابسیسا و خط مماس زاویه خاصی را تشکیل می دهند. برای محاسبه مقدار سرعت افزایش عملکرد ، محاسبه مماس این زاویه ضروری است.
2. به نظر می رسد که مماس زاویه بین مماس و جهت محور x مشتق تابع در یک بخش کوچک با نقطه A است. این روش یک روش هندسی برای تعیین مشتق محسوب می شود.

روشهای تحقیق در مورد عملکرد

در برنامه درسی ریاضیات مدرسه ، یافتن حداقل نقطه یک تابع از دو طریق امکان پذیر است. ما قبلاً روش اول را با استفاده از نمودار تجزیه و تحلیل کرده ایم ، اما چگونه مقدار عددی مشتق را تعیین کنیم؟ برای این کار ، شما باید چندین فرمول را بیاموزید که خصوصیات مشتق را توصیف می کند و به تبدیل متغیرهایی مانند "x" به اعداد کمک می کند. روش زیر جهانی است ، بنابراین می توان آن را تقریباً در انواع توابع (هندسی و لگاریتمی) اعمال کرد.

1. لازم است که تابع را با تابع مشتق برابر کنیم و سپس با استفاده از قوانین تمایز ، عبارت را ساده کنیم.
2. در بعضی موارد ، وقتی تابعی داده می شود که متغیر "x" در مقسوم علیه است ، لازم است دامنه مقادیر مجاز را تعیین کنید ، به غیر از نقطه "0" از آن (به همین دلیل ساده که در ریاضیات به هیچ وجه نمی توانید بر صفر تقسیم کنید).
3. پس از آن ، شما باید شکل اصلی تابع را به یک معادله ساده تبدیل کنید ، کل عبارت را به صفر برسانید. به عنوان مثال ، اگر تابع به این شکل بود: f (x) \u003d 2x 3 + 38x ، بنابراین طبق قوانین تمایز مشتق آن f "(x) \u003d 3x 2 +1 است. سپس این عبارت را به یک معادله از شکل زیر تبدیل می کنیم: 3x 2 +1 \u003d 0 ...
4. پس از حل معادله و یافتن نقاط "x" ، باید آنها را بر روی ابسیسا بکشید و تعیین کنید که آیا مشتق در این مناطق بین نقاط مشخص شده مثبت است یا منفی. پس از تعیین مشخص خواهد شد که در چه نقطه ای تابع شروع به کاهش می کند ، یعنی نشانه خود را از منفی به عکس تغییر می دهد. به این ترتیب می توانید هم حداقل و هم حداکثر امتیاز را پیدا کنید.

قوانین تمایز

اساسی ترین م componentلفه در مطالعه یک تابع و مشتق آن ، آگاهی از قوانین تمایز است. فقط با کمک آنها می توان عبارات حجیم و عملکردهای پیچیده بزرگ را تغییر داد. بیایید با آنها آشنا شویم ، تعداد کمی از آنها وجود دارد ، اما همه آنها به دلیل خواص طبیعی توابع قدرت و لگاریتمی بسیار ساده هستند.

1. مشتق هر ثابت صفر است (f (x) \u003d 0). یعنی مشتق f (x) \u003d x 5 + x - 160 به شکل زیر در می آید: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. مشتق از جمع دو اصطلاح: (f + w) "\u003d f" w + fw ".
3. مشتق یک تابع لگاریتمی: (log a d) "\u003d d / ln a * d. این فرمول برای انواع لگاریتم ها اعمال می شود.
4. درجه مشتق: (x n) "\u003d n * x n-1. به عنوان مثال ، (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x.
5. مشتق یک تابع سینوسی: (sin a) "\u003d cos a. اگر گناه زاویه a 0.5 باشد ، مشتق آن /3 / 2 است.

امتیازات افراطی

ما قبلاً فهمیدیم که چگونه حداقل نقاط را پیدا کنیم ، اما یک مفهوم از حداکثر نقاط یک تابع نیز وجود دارد. اگر حداقل نقاطی را نشان می دهد که در آن تابع از علامت منفی به بعلاوه عبور می کند ، حداکثر نقاط آن نقاطی از محور ابشسی هستند که در آن مشتق تابع از جمع به مخالف تغییر می کند - منهای.

با روشی که در بالا توضیح داده شد می توانید پیدا کنید ، فقط بخاطر داشته باشید که آنها بخشهایی را نشان می دهند که عملکرد شروع به کاهش می کند ، یعنی مشتق کمتر از صفر خواهد بود.

در ریاضیات ، معمول است كه هر دو مفهوم را تعمیم داده و عبارت "نقاط فوق العاده" را جایگزین آنها كنیم. وقتی وظیفه برای تعیین این نقاط درخواست می کند ، به این معنی است که لازم است مشتق این تابع را محاسبه کرده و حداقل و حداکثر نقاط را پیدا کنید.