Լուծիր ոչ ամբողջական թվեր: Ամբողջ թվեր և բանական թվեր

Այս հոդվածի տեղեկատվությունը տալիս է ընդհանուր ըմբռնում ամբողջական թվեր... Նախ տրված է ամբողջ թվերի սահմանումը և բերվում են օրինակներ: Հետագայում դիտարկվում են համարների գծի վրա գտնվող ամբողջ թվերը, որոնցից պարզ է դառնում, թե որ թվերն են անվանում դրական ամբողջ թվեր, որոնք ՝ բացասական: Դրանից հետո ցուցադրվում է, թե ինչպես են արժեքների փոփոխությունները նկարագրվում ամբողջ թվերի միջոցով, և բացասական ամբողջ թվերը համարվում են պարտքի իմաստով:

Էջի նավիգացիա:

Ամբողջ թվեր - սահմանում և օրինակներ

Սահմանում

Ամբողջ թվեր - սրանք բնական թվեր են, համարը զրո, և նաև բնական թվերից հակառակ թվեր:

Ամբողջ թվերի սահմանման մեջ նշվում է, որ 1, 2, 3, numbers թվերից ցանկացածը, 0 թիվը, ինչպես նաև −1, −2, −3, ... թվերից ցանկացածը ամբողջ թիվ է: Հիմա մենք հեշտությամբ կարող ենք ղեկավարել ամբողջ թվերի օրինակներ... Օրինակ, 38 թիվը ամբողջ թիվ է, 70 040 թիվը նույնպես ամբողջ թիվ է, զրոն ամբողջ թիվ է (հիշենք, որ զրոն բնական թիվ ՉԷ, զրոն ամբողջ թիվ է), −999, −1, −8 934 832 թվերը նույնպես ամբողջ թվերի օրինակ են: թվեր

Հարմար է բոլոր ամբողջ թվերը ներկայացնել որպես ամբողջ թվերի հաջորդականություն, որն ունի հետևյալ ձևը. 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Ամբողջ թվերի հաջորդականություն կարելի է գրել այսպես. …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Ամբողջ թվերի սահմանումից բխում է, որ բնական թվերի բազմությունը ամբողջ թվերի ամբողջության ենթախումբ է: Հետևաբար, ցանկացած բնական թիվ ամբողջ թիվ է, բայց ոչ մի ամբողջ թիվ ՝ բնական:

Ամբողջ թվերը կոորդինատային գծի վրա

Սահմանում

Դրական ամբողջ թվեր Ամբողջ թվեր են, որոնք զրոյից մեծ են:

Սահմանում

Ամբողջ թվով բացասական թվեր Ամբողջ թվեր են, որոնք զրոյից պակաս են:

Դրական և բացասական ամբողջ թվերը կարող են որոշվել նաև դրանց դիրքով `կոորդինատային գծի վրա: Հորիզոնական կոորդինատային գծի վրա այն կետերը, որոնց կոորդինատները դրական ամբողջ թվեր են, ընկած են ծագման աջ կողմում: Իր հերթին, բացասական ամբողջ կոորդինատներով կետերը գտնվում են O կետի ձախ կողմում:

Հասկանալի է, որ բոլոր դրական ամբողջ թվերի բազմությունը բնական թվերի բազմություն է: Իր հերթին, բոլոր բացասական ամբողջ թվերի բազմությունը բոլոր այն թվերի բազմությունն է, որոնք հակառակ են բնական թվերին:

Առանձին-առանձին, մենք կցանկանայինք ձեր ուշադրությունը հրավիրել այն փաստի վրա, որ ցանկացած բնական թիվ անվնաս կարող ենք անվանել ամբողջ թիվ, և մենք չենք կարող որևէ ամբողջ թիվ անվանել բնական: Մենք կարող ենք բնական անվանել միայն ցանկացած դրական ամբողջ թիվ, քանի որ բացասական ամբողջ թվերը և զրոն բնական չեն:

Ոչ դրական ամբողջ թիվ և ոչ բացասական ամբողջ թիվ

Եկեք տանք ոչ դրական ամբողջ թվերի և ոչ բացասական ամբողջ թվերի սահմանումներ:

Սահմանում

Բոլոր դրական ամբողջ թվերը զրոյի հետ միասին կանչվում են ոչ-բացասական ամբողջ թվեր.

Սահմանում

Ոչ դրական ամբողջ թվեր Բոլո՞ր բացասական ամբողջ թվերն են ՝ 0 թվի հետ միասին:

Այլ կերպ ասած, ոչ-բացասական ամբողջ թիվն այն ամբողջ թիվն է, որը զրոյից մեծ է կամ հավասար է զրոյի, իսկ ոչ դրական ամբողջ թիվն ամբողջ թվից է, որը զրոյից պակաս է կամ հավասար է զրոյի:

Ոչ դրական ամբողջ թվերի օրինակներ են −511, −10,030, 0, −2 թվերը, իսկ որպես ոչ բացասական ամբողջ թվերի օրինակներ մենք տալիս ենք 45, 506, 0, 900 321 թվերը:

Ամենից հաճախ ՝ «ոչ դրական ամբողջ թվեր» և «ոչ բացասական ամբողջ թվեր» տերմիններն օգտագործվում են հակիրճության համար: Օրինակ `« a թիվը ամբողջ թիվ է, իսկ a- ն ավելի մեծ է կամ հավասար է զրոյի »արտահայտության փոխարեն, կարող եք ասել« a- ն ոչ-բացասական ամբողջ թիվ է »:

Նկարագրելով փոփոխվող արժեքները `օգտագործելով ամբողջ թվեր

Timeամանակն է խոսել այն մասին, թե ինչի համար են ամբողջ թվերը:

Ամբողջ թվերի հիմնական նպատակն այն է, որ հարմար լինի դրանք օգտագործել `նկարագրելու համար ցանկացած օբյեկտի քանակի փոփոխությունը: Եկեք դա պարզենք օրինակներով:

Ենթադրենք, պահեստում կան որոշ մասեր: Եթե, օրինակ, պահեստ բերվի ևս 400 պահեստ, ապա պահեստում մասերի քանակը կավելանա, և 400 թիվը արտահայտում է քանակի այս փոփոխությունը դրական ուղղությամբ (դեպի վեր): Եթե, օրինակ, պահեստից վերցվեն 100 մասեր, ապա պահեստում մասերի քանակը կնվազի, իսկ 100 թիվը արտահայտելու է քանակի փոփոխությունը բացասական ուղղությամբ (ներքև): Մասերը պահեստ չեն բերվի, իսկ մասերը պահեստից չեն տարվի, ապա մենք կարող ենք խոսել մասերի քանակի անփոփոխության մասին (այսինքն ՝ կարելի է խոսել քանակի զրոյական փոփոխության մասին):

Բերված օրինակներում մասերի քանակի փոփոխությունը կարելի է նկարագրել `օգտագործելով համապատասխանաբար 400, -100 և 0 ամբողջ թվեր: Դրական ամբողջ թիվ 400-ը ցույց է տալիս քանակի դրական փոփոխություն (աճ): -100 բացասական ամբողջ թիվն արտահայտում է քանակի բացասական փոփոխություն (նվազում): 0 ամբողջ թիվը ցույց է տալիս, որ քանակը մնացել է անփոփոխ:

