Krivočiary integrál 2. druhu sa počíta rovnakým spôsobom ako krivočiary integrál 1. druhu redukciou na určitý. Za týmto účelom sú všetky premenné pod integrálnym znamienkom vyjadrené pomocou jednej premennej pomocou rovnice priamky, pozdĺž ktorej sa integrácia vykonáva.

a) Ak je linka ABdané sústavou rovníc potom

(10.3)

Pre rovinný prípad, keď je krivka daná rovnicou krivočiary integrál sa vypočíta podľa vzorca :. (10.4)

Ak linka ABje dané parametrickými rovnicami potom

(10.5)

Pre rovinu, ak je čiara AB dané parametrickými rovnicami , krivkový integrál sa vypočíta podľa vzorca:

, (10.6)

kde sú hodnoty parametra t,zodpovedajúce začiatočným a koncovým bodom integračnej cesty.

Ak linka AB je po častiach hladký, potom by sa malo použiť vlastnosť aditivity krivkového integrálu zlomením ABna hladkých oblúkoch.

Príklad 10.1Vypočítame krivočiary integrál pozdĺž cesty tvorenej časťou krivky z bodu predtým a oblúky elipsy z bodu predtým .

Pretože sa obrys skladá z dvoch častí, použijeme vlastnosť aditivity krivkového integrálu: ... Zredukujme obidva integrály na určité. Časť obrysu je daná rovnicou vzhľadom na premennú ... Použime vzorec (10.4 ), v ktorom si zameníme roly premenných. Tých.

... Po výpočte dostaneme .

Na výpočet integrálneho obrysu slnkoprejdeme k parametrickému tvaru zápisu elipsovej rovnice a použijeme vzorec (10.6).

Venujte pozornosť hraniciam integrácie. Bod zodpovedá hodnote a bodu zodpovedá Odpoveď:
.

Príklad 10.2.Počítame pozdĺž úsečky ABkde A (1,2,3), B (2,5,8).

Rozhodnutie... Uvádza sa krivkový integrál druhého druhu. Ak ju chcete vypočítať, musíte ju previesť na konkrétnu. Zostavme rovnice priamky. Jeho smerový vektor má súradnice .

Kanonické rovnice priamky AB: .

Parametrické rovnice tejto priamky: ,

Kedy
.

Použime vzorec (10.5) :

Pri výpočte integrálu dostaneme odpoveď: .

5. Silová práca pri pohybe hmotného bodu jednotkovej hmotnosti z bodu do bodu pozdĺž krivky .

Nechajte v každom bode po kúskoch hladkej krivky je daný vektor s funkciami spojitých súradníc :. Rozdeľme túto krivku na malé časti bodkami tak, že v bodoch každej časti hodnota funkcie
možno považovať za konštantnú a samotnú časť je možné brať pre segment priamky (pozri obr. 10.1). Potom ... Skalárny súčin konštantnej sily, ktorej úlohu zohráva vektor , vektorom priamočiareho posunutia sa číselne rovná práci vykonanej silou pri pohybe hmotného bodu pozdĺž ... Zložme integrálny súčet ... V limite, s neobmedzeným nárastom počtu oddielov, získame krivočiary integrál druhého druhu

. (10.7) Teda fyzikálny význam krivočarného integrálu druhého druhu - je to práca vykonaná násilím pri presune hmotného bodu z A do AT pozdĺž obrysu Ľ.

Príklad 10.3.Vypočítajme prácu vykonanú vektorom pri posune bodu pozdĺž časti Vivianiho krivky, určenej ako priesečník pologule a valec , bežte proti smeru hodinových ručičiek pri pohľade z kladnej časti osi VÔL.

Rozhodnutie... Zostrojme danú krivku ako priesečník dvoch plôch (pozri obr. 10.3).

.

Aby sme celé číslo zmenšili na jednu premennú, zmeníme sa na cylindrický súradnicový systém: .

Pretože bod sa pohybuje po krivke , potom je vhodné zvoliť ako parameter premennú, ktorá sa mení pozdĺž obrysu tak, aby ... Potom získame pre túto krivku nasledujúce parametrické rovnice:

.V čom
.

Nahraďte získané výrazy do vzorca na výpočet obehu:

(- znamienko + označuje, že pohyb bodu pozdĺž obrysu je proti smeru hodinových ručičiek)

Vypočítajme integrál a získajme odpoveď: .

Relácia 11.

Greenov vzorec pre jednoducho spojený región. Nezávislosť krivočarého integrálu na ceste integrácie. Newton-Leibnizov vzorec. Nájdenie funkcie podľa jej celkového diferenciálu pomocou krivočarého integrálu (rovinné a priestorové prípady).

