Model ( SA POPOLUDNIE ) opisuje vzťah medzi trhovým rizikom a požadovaným výnosom. Model ( CAPM ) je založený na systéme prísnych predpokladov.Podľa logiky tohto modelu sa investičné rozhodnutie robí pod vplyvom dvoch faktorov – očakávaného výnosu a rizika, ktorých mierou je rozptyl alebo štandardná odchýlka výnosu. Autori modelu na základe viacerých predpokladov (investori sa správajú racionálne, merajú čas v rovnakých jednotkách, rozmýšľajú podobným spôsobom, požičiavajú si a požičiavajú prostriedky za bezrizikovú sadzbu atď.) ukázali, že pri dodržaní týchto Investičné portfólio, ktoré opakuje proporcie trhu, by malo byť najlepším investičným riešením pre všetkých investorov.
Formálny záznam konečnej rovnice tohto modelu je nasledovný:
kde je očakávaný výnos z konkrétneho cenného papiera za podmienky trhovej rovnováhy;
m f- miera výnosu bezrizikového cenného papiera, ktorý je najdôležitejším prvkom akciového trhu. príkladom garantovaných cenných papierov s pevným výnosom sú napríklad štátne dlhopisy.
b i - akciový koeficient i (b i) je mierou trhového rizika akcie. Meria volatilitu výnosu akcie v pomere k výnosu priemerného trhového portfólia. b-koeficient spojený s sklon charakteristická líniab-koeficient spojený s sklon charakteristická línia akcií, čo je grafické znázornenie regresnej rovnice, postavené na štatistických údajoch o ziskovosti i-tý podiel a priemerné trhové výnosy.
() je trhová riziková prémia.
Vzťah medzi príjmami bezpečnosť a jeho koeficient beta je lineárny a nazýva sa línia trhu s bezpečnosťou (SML). Rovnicu SML možno zapísať v tvare:
Na grafe SML sú β koeficienty vynesené pozdĺž horizontálnej osi a efektívnosť cenných papierov alebo portfólií je vynesená pozdĺž vertikálnej osi. Tento priamy SML však odráža ideálny vzťah medzi β a výkonnosťou cenných papierov a portfólií. Všetky body ležiace na línii SML zodpovedajú „spravodlivo“ oceneným cenným papierom (portfóliám) a tie, ktoré ležia nad/pod touto líniou, zodpovedajú podhodnoteným/nadhodnoteným. Grafické znázornenie línie trhu cenných papierov napríklad 4.3. znázornené na obrázku 4.7.
Trhová línia cenných papierov ( SML) cenných papierov odráža pomer rizika a výnosu pre jednotlivé akcie. Požadovaný výnos z akejkoľvek akcie sa rovná bezrizikovej sadzbe, pripočítanej k súčinu trhovej rizikovej prémie a b - akciového koeficientu:
Absencia rizika na bezrizikových cenných papieroch znamená minimálnu úroveň zisku. Z tohto dôvodu sú bezrizikové cenné papiere hlavným regulátorom ziskov a rizík.
Predpokladajme, že výnos z garantovaných cenných papierov je m f . V tomto prípade každé investičné portfólio, ktoré má cenné papiere s rôznym stupňom rizika, prináša vyššie výnosy ako investície podobnej veľkosti do garantovaných cenných papierov. Preto môžeme konštatovať, že nahradenie akýchkoľvek cenných papierov výnosnejšími zvyšuje riziko portfólia.
Efektívnosť cenných papierov je vhodné vypočítať z efektivity bezrizikovej investície m f.
m i = a i + b i ´m r = m f + b i (m r – m f) + a i ,
kde ai, = ai + (bi-1) mf.
Prekročenie účinnosti cenného papiera nad jeho bezrizikovou účinnosťou m f riziková prémia. Táto riziková prémia je teda v podstate lineárnou funkciou rizikovej prémie pre trh ako celok a koeficientom je beta cenného papiera. To však platí, ak a=0. Takéto cenné papiere sa nazývajú „spravodlivo“ ocenené. Tie isté cenné papiere s > 0 sú trhom podhodnotené a ak a< 0, то рынком переоценены.
Podľa E. Dimsona vedúci ekonomických podmienok krajín sveta sa trhová prémia () rovná 8 % ročne (údaje získané retrospektívnou analýzou akciových trhov za 50 rokov). To znamená, ak je napríklad miera bezrizikovej investície (v dolároch) 5 % ročne a koeficient b pre niektorú spoločnosť je 0,65, potom dlhodobý výnos, ktorý by mal investor v stabilnej ekonomike požadovať od akcií tejto spoločnosti, je:
5 % + 0,65 x 8 % = 10,2 % ročne, USD
Na rozvíjajúcich sa trhoch, ku ktorým patrí ruský akciový trh, je však takéto použitie modelu nemožné.
Otázka je nejednoznačná: aká je bezriziková sadzba v Rusku?
V podmienkach udržateľnosti ekonomický systém, napríklad v USA alebo v Anglicku, kurz m0 sa rovná výnosu vládnych záväzkov, najčastejšie pokladničných poukážok (pokladničných poukážok), za podmienok emisie blízkych ruským GKO.
Ruské vládne záväzky však v žiadnom prípade nie sú bez rizika. To bolo zrejmé už dávno pred krízou v roku 1998: výnos GKO bol vždy volatilný, niekedy stúpal (počas ich obehu) na 200 % ročne a vyššie, potom klesal (počas relatívnej stabilizácie ekonomickej situácie) na 15 %. . Ak je rozptyl mierou rizika, potom môžeme jednoznačne povedať, že GKO neboli len rizikové, ale čisto špekulatívne cenné papiere.
Pre rozvíjajúce sa trhy tiež nie je zrejmá otázka: aká by mala byť trhová prémia k ziskovosti, t.j. rozsah()v modeli SARM?
Skrývajú sa tu dva problémy. Po prvé, ak je táto prémia určená na základe akéhokoľvek existujúceho indexu ruskej výmeny, riskujeme, že sa budeme spoliehať na nespoľahlivé údaje. Na ruskom akciovom trhu dominuje voľnopredajná aktivita a ako ukazujú niektoré štúdie, má nízky stupeň informačnej efektívnosti. To môže spôsobiť, že index založený na spriemerovaných ponukách a ponukách od obchodníkov na prepážke skresľuje skutočné trendy na trhu.
Po druhé, aj keď za základ berieme najdôveryhodnejší akciový index a považujeme ho za celkom spoľahlivý ukazovateľ dynamiky trhového portfólia, potom je tu akútny nedostatok informácií.
Pri odvodení svojich priemerných trhových prémií vychádzal E. Dimson z analýzy 50-ročnej histórie. Rozvíjajúci sa trh je však zvyčajne mladý a nestabilný. Obdobie nestability je škodlivé pre investičnú aktivitu a nemalo by trvať dlho. Preto trend rozvíjajúceho sa trhu: neistý kvôli malej hĺbke praveku a všeobecnej volatilite; heterogénne, keďže vláda rozvojovej krajiny sa bude snažiť prilákať investorov, stabilizovať trh a zvýšiť jeho predvídateľnosť. Na ceste bude skúšať rôzne stratégie, ktoré ovplyvnia dynamiku akciového trhu.
Napríklad, ak sa ako základ výpočtu použije časový interval 1995-1997. pre ruský trh dostaneme priemernú ročnú mieru návratnosti približne 80 % (v dolároch). Je úplne jasné, že takú ziskovosť nemôžeme požadovať od dlhodobých projektov priemyselných korporácií, to by urobilo väčšinu dobrých a reálnych projektov v r. Ruská federácia nerentabilné, a preto by výpočet tohto druhu bol nesprávny.
Línia kapitálového trhu (CML) odráža pomer rizika a výnosu pre efektívne portfóliá, t.j. pre portfóliá, ktoré kombinujú rizikové a bezrizikové aktíva.
Upozorňujeme, že nielen cenné papiere majú hodnoty beta, ale aj portfóliá a hodnota beta portfólia sa rovná váženému súčtu hodnôt beta cenných papierov v portfóliu. Pokiaľ ide o cenné papiere, portfólio sa považuje za „spravodlivo“ ocenené, podhodnotené alebo nadhodnotené v závislosti od p .
Z uvedeného vyplýva vzťah známy ako línia kapitálového trhu (CML), spájajúci ukazovatele výkonnosti a mieru rizika portfólia, t.j. m p a ( m p £, s p £ s m r)
mp = mf + 
“, (4,10)
kde m p- ziskovosť (efektívnosť) akciového portfólia;
mf- ziskovosť bezrizikových cenných papierov;
RMS výnos trhových cenných papierov;
s p- RMS výnos z portfóliových akcií.
Zvážte dve tvrdenia o bezpečnostnom riziku a portfóliovom riziku:
· Trhové riziko zohľadňuje veľkú časť dobre diverzifikovaného portfólia.
· Beta verzia individuálneho cenného papiera meria jeho citlivosť na výkyvy trhu.
Skúsme to vysvetliť. Predpokladajme, že portfólio obsahujúce veľké množstvo cenných papierov, povedzme 100, sme získali náhodným výberom z trhu. Čo budeme mať potom? Samotný trh alebo portfólio je veľmi blízko trhu. Beta portfólia bude 1 a korelácia s trhom bude 1. Ak je štandardná odchýlka na trhu 20 %, potom štandardná odchýlka portfólia bude 20 %.
Predpokladajme teraz, že sme dostali portfólio veľkej skupiny cenných papierov s priemernou hodnotou beta 1,5. A toto portfólio bude úzko prepojené s trhom. Jeho štandardná odchýlka však bude 30 %, čo je 1,5-násobok trhovej odchýlky. Dobre diverzifikované portfólio s beta 1,5 zosilní každý pohyb na trhu o 50 % a ponesie 150 % trhového rizika.
To isté sa dá samozrejme zopakovať aj s cennými papiermi s beta 0,5 a získať tak dobre diverzifikované portfólio, o polovicu menej rizikové ako trh. Vo všeobecnosti platí, že riziko dobre diverzifikovaného portfólia je úmerné hodnote beta portfólia, ktorá sa rovná priemernej hodnote beta cenných papierov zahrnutých v tomto portfóliu. To ukazuje, ako je riziko portfólia určené betami jednotlivých cenných papierov.
Hodnoty koeficientov "beta" v modeli SARM a trhový model majú podobný význam. Na rozdiel od CAPM však trhový model nie je modelom rovnováhy finančného trhu. Okrem toho trhový model používa trhový index, ktorý vo všeobecnosti nepokrýva trhové portfólio používané v SARM.
Existuje niekoľko dôvodov, prečo sa požadované a očakávané výnosy nezhodujú. Medzi nimi: 1) zmena bezrizikovej sadzby v dôsledku revízie očakávanej miery inflácie, 2) zmena b; 3) prehodnotenie postoja investora k riziku.
CAPM je však z teoretického hľadiska dobre podložený nie je možné empiricky potvrdiť, parametre sa ťažko hodnotia. Preto je použitie CAPM v praxi obmedzené.
Aby to „fungovalo“, je potrebné splniť také zjavne nereálne podmienky, akými sú prítomnosť absolútne efektívneho trhu, absencia transakčných nákladov a daní, rovnaký prístup všetkých investorov k úverovým zdrojom a pod. abstraktná logická konštrukcia získala takmer všeobecné uznanie vo svete reálnych financií. Hlavné trhové inštitúcie ako investičná banka Merril Lynch sa pravidelne vyrovnávajú β - koeficienty všetkých veľkých spoločností kótovaných na burzách. Nedostatok dobre sformovanej finančnej infraštruktúry v Rusku stále bráni využitiu plného potenciálu tohto modelu.
Uvažujme preto o príklade výpočtu úrovne očakávaného výnosu pomocou prístupu capm na americkom akciovom trhu.
Spoločnosť, ktorá má β - koeficient 2,5, pritiahne dodatočný vlastný kapitál vydaním kmeňových akcií. Úroveň bezrizikovej úrokovej sadzby je 6,25 %, priemerný trhový výnos vypočítaný na základe indexu S&P 500 je 14 %. Aby boli cenné papiere atraktívne pre investorov, spoločnosť musí ponúknuť ročný výnos aspoň 25,625 % (6,25 + 2,5 * (14 - 6,25)). Riziková prémia bude 19,375 %. Takéto výrazné obmedzenia, ktoré trh kladie na možnosť zníženia ceny kapitálu, stanovili hranicu ziskovosti investičných projektov, ktoré sa spoločnosť chystala financovať pritiahnutým kapitálom: vnútorná miera návratnosti týchto projektov by nemala byť nižšia ako 25,625. %. V opačnom prípade bude NPV projektov záporná, to znamená, že neposkytnú zvýšenie hodnoty podniku. Ak β - koeficient spoločnosti bol rovný 1,5, potom by veľkosť rizikovej prémie bola 11,625 % (1,5 * (14 - 6,25)), to znamená, že cena nového kapitálu by bola len 17,875 %.
| |
|
|
Obrázok. Vzťah na úrovni β - koeficient a požadovaná návratnosť
Na prekonanie uvedených nedostatkov CAPM sa uskutočnili pokusy vyvinúť alternatívne modely rizika a návratnosti; teória arbitrážneho oceňovania(ART) - najsľubnejšie z nových modelov.
V teórii portfóliovej analýzy existujú prístupy, ktoré umožňujú zostaviť optimálne investičné portfólio. Optimálne portfólio je také, ktoré poskytuje optimálnu kombináciu rizika a výnosu.
Popis teórie línie kapitálového trhu (CML) rovnica umožňuje zostaviť optimálne portfólio maximalizáciou výnosu pre zvolenú hodnotu rizika (v tomto prípade musí zvolená hodnota rizika ležať na línii kapitálového trhu). Rovnica vyzerá takto:
kde je ziskovosť trhového portfólia (ako taký ukazovateľ možno použiť trhový index);
Stredná kvadratická odchýlka ziskovosti trhu s cennými papiermi;
Smerodajná odchýlka výnosu optimálneho portfólia.
Celkové riziko investičného portfólia (merané štandardnou odchýlkou) pozostáva zo systematického a nesystematického. Systematické riziko aktív možno merať β-koeficientom, odráža citlivosť konkrétneho finančného aktíva na zmeny trhových podmienok.
Vo formalizovanej forme môže byť znázornený β-koeficient
Kde COVop je kovariancia medzi akciovým výnosom j a výnosom p-ka
Na posúdenie β-koeficientu portfólia cenných papierov sa používa vzorec váženého priemeru, β-portfólio je vážený priemer β-koeficientov zahrnutých v jeho akciách, t.j.
kde je podiel i-tého aktíva v portfóliu.
kde je požadovaný výnos;
Návratnosť bezrizikových cenných papierov;
výnosnosť trhového portfólia.
Z toho, čo bolo povedané, vyplýva známy vzťah ako hlavná čiara prepojenie ukazovateľov výkonnosti a portfóliového rizika, t.j.
A ( ≤ ; ≤ ):
, (5.9)
kde je ziskovosť (efektívnosť) akciového portfólia;
Z - garantovaný úrok platený zo štátnych cenných papierov;
Priemerný trhový výnos akcií za obdobie K;
Štandardná odchýlka trhových cenných papierov;
Smerodajná odchýlka akcií v portfóliu cenných papierov.
Výraz When a = (5.9) bude mať nasledujúci tvar:
Pre ďalšiu analýzu štruktúry portfólia používame ukazovateľ - beta faktor (b), vypočítané podľa nasledujúceho vzorca: .
Koeficient beta hodnotí zmeny výnosov jednotlivých akcií vo vzťahu k dynamike výnosov trhu. Cenné papiere s týmto pomerom vyšším ako 1 sú charakterizované ako agresívnejšie a uvoľnenejšie ako trh ako celok. Cenné papiere s koeficientom beta menším ako 1 sú charakterizované ako chránené a zostávajú menej rizikové ako trh ako celok. Okrem toho môže byť koeficient beta kladný alebo záporný: v prvom prípade bude výkonnosť cenných papierov, pre ktoré sa koeficient beta vypočítava, podobná dynamike efektívnosti trhu; pri negatívnom koeficiente beta sa účinnosť tohto zabezpečenia zníži.
Koeficient beta sa používa aj na určenie očakávanej miery návratnosti. Akciový oceňovací model predpokladá, že očakávaná miera návratnosti konkrétneho cenného papiera sa rovná bezrizikovému výnosu (Z) plus β (miera rizika) krát podkladová riziková prémia (r m -Z).
Ako ukazovateľ sa rt zvyčajne berie ako hodnota vypočítaná z nejakého známeho trhového indexu.
Tento model je opísaný nasledujúcim vzorcom: ,
kde je očakávaný (priemerný) výnos konkrétneho cenného papiera;
Miera návratnosti bezrizikového cenného papiera;
Beta - koeficient;
Priemerná trhová miera návratnosti;
Trhová riziková prémia.
Lineárny vzťah opísaný vzorcom zobrazeným na obr. 5.1. a volal trhová línia cenných papierov (SML).
Aby výnos cenného papiera zodpovedal riziku, cena kmeňových akcií musí klesnúť; vďaka tomu sa bude miera návratnosti zvyšovať, až kým nebude dostatočná na vyrovnanie rizika, ktoré podstupuje investor. Na rovnovážnom trhu sú ceny všetkých kmeňových akcií stanovené na úrovni, pri ktorej miera návratnosti každej akcie vyvažuje investora s rizikom spojeným s vlastníctvom tohto cenného papiera. V tomto prípade, v súlade s úrovňou rizika a mierou návratnosti, sú všetky akcie umiestnené na priamy trh cenných papierov.
Teória kapitálového trhu identifikuje dva typy rizík: systematické a nesystematické. Súhrnné riziko určujú systematické a nesystematické faktory. Na základe toho možno riziko jednotlivých akcií vyjadriť nasledujúcim vzorcom:
kde - riziková charakteristika 1. druhu akcií;
Charakterizuje vplyv celkového stavu trhu na konkrétne cenné papiere;
Charakterizuje variáciu nesystematického rizika, t.j. riziko nesúvisiace s postavením na trhu.
Pri zvažovaní otázky optimalizácie štruktúry portfólia je potrebné zastaviť sa ešte pri jednom ukazovateli - ά (alfa).
Cena akcií podlieha častým výkyvom, ktoré nie sú vždy adekvátne skutočným zmenám v záležitostiach spoločnosti emitenta. Mnoho prevádzkovateľov burzy sa preto snaží takéto krátkodobé situácie včas využiť na zisk.
Spolu s tým sú na trhu vždy cenné papiere s trvalo nadhodnotenými alebo podhodnotenými cenami a tieto odchýlky od „skutočnej“ ceny sú dlhodobého charakteru. Mierou tejto odchýlky je ukazovateľ a, ktorý sa vypočíta takto:
O<0 действовавшая цена считается завышенной, а при >0 - podhodnotené. Na základe ά-analýzy investori špecifikujú zloženie portfólia, pričom pri zachovaní všetkých ostatných podmienok vyberú tie akcie, ktoré majú kladné ά.
Kľúčové pojmy
Model SARM
Línia kapitálového trhu - CML
Trhové (systémové) riziko
Netrhové riziko
Agresívne a obranné aktíva
Trhová línia aktív - SML
Návrat portfólia
CAPM s nerovnakými sadzbami pôžičiek a vkladov
SARM s nulovou beta verziou
CAPM pre dlhopisy
CAPM pre futures
CAPM pre možnosti
Ostrý model
Feature Line
Koeficient determinácie
20.1. MODEL HODNOTENIA MAJETKU (CAPM) …………………….. 2
20.1.1. Línia kapitálového trhu ………………………………………………………………….. 2
20.1.2. Trhové a netrhové riziká ………………………………………………. štyri
20.1.3. Beta ………………………………………………………………………………………… 6
20.1.4. Trhová línia aktív ……………………………………………………………………….. 8
SML ……………………………….. 10
20.1.6. CML aSML ………………………………………………………………………... 11
20.1.7. Alfa ………………………………………………………………………………………. 12
20.2. MODIFIKÁCIE SARM …………………………………………………………. 14
20.2.1. SARM pre prípad, keď sa sadzby na úvery a vklady nerovnajú ……….. 14
20.2.2.SARM s nulovým beta ……………………………………………………………… 15
20.2.3. Verzia SARM pre dlhopisy ……………………………………………………… 15
20.2.4. Verzia SARM pre futures ……………………………… 16
20.2.5. Verzia SARM pre možnosti ………………………………………………………… 17
20.3. SHARP MODEL……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………… 20.20.3.
20.4. KOEFICIENT URČENIA ………………………………………………… 21
20.5. Model SARM a Sharpe ……………………………………………………………… 23.
20.6. URČENIE SÚBORU ÚČINNÝCH MODELOV …………………. 24
20.7. MULTIFAKTOROVÉ MODELY …………………………………………………. 25
20.1. Model hodnoty aktív (CAPM)
|
Ako viete, hodnota aktíva sa určuje diskontovaním budúceho očakávaného príjmu, ktorý prinesie, pri úrokovej sadzbe zodpovedajúcej jeho riziku. Model oceňovania aktív priamo neodpovedá na otázku, aká by mala byť cena aktíva. Svoj názov však dostal, pretože umožňuje určiť diskontnú sadzbu použitú na výpočet hodnoty finančného nástroja. V modeli sú nastavené nasledujúce obmedzenia:
● trh je konkurenčný;
● aktíva sú likvidné a deliteľné;
● žiadne dane, transakčné náklady, bankroty;
● všetci investori majú rovnaké očakávania, konajú racionálne, snažia sa maximalizovať svoj úžitok, majú možnosť brať si pôžičky a poskytovať prostriedky za bezrizikovú sadzbu;
● zvažuje sa jedno časové obdobie;
● výnos je len funkciou rizika;
● zmeny cien aktív nezávisia od minulých cenových úrovní.
Zvážte predovšetkým líniu kapitálového trhu.
20.1.1. Línia kapitálového trhu(CML)
AT SARM Vzťah medzi rizikom a očakávaným výnosom možno opísať pomocou línie kapitálového trhu (CML-Kapitáltrhuriadok), ktorý je uvedený na ryža. 20.1.
Na grafe M je trhové portfólio rf – aktívum bez rizika s výnosom rf; rf L – línia kapitálového trhu; σ m – očakávané riziko trhového portfólia; E( rm) je očakávaný výnos z trhového portfólia.
Všetky možné optimálne (efektívne) portfóliá, teda portfóliá, ktoré zahŕňajú trhové portfólio M , ktorý sa nachádza na linke rf L . Prechádza cez dva body rf a M . Čiara kapitálového trhu je dotyčnicou k efektívnej Markowitzovej hranici a nie je ničím iným ako efektívnou hranicou portfólií s možnosťami pôžičiek a pôžičiek. CML dostala takýto názov práve preto, že portfóliá, ktoré ju tvoria, sú tvorené požičiavaním finančných prostriedkov alebo poskytovaním úverov za bezrizikovú sadzbu na kapitálovom trhu.
Všetky ostatné portfóliá, do ktorých trhové portfólio nevstupuje, sa nachádzajú pod čiarou rf L . CML stúpa zľava doprava a hovorí, že ak má portfólio vyššie riziko, musí mať aj vyšší očakávaný výnos.
bezpečnostný papier
Očakávaný návratE(r)
Najjednoduchší spôsob, ako posúdiť vplyv diverzifikácie na očakávaný výnos a riziko, je predpokladať, že všetky cenné papiere majú v portfóliu rovnakú váhu, t.j. W1= W2= W3 … = Wn = 1/ n , kde n je počet cenných papierov v portfóliu. V rovnako váženom portfóliu teda majú všetky cenné papiere rovnaký vplyv na očakávaný výnos celého portfólia.
V tomto príklade sú portfóliá tvorené iba z troch cenných papierov v ľubovoľnej kombinácii. Predpokladajme, že investor sa rozhodne vytvoriť portfólio iba jedného cenného papiera. Aký bude očakávaný výnos takýchto portfólií v tomto prípade? Pri odpovedi na túto otázku je potrebné vziať do úvahy, že za daných trhových podmienok (trh obsahuje iba tri cenné papiere) sú možné tri portfóliá, v ktorých každé obsahuje jeden cenný papier: a) portfólio cenného papiera 1; b) portfólio obsahujúce iba cenný papier 2; c) portfólio vytvorené z cenného papiera 3.
Potom pre prvé portfólio bude očakávaný výnos E(r1) = 0,20, pre druhé bude E(r2) = 0,18 a pre tretie portfólio bude E(r3) = 0,10. Keďže investor si môže vybrať ktorékoľvek z týchto portfólií, zaradenie iba jedného cenného papiera do portfólia investorovi prinesie priemer očakávaný návrat:
Predpokladajme, že investor sa potom rozhodne spojiť dva cenné papiere do portfólia. Aký je v tomto prípade očakávaný výnos z portfólia? Existujú tri možnosti vytvorenia takýchto portfólií: a) portfólio cenných papierov 1 a 2; b) portfólio cenných papierov 1 a 3; c) portfólio cenných papierov 2 a 3.
Keďže podľa predpokladov majú všetky cenné papiere v portfóliu rovnakú „váhu“, očakávané výnosy portfólií budú:
Keďže investor si môže vybrať ktorékoľvek z týchto portfólií, potom priemer očakávaný výnos, ktorý investor dostane z vytvoreného portfólia z dvoch cenných papiere budú:
Nakoniec predpokladajme, že investor vytvorí portfólio troch cenných papierov . Podľa našich predpokladov, Na trhu sú len tri cenné papiere , čo znamená, že v tomto prípade trhové portfólio. Očakávaný výnos z tohto portfólia je:
Ako ukazuje uvedený príklad, bez ohľadu na to, koľko cenných papierov sa investor rozhodne spojiť do portfólia, výnos očakávaný investorom z akéhokoľvek portfólia bude vždy v priemere 0,16 . Ide o výnos z trhového portfólia. Diverzifikácia ako taká teda nemá vplyv na očakávaný výnos portfólia. Inými slovami, priemer , bez ohľadu na počet cenných papierov v portfóliu, očakávaný výnos náhodne vybrané portfólio sa bude vždy rovnať očakávanému výnosu trhového portfólia.
To však neznamená, že všetky portfóliá danej veľkosti budú mať rovnaký očakávaný výnos. Diverzifikácia ovplyvňuje rozptyl, t.j. ovplyvňuje mieru odchýlky očakávaného výnosu vytvorených portfólií od očakávaného výnosu trhového portfólia.
V skutočnosti, hoci pre investora je očakávaný výnos z portfólia akejkoľvek veľkosti vždy 0,16, pri n=1 sú možné výnosy 0,20; 0,18 a 0,10. Pri takomto rozložení hodnôt bude rozptyl:
Ak n=2, potom možnosti výnosu portfólia sú: 0,19; 0,15 a 0,14 a rozptyl výnosov:
Nakoniec pre n=3 sa vytvorí portfólio jednotného trhu a jeho rozptyl výnosov je
Preto, keď sa počet cenných papierov v portfóliu zvyšuje, rozptyl očakávaných výnosov portfólií v pomere k očakávaným výnosom trhového portfólia sa bude znižovať a hodnoty E( RP) bližšie a bližšie E( rm). Tento záver ilustruje rozpis 20.1.
Ako vyplýva z ryža. 20.1, rozpätie očakávaných výnosov vzhľadom na E( rm) maximálne kedy n=1 a zmizne, keď sa vytvorí trhové portfólio. Priemerná hodnota tohto rozdelenia sa však nemení a vždy sa rovná očakávanému výnosu trhového portfólia. Teda aj napriek tomu, že priemer pre investora zostáva očakávaný výnos portfólia nezmenený, existuje dôvod na diverzifikáciu portfólia, keďže v tomto prípade sa znižuje neistota o očakávanom výnose vytváraného portfólia.
Predpokladajme, že v portfóliu je n akcií. Potom sa rozptyl takéhoto portfólia vypočíta podľa vzorca:
(7.8)
Aby sme ukázali závislosť rizika portfólia od diverzifikácie, pre jednoduchosť predpokladáme, že všetky cenné papiere majú rovnakú „váhu“, t. j. za každý cenný papier investor minie 1/ n jeho počiatočný investičný kapitál. Vykonaním zodpovedajúcich výpočtov je možné ukázať, že v tomto prípade budú vyjadrenia pre očakávanú hodnotu rozptylu portfólia mať tvar:
kde je očakávané riziko portfólia n akcií;
Očakávaný (aritmetický priemer) rozptyl cenných papierov zahrnutých v portfóliu: 
ktorý určuje neistotu výnosov (rizika) každej jednotlivej akcie v portfóliu.
Očakávaná (aritmetický priemer) hodnota kovariancie cenných papierov v portfóliu: 
ktorý určuje riziko prepojenia medzi výnosmi portfóliových akcií navzájom.
Ako je možné vidieť zo vzorca (7.9), očakávané riziko portfólia má dve zložky :
1) priemerná hodnota rozptylu cenných papierov zahrnutých v portfóliu
2) priemerná hodnota kovariancie cenných papierov v portfóliu
Práve tento vzťah medzi zložkami celkového portfóliového rizika vysvetľuje podstatu diverzifikácie: ako počet n cenných papierov v portfóliu, prvý člen vo vzorci (7.9) začne klesať a riziko portfólia sa priblíži k aritmetickému priemeru kovariancií.
To nám umožňuje konštatovať, že ak cenné papiere portfólia nie sú spojené absolútnou kladnou koreláciou, t.j. 
potom možno časť celkového rizika portfólia znížiť diverzifikáciou. Táto zložka portfóliového rizika tvorí jeho diverzifikovateľnú (nesystematickú) časť. Druhý pojem v tomto prípade charakterizuje systematické riziko portfólia, ktoré nemožno eliminovať diverzifikáciou.
Keď portfólio zahŕňa všetky cenné papiere obchodované na finančný trh, potom tzv trhové portfólio . Riziko trhového portfólia je takmer úplne určené druhým členom vzorca (7.9), t. j. aritmetickým priemerom kovariancií akcií zahrnutých v trhovom portfóliu.
Čiže tá časť rizika portfólia, ktorú možno eliminovať diverzifikáciou, sa nazýva diverzifikovateľné, čiže nesystematické riziko. Podiel rizika, ktoré nie je eliminované diverzifikáciou, sa nazýva nediverzifikovateľné, čiže systematické riziko.
Vzťah medzi počtom cenných papierov v portfóliu (t. j. stupňom diverzifikácie) a mierou rizika možno preukázať ryža. 7.4.
Keďže priemerná hodnota kovariancií je určená mierou korelácie medzi výnosmi cenných papierov v portfóliu, je zrejmé, že čím menej sú výnosy cenných papierov vzájomne prepojené (t. j. čím bližšie sú ich korelačné koeficienty k hodnote – 1) , tým nižšie bude riziko portfólia.
Štúdie ukazujú, že cenné papiere jednej krajiny majú nižšie korelačné koeficienty s cennými papiermi iných krajín. . V tomto smere v mnohých rozvinuté krajiny je tendencia zvyšovať počet získaných cenných papierov iných štátov.
Znázornené na obr. 7.4 závislosť celkového rizika portfólia od počtu cenných papierov sa prejaví len vtedy, ak pre každú hodnotu n iteruje všetky možné možnosti vytvorenia portfólia a vypočíta priemernú hodnotu rozptylu portfólia.
Pri konkrétnom portfóliu sa však jeho riziko môže líšiť od priemernej hodnoty, keďže pri vybranom portfóliu akejkoľvek veľkosti je vždy neistota ohľadom výšky rizika (rozptyl portfólia). Inými slovami, pre akúkoľvek hodnotu N možno vytvoriť mnoho portfólií, z ktorých každé bude mať svoje vlastné riziko (rozptyl), čo odzrkadľuje Obr. 7.5.
20.1.3. Beta
Hodnota beta sa používa na meranie trhového rizika aktíva (portfólia). Ukazuje vzťah medzi výnosnosťou aktíva (portfólia) a výnosom na trhu. Trhový výnos je výnos z trhového portfólia. Keďže nie je možné vytvoriť portfólio, ktoré by zahŕňalo všetky finančné aktíva, za portfólio sa považuje akýkoľvek index so širokou základňou. Preto výnos trhu je výnos portfólia reprezentovaného vybraným indexom. Beta sa vypočíta podľa vzorca:
(20.2)
kde β i– beta ja- aktíva;
covim– návratová kovariancia ja- aktíva s výnosom trhového portfólia;
corrim– návratová kovariancia ja- aktíva s výnosom trhového portfólia.
Keďže hodnota beta sa určuje vo vzťahu k trhovému portfóliu, potom sa beta samotného trhového portfólia rovná jednej, keďže kovariancia výnosu trhového portfólia so sebou samým je jeho rozptyl, teda:
kde β m – beta trhového aktíva .
Beta bezrizikového aktíva je nula, pretože nula je kovariancia výnosu bezrizikového aktíva s výnosom trhového portfólia.
Hodnota β aktíva udáva, o koľko je riziko aktíva väčšie alebo menšie ako riziko trhového portfólia. Aktíva s beta väčšou ako jedna sú rizikovejšie ako trhové portfólio a aktíva s beta menšou ako jedna sú menej rizikové ako trhové portfólio.
Pokiaľ ide o hodnotu beta, aktíva sa delia na agresívny a ochranný . Beta agresívnych prostriedkov je väčšia ako jedna ( β > 1 ) a ochranný - menej ako jednota ( β < 1 ). Ak sa beta rovná jednej ( β = 1 ), potom sa riziko aktíva rovná riziku trhového portfólia.
Beta môže byť buď pozitívna alebo negatívna. Pozitívna hodnota beta znamená, že pri zmene trhových podmienok sa výnosy aktíva a trhu menia rovnakým smerom. Negatívna beta ukazuje, že aktíva a výnosy trhu sa pohybujú opačným smerom. Prevažná väčšina aktív má pozitívnu beta.
Beta aktíva meria, do akej miery bude výnos aktíva (a jeho cena) reagovať na trhové sily. Na základe znalosti beta aktíva je možné odhadnúť, do akej miery by sa mal jeho očakávaný výnos zmeniť s meniacim sa výnosom na trhu. Napríklad beta dokumentu je +2. To znamená, že pri zvýšení očakávaného výnosu trhového portfólia o 1% by sa malo očakávať zvýšenie výnosu papiera o 2%. Keďže hodnota beta cenného papiera je väčšia ako jedna, je rizikovejšia ako trhové portfólio. Ak je beta cenného papiera 0,5, potom 1% zvýšenie očakávaného výnosu trhu by malo zvýšiť očakávaný výnos cenného papiera len o 0,5%. Naopak, ak sa trhová výťažnosť zníži o 1 %, výťažnosť papiera klesne len o 0,5 %. Riziko tohto zabezpečenia je teda menšie ako riziko trhu.
Ak je beta -2, tak pri zvýšení výnosu trhového portfólia o 1% sa výnos aktíva zníži o 2% a naopak. Aktíva s negatívnou beta sú cenné nástroje na diverzifikáciu portfólia, pretože v tomto prípade je možné zostaviť portfólio s „nulovou beta“, ktoré nenesie riziko. Tu však treba pripomenúť, že takéto portfólio nie je obdobou aktíva bez rizika, keďže pri nulovej beta nebude obsahovať len systémové riziko. Zároveň si toto portfólio ponechá netrhové riziko.
Keď investor pozná hodnotu beta pre každé aktívum, môže ľahko vytvoriť portfólio s požadovanou úrovňou rizika a výnosu. Portfólio beta je vážený priemer beta hodnôt aktív zahrnutých v portfóliu, pričom váhy predstavujú ich podiely v portfóliu. Vypočítava sa podľa vzorca:
kde β p – portfólio beta;
β i – beta i- aktíva;
θ i – špecifická hmotnosť i -té aktívum.
Príklad. Investor tvorí portfólio troch aktív: A, B a C. ΒA =0,8; B = 0,95; VC = 0,2; A = 0,5; 6B = 0,2; 0C = 0,3. Určite beta verziu portfólia.
Riešenie. Beta je:
Beta každého aktíva sa vypočítava na základe návratnosti aktíva a trhu za predchádzajúce časové obdobia. Informácie o beta hodnotách možno získať od analytických spoločností, ktoré analyzujú finančný trh.
20.1.4. Línia trhu aktív(SML)
CML ukazuje pomer rizika a výnosu pre efektívne portfóliá. Nehovorí však nič o tom, ako sa budú oceňovať neefektívne portfóliá alebo jednotlivé aktíva. Na túto otázku odpovedá trhová línia aktív ( SML- bezpečnosť trhu riadok ). SML je hlavným výsledkom CARM. Hovorí, že pri rovnováhe sa očakávaný výnos z aktíva rovná bezrizikovej sadzbe plus odmena za trhové riziko, ktorá sa meria pomocou beta. SML zobrazené na ryža. dvadsať.2 . Je to priamka prechádzajúca dvoma bodmi, ktorých súradnice sú rovnaké rf, 0 a E( rm), 1. Poznanie bezrizikovej sadzby a očakávaného výnosu každého aktíva a portfólia, bez ohľadu na to, či je efektívne alebo nie, by sa teda malo nachádzať na SML.
Opäť treba zdôrazniť, že ak CML potom sa nájdu iba efektívne portfóliá SML mali by byť umiestnené široko diverzifikované a neefektívne portfóliá a jednotlivé aktíva.
Rovnica SML vyzerá ako:
Môže sa použiť na určenie očakávanej návratnosti aktíva.
Príklad. Bezriziková sadzba je 15 %, očakávaný výnos je 25 %. Určte očakávanú návratnosť aktíva s hodnotou beta 1,5.
Riešenie. Rovná sa:
Sklon SML je určená postojom investorov k riziku v rôznych podmienkach trhu.
Ak majú investori optimistické predpovede do budúcnosti, potom sklon SML bude menej strmé, keďže v dobrých trhových podmienkach investori súhlasia s väčším vysoké riziká(pretože sú podľa ich názoru menej pravdivé) pre menšie očakávané výnosy ( ryža. 20.3SML1 ).
Naopak, v očakávaní nepriaznivej konjunktúry SML bude mať strmší sklon, keďže v tomto prípade budú investori požadovať vyššiu očakávanú návratnosť nadobudnutých aktív pri rovnakých rizikových hodnotách ( ryža. 20.3 SML 2).
Ak investori zmenia svoje očakávania týkajúce sa bezrizikovej sadzby, povedie to k posunom SML. S nárastom rf SML sa bude pohybovať nahor pri spúšťaní - nadol, ako je znázornené na obr. 20.4 .
20.1.5. Problémy, ktoré sa vyskytnú počas výstavbySML
V praxi vzniká množstvo problémov, ktoré sťažujú odpoveď na otázku, aké dáta by sa mali použiť na zostavenie SML. Ako už bolo uvedené, CAPM je modelom jedného časového obdobia, takže teoreticky sa predpokladá, že bezriziková sadzba sa rovná sadzbe krátkodobých cenných papierov. Investori však budujú investičné stratégie, pričom sa zameriavajú na dlhodobý horizont. Ak sa sadzba na dlhodobé cenné papiere berie ako bezriziková sadzba, potom spravidla SLM vezmite miernejší svah (obr. 20.5 – SML 2 ) ako v prípade použitia bezrizikovej sadzby na krátkodobé cenné papiere ( ryža. 20.5 – SLM 1 ). V praxi nastáva uvedený problém, keď sa bezriziková sadzba na dlhodobé a krátkodobé dlhopisy výrazne líši pre aktíva (portfóliá) s vysokou alebo nízkou hodnotou beta, keďže pre aktíva (portfóliá) s hodnotou beta blízkou jednej rozdiel vo výnose v dvoch prípadoch nebude veľký.
Je tu tiež otázka presnosti predpovedania očakávaných trhových výnosov.
20.1.6. CML aSML
Pre lepšie pochopenie CML a SML Porovnajme ich vlastnosti. V stave trhovej rovnováhy CML nachádzajú sa len efektívne portfóliá. Všetky ostatné portfóliá a jednotlivé aktíva sú pod CML. CML zohľadňuje celé riziko aktíva (portfólia). Jednotkou rizika je štandardná odchýlka.
V rovnovážnom stave pri SML sú umiestnené všetky portfóliá, efektívne aj neefektívne, a jednotlivé aktíva. SML zohľadňuje len systémové riziko portfólia (aktíva). Jednotkou rizika je hodnota beta. V rovnováhe sú neefektívne portfóliá a jednotlivé aktíva nižšie CML, ale ľahni si SML, keďže trh hodnotí len systémové riziko týchto portfólií (aktíva).
Na obr. 20.6a predstavil efektívne portfólio AT, ktorý sa nachádza na CML. Riziko portfólia je σ B a očakávaný výnos je r B. Rovnaký obrázok ukazuje papier ALE. Má rovnaký očakávaný výnos ako portfólio AT, ale jeho riziko σ Väčšie riziko portfólia AT. Od papiera ALE je samostatný majetok, potom leží pod čiarou CML. Portfólio beta AT a beta papier ALE sú rovnaké, teda portfólio AT a papier ALE lokalizované na SML v jednom bode (obr. 20.6 b). Trh totiž hodnotí portfóliá (aktíva) nie z hľadiska ich celkového rizika, ktoré sa meria štandardnou odchýlkou, ale len na základe ich trhového rizika, meraného pomocou beta.
V dôsledku toho aktívum ALE je trhom oceňované rovnako ako portfólio AT , hoci celkové riziko aktíva ALE väčšie riziko portfólia AT .
CML a SML možno porovnávať nasledujúcim spôsobom. Dosadíme zo vzorca (20.2) hodnotu β do vzorca SML(20.3). V dôsledku toho získame rovnicu SML v mierne odlišnej forme:
Vzorec (20.1) pre CML môže byť tiež napísaný podobným spôsobom:
V prípade CML je však korelačný koeficient +1, čo naznačuje, že efektívne portfóliá sú plne korelované s trhom. Neefektívne portfóliá a jednotlivé aktíva nie sú plne korelované s trhom, čo sa odráža v rovnici SML.
CAPM nehovorí nič o vzťahu medzi očakávaným výnosom jednotlivého aktíva a jeho celkovým rizikom meraným štandardnou odchýlkou. SML vytvára vzťah iba medzi očakávaným výnosom aktíva a jeho systémovým rizikom.
20.1.7. Alfa
Podľa SARM ceny aktív sa budú meniť, kým každá z nich nebude na SML kým nie je trh v rovnováhe. Preto je v praxi možné nájsť aktíva, ktoré sú trhom nesprávne ohodnotené vo vzťahu k úrovni ich rovnovážnych očakávaných výnosov. Ak toto hodnotenie nezodpovedá skutočnej investičnej kvalite aktíva, tak v nasledujúcom momente trh zmení názor v smere objektívnejšieho hodnotenia. V dôsledku toho bude názor trhu inklinovať k určitej rovnovážnej (t. j. správnej) úrovni hodnotenia. V reálnej praxi periodicky dochádza k zmene trhových podmienok, čo spôsobuje aj zmenu odhadov vo vzťahu k očakávanému rovnovážnemu výnosu. Avšak v SARM uvažujeme len o jednom časovom období, a preto môžeme hovoriť o rovnovážnom výnose, ktorý by mal časom na trhu s týmto aktívom vzniknúť. Možné odchýlky od rovnovážnej úrovne možno pozorovať z akýchkoľvek konkrétnych dôvodov počas krátkych časových období. V nasledujúcich momentoch by však malo dôjsť k pohybu návratu aktíva do bodu rovnovážnej úrovne.
Ak je aktívum nadhodnotené trhom, potom je úroveň jeho očakávaného výnosu nižšia ako aktívum s podobným rizikovým profilom, ak je podhodnotené, potom je vyššia.
Alfa nazývaný indikátor, ktorý udáva mieru nadhodnotenia alebo podhodnotenia aktíva trhom. Alfa je rozdiel medzi skutočným očakávaným výnosom aktíva a rovnovážnym očakávaným výnosom, t. j. výnosom požadovaným trhom pri danej úrovni rizika.
Alfa sa určuje podľa vzorca:
kde ai– alfa i-teho aktíva;
r∂i je skutočný očakávaný výnos i-té aktívum;
E(RI) rovnovážny očakávaný výnos.
Na obr. 20.7 sú uvedené dve aktívne látky, ktoré trh nesprávne odhadol vo vzťahu k úrovni ich rizika. Aktíva ALE podceňovaný AT- preceňovaný. Podľa SML očakávaný návrat ALE v rovnováhe by mala byť 12,5 %, skutočné zhodnotenie je 13 %, t.j. aktívum ponúka 0,5 % dodatočný výnos, takže jeho alfa je +0,5. Opačná situácia je prezentovaná pre aktívum AT. Jeho rovnovážny očakávaný výnos podľa SML je 17,5%, v skutočnosti ponúka 13%, teda jeho alfa je
4.5. Aktívum je teda trhom podhodnotené, ak je jeho alfa kladné, a nadhodnotené, ak je záporné. Pre rovnovážny očakávaný výnos je alfa nula.
Investori, ktorí chcú vyššie výnosy, by mali nakupovať aktíva s kladnou hodnotou alfa. Po chvíli si trh všimne podhodnotenie a ich cena stúpne. Investori by zároveň mali predávať aktíva so zápornou alfou, pretože ich cena bude v budúcnosti klesať.
Výnos z portfólia je vážený priemer výnosov z jeho základných aktív. Preto je portfólio alfa tiež váženým priemerom a určuje sa podľa vzorca:
kde ar– portfólio alfa;
θ i– špecifická hmotnosť i- aktívum v portfóliu;
aja- alfa i-té aktívum.
Príklad. Portfólio sa skladá z troch cenných papierov: A, B a C. aA = 2; a B = 1,5; a C = -1; A = 0,5; 6B = 0,2; 0C = 0,3. Určite alfa portfólio.
Riešenie. Alfa portfólia je:
20.2. Úpravy SARM
20.2.1. CAPM pre prípad, keď sadzby na úvery a vklady nie sú rovnaké
Pôvodná verzia CAPM predpokladá, že sadzby na úvery a vklady sú rovnaké. V reálnom živote sú iní. Pripomeňme, že za takýchto podmienok efektívna hranica nie je lineárna, ale pozostáva z niekoľkých segmentov, ako je znázornené na obr. 20.8.
Pre túto možnosť existujú dva vzorce САРМ a SML, ktoré sa počítajú vo vzťahu k dvom trhovým portfóliám v bodoch Ml a Mb:
pre prípad, keď - úverové portfólio, a
pre prípad, keď - úverové portfólio,
kde - beta, vypočítané portfólio Ml;
kde je vypočítaná beta pre portfólio Mb.
20.2.2. SARM s nulovou beta verziou
Druhá modifikácia CAPM vzniká pre prípad, keď neexistujú žiadne aktíva bez rizika, ale existuje aktívum, ktoré obsahuje len netrhové riziko. Nemá žiadne trhové riziko a preto je jeho beta nulová. Pre takúto situáciu si môžete postaviť SML, ktoré bude prebiehať cez trhové portfólio a rizikové portfólio s nulovou beta verziou. Rovnica CAPM má v tomto prípade tvar:
kde r0 je rizikové aktívum s nulovou hodnotou beta.
20.2.3. Verzia CAPM pre dlhopisy
Základná verzia modelu CAPM je vhodná aj pre dlhopisy. Pre dlhopisy sa však dá postaviť aj špeciálna verzia CAPM. Vyzerá to takto:
kde E(ri) je očakávaný výnos i-tého dlhopisu;
E(rm) je očakávaný výnos z trhového portfólia dlhopisov;
βi je koeficient beta i-tej väzby. Rovná sa pomeru durácie dlhopisu i(Di) k durácii trhového portfólia dlhopisov (Dm).
Vzorec (20.4) hovorí, že ak sa výnos trhového portfólia dlhopisov zvýši o 1 %, tak ziskovosť i-t väzby rastie o βi.
Na obr. 20.9 je uvedená línia trhu dlhopisov. Ako vyplýva zo vzorca, v tejto verzii CAPM je výnos dlhopisu lineárnou funkciou trvania dlhopisu.
Pri používaní tohto modelu si uvedomte, že pri raste sadzieb nafukuje výnosy dlhodobých dlhopisov. Takže pre dlhopis s dobou trvania 10 rokov vzorec dáva výsledok, ktorý je 10-krát vyšší ako pre dlhopis s dobou trvania 1 rok. V praxi tento rozdiel nie je až taký veľký.
20.2.4. Verzia CAPM pre futures kontrakty
Pre získanie CAPM pre futures je potrebné určiť, aký je očakávaný výnos z futures kontraktu, ak mieru návratnosti zvažujeme rovnako ako celkovú mieru návratnosti, t.j. ako pomer zmeny ceny aktíva k jeho pôvodnej cene. Na zdôvodnenie použijeme vzorec na určenie ceny futures na aktívum, za ktoré sa počas trvania zmluvy nevypláca príjem:
Ziskovosť futures kontraktu sa rovná pomeru zmeny ceny futures ( dF) na pôvodnú zmluvnú cenu, a to: dF/ F. Na základe vzorca (20.5) možno dF znázorniť takto:
Obidve strany rovnosti (20,6) vydelíme F:
(20.7)
Pravú stranu vzorca (20.7) vynásobíme a vydelíme o S:
Výnos z futures sa teda rovná výnosu z podkladového aktíva. Ak vezmeme matematické očakávanie vo vzorci (20.8), dostaneme: očakávaný výnos futures kontraktu sa rovná očakávanému výnosu podkladového aktíva.
Očakávaný výnos i-tého futures kontraktu označme ako E(rFi), teda E(dF/F) = E(rFi), a očakávaný výnos i-tého spotového aktíva ako E(rSi), t.j. E(dS/S) = E(rSi). Potom môžete napísať:
Ako vyplýva zo vzorca (20.9), verzia CAPM pre futures je rovnaká ako model CAPM pre podkladové aktívum a beta futures sa rovná beta spotového aktíva.
20.2.5. Možnosť Verzia CAPM
Predstavme si výraz (20.10) in nasledujúci formulár:
(20.11)
kde S je cena podkladového aktíva.
Vo výraze (20.11) je dS/S = rS výnos z podkladového aktíva, dc/dS = Δc je delta kúpnej opcie. Ziskovosť zmluvy o hovore je preto:
Očakávaný výnos z opčnej zmluvy je teda:
(20.12)
Nahradením rovnice CAPM pre podkladové aktívum do vzorca (20.12) dostaneme:
(20.13)
Zo vzorca (20.13) vyplýva, že beta kúpnej opcie (βсi) sa rovná:
Beta predajnej opcie (βpi) je:
CAPM pre predajnú opciu je:
Zvažovali sme model SARM. Jedným zo základných bodov modelu je aktívum bez rizika. Zvyčajne ide o štátne dlhopisy. Zároveň, ako ukazuje prax, úroveň ziskovosti týchto aktív pravidelne kolíše. Ukazuje sa teda, že aj oni podliehajú trhovému riziku. V rámci toho istého SARMštátne cenné papiere neobsahujú trhové riziko. CAPM nie je v rozpore s týmto stavom vecí. Vzhľadom na papier bez rizika je potrebné na to nezabúdať SARM Toto je model s jedným časovým obdobím. Ak teda investor nakúpi cenný papier bez rizika za určitú cenu a bude ho držať do splatnosti, potom si zabezpečí fixné percento výnosu zodpovedajúce zaplatenej cene. Následné zmeny trhového prostredia a následne ani cena papiera už neovplyvňujú ziskovosť prevádzky. Trhové riziko pre tento cenný papier vzniká investorovi len vtedy, ak sa ho rozhodne predať pred splatnosťou.
Na záver treba povedať o výsledkoch testovania CAPM v praxi. Ukázali, že empirická SML alebo, ako sa tiež nazýva, empirická trhová línia je lineárna a plochejšia ako teoretická SML a prechádza trhovým portfóliom.
Viacerí výskumníci spochybňujú CAPM. Jednou z námietok je, že teoreticky by trhové portfólio CAPM malo zahŕňať všetky existujúce aktíva v pomere k ich trhovému podielu, vrátane zahraničných aktív, nehnuteľností, umenia, ľudského kapitálu. Vytvorenie takéhoto portfólia je preto v praxi nemožné a predovšetkým z hľadiska stanovenia váhy aktív v portfóliu a hodnotenia ich výnosnosti. Je ťažké posúdiť výsledky testu CAPM, pretože nie je isté, či portfólio vybrané pre experimenty je trhové (efektívne) alebo nie. Vo všeobecnosti nám testy CAPM povedia viac o tom, či portfóliá (indexy) použité v testoch predstavujú efektívne portfóliá alebo nie, než potvrdzujú alebo vyvracajú samotný model CAPM.
Jedno z centrálnych miest v modeli zaberá koeficient beta, ktorý hodnotí trhové riziko aktíva. Beta koreluje s návratnosťou aktíva a hovorí, že čím väčšia je jeho hodnota, tým väčšia by mala byť návratnosť. Štúdie zároveň ukazujú, že tento vzor nie je vždy nájdený.
20.3. Sharpe
Očakávanú návratnosť aktíva je možné určiť nielen pomocou rovnice SML, ale aj na základe tzv indexové modely . Ich podstatou je, že zmena ziskovosti a ceny aktíva závisí od množstva ukazovateľov charakterizujúcich stav trhu, respektíve indexov.
Bol navrhnutý jednoduchý indexový model W. Sharp v polovici 60. rokov 20. storočia. Často je volaná trhový model . Sharpeov model ukazuje vzťah medzi očakávaným výnosom aktíva a očakávaným výnosom trhu. Predpokladá sa, že je lineárny. Modelová rovnica má nasledujúci tvar:
kde E(ri) je očakávaný výnos z aktíva;
yi je ziskovosť aktíva pri absencii vplyvu trhových faktorov naň;
βi je beta aktíva;
E(rm) je očakávaný výnos trhového portfólia;
εi - nezávislá náhodná premenná (chyba): ukazuje špecifické riziko aktíva, ktoré nemožno vysvetliť pôsobením trhových síl. Hodnota jeho priemeru je nulová. Má konštantný rozptyl, kovarianciu s trhovými výnosmi rovnými nule; kovariancia s netrhovou zložkou výnosov ostatných aktív rovná nule.
Ak sa rovnica (20.14) aplikuje na široko diverzifikované portfólio, potom sa hodnoty náhodných premenných εi, keď sa menia v pozitívnom aj negatívnom smere, navzájom rušia. Preto pri široko diverzifikovanom portfóliu možno špecifické riziko zanedbať. Potom má Sharpeov model podobu:
Priemerné trhové výnosy za predchádzajúce časové obdobia.
Príklad. Priemerný výnos aktíva A je 20 %, priemerný výnos trhu je 17 %. Kovariancia medzi výnosom aktíva a výnosom na trhu je 0,04. Rozptyl trhových výnosov je 0,09. Určite rovnicu modelu trhu.
Beta aktíva A je:
Rovnica modelu trhu je:
Graficky je to znázornené na obr. 20.10. Bodky znázorňujú návratové hodnoty aktíva A a trhu pre rôzne časové obdobia v minulosti.
Na obr. Obrázok 20.12 ukazuje prípad, keď je beta kladná, a preto je graf trhového modelu nasmerovaný nahor doprava (kladný sklon), to znamená, keď sa výnosy trhu zvyšujú, výnosy aktív stúpajú a keď klesá. , padá. Pri zápornej hodnote beta má graf negatívny sklon: keď sa výnos trhu zvyšuje, výnosnosť aktíva klesá. Strmší sklon čiary naznačuje vyššiu hodnotu beta a väčšie riziko aktív. Menej strmý svah znamená menej beta a menšie riziko. Keď β = 1, výnos z aktíva zodpovedá výnosu na trhu, s výnimkou náhodnej premennej, ktorá charakterizuje konkrétne riziko.
Ak nakreslíme model pre samotné trhové portfólio vzhľadom na trhové portfólio, potom hodnotu pri pretože sa rovná nule a beta +1.
20.4. Koeficient determinácie
Trhový model možno použiť na rozdelenie celého rizika aktíva na diverzifikovateľné a nediverzifikovateľné. Graficky špecifické a trhové riziká sú znázornené na obr. 20.10. Podľa Sharpeho modelu je rozptyl aktíva:
kde var- disperzia.
Keďže covεm = 0, môžeme písať:
kde je trhové riziko aktíva;
Netrhové riziko aktíva.
Príklad. Beta aktíva A je 0,44, trhové riziko je 0,3; riziko aktív 0,32. Určite trhové a netrhové riziko aktíva.
V poslednom príklade je R-squared 0,1699. To znamená, že zmena vo výnosnosti aktíva ALE možno na 16,99 % vysvetliť meraním ziskovosti trhu a na 83,01 % inými faktormi. Čím bližšie je hodnota R-squared k jednej, tým viac pohyb trhu určuje zmenu výnosu aktíva. Zvyčajná hodnota R-squared v trhovej ekonomike je od 0,2 do 0,5, t. j. od 20 do 50 % jej ziskovosti určuje trh. R - štvorec pre široko diverzifikované portfólio môže byť 0,9 alebo viac.
20.5. SARM a model Sharpe
Aby sme lepšie porozumeli CAPM a Sharpeovmu modelu, urobme ich porovnanie. Model CAPM a Sharpe predpokladajú efektívny trh. CAPM stanovuje vzťah medzi rizikom a výnosom aktíva. Nezávislé premenné sú beta (pre SML) alebo smerodajná odchýlka (pre CML), závislou premennou je výnos z aktíva.
V Sharpeho modeli výnos aktíva závisí od výnosu na trhu. Nezávislá premenná je výnos trhu, závislá premenná je výnos aktíva.
SML, CML a charakteristická čiara v Sharpeho modeli pretínajú os y v rôznych bodoch. Pre SML a CML je to bezriziková sadzba, pre Sharpeho graf je to hodnota pri . Medzi hodnotou pri v Sharpeho modeli a bezrizikovej sadzbe môžeme stanoviť nasledujúci vzťah. Napíšeme rovnicu SML a otvoríme zátvorky:
Keďže tento výraz je spoločný pre model SLM a Sharpe, potom:
(20.16)
Rovnica (20.16) znamená, že pre aktívum s hodnotou beta jedna pri bude približne nulový. Pre aktívum s β<1 y>0 a pre β>1 r<0. Если представить актив, для которого одновременно y>0 a β>1, bude to znamenať, že za akýchkoľvek podmienok bude vykazovať lepšie výsledky ako výsledky trhu. Takáto situácia by však pritiahla zvýšenú pozornosť investorov a v dôsledku zmeny jej ceny by sa nastolil vzorec uvedený vyššie.
Model CAPM je rovnovážny model, to znamená, že hovorí o tom, ako sú ceny finančných aktív nastavené na efektívnom trhu. Sharpeho model je indexový model, to znamená, že ukazuje, ako súvisí návratnosť aktíva s hodnotou trhového indexu. Teoreticky CAPM predpokladá trhové portfólio, a preto hodnota β v CAPM implikuje kovarianciu výnosu aktíva s celým trhom. Indexový model berie do úvahy iba jeden trhový index a beta označuje kovarianciu výnosu aktíva s výnosom trhového indexu. Preto sa teoreticky β v CAPM nerovná β v Sharpeho modeli. V praxi je však nemožné vytvoriť skutočne trhové portfólio a takéto portfólio v CAPM je zároveň určitým trhovým portfóliom so širokou základňou. Ak sa v modeli CAPM a Sharpe použije rovnaký trhový index, potom pre ne bude β konštantná hodnota.
20.6. Definícia množiny efektívnych portfólií
Vzhľadom na problematiku efektívnej hranice sme predstavili Markowitzovu metódu na určenie množiny efektívnych portfólií. Jeho nevýhodou je, že na určenie rizika široko diverzifikovaného portfólia je potrebné vykonať veľké množstvo výpočtov. To sa dosiahne pomocou nasledujúcich transformácií. Kovariancia i-tých a j-tých aktív na základe Sharapovej rovnice je:
(20.17)
Ak i=j, potom σεij = σ2i; ak i≠j, potom σεij = 0.
Na určenie rizika portfólia dosadíme vzorec (20.17) do vzorca navrhnutého Markowitzom:
Pri použití vzorca (20.18) na hodnotenie rizika portfólia by sa malo vziať do úvahy, že úspory vo výpočtoch sa dosahujú znížením presnosti hodnotenia rizika.
20.7. Viacfaktorové modely
Existovať finančné nástroje, ktoré rôzne reagujú na zmeny rôznych makroekonomických ukazovateľov. Citlivejšie sú napríklad výnosy akcií automobiliek Všeobecná podmienka ekonomiky, a podiely sporiacich a úverových inštitúcií - na úroveň úrokových sadzieb. Preto môže byť v niektorých prípadoch presnejšie prognózovať ziskovosť aktíva na základe multifaktoriálneho modelu, ktorý zahŕňa niekoľko premenných, od ktorých závisí ziskovosť tohto aktíva. Vyššie sme predstavili model Sharpe, ktorý je jednofaktorový. Môže sa zmeniť na viacfaktorový, ak je pojem prezentovaný ako niekoľko pojmov, z ktorých každý je jednou z makroekonomických premenných, ktoré určujú návratnosť aktíva. Ak sa napríklad investor domnieva, že výnos z akcie závisí od dvoch zložiek – celkového výstupu a úrokových sadzieb, potom bude model jeho očakávaného výnosu mať podobu:
β 1, β 2 - koeficienty, ktoré označujú vplyv indexov I1 a I2 na ziskovosť akcií;
ε - náhodná chyba. Ukazuje, že výťažnosť papiera sa môže meniť v rámci určitých limitov v dôsledku náhodných okolností, t. j. bez ohľadu na akceptované indexy.
& Literatúra
1. , Investičné podnikanie. M. 2010.
2. J. Investičné princípy. M., Petrohrad. 2002.
3. OD . Finančné riadenie. SPb. 2007.
4. H . Trh cenných papierov a derivátových finančných nástrojov. 3. vyd. M. 2009.
5. , Finančná a peňažná ekonomika. M.2009.
6. J J. Základy investovania. M. 1999.
7. , U . Finančné inštitúcie, trhy a peniaze. SPb. 2000.
8. , D . Finančné inštitúcie a trhy. M. 2003.
9. Trh s akciami a bodmi. M. 2007.
10. ALE . Cenné papiere pre podnikanie. M. 2006.
11. atď . akciový trh. M. 2000.
12. J . Investičný manažment. M. 2000.
V tomto prípade nehovoríme o ziskovosti operácie s futures kontraktom pre investora jeho investície, teda o počiatočnej marži.
Viac informácií o delte možností nájdete v našom online kurze „Prednášky o PEF“, odsek 10.1.
Charm navrhol model, ktorý nazvali diagonálny. Po miernej úprave J. Traynorom dostala podobu reprezentovanú rovnicou (20.14).
Aby sme lepšie porozumeli CAPM a Sharpeovmu modelu, urobme ich porovnanie. Model CAPM a Sharp predpokladajú efektívny trh. CAPM stanovuje vzťah medzi rizikom a výnosom aktíva. Nezávislé premenné sú beta (pre SML) alebo smerodajná odchýlka (pre CML), závislé - návratnosť aktíva (portfólio).
V Sharpeho modeli výnos aktíva závisí od výnosu na trhu. Nezávislá premenná je výnos trhu, závislá premenná je výnos aktíva.
SML, CML a charakteristická čiara v Sharpeho modeli pretínajú os y v rôznych bodoch. Pre SML a СML je to stávka bez rizika, pre charakteristickú líniu je to hodnota y. Medzi hodnotou y v Sharpeho modeli a bezrizikovou sadzbou možno vytvoriť určitý vzťah. Napíšeme rovnicu SML a otvoríme zátvorky:
βiЕ(rm) je spoločný pre SML a Sharpeov model, potom:
Že pre aktívum s beta hodnotou jedna bude y približne nula. Pre aktívum s β
Model CAPM je rovnovážny model, t. j. hovorí o tom, ako sú ceny finančných aktív nastavené na efektívnom trhu. Sharpeho model je indexový model, t.j. ukazuje, ako súvisí návratnosť aktíva s hodnotou trhového indexu. Teoreticky CAPM predpokladá trhové portfólio, a preto hodnota β v CAPM implikuje kovarianciu výnosu aktíva s celým trhom. Indexový model berie do úvahy iba jeden trhový index a beta označuje kovarianciu výnosu aktíva s výnosom trhového indexu. Preto sa teoreticky β v CAPM nerovná β v Sharpovom modeli. V praxi je však nemožné vytvoriť skutočne trhové portfólio a takéto portfólio v CAPM je zároveň určitým trhovým indexom so širokou základňou. Ak sa v modeli CAPM a Sharpe použije rovnaký trhový index, potom β pre ne bude mať rovnakú hodnotu.
MULTIVARIÁTNE MODELY
Existujú finančné nástroje, ktoré odlišne reagujú na zmeny rôznych makroekonomických ukazovateľov. Napríklad výkonnosť akcií v automobilových spoločnostiach je citlivejšia na celkový stav ekonomiky, zatiaľ čo akcie sporiteľní a úverových inštitúcií sú citlivejšie na výšku úrokových sadzieb. Preto môže byť v niektorých prípadoch presnejšie prognózovať ziskovosť aktíva na základe multifaktoriálneho modelu, ktorý zahŕňa niekoľko premenných, od ktorých závisí ziskovosť tohto aktíva. Vyššie sme predstavili model W. Sharpe, ktorý je jednofaktorový. Môže sa zmeniť na multifaktorový, ak je pojem βiE(rm) reprezentovaný ako niekoľko komponentov, z ktorých každý je jednou z makroekonomických premenných, ktoré určujú výnosnosť aktíva. Ak sa napríklad investor domnieva, že výnos z akcie závisí od dvoch zložiek – celkového výstupu a úrokových sadzieb, potom model jeho očakávaného výnosu bude mať nasledujúcu podobu:
index úrokovej miery;
Koeficienty, ktoré označujú vplyv indexov I1 a I2 na ziskovosť akcií; s - náhodná chyba; ukazuje, že výťažnosť papiera sa môže meniť v určitých medziach v dôsledku náhodných okolností, t.j. bez ohľadu na akceptované indexy.
Analytici môžu do modelu zahrnúť ľubovoľný počet faktorov, ktoré považujú za potrebné.
Stručné závery
Model CAPM stanovuje vzťah medzi rizikom aktíva (portfólia) a jeho očakávaným výnosom. Čiara kapitálového trhu (CML) ukazuje vzťah medzi rizikom široko diverzifikovaného portfólia meraným rozptylom a jeho očakávaným výnosom. Trhová línia aktív (SML) označuje vzťah medzi rizikom aktíva (portfólia), meraným hodnotou beta, a jeho očakávaným výnosom.
Celé riziko aktíva (portfólia) možno rozdeliť na trhové a netrhové riziká. Trhové riziko sa meria pomocou beta. Ukazuje vzťah medzi výnosnosťou aktíva (portfólia) a výnosom na trhu.
Alfa je ukazovateľ, ktorý udáva mieru nesprávneho posúdenia ziskovosti aktíva trhom v porovnaní s rovnovážnou úrovňou jeho ziskovosti. Kladná hodnota alfa naznačuje jej podhodnotenie, negatívna - nadhodnotenie.
Sharpeov model ukazuje vzťah medzi očakávaným výnosom aktíva a očakávaným výnosom trhu.
Koeficient determinácie umožňuje určiť podiel rizika určený trhovými faktormi.
Viacrozmerné modely vytvárajú vzťah medzi očakávaným výnosom aktíva a niekoľkými premennými, ktoré ho ovplyvňujú.
CML ukazuje pomer rizika a odmeny pre efektívne portfóliá, ale nehovorí nič o tom, ako by sa mali hodnotiť nevýkonné portfóliá alebo jednotlivé aktíva. Na túto otázku odpovedá línia trhu aktív alebo SML (línia trhu cenných papierov). SML je hlavným výsledkom CAPM. Hovorí, že pri rovnováhe sa očakávaný výnos z aktíva rovná bezrizikovej sadzbe plus odmena za trhové riziko, ktorá sa meria pomocou beta. SML je znázornené na obr. 3.4. Je to priamka prechádzajúca dvoma bodmi, ktorých súradnice sa rovnajú a . S vedomím bezrizikovej sadzby a očakávanej návratnosti trhového portfólia je teda možné zostaviť SML. V stave trhovej rovnováhy musí byť očakávaná návratnosť každého aktíva a portfólia, či už efektívne alebo nie, umiestnená na SML. Opäť treba zdôrazniť, že ak sú na CML iba efektívne portfóliá, potom by sa na SML mali umiestniť široko diverzifikované aj neefektívne portfóliá a jednotlivé aktíva.
SML rovnica je:
Môže sa použiť na určenie očakávanej návratnosti aktíva (portfólia).
Bezriziková sadzba je 15 %, očakávaný trhový výnos je 25 %. Určte očakávanú návratnosť aktíva s hodnotou beta 1,5. Riešenie. Beta je:
Sklon SML je určený postojom investorov k riziku za rôznych trhových podmienok. Ak sú investori optimistickí, pokiaľ ide o budúcnosť, sklon SML bude menej strmý, pretože v dobrom prostredí budú investori akceptovať nižšiu rizikovú prémiu, pretože riziká sú podľa ich názoru menej pravdepodobné (pozri obrázok 3.5, SML 1). Inými slovami, v jednotkách očakávaného výnosu sú náklady na riziko nižšie. Naopak, v očakávaní nepriaznivej situácie na trhu bude SML naberať strmší sklon, keďže v tomto prípade budú investori požadovať ako kompenzáciu vyššiu rizikovú prémiu (pozri obrázok 3.5, SML 2), t.j. v jednotkách očakávaného výnosu je cena rizika vyššia.
Takáto dynamika sklonu SML sa dá vysvetliť aj z hľadiska diskontovania budúcich príjmov. Ako viete, hodnota cenného papiera sa určuje diskontovaním budúceho príjmu, ktorý prinesie. Zovšeobecnme úvahy založené na vzorci pre cenný papier, ktorý očakáva iba jednu výplatu na konci obdobia t:
Nechajte investora predpovedať výšku príjmu na papieri nejakého podniku. Má určitý potenciál produktivity a vyznačuje sa určitou úrovňou očakávaného príjmu (Р(). V zlom trhovom prostredí sa pravdepodobnosť získania takéhoto príjmu znižuje. Preto je investor pripravený kúpiť papier, ale za nižšiu cenu (Р0). Keďže hodnota očakávaného príjmu (Pt), keďže produkčný potenciál podniku zostáva nezmenený a hodnota (P0) klesá, potom podľa vzorca (3.8) hodnota r, t. j. očakávaná ziskovosť, V dôsledku toho sa uhol sklonu SML na obr. 3.5 naopak zvyšuje, pravdepodobnosť získania očakávaného príjmu sa zvyšuje a investor je pripravený kúpiť papier za vyššiu cenu (P0). Preto hodnota r vo vzorci (3.8) klesá. V súlade s tým klesá aj sklon SML na obr. 3.5.
Vieš to: Fort Financial Services daruje bonus bez vkladu vo výške 35 USD všetkým novým overeným zákazníkom.
Ak investori zmenia svoje očakávania o bezrizikovej sadzbe, povedie to k posunom v SML. Zvýšením rf sa SML posunie nahor, znížením sa posunie nadol, ako je znázornené na obr. 3.6.
Vyššie sme uviedli vzorec (3.3), ktorý vám umožňuje vypočítať hodnotu beta aktíva na základe historických údajov. Hodnotu beta možno určiť aj pomocou rovnice SML tak, že ju zapíšeme pre aktuálne prijaté údaje.
Načítava...