Բնական թվերի օգտագործման համեմատ ամբողջ թվերի օգտագործման հարմարությունն այն է, որ ձեզ հարկավոր չէ հստակ նշել ՝ գումարը աճո՞ւմ է, թե՞ նվազում. Ամբողջ թիվը քանակը գնահատում է փոփոխությունը, իսկ ամբողջ թիվի նշանը նշում է փոփոխության ուղղությունը:

Ամբողջ թվերը կարող են արտահայտել ոչ միայն քանակի փոփոխություն, այլ նաև քանակի փոփոխություն: Եկեք դրանով զբաղվենք `օգտագործելով ջերմաստիճանի փոփոխությունների օրինակը:

Temperatureերմաստիճանի բարձրացումը, ասենք 4 աստիճան, արտահայտվում է որպես դրական ամբողջ թիվ 4: Temperatureերմաստիճանի իջեցումը, օրինակ, 12 աստիճանով, կարելի է նկարագրել բացասական ամբողջ թիվ -12-ով: Իսկ ջերմաստիճանի կայունությունը դրա փոփոխությունն է, որը որոշվում է 0 ամբողջ թվով:

Առանձին-առանձին պետք է ասել բացասական ամբողջ թվերի `որպես պարտքի չափի մեկնաբանման մասին: Օրինակ, եթե մենք ունենք 3 խնձոր, ապա դրական ամբողջ թիվ 3-ը ցույց է տալիս մեզ պատկանող խնձորների քանակը: Մյուս կողմից, եթե մենք ստիպված ենք ինչ-որ մեկին 5 խնձոր տալ, բայց չունենք, ապա այս իրավիճակը կարելի է նկարագրել `օգտագործելով negative5 բացասական ամբողջ թիվ: Այս դեպքում մենք «ունենք» −5 խնձոր, մինուս նշանը նշում է պարտքը, իսկ թիվ 5-ը քանակականորեն գնահատում է պարտքը:

Բացասական ամբողջ թիվ որպես պարտք հասկանալը թույլ է տալիս, օրինակ, արդարացնել բացասական ամբողջ թվերի ավելացման կանոնը: Բերենք մի օրինակ: Եթե \u200b\u200bինչ-որ մեկը մեկ խնձոր պարտք է մեկին, իսկ մեկ խնձոր մյուսին, ապա ընդհանուր պարտքը 2 + 1 \u003d 3 խնձոր է, ուստի −2 + (- 1) \u003d - 3:

Հղումների ցուցակ:

• Vilenkin N. Ya. և այլ մաթեմատիկա: 6-րդ դասարան. Ուսումնական հաստատությունների դասագիրք:

Այս հոդվածում մենք կսահմանենք ամբողջ թվերի ամբողջությունը, հաշվի առնենք, թե որ ամբողջ թվերն են անվանում դրական, որոնք ՝ բացասական: Մենք նաև ցույց կտանք, թե ինչպես են օգտագործվում ամբողջ քանակները որոշակի մեծությունների փոփոխությունները նկարագրելու համար: Սկսենք ամբողջ թվերի սահմանումից և օրինակներից:

Ամբողջ թվեր: Սահմանում, օրինակներ

Նախ հիշենք բնական թվերը: Անունն ինքնին հուշում է, որ դրանք թվեր են, որոնք բնականաբար օգտագործվել են հաշվելու համար անհիշելի ժամանակներից: Ամբողջ թվերի հայեցակարգը ծածկելու համար հարկավոր է ընդլայնել բնական թվերի սահմանումը:

Սահմանում 1. Ամբողջ թվեր

Ամբողջ թվերը բնական թվեր են, հակառակ թվերը և զրո թիվը:

Ամբողջ թվերի ամբողջությունը նշվում է letter տառով:

Բնական թվերի բազմությունը gers ամբողջ թվերի ենթաբազմություն է: Անկացած բնական թիվ ամբողջ թիվ է, բայց ոչ մի ամբողջ թիվ բնական թիվ չէ:

Սահմանումից բխում է, որ 1, 2, 3 թվերից ցանկացածը ամբողջ թիվ է: ... , թիվ 0, ինչպես նաև թվեր - 1, - 2, - 3,: ...

Սրան համապատասխան, մենք կբերենք օրինակներ: 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 թվերը ամբողջ թիվ են:

Թող կոորդինատային գիծը հորիզոնական գծագրվի և ուղղվի դեպի աջ: Եկեք նայենք դրան ՝ պատկերացնելու համար, թե ինչպիսի ամբողջ գծի վրա է դասավորված մի տող:

Կոորդինատային գծի ծագումը համապատասխանում է 0 թվին, իսկ զրոյի երկու կողմերում ընկած կետերը համապատասխանում են դրական և բացասական ամբողջ թվերին: Յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է մեկ ամբողջ թվին:

Դուք կարող եք հասնել ուղիղ գծի ցանկացած կետի, որի կոորդինատը ամբողջ թիվ է `սկզբնաղբյուրից մի կողմ դնելով որոշակի միավորի հատվածների:

Դրական և բացասական ամբողջ թվեր

Բոլոր ամբողջ թվերից տրամաբանական է տարբերակել դրական և բացասական ամբողջ թվերը: Եկեք տանք դրանց սահմանումները:

Սահմանում 2. Դրական ամբողջ թվեր

Դրական ամբողջ թվերը գումարած-նշան ամբողջ թվեր են:

Օրինակ, 7 թիվը գումարած նշան է, ինչը դրական ամբողջ թիվ է: Կոորդինատային գծի վրա այս թիվը ընկած է հղման կետի աջ կողմում, որի համար վերցված է 0 թիվը: Դրական ամբողջ թվերի այլ օրինակներ. 12, 502, 42, 33, 100500:

Սահմանում 3. Բացասական ամբողջ թվեր

Բացասական ամբողջ թվերը մինուս նշանով ամբողջ թվեր են:

Բացասական ամբողջ թվերի օրինակներ. - 528, - 2568, - 1:

0 թիվը առանձնացնում է դրական և բացասական ամբողջ թվերը և ինքնին ոչ դրական է, ոչ էլ բացասական:

Numberանկացած թիվ, որը հակառակն է դրական ամբողջ թվին, ըստ սահմանման, բացասական ամբողջ թիվ է: Հակառակը նույնպես ճիշտ է: Negativeանկացած բացասական ամբողջ թվերի հակադարձը դրական ամբողջ թիվ է:

Դուք կարող եք տալ բացասական և դրական ամբողջ թվերի այլ սահմանումներ `օգտագործելով դրանց համեմատությունը զրոյի հետ:

Սահմանում 4. Դրական ամբողջ թվեր

Դրական ամբողջ թվերը ամբողջ թվերն են, որոնք զրոյից մեծ են:

Սահմանում 5. Բացասական ամբողջ թվեր

Բացասական ամբողջ թվերը ամբողջ թվերից են, որոնք զրոյից պակաս են:

Համապատասխանաբար, դրական թվերը կոորդինատային գծի վրա ծագման աջ կողմում են, իսկ բացասական ամբողջ թվերը ՝ զրոյի ձախ կողմում:

Ավելի վաղ ասացինք, որ բնական թվերը ամբողջ թվերի ենթաբազմություն են: Եկեք պարզաբանենք այս կետը: Բնական թվերի բազմությունը կազմված է դրական ամբողջ թվերից: Իր հերթին, բացասական ամբողջ թվերի ամբողջությունը հակառակ բնական թվերի բազմություն է:

