Zvažujú sa otázky dosiahnuteľnosti pre digrafy a metódy hľadania matíc dosiahnuteľnosti a protidosiahnuteľnosti: Maticová metóda sa zvažuje na nájdenie počtu ciest mezi ľubovoľnými vrcholmi grafu, ako aj na nájdenie množiny vrcholov zahrnutých v ceste mezi dvojicou vrcholov. Ընթացակարգը.
Dosiahnuteľnosť a protidosah
Úlohy, v ktorých sa koncept používa dosiahnuteľnosť, dosť málo.
Tu je den z nich. Գրաֆ môže byť modelom nejakej organizácie, v ktorej sú ľudia reprezentovaní vrcholmi a oblúky interpretujú komunikačné kanály. Pri zvažovaní takéhoto modelu si možno položiť otázku, či sa informácie od jednej osoby i môžu preniesť na inú osobu j, t. ժ. či existuje cesta vedúca z vrcholov i do vrcholov j. Ak takáto cesta existuje, potom vrcholy j dosiahnuteľneզ վրչոլով ի. Niekoho môže zaujímať dosiahnuteľnosť vrcholov j z vrcholov i len na dráhach, ktorých dĺžky nepresahujú danú hodnotu alebo ktorých dĺžka je menšia ako najväčší počet v. թույն.
Dosiahnuteľnosť v grafe je opísaná maticou dosiahnuteľnosti R =, i, j = 1, 2, ... n, kde n je počet vrcholov v grafe a každý prvok je definovaný takto:
r ij = 1, ak sú vrcholy j dosiahnuteľné z x i,
r ij = 0, inak.
Množina vrcholov r (xi) grafu g dosiaho vrcholu xi pozostáva z prvkov xi (i, j) (i, j) - prvok v jefly diagn á 1, ke ďže každý vrchol je dosiahnuteľný sám od seba cestou dĺžky 0. Keďže priame zobrazenie 1. rádu G +1 (xi) je množina takých vrcholov xj, ktoré sú dosiahnuteľné cínétéľné cínétľľmožné +1. 1 (xi) ) = Г +2 (xi) pozostáva z vrcholov dosiahnuteľných z xi pomocou ciest dĺžky 2. Podobne Γ + p (xi) je množina vrcholov dosiahnuteľných z xi pomocou ciest dĺžky p.
Pretože každý vrchol grafu, ktorý je dosiahnuteľný z x i, musí byť dosiahnuteľný pomocou cesty (alebo ciest) dĺžky 0 alebo 1, alebo 2, ... alebo p, množinu zrcholovn ikozhni vrchonľnľnľ.
R (x i) = (x i) Г +1 (x i) Г +2 (x i) ... Г + p (x i).
Ako vidíte, množina dosiahnuteľných vrcholov R (x i) je priamym tranzitívnym uzáverom vrcholu x i, t. ժ. R (x i) = T + (x i): Preto na zostrojenie matice dosiahnuteľnosti nájdeme dosiahnuteľné množiny R (x i) pre všetky vrcholy x i X. Nastavenie r ij = 1, ak x j R (x i) a r ij = 0 inak.
Ռայզա. 4.1. Dosiahnuteľnosť v graf՝ a - graf; b - matica susednosti; գ - matica dosiahnuteľnosti; r - matica protidosiahnuteľnosti.
Pre graf znázornený na obr. 4.1, ա súbor dosiahnuteľnosti sa nachádzajú nasledovne:
R (x 1) = (x 1) (x 2, x 5) (x 2, x 4, x 5) (x 2, x 4, x 5) = (x 1, x 2, x 4, x 5 ),
R (x 2) = (x 2) (x 2, x 4) (x 2, x 4, x 5) (x 2, x 4, x 5) = (x 2, x 4, x 5),
R (x 3) = (x 3) (x 4) (x 5) (x 5) = (x 3, x 4, x 5),
R (x 4) = (x 4) (x 5) (x 5) = (x 4, x 5),
R (x 5) = (x 5) (x 5) = (x 5),
R (x 6) = (x 6) (x 3, x 7) (x 4, x 6) (x 3, x 5, x 7) (x 4, x 5, x 6) = (x 3, x 4, x 5, x 6, x 7),
R (x 7) = (x 7) (x 4, x 6) (x 3, x 5, x 7) (x 4, x 5, x 6) = (x 3, x 4, x 5, x 6 , x 7):
Matica dosiahnuteľnosti má tvar znázornený na obr. 4.1, էջ. Matica dosiahnuteľnosti môže byť postavené matica susednosti(օբր. 4.1, բ), tvoriace množiny T + (x i) pre každý vrchol x i.
Protidosiahnuteľná matica Q = [q ij], i, j = 1, 2, ... n, kde n je počet vrcholov v grafe, je definovaný takto:
q ij = 1, ak z vrcholu x j je možné dosiahnuť vrchol x i,
q ij = 0, ինակ.
Protisplniteľné množina Q (x i) je množina takých vrcholov, že z ktoréhokoľvek vrcholu tejto množiny je možné dosiahnuť vrchol x i. Podobne ako pri konštrukcii dosiahnuteľnej množiny R (x i), môžeme napísať výraz pre Q (x i):
Q (x i) = (x i) Г -1 (x i) Г - 2 (x i) ... Г -p (x i):
Je teda možné vidieť, že Q (x i) nie je nič iné ako spätný tranzitívny uzáver vrcholu x i, teda Q (x i) = T - (x i): Z definícií je zrejmé, že stĺpec xi matice Q (v ktorej q ij = 1, ak xj Q (xi) a q ij = 0 inak) sa zhoduje s riadkom xi matice R, tj Q = RT, kde RT je matica transponová matica dosiahnuteľnostiՌ.
Protidosiahnuteľná matica znázornene na obr. 4.1, գ.
Je potrebné poznamenať, že keďže všetky prvky matíc R a Q su rovné 1 alebo 0, každý riadok môže byť uložený v binárnej forme, čím sa šetria náklady na pamítať. Matice R a Q sú vhodné na spracovanie na počítači, pretože z výpočtového hľadiska sú hlavnými operáciami vysokorýchlostné logické operácie.
Nájdenie množiny vrcholov zahrnutých v ceste
Ak potrebujete vedieť o vrcholoch grafu zahrnutých v týchto cestách, mali by ste si zapamätať definície dopredných a spätných tranzitívnych uzáverov: Keďže T + (xi) je množina vrcholov, ku ktorým vedú cesty z vrcholu xi, a T - (xj) je množina vrcholov, z ktorých vedú cesty k xj, potom T + (xi) T - (xj ) je množina vrcholov, z ktorých každý patrí aspoň jednej ceste vedúcej z x i do x j. Tieto vrcholy sa nazыvajú podstatné alebo integrálne vzhľadom na dva koncové vrcholy x i a x j. Všetky ostatné vrcholy grafu sa nazıvajú nevıznamné alebo nadbytočné, pretože ich odstránenie neovplyvňuje cesty z x i tox j.
