Որո՞նք են ճիշտ կոտորակները: Սովորական կոտորակներ ՝ կանոնավոր և անկանոն, խառն և բարդ

Մաս մաթեմատիկայում ՝ միավորի մեկ կամ ավելի մասերից (կոտորակներից) բաղկացած թիվ: Կոտորակները ռացիոնալ թվերի դաշտի մի մասն են: Գրելու եղանակով կոտորակները բաժանվում են 2 ձևաչափի. սովորական բարի ու տասնորդական .

Կոտորակի համարիչ - վերցված կոտորակների քանակը ցույց տվող թիվ (գտնվում է կոտորակի վերին մասում - գծից վեր): Կոտորակի հայտարար - թիվ, որը ցույց է տալիս, թե քանի կոտորակի է բաժանված միավորը (գտնվում է գծի տակ - ներքևում): , իրենց հերթին բաժանվում են. ճիշտ է և սխալ, խառը և կոմպոզիտային սերտորեն կապված է չափման միավորների հետ: 1 մետրը պարունակում է 100 սմ, ինչը նշանակում է, որ 1 մետրը բաժանված է 100 հավասար մասերի: Այսպիսով, 1 սմ \u003d 1/100 մ (մեկ սանտիմետրը հավասար է մետր հարյուրերորդի):

կամ 3/5 (երեք հինգերորդ), այստեղ 3-ը համարիչ է, 5-ը `հայտարար: Եթե \u200b\u200bհամարիչը փոքր է հայտարարից, ապա կոտորակը մեկից պակաս է և կոչվում է ճիշտ է:

Եթե \u200b\u200bհամարիչը հավասար է հայտարարին, կոտորակը հավասար է մեկի: Եթե \u200b\u200bհամարիչը մեծ է հայտարարից, կոտորակը մեկից մեծ է: Երկու վերջին դեպքերում էլ կոտորակը կոչվում է սխալ:

Ամենամեծ ամբողջ թիվն անպատշաճ կոտորակում մեկուսացնելու համար համարիչը բաժանիր հայտարարի: Եթե \u200b\u200bբաժանումը կատարվում է առանց մնացորդի, ապա վերցված ոչ պատշաճ կոտորակը հավասար է գործակիցին.

Եթե \u200b\u200bբաժանումը կատարվում է մնացորդով, ապա (թերի) գործակիցը տալիս է ցանկալի ամբողջ թիվ, իսկ մնացածը դառնում է կոտորակային մասի համարիչ; Կոտորակային մասի հայտարարը մնում է նույնը:

Կոչվում է ամբողջ թիվ և կոտորակային մաս պարունակող թիվ խառը... Կոտորակային մաս խառը համարՄիգուցե սխալ կոտորակ... Դրանից հետո կոտորակային մասից կարող եք ընտրել ամենամեծ ամբողջ թիվը և ներկայացնել խառը թիվը այնպես, որ կոտորակային մասը դառնա կանոնավոր կոտորակ (կամ ամբողջովին անհետանա):

Անպատշաճ կոտորակ

Քառորդներ

1. Կարգուկանոն: ա և բ կա մի կանոն, որը թույլ է տալիս միանշանակորեն որոշել նրանց միջև եղած երեք հարաբերություններից մեկը և միայն մեկը. «< », « > «Կամ» \u003d »: Այս կանոնը կոչվում է պատվիրելու կանոն և ձևակերպված է հետևյալ կերպ. երկու ոչ-բացասական թվեր և կապված են նույն հարաբերությամբ, ինչպես երկու ամբողջ թիվ և երկու ոչ դրական թիվ ա և բ կապված են նույն հարաբերությամբ, ինչպես երկու ոչ բացասական թվեր և եթե հանկարծ ա անբացասական է և բ - բացասական, ուրեմն ա > բ ... style \u003d "max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src \u003d "/ նկարներ / վիքի / ֆայլեր / 57 /.png" border \u003d "0"\u003e

   

   Կոտորակների գումարումը

2. Լրացման գործողություն: Rationանկացած ռացիոնալ թվերի համար ա և բ կա այսպես կոչված գումարման կանոն գ ... Ավելին, համարն ինքնին գ կոչված գումար թվեր ա և բ և նշվում է, և այդպիսի թիվ գտնելու գործընթացը կոչվում է ամփոփում... Ամփոփման կանոնը հետևյալն է. .
3. Բազմապատկման գործողություն: Rationանկացած ռացիոնալ թվերի համար ա և բ կա այսպես կոչված բազմապատկման կանոն, ինչը նրանց համապատասխանեցնում է որոշ ռացիոնալ թվին գ ... Ավելին, համարն ինքնին գ կոչված աշխատել թվեր ա և բ և նշվում է, և այդպիսի թիվ գտնելու գործընթացը նույնպես կոչվում է բազմապատկում... Բազմապատկման կանոնը հետևյալն է. .
4. Պատվերի հարաբերության փոխանցելիություն: Ռացիոնալ թվերի ցանկացած եռակի համար ա , բ և գ Եթե ա պակաս բ և բ պակաս գ ապա ա պակաս գ , եւ եթե ա հավասարապես բ և բ հավասարապես գ ապա ա հավասարապես գ ... 6435 "\u003e Ավելացման փոխարկելիություն: Գումարը չի փոխվում ռացիոնալ պայմանների տեղերի փոփոխությունից:
5. Լրացման ասոցիացիան Երեք ռացիոնալ թվերի գումարման կարգը չի ազդում արդյունքի վրա:
6. Zeroրոյի առկայությունը: Գոյություն ունի 0 բանական թիվ, որն ամփոփելիս պահպանում է ցանկացած այլ ռացիոնալ թիվ:
7. Հակառակ թվերի առկայությունը: Rationանկացած ռացիոնալ թիվ ունի հակառակ ռացիոնալ թիվ, որն ամփոփելիս տալիս է 0:
8. Բազմապատկման կոմուտատիվություն: Ապրանքը չի փոխվում ռացիոնալ գործոնների տեղերի փոփոխությունից:
9. Բազմապատկման ասոցիատիվությունը: Երեք ռացիոնալ թվերի բազմապատկման կարգը չի ազդում արդյունքի վրա:
10. Միավորի առկայությունը: Կա ռացիոնալ թիվ 1, որը բազմապատկելիս պահպանում է ցանկացած այլ ռացիոնալ թիվ:
11. Հակադարձ թվեր: Rationանկացած ռացիոնալ թիվ ունի հակադարձ ռացիոնալ թիվ, բազմապատկելով, որը տալիս է 1:
12. Բազմապատկման բաշխումը `համեմատած գումարման հետ: Բազմապատկման գործողությունը համահունչ է բաշխման մասին օրենքի միջոցով լրացման գործողությանը.
13. Պատվերի կապը լրացման գործողության հետ: Ռացիոնալ անհավասարության ձախ և աջ կողմերին կարելի է ավելացնել միևնույն բանական թիվը: առավելագույն լայնությունը `98%; բարձրությունը `ավտո; լայնությունը ՝ ավտո; "src \u003d" / նկարներ / վիքի / ֆայլեր / 51 /.png "border \u003d" 0 "\u003e
14. Արքիմեդեսի աքսիոմը: Ինչ էլ որ լինի ռացիոնալ թիվը ա , կարող եք այնքան միավոր վերցնել, որ դրանց գումարը գերազանցի ա ... style \u003d "max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src \u003d "/ նկարներ / վիքի / ֆայլեր / 55 /.png" border \u003d "0"\u003e

