تداوم یک تابع با یک مشتق. تمایز پذیری توابع

تعریف: مشتق یک تابع در یک نقطه محدودیتی است که نسبت افزایش آن در این نقطه به افزایش متناظر آرگومان هنگامی که دومی به صفر تمایل دارد تمایل دارد:

یعنی اگر در تعریف شده باشد ، پس

قضیه 1:

نمودار یک تابع یک خط مماس غیر عمودی دارد اگر و فقط اگر مقدار محدودی از مشتق این تابع در یک نقطه مشخص وجود داشته باشد.

شواهد و مدارک:

بگذارید یک مقدار f '() - محدود وجود داشته باشد

بگذارید یک مماس غیر عمودی وجود داشته باشد \u003d\u003e وجود دارد - محدود.

سکانت به خط مماس تمایل دارد.

قضیه اثبات شده است.

بلیط 2 تداوم یک تابع با یک مشتق.

یک تابع f (x) که در بعضی از محله های یک نقطه a تعریف شده است در این مرحله اگر مداوم نامیده شود

قضیه: (شرط لازم برای وجود یک مشتق)

اگر تابع نقطه پایانی داشته باشد ، در نقطه مداوم است.

شواهد و مدارک:

بنابراین ، در یک نقطه مداوم است.

قضیه اثبات شده است.

اظهار نظر : برعکس درست نیست ، اگر یک تابع در یک نقطه مداوم باشد ، نتیجه نمی شود که در این نقطه مشتق داشته باشد.

بیانیه : اگر تابعی در یک نقطه مشتقات راست و چپ داشته باشد ، در دو سمت راست و چپ مداوم است.

بلیط 3

مشتق از جمع ، محصول ، ضریب.

مشتق تابع معکوس.

تعریف عملکرد متمایز شرط لازم و کافی برای تفاوت پذیری.

اجازه دهید تابع در یک نقطه مشتق داشته باشد (متناهی): .

سپس ، برای كافی كوچك ، می توان آن را به صورت مجموع و مقداری تابع نوشت ، كه ما آن را نشان می دهیم ، كه همراه با: صفر است

و افزایش در یک نقطه را می توان به صورت زیر نوشت:

یا (1) ,

از این گذشته ، این عبارت به عنوان تابعی از آن درک می شود به طوری که رابطه آن همراه با آن به صفر می رسد.

توضیح:

تعریف .

اگر یک تابع در یک نقطه قابل تغییر باشد ، نامیده می شود: (2),

جایی که A به آن بستگی ندارد ، اما به طور کلی به آن بستگی دارد.

قضیه 1:

برای اینکه یک تابع در یک نقطه قابل تغییر باشد ، لازم است که در این نقطه مشتق محدودی داشته باشد.

شواهد و مدارک:

کفایت شرایط در بالا اثبات شد: وجود یک مشتق محدود به معنای امکان نمایش در شکل (1) است ، جایی که می توانیم آن را قرار دهیم.

ضرورت شرط ... اجازه دهید تابع در یک نقطه قابل تغییر باشد. سپس با فرض ، از (2) بدست می آوریم.

حد سمت راست در وجود دارد و برابر است با A:.

این بدان معنی است که یک مشتق وجود دارد. قضیه اثبات شده است.

بلیط 6 عملکرد دیفرانسیل ، معنای هندسی آن.

اگر تابع f مشتق دارد f΄ (x ای ) در نقطه ایکس ای ، سپس یک محدودیت وجود دارد که Δ f \u003d f (x ای + Δ x) -f (x ای ) ،، یا کجا A \u003d f΄ (x ای ) .

تعریف:

تابع f در نقطه متفاوت است ایکس ای ، اگر افزایش آن را می توان به صورت زیر نشان داد:

جایی که آΔ x \u003d df. (*)

دیفرانسیل قسمت اصلی خطی افزایش عملکرد است.

اگر مشتق متناهی وجود داشته باشد f΄ (x ای ) در نقطه ایکس ای ، سپس تابع f (x) در این مرحله قابل تغییر است.

مکالمه نیز درست است: اگر تابع باشد f در نقطه متفاوت است ایکس ای ، یعنی افزایش آن را می توان به صورت (*) نشان داد ، سپس یک مشتق در نقطه دارد ایکس ای مساوی با آ:

معنای هندسی دیفرانسیل:

آ و ب - نقاط نمودار f (x)مربوط به مقادیر ایکس ای و (ایکس ای + Δ ایکس) متغیر مستقل دستورات را نشان می دهد آ و ب به ترتیب برابر است f (x ای ) و f (x ای + Δ ایکس)... افزایش عملکرد Δ f \u003d f (x ای + Δ x) -f (x ای ) در نقطه ایکس ای برابر با طول قطعه است BD و می تواند به صورت جمع Δ نمایش داده شود f \u003d BD \u003d DC + CBجایی که DC \u003d tgαΔ x \u003d f΄ (x ای ) Δ ایکس و α زاویه بین مماس در نقطه است آ به نمودار و جهت مثبت محور ایکس... از این مشخص است که DC دیفرانسیل عملکرد است fدر نقطه ایکس ای :

DC \u003d df \u003d f΄ (x ای ) Δ ایکس.

در این حالت ، سهم عضو دوم CB افزایش Δ f ارزش است این مقدار ، برای بزرگ Δ ایکس، شاید حتی بیشتر از اصطلاح اصلی باشد ، اما یک مرتبه بینهایت کم از Δ است ایکسوقتی Δ x → 0.