Ռայզա. 4.2. Դիգրաֆ
Takže pre graf na obr. 4.2 nájdenie vrcholov zahrnutých v ceste, napríklad z vrcholu x 2 do vrcholu 4, sa zredukuje na nájdenie T + (x 2) = (x 2, x 3, x 4, x 5, x 6),
T - (x 4) = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) a ich priesečníky T + (x 2) T - (x 4) = (x 2, x 3, x 4, x 5).
Maticová metóda na hľadanie ciest v grafoch
Matica susednosti úplne definuje štruktúru grafu. Urobme druhú mocninu matice susednosti podľa pravidiel matematiky. Každý prvok matice A2 je určený vzorcom
a (2) ik = n j = 1 a ij a jk
Člen vo vzorci sa rovná 1 práve vtedy, ak sa obe čísla a ij a a jk rovnajú 1, inak sa rovná 0. Keďže z rovnosti a ij = a jk = 1 vyplýva existencia cesty dĺrchoúlüza césty zĺrcholuzá զ vrchol x j, potom sa (i-tý, k-tý) prvok matice A 2 rovná počtu dráh dĺžky 2 idúcich z x i do x k.
Tabuľka 4.1a ukazuje maticu susednosti grafu znázorneného na obr. 4.2. Výsledok kvadratúry matice susednosti A2 je uvedený v tabuľke 4.1b.
Տեքստ «1» stĺpec na obr. 4.2 existuje taká cesta՝ a 6, a 5. «2» v matici A2 označuje existenciu dvoch ciest dĺžky 2 z vrcholov 3 do vrcholov 6: a 8, a 4 a a 10, a 3:
Podobne pre maticu susednosti umocnenú na tretiu mocninu A 3 (tabuľka 4.1c), a (3) ik sa rovná počtu dráh dĺžky 3 idúcich od x i do x k. Zo štvrtého riadku matice A 3 je vidieť, že existujú cesty dĺžky 3: jedna z x 4 v 4 (a 9, a 8, a 5), jedna z x 4 v
x 5 (a 9, a 10, a 6) a dve cesty z x 4 v 6 (a 9, a 10, a 3 a a 9, a 8, a 4): Matica A 4 ukazuje existenciu dráh dĺžky 4 (tabuľka 4.1d).
Ak je teda p ik prvkom matice A p, potom sa p ik rovná počtu dráh (nie nevyhnutne reťazcov alebo jednoduchých reťazcov) dĺžky p vychádzajúcich z x i kx k.
Count dosiahnuteľnosti
Jednou z prvých otázok, ktoré sa vynárajú pri štúdiu grafov, je otázka existencecie ciest mezi danými alebo všetkými pármi vrcholov. Odpoveďou na túto otázku je vyššie uvedený vzťah dosiahnuteľnosti vo vrcholoch grafu G = (V, E): vrchol w je dosiahnuteľný z vrcholu v, ak v = w alebo G má cestu z v do w. Inými slovami, vzťah dosiahnuteľnosti je reflexným a tranzitívnym uzavretím vzťahu E. Pre neorientované grafy je tento vzťah tiež symetrický, a preto je vzťahom ekvivalencie. vivalencie vzhľadom na dosiahnuteľnosť sa nazývajú spojené komponenty. V prípade orientovaných grafov nemusí byť dosiahnuteľnosť vo všeobecnosti symetrickým vzťahom. Vzájomná dosiahnuteľnosť je symetrická.
Սահմանում 9.8. Vrcholy v a w orientovaného grafu G = (V, E) sa nazývajú vzájomne dosiahnuteľné, ak G má cestu z v do w a cestu z w do v.
Je zrejmé, že vzťah vzájomnej dosiahnuteľnosti je reflexívny, symetrický a tranzitívny, a teda ekvivalencia na vrcholovej množine grafu: Triedy ekvivalencie vzhľadom na vzájomnú dosiahnuteľnosť sa nazývajú silne spojené zložky, príp dvojito spojené komponentyգրաֆ.
Najprv sa zamyslime nad otázkou budovania vzťahu dosiahnuteľnosti. Pre každý graf definujeme jeho graf dosiahnuteľnosti (niekedy nazývaný aj graf tranzitívneho uzavretia), ktoreho okraje zodpovedajú dráham pôvodného grafu.
Սահմանում 9.9. Nech G = (V, E) je orientovaný graf. Graf dosiahnuteľnosti G * = (V, E *) pre G má rovnakú množinu vrcholov V a nasledujúcu množinu hrán E * = ((u, v) | v grafe G je vrchol v dosiahnuteľný z vrcholu u ):
Պրիկլադ 9.3. Uvažujme graf G z príkladu 9.2.
Ռայզա. 9.2.Կոմս Գ
Հետո môžeme skontrolovať, či graf dosiahnuteľnosti G * pre G vyzerá takto (nové okrajové slučky v každom z vrcholov 1-5 nie sú zobrazené):
Ռայզա. 9.3. Počet G*
Ako sa dá zostrojiť graf G * z graf G? Jedným zo spôsobov je určiť pre každý vrchol grafu G množinu z neho dosiahnuteľných vrcholov, postupne k nemu pridávať vrcholy, ktoré sú z neho dosiahnuteľné cestami dď2,.
Budeme uvažovať o inej metóde založenej na použití matice susednosti A G grafu G a booleovských operáciách. Nech množina vrcholov V = (v 1,…, v n): Potom matica A G je n × n booleovská matica.
Nižšie, aby sme zachovali podobnosť s bežnými operáciami na maticách, použijeme pre booleovské operácie «aritmetickú» notáciu՝ pomocou + označujeme disjunkciu a pomocou · - konjunkciu.
Nech E n označuje maticu ինքնությունը n × n. Դալի Սմե 
... Nech je náš postup konštrukcie G * založený na nasledujúcom tvrdení.
Լեմա 9.2.Նեչաջ. Հետո
Դոկազ indukciou na k.
Զակլադ. Pre k = 0 ak = 1 je tvrdenie z definície pravdivé a.
Ինդուկտիվ կրոկ. Nech platí lemma pre k. Ukážme, že zostáva v platnosti aj pre k + 1. Podľa definície máme:
Predpokladajme, že graf G od v i do v j má dráhu dĺžky k + 1. Zvážte najkratšiu z týchto ciest. Ak je jeho dĺžka k, potom podľa indukčnej hypotézy a_ (ij) ^ ((k)) = 1. Navyše a jj (1) = 1. Preto a ij (k) a jj (1) = 1 a a ij (k +) 1) = 1. Ak je dĺžka najkratšej cesty z v i do v j rovná k + 1, potom nech v r je jej predposledný vrchol. Այնուհետև գոյություն ունի դրայհա դժկի k z v i do v r a podľa indukčnej hypotézy a ir (k) = 1. Keďže (v r, v j) E, potom a_ (rj) ^ ((1)) = 1. Preto a ir (k) a rj (1. ) = 1 a a ij (k + 1) = 1:
Naopak, ak a ij (k + 1) = 1, potom aspoň pre jedno r sa sčítanec a ir (k) a rj (1) rovná 1. Ak je toto r = j, potom a ij (k) = 1 a podľa. indukčnej hypotézy má G cestu z vi do vj dĺžky k. Ak r j, potom a ir (k) = 1 a a rj (1) = 1. To znamená, že G má cestu z v i do v r dĺžky k a hranu (v r, v j) E. Ich spojením dostaneme cestu z v i do v j dĺžky k +. .