Կարևոր է

Naturalանկացած բնական թիվ կարելի է անվանել ամբողջ թիվ, բայց ցանկացած ամբողջ թիվ չի կարելի անվանել բնական: Պատասխանելով այն հարցին, թե արդյոք բացասական թվերը բնական են, պետք է համարձակորեն ասել `ոչ, դրանք չեն:

Ոչ դրական և ոչ բացասական ամբողջ թվեր

Եկեք սահմանումներ տանք:

Սահմանում 6. Ոչ-բացասական ամբողջ թվեր

Ոչ-բացասական ամբողջ թվերը դրական ամբողջ թվեր են և համարը զրո:

Սահմանում 7. Ոչ դրական ամբողջ թվեր

Ոչ դրական ամբողջ թվերը բացասական ամբողջ թվեր են և համարը զրո:

Ինչպես տեսնում եք, զրոյի թիվը ոչ դրական է, ոչ բացասական:

Ոչ-բացասական ամբողջ թվերի օրինակներ. 52, 128, 0:

Ոչ դրական ամբողջ թվերի օրինակներ. - 52, - 128, 0:

Ոչ-բացասական թիվը զրոյից մեծ կամ հավասար թիվ է: Ըստ այդմ, ոչ դրական ամբողջ թիվը զրոյից պակաս կամ հավասար թիվ է:

Հակիրճության համար օգտագործվում են «ոչ դրական թիվ» և «ոչ բացասական թիվ» հասկացությունները: Օրինակ ՝ փոխարենը ասելու, որ a թիվը ամբողջ թվից մեծ է կամ հավասար է զրոյի, կարող ես ասել. A- ն ոչ բացասական ամբողջ թիվ է:

Օգտագործելով ամբողջ թվեր փոփոխվող արժեքները նկարագրելու համար

Ինչի՞ համար են օգտագործվում ամբողջ թվերը: Նախ և առաջ նրանց օգնությամբ հարմար է նկարագրել և որոշել ցանկացած առարկայի քանակի փոփոխությունը: Բերենք մի օրինակ:

Թող պահեստը պահպանի որոշակի քանակությամբ ծնկաձեւ լիսեռ: Եթե \u200b\u200bպահեստ բերվի ևս 500 ծնկաձև լիսեռ, դրանց թիվը կավելանա: 500 թիվը պարզապես արտահայտում է մանրամասների քանակի փոփոխությունը (ավելացումը): Եթե \u200b\u200bայդ դեպքում պահեստից վերցվի 200 մաս, ապա այս թիվը բնութագրելու է նաև ծնկաձեւ լիսեռների քանակի փոփոխությունը: Այս անգամ ՝ վայրընթաց:

Եթե \u200b\u200bպահեստից ոչինչ չի վերցվելու, և ոչինչ չի բերվելու, ապա 0 թիվը ցույց կտա մասերի քանակի անփոփոխությունը:

Ի տարբերություն բնական թվերի, ամբողջ թվերի օգտագործման ակնհայտ հարմարությունն այն է, որ դրանց նշանը հստակ ցույց է տալիս արժեքի փոփոխության ուղղությունը (ավելացում կամ նվազում):

30 աստիճանով ջերմաստիճանի իջեցումը կարող է բնութագրվել բացասական թվով `30, իսկ աճը` 2 աստիճանով `դրական ամբողջությամբ 2:

Ահա մի ամբողջ օրինակ `օգտագործելով ամբողջ թվեր: Այս անգամ, ասենք, որ մենք պետք է ինչ-որ մեկին 5 մետաղադրամ տանք: Հետո, կարող ենք ասել, որ ունենք ՝ 5 մետաղադրամ: 5 համարը նկարագրում է պարտքի չափը, իսկ մինուս նշանն ասում է, որ մենք պետք է վերադարձնենք մետաղադրամները:

Եթե \u200b\u200bմենք մեկ անձի պարտք ենք 2 մետաղադրամ, իսկ մեկ ուրիշին ՝ 3, ապա ընդհանուր պարտքը (5 մետաղադրամ) կարելի է հաշվարկել ՝ օգտագործելով բացասական թվեր ավելացնելու կանոնը.

2 + (- 3) = - 5

Եթե \u200b\u200bտեքստում սխալ եք նկատել, ընտրեք այն և սեղմեք Ctrl + Enter

Եթե \u200b\u200bբնական թվերի շարքի ձախ կողմում նշանակենք 0 թիվը, ապա կստանանք մի շարք դրական ամբողջ թվերի:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Ամբողջ թվով բացասական թվեր

Եկեք նայենք մի փոքրիկ օրինակի: Ձախ նկարում պատկերված է ջերմաչափ, որը ցույց է տալիս 7 ° C ջերմաստիճանի ջերմաստիճան: Եթե \u200b\u200bջերմաստիճանը իջնում \u200b\u200bէ 4 ° C- ով, ապա ջերմաչափը ցույց կտա 3 ° C ջերմություն: Temperatureերմաստիճանի նվազումը համապատասխանում է հանումային գործողությանը.

Նշում. Բոլոր աստիճանները գրված են C տառով (Celsius), աստիճանի նշանը համարից բաժանվում է տարածությամբ: Օրինակ ՝ 7 ° C:

Եթե \u200b\u200bջերմաստիճանը իջնում \u200b\u200bէ 7 ° C- ով, ջերմաչափը ցույց կտա 0 ° C: Temperatureերմաստիճանի նվազումը համապատասխանում է հանումային գործողությանը.

Եթե \u200b\u200bջերմաստիճանը իջնում \u200b\u200bէ 8 ° C, ջերմաչափը ցույց կտա -1 ° C (1 ° C սառնամանիք): Բայց 7 - 8-ի հանման արդյունքը չի կարող գրվել ՝ օգտագործելով բնական թվեր և զրո:

Եկեք նկարազարդումը նկարագրենք մի շարք դրական ամբողջ թվերի վրա.

1) 7 թվից հաշվել դեպի ձախ 4 թվեր և ստանալ 3:

2) 7 թվից հաշվել դեպի ձախ ձախ համարները և ստանալ 0:

Հնարավոր չէ հաշվել 8 թվեր մի շարք դրական ամբողջ թվերից 7-ից ձախ: 7 - 8 գործողությունները կատարելի դարձնելու համար ընդլայնել դրական ամբողջ թվերի շարքը: Դա անելու համար, զրոյից ձախ, մենք գրում ենք (աջից ձախ) ըստ բոլոր բնական թվերի, յուրաքանչյուրին ավելացնելով նշան ՝ նշելով, որ այս թիվը զրոյի ձախ կողմում է:

Գրառումներ -1, -2, -3, ... կարդացեք մինուս 1, մինուս 2, մինուս 3 և այլն:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Ստացված թվերի շարքը կոչվում է մի շարք ամբողջ թվերի... Այս մուտքի ձախ և աջ կետերը նշանակում են, որ շարքը կարող է շարունակվել անվերջ աջից և ձախից:

Այս շարքում 0 թվի աջ կողմում կան այն թվերը, որոնք կանչվում են բնական կամ ամբողջ դրական (հակիրճ - դրական).

Այս շարքում 0 համարի ձախ կողմում կան այն թվերը, որոնք կանչվում են ամբողջովին բացասական (հակիրճ - բացասական).

