Oblasť stĺpca. Ako vypočítať plochu obrázku

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Výpočet plochy postavy Toto je možno jeden z najťažších problémov v teórii oblasti. V školskej geometrii sa učia nájsť plochy základných geometrických útvarov, ako sú napríklad trojuholník, kosoštvorec, obdĺžnik, lichobežník, kruh atď. Často sa však treba zaoberať výpočtom plôch zložitejších obrazcov. Práve pri riešení takýchto problémov je veľmi vhodné použiť integrálny počet.

Definícia.

Krivočiary lichobežník volá sa nejaký obrazec G ohraničený priamkami y = f(x), y = 0, x = a a x = b a funkcia f(x) je spojitá na segmente [a; b] a nemení na ňom svoje znamienko (obr. 1). Oblasť krivočiareho lichobežníka môže byť označená S(G).

Určitý integrál ʃ a b f(x)dx pre funkciu f(x), ktorá je spojitá a nezáporná na segmente [a; b] a je oblasťou zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

To znamená, že na nájdenie oblasti obrázku G, ohraničeného priamkami y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a a x \u003d b, je potrebné vypočítať určitý integrál ʃ a b f (x) dx.

teda S(G) = ʃa b f(x)dx.

Ak funkcia y = f(x) nie je kladná na [a; b], potom možno pomocou vzorca nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka S(G) = -ʃa b f(x)dx.

Príklad 1

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Riešenie.

Dané čiary tvoria obrazec ABC, ktorý je znázornený šrafovaním ryža. 2.

Požadovaná plocha sa rovná rozdielu medzi plochami krivočiareho lichobežníka DACE a štvorca DABE.

Pomocou vzorca S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) nájdeme hranice integrácie. Aby sme to dosiahli, riešime systém dvoch rovníc:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Máme teda x 1 \u003d 1 - spodný limit a x \u003d 2 - horný limit.

Takže, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: 11/4 m2. Jednotky

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Riešenie.

Dané čiary tvoria obrazec ABC, ktorý je zhora ohraničený grafom funkcie

y \u003d √x a zospodu graf funkcie y \u003d 2. Výsledný údaj je znázornený šrafovaním ryža. 3.

Požadovaná oblasť je S = ʃ a b (√x - 2). Nájdite hranice integrácie: b = 9, aby sme našli a, riešime sústavu dvoch rovníc:

(y = √x,
(y = 2.

Máme teda, že x = 4 = a je spodná hranica.

Takže S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: S = 2 2/3 štvorcových. Jednotky

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Riešenie.

Nakreslite funkciu y \u003d x 3 - 4x pre x ≥ 0. Ak to chcete urobiť, nájdite deriváciu y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 pri х = ±2/√3 ≈ 1,1 sú kritické body.

Ak znázorníme kritické body na reálnej osi a umiestnime znamienka derivácie, dostaneme, že funkcia klesá z nuly na 2/√3 a rastie z 2/√3 do plus nekonečna. Potom x = 2/√3 je minimálny bod, minimálna hodnota funkcie y je min = -16/(3√3) ≈ -3.

Určme priesečníky grafu so súradnicovými osami:

ak x \u003d 0, potom y \u003d 0, čo znamená, že A (0; 0) je priesečník s osou Oy;

ak y \u003d 0, potom x 3 - 4x \u003d 0 alebo x (x 2 - 4) \u003d 0, alebo x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, odkiaľ x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (nevhodné, pretože x ≥ 0).

Body A(0; 0) a B(2; 0) sú priesečníkmi grafu s osou Ox.

Dané čiary tvoria obrazec OAB, ktorý je znázornený šrafovaním ryža. 4.

Keďže funkcia y \u003d x 3 - 4x nadobúda (0; 2) zápornú hodnotu, potom

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Máme: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, odkiaľ S \u003d 4 metre štvorcové. Jednotky

Odpoveď: S = 4 štvorcových. Jednotky

Príklad 4

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú parabolou y \u003d 2x 2 - 2x + 1, priamkami x \u003d 0, y \u003d 0 a dotyčnicou k tejto parabole v bode s os x 0 \u003d 2.

Riešenie.

Najprv zostavíme rovnicu dotyčnice k parabole y \u003d 2x 2 - 2x + 1 v bode s os x₀ \u003d 2.

Keďže derivácia y' = 4x - 2, potom pre x 0 = 2 dostaneme k = y'(2) = 6.

Nájdite súradnicu bodu dotyku: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Dotyková rovnica má preto tvar: y - 5 \u003d 6 (x - 2) alebo y \u003d 6x - 7.

Postavme postavu ohraničenú čiarami:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Priesečníky so súradnicovými osami: A(0; 1) - s osou Oy; s osou Ox - neexistujú žiadne priesečníky, pretože rovnica 2x 2 - 2x + 1 = 0 nemá riešenia (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, to znamená, že vrchol bodu paraboly B má súradnice B (1/2; 1/2).

Takže obrazec, ktorého plocha sa má určiť, je znázornená šrafovaním ryža. 5.

Máme: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Nájdite súradnice bodu D z podmienky:

6x - 7 = 0, t.j. x \u003d 7/6, potom DC \u003d 2 – 7/6 \u003d 5/6.

Oblasť trojuholníka DBC nájdeme pomocou vzorca S ADBC = 1/2 · DC · BC. teda

S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 štvorcových. Jednotky

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (štvorcové jednotky).

Nakoniec dostaneme: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: S = 1 1/4 štvorcových. Jednotky

Preskúmali sme príklady nájdenie plôch útvarov ohraničených danými čiarami. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov musíte byť schopní zostaviť čiary a grafy funkcií v rovine, nájsť priesečníky čiar, použiť vzorec na nájdenie oblasti, čo znamená schopnosť a zručnosti vypočítať určité integrály.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Plošný vzorec je potrebné určiť plochu obrazca, čo je funkcia skutočnej hodnoty definovaná na určitej triede obrazcov v euklidovskej rovine a spĺňajúca 4 podmienky:

Pozitívny – plocha nemôže byť menšia ako nula;
normalizácia - štvorec so stranou jednoty má plochu 1;
Kongruencia - zhodné čísla majú rovnakú plochu;
Aditivita - plocha spojenia 2 tvarov bez spoločných vnútorných bodov sa rovná súčtu plôch týchto tvarov.

Vzorce pre oblasť geometrických tvarov.

Geometrický obrazec	Vzorec	Kreslenie
Výsledok sčítania vzdialeností medzi stredmi protiľahlých strán konvexného štvoruholníka sa bude rovnať jeho semiperimetru.
Kruhový sektor. Plocha sektora kruhu sa rovná súčinu jeho oblúka a polovice polomeru.
kruhový segment. Na získanie plochy segmentu ASB stačí odpočítať plochu trojuholníka AOB od plochy sektora AOB.	S = 1/2 R(s - AC)
Plocha elipsy sa rovná súčinu dĺžok hlavnej a vedľajšej poloosi elipsy krát pi.
Elipsa. Ďalšou možnosťou, ako vypočítať plochu elipsy, sú jej dva polomery.
Trojuholník. Cez základňu a výšku. Vzorec pre oblasť kruhu z hľadiska jeho polomeru a priemeru.
Námestie . Cez jeho stranu. Plocha štvorca sa rovná štvorcu dĺžky jeho strany.
Námestie. Cez jeho uhlopriečku. Plocha štvorca je polovica štvorca dĺžky jeho uhlopriečky.
pravidelný mnohouholník. Na určenie plochy pravidelného mnohouholníka je potrebné rozdeliť ho na rovnaké trojuholníky, ktoré by mali spoločný vrchol v strede vpísanej kružnice.	S = r p = 1/2 r n a

Geometrická oblasť- číselná charakteristika geometrického útvaru znázorňujúca veľkosť tohto útvaru (časť plochy ohraničená uzavretým obrysom tohto útvaru). Veľkosť plochy je vyjadrená počtom v nej obsiahnutých štvorcových jednotiek.

Vzorce oblasti trojuholníka

Vzorec plochy trojuholníka pre stranu a výšku
Oblasť trojuholníka rovná polovici súčinu dĺžky strany trojuholníka a dĺžky nadmorskej výšky nakreslenej na túto stranu
Vzorec pre oblasť trojuholníka s tromi stranami a polomerom opísanej kružnice
Vzorec pre oblasť trojuholníka s tromi stranami a polomerom vpísanej kružnice
Oblasť trojuholníka sa rovná súčinu polovice obvodu trojuholníka a polomeru vpísanej kružnice.