Z Lem 9.1 և 9.2 okamžite získame
Դոսլեդոկ 1. Nech G = (V, E) je orientovaný graf s n vrcholmi a G * jeho graf dosiahnuteľnosti. Ապա A_(G*) =. Դոկազ. Z lemmy 5.1 vyplýva, že ak má G cestu z u do v u, potom obsahuje aj jednoduchú cestu z u do v dĺžky n-1. A podľa Lemy 5.2 sú všetky takéto cesty reprezentované v matici.
Postup konštrukcie matice susednosti A G* grafu dosiahnuteľnosti pre G je teda redukovaný na zvýšenie matice na mocninu n-1: Urobme niekoľko poznámok na zjednodušenie tohto postupu.
kde k je najmenšie číslo také, že 2 k n.
existuje r také, že a ir = 1 a a rj = 1, potom celý súčet a ij (2) = 1. Preto možno ostatné výrazy ignorovať.
Պրիկլադ 9.3. Uvažujme ako príklad výpočet matice grafu dosiahnuteľnosti A G * pre graf G znázornený na Օբրազոկ 9.2...Tomto prípade
Pretože G má 6 vrcholov, potom. Vypočítajme tuto maticu:
a (posledná rovnosť sa dá ľahko skontrolovať): Touto cesto,
Ako môžete vidieť, táto matica skutočne definuje graf znázornený na Օբրազոկ 9.3.
Vzájomná dostupnosť, pevne prepojené komponenty a základne grafov
Analogicky s grafom dosiahnuteľnosti definujeme silný graf dosiahnuteľnosti.
Սահմանում 9.10. Nech G = (V, E) je orientovaný graf. Graf silnej dosiahnuteľnosti G * * = (V, E * *) pre G má rovnakú množinu vrcholov V a nasledujúcu množinu hrán E * * = ((u, v) | v grafe G vrcholy v a ste vzájomne dosiahnuteľný).
Z matice grafu dosiahnuteľnosti je ľahké zostaviť silnú maticu grafu dosiahnuteľnosti. Z definícií dosiahnuteľnosti a silnej dosiahnuteľnosti totiž hneď vyplýva, že potom pre všetky dvojice (i, j), 1 i, jn je hodnota prvku 1 práve vtedy, ak oba prvky AG *, AG. sa rovnajú 1, t.j.
Zložky silnej spojitosti grafu G možno od matice odlíšiť nasledovne.
Do komponentu K 1 umiestnime vrchol v 1 a všetky také vrcholy v j, aby A_ (G _ * ^ *) (1, j) = 1.
Nech už sú zostrojené komponenty K 1,…, K i a v k - toto je vrchol s minimálnym počtom, ktorý ešte nebol zahrnutý do komponentov. Այնուհետեւ կատարեք komponentu K_ (i + 1) umiestnime vrchol v k a všetky takéto vrcholy v j,
že A_ (G _ * ^ *) (k, j) = 1:
Opakujte krok (2), kým nebudú všetky vrcholy rozdelené na komponenty.
V našom príklade pre graf G na obr maticou získame nasledujúcu maticu grafu silnej dosiahnuteľnosti
Vyššie popísaným postupom zistíme, že vrcholy grafu G sú rozdelené na 4 zložky silného spojenia: K 1 = (v 1, v 2, v 3), \ K 2 = (v 4), \ K 3 = (v 5), \ K4 = (v 6): Na množine silne prepojených komponentov definujeme aj vzťah dosiahnuteľnosti.
Սահմանում 9.11. Nech K a K "sú silne spojené komponenty grafu G. Komponent K dosiahnuteľny z zložky K ^ \ prvočíslo, ak K = K "alebo existujú dva vrcholy u K a v K" také, že u je dosiahnuteľné z v. Կ prísne dosiahnuteľný z K ^ \ prvočíslo, ak K K «a K je dosiahnuteľné z K». Zložka K sa nazыva նվազագույն, ak to nie je striktne dosiahnuteľné zo žiadneho komponentu.
Keďže všetky vrcholy v jednom komponente sú vzájomne dosiahnuteľné, je ľahké pochopiť, že vzťahy dosiahnuteľnosti a prísnej dosiahnuteľnosti na komponentent h nezávisia v.kıberu.
Nasledujúca charakteristika prísnej dosiahnuteľnosti je ľahko odvoditeľná z definície.
Լեմա 9.3. Striktný vzťah dosiahnuteľnosti je čiastočným objednávacím vzťahom, t.j. je antireflexný, antisymetrický a tranzitívny.
Tento vzťah možno znázorniť ako orientovaný graf, ktorého vrcholy sú komponentmi a hrana (K ", K) znamená, že K je striktne dosiahnuteľné z K". Նա ryza. 9.4 tento graf komponentov je znázornený pre graf G uvažovaný vyššie.
Ռայզա. 9.4.
V tomto prípade existuje jedna minimálna zložka K2.
V mnohých aplikáciách je orientovaný graf distribučnou sieťou nejakého zdroja: produktu, produktu, informácie atď. V takýchto prípadoch prípadoch prirodzene nastáva problém nájsť minimálny počet takých bodov (vrcholov), z ktorých môže byť tento zdroj doručený do ktoréhokoľvek bodu v sieti.
Սահմանում 9.12. Nech G = (V, E) je orientovaný graf. Podmnožina vrcholov W V sa nazыva սերունդ ak je možné dosiahnuť niektorý vrchol grafu z vrcholov W. Podmnožina vrcholov W V sa nazýva základňa grafu, ak generuje, ale ne generuje žiadna z jej vlastných podmnožín.
Nasledujúca veta nám umožňuje efektívne nájsť všetky bázy grafu.
Վետա 9.1. Nech G = (V, E) je orientovaný graf. Podmnožina vrcholov W V je základňou G práve vtedy, ak obsahuje jeden vrchol z každého minimálneho komponentu silného spojenia G a neobsahuje žiadne ďalšie vrcholy.
Դոկազ Najprv si všimnite, že každý vrchol grafu je dosiahnuteľný z vrcholu patriacemu nejakému minimálnemu komponentu. Preto sa generuje množina vrcholov W, ktorá obsahuje jeden vrchol z každého minimálneho komponentu, a keď sa z neho akýkoľvek vrchol odstráni, prestane ním byť, pretože vrcholy z príslusianteho. Preto je W základ.
Naopak, ak W je báza, potom musí obsahovať aspoň jeden vrchol z každého minimálneho komponentu, inak budú vrcholy takéhoto minimálneho komponentu neprístupné. W nemôže obsahovať žiadne ďalšie vrcholy, pretože každý z nich je dosiahnuteľný z už zahrnutých vrcholov.
Táto veta implikuje nasledujúci postup na zostavenie jednej alebo vymenovania všetkých báz grafu G.
Nájdite všetky komponenty silného spojenia Գ.
Určite poradie na nich a vyberte komponenty, ktoré sú minimálne vzhľadom na toto poradie.
Vygenerujte jednu alebo všetky bázy grafu a vyberte jeden vrchol z každého minimálneho komponentu.