0 թիվը ամբողջ թիվ է, բայց դա ոչ դրական է, ոչ էլ բացասական: Այն առանձնացնում է դրական և բացասական թվերը:

Հետևաբար, ամբողջ թվերի շարքը բաղկացած է բացասական ամբողջ թվերից, զրո և դրական ամբողջ թվերից.

Ամբողջ թվերի համեմատություն

Համեմատեք երկու ամբողջ թիվ - նշանակում է ՝ պարզել, թե դրանցից որն է ավելի մեծ, որն է պակաս, կամ որոշել, որ թվերը հավասար են:

Ամբողջ թվերը կարող եք համեմատել ՝ օգտագործելով մի շարք ամբողջ թվեր, քանի որ դրանում թվերը տեղակայված են ամենափոքրից մեծ, եթե շարքի երկայնքով շարժվում եք ձախից աջ Հետևաբար, ամբողջ թվերի շարքում ստորակետերը կարող եք փոխարինել պակաս նշանով.

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Հետևաբար, երկու ամբողջ թվից, այնքան մեծ է շարքում աջից աջը, իսկ փոքրը ՝ ձախիցնշանակում է.

1) zeroրոյից մեծ և ցանկացած բացասական թվից մեծ ցանկացած դրական թիվ.

1 > 0; 15 > -16

2) զրոյից պակաս ցանկացած բացասական թիվ.

7 < 0; -357 < 0

3) Երկու բացասական թվերից ամենամեծն ամբողջ թվերի շարքում աջն է:

Թիվ- դարերի ընթացքում փոխված ամենակարևոր մաթեմատիկական հայեցակարգը:

Թվի մասին առաջին գաղափարներն առաջացել են մարդկանց, կենդանիների, մրգերի, տարբեր ապրանքների և այլնի հաշվարկից: Արդյունքում ստացվում են բնական թվեր. 1, 2, 3, 4, ...

Պատմականորեն թիվ հասկացության առաջին ընդլայնումը բնական թվին կոտորակային թվերի գումարումն է:

Մասկոչվում է միավորի մի մաս (բաժին) կամ դրա մի քանի հավասար մասեր:

Նշանակված ՝, որտեղ մ, ն- ամբողջական թվեր;

10 հայտարարով կոտորակներ նորտեղ ն- ամբողջ թիվ, կոչվում է տասնորդական: .

Տասնորդական կոտորակների շարքում հատուկ տեղ է գրավում պարբերական կոտորակներ: - մաքուր պարբերական կոտորակ, - խառը պարբերական կոտորակ:

Թվի հասկացության հետագա ընդլայնման պատճառը բուն մաթեմատիկայի զարգացումն է (հանրահաշիվ): Դեկարտը 17-րդ դարում: ներկայացնում է հայեցակարգը բացասական թիվ.

Կոչվում են ամբողջ թիվ (դրական և բացասական), կոտորակային (դրական և բացասական) և զրո թվեր ռացիոնալ թվեր... Rationանկացած ռացիոնալ թիվ կարող է գրվել որպես վերջավոր և պարբերական կոտորակ:

Անընդհատ փոփոխվող մեծությունները ուսումնասիրելու համար պարզվեց, որ անհրաժեշտ է նորից ընդլայնել համարի հասկացությունը `իրական (իրական) թվերի ներդրումը` ռացիոնալ թվերին ավելացնելով իռացիոնալ թվեր իռացիոնալ թվերտասնորդական ոչ պարբերական կոտորակներ են:

Իռացիոնալ թվերը հայտնվեցին անհամեմատելի հատվածները (քառակուսի կողմը և անկյունագիծը) չափելիս, հանրահաշվում `արմատներ հանելիս, տրանսցենդենտալ, իռացիոնալ թվերի օրինակ է π ե .

Համարներ բնական(1, 2, 3,...), ամբողջական(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), բանական(ներկայացվում է որպես կոտորակ) և իռացիոնալ(ներկայացված չէ որպես կոտորակ) ) կազմել մի շարք իրական (իրական)թվեր

Մաթեմատիկայում կոմպլեքս թվերն առանձնացվում են առանձին:

Բարդ թվերառաջանում են գործի համար քառակուսիներ լուծելու խնդրի հետ կապված Դ< 0 (здесь Դ Քառակուսային հավասարումը խտրական է): Երկար ժամանակ այս թվերը ֆիզիկական կիրառում չէին գտնում, ուստի դրանք կոչվում էին «մտացածին» թվեր: Սակայն այժմ դրանք շատ լայնորեն օգտագործվում են ֆիզիկայի և տեխնոլոգիայի տարբեր ոլորտներում ՝ էլեկտրատեխնիկա, հիդրո և աերոդինամիկա, առաձգականության տեսություն և այլն:

Բարդ թվեր գրված են որպես ՝ z \u003d ա+ բի... Ահա ա և բ – իրական թվեր, և ես – երեւակայական միավոր, այսինքն.ե. ես 2 = -1 Թիվ ակոչված աբսիցա, ա բ -ձեռնադրել բարդ թիվ ա+ բի. Երկու բարդ թվեր ա+ բիև ա - բիկոչվում են ասոցացված բարդ թվեր:

Հատկություններ.

1. Իրական համար և կարող է նաև գրվել որպես բարդ թիվ. ա+ 0եսկամ ա -0ես... Օրինակ 5 + 0 ես և 5 - 0 ես նշանակում է նույն 5-ը:

2. Համալիր թիվ 0 + բի կոչված զուտ մտացածին թիվ... Ձայնագրությունը բինշանակում է նույնը, ինչ 0 + բի.

3. Երկու բարդ թվեր ա+ բի և գ+ դի հավասար են համարվում, եթե ա= գև բ= դ... Հակառակ դեպքում բարդ թվերը հավասար չեն:

Գործողություններ.

Լրացում Բարդ թվերի հանրագումարը ա+ բի և գ+ դիկոչվում է բարդ թիվ ( ա+ գ) + (բ+ դ)ես. Այս կերպ, Կոմպլեքս թվեր ավելացնելիս դրանց աբսիսցաներն ու կանոնադրությունները գումարվում են առանձին:

Հանում: Երկու բարդ թվերի տարբերություն ա+ բի(նվազում է) և գ+ դի (հանված) կոչվում է բարդ թիվ ( ա - գ) + (բ - դ)ես. Այս կերպ, երբ երկու բարդ թվեր հանում են, դրանց աբսիսցաներն ու օրդինատները հանվում են առանձին:

Բազմապատկում: Բարդ թվերի արտադրյալ ա+ բի և գ+ դիկոչվում է բարդ թիվ.

(ac - bd) + (Հայտարարություն+ մ.թ.ա.)ես. Այս սահմանումը բխում է երկու պահանջներից.

1) թվեր ա+ բի և գ+ դիպետք է բազմապատկվի հանրահաշվական երկիշխանությունների նման,

2) համարը ես ունի հիմնական հատկությունը. ես 2 = –1.

ՕՐԻՆԱԿ ( ա + բի)(ա - բի)\u003d ա 2 + բ 2 . Հետևաբար, կազմըերկու համակցված բարդ թվեր հավասար են իրական դրական թվին:

Բաժին Բաժանիր բարդ թիվ ա+ բի(բաժանվող) մյուսի կողմից գ+ դի (բաժանարար) - նշանակում է գտնել երրորդ համարը ե+ զ ես (զրուցարան), որը բազմապատկվում է բաժանարարով գ+ դի, հանգեցնում է շահաբաժնի ա+ բի. Եթե \u200b\u200bբաժանարարը զրո չէ, բաժանումը միշտ էլ հնարավոր է:

PRI ինձ r. Գտեք (8 +) ես) : (2 – 3ես) .

