Integrala curbiliniară de tipul 2 se calculează în același mod ca integrala curbiliniară de tipul 1 prin reducere la cea definită. Pentru aceasta, toate variabilele de sub semnul integral sunt exprimate în termeni de o variabilă utilizând ecuația liniei de-a lungul căreia se realizează integrarea.

a) Dacă linia ABdat de un sistem de ecuații atunci

(10.3)

Pentru cazul planului, când curba este dată de ecuație integralul curbiliniar este calculat prin formula :. (10.4)

Dacă linia ABeste dat de ecuații parametrice atunci

(10.5)

Pentru cazul avionului, dacă linia AB date de ecuații parametrice , integralul curbiliniar este calculat prin formula:

, (10.6)

unde sunt valorile parametrului t,corespunzând punctelor de început și de sfârșit ale căii de integrare.

Dacă linia AB este netedă în bucăți, atunci ar trebui să se utilizeze proprietatea de aditivitate a integralei curvilinee prin rupere ABpe arcuri netede.

Exemplul 10.1Calculăm integralul curbiliniar de-a lungul unei căi alcătuite dintr-o porțiune de curbă dintr-un punct inainte de și arcuri de elipsă din punct inainte de .

Deoarece conturul este format din două părți, folosim proprietatea de aditivitate a integralei curvilinee: ... Să reducem ambele integrale la unele definite. O parte a conturului este dată de ecuația cu privire la variabilă ... Să folosim formula (10.4 ), în care vom schimba rolurile variabilelor. Acestea.

... După calcul, obținem .

Pentru a calcula integralul conturului Soaretrecem la forma parametrică de scriere a ecuației elipsei și folosim formula (10.6).

Acordați atenție limitelor integrării. Punct corespunde valorii și punctului corespunde Răspuns:
.

Exemplul 10.2.Calculăm de-a lungul unui segment de linie ABUnde A (1,2,3), B (2,5,8).

Decizie... Se dă o integrală curbiliniară de tipul 2. Pentru a calcula, trebuie să îl convertiți într-unul specific. Să compunem ecuațiile liniei drepte. Vectorul său de direcție are coordonate .

Ecuații canonice ale liniei drepte AB: .

Ecuații parametrice ale acestei linii drepte: ,

Când
.

Să folosim formula (10.5) :

Calculând integralul, obținem răspunsul: .

5. Lucrarea forței la deplasarea unui punct material cu unitatea de masă dintr-un punct în altul de-a lungul curbei .

Lăsați în fiecare punct al unei curbe netede se dă un vector cu funcții de coordonate continue:. Să rupem această curbă în părți mici cu puncte astfel încât în \u200b\u200bpunctele fiecărei părți valoarea funcției
ar putea fi considerată constantă și partea în sine ar putea fi luat ca un segment de linie dreaptă (vezi Fig. 10.1). Atunci ... Produsul scalar al unei forțe constante, al cărui rol îl joacă vectorul , printr-un vector de deplasare rectilinie este numeric egal cu munca efectuată de forță atunci când un punct material se deplasează de-a lungul ... Să compunem suma integrală ... În limită, cu o creștere nelimitată a numărului de partiții, obținem o integrală curbiliniară de al doilea fel

. (10.7) Astfel, semnificația fizică a integralei curvilinee de al doilea fel - este o muncă realizată cu forța la deplasarea unui punct material din ȘI la ÎN de-a lungul conturului L.

Exemplul 10.3.Să calculăm munca realizată de vector atunci când deplasați un punct de-a lungul porțiunii curbei Viviani, specificată ca intersecție a unei emisfere și cilindru , rulați în sens invers acelor de ceasornic când este privit din partea pozitivă a axei BOU.

Decizie... Să construim curba dată ca o linie de intersecție a două suprafețe (vezi fig. 10.3).

.

Pentru a reduce integrandul la o singură variabilă, trecem la un sistem de coordonate cilindrice: .

pentru că punctul se deplasează de-a lungul unei curbe , atunci este convenabil să alegeți ca parametru o variabilă care se modifică de-a lungul conturului astfel încât ... Apoi obținem următoarele ecuații parametrice pentru această curbă:

.Unde
.

Înlocuiți expresiile obținute în formula de calcul a circulației:

(- semnul + indică faptul că mișcarea punctului de-a lungul conturului este în sens invers acelor de ceasornic)

Să calculăm integralul și să obținem răspunsul: .

Sesiunea 11.

Formula lui Green pentru o regiune conectată simplu. Independența integralei curvilinee de calea integrării. Formula Newton-Leibniz. Găsirea unei funcții prin diferențialul său total folosind o integrală curbiliniară (cazuri plane și spațiale).