Պրիկլադ 9.5. Definujeme všetky bázy orientovaného grafu G znázorneného v Օբրազոկ 9.5.
Ռայզա. 9.5.Կոմս Գ
V prvej fáze nájdeme komponenty silneho spojenia G:
V druhej fáze vytvoríme striktný graf dosiahnuteľnosti pomocou týchto komponentov.
Ռայզա. 9.6. Graf pomeru dosiahnuteľnosti komponentov Գ
Նվազագույն չափը` K 2 = (b), K 4 = (d, e, f, g) և K 7 = (r):
Nakoniec uvedieme všetky štyri základy G: B 1 = (b, d, r), B 2 = (b, e, r), B 3 = (b, f, r) a B 1 = (b, g, r) ...
Օլոհի
Օլոհա 9.1. Dokážte, že súčet stupňov všetkých vrcholov ľubovoľného orientovaného grafu je párny.
Tento problem má populárnu interpretáciu՝ dokázať, že celkový počet podaní rúk medzi ľuďmi, ktorí prišli na párty, je vždy párny:
Օլոհա 9.2. Uveďte všetky neizomorphné neorientované grafy s najviac štyrmi vrcholmi.
Օլոհա 9.3. Dokážte, že neorientovaný súvislý graf zostane spojený po odstránení nejakej hrany ↔ táto hrana patrí do nejakého cyklu.
Օլոհա 9.4. Dokážte, že neorientovaný súvislý graf s n vrcholmi.
obsahuje aspoň n-1 hrán,
ak obsahuje viac ako n-1 hrán, tak má aspoň jeden cyklus.
Օլոհա 9.5. Dokážte, že v každej skupine 6 ľudí sú tri páry známych alebo tri páry neznámych ľudí.
Օլոհա 9.6. Dokážte, že neorientovaný graf G = (V, E) je spojený ↔ pre každý oddiel V = V 1 V 2 s neprázdnym V 1 a V 2 existuje hrana spájajúca V 1 s V 2:
Օլոհա 9.7. Dokážte, že ak má neorientovaný graf práve dva vrcholy nepárneho stupňa, potom sú spojené cestou.
Օլոհա 9.8. Nech G = (V, E) je neorientovaný graf s | E |< |V|-1. Докажите, что тогда G несвязный граф.
Օլոհա 9.9. Dokážte, že v prepojenom neorientovanom grafe majú akékoľvek dve jednoduché cesty maximálnej dĺžky spoločný vrchol.
9.10. Nech neorientovaný graf bez slučiek G = (V, E) má k spojených komponentov. Ինչպես դա անել
Օլոհա 9.11. Určte, na čo slúži graf dosiahnuteľnosti
graf s n vrcholmi a prázdnou množinou hrán;
graf s n vrcholmi՝ V = (v 1, ..., v n), ktorého hrany tvoria cyklus:
Օլոհա 9.12. Vypočítajte maticu grafu dosiahnuteľnosti pre graf
a vytvorte zodpovedajúci graf dosiahnuteľnosti. Nájdite všetky základy grafu Գ.
Օլոհա 9.13. Stavať na dané ryza. 9.7 orientovaný graf G 1 = (V, E) jeho matica susednosti A G1, matica incidencie B G1 a zoznamy susedností: Vypočítajte maticu dosiahnuteľnosti A G1 * a zostrojte zodpovedajúci graf dosiahnuteľnosti G 1 *.
Ռայզա. 9.7.
Neorientované a Orientované stromy
Stromy sú jednou z najzaujímavejších փորձել grafov používaných na reprezentáciu rôznych druhov hierarchických štruktúr.
Սահմանում 10.1. Neorientovaný graf sa nazýva strom, ak je spojený a nemá žiadne cykly.
Սահմանում 10.2. Orientovaný graf G = (V, E) sa nazýva (orientovaný) strom ak.
Նա ryza. 10.1 sú znázornené príklady neorientovaného stromu G1 a orientovaného stromu G2. Všimnite si, že strom G 2 je odvodený od G 1 výberom c ako koreňa a orientáciou všetkých hrán preč od koreňa.
Ռայզա. 10.1. Neorientované a Orientované stromy
To nie je náhoda. Dokážte nasledujúce tvrdenie o vzťahu medzi neusmernenými a orientovanými stromami.
Լեմա 10.1. Ak v ľubovoľnom neusmernenom strome G = (V, E) zvolíme za koreň ľubovoľný vrchol v V a všetky hrany orientujeme v smere «od koreňa», t.j. urobte v začiatkom všetkých hrán, ktoré k nemu priliehajú, vrcholov susediacich s v - začiatok všetkých dopadajúcich hrán, ktoré k nemu ešte nie sú orientované, atď., պոտոմի գրաֆով.
Neorientované a orientované stromy majú mnoho ekvivalentných vlastností.
Վետա 10.1. Nech G = (V, E) je neorientovaný graf. Ապա sú nasledujúce podmienky ekvivalentné.
G je strom.
Pre akékoľvek dva vrcholy v G existuje jedna cesta, ktorá ich spája.
G je pripojený, ale keď sa odstráni ktorýkoľvek okraj z E, prestane byť spojený.
G je pripojený a | E | = | V | - Ջեդեն.
G je acyklické a |E | = | V | - Ջեդեն.
G je acyklický, ale pridanie akejkoľvek hrany k E generuje cyklus.
Դոկազ(1) (2)՝ Ak by nejaké dva vrcholy v G boli spojené dvoma cestami, potom by G mal zjavne cyklus. To je však v rozpore s definíciou stromu v (1).
(2) (3): Ak je G spojené, ale po odstránení nejakej hrany (u, v) E nestráca konektivitu, potom medzi u a v existuje cesta, ktorá túto hranu neobsahuje: Ale potom G obsahuje aspoň dve cesty spájajúce u a v, čo je v rozpore s podmienkou (2).
(3) (4): Poskytnuté čitateľovi (pozri խնդիր 9.4):
(4) (5). E | = V -2 a podľa úlohy 9.4 (a) , pripojený graf by mal obsahovať aspoň V -1 rebrá. Výsledný rozpor ukazuje, že v G nie sú žiadne cykly a podmienka (5) je splnená.
(5) (6): Predpokladajme, že pridanie hrany (u, v) k E neviedlo k cyklu. Ապա v G sú vrcholy u a v v rôznych spojených komponentoch. Keďže | E | = V -1, potom v jednej z týchto zložiek, nech je (V 1, E 1), sa počet hrán a počet vrcholov zhodujú՝ | E 1 | = | V 1 |. Potom však obsahuje cyklus (pozri úlohu 9.4 (b)), ktorý je v rozpore s acyklickosťou Գ.
(6) (1)՝ Ak by G nebolo spojené, potom by existovali dva vrcholy u a v z rôznych spojených komponentov. Ապա pridanie hrany (u, v) k E neviedlo k vzniku cyklu, čo je v rozpore (6). Preto je G spojené a je stromom.
Pre orientované stromy je často vhodné použiť nasledujúcu induktívnu definíciu.
Սահմանում 10.3. Definujme indukciou trydu orientovanıch grafov nazıvanıch stromy. Zároveň pre každý z nich definujeme vyhradený vrchol – koreň.