Լուծում. Եկեք այս հարաբերակցությունը վերաշարադրենք որպես կոտորակ.

Նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով 2 + 3-ով եսև բոլոր վերափոխումները կատարելուց հետո մենք ստանում ենք.

Վարժություն 1. Ավելացնել, հանել, բազմապատկել և բաժանել z 1 վրա z 2

Քառակուսի արմատը հանելը. Լուծիր հավասարումը x 2 = -ա Այս հավասարումը լուծելու համար մենք ստիպված ենք օգտագործել նոր տիպի համարներ - երեւակայական թվեր ... Այս կերպ, երեւակայական զանգահարել է համար որի երկրորդ հզորությունը բացասական թիվ է... Ըստ երեւակայական թվերի այս սահմանման, մենք կարող ենք սահմանել և երեւակայական միավոր:

Հետո հավասարության համար x 2 \u003d - 25 մենք ստանում ենք երկու երեւակայական արմատ:

Առաջադրանք 2: Լուծեք հավասարումը.

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Բարդ թվերի երկրաչափական ներկայացում: Իրական թվերը ներկայացված են թվային գծի կետերով.

Այստեղ կետը Անշանակում է թիվ –3, կետ Բ–Թիվ 2, և Ո-զրո. Ի հակադրություն, բարդ թվերը ներկայացված են կոորդինատային հարթության կետերով: Դրա համար երկու առանցքների վրա էլ ընտրում ենք ուղղանկյուն (կարտեզյան) կոորդինատները նույն մասշտաբով: Հետո բարդ թիվը ա+ բիկներկայացվի կետով Աբսիսսայովև եւ ձեռնադրեքբ... Այս կոորդինատային համակարգը կոչվում է բարդ ինքնաթիռ .

Մոդուլ բարդ թիվը վեկտորի երկարությունն է ՕՊկոորդինատի վրա ներկայացնում է բարդ թիվ ( ինտեգրված) Ինքնաթիռ. Համալիր համարի մոդուլ ա+ բինշվում է | ա+ բի | կամ) նամակ ռ և հավասար է

Համակցված բարդ թվերը ունեն նույն մոդուլը:

Նկարչության նախագծման կանոնները գրեթե նույնն են, ինչ Կարտեզյան կոորդինատային համակարգում գծագրության համար: Առանցքների երկայնքով անհրաժեշտ է սահմանել չափը, նշեք.

ե
միավորը իրական առանցքի երկայնքով; Re z

երեւակայական միավորը երեւակայական առանցքի երկայնքով: Ես z

Առաջադրանք 3. Բարդ ինքնաթիռի վրա կառուցիր հետևյալ բարդ թվերը. , , , , , , ,

1. Exշգրիտ և մոտավոր թվեր:Թվերը, որոնք գործնականում հանդիպում ենք, երկու տեսակի են: Ոմանք տալիս են արժեքի իրական արժեքը, ոմանք էլ միայն մոտավոր: Առաջինը կոչվում է ճշգրիտ, երկրորդը ՝ մոտավոր: Շատ հաճախ ճշգրիտ համարի փոխարեն հարմար է օգտագործել մոտավոր թիվ, մանավանդ որ շատ դեպքերում ընդհանուր առմամբ անհնար է գտնել ճշգրիտ թիվ:

Այսպիսով, եթե նրանք ասում են, որ դասարանում 29 աշակերտ կա, ապա 29 թիվը ճշգրիտ է: Եթե \u200b\u200bասում են, որ Մոսկվայից Կիև հեռավորությունը 960 կմ է, ապա այստեղ 960 թիվը մոտավոր է, քանի որ, մի կողմից, մեր չափիչ գործիքները բացարձակ ճշգրիտ չեն, մյուս կողմից ՝ քաղաքներն ունեն որոշակի երկարություն:

Մոտավոր թվերով գործողությունների արդյունքը նույնպես մոտավոր թիվ է: Որոշակի գործողություններ կատարելով ճշգրիտ թվերի վրա (բաժանում, արմատների արդյունահանում), դուք կարող եք նաև ստանալ մոտավոր թվեր:

Մոտավոր հաշվարկների տեսությունը թույլ է տալիս.

1) իմանալով տվյալների ճշգրտության աստիճանը, գնահատել արդյունքների ճշգրտության աստիճանը.

2) տվյալներ վերցնել համապատասխան ճշգրտության աստիճանի, որը բավարար է արդյունքի պահանջվող ճշգրտությունն ապահովելու համար.

3) ռացիոնալացնել հաշվարկման գործընթացը `ազատելով այն հաշվարկներից, որոնք չեն ազդի արդյունքի ճշգրտության վրա:

2. Կլորացում:Մոտավոր թվեր ստանալու աղբյուրներից մեկը կլորացումն է: Կլորացրեք և՛ մոտավոր, և՛ ճշգրիտ թվերը:

Տրված թիվը նրա որոշ թվանշաններին կլորացնելը կոչվում է փոխարինել այն նոր թվով, որը ստացվում է տրվածից ՝ այս նիշի թվանշանի աջ կողմում գրված նրա բոլոր թվանշանները դեն նետելու կամ դրանք զրոներով փոխարինելու միջոցով: Այս զրոները սովորաբար ընդգծված են կամ գրված են ավելի ցածր: Կլորացված թվին կլորացվածին հնարավոր ամենամոտ մոտիկությունն ապահովելու համար պետք է օգտագործեք հետևյալ կանոնները. Համարը որոշակի թվանշանից մեկի վրա կլորացնելու համար այս թվանշանի թվանշանից հետո բոլոր նիշերը պետք է մերժեք և դրանք ամբողջ թվով փոխարինեք զրոներով: Այս դեպքում հաշվի են առնվում հետևյալը.

1) եթե դեն նետված նիշերի առաջին (ձախ) 5-ից պակաս է, ապա ձախ ձախ թվանշանը չի փոխվում (կլորացվում է անբավարարությամբ).

2) եթե առաջին նետված նիշը 5-ից մեծ է կամ հավասար է 5-ի, ապա վերջին ձախ թվանշանն ավելանում է մեկով (կլորացվում է ավելորդով):

Եկեք սա ցույց տանք օրինակներով: Շուրջը:

ա) մինչև տասներորդ 12.34.