OL-1 cap.5, OL-2 cap.3, OL-4 cap.3 § 10, p. 10.3, 10.4.

Practică : OL-6 nr. 2318 (a, b, e), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327.2329 sau OL-5 nr. 10.79, 82, 133, 135, 139.

Construirea locuințelor pentru lecția 11: OL-6 nr. 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 sau OL-5 nr. 10.80, 134, 136, 140

Formula lui Green.

Să plecăm în avion este dat un domeniu conectat pur și simplu delimitat de un contur închis neted parțial. (O zonă se numește pur și simplu conectată dacă orice contur închis din ea poate fi tras împreună împreună într-un punct din această zonă).

Teorema... Dacă funcții și derivatele lor parțiale Datunci

Figura 11.1

- formula lui Green . (11.1)

Indică direcția de bypass pozitivă (în sens invers acelor de ceasornic).

Exemplul 11.1.Folosind formula lui Green, calculăm integralul de-a lungul unui contur format din segmente OA, OB și un arc mai mare al unui cerc puncte de legătură A și B,în cazul în care un , , .

Decizie... Să construim un contur (vezi Figura 11.2). Să calculăm derivatele necesare.

Figura 11.2

, ; , ... Funcțiile și derivatele lor sunt continue într-o zonă închisă mărginită de un contur dat. Această integrală este conform formulei lui Green.

După înlocuirea derivatelor calculate, obținem

... Calculăm integralul dublu, trecând la coordonatele polare:
.

Să verificăm răspunsul calculând integralul direct de-a lungul conturului ca o integral curbiliniar de al doilea fel.
.

Răspuns:
.

2. Independența integralei curvilinee de calea integrării.

Lasa și - puncte arbitrare ale unei zone conectate simplu pl. ... Integralele curvilinee calculate pe diferite curbe care leagă aceste puncte au în general semnificații diferite. Dar, în anumite condiții, toate aceste valori pot fi aceleași. Atunci integralul nu depinde de forma căii, ci depinde doar de punctele de început și de sfârșit.

Următoarele teoreme sunt valabile.

Teorema 1... Pentru integrală
nu depinde de forma căii care leagă punctele și este necesar și suficient ca această integrală de-a lungul oricărui contur închis să fie egală cu zero.

Teorema 2. ... Pentru integrală
de-a lungul oricărei bucle închise este egal cu zero, este necesar și suficient ca funcțiile și derivatele lor parțiale erau continue într-o zonă închisă Dși astfel încât condiția ( 11.2)

Astfel, dacă sunt îndeplinite condițiile pentru independența integralei de forma căii (11.2) , atunci este suficient să specificați doar punctele de început și de sfârșit: (11.3)

Teorema 3.Dacă condiția este îndeplinită într-un domeniu pur și simplu conectat, atunci există o funcție astfel încât. (11.4)

Această formulă se numește formula Newton - Leibniz pentru integralul curbiliniar.

Cometariu.Amintiți-vă că egalitatea este o condiție necesară și suficientă pentru exprimare
.

Apoi rezultă din teoremele formulate mai sus că dacă funcțiile și derivatele lor parțiale continuu într-o zonă închisă Dunde se dau puncte și , și apoi

a) există o funcție , astfel încât,

nu depinde de forma căii,

c) formula este valabilă Newton - Leibniz .

Exemplul 11.2... Să ne asigurăm că integrala
nu depinde de forma căii și calculați-o.

Decizie. .

Figura 11.3

Să verificăm îndeplinirea condiției (11.2).
... După cum puteți vedea, condiția este îndeplinită. Valoarea integrală nu depinde de calea de integrare. Să alegem calea integrării. Cel mai

cel mai simplu mod de a calcula este linia întreruptă ASVconectarea punctelor de început și de sfârșit ale căii. (Vezi Figura 11.3)

Atunci .

3. Găsirea unei funcții prin diferențialul ei total.

Folosind o integrală curbiliniară care nu depinde de forma căii, se poate găsi funcția cunoscând diferențialul său deplin. Această problemă este rezolvată după cum urmează.

Dacă funcții și derivatele lor parțiale continuu într-o zonă închisă Dși, atunci expresia este diferențialul total al unei funcții ... În plus, integralul
, în primul rând, nu depinde de forma căii și, în al doilea rând, poate fi calculată folosind formula Newton - Leibniz.

Să calculăm
doua feluri.