مشکل سرعت یک نقطه متحرک

اجازه دهید - قانون حرکت مستقیم یک نقطه ماده. بگذارید از طریق مسیر پیموده شده توسط نقطه در زمان و از طریق مسیر پیموده شده در زمان مشخص کنیم. سپس نقطه مسیری برابر با :. نسبت را متوسط \u200b\u200bسرعت نقطه در طول زمان از تا می نامند. کمتر ، یعنی هرچه فاصله زمانی از کوتاهتر باشد ، سرعت متوسط \u200b\u200bبهتر حرکت یک نقطه را در یک زمان مشخص می کند. بنابراین ، طبیعی است که مفهوم سرعت را در یک لحظه مشخص تعریف کنیم ، آن را به عنوان حد متوسط \u200b\u200bسرعت برای فاصله از تا تعریف کنیم ، زمانی که:

مقدار را سرعت لحظه ای یک نقطه در یک لحظه معین می نامند.

مماس به یک منحنی معین

اجازه دهید یک منحنی مداوم در صفحه با یک معادله داده شود. لازم است در یک نقطه مماس غیر عمودی به این منحنی رسم شود ... از آنجا که نقطه مماس داده شده است ، بنابراین برای حل مشکل لازم است شیب مماس را پیدا کنید. از هندسه مشخص شده است که ، کجا زاویه شیب مماس به جهت مثبت محور است (شکل را ببینید). از طریق امتیاز و بیایید یک ثانیه ترسیم کنیم ، زاویه ای که ثانیه با جهت مثبت محور تشکیل می دهد کجاست. شکل نشان می دهد چه چیزی ، در کجا. شیب مماس به یک منحنی معین را در یک نقطه می توان بر اساس تعریف زیر پیدا کرد.

مماس منحنی در یک نقطه ، موقع تمایل نقطه به نقطه ، موقعیت محدود کننده ثانیه نامیده می شود . از این رو نتیجه می شود که .

تعریف مشتق شده

عمل ریاضی مورد نیاز برای حل مسائلی که در بالا بحث شد ، یکسان است. بیایید با تجزیه و تحلیل از س abstractالات خاصی که باعث آن شده است ، به ماهیت تحلیلی این عملیات پی ببریم.

اجازه دهید تابع در برخی از بازه ها تعریف شود. بیایید از این فاصله مقداری بگیریم. بیایید مقداری افزایش (مثبت یا منفی) اضافه کنیم. مقدار جدید تابع با این مقدار جدید آرگومان مطابقت دارد. جایی که.

بیایید رابطه را بسازیم ، این تابعی از است.

مشتق یک تابع با توجه به یک متغیر در یک نقطه ، نسبت نسبت افزایش تابع در این نقطه به افزایش آرگومان ایجاد کننده آن است ، در صورتی که به روشی دلخواه باشد:

اظهار نظر. در نظر گرفته شده است که مشتق یک تابع در یک نقطه وجود دارد اگر محدودیتی در سمت راست فرمول وجود داشته باشد و محدود باشد و به چگونگی افزایش متغیر به 0 (چپ یا راست) بستگی ندارد.

فرآیند یافتن مشتق یک تابع ، تمایز آن نامیده می شود.

پیدا کردن مشتقات برخی از توابع با تعریف

الف) مشتق ثابت.

بگذارید ، از آنجا که ثابت است مقادیر این تابع برای همه یکسان است ، سپس افزایش آن صفر است و بنابراین ،

.

بنابراین ، مشتق ثابت برابر با صفر است ، یعنی ...

ب) مشتق تابع.

بیایید افزایش عملکرد را بسازیم:

.

هنگام پیدا کردن مشتق ، ما از ویژگی حد محصول حاصل از توابع ، اولین حد قابل توجه و تداوم تابع استفاده کردیم.

به این ترتیب .

رابطه بین تمایز پذیری یک تابع و تداوم آن

تابعی که مشتق آن در یک نقطه باشد ، در آن نقطه قابل تغییر نامیده می شود. تابعی که در تمام نقاط یک بازه خاص مشتق داشته باشد ، در این بازه قابل تمایز نامیده می شود.

قضیه اگر یک تابع در یک نقطه قابل تغییر باشد ، در آن نقطه مداوم است.

شواهد و مدارک. بیایید یک استدلال را به دلخواه افزایش دهیم. سپس عملکرد افزایش می یابد. ما برابری را می نویسیم و در سمت چپ و راست به حد مجاز می رسیم:

از آنجا که برای یک تابع پیوسته ، افزایش بی نهایت کوچک آرگومان با یک افزایش بی نهایت از تابع مطابقت دارد ، می توان قضیه را اثبات شده در نظر گرفت.

اظهار نظر. گفتگو درست نیست ، یعنی به طور کلی ، از تداوم یک تابع در یک نقطه ، تفاوت در این نقطه دنبال نمی شود. به عنوان مثال ، یک تابع برای همه پیوسته است ، اما در یک نقطه قابل تفکیک نیست. واقعاً:

حد نامحدود است ، به این معنی که عملکرد در یک نقطه قابل تفکیک نیست.

جدول مشتق توابع ابتدایی

اظهار نظر. اجازه دهید خواص درجه و ریشه های مورد استفاده در تمایز عملکردها را بیاد آوریم:

بگذارید نمونه هایی از یافتن مشتقات را بیان کنیم.