Ռայզա. 10.2 ilustruje tuto definíciu.
Ռայզա. 10.2. Induktívna definícia orientovaných stromov
Վետա 10.2.Սահմանում riadených stromov v 10.2 a 10.3 sú ekvivalentné.
Դոկազ Nech graf G = (V, E) spĺňa podmienky definície 10.2. Ukážme indukciou na počte vrcholov | V | že.
Ակ | V | = 1, potom jedinečný vrchol v V je podľa vlastnosti (1) koreň stromu, tj. tento graf nemá hrany՝ E =. Հետո.
Predpokladajme, že je zahrnutý každý graf s n vrcholmi, ktorý spĺňa definíciu 10.2. Nech graf G = (V, E) s (n + 1) vrcholom spĺňa podmienky definície 10.2. Podľa podmienky (1) má koreňový vrchol r 0. Nech k hrán vychádza z r 0 a vedie k vrcholom r 1,…, r k (k 1). Graf, ktorý obsahuje vrcholy V i = (v V | v \ textit (dosiahnuteľný z) ri) a spojovacie hrany E i E, označíme G i, (i = 1, ..., k): pochopiť, že G i spĺňa podmienky definície 10.2. V skutočnosti r i neobsahuje hrany, tj. tento vrchol je koreňom G i. Každý z ostatných vrcholov z V i obsahuje jednu hranu, ako v G. Ak v V i, potom je dosiahnuteľný od koreňa r i definíciou grafu G i. Օդ | V i | n, potom induktívnym predpokladom. Հետո graf G získame indukčným pravidlom (2) z Definície 10.3 zo stromov G 1,…, G k a preto patrí do tryy.
⇐ Ak nejaký graf G = (V, E) patrí do tryy, potom splnenie podmienok (1) - (3) z definície 10.2 možno preň ľahko zistiť indukciou definíciou 10.2. Necháme to na čitateľa ako cvičenie.
K orientovaným stromom sa viaže bohatá terminológia, ktorá pochádza z dvoch zdrojov: botaniky a oblasti rodinných vzťahov.
Koreň je jediný vrchol, ktorý nevstupuje do okrajov, listy su vrcholy, ktoré z okrajov nevychádzajú. Cesta od koreňa k listu sa nazыva vetva stromu. Výška stromu je maximálna dĺžka jeho konárov. Hĺbka vrcholu je dĺžka cesty od koreňa k tomuto vrcholu. Pre vrchol v V tvorí podgraf stromu T = (V, E), ktorý zahŕňa všetky vrcholy dosiahnuteľné z v a hrany z E, ktoré ich spájajú, podstrom T v stromu T s koreňom v (pozri Problém 10.3): Výška vrcholu v je výška stromu T v. Graf, ktorý je spojením niekoľkých nesúrodých stromov, sa nazıva les.
Աք հրանա վեդիե զ վրչոլու վ դո վրչոլու վ, պոտոմ սա վոլա վ otec w a w - syna v (nedávno sa v anglofónnej literatúre používa asxuálna dvojica výrazov: rodič – dieťa). Z definície stromu priamo vyplýva, že každý vrchol, okrem koreňa, má jediného otca. Ak cesta vedie z vrcholu v do vrcholu w, potom v sa nazыva predok w a w je potomkom v. Vertices, ktore majú spoločného otca, sa nazývajú բրատիաալեբո քույր.
Vyberme si ďalšiu tryu grafov zovšeobecňujúcich orientované stromy – orientované acyklické. Dva typy takto označených grafov budú použité nižšie na znázornenie boolovských funkcií. Tieto grafy môžu mať niekoľko koreňov – vrcholov, ktoré neobsahujú hrany a každý vrchol môže obsahovať niekoľko hrán a nie jednu, ako je to v stromoch.
počítač տեխնոլոգիա, najmä ծրագիրը ... 2009 roku Základná škola je experimentálne misto ԱԺ zavedenie federálneho պետություն ...
M MONITORING MÉDIÍ Modernizácia odborného vzdelávania marec - օգոստոս 2011 թ.
ԺռնուտիՄիացյալ պետություն«սկուշկի» ԱԺ výber ": informácie počítačտեխնոլոգիա, կենսաբանություն և գրականություն։ Mimochodom, v tomto ռոք Jednotná štátna skúška... otázka«O výsledkoch realizácie ծրագրային rozvoj národných výskumných univerzít v 2009 -2010 քարքարոտ». ...
STRATEGICKÝ ROZVOJOVÝ PROGRAM Tver 2011 թ.
ԾրագիրՎ 2009 ռոք... Štrukturálne zmeny pozorované v roku 2010 թ ռոքԱԺ vzťah k 2009 , ... Պրոֆեսիոնալ – orientovany cudzí jazyk "," Moderne vzdelávanie տեխնոլոգիա»...Վկաժդոմ ծրագիրը pokročilé školenie, modul « Պետություն ...
DOSTUPNOSŤ A PREPOJENIE V GRAFOCH Osnova prednášky: Okruhové trasy a cykly. Grafová Konektivita մի բաղադրիչի կոնեկտիվություն. Priemer je polomer a stred graf.
Zdieľajte svoju prácu na sociálnych sieťach
Ak vám táto práca nevyhovovala, v spodnej časti stránky je zoznam podobných prác. Môžete tiež použiť tlačidlo vyhľadávania
Բարանով Վիկտոր Պավլովիչ. Diskrétna matematika. Քասթ 3.Grafy, siete, kódy.
Prednáška 8. Dosah a konektivita v grafoch
Պրեդնաշկա 8. ԴՈՍԱՀ Ա ԿՈՆԵԿՏԻՎԻՏԱ Վ ԳՐԱՖՈՉ
Plan prednášok:
- Տրսի, կրկնիր ցիկլային:
- Grafová Konektivita մի բաղադրիչի կոնեկտիվություն.
- Primer, polomer a stred graf.
- Matrice dosiahnuteľnosti և kontradosiahnuteľnosti:
- Cesty, reťaze a slučky
Orientovana trasa(ալեբո պատ ) digrafu je postupnosť oblúkov, v ktorej konečný vrchol akéhokoľvek oblúka okrem posledného je počiatočným vrcholom nasledujúceho. Նաոբր. Օբլուկով 1 հաջորդականություն
, (1)
, (2)
(3)
sú cesty.
Ռայզա. ջեդեն.
Orientovaná reťaz(alebo reťaz ) sa nazýva dráha, v ktorej každý oblúk aՍ nepoužíva viac ako raz. Takže napríklad cesty (2) a (3) sú reťazce, ale cesta (1) nie, pretože oblúk je v nej použitý dvakrát.
Ջեդնոդուչե sa nazıva reťazec, v ktorom je každý vrchol použitý najviac jeden.Օ tý krát. Napríklad reťazec (3) je jednoduchý, ale reťazec (2) nie je.
Տրասա je neusmernené dvojča cesty, teda postupnosť hrán, v ktorej každá hrana, okrem prvej a poslednej, je spojená koncovými vrcholmi s hranami a. Lišta nad symbolom oblúka znamená, že sa považuje za hranu.