Figura 11.4

a) Alegeți un punct din zonă cu coordonate specifice și un punct cu coordonate arbitrare. Calculăm integralul curbiliniar de-a lungul unei linii întrerupte formate din două segmente de linie care leagă aceste puncte, cu unul dintre segmente paralel cu axa, iar celălalt cu axa. Atunci. (Vezi Figura 11.4)

Ecuația .

Ecuația .

Obținem: După ce am calculat ambele integrale, obținem o anumită funcție în răspuns.

b) Acum calculăm aceeași integral prin formula Newton - Leibniz.

Acum să comparăm două rezultate ale calculării aceleiași integrale. Partea funcțională a răspunsului de la punctul a) este funcția necesară , iar partea numerică este valoarea sa la punctul respectiv .

Exemplul 11.3.Asigurați-vă că expresia
este diferențialul total al unei funcții si gaseste-o. Să verificăm rezultatele calculării Exemplului 11.2 folosind formula Newton-Leibniz.

Decizie. Condiția existenței funcției (11.2) a fost verificat în exemplul anterior. Vom găsi această funcție, pentru care vom folosi Figura 11.4 și o vom lua pentru punct ... Să compunem și să calculăm integralul de-a lungul liniei întrerupte ASV,unde :

După cum sa menționat mai sus, partea funcțională a expresiei rezultate este funcția dorită
.

Să verificăm rezultatul calculelor din Exemplul 11.2 folosind formula Newton - Leibniz:

Rezultatele s-au potrivit.

Cometariu.Toate afirmațiile luate în considerare sunt valabile și pentru cazul spațial, dar cu o cantitate mare condiții.

Permiteți unei curbe netede să aparțină unei regiuni din spațiu ... Atunci, dacă funcțiile și derivatele lor parțiale sunt continue în domeniul închis în care punctele si si
(11.5 ), atunci

a) expresia este diferențialul total al unei funcții ,

b) integralul curbiliniar al diferențialului total al unei funcții nu depinde de forma căii și,

c) formula este valabilă Newton - Leibniz .(11.6 )

Exemplul 11.4... Să ne asigurăm că expresia este diferențialul total al unei funcții si gaseste-o.

Decizie. Pentru a răspunde la întrebarea dacă exprimare dată diferențial total al unei funcții , calculăm derivatele parțiale ale funcțiilor, ,. (Cm. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Aceste funcții sunt continue împreună cu derivatele lor parțiale în orice punct al spațiului.

Vedem că condițiile necesare și suficiente pentru existența : , , , etc.

Pentru a calcula funcția vom folosi faptul că integralul liniar nu depinde de calea de integrare și poate fi calculat folosind formula Newton-Leibniz. Lasă punctul - începutul căii și un anumit punct - sfârșitul căii . Calculăm integralul

de-a lungul unui contur format din segmente de linie paralele cu axele de coordonate. (vezi Figura 11.5).

.

Figura 11.5

Ecuații ale părților conturului :, ,
.

Atunci

, xfix aici, deci ,

Aici fix y, asa de .

Ca urmare, obținem:.

Acum calculăm aceeași integral prin formula Newton-Leibniz.

Să echivalăm rezultatele :.

Din egalitatea obținută rezultă că și

Lecția 12.

Integrală de suprafață de primul fel: definiție, proprietăți de bază. Reguli pentru calcularea unei integrale de suprafață de primul fel folosind o integrală dublă. Aplicații integrale de suprafață de primul tip: suprafața, masa unei suprafețe materiale, momentele statice în raport cu planurile de coordonate, momentele de inerție și coordonatele centrului de greutate. OL-1 Cap. 6, OL-2 Cap. 3, OL-4 § 11.

Practică: OL-6 nr. 2347, 2352, 2353 sau OL-5 nr. 10.62, 65, 67.

Tema pentru lecția 12:

OL-6 nr. 2348, 2354 sau OL-5 nr. 10.63, 64, 68.

16.3.2.1. Definiția unei integrale curvilinee de primul fel.Lăsați în spațiul variabilelor x, y, z se dă o curbă netedă pe bucăți pe care funcția f (x ,y ,z Împărțiți curba în părți prin puncte, alegeți un punct arbitrar pe fiecare dintre arcuri, găsiți lungimea arcului și compuneți suma integrală. Dacă există o limită a secvenței sumelor integrale la, care nu depinde de metoda împărțirii curbei în arce sau de alegerea punctelor, atunci funcția f (x ,y ,z ) se numește curbă-integrabilă, iar valoarea acestei limite se numește integral curbiliniar de primul fel sau integral curbiliniar de-a lungul lungimii arcului funcției f (x ,y ,z ) de-a lungul unei curbe și este notat (sau).