1) .

2)

مشتق یک تابع پیچیده

بگذار ... سپس تابع تابعی پیچیده خواهد بود ایکس.

اگر تابع در نقطه قابل تغییر باشد ایکس، و عملکرد در نقطه قابل تغییر است تو، پس از آن نیز در نقطه قابل تغییر است ایکس، و

.

1.

پس فرض می کنیم از این رو

با مهارت کافی ، متغیر میانی توننویسید ، فقط از نظر ذهنی وارد آن می شوید.

2.

دیفرانسیل

به نمودار یک تابع مداوم در یک نقطه ، یک خط مماس رسم کنید MT، با نشان دادن توسط ج زاویه تمایل آن به جهت مثبت محور است اوهاز آن پس ، از مثلث MEF به دنبال آن

بگذارید علامت گذاری را معرفی کنیم

.

این عبارت نامیده می شود دیفرانسیل کارکرد. بنابراین

با توجه به اینکه ، که دیفرانسیل متغیر مستقل برابر است با افزایش آن ، ما بدست می آوریم

بنابراین ، دیفرانسیل یک تابع برابر است با حاصل مشتق آن و دیفرانسیل (یا افزایش) متغیر مستقل.

از آخرین فرمول نتیجه می شود که ، مشتق یک تابع برابر است با نسبت دیفرانسیل این تابع به دیفرانسیل آرگومان.

عملکرد دیفرانسیل مرگ از نظر هندسی افزایش مختصات مماس مربوط به افزایش آرگومان D است ایکس.

شکل نشان می دهد که برای یک D به اندازه کافی کوچک است ایکس در مقدار مطلق ، ما می توانیم افزایش تابع را تقریبا برابر با دیفرانسیل آن بگیریم ، یعنی

.

یک عملکرد پیچیده را در نظر بگیرید ، و در آن متفاوت است تو، و - توسط ایکس... طبق قانون تمایز یک عملکرد پیچیده

ما این برابری را در ضرب می کنیم dx:

از آنجا که (با تعریف دیفرانسیل) ، بنابراین

بنابراین ، دیفرانسیل یک تابع پیچیده اگر متغیر باشد ، همان شکل را دارد تو یک استدلال متوسط \u200b\u200bنبود ، بلکه یک متغیر مستقل بود.

به این خاصیت دیفرانسیل گفته می شود عدم تحقق(تغییرناپذیری) شکل دیفرانسیل.

مثال. ...

تمام قوانین تمایز را می توان برای دیفرانسیل نوشت.

بگذار - در نقطه متفاوت است ایکس... سپس

بیایید قانون دوم را ثابت کنیم.

مشتق تابع ضمنی

بگذارید یک معادله از فرم متغیرهای متصل شود و داده شود. اگر بیان صریح آن از نظر (غیرممکن حل شود) غیرممکن است ، بنابراین چنین تابعی فراخوانی می شود به طور ضمنی داده شده است... برای یافتن مشتق چنین تابعی ، لازم است هر دو طرف معادله را با توجه به فرض یک تابع از یکدیگر تفکیک کنیم. از معادله جدید به دست آمده پیدا کنید.

مثال. ...