Լրացուցիչ հատկություններ

Ռացիոնալ թվերին բնորոշ մնացած բոլոր հատկությունները չեն առանձնացվում որպես հիմնական, քանի որ, ընդհանուր առմամբ, դրանք այլևս ուղղակիորեն ապավինում են ամբողջ թվերի հատկություններին, բայց կարող են ապացուցվել տրված հիմնական հատկությունների հիման վրա կամ ուղղակիորեն որոշակի մաթեմատիկական օբյեկտի սահմանմամբ: Նման լրացուցիչ հատկությունները շատ են: Այստեղ իմաստ ունի մեջբերել դրանցից միայն մի քանիսը:

Ոճ \u003d "առավելագույն լայնություն ՝ 98%; բարձրություն ՝ ավտո; լայնություն ՝ ավտոմատ;" src \u003d "/ նկարներ / վիքի / ֆայլեր / 48 /.png" border \u003d "0"\u003e

Հավաքածուի հաշվարկելիություն

Ռացիոնալ համարակալում

Ռացիոնալ թվերի քանակը գնահատելու համար հարկավոր է գտնել դրանց բազմության կարդինալությունը: Հեշտ է ապացուցել, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունը հաշվարկելի է: Դա անելու համար բավական է տալ ալգորիթմ, որը թվարկում է ռացիոնալ թվերը, այսինքն ՝ այն բիեկցիա է հաստատում ռացիոնալ և բնական թվերի բազմությունների միջև:

Այս ալգորիթմներից ամենապարզը հետեւյալն է. Կազմվում է սովորական կոտորակների անվերջ աղյուսակ `յուրաքանչյուրի համար ես -րդ տողը յուրաքանչյուրում ժ - որի սյունը գտնվում է կոտորակը: Որոշակիության համար ենթադրվում է, որ այս աղյուսակի տողերն ու սյունակները համարակալված են ՝ սկսած մեկից: Նշված են սեղանի բջիջները, որտեղ ես աղյուսակի շարքի համարն է, որում գտնվում է բջիջը, և ժ - սյունակի համարը:

Արդյունքում առաջացած աղյուսակը շրջանցվում է «օձի» կողմից `համաձայն հետևյալ պաշտոնական ալգորիթմի:

Այս կանոնները սկանավորվում են վերևից ներքև և հաջորդ դիրքն ընտրվում է առաջին խաղի վրա:

Նման անցման գործընթացում յուրաքանչյուր նոր ռացիոնալ թիվ կապված է հաջորդ բնական թվի հետ: Այսինքն ՝ 1/1 կոտորակին տրված է թիվ 1, կոտորակին 2/1 ՝ թիվ 2 և այլն: Հարկ է նշել, որ համարակալված են միայն չկրճատվող կոտորակները: Անուղղելիության ֆորմալ նշանն է կոտորակի համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարներից մեկի հավասարությունը:

Այս ալգորիթմից հետո բոլոր դրական ռացիոնալ թվերը կարող են թվարկվել: Սա նշանակում է, որ դրական ռացիոնալ թվերի բազմությունը հաշվարկելի է: Դյուրին է բացել դրական և բացասական ռացիոնալ թվերի բազմությունների հավաքածու `պարզապես յուրաքանչյուր ռացիոնալ թվին հակառակ նշանակելով: T. մասին. Բացասական ռացիոնալ թվերի բազմությունը նույնպես հաշվելի է: Նրանց միավորումը հաշվարկելի է նաև հաշվելի բազմությունների հատկությամբ: Ռացիոնալ թվերի բազմությունը հաշվարկելի է նաև որպես վերջավորի հետ հաշվելի բազմության միություն:

Այն պնդումը, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունը հաշվարկելի է, կարող է տարակուսանք առաջացնել, քանի որ առաջին հայացքից թվում է, որ այն շատ ավելի ընդարձակ է, քան բնական թվերի բազմությունը: Իրականում դա այդպես չէ, և կան բոլոր բնական թվերը, որպեսզի թվարկվեն բոլոր ռացիոնալները:

Ռացիոնալ թվերի բացակայություն

Նման եռանկյունու հիպոթենուսը չի արտահայտվում որևէ ռացիոնալ թվով

Ձևի 1 / ռացիոնալ համարները ն ազատության մեջ ն կարող եք կամայականորեն փոքր քանակություններ չափել: Այս փաստը ստեղծում է խաբուսիկ տպավորություն, որ ցանկացած երկրաչափական հեռավորություն կարելի է չափել ռացիոնալ թվերով: Հեշտ է ցույց տալ, որ դա ճիշտ չէ:

Պյութագորասի թեորեմից հայտնի է, որ ուղղանկյուն եռանկյունու հիպոթենուսը արտահայտվում է որպես նրա ոտքերի քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատ: T. մասին. Միասեռ ոտքով հավասարասեռ ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի երկարությունը `այսինքն թիվ, որի քառակուսին 2 է:

Այս հոդվածը վերաբերում է ընդհանուր կոտորակներ... Այստեղ մենք կծանոթանանք մի ամբողջության կոտորակի հասկացությանը, որը մեզ կհանգեցնի սովորական կոտորակի սահմանմանը: Հետագայում մենք կանդրադառնանք ընդունված նշմանը սովորական կոտորակների համար և կտեսնենք կոտորակների օրինակներ, ասենք կոտորակի համարիչի և հայտարարի մասին: Դրանից հետո մենք կտանք ճիշտ և սխալ, դրական և բացասական կոտորակների սահմանումներ, ինչպես նաև հաշվի կառնենք կոտորակային թվերի դիրքը կոորդինատային ճառագայթի վրա: Ամփոփելով ՝ մենք թվարկում ենք կոտորակների հետ կապված հիմնական գործողությունները:

Էջի նավիգացիա:

Ամբողջի բաժնետոմսեր

Նախ ներկայացնում ենք կիսել հայեցակարգը.

Ենթադրենք, որ մենք ունենք մի քանի առարկա, որը բաղկացած է մի քանի բացարձակապես նույնական (այսինքն ՝ հավասար) մասերից: Պարզության համար կարող եք պատկերացնել, օրինակ, մի խնձոր, որը կտրված է մի քանի հավասար մասերի կամ նարնջագույն, որը բաղկացած է մի քանի հավասար շերտերից: Այս հավասար մասերից յուրաքանչյուրը, որը կազմում է ամբողջը, կոչվում է ընդհանուրի բաժնետոմսեր կամ պարզապես բաժնետոմսեր.