Teorema existenței. Dacă funcția f (x ,y ,z ) este continuu pe o curbă netedă în bucăți, apoi este integrabilă de-a lungul acestei curbe.

Caz curbat închis. În acest caz, un punct arbitrar al curbei poate fi luat ca punct de pornire și de sfârșit. În cele ce urmează, se va apela o curbă închisă contur și denotați cu o scrisoare DIN ... Faptul că curba de-a lungul căreia se calculează integralul este închisă este de obicei notată printr-un cerc pe semnul integral:.

16.3.2.2. Proprietățile unei integrale curvilinei de primul fel.Pentru această integrală, toate cele șase proprietăți sunt valabile pentru un dublu definit, integral triplu, din liniaritatea inainte de teorema valorii medii... Formulați-le și dovediți-le de unul singur... Cu toate acestea, pentru această integrală, a șaptea proprietate personală este, de asemenea, adevărată:

Independența unei integrale curvilinee de primul fel față de direcția curbei:.

Dovezi. Sumele integrale pentru integralele din partea dreaptă și stângă a acestei egalități, pentru orice partiție a curbei și alegerea punctelor, coincid (întotdeauna lungimea arcului), prin urmare, limitele lor sunt egale la.

16.3.2.3. Calculul unei integrale curvilinee de primul fel. Exemple.Fie curba dată de ecuații parametrice, unde sunt funcții care pot fi diferențiate continuu, și valorile parametrului să corespundă punctelor care definesc partiția curbei, adică ... Apoi (vezi secțiunea 13.3. Calculul lungimilor curbei). Prin teorema valorii medii, există un punct astfel încât. Să selectăm punctele obținute cu această valoare a parametrului :. Atunci suma integrală pentru integralul curbiliniar va fi egală cu suma integrală pentru integralul definit. Deoarece, atunci, trecând la limita at în egalitate, obținem

Astfel, calculul unei integrale curvilinee de primul fel se reduce la calculul unei integrale definite peste un parametru. Dacă curba este setată parametric, atunci această tranziție nu este dificilă; dacă se dă calitate descriere verbală curba, atunci principala dificultate poate fi introducerea unui parametru pe curbă. Subliniem încă o dată că integrarea se realizează întotdeauna în direcția creșterii parametrului.

Exemple. 1. Calculați, unde este o rotație a spiralei

Aici, trecerea la o integrală definită nu provoacă probleme: găsim și.

2. Calculați aceeași integrală de-a lungul segmentului de linie care leagă punctele și.

Aici nu există specificații parametrice directe ale curbei, așa mai departe AB trebuie să introduceți un parametru. Ecuațiile parametrice ale liniei drepte au forma unde este vectorul de direcție, este punctul liniei drepte. Luăm un punct ca punct, un vector ca vector de direcție:. Este ușor de văzut că punctul corespunde valorii, punctul cu valoarea, prin urmare.

3. Găsiți, unde este partea secțiunii cilindrului cu avionul z =x +1 în primul octant.

Decizie: Ecuațiile parametrice ale ghidului cerc - cilindru sunt de formă x \u003d 2cosj, y \u003d 2sinj și de atunci z \u003d x +1 atunci z \u003d 2cosj + 1. Asa de,

asa de

16.3.2.3.1. Calculul unei integrale curvilinee de primul fel. Carcasă plată.Dacă curba se află pe un anumit plan de coordonate, de exemplu, planul Ooh , și este dat de o funcție, atunci, luând în considerare x ca parametru, obținem următoarea formulă pentru calcularea integralei :. În mod similar, dacă curba este dată de o ecuație, atunci.

Exemplu. Calculați, unde este un sfert de cerc care se află în al patrulea cadran.

Decizie.1. Luând în considerare x ca parametru, obținem, prin urmare

2. Dacă luăm variabila ca parametru la , apoi și.

3. În mod natural, puteți lua ecuațiile parametrice obișnuite ale cercului :.

Dacă curba este specificată în coordonate polare, atunci, și.

Definiție: Să la fiecare punct al curbei netede L \u003d AB in avion Oxy dat funcție continuă două variabile f (x, y)... Împarte curba în mod arbitrar L pe n piese prin puncte A \u003d M 0, M 1, M 2, ... M n \u003d B. Apoi, pe fiecare dintre părțile rezultate \\ (\\ bar ((M) _ (i-1) (M) _ (i)) \\) selectați orice punct \\ (\\ bar ((M) _ (i)) \\ left ( \\ bar ((x) _ (i)), \\ bar ((y) _ (i)) \\ right) \\) și compuneți suma $$ (S) _ (n) \u003d \\ sum_ (i \u003d 1) ^ (n) f \\ left (\\ bar ((x) _ (i)), \\ bar ((y) _ (i)) \\ right) \\ Delta (l) _ (i) $$ unde \\ (\\ Delta ( l) _ (i) \u003d (M) _ (i-1) (M) _ (i) \\) - arc de arc \\ (\\ bar ((M) _ (i-1) (M) _ (i )) \\) ... Suma primită este apelată suma integrală de primul fel pentru funcție f (x, y) definit pe curba L.

Să denotăm prin d cea mai mare dintre lungimile arcurilor \\ (\\ bar ((M) _ (i-1) (M) _ (i)) \\) (astfel d \u003d \\ (max_ (i) \\ Delta (l) _ (i) \\)). Dacă la d? 0 există o limită a sumelor integrale S n (independent de metoda împărțirii curbei L în părți și de alegerea punctelor \\ (\\ bar ((M) _ (i)) \\)), atunci această limită se numește integral curbiliniar de ordinul întâi din funcție f (x, y) de-a lungul curbei L și notat cu $$ \\ int_ (L) f (x, y) dl $$

Se poate dovedi că dacă funcția f (x, y)este continuă, atunci integrala curvilinie \\ (\\ int_ (L) f (x, y) dl \\) există.

Proprietățile unei integrale curvilinei de primul fel

O integrală curbiliniară de primul fel are proprietăți similare cu proprietățile corespunzătoare ale unei integrale definite:

• aditivitate,
• liniaritate,
• evaluarea modulului,
• teorema valorii medii.

Cu toate acestea, există o diferență: $$ \\ int_ (AB) f (x, y) dl \u003d \\ int_ (BA) f (x, y) dl $$ adică integralul curbiliniar de primul fel nu depinde de direcția de integrare.

Calculul integralelor curvilinee de primul fel

Calculul unei integrale curvilinee de primul fel se reduce la calculul unei integrale definite. Și anume:

1. Dacă curba L este dată de o funcție diferențiată continuu y \u003d y (x), x \\ (\\ in \\), atunci $$ (\\ int \\ limits_L (f \\ left ((x, y) \\ right) dl)) \u003d (\\ int \\ limits_a ^ b (f \\ left ((x, y \\ left (x \\ right)) \\ right) \\ sqrt (1 + ((\\ left ((y "\\ left (x \\ right)) \\ dreapta)) ^ 2)) dx);) $$ în timp ce expresia \\ (dl \u003d \\ sqrt ((1 + ((\\ left ((y "\\ left (x \\ right)) \\ right)) ^ 2)) ) dx \\) se numește diferențialul lungimii arcului.
2. Dacă curba L este definită parametric, adică sub forma x \u003d x (t), y \u003d y (t), unde x (t), y (t) sunt funcții diferențiate continuu pe un anumit segment \\ (\\ left [\\ alpha, \\ beta \\ right] \\), apoi $$ (\\ int \\ limits_L (f \\ left ((x, y) \\ right) dl)) \u003d (\\ int \\ limits_ \\ alpha ^ \\ beta (f \\ left ((x \\ left (t \\ right), y \\ left (t \\ right)) \\ right) \\ sqrt (((\\ left ((x "\\ left (t \\ right)) \\ right)) ^ 2) + ((\\ left ((y" \\ left ( t \\ right)) \\ right)) ^ 2)) dt)) $$ Această egalitate se extinde la cazul unei curbe spațiale L definită parametric: x \u003d x (t), y \u003d y (t), z \u003d z ( t), \\ (t \\ in \\ left [\\ alpha, \\ beta \\ right] \\). În acest caz, dacă f (x, y, z) este o funcție continuă de-a lungul curbei L, atunci $$ (\\ int \\ limits_L (f \\ left ((x, y, z) \\ right) dl)) \u003d ( \\ int \\ limits_ \\ alpha ^ \\ beta (f \\ left [(x \\ left (t \\ right), y \\ left (t \\ right), z \\ left (t \\ right)) \\ right] \\ sqrt ((( \\ left ((x "\\ left (t \\ right)) \\ right)) ^ 2) + ((\\ left ((y" \\ left (t \\ right)) \\ right)) ^ 2) + ((\\ left ((z "\\ left (t \\ right)) \\ right)) ^ 2)) dt)) $$
3. Dacă o curbă plană L este dată de ecuația polară r \u003d r (\\ (\\ varphi \\)), \\ (\\ varphi \\ in \\ left [\\ alpha, \\ beta \\ right] \\), atunci $$ (\\ int \\ limitele_L (f \\ left ((x, y) \\ right) dl)) \u003d (\\ int \\ limits_ \\ alpha ^ \\ beta (f \\ left ((r \\ cos \\ varphi, r \\ sin \\ varphi) \\ right) \\ sqrt ((r ^ 2) + (((r) ") \u200b\u200b^ 2)) d \\ varphi)) $$

Integrale curvilinee de primul fel - exemple

Exemplul 1

Calculați o integrală curbiliniară de primul fel

$$ \\ int_ (L) \\ frac (x) (y) dl $$ unde L este arcul parabolei y 2 \u003d 2x, închis între punctele (2,2) și (8,4).

Soluție: Găsiți diferențialul arcului dl pentru curba \\ (y \u003d \\ sqrt (2x) \\). Avem:

\\ ((y) "\u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (2x)) \\) $$ dl \u003d \\ sqrt (1+ \\ left ((y)" \\ right) ^ (2)) dx \u003d \\ sqrt ( 1+ \\ left (\\ frac (1) (\\ sqrt (2x)) \\ right) ^ (2)) dx \u003d \\ sqrt (1+ \\ frac (1) (2x)) dx $$ Prin urmare, această integral este: $ $ \\ int_ (L) \\ frac (x) (y) dl \u003d \\ int_ (2) ^ (8) \\ frac (x) (\\ sqrt (2x)) \\ sqrt (1+ \\ frac (1) (2x )) dx \u003d \\ int_ (2) ^ (8) \\ frac (x \\ sqrt (1 + 2x)) (2x) dx \u003d $$ $$ \\ frac (1) (2) \\ int_ (2) ^ (8 ) \\ sqrt (1 + 2x) dx \u003d \\ frac (1) (2). \\ frac (1) (3) \\ left (1 + 2x \\ right) ^ (\\ frac (3) (2)) | _ ( 2) ^ (8) \u003d \\ frac (1) (6) (17 \\ sqrt (17) -5 \\ sqrt (5)) $$

Exemplul 2

Calculați integralul curbiliniar de primul fel \\ (\\ int_ (L) \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) dl \\), unde L este cercul x 2 + y 2 \u003d ax (a\u003e 0).

Soluție: Introduceți coordonatele polare: \\ (x \u003d r \\ cos \\ varphi \\), \\ (y \u003d r \\ sin \\ varphi \\). Apoi, din moment ce x 2 + y 2 \u003d r 2, ecuația cercului are forma: \\ (r ^ (2) \u003d arcos \\ varphi \\), adică \\ (r \u003d acos \\ varphi \\) și diferențialul a arcului $$ dl \u003d \\ sqrt (r ^ 2 + (2) "^ 2) d \\ varphi \u003d $$ $$ \u003d \\ sqrt (a ^ 2cos ^ 2 \\ varphi \u003d a ^ 2sin ^ 2 \\ varphi) d \\ varphi \u003d ad \\ varphi $$ ...

Mai mult, \\ (\\ varphi \\ in \\ left [- \\ frac (\\ pi) (2), \\ frac (\\ pi) (2) \\ right] \\). Prin urmare, $$ \\ int_ (L) \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) dl \u003d a \\ int _ (- \\ frac (\\ pi) (2)) ^ (\\ frac (\\ pi) (2)) acos \\ varphi d \\ varphi \u003d 2a ^ 2 $$

Este mai convenabil să calculați volumul în coordonate cilindrice... Ecuația unei zone de limitare a cercului D, a unui con și a unui paraboloid

respectiv ia forma ρ \u003d 2, z \u003d ρ, z \u003d 6 - ρ 2. Ținând cont de faptul că acest corp este simetric față de planurile xOz și yOz. avem

	6− ρ 2
V \u003d 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz \u003d 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z				6 ρ - ρ 2 d ρ \u003d

4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ - ρ3 - ρ2) d ρ \u003d

2 d ϕ \u003d

4 ∫ 2 (3 ρ 2 -

∫ 2 d ϕ \u003d

32π

Dacă simetria nu este luată în considerare, atunci

6− ρ 2

32π

V \u003d ∫

dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz \u003d

3. INTEGRALE CURV-LINEARE

Să generalizăm conceptul unei integrale definite la cazul în care regiunea de integrare este o anumită curbă. Integralele de acest fel se numesc curvilinee. Există două tipuri integrale curvilinee: integral curbiliniar peste lungimea arcului și integral curbiliniar peste coordonate.