ما هر دو طرف معادله را با توجه به یادآوری می کنیم که تابعی از آن وجود دارد

سخنرانی 4. مشتق و افتراقی یک تابع از یک متغیر

اجازه دهید تابع y \u003d f (x) در فاصله (a ، 6) تعریف شود. مقداری از ارزش x € (a ، b) بگیرید. ما x را با هر افزایش DJ می دهیم ، اما به گونه ای که x + Dj € (a ، 6). سپس تابع y \u003d f (x) تعریف افزایش را دریافت می کند. تابع y \u003d f (x) در نقطه x £ (a ، 6) قابل تغییر نامیده می شود اگر افزایش تابع مربوط به افزایش Ax از آرگومان را می توان در شکلی نشان داد که A تعدادی است که به Ax بستگی ندارد (اما به طور کلی ، به مثال بستگی دارد تابع y \u003d x2 را در نظر بگیرید. برای هر m ، ex و برای هر Δx که داریم بنابراین از نظر تعریف ، تابع y \u003d x2 در هر نقطه x قابل تغییر است و قضیه زیر شرط لازم و کافی را برای تمایز یک تابع بیان می کند. قضیه 1 برای اینکه تابع y \u003d fix در نقطه x قابل تغییر باشد ، لازم و کافی است که اصلاح شود) در این نقطه مشتق متناهی f \\ x دارد). نیاز. اجازه دهید تابع y \u003d fix) در نقطه x قابل تغییر باشد. بگذارید ثابت کنیم که اصلاح مشتق در این مرحله وجود دارد). در واقع ، از تمایز تابع y \u003d fix) در نقطه x نتیجه این است که افزایش تابع Δy مربوط به افزایش Δx آرگومان را می توان به عنوان تمایز پذیری تابع نشان داد. دیفرانسیل یک تابع استمرار یک تابع متغیر مفهوم دیفرانسیل یک تابع معنای هندسی یک دیفرانسیل که مقدار A برای یک نقطه داده شده x ثابت باشد (بستگی ندارد. با توجه به قضیه اتصال یک تابع دارای محدودیت با حد آن و یک تابع نامحدود ، نتیجه این است که وجود مشتق ثابت شده است. ما این کفایت را ثابت کردیم. بگذارید تابع در نقطه x مشتق محدود f "(x) داشته باشد. ما ثابت می کنیم که ثابت) در این نقطه قابل تغییر است. در واقع ، وجود مشتق f" (x) به این معنی است که برای Dx 0 محدودیت نسبت وجود دارد و از این رو ، با توجه به قضیه اتصال تابع دارای محدودیت با حد خود و یک تابع نامحدود ، از این رو نتیجه می شود که در آنجا ، از این رو ، از آنجا که در سمت راست فرمول (2) مقدار x) وابسته نیست ، بنابراین برابری (2) ثابت می کند قضیه 1 مشخص می کند که برای یک تابع f (x) قابلیت تغییر در یک نقطه داده شده x و وجود یک مشتق محدود در این نقطه مفاهیم معادل هستند ه بنابراین ، عملیات یافتن مشتق یک تابع ، تمایز این تابع نیز نامیده می شود. در ادامه ، وقتی می گوییم تابع f (x) در یک نقطه معین مشتق دارد ، منظور ما وجود مشتق محدود است ، مگر اینکه خلاف آن بیان شده باشد. 2.1 استمرار قضیه یک تابع قابل تفکیک 2. اگر یک تابع در یک نقطه مشخص x قابل تغییر باشد ، پس در این نقطه مداوم است. در واقع ، اگر تابع y \u003d f (x) در نقطه x قابل تغییر باشد ، می توان افزایش Δy از این تابع مربوط به افزایش Δx آرگومان را به شکلی نشان داد که A برای یک نقطه x ثابت باشد ، و 0 در Δx 0. از برابری ( 3) نتیجه می گیرد که تفاوت پذیری عملکرد. دیفرانسیل یک تابع تداوم یک تابع متغیر مفهوم دیفرانسیل یک تابع معنای هندسی یک دیفرانسیل است که به معنی تعریف ، تداوم تابع y \u003d f (x) در یک نقطه داده شده x است. نتیجه معکوس درست نیست: تداوم تابع f (x) در بعضی از نقاط x به معنای تمایز عملکرد در این نقطه نیست. مثال. به عنوان مثال ، تابع f (x) \u003d | x | در نقطه x \u003d 0 پیوسته است ، اما ، همانطور که در بالا نشان دادیم (، در نقطه x \u003d 0 هیچ مشتقی ندارد و بنابراین در این نقطه قابل تفکیک نیست. در اینجا مثالی دیگر وجود دارد. مثال: تابع در بازه مداوم است (-о #، + о # برای کل x # 0 یک مشتق دارد ، اما در نقطه x \u003d 0 مشتق نه راست و نه چپ دارد ، زیرا مقدار هیچ محدودیتی ندارد ، همانطور که در مثال های ذکر شده ، مشتق فقط در یک نقطه وجود ندارد. قرن 18 و اوایل قرن 19 ، زمانی که اعتقاد بر این بود که یک عملکرد مداوم ممکن است حداکثر در تعداد محدودی از سلول ها مشتق نداشته باشد. بعدا (Bolzano ، Weierstrass ، Peano ، Van der Waerden) نمونه هایی از مداوم داشتن یک مشتق در هر نقطه از بخش. مفهوم دیفرانسیل یک تابع اجازه دهید تابع y - f (x) در نقطه x قابل تغییر باشد ، یعنی افزایش Δy این تابع مربوط به افزایش Δx آرگومان را می توان در شکل تعریف نشان داد. اگر تابع y \u003d f (x ) در نقطه x قابل تغییر است ، دقیقاً افزایش تابع A Dx برای Af 0 دیفرانسیل تابع y \u003d f (x) نامیده می شود و با علامت dy یا df (x) نشان داده می شود: در مورد A Φ 0 ، دیفرانسیل تابع را به عنوان خط اصلی اصلی افزایش Dy تابع می نامند ، زیرا در Dx 0 مقدار a (Dx) Dx برابر است (4 ) یک عملکرد بینهایت کوچک از یک مرتبه بالاتر از A Dx است. در شرایطی که\u003e 1 \u003d 0 است ، دیفرانسیل dy را برابر با صفر در نظر بگیرید. با توجه به قضیه I ، A \u003d f "(x) داریم ، بنابراین فرمول (5) برای dy شکل می گیرد. همراه با مفهوم دیفرانسیل یک تابع ، مفهوم دیفرانسیل dx متغیر مستقل x را معرفی می کنیم ، با تعریف تنظیم می کنیم سپس فرمول دیفرانسیل تابع y \u003d f (x) ) را می توان به شکل متقارن تر نوشت. از این رو ، به نوبه خود ، ما باید: / "(x) \u003d این یک نام دیگر برای مشتق است (من نامگذاری لایب نیتس است) ، که می تواند به عنوان کسر در نظر گرفته شود - نسبت دیفرانسیل تابع dy به دیفرانسیل استدلال dx. بیایید یک مفهوم دیگر معرفی کنیم. می گوییم یک تابع y \u003d f (x) در هر بازه (a، b) قابل تغییر است اگر در هر نقطه از این فاصله قابل تغییر باشد. تمایز عملکرد دیفرانسیل یک تابع تداوم یک تابع متغیر مفهوم دیفرانسیل یک تابع معنای هندسی یک دیفرانسیل معنای هندسی یک دیفرانسیل بگذارید یک منحنی داشته باشیم که با معادله y \u003d f (x) داده شده است ، جایی که fdc / (x) در نقطه x € قابل تغییر است (a ، 6). ما در نقطه M (x، y) به این منحنی مماس رسم می کنیم و همچنین یک نقطه M \\ را با abscissa x -f dx روی منحنی علامت می زنیم. همانطور که می دانید ، f "(x) شیب مماس است ، به عنوان مثال ، مثلث MPQ را در نظر بگیرید (شکل 8). از شکل می توان دریافت که دیفرانسیل dy \u003d f" (x) dx از تابع y \u003d f (x) افزایش مختصات مماس است که در نقطه با abscissa x به منحنی y \u003d f (x) کشیده می شود ، هنگام عبور از نقطه مماس به نقطه با abscissa x + dx.