OL-1 ch.5, OL-2 ch.3, OL-4 ch.3 § 10, s. 10.3, 10.4.

Prax : OL-6 # 2318 (a, b, e), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327,2329 alebo OL-5 # 10,79, 82, 133, 135, 139.

Budova domu na lekciu 11: OL-6 č. 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 alebo OL-5 č. Č. 10,80, 134, 136, 140

Greenov vzorec.

Pustite do lietadla dá sa jednoducho pripojená doména ohraničená po častiach hladkým uzavretým obrysom. (Oblasť sa nazýva jednoducho spojená, ak je možné v nej spojiť akýkoľvek uzavretý obrys do bodu v tejto oblasti).

Veta... Ak funkcie a ich parciálne deriváty Dpotom

Obrázok 11.1

- greenov vzorec . (11.1)

Označuje kladný smer posuvu (proti smeru hodinových ručičiek).

Príklad 11.1.Pomocou Greenovho vzorca vypočítame integrál pozdĺž obrysu pozostávajúceho zo segmentov OA, OB a väčší oblúk kruhu spojovacie body A a B,ak , , .

Rozhodnutie... Vytvorme obrys (pozri obrázok 11.2). Vypočítajme potrebné deriváty.

Obrázok 11.2

, ; , ... Funkcie a ich derivácie sú spojité v uzavretej oblasti ohraničenej daným obrysom. Tento integrál je podľa Greenovho vzorca.

Po substitúcii vypočítaných derivátov získame

... Vypočítame dvojitý integrál prechádzajúci na polárne súradnice:
.

Poďme skontrolovať odpoveď vypočítaním integrálu priamo pozdĺž obrysu ako krivočiary integrál druhého druhu.
.

Odpoveď:
.

2. Nezávislosť krivočarého integrálu od cesty integrácie.

Nechaj sa a - ľubovoľné body jednoducho spojenej oblasti pl. ... Krivočiarne integrály vypočítané cez rôzne krivky spájajúce tieto body majú obvykle rôzne významy. Ale za určitých podmienok môžu byť všetky tieto hodnoty rovnaké. Potom integrál nezávisí od tvaru cesty, ale závisí iba od počiatočného a koncového bodu.

Nasledujúce vety platia.

Veta 1... Aby integrál
nezávisí od tvaru dráhy spájajúcej body a je nevyhnutné a dostatočné, aby sa tento integrál pozdĺž ľubovoľného uzavretého obrysu rovnal nule.

Veta 2. ... Aby integrál
pozdĺž akejkoľvek uzavretej slučky sa rovná nule, je nevyhnutné a postačujúce, aby funkcie fungovali a ich parciálne deriváty boli súvislé v uzavretom priestore Da tak, aby podmienka ( 11.2)

Ak sú teda splnené podmienky pre nezávislosť integrálu od tvaru dráhy (11.2) , potom stačí uviesť iba začiatočný a konečný bod: (11.3)

Veta 3.Ak je podmienka splnená v jednoducho pripojenej doméne, potom existuje funkcia také, že. (11.4)

Tento vzorec sa nazýva vzorec Newton - Leibniz pre krivkový integrál.

Komentovať.Pripomeňme, že rovnosť je nevyhnutnou a dostatočnou podmienkou pre vyjadrenie
.

Potom z vyššie formulovaných viet vyplýva, že ak sú funkcie a ich parciálne deriváty nepretržité v uzavretom priestore Dkde sa udávajú body a , a potom

a) existuje funkcia také, že

nezávisí od tvaru cesty,

c) vzorec platí Newton - Leibniz .

Príklad 11.2... Uistíme sa, že integrál
nezávisí od tvaru cesty a vypočítajte ju.

Rozhodnutie. .

Obrázok 11.3

Skontrolujme splnenie podmienky (11.2).
... Ako vidíte, podmienka je splnená. Integrálna hodnota nezávisí od integračnej cesty. Vyberme si cestu integrácie. Väčšina

najjednoduchší spôsob výpočtu je prerušovaná čiara ASVspájajúci začiatočný a konečný bod cesty. (Pozri obrázok 11.3)

Potom .

3. Nájdenie funkcie podľa jej celkového diferenciálu.

Pomocou krivočarého integrálu, ktorý nezávisí od tvaru dráhy, je možné nájsť funkciu poznať jeho plný diferenciál. Tento problém sa rieši nasledovne.

Ak funkcie a ich parciálne deriváty nepretržité v uzavretom priestore Da potom je výraz totálny diferenciál niektorej funkcie ... Okrem toho integrál
, po prvé, nezávisí to od tvaru cesty, a po druhé, je možné ju vypočítať pomocou vzorca Newton - Leibniz.

Poďme vypočítať
dve cesty.

Obrázok 11.4

a) Vyberte bod v oblasti so špecifickými súradnicami a bodom s ľubovoľnými súradnicami. Vypočítajme krivkový integrál pozdĺž prerušovanej čiary pozostávajúcej z dvoch líniových segmentov spájajúcich tieto body, pričom jeden zo segmentov je rovnobežný s osou a druhý s osou. Potom. (Pozri obrázok 11.4)

Rovnica.

Rovnica.

Získame: Po vypočítaní oboch integrálov dostaneme v odpovedi určitú funkciu.

b) Teraz vypočítame ten istý integrál podľa Newton-Leibnizovho vzorca.

Teraz si porovnajme dva výsledky výpočtu toho istého integrálu. Funkčnou časťou odpovede v písmene a) je požadovaná funkcia a číselná časť predstavuje jeho hodnotu v bode .

Príklad 11.3.Uistite sa, že výraz
je celkový rozdiel niektorej funkcie a nájdi ju. Poďme skontrolovať výsledky výpočtu z príkladu 11.2 podľa Newton-Leibnizovho vzorca.

Rozhodnutie. Podmienka existencie funkcie (11.2) bol overený v predchádzajúcom príklade. Nájdeme túto funkciu, pre ktorú použijeme Obrázok 11.4, a vezmeme za bod ... Zostavme a vypočítajme integrál pozdĺž prerušovanej čiary ASV,kde :

Ako bolo uvedené vyššie, funkčnou časťou výsledného výrazu je požadovaná funkcia
.

Pozrime sa na výsledok výpočtov z príkladu 11.2 pomocou vzorca Newton - Leibniz:

Výsledky sa zhodovali.

Komentovať.Všetky uvažované tvrdenia platia aj pre priestorový prípad, ale s veľkým počtom podmienok.

Nech po kúskoch plynulá krivka patrí do oblasti v priestore ... Potom, ak sú funkcie a ich parciálne derivácie spojité v uzavretej doméne, v ktorej sú body a, a
(11.5 ), potom

a) výraz je celkový diferenciál niektorej funkcie ,

b) krivočiary integrál celkového diferenciálu nejakej funkcie nezávisí od tvaru cesty a

c) vzorec platí Newton - Leibniz .(11.6 )

Príklad 11.4... Uistíme sa, že výraz je totálnym rozdielom niektorej funkcie a nájdi ju.

Rozhodnutie. Odpovedať na otázku, či je daný výraz totálnym diferenciálom niektorej funkcie , vypočítame parciálne derivácie funkcií, , (Cm. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Tieto funkcie sú spojité spolu s ich parciálnymi deriváciami v ktoromkoľvek bode vesmíru.

Vidíme, že sú potrebné a dostatočné podmienky pre existenciu : , , , atď.

Na výpočet funkcie použijeme skutočnosť, že lineárny integrál nezávisí od integračnej cesty a dá sa vypočítať pomocou Newton-Leibnizovho vzorca. Nechajte bod - začiatok cesty a nejaký bod - koniec cesty . Vypočítame integrál

pozdĺž obrysu pozostávajúceho z úsečiek rovnobežných s osami súradníc. (pozri obrázok 11.5).

.

Obrázok 11.5

Rovnice častí obrysu :, ,
.

Potom

, xopravené tu, takže ,

Tu opravené r, tak .

Vo výsledku dostaneme :.

Teraz vypočítame ten istý integrál podľa Newton-Leibnizovho vzorca.

Poďme porovnať výsledky :.

Zo získanej rovnosti vyplýva, že a

Lekcia 12.

Plošný integrál prvého druhu: definícia, základné vlastnosti. Pravidlá pre výpočet povrchového integrálu prvého druhu pomocou dvojitého integrálu. Povrchové integrálne aplikácie prvého druhu: povrch, hmotnosť povrchu materiálu, statické momenty vzhľadom na súradnicové roviny, momenty zotrvačnosti a súradnice ťažiska. OL-1 kap. 6, OL-2 kap. 3, OL-4 § 11.

Prax: OL-6 č. 2347, 2352, 2353 alebo OL-5 č. 10,62, 65, 67.

Domáce úlohy pre lekciu 12:

OL-6 č. 2348, 2354 alebo OL-5 č. 10,63, 64, 68.

16.3.2.1. Definícia krivočarého integrálu prvého druhu.Nechajte priestor premenných x, y, z po kúskoch je uvedená hladká krivka, na ktorej je funkcia f (x ,r ,z Rozdeľte krivku na časti podľa bodov, vyberte ľubovoľný bod na každom z oblúkov, nájdite dĺžku oblúka a zostavte integrálny súčet. Ak existuje hranica postupnosti integrálnych súčtov at, ktorá nezávisí od spôsobu rozdelenia krivky na oblúky alebo od výberu bodov, potom funkcia f (x ,r ,z ) sa nazýva integrovateľná krivka a hodnota tohto limitu sa nazýva krivočiary integrál prvého druhu alebo krivočiary integrál pozdĺž dĺžky oblúka funkcie f (x ,r ,z ) pozdĺž krivky a je označený (alebo).

Veta o existencii. Ak je funkcia f (x ,r ,z ) je spojitá na po kúskoch hladkej krivke, potom je integrovateľná pozdĺž tejto krivky.

Uzavretá krivka. V tomto prípade je ľubovoľný bod krivky možné považovať za začiatočný a konečný bod. Ďalej bude volaná uzavretá krivka obrys a označiť listom ZO ... Skutočnosť, že krivka, pozdĺž ktorej sa počíta integrál, je uzavretá, sa obvykle označuje kruhom na integrálnom znaku :.

16.3.2.2. Vlastnosti krivočarého integrálu prvého druhu.Pre tento integrál platí všetkých šesť vlastností pre určitý, dvojitý, trojitý integrál z linearita predtým veta o strednej hodnote... Formulovať a dokázať ich sám... Pre tento integrál, siedmy, osobný majetok však platí tiež:

Nezávislosť krivočarého integrálu prvého druhu od smeru krivky:.

Dôkazy. Integrálne súčty pre integrály na pravej a ľavej strane tejto rovnosti, pre akékoľvek rozdelenie krivky a výber bodov, sa zhodujú (vždy dĺžka oblúka), preto sú ich hranice rovnaké.

16.3.2.3. Výpočet krivkového integrálu prvého druhu. Príklady.Nech je krivka daná parametrickými rovnicami, kde sú spojito diferencovateľné funkcie, a nech hodnoty parametra zodpovedajú bodom, ktoré definujú rozdelenie krivky, t. ... Potom (pozri časť 13.3. Výpočet dĺžok krivky). Podľa vety o strednej hodnote existuje bod taký, že. Vyberme body získané pomocou tejto hodnoty parametra :. Potom sa integrálny súčet pre krivkový integrál bude rovnať integrálnemu súčtu pre určitý integrál. Pretože potom prechádzame na hranicu at v rovnosti, dostaneme

Výpočet krivkového integrálu prvého druhu sa teda redukuje na výpočet určitého integrálu nad parametrom. Ak je krivka definovaná parametricky, potom tento prechod nie je ťažký; ak je uvedený kvalitatívny slovný popis krivky, potom môže byť hlavnou ťažkosťou zavedenie parametra do krivky. To ešte raz zdôrazňujeme integrácia sa vždy vykonáva v smere zvyšovania parametra.

Príklady. 1. Vypočítajte, kde je jedno otočenie špirály

Tu prechod na určitý integrál nespôsobuje problémy: nájdeme, a.

2. Vypočítajte ten istý integrál pozdĺž úsečky spájajúcej body a.

Tu neexistuje žiadna priama parametrická špecifikácia krivky, atď AB musíte zadať parameter. Parametrické rovnice priamky majú tvar kde vektor smeru je bod priamky. Berieme bod ako bod, vektor ako smerový vektor :. Je ľahké vidieť, že bod zodpovedá hodnote, preto bod hodnote.

3. Nájdite, kde je časť časti valca v rovine z =x +1 v prvom oktante.

Rozhodnutie: Parametrické rovnice vedenia kruh - valec majú tvar x \u003d 2cosj, r \u003d 2 sinj, a od z \u003d x +1 potom z \u003d 2cosj + 1. Takže

tak

16.3.2.3.1. Výpočet krivkového integrálu prvého druhu. Ploché puzdro.Ak krivka leží na nejakej súradnicovej rovine, napríklad na rovine Ooh , a je dané funkciou, potom, vzhľadom na x ako parameter získame nasledujúci vzorec na výpočet integrálu :. Podobne, ak je krivka daná rovnicou, potom.

Príklad. Vypočítajte, kde vo štvrtom kvadrante leží štvrtina kruhu.

Rozhodnutie.1. Zvažovanie x ako parameter teda získame

2. Ak vezmeme premennú ako parameter o , potom a.

3. Prirodzene, môžete vziať obvyklé parametrické rovnice kruhu :.

Ak je krivka zadaná v polárnych súradniciach, potom a.

Definícia: Nechajte v každom bode hladkej krivky L \u003d AB v lietadle Oxy je daná spojitá funkcia dvoch premenných f (x, y)... Krivku si ľubovoľne rozdeľte Ľ na n časti po bodkách A \u003d M 0, M 1, M 2, ... M n \u003d B. Potom na každej z výsledných častí \\ (\\ bar ((M) _ (i-1) (M) _ (i)) \\) vyberte ľubovoľný bod \\ (\\ bar ((M) _ (i)) \\ doľava (\\ ) f \\ doľava (\\ bar ((x) _ (i)), \\ bar ((y) _ (i)) \\ doprava) \\ Delta (l) _ (i) $$ kde \\ (\\ Delta (l) _ (i) \u003d (M) _ (i-1) (M) _ (i) \\) - oblúk oblúka \\ (\\ bar ((M) _ (i-1) (M) _ (i)) \\) ... Prijatá suma sa volá integrálny súčet prvého druhu pre funkciu f (x, y) definované na krivke L.

Označme tým d najväčšia z dĺžok oblúkov \\ (\\ bar ((M) _ (i-1) (M) _ (i)) \\) (teda d \u003d \\ (max_ (i) \\ Delta (l) _ (i) \\) Ako na d? 0 existuje hranica integrálnych súčtov S n (nezávisle od spôsobu rozdelenia krivky L na časti a voľby bodov \\ (\\ bar ((M) _ (i)) \\)), potom sa táto hranica nazýva krivočiary integrál prvého rádu z funkcie f (x, y) pozdĺž krivky L a označená $$ \\ int_ (L) f (x, y) dl $$

Je dokázané, že ak je funkcia f (x, y)je spojité, potom existuje krivkový integrál \\ (\\ int_ (L) f (x, y) dl \\).

Vlastnosti krivočarého integrálu prvého druhu

Krivočiary integrál prvého druhu má vlastnosti analogické so zodpovedajúcimi vlastnosťami určitého integrálu:

• aditivita,
• linearita,
• vyhodnotenie modulu,
• veta o strednej hodnote.

Existuje však rozdiel: $$ \\ int_ (AB) f (x, y) dl \u003d \\ int_ (BA) f (x, y) dl $$ t.j. krivočiary integrál prvého druhu nezávisí od smeru integrácie.

Výpočet krivočiarych integrálov prvého druhu

Výpočet krivočarého integrálu prvého druhu sa redukuje na výpočet určitého integrálu. Menovite:

1. Ak je krivka L daná spojito diferencovateľnou funkciou y \u003d y (x), x \\ (\\ in \\), potom $$ (\\ int \\ limits_L (f \\ left ((x, y) \\ right) dl)) \u003d (\\ int \\ limits_a ^ b (f \\ doľava ((x, y \\ doľava (x \\ doprava)) \\ doprava) \\ sqrt (1 + ((\\ doľava ((y "\\ doľava (x \\ doprava)) \\ doprava)) ^ 2)) dx);) $$ zatiaľ čo výraz \\ (dl \u003d \\ sqrt ((1 + ((\\ left ((y "\\ left (x \\ right)) \\ right)) ^ 2))) dx \\) sa nazýva diferenciál dĺžky oblúka.
2. Ak je krivka L definovaná parametricky, t.j. v tvare x \u003d x (t), y \u003d y (t), kde x (t), y (t) sú spojito diferencovateľné funkcie na niektorom segmente \\ (\\ left [\\ alpha, \\ beta \\ right] \\), potom $$ (\\ int \\ limits_L (f \\ left ((x, y) \\ right) dl)) \u003d (\\ int \\ limits_ \\ alpha ^ \\ beta (f \\ left ((x \\ left (t \\ right), y) \\ ľavé (t \\ pravé)) \\ pravé) \\ sqrt (((\\ ľavé ((x "\\ ľavé (t \\ pravé)) \\ pravé)) ^ 2) + ((\\ ľavé ((y" \\ ľavé (t \\ right)) \\ right)) ^ 2)) dt)) $$ Táto rovnosť sa rozširuje na prípad priestorovej krivky L definovanej parametricky: x \u003d x (t), y \u003d y (t), z \u003d z (t), \\ (t \\ in \\ left [\\ alpha, \\ beta \\ right] \\). V tomto prípade, ak f (x, y, z) je spojitá funkcia pozdĺž krivky L, potom $$ (\\ int \\ limity_L (f \\ zľava ((x, y, z) \\ doprava) dl)) \u003d (\\ int \\ limits_ \\ alpha ^ \\ beta (f \\ left [(x \\ left (t \\ right), y \\ left (t \\ right), z \\ left (t \\ right)) \\ right] \\ sqrt (((\\ left ((x "\\ ľavý (t \\ pravý)) \\ pravý)) ^ 2) + ((\\ ľavý ((y" \\ ľavý (t \\ pravý)) \\ pravý)) ^ 2) + ((\\ ľavý (( z "\\ left (t \\ right)) \\ right)) ^ 2)) dt)) $$
3. Ak je plochá krivka L daná polárnou rovnicou r \u003d r (\\ (\\ varphi \\)), \\ (\\ varphi \\ in \\ left [\\ alpha, \\ beta \\ right] \\), potom $$ (\\ int \\ limits_L (f \\ ^ 2) + ((((r) ") \u200b\u200b^ 2)) d \\ varphi)) $$

Krivočiarne integrály 1. druhu - príklady

Príklad 1

Vypočítajte krivočiary integrál prvého druhu

$$ \\ int_ (L) \\ frac (x) (y) dl $$, kde L je oblúk paraboly y 2 \u003d 2x, uzavretý medzi bodmi (2,2) a (8,4).

Riešenie: Nájdite diferenciál oblúku dl pre krivku \\ (y \u003d \\ sqrt (2x) \\). Máme:

\\ ((y) "\u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2x)) \\) $$ dl \u003d \\ sqrt (1+ \\ left ((y)" \\ right) ^ (2)) dx \u003d \\ sqrt ( 1+ \\ left (\\ frac (1) (\\ sqrt (2x)) \\ right) ^ (2)) dx \u003d \\ sqrt (1+ \\ frac (1) (2x)) dx $$ Preto je tento integrál: $ $ \\ int_ (L) \\ frac (x) (y) dl \u003d \\ int_ (2) ^ (8) \\ frac (x) (\\ sqrt (2x)) \\ sqrt (1+ \\ frac (1) (2x) ) dx \u003d \\ int_ (2) ^ (8) \\ frac (x \\ sqrt (1 + 2x)) (2x) dx \u003d $$ $$ \\ frac (1) (2) \\ int_ (2) ^ (8) \\ sqrt (1 + 2x) dx \u003d \\ frac (1) (2). \\ frac (1) (3) \\ doľava (1 + 2x \\ doprava) ^ (\\ frac (3) (2)) | _ (2 ) ^ (8) \u003d \\ frac (1) (6) (17 \\ sqrt (17) -5 \\ sqrt (5)) $$

Príklad 2

Vypočítajte krivočiary integrál prvého druhu \\ (\\ int_ (L) \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) dl \\), kde L je kružnica x 2 + y 2 \u003d os (a\u003e 0).

Riešenie: Zadajte polárne súradnice: \\ (x \u003d r \\ cos \\ varphi \\), \\ (y \u003d r \\ sin \\ varphi \\). Potom od x 2 + y 2 \u003d r 2 má rovnica kruhu tvar: \\ (r ^ (2) \u003d arcos \\ varphi \\), teda \\ (r \u003d acos \\ varphi \\), a diferenciál oblúka $$ dl \u003d \\ ...

Okrem toho \\ (\\ varphi \\ in \\ left [- \\ frac (\\ pi) (2), \\ frac (\\ pi) (2) \\ right] \\). Preto $$ \\ int_ (L) \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) dl \u003d a \\ int _ (- \\ frac (\\ pi) (2)) ^ (\\ frac (\\ pi) (2)) acos \\ varphi d \\ varphi \u003d 2a ^ 2 $$

Je pohodlnejšie vypočítať objem vo valcových súradniciach. Rovnica kružnice ohraničujúcej oblasť D, kužeľa a paraboloidu

majú tvar ρ \u003d 2, z \u003d ρ, z \u003d 6 - ρ 2. Berúc do úvahy skutočnosť, že toto teleso je symetrické okolo rovín xOz a yOz. máme

	6− ρ 2
V \u003d 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz \u003d 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z				6 ρ - ρ 2 d ρ \u003d

4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ - ρ3 - ρ2) d ρ \u003d

2 d ϕ \u003d

4 ∫ 2 (3 ρ 2 -

∫ 2 d ϕ \u003d

32π

Ak sa symetria nezohľadní, potom

6− ρ 2

32π

V \u003d ∫

dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz \u003d

3. KRIVO-LINEÁRNE INTEGRÁLY

Zovšeobecnime koncept určitého integrálu na prípad, keď oblasť integrácie predstavuje určitá krivka. Integrály tohto druhu sa nazývajú krivkové. Existujú dva typy krivočiarych integrálov: krivočaré integrály po dĺžke oblúka a krivočiare integrály cez súradnice.

3.1. Stanovenie krivočarého integrálu prvého typu (pozdĺž dĺžky oblúka). Nech funkcia f (x, y) definované pozdĺž roviny po častiach

krivka smooth1, ktorej konce sú body A a B. Krivku L ľubovoľným spôsobom rozdelíme na n častí bodmi M 0 \u003d A, M 1, ... M n \u003d B. On

každý z čiastkových oblúkov M i M i + 1, zvoľte ľubovoľný bod (x i, y i) a v každom z týchto bodov vypočítajte hodnoty funkcie f (x, y). Množstvo

1 Krivka sa nazýva hladká, ak sa v každom z jej bodov nachádza dotyčnica, ktorá sa pozdĺž krivky neustále mení. Kusová hladká krivka je krivka pozostávajúca z konečného počtu hladkých častí.

n− 1
σ n \u003d ∑ f (x i, y i) ∆ l i,

i \u003d 0

kde Δ l i je dĺžka čiastočného oblúka M i M i + 1, sa nazýva integrálny súčet

pre funkciu f (x, y) pozdĺž krivky L. Označme najväčšiu z dĺžok
parciálne oblúky M i M i + 1, i \u003d
	0, n - 1 až λ, to znamená, λ \u003d max ∆ l i.
		0 ≤i ≤n -1
Ak existuje konečný limit I integrálneho súčtu (3.1)
inklinujúce k nule najväčšej z dĺžok čiastkových oblúkov M i M i + 1,
v závislosti ani na spôsobe rozdelenia krivky L na čiastkové oblúky, ani na

výber bodov (x i, y i), potom sa táto hranica nazýva krivočiary integrál prvého typu (krivočiary integrál po dĺžke oblúka)funkcie f (x, y) pozdĺž krivky L a je označená symbolom ∫ f (x, y) dl.

Teda z definície
n− 1
I \u003d lim ∑ f (xi, yi) ∆ li \u003d ∫ f (x, y) dl.
λ → 0 i \u003d 0

Funkcia f (x, y) sa v tomto prípade volá integrovateľný pozdĺž krivkyL,

krivka L \u003d AB - obrysom integrácie, A - počiatočným bodom a B - koncovými bodmi integrácie, dl - prvkom dĺžky oblúka.

Poznámka 3.1. Ak v (3.2) dáme f (x, y) ≡ 1 pre (x, y) L, potom

získame výraz pre dĺžku oblúka L vo forme krivočarého integrálu prvého typu

l \u003d ∫ dl.

Z definície krivkového integrálu skutočne vyplýva, že
	dl \u003d lim n - 1
		∆l	Lim l \u003d l.
	λ → 0 ∑		λ→ 0
	i \u003d 0
3.2. Základné vlastnosti krivočarého integrálu prvého typu
sú podobné vlastnostiam určitého integrálu:
1 str. ∫ [f1 (x, y) ± f2 (x, y)] dl \u003d ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl.
2 o. ∫ cf (x, y) dl \u003d c ∫ f (x, y) dl, kde c je konštanta.
				a L, nie
3 o. Ak je obrys integrácie L rozdelený na dve časti L

ktoré majú potom spoločné vnútorné body

∫ f (x, y) dl \u003d ∫ f (x, y) dl + ∫ f (x, y) dl.

4 o. Zvlášť si všimneme, že hodnota krivočarého integrálu prvého typu nezávisí od smeru integrácie, pretože na vzniku integrálneho súčtu (3.1) sa podieľajú hodnoty funkcie f (x, y).

ľubovoľné body a dĺžky čiastkových oblúkov ∆ l i, ktoré sú kladné,

bez ohľadu na to, ktorý bod krivky AB sa považuje za začiatočný a ktorý je konečný, to znamená

	f (x, y) dl \u003d ∫ f (x, y) dl.
3.3. Výpočet krivočarého integrálu prvého typu
redukuje na výpočet určitých integrálov.
	x \u003d x (t)
Nechajte krivku L dané parametrickými rovnicami		y \u003d y (t)

Nech α a β sú hodnoty parametra t zodpovedajúce počiatku (bod A) a

koniec (bod B)

[α , β ]

x (t), y (t) a

deriváty

x (t), y (t)

Kontinuálne

f (x, y) -

je spojitá pozdĺž krivky L. Z kurzu diferenciálneho počtu

funkcie jednej premennej je známe, že

dl \u003d (x (t))

+ (y (t))

∫ f (x, y) dl \u003d ∫ f (x (t), y (t))

(x (t)

+ (y (t))

∫ x2 dl,

Príklad 3.1.

Vypočítať

kruhy

x \u003d a cos t

0 ≤ t ≤

y \u003d hriech t

Rozhodnutie. Pretože potom x (t) \u003d - a sin t, y (t) \u003d a cos t

dl \u003d

(- a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt \u003d a2 sin 2 t + cos 2 tdt \u003d adt

a vzorcom (3.4) získame

Pretože 2t) dt \u003d

hriech 2t

∫ x2 dl \u003d ∫ a2 cos 2 t adt \u003d a

3 ∫

πa 3

hriech π

L sada

rovnica

y \u003d y (x),

a ≤ x ≤ b

y (x)

je spojitý spolu s jeho deriváciou y

(x) potom pre a x x ≤ b

dl \u003d

1+ (y (x))

a vzorec (3.4) má formu

∫ f (x, y) dl \u003d ∫ f (x, y (x))

(y (x))

L sada

x \u003d x (y), c ≤ y ≤ d

x (y)

rovnica

je spojité spolu s jeho deriváciou x (y) pre c ≤ y ≤ d, potom

dl \u003d

1+ (x (y))

a vzorec (3.4) má formu

∫ f (x, y) dl \u003d ∫ f (x (y), y)

1 + (x (y))

Príklad 3.2. Vypočítajte ∫ ydl, kde L je oblúk paraboly

2 x od

bod A (0,0) až bod B (2,2).

Rozhodnutie. Integrál vypočítame dvoma spôsobmi, a to aplikáciou

vzorce (3.5) a (3.6)

1) Používame vzorec (3.5). Pretože

2x (y ≥ 0), y ′

2 x \u003d

2 x,

dl \u003d

1+ 2 x dx,

3 / 2 2

1 (5

3 2 − 1) .

∫ ydl \u003d ∫

2 x + 1 dx \u003d ∫ (2 x + 1) 1/2 dx \u003d

1 (2x + 1)

2) Použime vzorec (3.6). Pretože

x \u003d 2, x

Y, dl

1 + r

		y 1 + y 2 dy \u003d		(1 + r				/ 2 2
∫ ydl \u003d ∫
				3 / 2

1 3 (5 5 − 1).

Poznámka 3.2. Podobne ako v prípade uvažovaného, \u200b\u200bmôžeme predstaviť koncept krivočarého integrálu prvého typu funkcie f (x, y, z) nad

priestorová po kúskoch hladká krivka L:

Ak je krivka L daná parametrickými rovnicami

α ≤ t ≤ β, potom

dl \u003d

(x (t))

(y (t))

(z (t))

∫ f (x, y, z) dl \u003d

= ∫

dt.

f (x (t), y (t), z (t)) (x (t))

(y (t))

(z (t))

x \u003d x (t), y \u003d y (t)

z \u003d z (t)

Príklad 3.3. Vypočítajte (2 z - x 2 + y 2) dl, kde L je oblúk krivky

x \u003d t cos t	0 ≤ t ≤ 2 π.
y \u003d t hriech t
z \u003d t
	x ′ \u003d náklady - t sint, y ′ \u003d sint + t náklady, z ′ \u003d 1,
	dl \u003d	(cos t - t sin t) 2 + (sin t + t cos t) 2 + 1 dt \u003d

Cos2 t - 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt \u003d

2 + t2 dt.

Teraz, podľa vzorca (3.7), máme

∫ (2z -

x2 + y2) dl \u003d ∫ (2 t -

t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t)

2 + t 2 dt \u003d

T 2)

= ∫

t 2 + t

dt \u003d

4 π

− 2 2

valcovitý

povrchy,

ktorý je zložený z kolmíc na

lietadlo xOy,

obnovený v bodoch

(x, y)

L \u003d AB

a mať

je hmotnosť krivky L s premennou lineárnou hustotou ρ (x, y)

ktorých lineárna hustota sa mení podľa zákona ρ (x, y) \u003d 2 y.

Rozhodnutie. Na výpočet hmotnosti oblúka AB použijeme vzorec (3.8). Oblúk AB je definovaný parametricky, preto na výpočet integrálu (3.8) použijeme vzorec (3.4). Pretože

1+ t

dt,

x (t) \u003d 1, y (t) \u003d t, dl \u003d

3/ 2 1

1 (1+ t

m \u003d ∫ 2 ydl \u003d ∫

1 2 + t2 dt \u003d ∫ t 1 + t2 dt \u003d

(2 3 / 2 −

1) =

2 2 − 1.

3.4. Definícia krivočarého integrálu druhého typu (pomocou

súradnice). Nechajte funkciu

f (x, y) je definované pozdĺž roviny

po kúskoch hladká krivka L, ktorej konce budú body A a B. Opäť

svojvoľný

prestávka

krivka L

M 0 \u003d A, M 1, ... M n \u003d B Vyberáme tiež v medziach

každý čiastočný

oblúky M i M i + 1

ľubovoľný bod

(xi, yi)

a vypočítať

Načítava ...