3.1. Determinarea integralei curvilinei de primul tip (de-a lungul lungimii arcului). Fie funcția f (x, y) definit de-a lungul unui plan în bucăți

o linie1 curbă L ale cărei capete sunt punctele A și B. Împărțim curba L într-un mod arbitrar în n părți cu punctele M 0 \u003d A, M 1, ... M n \u003d B. Pe

pentru fiecare dintre arcurile parțiale M i M i + 1 alegem un punct arbitrar (x i, y i) și calculăm valorile funcției f (x, y) la fiecare dintre aceste puncte. Cantitate

1 O curbă se numește netedă dacă în fiecare dintre punctele sale există o tangentă care se schimbă continuu de-a lungul curbei. O curbă netedă în bucăți este o curbă formată dintr-un număr finit de piese netede.

n− 1
σ n \u003d ∑ f (x i, y i) ∆ l i,

i \u003d 0

unde Δ l i este lungimea arcului parțial M i M i + 1, se numește sumă integrală

pentru funcția f (x, y) de-a lungul curbei L. Să denotăm cea mai mare dintre lungimi
arcuri parțiale M i M i + 1, i \u003d
	0, n - 1 până la λ, adică λ \u003d max ∆ l i.
		0 ≤i ≤n −1
Dacă există o limită finită I a sumei integrale (3.1)
tendind la zero din cea mai mare dintre lungimile arcurilor parțiale M i M i + 1,
nu depinde nici de metoda de împărțire a curbei L în arcuri parțiale, nici de

alegerea punctelor (x i, y i), atunci se numește această limită integral curbiliniar de primul tip (integral curbiliniar peste lungimea arcului)a funcției f (x, y) de-a lungul curbei L și este notată cu simbolul ∫ f (x, y) dl.

Astfel, prin definiție
n− 1
I \u003d lim ∑ f (xi, yi) ∆ li \u003d ∫ f (x, y) dl.
λ → 0 i \u003d 0

Funcția f (x, y) este numită în acest caz integrabil de-a lungul curbeiL,

curba L \u003d AB - de conturul integrării, A - de inițială și B - de punctele finale de integrare, dl - de elementul lungimii arcului.

Observație 3.1. Dacă în (3.2) punem f (x, y) ≡ 1 pentru (x, y) L, atunci

obținem o expresie pentru lungimea arcului L sub forma unei integrale curvilinee de primul tip

l \u003d ∫ dl.

Într-adevăr, rezultă din definiția unei integrale curvilinee că
	dl \u003d lim n - 1
		∆l	Lim l \u003d l.
	λ → 0 ∑		λ→ 0
	i \u003d 0
3.2. Proprietățile de bază ale unei integrale curvilinei de primul tip
sunt similare cu proprietățile unei integrale definite:
1 pag. ∫ [f1 (x, y) ± f2 (x, y)] dl \u003d ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl.
2 o. ∫ cf (x, y) dl \u003d c ∫ f (x, y) dl, unde c este o constantă.
				și L, nu
3 o. Dacă conturul integrării L este împărțit în două părți L

având puncte interioare comune, atunci

∫ f (x, y) dl \u003d ∫ f (x, y) dl + ∫ f (x, y) dl.

4 o. Observăm în special că valoarea integralei curvilinee de primul tip nu depinde de direcția de integrare, deoarece valorile funcției f (x, y) sunt implicate în formarea sumei integrale ( 3.1)

puncte și lungimi arbitrare ale arcurilor parțiale ∆ l i, care sunt pozitive,

indiferent de ce punct al curbei AB este considerat a fi inițial și care este final, adică

	f (x, y) dl \u003d ∫ f (x, y) dl.
3.3. Calculul integralei curvilinei de primul tip
se reduce la calcularea integralelor definite.
	x \u003d x (t)
Fie curba L date de ecuații parametrice		y \u003d y (t)

Fie α și β valorile parametrului t corespunzătoare originii (punctul A) și

final (punctul B)

[α , β ]

x (t), y (t) și

derivate

x (t), y (t)

Continuu

f (x, y) -

este continuu de-a lungul curbei L. Din cursul de calcul diferențial

funcții ale unei variabile se știe că

dl \u003d (x (t))

+ (y (t))

∫ f (x, y) dl \u003d ∫ f (x (t), y (t))

(x (t)

+ (y (t))

∫ x2 dl,

Exemplul 3.1.

calculati

cercuri

x \u003d a cos t

0 ≤ t ≤

y \u003d a sin t

Decizie. Deoarece x (t) \u003d - a sin t, y (t) \u003d a cos t, atunci

dl \u003d

(- a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt \u003d a2 sin 2 t + cos 2 tdt \u003d adt

iar prin formula (3.4) obținem

Cos 2t) dt \u003d

păcatul 2t

∫ x2 dl \u003d ∫ a2 cos 2 t adt \u003d a

3 ∫

πa 3

păcatul π

L set

ecuaţie

y \u003d y (x),

a ≤ x ≤ b

y (x)

este continuă împreună cu derivata sa y

(x) pentru a ≤ x ≤ b, atunci

dl \u003d

1+ (y (x))

iar formula (3.4) ia forma

∫ f (x, y) dl \u003d ∫ f (x, y (x))

(y (x))

L set

x \u003d x (y), c ≤ y ≤ d

x y)

ecuaţie

este continuă împreună cu derivata sa x (y) pentru c ≤ y ≤ d, atunci

dl \u003d

1+ (x (y))

iar formula (3.4) ia forma

∫ f (x, y) dl \u003d ∫ f (x (y), y)

1 + (x (y))

Exemplul 3.2. Calculați ∫ ydl, unde L este arcul parabolei

2 x din

punctul A (0,0) până la punctul B (2,2).

Decizie. Calculăm integralul în două moduri, aplicând

formule (3.5) și (3.6)

1) Folosim formula (3.5). pentru că

2x (y ≥ 0), y ′

2 x \u003d

2 x,

dl \u003d

1+ 2 x dx,

3 / 2 2

1 (5

3 2 − 1) .

∫ ydl \u003d ∫

2 x + 1 dx \u003d ∫ (2 x + 1) 1/2 dx \u003d

1 (2x + 1)

2) Folosim formula (3.6). pentru că

x \u003d 2, x

Da, dl

1 + y

		y 1 + y 2 dy \u003d		(1 + y				/ 2 2
∫ ydl \u003d ∫
				3 / 2

1 3 (5 5 − 1).

Observație 3.2. În mod similar cu cel luat în considerare, putem introduce conceptul unei integrale curvilinee a primului tip de funcție f (x, y, z) peste

curbă spațială netedă bucată L:

Dacă curba L este dată de ecuațiile parametrice

α ≤ t ≤ β, atunci

dl \u003d

(x (t))

(YT))

(z (t))

∫ f (x, y, z) dl \u003d

= ∫

dt.

f (x (t), y (t), z (t)) (x (t))

(YT))

(z (t))

x \u003d x (t), y \u003d y (t)

z \u003d z (t)

Exemplul 3.3. Calculați (2 z - x 2 + y 2) dl, unde L este arcul curbei

x \u003d t cos t	0 ≤ t ≤ 2 π.
y \u003d t sin t
z \u003d t
	x ′ \u003d cost - t sint, y ′ \u003d sint + t cost, z ′ \u003d 1,
	dl \u003d	(cos t - t sin t) 2 + (sin t + t cos t) 2 + 1 dt \u003d

Cos2 t - 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt \u003d

2 + t2 dt.

Acum, prin formula (3.7), avem

∫ (2z -

x2 + y2) dl \u003d ∫ (2 t -

t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t)

2 + t 2 dt \u003d

T 2)

= ∫

t 2 + t

dt \u003d

4 π

− 2 2

cilindric

suprafete,

care este compus din perpendiculare la

avion xOy,

restaurat în puncte

(X y)

L \u003d AB

și având

este masa curbei L având o densitate liniară variabilă ρ (x, y)

a cărei densitate liniară se modifică conform legii ρ (x, y) \u003d 2 y.

Decizie. Pentru a calcula masa arcului AB, folosim formula (3.8). Arcul AB este definit parametric, prin urmare, pentru a calcula integralul (3.8), folosim formula (3.4). pentru că

1+ t

dt,

x (t) \u003d 1, y (t) \u003d t, dl \u003d

3/ 2 1

1 (1+ t

m \u003d ∫ 2 ydl \u003d ∫

1 2 + t2 dt \u003d ∫ t 1 + t2 dt \u003d

(2 3 / 2 −

1) =

2 2 − 1.

3.4. Definiția unei integrale curvilinee de al doilea tip (de

coordonate). Să funcția

f (x, y) este definit de-a lungul planului

bucată lină curbă L, ale cărei capete sunt punctele A și B. Din nou

arbitrar

pauză

curba L

M 0 \u003d A, M 1, ... M n \u003d B De asemenea, alegem în limite

fiecare parțială

arcuri M i M i + 1

punct arbitrar

(xi, yi)

și calculați

Se încarcă ...