3 تعیین مشتق یک تابع در یک نقطه اجازه دهید تابع f (x) در بعضی محله های نقطه x 0 تعریف شود. تعریف. اگر یک نسبت (محدود) از نسبت وجود داشته باشد ، آنگاه f (x) یک نقطه قابل تغییر x 0 نامیده می شود و خود حد نیز مشتق شده از تابع f (x) در نقطه x 0 نامیده می شود و با f "(x 0) نشان داده می شود ، یعنی نشانگر x \u003d x - x 0 آیا افزایش آرگومان هنگام عبور از نقطه x 0 به نقطه x ، و y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0) افزایش مربوط به عملکرد است. سپس مشتق تابع f (x) در نقطه x 0 حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان که باعث آن شده است ، هنگامی که افزایش آرگومان به صفر برسد.

4 مثال 1. اجازه دهید مثالهایی را برای محاسبه مشتقات برخی توابع اولیه بر اساس تعریف مشتق ارائه دهیم. y \u003d a x (0 0. با توجه به اینکه | х | 0 یک نقطه دلخواه است ، پس 0. با توجه به اینکه | x | 0 یک نقطه دلخواه است ، سپس "\u003e

0. با توجه به اینکه | x | 0 یک نقطه دلخواه است ، سپس مثال 4.y \u003d sinx ، x R. x 0 R را بگیرید و افزایش عملکرد را در این نقطه محاسبه کنید: بنابراین (sinx) \u003d cosx ، x R. "عنوان \u003d" (! LANG: 5 مثال 3). x 0\u003e 0 را در نظر بگیرید ، با توجه به اینکه | x | 0 یک نقطه دلخواه است ، سپس مثال 4.y \u003d sinx ، x R. x 0 R را بگیرید و افزایش عملکرد را در این نقطه محاسبه کنید: بنابراین (sinx) \u003d cosx، x R" class="link_thumb"> 5 !} 5 مثال 3. x 0\u003e 0. را در نظر بگیرید با توجه به اینکه | x | 0 یک نقطه دلخواه است ، سپس مثال 4.y \u003d sinx ، x R. x 0 R را بگیرید و افزایش عملکرد را در این نقطه محاسبه کنید: بنابراین (sinx) \u003d cosx، x R. 0. با توجه به اینکه | x | 0 یک نقطه دلخواه است ، سپس مثال 4 y \u003d sinx ، x R. x 0 R را بردارید و افزایش تابع را در این نقطه محاسبه کنید: بنابراین (sinx) \u003d cosx ، x R. "\u003e 0. با توجه به اینکه | x | 0 - نقطه دلخواه ، سپس مثال 4. y \u003d sinx، x R. x 0 R را بگیرید و مقدار افزایش تابع را در این نقطه محاسبه کنید: بنابراین (sinx) \u003d cosx، x R. "\u003e 0. با توجه به اینکه | x | 0 یک نقطه دلخواه است ، سپس مثال 4. y \u003d sinx ، x R. x 0 R را بگیرید و افزایش عملکرد را در این نقطه محاسبه کنید: بنابراین (sinx) \u003d cosx ، x R. "عنوان \u003d" (! LANG: 5 مثال 3). x 0\u003e 0 را در نظر بگیرید ، با توجه به اینکه | x | 0 یک نقطه دلخواه است ، سپس مثال 4.y \u003d sinx ، x R. x 0 R را بگیرید و افزایش عملکرد را در این نقطه محاسبه کنید: بنابراین (sinx) \u003d cosx، x R"> title="5 مثال 3. x 0\u003e 0. را در نظر بگیرید با توجه به اینکه | x | 0 یک نقطه دلخواه است ، سپس مثال 4.y \u003d sinx ، x R. x 0 R را بگیرید و افزایش عملکرد را در این نقطه محاسبه کنید: بنابراین (sinx) \u003d cosx، x R."> !}

6 تئوری. اگر تابع f (x) در نقطه x 0 قابل تغییر باشد ، در این نقطه مداوم است. شواهد و مدارک. let وجود دارد پس از این به دست می آوریم که f (x) - f (x 0) \u003d f "(x 0) (x - x 0) + (x - x 0) α (x) برای x x 0. یعنی f ( x) در نقطه x 0 پیوسته است. تداوم عملکرد متغیر (1)

7 توجه تداوم یک تابع در یک نقطه شرط کافی برای وجود یک مشتق در این نقطه نیست. مثال 5.f (x) \u003d x اجازه دهید رفتار f (x) را در همسایگی х 0 \u003d 0 بررسی کنیم. در اینجا ، و f (x) f (0) \u003d 0 برای x 0 است. یعنی تابع در نقطه x 0 \u003d 0. مداوم است. x y 0 را در نظر بگیرید این حد وجود ندارد ، بنابراین ، تابع f (x) \u003d x هیچ مشتق در نقطه x \u003d 0 ندارد ، اگرچه در این نقطه مداوم است

8 مثال x y 0 در x 0. در x 0. یعنی. f (x) در نقطه x \u003d 0 پیوسته است. یعنی f (x) در نقطه x \u003d 0 هیچ مشتقی ندارد و بنابراین ، در این نقطه قابل تفکیک نیست. اجازه دهید رفتار f (x) را در مجاورت نقطه x \u003d 0 بررسی کنیم.

9 اجازه دهید تابع y \u003d f (x) در نقطه x 0 قابل تغییر باشد. سپس ، طبق (1) ، افزایش آن در نقطه x 0 را می توان به صورت y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0) \u003d f ( x 0) x + o (x) در x دیفرانسیل تابع f (x 0) x - خط اصلی با توجه به x قسمت افزایش تابع y \u003d f (x) در نقطه x 0 دیفرانسیل تابع در نقطه x 0 با افزایش x نامیده می شود و با df (x 0؛ x) یا df (x 0 نشان داده می شود ) یا df یا dу. y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0) \u003d df (x 0؛ x) + o (x) در x تعریف. قسمت اصلی افزایش خطی با توجه به x است. بینهایت کم از یک مرتبه بالاتر از x. حالا افزایش تابع را می توان اینگونه نوشت:

10 توجه داشته باشید افزایش x اغلب با dx نشان داده می شود و از آن به عنوان دیفرانسیل متغیر مستقل یاد می شود. بنابراین ، دیفرانسیل تابع در نقطه x 0 را می توان به صورت df (x 0) \u003d f "(x 0) dx نوشت. اگر این تابع در هر نقطه از یک بازه قابل تغییر است ، دیفرانسیل dy آن تابعی از x و dx است: dy \u003d f "(x) dx. از این رو ، به طور خاص ، عبارتی برای مشتق بدست می آید.یعنی مشتق را می توان نسبت دیفرانسیل یک تابع به دیفرانسیل متغیر مستقل دانست.

11 معنای هندسی مشتق و دیفرانسیل اجازه دهید تابع у \u003d f (x) در U (x 0) تعریف شود و در نقطه x 0 قابل تغییر باشد. М0М0 М x0x0 x 0 + xyxy \u003d f (x) y0y0 y 0 + у 0 L ثانیه L است 0 مماس xy \u003d f (x 0 + x) - f (x 0) در x به دلیل تداوم عملکرد است. مماس نمودار تابع y \u003d f (x) در نقطه M 0 را موقعیت محدود L ثابت در x می نامند. y اگر تابع در نقطه x 0 قابل تغییر باشد ، در معادله ثانیه y / x f (x 0) در x و معادله مماس به صورت y \u003d y 0 + f (x 0) (x - x 0) است.

12 М0М0 М x0x0 x 0 + x dy \u003d df (х 0؛ x) \u003d f (x 0) xxy \u003d f (x) f (x0) f (x0) f (x 0 + x) 0 xy FE EM \u003d o (x) در x 0 L0L0 tg \u003d f (x 0) اگر y / x در x باشد ، آنگاه خط مستقیم x \u003d x 0 را که از معادله ثانیه بدست می آید ، مماس عمودی نمودار نمودار تابع در نقطه M 0 می نامیم. از معادله مماس y بدست می آوریم - y 0 \u003d f (x 0) (x - x 0) \u003d df (x 0) - افزایش مختصات مماس هنگام عبور از نقطه x 0 به نقطه x. حالت عادی نمودار تابع در نقطه M 0 یک خط مستقیم عمود بر مماس است و از نقطه M 0. عبور می کند. معادله آن شکل y \u003d y 0 - 1 / f (x 0) (x - x 0) دارد. L 1 - طبیعی است

13 کاربردهای فیزیکی مشتق و دیفرانسیل اگر S (t) مسیری باشد که توسط یک نقطه ماده در زمان t پیموده می شود ، پس S "(t) سرعت آنی یک نقطه ماده است و dS \u003d S" (t) dt مسافتی است که یک نقطه ماده طی می کند برای یک بازه زمانی از t تا t + dt ، اگر با سرعتی برابر با سرعت لحظه ای در زمان t حرکت کند. اگر Q (t) مقدار الكتریسمی است كه از مقطع هادی در زمان t جریان دارد ، پس Q "(t) \u003d I مقاومت فعلی است. اگر N (t) مقدار ماده تشكیل شده در زمان t طی یك واكنش شیمیایی باشد ، N "(t) سرعت واکنش شیمیایی است.

قضیه:اگر تابع y = f(ایکس) در مقطعی قابل تغییر است ایکس = ایکس0 ، سپس در این مرحله مداوم است.

بنابراین ، تابع در نقاط ناپیوستگی نمی تواند مشتق داشته باشد. نتیجه مخالف درست نیست ، یعنی از آنچه در یک مرحله ایکس = ایکسعملکرد 0 y = f(ایکس) مداوم است ، به این نتیجه نمی رسد که در این مرحله قابل تغییر باشد. به عنوان مثال ، عملکرد y = |ایکس| پیوسته برای همه ایکس (–Ґ< ایکس < Ґ), но в точке ایکس \u003d 0 مشتق ندارد. در این مرحله مماس نمودار نیست. مماس راست و مماس چپ وجود دارد ، اما یکسان نیستند.