բ) մինչեւ հարյուրերորդական 3.2465; 1038,785;

գ) մինչեւ հազարերորդներ 3.4335:

դ) մինչեւ 12375 հազ. 320729:

ա) 12,34 ≈ 12,3;

բ) 3.2465 ≈ 3.25; 1038,785 ≈ 1038,79;

գ) 3.4335 ≈ 3.434:

դ) 12375 12,000; 320729 ≈ 321000:

3. Բացարձակ և հարաբերական սխալներ:Exactշգրիտ թվի և դրա մոտավոր արժեքի տարբերությունը կոչվում է մոտավոր թվի բացարձակ սխալ: Օրինակ, եթե ճշգրիտ 1.214-ը տասներորդերորդ մասով կլորացնեք, կստանաք մոտավոր 1.2 թիվ: Այս դեպքում մոտավոր թիվ 1.2-ի բացարձակ սխալը 1.214 - 1.2 է, այսինքն. 0,014:

Բայց շատ դեպքերում քննարկվող արժեքի ճշգրիտ արժեքը անհայտ է, բայց միայն մոտավոր: Այդ դեպքում անհայտ է նաև բացարձակ սխալը: Այս դեպքերում նշեք այն սահմանը, որը չի գերազանցում: Այս թիվը կոչվում է սահմանի բացարձակ սխալ: Նրանք ասում են, որ համարի ճշգրիտ արժեքը հավասար է նրա մոտավոր արժեքին `սահմանային սխալից պակաս սխալով: Օրինակ, 23,71 թիվը 23,7125 համարի մոտավոր արժեքն է 0,01 ճշգրտությամբ, քանի որ մոտավորության բացարձակ սխալը 0,0025 է և 0,01-ից պակաս: Այստեղ սահմանի բացարձակ սխալը 0,01 * է:

Մոտավոր թվի սահմանային բացարձակ սխալ ևնշվում են Δ խորհրդանիշով ա... Ձայնագրությունը

x≈ա(±Δ ա)

պետք է հասկանալ հետևյալը. քանակի ճշգրիտ արժեքը xթվերի արանքում է և– Δ աև և+ Δ և, որոնք կոչվում են համապատասխանաբար ստորին և վերին սահմաններ xև նշանակում է NG xՎ.Գ. x.

Օրինակ, եթե x3 2.3 (± 0.1), ապա 2.2<x< 2,4.

Ընդհակառակը, եթե 7.3< x< 7,4, тоx7,35 ֆունտ (± 0,05) Բացարձակ կամ սահմանային բացարձակ սխալը չի \u200b\u200bբնութագրում կատարված չափման որակը: Նույն բացարձակ սխալը կարելի է համարել զգալի և աննշան `կախված այն թվից, որով արտահայտվում է չափված արժեքը: Օրինակ, եթե մենք չափում ենք երկու քաղաքների հեռավորությունը մեկ կիլոմետր ճշգրտությամբ, ապա այդ ճշգրտությունը միանգամայն բավարար է այս փոփոխության համար, միևնույն ժամանակ, նույն փողոցի երկու տների միջև հեռավորությունը չափելիս այդ ճշգրտությունն անընդունելի կլինի: Հետևաբար, քանակի մոտավոր արժեքի ճշգրտությունը կախված է ոչ միայն բացարձակ սխալի մեծությունից, այլև չափված մեծության արժեքից: Հետեւաբար, ճշգրտության չափիչը հարաբերական սխալն է:

Հարաբերական սխալը բացարձակ սխալի հարաբերությունն է մոտավոր թվի արժեքին: Սահմանի բացարձակ սխալի հարաբերակցությունը մոտավոր թվին կոչվում է սահմանային հարաբերական սխալ; նշեք այն որպես հետևյալ. Ընդունված է արտահայտել հարաբերական և սահմանային հարաբերական սխալները տոկոսներով: Օրինակ, եթե չափումները ցույց տվեցին, որ հեռավորությունը xերկու կետերի միջեւ ավելի քան 12,3 կմ է, բայց պակաս է 12,7 կմ-ից, ապա այս երկու թվերի թվաբանական միջինն ընդունվում է որպես մոտավոր արժեք, այսինքն. դրանց կիսագումարը, ապա սահմանի բացարձակ սխալը հավասար է այս թվերի կես տարբերությանը: Այս դեպքում x12.5 ≈ (± 0.2): Այստեղ սահմանի բացարձակ սխալը 0,2 կմ է, իսկ սահմանը ՝ հարաբերական

1) Ես անմիջապես բաժանում եմ, քանի որ երկու թվերն էլ բաժանվում են 100% -ով `

2) Ես կբաժանեմ մնացած մեծ թվերով (և), քանի որ դրանք հավասարապես բաժանվում են (միևնույն ժամանակ, ես չեմ քայքայվի. Դա արդեն սովորական բաժանարար է).

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Ես այն մենակ կթողնեմ և կսկսեմ համարները թվարկել և: Երկու թվերն էլ բաժանվում են ըստ (ավարտվում են զույգ թվերով (այս դեպքում մենք ներկայացնում ենք որպես, կամ կարող ենք բաժանել)).

4) Մենք աշխատում ենք թվերի հետ և. Արդյո՞ք դրանք ընդհանուր գործոններ ունեն: Դա նույնքան հեշտ է, որքան նախորդ քայլերում, և դուք չեք ասի, այնպես որ հետագայում մենք դրանք պարզապես կբաժանենք հիմնական գործոնների.

5) Ինչպես տեսնում ենք, մենք ճիշտ էինք. Երկուսն էլ ընդհանուր բաժանարարներ չունեն, և այժմ մենք պետք է բազմապատկենք:
Դդ

Խնդիր թիվ 2: Գտեք 345 և 324 թվերի gcd- ն

Ես այստեղ չեմ կարող արագ գտնել գոնե մեկ ընդհանուր բաժանարար, ուստի ես պարզապես բաժանվում եմ հիմնական գործոնների (հնարավորինս քիչ).

Հենց GCD- ն ու ես ի սկզբանե չէինք ստուգում բաժանման նշանը, և միգուցե ստիպված չէի լինի այդքան գործողություններ կատարել:

Բայց դուք ստուգեցիք, չէ՞:

Ինչպես տեսնում եք, դա ամենևին էլ դժվար չէ:

Առնվազն ընդհանուր բազմապատիկ (LCM) - խնայում է ժամանակը, օգնում լուծել խնդիրները տուփից դուրս

Ասենք, որ դուք ունեք երկու թիվ - և. Ո՞րն է ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է և առանց մնացորդի (այսինքն ՝ ամբողջովին): Դժվար է պատկերացնել Ահա տեսողական հետք.

Հիշու՞մ եք, թե նամակն ինչ է ներկայացնում: Իշտ է, պարզապես ամբողջական թվեր: Այսպիսով, ո՞րն է x- ի հետ համապատասխանող ամենափոքր թիվը: :

Այս դեպքում.

Այս պարզ օրինակից հետևում են մի քանի կանոններ:

ՀԱՕԿ-ներն արագ գտնելու կանոններ

Կանոն 1. Եթե երկու բնական թվերից մեկը բաժանվում է մեկ այլ թվի, ապա այս երկու թվերից մեծը նրանց նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկն է:

Գտեք հետևյալ համարները.

• LCM (7; 21)
• LCM (6; 12)
• LCM (5; 15)
• LCM (3; 33)

Իհարկե, դուք հեշտությամբ հաղթահարեցիք այս առաջադրանքը և ստացաք պատասխանները, և.

Նկատենք, որ կանոնի մեջ մենք խոսում ենք ԵՐԿՈՒ թվերի մասին, եթե ավելի շատ թվեր կան, ապա կանոնը չի գործում:

Օրինակ, LCM (7; 14; 21) հավասար չէ 21-ի, քանի որ հավասարաչափ չի բաժանվում ըստ.

Կանոն 2. Եթե երկու (կամ ավելի քան երկու) թվեր հեղինակային իրավունքի են, ապա նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է դրանց արտադրյալին:

Գտեք ՀԱՕԿ հետևյալ համարները.

• LCM (1; 3; 7)
• LCM (3; 7; 11)
• LCM (2; 3; 7)
• LCM (3; 5; 2)

Դուք հաշվե՞լ եք: Ահա պատասխանները - ,; ...