Podobne ako sme definovali reťazce a jednoduché reťazce, môžeme definovať reťazce a jednoduché reťazce.
Cesta alebo trasa môže byť tiež znázornená ako postupnosť vrcholov. Նապրիկլադա opatrenia, cestu (1) možno zapísať ako:.
Cesta sa nazıva uzavretá ak sa počiatočný vrchol oblúka v ňom zhoduje s koňom.հ noah vrchol oblúka. Uzavreté orchainy (reťazce) sú tzv orcycles (ցիկլային ) Orcycles sú tiež tzv obrysy ... Uzavreté jednoduché orchainy (reťaze) sa nazývajú.սու jednoduché orcykle(v ցիկլ): Uzavretá trasaje neoorientovany n dvojnásobok uzavretého nնա odpalisku.
- Grafová Konektivita մի բաղադրիչի կոնեկտիվություն
Hovorí sa, že vrchol v digrafe je dosiahnuteľný z vrcholu, ak existuje cesta. Ak je zároveň dosiahnuteľný z, potom sa hovorí, že tieto vrcholy sú vzájomne dosiahnuteľné.
Digraf sa nazıva silne spojenı alebo silny. ak sú v ňom nejaké dva vrcholyա Sú veľmi dostupni. Príklad silneho digrafu je znázornený na obr. 2 ա. Keďže v graf ichե je orcyklus, ktorý zahŕňa všetky vrcholy, potom ktorékoľvek dva z nich zaberú. ale sú veľmi dostupné.
° ° °
° ° ° ° ° °
° ° ° ° ° °
a B C
Ռայզա. 2.
Digraf sa nazыvajednosmerne pripojené alebo jednostranne ak v ktorejkoľvek dvojici jeho vrcholov je aspoň jeden dosiahnuteľný z druhého. Príklad jednostranneho grafu je na obr. 2բ. Tento graf obsahuje orcyklus obsahujúci štyri vzájomne dosiahnuteľné vrcholy. Vrchol má nulový stupeň priblíženia, čo znamená, že do tohto vrcholu nevedú žiadne cesty. V tomto prípade je možné dosiahnuť ktorýkoľvek z ostatných štyroch vrcholov.
Digraf sa nazыvaսլաբո պրիպոժենի ալեբո սլաբի ակ գոյություն ունեցող նեջակե դվա վրչոլի ս o zjednotený na polceste ... Polovičná cesta, na rozdiel od cesty, môže mať opačný smer. v lemované obluky. Príklad slabého digrafu je na obr. 2 գ. Je zrejmé, že graf neobsahuje nպրի medzi vrcholmi a, ale existuje polovičná cesta pozostávajúca z opaku.ա vládnuce oblúky a.
Ak pre niektorú dvojicu vrcholov neexistuje trasa, ktorá by ich spájala, potom m.ա ktorý digraf sa nazıvaանսպասելիորեն.
Pre digraf sú definované tri typy komponentov konektivity:silna zložka-մակ ծայրահեղ մռայլ podgraf,jednostranny բաղադրիչ- առավելագույնըՕ Ռոննի Պոդգրաֆ ասալաքարի բաղադրիչJe najslabším podgrafom.
Concept silnej zložky je znázornený na obr. 3.
° ° ° ° ° °
° ° ° °
° ° ° ° ° °
° ° ° ° ° °
° ° °
° ° ° ° °
Ռայզա. 3
Jednosmerne prepojený graf obsahuje šesť silných palcovդ grafov, z ktorých sú len silné zložky n տամի. Հայեցակարգը jednostrannyho komponentu je znázornený podobným spôsobom. V tomto príkladeե Jednostranny zložka je rovnaká ako samotný graf. Ak zmeníte orientáciuա oblúk, napríklad do opačného, potom získame slabý graf s dvoma jednosmernými.Օ tretie zložky, z ktorých jedna je tvorená vrcholmi a druhá je. p օդաճնշական.
Pre neorientovaný graf definujeme na množine jeho vrcholov zásobníkՌ vzťah, za predpokladu, že existuje reťazové prepojenie s. Tento postoj je oblա dáva vlastnosti reflexivity, symetrie a priechodnosti, teda ide oՏ ekvivalencia nosenia. Rozdeľuje množinu vrcholov do disjunktných փորձել:. Dva vrcholy z rovnakej tryy sú ekvivalentné, to znamená, že v grafe existuje reťazec, ktorý ich spája, pre vrcholy z rôznych փորձել takýto reťazec neexistuje. Od konca lՅու Ak sú hrany vo vzťahu, potom sa množina hrán grafu tiež rozdelí na disjunktné tryy:, kde označuje množinu všetkých hrán, ktorých konce patria do,.
Grafy sú prepojené a tvoria jeden graf. Tieto grafy sa nazıvajuբաղադրիչ pripojeniaգրաֆ. Číslo je ďalšou číselnou charakteristikou grafu. Pre pripojený graf, ak je graf odpojený, potom.
Ak daný graf nie je spojený a rozdeľuje sa na niekoľko komponentov, potom sa riešenie akejkoľvek otázky týkajúcej sa tohto grafu spravidla môže zredukovať na štúdium jednotlivýne բաղադրիչ, Preto má vo väčšine prípadov zmysel predpokladať, že daný graf je súvislý.
- Պրայմեր, պոլոմեր և լարային գրաֆու
Pre spojený graf definujte vzdialenosť medzi jeho dvoma vrcholmi a ako dĺžku najkratšieho reťazca spájajúceho tieto vrcholy a označíme. Dĺžka reťaze je počet hrán, ktoré tvoria reťaz. Je ľahké skontrolovať, či ste zadali n Táto vzdialenosť spĺňa axiómy metriky:
2) ;
3) .
Určme vzdialenosť od každého vrcholu grafu k vrcholu, ktorý je od neho najďalej.
ktorá sa volávýstrednosť... Je zrejmé, že excentricita pre všetky vrcholy v úplnom grafe sa rovná jednej a pre vrcholy jednoduchého cyklu -.
Maximálna eccentricita je tzvՊրայմեր graf նվազագույն jeպոլոմեր գրաֆ. V kompletnom grafe máme, a v jednoduchom cycle -.
Vrchol sa nazыva կենտրոնական եթե. Count môže mať niekoľkoբ k takýmto vrcholom a v niektorých grafoch sú všetky vrcholy կենտրոնական. V jednoduchom reťazci je pre nepárny počet vrcholov iba jeden stredový a pre párny počet vrcholov.Ս Existujú dva takéto vrcholy. V úplnom grafe a pre jednoduchý cyklus sú všetky vrcholy կենտրոնական. Množina stredových vrcholov je tzvլարային գրաֆիկ.
Պրիկլադ 1 Nájdite priemer, polomer a stred grafu znázorneného na obr. 4.
° °
° ° °
° °
° °
Ռայզա. 4.
Na vyriešenie tohto problému je vhodné predbežne vypočítaťmatica vzdialenostiմեծի վրչոլմի ա mi počítať. V tomto prípade to bude matica veľkosti, v ktorej je vzdialenosť od vrcholu k vrcholu na mieste:
Pre každý riadok matice nájdeme najväčší prvok a zapíšeme ho akoա wa z pomlčky. Najväčšie z týchto čísel sa rovná priemeru grafu, najmenšie je p.ա dius počet. Stred grafu tvoria stredové vrcholy ա.
Pojmy centrálny vrchol a stred grafu sa objavili v súvislosti s problémami veľkoobchoduա minimálne umiestnenie čakacích miest, ako sú nemocnice, hasiči, stanice verejného poriadku atď., keď je dôležité minimalizovaťա väčšia vzdialenosť od ktorehokoľvek bodu určitej siete k najbližšiemu servisnému boduնիյա.
- Matrice dosiahnuteľnosti և kontradosiahnuteľnosti
Matica dosiahnuteľnostije definovaný nasledovne:
Množina vrcholov grafu dosiahnuteľná z daného vrcholu pozostáva z prvkov, pre ktoré je tý prvok v matici 1. Túto množinu možno znázorniť ako.
Matica protidosiahnuteľnosti (spätná dosiahnuteľnosť) սահմանում i sa robí nasledovne:
Podobne ako pri konštrukcii dosiahnuteľnej množiny možno vytvoriť mnՕ gesto s použitím nasledujúceho výrazu:
Z definícií vyplıva, že tý stĺpec matice sa zhoduje s tý riadkom ma.Տ matice, t.j. kde je matica transponovaná do matice.
Պրիկլադ 2 Nájdite matice dosiahnuteľnosti a contrareachability pre graf, prա znázornene na obr. 5.
Ռայզա. 5.
Definujme množiny dosiahnuteľnosti pre vrcholy grafu:
V dôsledku toho majú matice dosiahnuteľnosti a kontraprístupnosti tvar:
Keďže existuje množina takýchto vrcholov, z ktorých každý patrí aspoň jednej ceste vedúcej z do, vrcholy tejto množiny sa nazıvajú. sú nevyhnutne ալեբո բնորոշ vzhľadom na koncové vrcholy a. Všetky ostatné vrcholy su tzvbezvýznamny alebo nadbytočne keďže ich vymazanie neovplyvní cesty od do.
Môžete tiež definovať matice obmedzene dosiahnuteľnosť a protiúspechա mosty, ak požadujete, aby dĺžky ciest nepresiahli určitý daný počet. Այնուհետեւ դեպի bude horná hranica dĺžky prípustných ciest.
Graf sa nazıva tranzitívny ak z existence oblúkov a stopyպրի գոյութիւն ոբլուկա.Տրանսպորտgraf je graf, kde je minimálna možná množina oblúkov potrebná na to, aby bol graf tranzitívny. Je zrejmé, že matica dosiahnuteľnosti grafu sa zhoduje s maticou susednosti grafu, ak do matice umiestnime jednotky na hlavnej diagonále.
G (V, X) so slučkami, ale bez viacerých oblúkov definuje binárnu reláciu X na množine V. Úplný graf zodpovedá univerzálnemu vzťahu. Neorientovaný graf zodpovedá symetrickému vzťahu. Doplnok grafu zodpovedá doplnku vzťahu. Zmena smeru oblúkov zodpovedá opačnému vzťahu.
Digrafy a binárne vzťahy sú rovnaká trya objektov opísaných rôznymi prostriedkami. Binárne vzťahy, funkcie sú základnými nástrojmi na zostavenie drvivej väčšiny matematických modelov, ktoré sa používajú na riešenie praktických problémov, a grafy je možizovaťné vovovizual for. To vysvetľuje rozšírené používanie diagramov rôznych typov v kódovaní a dizajne.
Vrchol b digrafu (grafu) G sa nazыva dosiahnuteľne z U vtedy a len vtedy, ak U = V alebo existuje cesta (trasa) spájajúca U s V (U je počiatočný vrchol, V je konečný vrchol). Na množine vrcholov digrafu (grafu) je teda definovaný nielen vzťah susednosti A, ale aj vzťah dosiahnuteľnosti T.
Matica dosiahnuteľnosti T digraf (graf) G sa nazыva T 2 n × n, ktoreho prvky sa nachádzajú z podmienky: 1, ak je dosiahnuteľný z; 0, ak nie je dosiahnuteľný z.
Určenie matice dosiahnuteľnosti digrafu ako matice reflexného a tranzitívneho uzavretia vzťahu susednosti:
Zavedený vzťah dosiahnuteľnosti vo vrcholoch grafu G (V, X): vrchol w je dosiahnuteľný z vrcholu v, ak v = w alebo G má cestu z v do w. Inými slovami, dosiahnuteľnosť je reflexívne a tranzitívne uzavretie vzťahu susedstva.
Nájdite maticu susednosti, tranzitívne a reflexné uzavretie.
Konektivita v grafoch. Slabá, jednostranna a silná konektivita v digrafoch. Konektivita a silná matica konektivity. Բաղադրիչ pripojenia. Սահմանում matice silnej konektivity եւ základe matice dosiahnuteľnosti.
G (V, X) sa nazыva pripojený ak je niektorý z jeho vrcholov dosiahnuteľný z akéhokoľvek iného vrcholu.
Digraf G (V, X) sa nazыva jednosmerne pripojené ak pre ktorékoľvek dva jeho vrcholy je najviac jeden dosiahnuteľný z druhého.
Digraf G (V, X) sa nazыva ուժեղ prepojený ak je niektorý z jeho vrcholov dosiahnuteľný z akéhokoľvek iného.
Digraf G (V, X) sa nazыva թույլ pripojený ak je pripojený zodpovedajúci nedigraf získaný odstránením orientácie oblúkov.
Digraf, ktorý nie je slabo spojený, sa nazýva աննկատ կերպով.
Silny spojovaci բաղադրիչ Digraf G (V, X) sa nazыva maximálny, podľa počtu výskytov vrcholov, silne spojený podgraf daného digrafu. Spojená zložka nedigrafu je definovaná podobným spôsobom.
Silne prepojená (spojená) matica digraf (graf) G (V, X) sa nazýva S n × n, ktorého prvky sa nachádzajú z podmienky: 1, ak je dosiahnuteľný z a dosiahnuteľný z; 0, ak nie je dosiahnuteľný z a nedosiahnuteľný z.
(digraf) silne spojený alebo spojený, na to stačí určiť prítomnosť 0 v matici ak.
0 nie je prítomný, potom je graf (digraf) spojený (silne spojený), inak nie.
Pevne spojená matica môže byť vytvorená z matice dosiahnuteľnosti pomocou vzorca
Նեչաջ Վ- množina vrcholov orientovaného grafu Ֆ, Ե- mnohé jeho okraje. Կաժդե ռեբրո եÎ Ե má začiatok v'Î Վ a koniec v''Î Վ...Sú teda dané dve zobrazenia j 1 a j 2, kde v'= j 1 ( ե) - začiatok okraja ե, v''= j 2 ( ե) - koniec կող ե.
Je možné uviesť niekoľko definícií cesta v digrafe Ֆ.
1. Cesta z vrcholov a hrán je postupnosť Լ(v 0 ,ե 1 ,v 1 ,ե 2 ,...,e n,vn), kde v i- 1 = j 1 ( e i), v i= j 2 ( e i) Vertex v Volá sa 0 začiatok cesty Լ,վրչոլ vn - koniec cesty L, číslo nհրանի-ջեհո dĺžka... Cesta s jedným vrcholom má nulovú dĺžku.