مشتق یک تابع پیچیده

قضیه: اجازه دهید یک تابع ، تعریف شده و مداوم در یک محله ، در یک نقطه مشتق داشته باشد. این تابع در همسایگی ، کجا تعریف شده و مداوم است و یک مشتق در نقطه دارد. سپس تابع پیچیده مشتق در نقطه و

.

کجا و - b.m.f. سپس

و جایی که b.m.f. در نقطه

28. مشتق حاصل از جمع ، محصول و ضریب دو تابع.

مشتق از مجموع (تفاوت) توابع

مشتق حاصل از مجموع جبرها با قضیه زیر بیان می شود.

مشتق از مجموع (تفاوت) از دو تابع قابل تفکیک برابر است با مجموع (اختلاف) مشتقات این توابع:

مشتق یک جمع جبری محدود از توابع قابل تفکیک برابر است با همان جمع جبری مشتقات اصطلاحات. برای مثال،

مشتق از محصول توابع.

بگذار تو (x) و تو (x) - توابع قابل تغییر سپس محصول توابع u (x) v (x) همچنین متفاوت و

مشتق حاصل از دو تابع با حاصل مشتقات این توابع برابر نیست.

مشتق عملکرد خصوصی.

بگذار تو (x) و تو (x) - توابع قابل تغییر پس اگر v (x) ≠ 0 ، سپس مشتق ضریب این توابع با فرمول محاسبه می شود

29. مشتق تابع معکوس. مشتق یک تابع تعریف شده پارامتری.

تئوری (مشتق تابع معکوس)

اجازه دهید یک عملکرد پیوسته ، کاملاً یکنواخت (افزایش یا کاهش) در یک بازه و داشتن مشتق در یک نقطه داشته باشد. سپس تابع معکوس مشتق در نقطه و

.

DOC

= .

قضیه (مشتق تابع تعریف شده پارامتری)اجازه دهید تابع x \u003d φ (t) عملکرد معکوس دارد t \u003d Ф (x). اگر توابع باشد x \u003d φ (t) , y \u003d ψ (t) متفاوت و φ "(t) ≠ 0 سپس

شواهد و مدارک

از آنجا که تابع x \u003d φ (t) یک عملکرد معکوس دارد ، سپس به طور رسمی می توان y را با توجه به بیان کرد ایکس : y \u003d ψ (Ф (x)) ... از آنجا که تابع x \u003d φ (t) بنابراین ، توسط قضیه 5، تابع t \u003d Ф (x) همچنین قابل تغییر است.

با استفاده از قوانین تمایز ، به دست می آوریم چه

فرمول مشابهی را می توان برای مشتق دوم بدست آورد y "" x :

سرانجام ما دریافت می کنیم

30. مشتقات سفارش بالاتر. فرمول لایب نیتس.

اگر f در فاصله (a ، b) ®R تعریف شده باشد ، diff-ma در "نقطه xÎ (a، b) ، سپس یک تابع جدید f در (a ، b) ظاهر می شود ’ : (a ، b) ®R ، که مقدار آن در نقطه x \u003d f است ’ (ایکس). عملکرد f ’ خود ممکن است مشتق داشته باشد (f ’ )’ : در (a، b) R با توجه به عملکرد اصلی مشتق دوم f است و با f نشان داده می شود ” (x) ، d 2 f (x) / dx 2 یا f ” xx (x) ، f ” x 2 (x) ؛ دفاع... اگر مشتق f (n -1) (x) از دستور n-1 f تعریف شود ، مشتق سفارش n با فرمول f (n) (x) \u003d (f n -1)) تعیین می شود '(x). علامت f (n) (x) \u003d d n f (x) / dx n - f-la Leibniz، f (0) (x): \u003d f (x).

31. مفهوم تمایز پذیری یک تابع و دیفرانسیل اول. شرط لازم و کافی برای تفاوت پذیری.

1. عملکرد دیفرانسیل y \u003d f (x) با توجه به D x بخشی از افزایش D y ، برابر اصلی حاصل از مشتق و افزایش متغیر مستقل ، خط اصلی نامیده می شود

dy \u003d f "(ایکس) د ایکس.

توجه داشته باشید که دیفرانسیل متغیر مستقل برابر است با افزایش این متغیر dx \u003d D x. بنابراین فرمول دیفرانسیل معمولاً به شکل زیر نوشته می شود:

dy \u003d f "(ایکس)dx

2. تمایز پذیری.یک تابع در یک نقطه x متغیر خوانده می شود اگر افزایش آن ∆y در این نقطه بتواند به این صورت نشان داده شود: ) یک عملکرد بینالمللی نسبت به ∆x به عنوان ∆x inf 0 است.

32. معنای هندسی مشتق و دیفرانسیل. مماس و نرمال با نمودار.

بگذارید f در (a ، b) و پیوسته در نقطه x 0 defined (a، b) تعریف شود ، بگذارید y 0 \u003d f (x 0) ، M 0 (x 0 ، y 0) ؛ x 0 + DxÎ (a ، b) ، Dy \u003d f (x 0 + Dx) -f (x 0) ، M (x 0 + Dx ، y 0 + Dy). M 0 M: y \u003d k (x-x 0) + y 0 (1) ،

1 ) اگر $ con باشد. محدودیت lim D x ® 0 k (Dx) \u003d k 0 سپس خط y \u003d k 0 (x-x 0) + y 0 (2) فراخوانی می شود.

(مایل) مماس با نمودار f در نقطه (x 0 ، y 0) ؛

2 ) اگر $ حد نامحدود باشد

lim D x ® 0 k (Dx) \u003d ¥ ، سپس خط مستقیم x \u003d x 0 مماس عمودی نمودار در نقطه (x 0 ، y 0) است ؛

وقتی x \u003d x 0 (2) - موقعیت را محدود کنید (1) ، بنابراین موقعیت محدود ثانیه

Dх®0 خط مماس y \u003d f (x) در نقطه х 0 است ، زیرا lim D x ® 0 k (Dx) \u003d lim D x ® 0 Dy / Dx \u003d f ’ (x 0) سپس معادله

مماس فرم y \u003d f را دارد ’ (x 0) (x-x 0) + y 0 ، جایی که y 0 \u003d f (x 0) (3). از 3 به دست می آوریم که مشتق در نقطه x 0 \u003d tga ، a زاویه بین مماس و محور Ox است ، اصطلاح اول f ’ (x 0) (x-x 0) \u003d f ’ (x 0) Dx ، Dx \u003d x-x 0 dyf-اهم اهم در نقطه x 0 Þ y-y 0 \u003d dy است. دیفرانسیل تابع برابر است با افزایش مختصات مماس در نقطه مربوط به نمودار.

3 ) اگر lim D x ® 0 Dy / Dx \u003d ¥ باشد ، خط مماس x \u003d x 0 است ، در حالی که در نقطه x 0 نامحدود است. مشتق ممکن است وجود داشته باشد یا نداشته باشد.

33. فرم عدم تغییر اولین دیفرانسیل. اختلافات با مرتبه بالاتر ، عدم تغییر شکل آنها در حالت کلی.

دیفرانسیل با مرتبه بالاتر ... Dif-al از dif-la مرتبه اول dy \u003d f '(x) dx از تابع y \u003d f (x) (فقط به عنوان یک متغیر f در نظر گرفته می شود x یعنی افزایش استدلال x (dx) ثابت گرفته می شود ، به شرطی که تکرار شود افزایش متغیر x همزمان با اولیه است) دیفرانسیل دوم d 2 f (x) نامیده می شود: d (df (x)) \u003d d (f '(x) dx) \u003d d (f' (x)) dx \u003d f ”(X) dxdx \u003d f” (x) dx 2 از این رو f ”(x) \u003d d 2 f (x) / dx 2؛ دفاع... Dif-اهم از مرتبه n n \u003d 1،2 ... دیفرانسیل از دیفرانسیل مرتبه n-1 نامیده می شود ، به شرطی که همان افزایش های dx در di-le ، مستقل از x گرفته شود. dnf (x) \u003d d (dn-1 f (x)) مشاهده اینکه dnf (x) \u003d f (n) (x) dx n (dx n \u003d (dx) n) Þ f (n) (x دشوار نیست) ) \u003d dnf (x) / dx n.

عدم تغییر فرم دیفرانسیل سفارش بالاتر از اولین

حالتی را در نظر بگیرید که x یک متغیر مستقل نیست ، بلکه تابعی از یک متغیر دیگر است

اکنون در سمت راست فرمول (3) متغیر قرار گرفته است تو نه تنها عملکرد بستگی دارد f(ایکس) ، بلکه دیفرانسیل نیز هست dx ... از این رو

با مقایسه فرمول های (2) و (4) اطمینان حاصل می کنیم که تفاوت های مرتبه دوم (و بالاتر) دارای عدم تغییر فرم نیستند.

34. افراط در عملکرد. شرایط لازم برای افراطی (قضیه فرما).

امتیازات افراطی

نقاط بحرانی- بیشترین یا حداقل مقدار تابع در یک مجموعه داده شده. به نقطه ای که در آن حالت افراطی رسیده است گفته می شود نقطه افراطی... بر این اساس ، اگر به حداقل برسد ، نقطه extremeum نامیده می شود حداقل امتیاز، و اگر حداکثر باشد حداکثر امتیاز... در تحلیل ریاضی ، مفهوم نیز متمایز می شود افراطی موضعی (به ترتیب ، حداقل یا حداکثر).

نقطه ایکس 0 را نقطه حداکثر محلی (حداقل) تابع می نامند f (ایکس) اگر برای همه مقادیر آرگومان از برخی از δ - محله به اندازه کافی کوچک است ایکس 0 نابرابری

f (ایکس) < f (ایکس 0) (f (ایکس) > f (ایکس 0))

در ایکس ≠ ایکس 0 .
حداکثر محلی و حداقل محلی با نام مشترک extremeum متحد می شوند. از این تعریف نتیجه می گیرد که مفهوم افراطی به معنای محلی بودن نابرابری است f (ایکس) < f (ایکس 0) (f (ایکس) > f (ایکس 0)) ممکن است برای همه مقادیر درست باشد یا نباشد ایکس در حوزه تعریف تابع ، اما باید فقط در برخی از محله های نقطه انجام شود ایکس 0 .