Նշենք, որ բաժնետոմսերը տարբեր են: Եկեք բացատրենք սա: Ասենք, որ մենք ունենք երկու խնձոր: Եկեք առաջին խնձորը կտրենք երկու հավասար մասերի, իսկ երկրորդը ՝ 6 հավասար մասերի: Պարզ է, որ առաջին խնձորի բաժինը կտարբերվի երկրորդ խնձորի մասնաբաժնից:

Կախված ռիթմերի քանակից, որոնք կազմում են ամբողջ թեման, այդ դիպչերն ունեն իրենց անունները: Եկեք վերլուծենք կիսել անունները... Եթե \u200b\u200bառարկան բաղկացած է երկու մասից, դրանցից որևէ մեկը կոչվում է ամբողջ օբյեկտի մեկ երկրորդ մասը. եթե առարկան բաղկացած է երեք մասից, ապա դրանցից որևէ մեկը կոչվում է մեկ երրորդ մաս և այլն:

Մեկ երկրորդ բաժնեմասը ունի հատուկ անուն - կեսը... Կոչվում է մեկ երրորդ բաժնեմաս երրորդ, իսկ մեկ քառորդը ՝ քառորդ.

Համառոտության համար ներկայացվել են հետևյալները կիսել նշանակումները... Մեկ երկրորդ բաժնեմասը նշանակվում է կամ 1/2, մեկ երրորդ բաժնեմաս `կամ 1/3; մեկ չորրորդը նման է կամ 1/4, և այլն: Նկատի ունեցեք, որ հորիզոնական ձողով նշումն օգտագործվում է ավելի հաճախ: Նյութը համախմբելու համար մենք կտանք մեկ այլ օրինակ. Գրառումը նշանակում է ամբողջի հարյուր վաթսունյոթերորդ մասը:

Բաժնետոմսերի հասկացությունը, բնականաբար, տարածվում է օբյեկտներից մինչև մեծություններ: Օրինակ, երկարությունը չափելու միջոցներից մեկը հաշվիչն է: Մետրից պակաս երկարություններ չափելու համար կարող եք օգտագործել մետրերի ֆրակցիաներ: Այսպիսով, դուք կարող եք օգտագործել, օրինակ, կես մետր կամ տասներորդ կամ հազարերորդ մետր: Նմանապես կիրառվում են նաև այլ մեծությունների կոտորակները:

Ընդհանուր կոտորակներ, սահմանում և կոտորակների օրինակներ

Beեծերի քանակը նկարագրելու համար օգտագործիր ընդհանուր կոտորակներ... Բերենք մի օրինակ, որը թույլ կտա մեզ մոտենալ սովորական կոտորակների սահմանմանը:

Թող նարնջագույնը ունենա 12 մաս: Յուրաքանչյուր հարված այս դեպքում ներկայացնում է ամբողջ նարնջի մեկ տասներկուերորդ մասը, այսինքն. Եկեք նշանակենք երկու բաժնետոմս, որպես երեք բաժնետոմս, և այլն, մենք կնշանակենք 12 բաժնետոմս: Այս գրառումներից յուրաքանչյուրը կոչվում է կոտորակ:

Հիմա եկեք գեներալ տանք ընդհանուր կոտորակների սահմանումը.

Սովորական կոտորակների հնչյունային սահմանումը թույլ է տալիս ընդհանուր կոտորակների օրինակներ՝ 5/10 ,, 21/1, 9/4 ,. Եվ ահա գրառումները չեն համապատասխանում սովորական կոտորակների ձայնային սահմանմանը, այսինքն ՝ դրանք սովորական կոտորակներ չեն:

Հաշվիչ և հայտարար

Հարմարության համար առանձնանում է ընդհանուր կոտորակը համարիչ և հայտարար.

Սահմանում

Հաշվիչ կոտորակը (մ / ն) բնական թիվ մ է:

Սահմանում

Նշանակող կոտորակը (մ / ն) բնական թիվ է n:

Այսպիսով, համարիչը գտնվում է կտրվածքի վերևում (թեքի ձախ կողմում), իսկ հայտարարը ՝ կտրվածքի տակ (թեքի աջ կողմում): Օրինակ ՝ եկեք տանք 17/29 սովորական կոտորակ, այս կոտորակի համարիչը 17 թիվն է, իսկ հայտարարը ՝ 29 թիվը:

Մնում է քննարկել սովորական կոտորակի համարիչում և հայտարարում պարունակվող իմաստը: Կոտորակի հայտարարը ցույց է տալիս, թե քանի նյութից է բաղկացած մեկ նյութ, համարիչը, իր հերթին, ցույց է տալիս այդպիսի մասերի քանակը: Օրինակ, 12/5 կոտորակի 5 հայտարարը նշանակում է, որ մեկ իր ունի հինգ մաս, իսկ 12 համարիչը նշանակում է, որ կա 12 այդպիսի մաս:

Բնական թիվը ՝ որպես 1 հայտարար հայտարարող կոտորակ

Սովորական կոտորակի հայտարարը կարող է հավասար լինել մեկին: Այս պարագայում մենք կարող ենք ենթադրել, որ առարկան անբաժանելի է, այլ կերպ ասած ՝ դա մի ամբողջ բան է: Նման կոտորակի համարիչը ցույց է տալիս, թե քանի ամբողջ տարր է վերցված: Այսպիսով, m / 1 ձևի սովորական կոտորակը ունի բնական թվաքանակի իմաստ: Այսպես հիմնավորեցինք m / 1 \u003d m հավասարության վավերությունը:

Վերջին հավասարությունը վերաշարադրում ենք հետևյալ կերպ. M \u003d m / 1: Այս հավասարությունը մեզ հնարավորություն է տալիս ցանկացած բնական թիվ m ներկայացնել որպես սովորական կոտորակ: Օրինակ, 4-ը 4/1 կոտորակ է, իսկ 103 498-ը հավասար է 103 498/1-ի:

Այսպիսով, ցանկացած բնական թիվ m կարող է ներկայացվել որպես սովորական կոտորակ 1 հայտարարով որպես մ / 1, իսկ մ / 1 ձևի ցանկացած սովորական կոտորակ կարող է փոխարինվել մ բնական թվով.

Կտրուկը ՝ որպես բաժանման նշան

N բաժնետոմսերի տեսքով բնօրինակ իրի ներկայացումը ոչ այլ ինչ է, քան n հավասար մասերի բաժանում: Նյութը n բաժնետոմսերի բաժանվելուց հետո այն կարող ենք հավասարապես բաժանել n մարդկանց միջև. Յուրաքանչյուրը կստանա մեկ բաժնետոմս:

Եթե \u200b\u200bմենք ի սկզբանե ունենք m նույնական օբյեկտներ, որոնցից յուրաքանչյուրը բաժանված է n բաժնետոմսի, ապա այդ m օբյեկտները կարող ենք հավասարապես բաժանել n մարդկանց միջև ՝ յուրաքանչյուրին յուրաքանչյուրին տալով m օբյեկտներից յուրաքանչյուրի բաժնեմաս: Այս դեպքում յուրաքանչյուր անձ կունենա 1 / ն բաժնետոմսի մ բաժնեմաս, իսկ 1 / ն-ի մ բաժնեմասը սովորական բաժին է տալիս բաժնեմասին: Այսպիսով, m / n սովորական կոտորակը կարող է օգտագործվել նշելու համար m օբյեկտների բաժանումը n մարդկանց միջեւ:

Այսպիսով, մենք ստացանք պարզ կապ սովորական կոտորակների և բաժանման միջև (տե՛ս բնական թվերի բաժանման ընդհանուր գաղափարը): Այս հարաբերությունն արտահայտվում է հետևյալով. կոտորակի կտրումը կարելի է հասկանալ որպես բաժանման նշան, այսինքն ՝ m / n \u003d m: n.