2. Okrajova cesta je postupnosť ( ե 1 ,ե 2 ,...,e n) Tento koncept cesty je analogický s konceptom trasy v neorientovanom grafe.
3. Cesta z vrcholov je postupnosť ( v 0 ,v 1 ,...,vn) Cesta z vrcholov je definovaná pre grafy, ktoré neobsahujú viacero hrán.
V praxi môžete použiť definíciu cesty, ktorá bude v tejto konkrétnej úlohe vhodnejšia.
Cesta je tzv orientovaný reťazec(ալեբո ջեդնոդուչո reťaz keď sa berú do úvahy iba digrafy), ak sa v ňom každá hrana vyskytuje najviac 1-krát a. jednoduchý orientovaný reťazec ak každý vrchol grafu Ֆ zasahuje najviac do dvoch jeho okrajov.
Պրիկլադ... cesta ( ե 5 ,ե 6 ,ե 7 ,ե 1 ,ե 4 ,ե 3) (obr. 3.11) je or.reťaz a cesta ( ե 7 ,ե 1 ,ե 4 ,ե 3) - jednoduchý op. reťaz.
| Ռայզա. 3.11. |
Cesta je tzv orientovany cyklus(ալեբո ջեդնոդուչո ցիկլու ak sa berú do úvahy iba digrafy), ak pozostáva z viac ako jedného prvku a jeho začiatok sa zhoduje s jeho koncom. Rovnako ako v prípade neorientovaného grafu, začiatok cyklu zvyčajne nie je pevný. Cyklus je tzv jednoduce ak každý vrchol, ktorý k nemu patrí, je incidentný presne s dvoma jeho okrajmi.
Պրիկլադ... cesta ( ե 1 ,ե 4 ,ե 3 ,ե 2 ,ե 5 ,ե 6 ,ե 7) - հեծանիվ, ցեստա ( ե 5 ,ե 6 ,ե 7) je jednoduchý cyklus.
V súvislosti s orientovanými reťazcami platí veta, ktorú dokázal Redei pri štúdiu kvadratických polí.
Վետա 3.3. Նեչաջ Ֆ- konečný digraf, v ktorom je každá dvojica vrcholov spojená hranou. Այնուհետեւ v Ֆ cez všetky jeho vrcholy prechádza jednoduchý orientovaný reťazec.
ÿ Dokaz sa vykoná metódou MI. Počet vrcholov v graf označujeme ako n.
· n= 2՝ oblúk spájajúci dva vrcholy grafu Ֆ 2 a cez všetky vrcholy grafu prechádza jednoduchý smerovaný reťazec.
Predpokladajme, že pre n= մնախագրաֆ Ֆ մ veta je pravdivá.
Dokážme to pre n= մ+1 նախագրաֆ Ֆ մ Veta +1 je pravdivá.
Զոստավմե սի գրաֆ Ֆ մ+1 pridanim do grafu Ֆ մ nejaký top v մ+1, ktorý má hrany ku všetkým vrcholom v i (ես=1,2,...,մ) od Ֆ մ... Podľa predpokladu existuje jednoduchý riadený reťazec prechádzajúci všetkými vrcholmi grafu Ֆ մ: Պոպոլուդնիե=(v 1 ,v 2 ,...,v մ) Pre hrany dopadajúce na vrchol v մ+1, sú tri možnosti.
1. Je tu obluk ( v մ +1, vՋեդեն): Pridanim do reťazca Պոպոլուդնիե«Naľavo» dostaneme požadovaný reťazec prechádzajúci cez všetky vrcholy grafu. Ֆ մ +1: Պոպոլուդնիե +1 =(v մ +1 ,v 1 ,v 2 ,...,v մ).
2. Je tu obluk ( v մ , v մ+1). Pridanim do reťazca Պոպոլուդնիե«Vpravo» dostaneme požadovaný reťazec prechádzajúci cez všetky vrcholy grafu. Ֆ մ +1: Պոպոլուդնիե +1 =(v մ +1 ,v 1 ,v 2 ,...,v մ,v մ +1).
3. Ակ ջե վ գրաֆե Ֆ մ+1 բեզ ոբլուկա ( v մ +1 ,v 1), բեզ ոբլուկա ( v մ,v մ+1), potom pre niektorých կ (կ=2,3,...,մ-1) určite bude obsahovať oblúky ( vk,v մ+1) ա ( v մ +1 ,vk+1). Urobme reťaz
Պոպոլուդնիե +1 =(v 1 ,v 2 ,...,vk,v մ +1 ,vk +1 ,...,v մ).
Tento reťazec prechádza všetkými vrcholmi grafu Ֆ մ +1 .
Na mnohých vrcholoch Վ nastaviť postoj dosiahnuteľnosť R D takto: Vertex v'Î Վ je vo vzťahu Ռ Դս վրչոլոմ v''Î Վ(v tomto prípade sa hovorí, že vrchol je v '' dosiahnuteľnýզ վրչու v'), ak existuje cesta Լ(v',... ,v'') այսպես začiatkom v' a koniec v''.
Podobne ako vzťah spojenia pre vrcholy neorientovaného grafu, vzťah. dosiahnuteľnosť pre vrcholy orientovaného grafu ռեֆլեկտիվա անցողիկ, ale na rozdiel od vzťahu prepojenosti, vzťahu dosiahnuteľnosti nie nevyhnutne symetrické.
Vzťah dosiahnuteľnosti sa používa na definovanie rozdelenia množiny vrcholov digrafu do try ekvivalencie: vrcholov v', v'' patria do rovnakej tryy, ak je vzťah symetrický, t.j. v'' dosiahnuteľny z v', ա v' dosiahnuteľny z v''.
Նեչաջ Լ 1 (v', ... ,v'') ա Լ 2 (v'', ... ,v') - zodpovedajúce cesty spájajúce tieto vrcholy. Ապա սպոլու տվորիա ցիկլուս ցեզ վրչոլյ v'ա v''... Akékoľvek vrcholy rovnakej tryy ekvivalencie teda patria do určitého cyklu. Ak v grafe nie sú žiadne cykly, potom každá trya ekvivalencie pozostáva z jedného vrcholu.
| Ռայզա. 3.13. |
Նվազագույն գրաֆ Ֆ Բ, indukujúce na množine vrcholov Վ rovnaký vzťah dosiahnuteľnosti ako daný orientovaný graf Ֆ, տ.ջ. sa nazýva graf s neredukovateľnou množinou hrán zakladny grafնախագրաֆ Ֆ.
Ak existuje základný graf, potom nemusí byť nevyhnutne jediný. Takže pre graf na obr. 3.13, akýkoľvek radiálna hrana a orientovaný polygonálny cyklus definujú základný graf.
Աք Ֆ- konečný digraf, potom existujú základné grafy; možno ich získať postupným odstraňovaním «nepotrebných» օկրաջով ( v 0 ,vn), pre ktoré existuje okraj bez ( v 0 ,vn) orientovaný reťazec Ռ(v 0 ,vn).
Նաչիտավա...