Ինչպես պատկերացնում եք, միշտ չէ, որ հեշտ է վերցնել և ընտրել հենց այս x- ը, այնպես որ մի փոքր ավելի բարդ թվերի համար կա հետևյալ ալգորիթմը.

Եկեք պարապե՞նք:

Գտեք նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը - LCM (345; 234)

Մենք ընդլայնում ենք յուրաքանչյուր համարը.

Ինչու ես միանգամից գրեցի:

Հիշեք բաժանման նշանները ըստ. Բաժանվողի վրա (վերջին նիշը հավասար է) և թվանշանների հանրագումարը բաժանվում է ըստ:

Ըստ այդմ, մենք կարող ենք անմիջապես բաժանել ՝ գրելով այն ինչպես.

Այժմ մենք գրում ենք տողի ամենաերկար ընդլայնումը. Երկրորդը.

Եկեք դրան գումարենք առաջին ընդլայնման թվերը, որոնք մեր գրածի մեջ չկան.

Նշում. Մենք գրել ենք ամեն ինչ, բացի, քանի որ այն արդեն ունենք:

Այժմ մենք պետք է բազմապատկենք այս բոլոր թվերը:

Ինքներդ գտնեք նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը (LCM)

Ի՞նչ պատասխաններ ստացաք:

Ահա թե ինչ պատահեց ինձ հետ.

Որքան ժամանակ եք ծախսել գտնելու համար ՀԱՕԿ? Իմ ժամանակը 2 րոպե է, ես իսկապես գիտեմ մեկ հնարքորը ես առաջարկում եմ բացել հենց հիմա:

Եթե \u200b\u200bշատ ուշադիր եք, ապա հավանաբար նկատել եք, որ տրված թվերով մենք արդեն որոնել ենք Դդ և դուք կարող եք այդ օրինակից վերցնել այս թվերի գործոնացումը ՝ դրանով իսկ պարզեցնելով ձեր առաջադրանքը, բայց դա դեռ ամենը չէ:

Նայեք նկարին, միգուցե ինչ-որ այլ մտքեր գան ձեզ:

Լավ Թույլ տվեք մի հուշում տալ `փորձեք բազմապատկել ՀԱՕԿ և Դդ իրար մեջ և գրի բոլոր գործոնները, որոնք կլինեն բազմապատկելիս: Դուք հասցրե՞լ եք Դուք պետք է ավարտվեք հետևյալ շղթայով.

Ավելի մանրամասն նայեք դրան. Համեմատեք բազմապատկիչները ինչպես և ընդլայնված են:

Ի՞նչ եզրակացություն կարող եք անել դրանից: !Իշտ Եթե \u200b\u200bմենք բազմապատկենք արժեքները ՀԱՕԿ և Դդ իրար մեջ, ապա մենք ստանում ենք այս թվերի արտադրյալը:

Ըստ այդմ ՝ ունենալով թվեր և իմաստ Դդ (կամ ՀԱՕԿ), մենք կարող ենք գտնել ՀԱՕԿ (կամ Դդ) ըստ հետևյալ սխեմայի.

1. Գտիր թվերի արտադրյալը.

2. Արդյունքում ստացված աշխատանքը բաժանում ենք մերի վրա Դդ (6240; 6800) = 80:

Այսքանը:

Եկեք գրենք կանոնն ընդհանուր առմամբ.

Փորձիր գտնել Դդեթե հայտնի է, որ.

Դուք հասցրե՞լ եք ...

Բացասական թվերը «կեղծ թվեր» են և դրանց ճանաչումը մարդկության կողմից:

Ինչպես արդեն հասկացաք, սրանք թվեր են, որոնք հակառակ են բնական թվերին, այսինքն ՝

Թվում է, թե ի՞նչն է նրանց մեջ այդքան առանձնահատուկ:

Եվ փաստն այն է, որ բացասական թվերը մաթեմատիկայում «նվաճեցին» իրենց արժանի տեղը մինչև 19-րդ դարը (մինչև այդ պահը հսկայական տարաձայնություններ կային ՝ գոյություն ունեն, թե ոչ):

Բացասական թիվն ինքնին առաջացել է բնական թվերով նման գործողությունից `« հանում »:

Իսկապես, հանիր - դա բացասական թիվ է: Այդ պատճառով շատ բացասական թվեր հաճախ են կանչվում «Բնական թվերի բազմության ընդլայնում»:

Բացասական թվերը մարդիկ վաղուց չեն ճանաչում:

Այսպիսով, Հին Եգիպտոսը, Բաբելոնը և Հին Հունաստանը ՝ իրենց ժամանակի լույսերը, չէին ճանաչում բացասական թվեր, և եթե հավասարում բացասական արմատներ էին ստացվում (օրինակ, ինչպես մերն է), արմատները մերժվում էին որպես անհնար:

Առաջին անգամ բացասական թվերը ստացան իրենց գոյության իրավունքը Չինաստանում, իսկ հետո 7-րդ դարում Հնդկաստանում:

Ձեր կարծիքով, ո՞րն է այս ճանաչման պատճառը:

Իշտ է, բացասական թվերը սկսեցին նշանակել պարտքեր (հակառակ դեպքում `պակաս):

Ենթադրվում էր, որ բացասական թվերը ժամանակավոր արժեք են, որոնք, որպես արդյունք, կփոխվեն դրականի (այսինքն ՝ գումարը դեռ կվերադարձվի պարտատեր): Այնուամենայնիվ, հնդիկ մաթեմատիկոս Բրահմագուպտան նույնիսկ այդ ժամանակ համարում էր բացասական թվեր, որոնք հավասար են դրականների:

Եվրոպայում բացասական թվերի օգտակարությունը, ինչպես նաև այն փաստը, որ դրանք կարող են նշանակել պարտքեր, եկել են շատ ավելի ուշ, մի տեսակ ՝ հազարամյակ:

Առաջին հիշատակումը նկատվել է Պիզայի Լեոնարդի «Աբակի մատյանում» 1202 թվականին

Այսպիսով, 17-րդ դարում Պասկալը հավատում էր դրան:

Ի՞նչ եք կարծում, ինչո՞վ նա արդարացրեց դա:

Իշտ է ՝ «ոչինչ չի կարող պակաս լինել, քան ՈՉԻՆՉ»:

Այդ ժամանակների արձագանքը մնում է այն փաստը, որ բացասական թիվը և հանման գործողությունը նշվում են նույն խորհրդանիշով `մինուս« - »: Եվ ճշմարտությունը. "" Թիվը դրական է, որը հանվում է, կամ բացասական, որը գումարվում է: ... Ինչ-որ բան "ինչն է առաջինը` հավի կամ ձու "շարքից: Ահա այսպիսի մաթեմատիկական փիլիսոփայության մի տեսակ:

Բացասական թվերը համախմբեցին իրենց գոյության իրավունքը վերլուծական երկրաչափության գալուստով, այլ կերպ ասած, երբ մաթեմատիկոսները ներկայացրեցին այնպիսի հասկացություն, ինչպիսին է թվերի առանցքը:

Հենց այս պահից սկսվեց հավասարությունը: Այնուամենայնիվ, հարցերը դեռ ավելի շատ էին, քան պատասխանները, օրինակ ՝