Օգտագործելով սովորական կոտորակ ՝ կարող ես գրել երկու բնական թվերի բաժանման արդյունքը, որոնց համար չի կատարվում ամբողջ թվերի բաժանում: Օրինակ ՝ 5 խնձոր 8 մարդու բաժանելու արդյունքը կարելի է գրել 5/8, այսինքն ՝ յուրաքանչյուրը կստանա խնձորի հինգ ութերորդ մասը. 5: 8 \u003d 5/8:

Հավասար և անհավասար սովորական կոտորակներ, կոտորակների համեմատություն

Բավականին բնական գործողություն է սովորական կոտորակների համեմատություն, քանի որ պարզ է, որ նարնջի 1/12-ը տարբերվում է 5/12-ից, իսկ խնձորի 1/6-ը նույնն է, ինչ այս խնձորի մեկ այլ 1/6 մասը:

Երկու սովորական կոտորակների համեմատության արդյունքում ստացվում է արդյունքներից մեկը. Կոտորակները կամ հավասար են, կամ հավասար չեն: Առաջին դեպքում մենք ունենք հավասար կոտորակներ, իսկ երկրորդում ՝ անհավասար կոտորակներ... Եկեք բերենք հավասար և անհավասար սովորական կոտորակների սահմանում:

Սահմանում

հավասար ենեթե հավասար է a d \u003d b c հավասարությունը:

Սահմանում

Ա / բ և գ / դ երկու կոտորակ հավասար չէեթե a d \u003d b c հավասարությունը չի պահպանվում:

Ահա հավասար կոտորակների մի քանի օրինակ: Օրինակ, 1/2 ընդհանուր կոտորակը հավասար է 2/4-ի, քանի որ 1 4 \u003d 2 2 (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս բնական թվերի բազմապատկման կանոններն ու օրինակները): Պարզության համար կարող եք պատկերացնել երկու նույն խնձոր, առաջինը կիսով չափ կտրված է, իսկ երկրորդը ՝ 4 մասի: Միևնույն ժամանակ, ակնհայտ է, որ խնձորի երկու քառորդը 1/2 բաժնեմաս է: Հավասար ընդհանուր կոտորակների այլ օրինակներ են 4/7 և 36/63, և զույգ կոտորակներ 81/50 և 1,620 / 1000:

Իսկ 4/13 և 5/14 սովորական կոտորակները հավասար չեն, քանի որ 4 14 \u003d 56, և 13 5 \u003d 65, այսինքն ՝ 4 14 ≠ 13 5: Անհավասար սովորական կոտորակների մեկ այլ օրինակ է 17/7 և 6/4:

Եթե \u200b\u200bերկու սովորական կոտորակների համեմատության ժամանակ պարզվեց, որ դրանք հավասար չեն, ապա գուցե հարկ լինի պարզել, թե այդ սովորական կոտորակներից որն է պակաս մեկ այլ, և որը ավելին... Պարզելու համար օգտագործվում է սովորական կոտորակների համեմատության կանոն, որի էությունը եռում է `համեմատած կոտորակները ընդհանուր հայտարարի բերելու, ապա` համարիչները համեմատելու: Այս թեմայի վերաբերյալ մանրամասն տեղեկատվությունը հավաքվում է կոտորակների ՝ կանոնների, օրինակների, լուծումների հոդվածների համեմատության մեջ:

Կոտորակային թվեր

Յուրաքանչյուր կոտորակ ռեկորդ է կոտորակային թիվ... Այսինքն ՝ կոտորակը պարզապես կոտորակային թվի «պատյան» է, դրա տեսքը, և ամբողջ իմաստային բեռը պարունակվում է կոտորակային թվում: Այնուամենայնիվ, հակիրճության և հարմարության համար կոտորակ և կոտորակային թիվ հասկացությունները զուգորդվում են և պարզապես ասվում են որպես կոտորակ: Այստեղ տեղին է վերաձեւակերպել հայտնի ասացվածքը. Ասում ենք կոտորակ - նկատի ունենք կոտորակային թիվ, ասում ենք կոտորակային թիվ - նկատի ունենք կոտորակ:

Կոտորակները կոորդինատային ճառագայթի վրա

Սովորական կոտորակներին համապատասխանող բոլոր կոտորակային թվերն իրենց ուրույն տեղն ունեն, այսինքն ՝ կոորդինատների ճառագայթի կոտորակների և կետերի միջև կա մեկ առ մեկ համապատասխանություն:

Կոորդինատային ճառագայթի վրա մ / կոտորակին համապատասխանող կետ հասնելու համար հարկավոր է դրական ուղղությամբ հետաձգել ծագման մ հատվածները, որոնց երկարությունը միավորի հատվածի 1 / ն է: Նման հատվածները կարելի է ստանալ միավորի հատվածը n հավասար մասերի բաժանելու միջոցով, ինչը միշտ կարող է կատարվել կողմնացույցի և քանոնի միջոցով:

Որպես օրինակ, եկեք ցույց տանք M կետը 14/10 կոտորակին համապատասխանող կոորդինատային ճառագայթի վրա: Հատվածի երկարությունը O կետում և դրան մոտակա կետը, որը նշվում է փոքր հարվածով, միավորի հատվածի 1/10 է: 14/10 կոորդինատով կետը գտնվում է ծագումից 14 նման հատվածների հեռավորության վրա:

Հավասար կոտորակները համապատասխանում են նույն կոտորակային թվին, այսինքն ՝ հավասար կոտորակները կոորդինատային ճառագայթի վրա նույն կետի կոորդինատներն են: Օրինակ, մեկ կետը համապատասխանում է կոորդինատային ճառագայթի վրա 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 կոորդինատներին, քանի որ բոլոր գրված կոտորակները հավասար են (այն գտնվում է կես միավորի հատվածի հեռավորության վրա, դրված է դրական ուղղությամբ ծագումից):

Հորիզոնական և աջ ուղղորդված կոորդինատային ճառագայթի վրա այն կետը, որի կոորդինատը հիմնական մասն է, գտնվում է այն կետի աջ կողմում, որի կոորդինատը փոքր մասն է: Նմանապես, ավելի փոքր կոորդինատ ունեցող կետը գտնվում է ավելի մեծ կոորդինատով կետի ձախ կողմում:

Rectիշտ և ոչ պատշաճ կոտորակներ, սահմանումներ, օրինակներ

Սովորական կոտորակների շարքում կան ճիշտ և սխալ կոտորակներ... Այս բաժանումը հիմնված է համարիչի և հայտարարի համեմատության վրա:

Եկեք բերենք կանոնավոր և սխալ սովորական կոտորակների սահմանում:

Սահմանում

Պատշաճ կոտորակ Սովորական կոտորակ է, որի համարիչը պակաս է հայտարարից, այսինքն, եթե m

Սահմանում

Անպատշաճ կոտորակ Սովորական կոտորակ է, որում համարիչը մեծից մեծ է կամ հավասար է հայտարարի, այսինքն, եթե m≥n է, ապա սովորական կոտորակը սխալ է:

Ահա կանոնավոր կոտորակների մի քանի օրինակներ. 1/4, 32 765/909 003: Իրոք, գրված սովորական կոտորակներից յուրաքանչյուրում համարիչը պակաս է հայտարարից (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս բնական թվերը համեմատող հոդվածը), ուստի դրանք ըստ սահմանման ճիշտ են:

Եվ ահա ոչ պատշաճ կոտորակների օրինակներ. 9/9, 23/4 ,. Իրոք, արձանագրված սովորական կոտորակներից առաջինի համարիչը հավասար է հայտարարին, իսկ մնացած կոտորակներում համարիչը ավելի մեծ է, քան հայտարարը:

Կան նաև ճիշտ և սխալ կոտորակների սահմանումներ, որոնք հիմնված են կոտորակների մեկի հետ համեմատության վրա:

Սահմանում

ճիշտ էեթե դա մեկից պակաս է:

Սահմանում

Սովորական կոտորակ է կոչվում սխալեթե դա հավասար է մեկին կամ 1-ից մեծ:

Այսպիսով, սովորական կոտորակը 7/11 ճիշտ է, քանի որ 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, իսկ 27/27 \u003d 1:

Եկեք մտածենք այն մասին, թե ինչու է հայտարարի մեծ կամ հավասար համարիչ ունեցող սովորական կոտորակները նման անվանում վաստակել ՝ «սխալ»:

Որպես օրինակ բերենք 9/9 ոչ պատշաճ կոտորակը: Այս կոտորակը նշանակում է, որ դուք վերցրել եք առարկայի ինը մաս, որը բաղկացած է ինը մասից: Այսինքն ՝ առկա ինն մասերից մենք կարող ենք կազմել մի ամբողջ առարկա: Այսինքն ՝ 9/9 ոչ պատշաճ կոտորակը ըստ էության տալիս է ամբողջ իրը, այսինքն ՝ 9/9 \u003d 1: Ընդհանրապես, հայտարարին հավասար անկանոն կոտորակները նշանակում են մեկ ամբողջ օբյեկտ, և այդպիսի կոտորակը կարող է փոխարինվել 1 բնական թվով:

Այժմ հաշվի առեք ոչ պատշաճ կոտորակները 7/3 և 12/4: Միանգամայն ակնհայտ է, որ այս յոթ երրորդից մենք կարող ենք պատրաստել երկու ամբողջական առարկա (մեկ ամբողջական առարկա 3 մաս է, ապա երկու ամբողջ օբյեկտ կազմելու համար մեզ պետք են 3 + 3 \u003d 6 բաժին) և մեկ երրորդը դեռ մնում է: Այսինքն, ոչ պատշաճ կոտորակը 7/3 ըստ էության նշանակում է 2 հատ, և նույնիսկ նման իրի 1/3-ը: Եվ տասներկու չորրորդից մենք կարող ենք պատրաստել երեք ամբողջական առարկա (երեք առարկա ՝ յուրաքանչյուրում չորս բաժնեմասով): Այսինքն ՝ 12/4 կոտորակը ըստ էության նշանակում է 3 ամբողջ օբյեկտ:

Դիտարկված օրինակները բերում են հետևյալ եզրակացության. Անպատեհ կոտորակները կարող են փոխարինվել բնական թվերով, երբ համարիչը բաժանվում է ամբողջությամբ հայտարարի (օրինակ, 9/9 \u003d 1 և 12/4 \u003d 3), կամ բնական թվի և կանոնավոր կոտորակի հանրագումարի, երբ համարիչը չի բաժանվում հայտարարի (օրինակ ՝ 7/3 \u003d 2 + 1/3): Միգուցե հենց սա է պատճառը, որ սխալ կոտորակները արժանի են նման անվանման ՝ «սխալ»:

Առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում անպատեհ կոտորակի ներկայացումը որպես բնական թվի և կանոնավոր կոտորակի գումար (7/3 \u003d 2 + 1/3): Այս գործընթացը կոչվում է ամբողջ մասի անպատշաճ խմբակցությունից առանձնացում և արժանի է առանձին և ավելի ուշադիր քննարկման:

Արժե նաև նշել, որ անպատշաճ կոտորակների և խառն թվերի միջև շատ սերտ կապ կա:

Դրական և բացասական կոտորակներ

Յուրաքանչյուր կոտորակ համապատասխանում է դրական կոտորակային թվին (տե՛ս հոդվածի դրական և բացասական թվեր): Այսինքն ՝ սովորական կոտորակները ՝ դրական կոտորակներ... Օրինակ ՝ 1/5, 56/18, 35/144 ընդհանուր կոտորակները դրական կոտորակներ են: Երբ անհրաժեշտ է ընդգծել կոտորակի դրականությունը, ապա դրա դիմաց դրվում է գումարման նշան, օրինակ ՝ +3/4, +72/34:

Եթե \u200b\u200bմինուս նշան դնեք սովորական կոտորակի դիմաց, ապա այս գրառումը կհամապատասխանի բացասական կոտորակային թվին: Այս դեպքում մենք կարող ենք խոսել դրա մասին բացասական կոտորակներ... Ահա բացասական կոտորակների մի քանի օրինակներ. −6/10, −65/13, −1/18:

Դրական և բացասական կոտորակները m / n և −m / n հակառակ թվեր են: Օրինակ ՝ 5/7 և −5/7 կոտորակները հակառակ կոտորակներ են:

Դրական կոտորակները, ընդհանուր առմամբ դրական թվերը, նշում են գումարումը, եկամուտը, ցանկացած արժեքի վերևում փոփոխություն և այլն: Բացասական կոտորակները համապատասխանում են ծախսերի, պարտքերի, ցանկացած արժեքի փոփոխության նվազման: Օրինակ, −3/4 բացասական կոտորակը կարելի է մեկնաբանել որպես 3/4 պարտք:

Հորիզոնական և աջ ուղղորդված բացասական ֆրակցիաները տեղակայված են ծագման ձախ կողմում: Կոորդինատային գծի այն կետերը, որոնց կոորդինատներն են մ / ն դրական կոտորակը և −m / n բացասական կոտորակը տեղակայված են ծագումից նույն հեռավորության վրա, բայց O կետի հակառակ կողմերում:

Այստեղ հարկ է նշել 0 / ն ձևի կոտորակները: Այս կոտորակները հավասար են զրոյի թվին, այսինքն ՝ 0 / n \u003d 0:

Դրական կոտորակները, բացասական կոտորակները և 0 / ն կոտորակները միավորված են ռացիոնալ թվերի:

Գործողություններ կոտորակների հետ

Ընդհանուր կոտորակների հետ մեկ գործողություն ՝ կոտորակների համեմատություն, մենք արդեն քննարկեցինք վերը: Եվս չորս թվաբանություն գործողություններ կոտորակների հետ - կոտորակների գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում: Եկեք անդրադառնանք դրանցից յուրաքանչյուրին:

Կոտորակներով գործողությունների ընդհանուր էությունը նման է բնական թվերով համապատասխան գործողությունների էությանը: Եկեք անալոգիա անենք:

Կոտորակների բազմապատկում կարելի է համարել որպես գործողություն, որում կա կոտորակի կոտորակ: Եկեք պարզաբանման օրինակ բերենք: Ասենք, որ մենք ունենք խնձորի 1/6-ը, և դրա 2/3-ը պետք է վերցնենք: Մեզ անհրաժեշտ մասը 1/6 և 2/3 կոտորակների բազմապատկման արդյունք է: Երկու սովորական կոտորակների բազմապատկման արդյունքը սովորական կոտորակ է (որը տվյալ դեպքում հավասար է բնական թվին): Հետագայում խորհուրդ ենք տալիս ուսումնասիրել հոդվածի կոտորակների բազմապատկման տեղեկատվությունը `կանոններ, օրինակներ և լուծումներ:

Հղումների ցուցակ:

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Մաթեմատիկա. 5-րդ դասարանի դասագիրք ուսումնական հաստատություններ:
• Vilenkin N. Ya. և այլ մաթեմատիկա: 6-րդ դասարան. Ուսումնական հաստատությունների դասագիրք:
• Գուսեւ Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ուղեցույց տեխնիկական դպրոցների դիմորդների համար):

Ընդհանուր կոտորակները բաժանվում են \\ textit (ճիշտ) և \\ textit (սխալ) կոտորակների: Այս բաժանումը հիմնված է համարիչը և հայտարարը համեմատելու վրա:

Corիշտ կոտորակներ

Իշտ կոտորակ $ \\ frac (m) (n) $ սովորական կոտորակ է, որում համարիչը պակաս է հայտարարից, այսինքն. $ մ

Օրինակ 1

Օրինակ, $ \\ frac (1) (3) $, $ \\ frac (9) (123) $, $ \\ frac (77) (78) $, $ \\ frac (378567) (456298) $ կոտորակները ճիշտ են, ուստի քանի որ դրանցից յուրաքանչյուրում համարիչը պակաս է հայտարարից, որը համապատասխանում է ճիշտ կոտորակի սահմանմանը:

Գոյություն ունի պատշաճ կոտորակի սահմանում, որը հիմնված է կոտորակի միավորի հետ համեմատության վրա:

ճիշտ էեթե դա մեկից պակաս է.

Օրինակ 2

Օրինակ, $ \\ frac (6) (13) $ ընդհանուր կոտորակը ճիշտ է, քանի որ պայման $ \\ frac (6) (13)

Սխալ կոտորակներ

Սխալ կոտորակ $ $ \u003d frac (m) (n) $ սովորական կոտորակ է, որում հաշվիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարից, այսինքն. $ m \\ ge n $.

Օրինակ 3

Օրինակ, $ \\ frac (5) (5) $, $ \\ frac (24) (3) $, $ \\ frac (567) (113) $, $ \\ frac (100001) (100000) $ կոտորակները սխալ են, ուստի քանի որ դրանցից յուրաքանչյուրում համարիչը մեծից մեծ է կամ հավասար է հայտարարի, ինչը համապատասխանում է ոչ պատշաճ կոտորակի սահմանմանը:

Եկեք տանք ոչ պատշաճ կոտորակի սահմանում, որը հիմնված է միավորի հետ դրա համեմատության վրա:

$ \\ Frac (m) (n) $ սովորական կոտորակը կազմում է սխալեթե այն հավասար է կամ մեծ է մեկից.

\\ [\\ frac (m) (n) \\ ge 1 \\]

Օրինակ 4

Օրինակ, $ \\ frac (21) (4) $ ընդհանուր կոտորակն անվավեր է, քանի որ բավարարված է $ \\ frac (21) (4)\u003e 1 $ պայմանը;

$ \\ frac (8) (8) $ սովորական կոտորակն անվավեր է, քանի որ $ \\ frac (8) (8) \u003d 1 $ պայմանը բավարարված է:

Եկեք ավելի սերտ նայենք անպատշաճ կոտորակի հասկացությանը:

Որպես օրինակ վերցրեք $ \\ frac (7) (7) $ անպատշաճ կոտորակը: Այս կոտորակի իմաստը առարկայի յոթ մաս է, որը բաժանված է յոթ հավասար մասերի: Այսպիսով, առկա յոթ մասերից դուք կարող եք կազմել ամբողջ իրը: Դրանք $ \\ frac (7) (7) $ անպատշաճ կոտորակը նկարագրում է ամբողջ առարկան և $ \\ frac (7) (7) \u003d 1 $: Այսպիսով, ոչ պատշաճ կոտորակները, որոնցում համարիչը հավասար է հայտարարին, նկարագրում են մեկ ամբողջական առարկա և այդպիսի կոտորակը կարելի է փոխարինել $ 1 $ բնական թվով:

$ \\ frac (5) (2) $ - միանգամայն ակնհայտ է, որ այս հինգ երկրորդ բաժնետոմսերից հնարավոր է $ 2 $ ամբողջական առարկա կազմել (մեկ ամբողջ իրը կլինի $ 2 $ բաժնետոմս, իսկ երկու ամբողջ իր պատրաստելու համար անհրաժեշտ է $ 2 + 2 \u003d $ 4 բաժնետոմսեր) և մնում է մեկ երկրորդ բաժնեմաս: Այսինքն, $ \\ frac (5) (2) $ անպատշաճ կոտորակը նկարագրում է իրի $ 2 $ -ը և $ \\ frac (1) (2) $ այդ ապրանքի բաժինը:

$ \\ frac (21) (7) $ - քսանմեկերորդ յոթերորդ բաժնետոմսերը կարող են կազմել $ 3 $ ամբողջական ապրանք ($ 3 $ ապրանք $ յուրաքանչյուրը $ 7 բաժնետոմսերով): Դրանք $ \\ frac (21) (7) $ կոտորակը նկարագրում է $ 3 $ ամբողջ օբյեկտների համար:

Քննարկված օրինակներից կարելի է անել հետևյալ եզրակացությունը. Անպատշաճ կոտորակը կարող է փոխարինվել բնական թվով, եթե համարիչը ամբողջությամբ բաժանվում է հայտարարի (օրինակ ՝ $ \\ frac (7) (7) \u003d 1 $ և $ \\ frac (21) (7) \u003d 3 $) , կամ բնական թվի և կանոնավոր կոտորակի հանրագումարը, եթե համարիչը ամբողջությամբ չի բաժանվում հայտարարի (օրինակ ՝ $ \\ \\ frac (5) (2) \u003d 2 + \\ frac (1) (2) $): Հետեւաբար, այդպիսի կոտորակները կոչվում են սխալ.

Սահմանում 1

Անպատեհ կոտորակը որպես բնական թվի և կանոնավոր կոտորակի գումար ներկայացնելու գործընթացը կոչվում է. առանձնացնելով ամբողջ մասը ոչ պատշաճ կոտորակից.

Անպատշաճ կոտորակների հետ աշխատելիս սերտ կապ կա նրանց և խառն թվերի հետ:

Անպատշաճ կոտորակը հաճախ գրվում է որպես խառը թիվ ՝ թիվ, որը բաղկացած է ամբողջ թվից և կոտորակային մասից:

Որպես անպատեհ կոտորակ ՝ որպես խառը թիվ գրելու համար, համարիչը պետք է բաժանել հայտարարի և մնացորդի: Հաշվիչը կլինի խառը թվի ամբողջ մասը, մնացածը կոտորակային մասի համարիչ է, իսկ բաժանարարը ՝ կոտորակային մասի հայտարար:

Օրինակ 5

Որպես խառը թիվ գրի՛ր անպատշաճ կոտորակ $ \\ frac (37) (12) $:

Որոշում:

Հաշվիչը բաժանարարի վրա բաժանեք մնացորդով.

\\ [\\ frac (37) (12) \u003d 37: 12 \u003d 3 \\ (մնացորդ \\ 1) \\] \\ [\\ frac (37) (12) \u003d 3 \\ frac (1) (12) \\]

Պատասխանել $ \\ frac (37) (12) \u003d 3 \\ frac (1) (12) $:

Խառը թիվը որպես անպատշաճ կոտորակ գրելու համար հարկավոր է հայտարարը բազմապատկել համարի ամբողջ մասով, ստացված արդյունքին ավելացնել կոտորակային մասի համարիչը և ստացված գումարը գրել կոտորակի համարիչի մեջ: Անպատշաճ կոտորակի հայտարարը հավասար կլինի խառը թվի կոտորակային մասի հայտարարին:

Օրինակ 6

Որպես անպատեհ կոտորակ գրի՛ր $ 5 \\ frac (3) (7) $ խառը թիվը:

Որոշում:

Պատասխանել $ 5 \\ frac (3) (7) \u003d \\ frac (38) (7) $:

Ավելացնելով խառը թիվ և կանոնավոր կոտորակ

Խառը թվերի գումարում $ a \\ frac (b) (c) $ և ճիշտ կոտորակ $ \\ frac (d) (e) $ կատարվում է տրված կոտորակին ավելացնելով տրված խառը թվի կոտորակային մասը.

Օրինակ 7

Ավելացրեք $ \\ frac (4) (15) $ ճիշտ կոտորակը և $ 3 \\ frac (2) (5) $ խառը թիվը:

Որոշում:

Եկեք օգտագործենք խառը թիվ և կանոնավոր կոտորակ ավելացնելու բանաձևը.

\\ [\\ frac (4) (15) +3 \\ frac (2) (5) \u003d 3 + \\ ձախ (\\ frac (2) (5) + \\ frac (4) (15) \\ աջ) \u003d 3 + \\ տասնհինգ) \\]

Բաժանելով \\ textit (5) թվին, կարելի է որոշել, որ $ \\ frac (10) (15) $ կոտորակը չեղարկելի է: Եկեք կատարենք կրճատումը և գտնենք լրացման արդյունքը.

Այսպիսով, $ \\ frac (4) (15) $ և $ 3 \\ frac (2) (5) $ խառը համարի ավելացման արդյունքը կլինի $ 3 \\ frac (2) (3) $:

Պատասխան. $ 3 \\ frac (2) (3) $

Խառը թիվ և ոչ պատշաճ կոտորակի ավելացում

Ավելացրեք անպատշաճ կոտորակ և խառն թվ կրճատվում են երկու խառն թվերի գումարման, որի համար բավական է անպատշաճ կոտորակից ընտրել ամբողջ մասը:

Օրինակ 8

Հաշվեք $ 6 \\ frac (2) (15) $ և $ \\ frac (13) (5) $ ոչ պատշաճ կոտորակի գումարը:

Որոշում:

Նախ, ընտրեք ամբողջ մասը ոչ պատշաճ կոտորակից $ \\ frac (13) (5) $:

Պատասխան. $ 8 \\ ֆրակ (11) (15) $.

Պատշաճ կոտորակ

Քառորդներ

1. Կարգուկանոն: ա և բ կա մի կանոն, որը թույլ է տալիս միանշանակորեն որոշել նրանց միջև եղած երեք հարաբերություններից մեկը և միայն մեկը. «< », « > «Կամ» \u003d »: Այս կանոնը կոչվում է պատվիրելու կանոն և ձևակերպված է հետևյալ կերպ. երկու ոչ-բացասական թվեր և կապված են նույն հարաբերությամբ, ինչպես երկու ամբողջ թիվ և երկու ոչ դրական թիվ ա և բ կապված են նույն հարաբերությամբ, ինչպես երկու ոչ բացասական թվեր և եթե հանկարծ ա անբացասական է և բ - բացասական, ուրեմն ա > բ ... style \u003d "max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src \u003d "/ նկարներ / վիքի / ֆայլեր / 57 /.png" border \u003d "0"\u003e

   

   Կոտորակների գումարումը

2. Լրացման գործողություն: Rationանկացած ռացիոնալ թվերի համար ա և բ կա այսպես կոչված գումարման կանոն գ ... Ավելին, համարն ինքնին գ կոչված գումար թվեր ա և բ և նշվում է, և այդպիսի թիվ գտնելու գործընթացը կոչվում է ամփոփում... Ամփոփման կանոնը հետևյալն է. .
3. Բազմապատկման գործողություն: Rationանկացած ռացիոնալ թվերի համար ա և բ կա այսպես կոչված բազմապատկման կանոն, ինչը նրանց համապատասխանեցնում է որոշ ռացիոնալ թվին գ ... Ավելին, համարն ինքնին գ կոչված աշխատել թվեր ա և բ և նշվում է, և այդպիսի թիվ գտնելու գործընթացը նույնպես կոչվում է բազմապատկում... Բազմապատկման կանոնը հետևյալն է. .
4. Պատվերի հարաբերության փոխանցելիություն: Ռացիոնալ թվերի ցանկացած եռակի համար ա , բ և գ Եթե ա պակաս բ և բ պակաս գ ապա ա պակաս գ , եւ եթե ա հավասարապես բ և բ հավասարապես գ ապա ա հավասարապես գ ... 6435 "\u003e Ավելացման փոխարկելիություն: Գումարը չի փոխվում ռացիոնալ պայմանների տեղերի փոփոխությունից:
5. Լրացման ասոցիացիան Երեք ռացիոնալ թվերի գումարման կարգը չի ազդում արդյունքի վրա:
6. Zeroրոյի առկայությունը: Գոյություն ունի 0 բանական թիվ, որն ամփոփելիս պահպանում է ցանկացած այլ ռացիոնալ թիվ:
7. Հակառակ թվերի առկայությունը: Rationանկացած ռացիոնալ թիվ ունի հակառակ ռացիոնալ թիվ, որն ամփոփելիս տալիս է 0:
8. Բազմապատկման կոմուտատիվություն: Ապրանքը չի փոխվում ռացիոնալ գործոնների տեղերի փոփոխությունից:
9. Բազմապատկման ասոցիատիվությունը: Երեք ռացիոնալ թվերի բազմապատկման կարգը չի ազդում արդյունքի վրա:
10. Միավորի առկայությունը: Կա ռացիոնալ թիվ 1, որը բազմապատկելիս պահպանում է ցանկացած այլ ռացիոնալ թիվ:
11. Հակադարձ թվեր: Rationանկացած ռացիոնալ թիվ ունի հակադարձ ռացիոնալ թիվ, բազմապատկելով, որը տալիս է 1:
12. Բազմապատկման բաշխումը `համեմատած գումարման հետ: Բազմապատկման գործողությունը համահունչ է բաշխման մասին օրենքի միջոցով լրացման գործողությանը.
13. Պատվերի կապը լրացման գործողության հետ: Ռացիոնալ անհավասարության ձախ և աջ կողմերին կարելի է ավելացնել միևնույն բանական թիվը: առավելագույն լայնությունը `98%; բարձրությունը `ավտո; լայնությունը ՝ ավտո; "src \u003d" / նկարներ / վիքի / ֆայլեր / 51 /.png "border \u003d" 0 "\u003e
14. Արքիմեդեսի աքսիոմը: Ինչ էլ որ լինի ռացիոնալ թիվը ա , կարող եք այնքան միավոր վերցնել, որ դրանց գումարը գերազանցի ա ... style \u003d "max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src \u003d "/ նկարներ / վիքի / ֆայլեր / 55 /.png" border \u003d "0"\u003e

Լրացուցիչ հատկություններ

Ռացիոնալ թվերին բնորոշ մնացած բոլոր հատկությունները չեն առանձնացվում որպես հիմնական, քանի որ, ընդհանուր առմամբ, դրանք այլևս ուղղակիորեն ապավինում են ամբողջ թվերի հատկություններին, բայց կարող են ապացուցվել տրված հիմնական հատկությունների հիման վրա կամ ուղղակիորեն որոշակի մաթեմատիկական օբյեկտի սահմանմամբ: Նման լրացուցիչ հատկությունները շատ են: Այստեղ իմաստ ունի մեջբերել դրանցից միայն մի քանիսը:

Ոճ \u003d "առավելագույն լայնություն ՝ 98%; բարձրություն ՝ ավտո; լայնություն ՝ ավտոմատ;" src \u003d "/ նկարներ / վիքի / ֆայլեր / 48 /.png" border \u003d "0"\u003e

Հավաքածուի հաշվարկելիություն

Ռացիոնալ համարակալում

Ռացիոնալ թվերի քանակը գնահատելու համար հարկավոր է գտնել դրանց բազմության կարդինալությունը: Հեշտ է ապացուցել, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունը հաշվարկելի է: Դա անելու համար բավական է տալ ալգորիթմ, որը թվարկում է ռացիոնալ թվերը, այսինքն ՝ այն բիեկցիա է հաստատում ռացիոնալ և բնական թվերի բազմությունների միջև:

Այս ալգորիթմներից ամենապարզը հետեւյալն է. Կազմվում է սովորական կոտորակների անվերջ աղյուսակ `յուրաքանչյուրի համար ես -րդ տողը յուրաքանչյուրում ժ - որի սյունը գտնվում է կոտորակը: Որոշակիության համար ենթադրվում է, որ այս աղյուսակի տողերն ու սյունակները համարակալված են ՝ սկսած մեկից: Նշված են սեղանի բջիջները, որտեղ ես աղյուսակի շարքի համարն է, որում գտնվում է բջիջը, և ժ - սյունակի համարը:

Արդյունքում առաջացած աղյուսակը շրջանցվում է «օձի» կողմից `համաձայն հետևյալ պաշտոնական ալգորիթմի:

Այս կանոնները սկանավորվում են վերևից ներքև և հաջորդ դիրքն ընտրվում է առաջին խաղի վրա:

Նման անցման գործընթացում յուրաքանչյուր նոր ռացիոնալ թիվ կապված է հաջորդ բնական թվի հետ: Այսինքն ՝ 1/1 կոտորակին տրված է թիվ 1, կոտորակին 2/1 ՝ թիվ 2 և այլն: Հարկ է նշել, որ համարակալված են միայն չկրճատվող կոտորակները: Անուղղելիության ֆորմալ նշանն է կոտորակի համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարներից մեկի հավասարությունը:

Այս ալգորիթմից հետո բոլոր դրական ռացիոնալ թվերը կարող են թվարկվել: Սա նշանակում է, որ դրական ռացիոնալ թվերի բազմությունը հաշվարկելի է: Դյուրին է բացել դրական և բացասական ռացիոնալ թվերի բազմությունների հավաքածու `պարզապես յուրաքանչյուր ռացիոնալ թվին հակառակ նշանակելով: T. մասին. Բացասական ռացիոնալ թվերի բազմությունը նույնպես հաշվելի է: Նրանց միավորումը հաշվարկելի է նաև հաշվելի բազմությունների հատկությամբ: Ռացիոնալ թվերի բազմությունը հաշվարկելի է նաև որպես վերջավորի հետ հաշվելի բազմության միություն:

Այն պնդումը, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունը հաշվարկելի է, կարող է տարակուսանք առաջացնել, քանի որ առաջին հայացքից թվում է, որ այն շատ ավելի ընդարձակ է, քան բնական թվերի բազմությունը: Իրականում դա այդպես չէ, և կան բոլոր բնական թվերը, որպեսզի թվարկվեն բոլոր ռացիոնալները:

Ռացիոնալ թվերի բացակայություն

Նման եռանկյունու հիպոթենուսը չի արտահայտվում որևէ ռացիոնալ թվով

Ձևի 1 / ռացիոնալ համարները ն ազատության մեջ ն կարող եք կամայականորեն փոքր քանակություններ չափել: Այս փաստը ստեղծում է խաբուսիկ տպավորություն, որ ցանկացած երկրաչափական հեռավորություն կարելի է չափել ռացիոնալ թվերով: Հեշտ է ցույց տալ, որ դա ճիշտ չէ:

Պյութագորասի թեորեմից հայտնի է, որ ուղղանկյուն եռանկյունու հիպոթենուսը արտահայտվում է որպես նրա ոտքերի քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատ: T. մասին. Միասեռ ոտքով հավասարասեռ ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի երկարությունը `այսինքն թիվ, որի քառակուսին 2 է:

Եթե \u200b\u200bենթադրենք, որ թիվը ներկայացված է ինչ-որ ռացիոնալ թվով, ապա այդպիսի ամբողջ թիվ կա մ և այդպիսի բնական թիվ ն , որը, ավելին, կոտորակն անկրկնելի է, այսինքն ՝ թվերը մ և ն - փոխադարձաբար պարզ: