Definícia: Deriváciou funkcie v bode je limit, ku ktorému má pomer jej prírastku v tomto bode tendenciu k zodpovedajúcemu prírastku argumentu, keď má tento argument tendenciu k nule:
To znamená, ak je definované v, potom
Veta 1:
Graf funkcie má nevislú tangensu práve vtedy, ak v danom bode existuje konečná hodnota derivácie tejto funkcie.
Dôkazy:
Nech teda existuje hodnota f '() - konečná
Nech je tam nevislá dotyčnica \u003d\u003e existuje - konečná.
Sekán má sklon k dotyčnici.
Veta je dokázaná.
Lístok 2 Spojitosť funkcie s deriváciou.
Funkcia f (x) definovaná v nejakom susedstve bodu a sa v tomto bode nazýva spojitá, ak
|
|
Veta: (nevyhnutná podmienka pre existenciu derivátu)
Ak má funkcia koncový bod, je v bode spojitá.
Dôkazy:
Preto je v určitom okamihu spojitá.
Veta je dokázaná.
Komentovať : konverzácia nie je pravdivá, ak je funkcia spojitá v určitom bode, nevyplýva z nej, že má v tomto bode deriváciu.
Vyhlásenie : ak má funkcia v bode pravú a ľavú deriváciu, potom je spojitá vpravo aj vľavo.
3. lístok
Derivát súčtu, súčinu, kvocientu.
Derivácia inverznej funkcie.
Definícia diferencovateľnej funkcie. Nevyhnutná a dostatočná podmienka pre diferencovateľnosť.
Nech funkcia má deriváciu v bode (konečnú): .
Potom, pre dostatočne malú, to možno zapísať ako súčet a nejakú funkciu, ktorú označíme, ktorá má tendenciu k nule spolu s :,
a prírastok v bode je možné zapísať ako:
alebo (1) ,
koniec koncov, výraz sa chápe ako funkcia od takej, že jeho vzťah má spolu s nulu.
Vysvetlenie:
Definícia .
Funkcia sa nazýva diferencovateľná v bode, ak je možné jej prírastok reprezentovať ako: (2),
kde A nezávisí, ale všeobecne závisí od.
Veta 1:
Aby bola funkcia v danom bode diferencovateľná, je potrebné a postačujúce, aby mala v tomto bode konečnú deriváciu.
Dôkazy:
Dostatočnosť stavu preukázané vyššie: existencia konečnej derivácie implikovala možnosť zastúpenia vo forme (1), kam ju môžeme vložiť.
Nevyhnutnosť stavu ... Nech je funkcia v danom okamihu diferencovateľná. Potom z (2), za predpokladu, že dostaneme.
Limit na pravej strane je a je rovný A:.
To znamená, že existuje derivát. Veta je dokázaná.
Lístok 6 Diferenciálna funkcia, jej geometrický význam.
Ak je funkcia f má derivát f΄ (x o ) v bode x o , potom existuje limit, kde Δ f \u003d f (x o + Δ x) -f (x o ) ,, alebo, kde A \u003d f΄ (x o ) .
Definícia:
Funkcia f v okamihu diferencovateľné x o ak je možné jeho prírastok vyjadriť ako:
Kde AΔ x \u003d df. (*)
Diferenciál je hlavná lineárna časť prírastku funkcie.
Ak existuje konečná derivácia f΄ (x o ) v bode x o , potom funkcia f (x) v tomto bode diferencovateľné.
Platí to aj naopak: ak je funkcia f v okamihu diferencovateľné x o , t.j. jeho prírastok môže byť vyjadrený ako (*), potom má v bode deriváciu x o rovná A:
Geometrický význam diferenciálu:
A a B - body grafu f (x)zodpovedajúce hodnotám x o a (X o + Δ x) nezávislá premenná. Bodové súradnice A a B respektíve rovnaké f (x o ) a f (x o + Δ x)... Prírastok funkcie Δ f \u003d f (x o + Δ x) -f (x o ) v bode x o rovná sa dĺžke segmentu BD a môžu byť vyjadrené ako suma Δ f \u003d BD \u003d DC + CBkde DC \u003d tgαΔ x \u003d f΄ (x o ) Δ x a α je uhol medzi dotyčnicou v bode A ku grafu a kladnému smeru osi x... Z toho je zrejmé, že DC je rozdiel funkcie fv bode x o :
DC \u003d df \u003d f΄ (x o ) Δ x.
V tomto prípade podiel druhého člena CB prírastky Δ f je hodnota. Táto hodnota platí pre veľké Δ x, možno dokonca viac ako hlavný člen, ale je to infinitezimál vyššieho rádu ako Δ xkeď Δ x → 0.
Problém rýchlosti pohybujúceho sa bodu
Nech - zákon priamočiareho pohybu hmotného bodu. Označme cestou prekonanou bodom v čase a cestou prekonanou v čase. Bod potom pokryje cestu rovnú :. Pomer sa nazýva priemerná rýchlosť bodu v čase od do. Čím menej, t.j. čím kratší je časový interval od do, tým lepšia je priemerná rýchlosť charakterizujúca pohyb bodu v čase. Preto je prirodzené zaviesť pojem rýchlosť v danom okamihu, ktorý ju definuje ako hranicu priemernej rýchlosti pre interval od do, keď:
Hodnota sa nazýva okamžitá rýchlosť bodu v danom okamihu.
Tangens k danej krivke
 |
Nech je spojitá krivka daná v rovine rovnicou. K tejto krivke je potrebné v bode nakresliť nevislú dotyčnicu 
... Pretože je daný dotyčnicový bod, potom je na vyriešenie problému potrebné nájsť sklon dotyčnice. Z geometrie je známe, že kde je uhol sklonu dotyčnice k kladnému smeru osi (pozri obr.). Prostredníctvom bodov 
a 
nakreslíme sekansu, kde je uhol tvorený sekansom s kladným smerom osi. Obrázok ukazuje čo, kde. Sklon dotyčnice k danej krivke v bode možno zistiť na základe nasledujúcej definície.
Tangenta ku krivke v bode sa nazýva medzná poloha sečnu, keď má bod sklon k bodu .
Z toho teda vyplýva 
.
Derivátová definícia
Matematická operácia potrebná na vyriešenie vyššie diskutovaných problémov je rovnaká. Poďme zistiť analytickú podstatu tejto operácie, abstrahujúc od konkrétnych otázok, ktoré ju spôsobili.
Nech je funkcia definovaná v nejakom intervale. Zoberme si hodnotu z tohto intervalu. Pridajte nejaký prírastok (pozitívny alebo negatívny). Nová hodnota funkcie zodpovedá tejto novej hodnote argumentu. 
kde.
Poďme poskladať vzťah 
, je to funkcia.
Derivácia funkcie vzhľadom na premennú v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v tomto bode k prírastku argumentu, ktorý ju spôsobil, keď ľubovoľným spôsobom:
Komentovať. Uvažuje sa, že derivácia funkcie v bode existuje, ak existuje limit na pravej strane vzorca a je konečný a nezávisí od toho, ako má prírastok premennej tendenciu k 0 (vľavo alebo vpravo).
Proces hľadania derivácie funkcie sa nazýva jej diferenciácia.
Hľadanie derivácií niektorých funkcií podľa definície
a) Derivácia konštanty.
Nech, kde je konštanta, pretože hodnoty tejto funkcie sú rovnaké pre všetkých, potom sa jej prírastok rovná nule, a teda
.
Takže derivácia konštanty sa rovná nule, t.j. ...
b) Derivácia funkcie.
Zostavme prírastok funkcie:
.
Pri hľadaní derivácie sme použili vlastnosť limitu súčinu funkcií, prvú pozoruhodnú hranicu a spojitosť funkcie.
Touto cestou, 
.
Vzťah medzi diferencovateľnosťou funkcie a jej kontinuitou
Funkcia, ktorá má v bode deriváciu, sa v tomto bode nazýva diferencovateľná. Funkcia, ktorá má deriváciu vo všetkých bodoch určitého intervalu, sa v tomto intervale nazýva diferencovateľná.
Veta. Ak je funkcia v danom bode diferencovateľná, potom je v danom bode spojitá.
Dôkazy. Dajme argumentu svojvoľný prírastok. Potom sa funkcia zvýši. Píšeme rovnosť a prechádzame k hranici na ľavej a pravej strane pre:
Pretože pre spojitú funkciu nekonečne malý prírastok argumentu zodpovedá nekonečne malému prírastku funkcie, veta sa dá považovať za dokázanú.
Komentovať. Opak nie je pravdivý, t.j. z kontinuity funkcie v bode, všeobecne povedané, diferenciácia v tomto bode nevyplýva. Napríklad funkcia je spojitá pre všetkých, ale v danom okamihu nie je diferencovateľná. Naozaj:
Limit je nekonečný, čo znamená, že funkcia nie je v danom okamihu diferencovateľná.
Tabuľka derivácií elementárnych funkcií
Komentovať. Pripomeňme si vlastnosti stupňov a koreňov použitých pri diferenciácii funkcií:
Uveďme príklady hľadania derivátov.
1) 
.
2) 
Derivácia komplexnej funkcie
Nechaj sa 
... Potom bude funkcia komplexnou funkciou x.
Ak je funkcia v bode diferencovateľná x, a funkcia je v danom okamihu diferencovateľná u, potom je tiež v danom okamihu diferencovateľný xa
.
1. 
Predpokladáme teda. V dôsledku toho
S dostatočnou zručnosťou stredná premenná unepíš, zadávaj to iba psychicky.
2. 
Diferenciálny
 |
Nakreslite dotyčnicu k grafu spojitej funkcie v bode MT, označujúce j jeho uhol sklonu k kladnému smeru osi Oh.Pretože, potom z trojuholníka MEF z toho vyplýva
Dovoľte nám predstaviť notáciu
.
Tento výraz sa nazýva diferenciál funkcie. tak
Všímajúc si to, t.j. že diferenciál nezávislej premennej sa rovná jej prírastku, získame
Diferenciál funkcie sa teda rovná súčinu jeho derivácie a diferenciálu (alebo prírastku) nezávislej premennej.
Z posledného vzorca vyplýva, že t.j. derivácia funkcie sa rovná pomeru diferenciálu tejto funkcie k diferenciálu argumentu.
Diferenciálna funkcia d Y je geometricky prírastok súradnice dotyčnice zodpovedajúci prírastku argumentu D x.
Obrázok ukazuje, že pre dostatočne malú D x v absolútnej hodnote môžeme brať prírastok funkcie približne rovný jej diferenciálu, t.j.
.
Zvážte komplexnú funkciu, kde a diferencovateľnú vzhľadom na ua - používateľom x... Pravidlom diferenciácie komplexnej funkcie
Túto rovnosť vynásobíme dx:
Pretože (podľa definície diferenciálu), potom
Diferenciál komplexnej funkcie má teda rovnaký tvar ako premenná u nebol medzičlánok, ale nezávislá premenná.
Táto vlastnosť diferenciálu sa nazýva nemennosť(nemennosť) diferenciálny tvar.
Príklad. ...
Pre diferenciály je možné napísať všetky pravidlá diferenciácie.
Nechaj sa 
- diferencovateľné v danom okamihu x... Potom
Dokážme druhé pravidlo.
Derivát implicitnej funkcie
Nech sa dostane rovnica tvaru spájajúca premenné a dá sa. Ak nie je možné výslovne vyjadriť pojmy, (vyriešiť relatívne), potom sa takáto funkcia nazýva implicitne dané... Ak chcete nájsť deriváciu takejto funkcie, musíte rozlišovať obe strany rovnice vzhľadom na, za predpokladu funkcie. Nájdite zo získanej novej rovnice.
Príklad. ...
Rozlišujeme obe strany rovnice s ohľadom na, pamätajúc, že \u200b\u200bexistuje funkcia
Prednáška 4. Derivácia a diferenciál funkcie jednej premennej
Nech je na intervale (a, 6) definovaná funkcia y \u003d f (x). Vezmite určitú hodnotu x € (a, b). Dáme x prírastok Δα, akýkoľvek, ale taký, aby x + Δα € (a, 6). Potom funkcia y \u003d f (x) získa prírastok Definície. Funkcia y \u003d f (x) sa nazýva diferencovateľná v bode x £ (a, 6), ak prírastok funkcie zodpovedajúci prírastku Ax argumentu možno reprezentovať tak, že kde A je nejaké číslo, ktoré nezávisí od Ax (ale vo všeobecnosti závisí Príklad Uvažujme funkciu y \u003d x2. V ktoromkoľvek m, ex a pre ľubovoľné Δx teda máme, z definície, funkcia y \u003d x2 je diferencovateľná v ktoromkoľvek bode x a nasledujúca veta vyjadruje nevyhnutnú a dostatočnú podmienku pre diferenciáciu funkcie. Veta 1 . Aby bola funkcia y \u003d fix) diferencovateľná v bode x, je nevyhnutné a postačujúce, aby fix) v tomto bode mala konečnú deriváciu f \\ x). Nevyhnutnosť. Nech funkcia y \u003d fix) je v bode x diferencovateľná. Dokážme, že derivačná oprava v tomto okamihu existuje). Z diferenciácie funkcie y \u003d fix) v bode x skutočne vyplýva, že prírastok funkcie Δy zodpovedajúci prírastku Δx argumentu je možné znázorniť v tvare Diferencovateľnosť funkcie. Diferenciál funkcie Kontinuita diferencovateľnej funkcie Pojem diferenciálu funkcie Geometrický význam diferenciálu, kde hodnota A pre daný bod x je konštantná (nezávisí od. Z vety o spojení funkcie majúcej limit s jeho limitom a nekonečne malú funkciu vyplýva, že je dokázaná existencia derivácie. Stanovili sme túto dostatočnosť. Nech funkcia v bode x má konečnú deriváciu f "(x). Dokážeme, že fix) je v tomto bode diferencovateľná. Existencia derivácie f" (x) skutočne znamená, že pre Dx 0 existuje hranica pomeru a že Na základe vety o spojení funkcie majúcej limit s jej limitom a nekonečne malou funkciou teda vyplýva, že ak teda na množine x) na pravej strane vzorca (2) nezávisí, potom dokazuje rovnosť (2). že funkcia y \u003d f (x) je v bode diferencovateľná Veta 1 stanovuje, že pre funkciu f (x) je diferenciácia v danom bode x a existencia konečnej derivácie v tomto bode ekvivalentnými pojmami e. Preto sa operácia hľadania derivácie funkcie nazýva aj diferenciácia tejto funkcie. V nasledujúcom texte, keď hovoríme, že funkcia f (x) má v danom bode deriváciu, máme na mysli prítomnosť konečnej derivácie, pokiaľ nie je uvedené inak. 2.1. Spojitosť diferencovateľnej funkcie Veta 2. Ak je funkcia diferencovateľná v danom bode x, potom je v tomto bode spojitá. Ak je funkcia y \u003d f (x) v bode x diferencovateľná, potom prírastok Δy tejto funkcie, zodpovedajúci prírastku Δx argumentu, možno reprezentovať tak, že kde A je konštanta pre daný bod x a 0 na Δx 0. Z rovnosti ( 3) z toho vyplýva, že diferencovateľnosť funkcie. Diferenciál funkcie Kontinuita diferencovateľnej funkcie Pojem diferenciálu funkcie Geometrický význam diferenciálu, ktorý podľa definície znamená spojitosť funkcie y \u003d f (x) v danom bode x. Konverzný záver nie je pravdivý: spojitosť funkcie f (x) v určitom okamihu x neznamená diferenciáciu funkcie v tomto bode. Príklad. Napríklad funkcia f (x) \u003d | x | je spojitá v bode x \u003d 0, ale, ako sme ukázali vyššie (, nemá v bode x \u003d 0 nijakú deriváciu, a preto ju v tomto bode nemožno diferencovať. Tu je ďalší príklad. Príklad: Funkcia je spojitá v intervale (-о #, + о #) Pre všetky x # 0 má deriváciu, ale v bode x \u003d 0 nemá žiadnu pravú ani ľavú deriváciu, pretože kvantita nemá žiadne obmedzenie, ako je to v uvedených príkladoch, derivácia chýba iba v jednom bode. 18. a začiatok 19. storočia, keď sa verilo, že spojitá funkcia nemusí mať deriváciu nanajvýš v konečnom počte buniek. Neskôr (Bolzano, Weierstrass, Peano, Van der Waerden) príklady spojitých funkcií na majúci deriváciu v ktoromkoľvek bode segmentu. Koncept diferenciálu funkcie Nech je funkcia y - f (x) diferencovateľná v bode x, to znamená, že prírastok Δy tejto funkcie zodpovedajúci prírastku Δx argumentu je možné reprezentovať v tvare Definícia. Ak je funkcia y \u003d f (x) ) je diferencovateľné v bode x, presne to je prírastok funkcie A Dx pre Af 0 sa nazýva diferenciál funkcie y \u003d f (x) a označuje sa symbolom dy alebo df (x): V prípade A Φ 0 sa diferenciál funkcie nazýva hlavná lineárna časť prírastku Dy funkcie, pretože pri Dx 0 je hodnota a (Dx) Dx v rovnosti (4 ) je nekonečne malá funkcia vyššieho rádu ako A Dx. V prípade, že\u003e 1 \u003d 0, vezmite do úvahy, že rozdiel dy sa rovná nule. Na základe vety I máme A \u003d f "(x), takže vzorec (5) pre dy má formu. Spolu s konceptom diferenciálu funkcie zavedieme koncept diferenciálu dx nezávislej premennej x, ktorý je definovaný definíciou. Potom vzorec pre diferenciál funkcie y \u003d f (x) ) možno napísať symetrickejšou formou. Preto tu máme: / "(x) \u003d Toto je ďalšie označenie pre deriváciu (i je označenie Leibniz), ktoré možno považovať za zlomok - pomer diferenciálu funkcie dy k diferenciálu argumentu dx. Poďme predstaviť ešte jeden koncept. Hovoríme, že funkcia y \u003d f (x) je diferencovateľná na intervale (a, b), ak je diferencovateľná v každom bode tohto intervalu. Diferencovateľnosť funkcií. Diferenciál funkcie Kontinuita diferencovateľnej funkcie Pojem diferenciálu funkcie Geometrický význam diferenciálu Geometrický význam diferenciálu Necháme mať krivku definovanú rovnicou y \u003d f (x), kde fdc / (x) je diferencovateľná v bode x € (a, 6). Nakreslíme dotyčnicu tejto krivky v bode M (x, y) a na krivke označíme tiež bod M \\ s úsečkou x -f dx. Ako viete, f "(x) je sklon dotyčnice, to znamená Zvážte trojuholník MPQ (obr. 8). Z obrázku je zrejmé, že Teda rozdiel dy \u003d f" (x) dx funkcie y \u003d f (x) je prírastok súradnice dotyčnice nakreslený ke křivce y \u003d f (x) v bodě s osou x, pri prechode z bodu dotyčnice do bodu s osou x + dx.
3 Definícia derivácie funkcie v bode Nech je funkcia f (x) definovaná v nejakom susedstve bodu x 0. DEFINÍCIA. Ak existuje (konečná) hranica pomeru, potom sa f (x) nazýva diferencovateľný bod x 0 a samotná hranica sa nazýva derivácia funkcie f (x) v bode x 0 a je označená ako f "(x 0), to znamená, že x \u003d x - x 0. Je prírastok argumentu pri prechode z bodu x 0 do bodu x a y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0) je zodpovedajúci prírastok funkcie. Potom je derivácia funkcie f (x) v bode x 0 hranicou pomeru prírastku funkcie k prírastok argumentu, ktorý to spôsobil, keď prírastok argumentu má tendenciu k nule.
4 Príklad 1. Uveďme príklady výpočtu derivácií niektorých najjednoduchších elementárnych funkcií na základe definície derivácie. y \u003d a x (0 0. Ak vezmeme do úvahy, že | х | 0 je ľubovoľný bod, potom 0. vzhľadom na to | x | 0 je ľubovoľný bod, potom „\u003e 
0. vzhľadom na to | x | 0 je ľubovoľný bod, potom príklad 4. y \u003d sinx, x R. Vezmite x 0 R a vypočítajte prírastok funkcie v tomto bode: Takže (sinx) \u003d cosx, x R. "title \u003d" (! LANG: 5 Príklad 3. Zoberme x 0\u003e 0, ak vezmeme do úvahy, že | x | 0 je ľubovoľný bod, potom príklad 4.y \u003d sinx, x R. Vezmite x 0 R a vypočítajte prírastok funkcie v tomto bode: Takže (sinx) \u003d cosx, x R." class="link_thumb"> 5 !} 5 Príklad 3. Vezmite x 0\u003e 0. Vzhľadom na to | x | 0 je ľubovoľný bod, potom príklad 4.y \u003d sinx, x R. Vezmite x 0 R a vypočítajte prírastok funkcie v tomto bode: Takže (sinx) \u003d cosx, x R. 0. vzhľadom na to | x | 0 je ľubovoľný bod, potom príklad 4. y \u003d sinx, x R. Vezmite x 0 R a vypočítajte prírastok funkcie v tomto bode: Takže (sinx) \u003d cosx, x R. "\u003e 0. Berúc do úvahy, že | x | 0 - ľubovoľný bod, potom Príklad 4. y \u003d sinx, x R. Vezmite x 0 R a vypočítajte prírastok funkcie v tomto bode: Takže (sinx) \u003d cosx, x R. "\u003e 0. Berúc do úvahy, že | x | 0 je ľubovoľný bod, potom príklad 4. y \u003d sinx, x R. Vezmite x 0 R a vypočítajte prírastok funkcie v tomto bode: Takže (sinx) \u003d cosx, x R. "title \u003d" (! LANG: 5 Príklad 3. Zoberme x 0\u003e 0, ak vezmeme do úvahy, že | x | 0 je ľubovoľný bod, potom príklad 4.y \u003d sinx, x R. Vezmite x 0 R a vypočítajte prírastok funkcie v tomto bode: Takže (sinx) \u003d cosx, x R."> title="5 Príklad 3. Vezmite x 0\u003e 0. Vzhľadom na to | x | 0 je ľubovoľný bod, potom príklad 4.y \u003d sinx, x R. Vezmite x 0 R a vypočítajte prírastok funkcie v tomto bode: Takže (sinx) \u003d cosx, x R."> !}
6 VETA. Ak je funkcia f (x) diferencovateľná v bode x 0, potom je v tomto bode spojitá. Dôkazy. Nech existuje Potom Z toho získame, že f (x) - f (x 0) \u003d f "(x 0) (x - x 0) + (x - x 0) α (x) pre x x 0. To znamená, že f ( x) je spojitá v bode x 0. Spojitosť diferencovateľnej funkcie (1)
7 POZNÁMKA. Spojitosť funkcie v bode nie je dostatočnou podmienkou pre existenciu derivácie v tomto bode. Príklad 5.f (x) \u003d x. Vyskúšajme správanie f (x) v blízkosti х 0 \u003d 0. Tu a f (x) f (0) \u003d 0 pre x 0. To znamená, funkcia je spojitá v bode x 0 \u003d 0. Zvážte x y 0 Limita neexistuje, pretože Funkcia f (x) \u003d x nemá v bode x \u003d 0 deriváciu, aj keď je v tomto bode spojitá
8 Príklad x y 0 pri x 0. pri x 0. To znamená. f (x) je spojitá v bode x \u003d 0. To znamená, f (x) nemá deriváciu v bode x \u003d 0, a preto nie je v tomto bode diferencovateľný. Vyskúšajme správanie f (x) v blízkosti bodu x \u003d 0.
9 Nech funkcia y \u003d f (x) je diferencovateľná v bode x 0. Potom podľa (1) možno jej prírastok v bode x 0 zapísať v tvare y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0) \u003d f ( x 0) x + o (x) pri x. Diferenciál funkcie f (x 0) x - hlavný lineárny vzťah k x časti prírastku funkcie y \u003d f (x) v bode x 0 sa nazýva diferenciál funkcie v bode x 0 s prírastkom x a označuje sa df (x 0; x) alebo df (x 0) ) alebo df alebo dу. y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0) \u003d df (x 0; x) + o (x) pri x. DEFINÍCIA. Hlavná časť prírastku je lineárna vzhľadom na x. Infinitezimálna hodnota vyššieho rádu ako x. Teraz je možné prírastok funkcie zapísať takto:
10 POZNÁMKA. Prírastok x sa často označuje ako dx a označuje sa ako diferenciál nezávislej premennej. Diferenciál funkcie v bode x 0 teda môžeme zapísať v tvare df (x 0) \u003d f "(x 0) dx. Ak je funkcia diferencovateľná v každom bode nejakého intervalu, potom je jej diferenciál dy funkciou x a dx: dy \u003d f „(x) dx. Takto sa získa najmä výraz pre deriváciu, to znamená, že deriváciu možno považovať za pomer diferenciálu funkcie k diferenciálu nezávislej premennej.
11 Geometrický význam derivácie a diferenciálu Nech je funkcia у \u003d f (x) definovaná v U (x 0) a je diferencovateľná v bode x 0. М0М0 М x0x0 x 0 + xyxy \u003d f (x) y0y0 y 0 + у 0 L je sekans L 0 je dotyčnica xy \u003d f (x 0 + x) - f (x 0) pri x z dôvodu spojitosti funkcie. Tangenta k grafu funkcie y \u003d f (x) v bode M 0 sa nazýva limitná poloha sekansy L v x. y Ak je funkcia diferencovateľná v bode x 0, potom má v sekansovej rovnici y / x f (x 0) v x a dotyčnicová rovnica tvar y \u003d y 0 + f (x 0) (x - x 0).
12 М0М0 М x0x0 x 0 + x dy \u003d df (х 0; x) \u003d f (x 0) xxy \u003d f (x) f (x0) f (x0) f (x 0 + x) 0 xy FE EM \u003d o (x) pri x 0 L0L0 tg \u003d f (x 0) Ak y / x pri x, potom priamka x \u003d x 0, získaná zo sečancovej rovnice, sa nazýva zvislá tangenta ku grafu funkcie v bode M 0. Z tangenciálnej rovnice získame y - y 0 \u003d f (x 0) (x - x 0) \u003d df (x 0) - prírastok súradnice dotyčnice pri prechode z bodu x 0 do bodu x. Kolmica na graf funkcie v bode M 0 je priamka kolmá na dotyčnicu, prechádzajúca bodom M 0. Jeho rovnica má tvar y \u003d y 0 - 1 / f (x 0) (x - x 0). L 1 - normálne
13 Fyzikálne použitie derivácie a diferenciálu Ak S (t) je cesta, ktorú prešiel hmotný bod v čase t, potom S „(t) je okamžitá rýchlosť hmotného bodu a dS \u003d S“ (t) dt je vzdialenosť, ktorú by hmotný bod prešiel pre časový interval od t do t + dt, ak sa pohyboval rýchlosťou rovnajúcou sa okamžitej rýchlosti v čase t. Ak Q (t) je množstvo elektriny pretekajúcej prierezom vodiča v čase t, potom Q "(t) \u003d I je prúdová sila. Ak N (t) je množstvo látky vytvorenej v čase t počas chemickej reakcie, potom N "(t) je rýchlosť chemickej reakcie.
Veta:Ak je funkcia r = f(x) je v určitom okamihu diferencovateľný x = x0, potom je v tomto bode spojitá.
Funkcia teda nemôže mať deriváciu v bodoch diskontinuity. Opačný záver nie je pravdivý, t.j. z čoho v istom okamihu x = x0 funkcia r = f(x) je spojitý, z toho nevyplýva, že je v tomto okamihu diferencovateľný. Napríklad funkcia r = |x| nepretržité pre všetkých x (–Ґ< x < Ґ), но в точке x \u003d 0 nemá deriváciu. V tomto bode grafu nie je nijaká tangens. Existuje pravá dotyčnica a ľavá dotyčnica, ale nie sú rovnaké.
Derivácia komplexnej funkcie
Veta: Nech funkcia, definovaná a spojitá v susedstve, má v bode deriváciu. Funkcia je definovaná a spojitá v susedstve, kde, a má v bode deriváciu. Potom má komplexná funkcia deriváciu v bode a
.
kde a - b.m.f. Potom
a 
kde 
b.m.f. v bode.
28. Derivát súčtu, súčinu a kvocientu dvoch funkcií.
Derivát súčtu (rozdielu) funkcií
Deriváciu algebraického súčtu funkcií vyjadruje nasledujúca veta.
Derivát súčtu (rozdielu) dvoch diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) derivátov týchto funkcií:
Derivácia konečného algebraického súčtu diferencovateľných funkcií sa rovná rovnakému algebraickému súčtu derivácií výrazov. Napríklad
Derivát súčinu funkcií.
Nechaj sa u (x) a u (x) - diferencovateľné funkcie. Potom súčin funkcií u (x) v (x) tiež diferencovateľné a
Derivát súčinu dvoch funkcií sa nerovná súčinu derivátov týchto funkcií.
Derivát súkromnej funkcie.
Nechaj sa u (x) a u (x) - diferencovateľné funkcie. Potom ak v (x) ≠ 0 , potom sa derivácia kvocientu týchto funkcií vypočíta podľa vzorca
29. Derivácia inverznej funkcie. Derivácia parametricky definovanej funkcie.
VETA (derivácia inverznej funkcie)
Nechajte spojitú, striktne monotónnu (zväčšujúcu sa alebo klesajúcu) funkciu na intervale, ktorá má v bode deriváciu. Potom má inverzná funkcia deriváciu v bode a
.
DOC. 
= 
.
Veta. (derivácia funkcie definovaná parametricky)Nechajte funkciu x \u003d φ (t) má inverznú funkciu t \u003d Ф (x). Ak funkcie x \u003d φ (t) , y \u003d ψ (t) diferencovateľné a φ "(t) ≠ 0 potom
Dôkazy
Od funkcie x \u003d φ (t) má inverznú funkciu, potom formálne y môžeme vyjadriť pomocou x : y \u003d ψ (Ф (x)) ... Od funkcie x \u003d φ (t) diferencovateľné, potom veta 5, funkcia t \u003d Ф (x) tiež diferencovateľné.
Pomocou pravidiel diferenciácie získame 
čo
Podobný vzorec je možné získať pre druhý derivát y "" x :
Nakoniec sa dočkáme 
30. Deriváty vyšších rádov. Leibnizov vzorec.
Ak je f definované na intervale (a, b) ®R, diff-ma v „bode xÎ (a, b), potom sa na (a, b) objaví nová funkcia f ’ : (a, b) ®R, ktorého hodnota v bode x \u003d f ’ (X). Funkcia f ’ sama o sebe môže mať derivát (f ’ )’ : on (a, b) ®R sa to vzhľadom na pôvodnú funkciu nazýva druhou deriváciou f a označuje sa f ” (x), d 2 f (x) / dx 2 alebo f ” xx (x), f ” x 2 (x); Def... Ak je definovaná derivácia f (n -1) (x) rádu n-1 z f, potom je derivácia rádu n určená vzorcom f (n) (x) \u003d (f n -1)) ‘(x). Zápis f (n) (x) \u003d d n f (x) / dx n - f-la Leibniz, f (0) (x): \u003d f (x).
31. Pojem diferencovateľnosti funkcie a prvého diferenciálu. Nevyhnutná a dostatočná podmienka pre diferencovateľnosť.
1. Diferenciálna funkcia y \u003d f (x) sa nazýva hlavná lineárna vzhľadom na D x časť prírastku D y, ktorá sa rovná súčinu derivácie a prírastku nezávislej premennej
dy \u003d f "(x) D X.
Všimnite si, že diferenciál nezávislej premennej sa rovná prírastku tejto premennej dx \u003d D x. Preto je vzorec pre diferenciál obvykle napísaný v tejto podobe:
| dy \u003d f "(x)dx. |
2. Diferencovateľnosť.Funkcia sa nazýva diferencovateľná v bode x, ak jej prírastok ∆y v tomto bode možno reprezentovať ako: ∆y \u003d A∆x + α (∆x) ∆x, kde A nezávisí od ∆x, α a α (∆x ) Je nekonečne malá funkcia vzhľadom na ∆x ako ∆x → 0.
32. Geometrický význam derivácie a diferenciálu. Tangenta a kolmá na graf.
Nech f je definované na (a, b) a spojité v bode x 0 Î (a, b), nech y 0 \u003d f (x 0), M 0 (x 0, y 0); x 0 + DxÎ (a, b), Dy \u003d f (x 0 + Dx) -f (x 0), M (x 0 + Dx, y 0 + Dy). M 0 M: y \u003d k (x-x 0) + y 0 (1),
1 ) Ak $ kon. limit lim D x ® 0 k (Dx) \u003d k 0 potom sa volá linka y \u003d k 0 (x-x 0) + y 0 (2).
(šikmá) dotyčnica ku grafu f v bode (x 0, y 0);
2 ) Ak $ je nekonečný limit
lim D x ® 0 k (Dx) \u003d ¥, potom priamka x \u003d x 0 je vertikálna dotyčnica ku grafu v bode (x 0, y 0);
Keď x \u003d x 0 (2) - krajná poloha (1), teda medzná poloha sečnu М 0 М
Dх®0 je dotyčnica y \u003d f (x) v bode х 0, pretože lim D x ® 0 k (Dx) \u003d lim D x ® 0 Dy / Dx \u003d f ’ (x 0), potom rovnica
dotyčnica má tvar y \u003d f ’ (x 0) (x-x 0) + y 0, kde y 0 \u003d f (x 0) (3). Z 3 dostaneme, že derivácia v bode x 0 \u003d tga, a je uhol medzi dotyčnicou a osou Ox, prvý člen f ’ (x 0) (x-x 0) \u003d f ’ (x 0) Dx, Dx \u003d x-x 0 je dif-ohm dy v bode x 0 Þ y-y 0 \u003d dy teda. rozdiel funkcie sa rovná prírastku súradnice dotyčnice v zodpovedajúcom bode grafu.
3 ) Ak lim D x ® 0 Dy / Dx \u003d ¥, potom je dotyčnica x \u003d x 0, zatiaľ čo v bode x 0 je nekonečno. derivát môže, ale nemusí existovať.
33. Forma invariantnosti prvého diferenciálu. Diferenciály vyššieho rádu, ne invariantnosť ich formy vo všeobecnom prípade.
Diferenciály vyššieho rádu ... Dif-al z dif-la prvého rádu dy \u003d f '(x) dx funkcie y \u003d f (x) (považuje sa iba za f-premennú x, t. J. Prírastok argumentu x (dx) sa berie konštantný za predpokladu, že opakované prírastok premennej x sa zhoduje s počiatočným) sa nazýva druhý diferenciál d 2 f (x): d (df (x)) \u003d d (f '(x) dx) \u003d d (f' (x)) dx \u003d f „(X) dxdx \u003d f“ (x) dx 2 preto f ”(x) \u003d d 2 f (x) / dx 2; Def... Dif-ohm n-tého rádu n \u003d 1,2 ... sa nazýva diferenciál diferenciálu rádu n-1 za predpokladu, že v diferenciálnom poradí sú rovnaké prírastky dx nezávisle od x. dnf (x) \u003d d (dn -1 f (x)) nie je ťažké vidieť, že dnf (x) \u003d f (n) (x) dx n (dx n \u003d (dx) n) Þ f (n) (x ) \u003d dnf (x) / dx n.
Ne invariantnosť formy diferenciálu rádu vyššia ako prvá
Zvážte prípad, keď x nie je nezávislá premenná, ale funkcia inej premennej
Teraz na pravej strane vzorca (3) premennej u záleží nielen na funkcii f(x), ale aj diferenciálu dx ... V dôsledku toho
Pri porovnaní vzorcov (2) a (4) sa uistíme, že diferenciály druhého (a vyšších rádov) nemajú invariantnosť tvaru.
34. Funkčné extrémy. Nevyhnutné podmienky pre extrém (Fermatova veta).
Extrémne body
Extrém- maximálne alebo minimálne hodnota funkcie na danej množine. Bod, v ktorom sa dosiahne extrém, sa nazýva extrémny bod... Podľa toho, ak sa dosiahne minimum, zavolá sa krajný bod minimálny bod, a ak je maximum maximálny bod... V matematickej analýze sa tiež rozlišuje pojem lokálny extrém (respektíve minimálny alebo maximálny).
Bodka x 0 sa nazýva bod prísneho lokálneho maxima (minima) funkcie f (x) ak pre všetky hodnoty argumentu z nejakého dostatočne malého δ - okolia bodu x 0 nerovnosť
f (x) < f (x 0) (f (x) > f (x 0))
o x ≠ x 0 .
Miestne maximum a miestne minimum spája spoločný názov extrém. Z definície vyplýva, že pojem extrém je lokálny v tom zmysle, že ide o nerovnosť f (x) < f (x 0) (f (x) > f (x 0)) nemusí platiť pre všetky hodnoty x v doméne definície funkcie, ale musia byť splnené iba v niektorom susedstve bodu x 0 .
Načítava ...