Vzorce štvorcovej oblasti

Vzorec pre plochu štvorca daný dĺžkou strany
štvorcová plocha sa rovná štvorcu dĺžky jeho strany.
Vzorec pre plochu štvorca daný dĺžkou uhlopriečky
štvorcová plocha rovná polovici štvorca dĺžky jeho uhlopriečky.
S= 1 2
2

Vzorec oblasti obdĺžnika

Oblasť obdĺžnika

Vzorce pre oblasť rovnobežníka

Vzorec plochy rovnobežníka pre dĺžku a výšku strany
Plocha rovnobežníka
Vzorec pre oblasť rovnobežníka s dvoma stranami a uhlom medzi nimi
Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu dĺžok jej strán vynásobených sínusom uhla medzi nimi.
a b sinα

Vzorce pre oblasť kosoštvorca

Vzorec plochy kosoštvorca daný dĺžkou a výškou strany
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu dĺžky jeho strany a dĺžky výšky zníženej na túto stranu.
Vzorec pre oblasť kosoštvorca daný dĺžkou strany a uhlom
Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu druhej mocniny dĺžky jej strany a sínusu uhla medzi stranami kosoštvorca.
Vzorec pre oblasť kosoštvorca z dĺžok jeho uhlopriečok
Oblasť kosoštvorca sa rovná polovici súčinu dĺžok jej uhlopriečok.

Vzorce pre oblasť lichobežníka

Heronov vzorec pre lichobežník
Kde S je oblasť lichobežníka,
- dĺžka základov lichobežníka,
- dĺžka strán lichobežníka,

Ako nájsť oblasť postavy?

Poznať a vedieť vypočítať plochy rôznych útvarov je potrebné nielen na riešenie jednoduchých geometrických úloh. Bez týchto vedomostí sa nemôžete obísť pri zostavovaní alebo kontrole odhadov na opravu priestorov a výpočte množstva potrebného spotrebného materiálu. Preto poďme zistiť, ako nájsť oblasti rôznych postáv.

Časť roviny uzavretá v uzavretom obryse sa nazýva oblasť tejto roviny. Plocha je vyjadrená počtom štvorcových jednotiek v nej uzavretých.

Na výpočet plochy základných geometrických tvarov musíte použiť správny vzorec.

Oblasť trojuholníka

Označenia:

Ak sú známe h, a, potom sa plocha požadovaného trojuholníka určí ako súčin dĺžok strany a výšky trojuholníka zníženého na túto stranu, rozdelených na polovicu: S = (a h)/2
Ak sú známe a, b, c, potom sa požadovaná plocha vypočíta pomocou Heronovho vzorca: druhá odmocnina získaná zo súčinu polovice obvodu trojuholníka a troch rozdielov polovice obvodu a každej strany trojuholníka: S = √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
Ak sú známe a, b, γ, potom sa plocha trojuholníka určí ako polovica súčinu 2 strán, vynásobená hodnotou sínusu uhla medzi týmito stranami: S=(a b sin γ)/2
Ak sú známe a, b, c, R, potom požadovaná plocha je definovaná ako delenie súčinu dĺžok všetkých strán trojuholníka štyrmi polomermi kružnice opísanej: S=(a b c)/4R
Ak sú známe p, r, potom sa požadovaná oblasť trojuholníka určí vynásobením polovice obvodu polomerom kruhu, ktorý je v ňom vpísaný: S = p r

štvorcová plocha

Označenia:

Ak je strana známa, potom sa plocha tohto obrázku určí ako druhá mocnina dĺžky jeho strany: S=a 2
Ak je známe d, potom štvorcová plocha je definovaná ako polovica druhej mocniny dĺžky jej uhlopriečky: S=d 2 /2

Oblasť obdĺžnika

Označenia:

S - určená oblasť,
a, b sú dĺžky strán obdĺžnika.

Ak sú známe a, b, potom je plocha daného obdĺžnika určená súčinom dĺžok jeho dvoch strán: S=a b
Ak sú dĺžky strán neznáme, potom musí byť oblasť obdĺžnika rozdelená na trojuholníky. V tomto prípade je plocha obdĺžnika definovaná ako súčet plôch trojuholníkov, ktoré ho tvoria.

Plocha rovnobežníka

Označenia:

S - požadovaná oblasť,
a, b - dĺžky strán,
h je dĺžka výšky daného rovnobežníka,
d1, d2 - dĺžky dvoch uhlopriečok,
α - uhol medzi stranami,
γ je uhol medzi uhlopriečkami.

Ak sú známe a, h, potom sa požadovaná plocha určí vynásobením dĺžok strany a výšky zníženej na túto stranu: S = a h
Ak sú známe a, b, α, potom sa plocha rovnobežníka určí vynásobením dĺžok strán rovnobežníka a hodnoty sínusu uhla medzi týmito stranami: S=a b sin α
Ak sú známe d 1 , d 2 , γ, potom je plocha rovnobežníka definovaná ako polovica súčinu dĺžok uhlopriečok a hodnoty sínusu uhla medzi týmito uhlopriečkami: S=(d 1 d 2 sinγ)/2

Oblasť kosoštvorca

Označenia:

S - požadovaná oblasť,
a - dĺžka strany,
h - výška dĺžka,
α je menší uhol medzi oboma stranami,
d1, d2 sú dĺžky dvoch uhlopriečok.

Ak sú známe a, h, potom sa plocha kosoštvorca určí vynásobením dĺžky strany dĺžkou výšky, ktorá je znížená na túto stranu: S = a h
Ak sú známe a, α, potom sa plocha kosoštvorca určí vynásobením druhej mocniny dĺžky strany sínusom uhla medzi stranami: S=a 2 sin α
Ak sú známe d 1 a d 2, potom sa požadovaná oblasť určí ako polovica súčinu dĺžok uhlopriečok kosoštvorca: S \u003d (d 1 d 2) / 2

Oblasť trapézu

Označenia:

Ak sú známe a, b, c, d, potom požadovaná plocha je určená vzorcom: S= (a+b) /2 *√ .
Pri známych a, b, h sa požadovaná plocha určí ako súčin polovice súčtu základní a výšky lichobežníka: S=(a+b)/2 h

Oblasť konvexného štvoruholníka

Označenia:

Ak sú známe d 1 , d 2 , α, potom je plocha konvexného štvoruholníka definovaná ako polovica súčinu uhlopriečok štvoruholníka vynásobená sínusom uhla medzi týmito uhlopriečkami: S=(d 1 d 2 hriech α)/2
So známymi p, r je plocha konvexného štvoruholníka definovaná ako súčin pol obvodu štvoruholníka a polomeru kružnice vpísanej do tohto štvoruholníka: S = p r
Ak sú známe a, b, c, d, θ, potom sa plocha konvexného štvoruholníka určí ako druhá odmocnina súčinov rozdielu semiperimetra a dĺžky každej strany mínus súčin dĺžok všetky strany a druhá mocnina kosínusu polovice súčtu dvoch protiľahlých uhlov: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+β) /2)

Oblasť kruhu

Označenia:

Ak je známe r, potom sa požadovaná plocha určí ako súčin čísla π a druhej mocniny polomeru: S=π r 2

Ak je známe d, potom sa plocha kruhu určí ako súčin čísla π krát druhá mocnina priemeru, delená štyrmi: S=(π d 2)/4

Oblasť komplexnej postavy

Komplex je možné rozložiť na jednoduché geometrické tvary. Plocha komplexného útvaru je definovaná ako súčet alebo rozdiel plôch komponentov. Predstavte si napríklad prsteň.

Označenie:

S je oblasť prsteňa,
R, r sú polomery vonkajšieho a vnútorného kruhu, v tomto poradí,
D, d sú priemery vonkajšieho a vnútorného kruhu.

Ak chcete nájsť oblasť prsteňa, odčítajte oblasť od oblasti väčšieho kruhu. menší kruh. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2).

Ak sú teda známe R a r, potom sa plocha krúžku určí ako rozdiel medzi druhými mocničkami polomerov vonkajšieho a vnútorného kruhu, vynásobený číslom pi: S=π(R 2 -r 2 ).

Ak sú známe D a d, potom sa plocha krúžku určí ako štvrtina rozdielu v štvorcoch priemerov vonkajších a vnútorných kruhov, vynásobených číslom pi: S = (1/4) ( D 2 - d 2) π.

Oblasť náplasti

Predpokladajme, že vo vnútri jedného štvorca (A) je ďalšie (B) (menšie) a potrebujeme nájsť vyplnenú dutinu medzi postavami „A“ a „B“. Povedzme, "rám" malého námestia. Pre to:

Nájdite plochu čísla "A" (vypočítanú podľa vzorca na nájdenie plochy štvorca).
Podobne nájdeme oblasť obrázku "B".
Odpočítajte od oblasti "A" oblasť "B". A tak dostaneme oblasť tieňovanej postavy.

Teraz viete, ako nájsť oblasti rôznych tvarov.