համամասնություն

Այս համամասնությունը կոչվում է «Առնոյի պարադոքս»: Մտածեք, թե ինչն է դրանում կասկածելի:

Եկեք միասին խոսենք »« ավելին է, քան »« չէ՞: Այսպիսով, ըստ տրամաբանության, համամասնության ձախ կողմը պետք է ավելի մեծ լինի, քան աջը, բայց դրանք հավասար են ... Սա պարադոքս է:

Արդյունքում, մաթեմատիկոսները համաձայնվեցին այն կետի հետ, որ Կառլ Գաուսը (այո, այո, սա նա է, ով հաշվեց գումարի (կամ) թվերը) 1831 թ.-ին վերջ դրեց դրան:

Նա ասաց, որ բացասական թվերն ունեն նույն իրավունքները, ինչ դրականները, և այն փաստը, որ դրանք չեն տարածվում բոլորի վրա, ոչինչ չի նշանակում, քանի որ կոտորակները նույնպես չեն վերաբերում շատ բաների (չի պատահում, որ փորողը փոս փոսի, Դուք չեք կարող կինոյի տոմս գնել և այլն):

Մաթեմատիկոսները հանդարտվեցին միայն 19-րդ դարում, երբ բացասական թվերի տեսությունը ստեղծեցին Ուիլյամ Համիլթոնը և Հերման Գրասմանը:

Նրանք այնքան հակասական են, այս բացասական թվերը:

«Դատարկության» ի հայտ գալը կամ զրոյի կենսագրությունը:

Մաթեմատիկայում ՝ հատուկ թիվ:

Առաջին հայացքից սա ոչինչ է. Ավելացնել, հանել - ոչինչ չի փոխվի, բայց պարզապես պետք է այն նշանակես "" -ի աջին, և ստացված թիվը մի քանի անգամ ավելի մեծ կլինի, քան բնօրինակը:

Zeroրոյին բազմապատկելով ՝ մենք ամեն ինչ վերածում ենք ոչնչի և բաժանվում ենք «ոչնչի», այսինքն ՝ չենք կարող: Մի խոսքով ՝ կախարդական թիվ)

Eroրոյի պատմությունը երկար է ու շփոթեցնող:

Zeroրոյի հետքը հայտնաբերվել է մեր թվարկության 2-րդ հազարամյակում չինացիների գրություններում: և նույնիսկ ավելի վաղ ՝ Մայաներում: Greekրոյական խորհրդանիշի առաջին օգտագործումը, որն այսօր կա, տեսել են հույն աստղագետները:

Կան բազմաթիվ վարկածներ, թե ինչու է ընտրվել այս «ոչ մի բան» անվանումը:

Որոշ պատմաբաններ հակված են հավատալու, որ սա օմիկրոն է, այսինքն. Հունարեն բառի առաջին տառը ուդեն է: Մեկ այլ վարկածի համաձայն ՝ «օբոլ» բառը (գրեթե ոչ արժեք ունեցող մետաղադրամ) կյանք է հաղորդել զրոյական խորհրդանիշին:

Eroրոն (կամ զրոն) որպես մաթեմատիկական խորհրդանիշ առաջին անգամ հայտնվում է հնդիկների շրջանում (ուշադրություն դարձրեք, բացասական թվերը նույն տեղում սկսեցին «զարգանալ»):

Zeroրո ձայնագրության առաջին հավաստի վկայությունը սկիզբ է առել 876 թվին, և դրանցում "" համարի բաղադրիչ է:

Eroրոն նույնպես ուշացումով եկավ Եվրոպա. Միայն 1600 թ.-ին, և ինչպես բացասական թվերը, այն դիմագրավվեց (ինչ կարող ես անել, նրանք եվրոպացիներ են):

«Eroրոյին հաճախ ատում էին, երկար ժամանակ վախենում կամ նույնիսկ արգելում էին» - գրում է ամերիկացի մաթեմատիկոս Չարլզ Սեյֆը:

Այսպիսով, թուրքական սուլթան Աբդուլ-Համիդ II- ը XIX դարի վերջին: հրամայեց իր գրաքննիչներին ջնջել H2O ջրի բանաձևը քիմիայի բոլոր դասագրքերից ՝ «O» տառը վերցնելով զրոյի համար և չցանկանալով, որ իր սկզբնատառերը արատավորեն զզվելի զրոյի հարևանությամբ »:

Ինտերնետում կարող եք գտնել այս արտահայտությունը. «Eroրո-ն տիեզերքի ամենահզոր ուժն է, այն կարող է ամեն ինչ անել: Eroրոն կարգ է ստեղծում մաթեմատիկայում, և դա նույնպես քաոս է բերում դրան »: Բացարձակապես ճիշտ. :)

Բաժնի ամփոփում և հիմնական բանաձևեր

Ամբողջ թվերի ամբողջությունը բաղկացած է 3 մասից.

• բնական թվեր (դրանք ավելի մանրամասն կքննարկենք ստորև);
• բնական թվերից հակառակ թվեր;
• զրո - ""

Ամբողջ թվերի ամբողջությունը նշվում է նամակը Z.

1. Բնական թվեր

Բնական թվերը թվեր են, որոնք մենք օգտագործում ենք իրերը հաշվելու համար:

Նշված է բնական թվերի բազմությունը նամակը Ն.

Ամբողջ թվերի հետ գործառնություններում ձեզ հարկավոր է GCD և LCM գտնել:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD)

GCD գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

1. Քայքայեք թվերը պարզ գործոնների (թվերի, որոնք չեն կարող բաժանվել այլ բանի, քան ինքներդ ձեզ, կամ, օրինակ, և այլն):
2. Գրիր գործոնները, որոնք երկու թվերի մաս են կազմում:
3. Բազմապատկել դրանք:

Առնվազն ընդհանուր բազմապատիկ (LCM)

ՀԱՕԿ-ը գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

1. Տրոհեք թվերը հիմնական գործոնների (դուք արդեն գիտեք, թե ինչպես դա անել շատ լավ):
2. Գրեք թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոնները (ավելի լավ է վերցնել ամենաերկար շղթան):
3. Նրանց ավելացրու մնացած թվերի ընդլայնումներից բացակայող գործոնները:
4. Գտեք ստացված գործոնների արտադրանքը:

2. Բացասական թվեր

դրանք բնական թվերից հակառակ թվեր են, այսինքն ՝

Հիմա ուզում եմ լսել քեզ ...

Հուսով եմ, որ դուք գնահատեցիք այս բաժնի գերօգտակար «հնարքները» և հասկացաք, թե ինչպես դրանք կօգնեն ձեզ քննությանը:

Եվ որ ավելի կարեւոր է, կյանքում: Ես չեմ խոսում դրա մասին, բայց, հավատացեք, սա մեկն է: Արագ և առանց սխալների հաշվելու ունակությունը փրկում է շատ կյանքի իրավիճակներում:

Հիմա ձեր հերթն է:

Գրիր, հաշվարկներում կօգտագործե՞ս խմբավորման մեթոդներ, բաժանման չափանիշներ, gcd և LCM:

Միգուցե դրանք նախկինում օգտագործե՞լ եք: Որտեղ և ինչպե՞ս

Գուցե հարցեր ունեք: Կամ առաջարկություններ:

Մեկնաբանություններում գրեք, թե ինչպես եք հավանում հոդվածը:

Եվ հաջողություն ձեր քննություններին: