տրանսցենդենտալ Սիսլո. Čo je transcendencia alebo prečo sa nemôžeme poznať Transcendentné číslo e

Իջա Շչուրով

Matematik Իլյա Շչուրովը desatinných zlomkoch, transcendencii a iracionalite Pi.

Ako ten «jeden» pomohol vybudovať prve mestá a veľké ríše? Ako ste inšpirovali vynikajúce mysle ľudstva? Akú úlohu zohrala pri vzniku peňazí? Ako sa “jedna” spojila s nulou, aby vládla ժամանակակից սվետե? História jednotky je neoddeliteľne spojená s Históriou Európskej Civilizácie. Թերի Ջոնս Pomocou počítačovej grafiky v tomto programe jednotka ožíva rôznymi spôsobmi. Z histórie jednotky je jasné, odkiaľ sa vzali moderné čísla a ako nás vynález nuly zachránil od toho, aby sme dnes museli používať rímske číslice.

Ժակ Սեզիանո

O Diofantovi vieme malo. Zda sa, že žil v Alexandrii. Žiaden grécky matematik ho pred 4. storočím nespomína, takže žil pravdepodobne v polovici 3. storočia. Նայվիակ հլավնա պրակա Diophantus, «Aritmetika» (Ἀριθμητικά), sa odohrala na začiatku 13 «kníh» (βιβλία), t.j. Կապիտոլիում. Dnes ich máme 10, a to. «Aritmetika» Diophantusa je predovšetkým súbor problémov, celkovo ich je asi 260. V skutočnosti neexistuje žiadna teória; v úvode knihy sú len všeobecné pokyny a v prípade potreby špecifické poznámky k niektorým problémom. «Aritmetika» už má črty հանրահաշիվը. Prvý si Diophantus užíva ռոզնե զնամենիա, na vyjadrenie neznámeho a jeho právomocí, aj niektoré výpočty; ako všetka հանրահաշիվ սիմվոլիկա stredoveku, jej symbolika pochádza z matematických slov. Potom Diophantus vysvetľuje, ako vyriešiť problém algebraickým spôsobom: Diofantinove problémy však nie sú algebraické v obvyklom zmysle, pretože takmer všetky sú redukované na riešenie neurčitej rovnice alebo sústavy takýchto rovníc.

Ջորջ Շաբաթ

Կուրզու ծրագիր. Պատմություն. Պրվե հոդնոտենիա. Խնդիր sumernosti obvodu kruhu s jeho priemerom. Nekonečné rady, արտադրել iné výrazy pre π. Konvergencia a jej kvalita. Výrazy obsahujuce π. Sekvencie, ktoré rýchlo konvergujú k π. Moderné metódy na výpočet π, použitie počítačov. O iracionalite a transcendencii π a niektorých ďalších čísel. Na pochopenie kurzu nie sú potrebné žiadne predchádzajúce znalosti.

Vedci z Oxfordskej univerzity uviedli, že prvé známe použitie čísla 0 na označenie absencie hodnoty miesta (ako v čísle 101) možno nájsť v texte indického rukopisu Bakh.

Վասիլի Պիսպանեն

Ով v detstve nehral hru «vymenuj najväčšie číslo»: Už teraz je ťažké predstaviť si milióny, bilióny a iné «-ony» v mysli, ale pokúsime sa rozoznať «mastodonta» v matematike – Grahamovo číslo.

Վիկտոր Կլեպտին

Real číslo možno ľubovoľne presne aproximovať racionálnymi číslami. A ako dobré môže byť takéto priblíženie v porovnaní s jeho zložitosťou? Napríklad prerušenie desiatkového zapisu čísla x at k-ta cislica za desatinnou čiarkou dostaneme aproximáciu x≈a/10^k s chybou rádovo 1/10^k. A vo všeobecnosti, ak zafixujeme menovateľa q aproximačného zlomku, určite dostaneme aproximáciu s chybou rádovo 1/q. A da sa to urobiť lepšie? Známa aproximácia π≈22/7 dáva chybu rádovo 1/1000, čo je jednoznačne oveľa lepšie, ako by sa dalo očakávať: A preco? Máme šťastie, že π má takúto aproximáciu? Ukazuje sa, že pre každé iracionálne číslo existuje nekonečne veľa zlomkov p/q, ktoré ho aproximujú lepšie ako 1/q^2. Toto tvrdí Dirichletova veta - a kurz začneme trochu neštandardným dôkazom.

V roku 1980 Guinessova kniha rekordov zopakovala Gardnerove tvrdenia, čo ešte viac podporilo záujem verejnosti o toto číslo. Գրահամովո veľke cisla, ako je googol, googolplex a ešte viac ako Skewesovo číslo a Moserovo číslo. V skutočnosti je celý pozorovateľný vesmír príliš malý na to, aby obsahoval bežné desatinné vyjadrenie Grahamovho čísla.

Դմիտրի Անոսով

Prednášky číta Anosov Dmitrij Viktorovič, doktor fyzikálnych a matematických vied, profesor, Academy Ruskej akadémie vied. Letná skola «Moderná matematika», Դուբնա. 16-18 հուլիսի 2002 թ

Na túto otázku nie je možné správne odpovedať, pretože číselny rad nemá hornu hranicu. K akémukoľvek číslu teda stačí pridať jedno a dostanete ešte väčšie číslo. Hoci samotné čísla sú nekonečné, nemajú príliš veľa vlastných mien, pretože väčšina z nich sa uspokojí s menami zloženými z menších čísel. Je jasné, že v konečnom subore čísel, ktoré ľudstvo ocenilo vlastným menom, musí byť nejaké najväčšie číslo. Ako sa však volá a čomu sa rovna? Skúsme na to prísť a zároveň zistiť, na aké veľké čísla prišli matematici.

čo nám pre a = 1 slúžilo na určenie súčtu geometrickej postupnosti. Za predpokladu, že Gaussova veta bola dokázaná, predpokladáme, že a = a 1 je koreň rovnice (17), takže.

	) = a n + a		a n-1			a n-2		ա 1 + ա

Odčítaním tohto výrazu od f(x) a preskupením členov dostaneme identitu.

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − an 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1):

(21) Teraz pomocou vzorca (20) môžeme extrahovať faktor x − a 1 z každého člena a potom ho vyňať zo zátvorky a stupeň polynómu, ktorý zostane v zátvorkách, bude už o jeden men. Opätovným preusporiadaním podmienok získame identitu

f(x) = (x - a1 )g(x),

kde g(x) je polynóm stupňa n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 +. . . + b1 x + b0 .

(Výpočet koeficientov označených b nás tu nezaujíma.) Aplikujme rovnaký արգումենտ ďalej na polynóm g(x): Podľa Gaussovej vety existuje koreň a2 rovnice g(x) = 0, takže

g(x) = (x - a2)h(x),

kde h(x) je nový polynóm stupňa už n − 2. Zopakovaním týchto արգումենտներ n − 1-krát.

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ).

Z ինքնությունը (22) vyplýva nielen to, že komplexné čísla a1 , a2 ,

A sú korene rovnice (17), ale aj skutočnosť, že rovnica (17) nemá žiadne iné korene. Ak by totiž číslo y bolo koreňom rovnice (17), potom by to vyplývalo z (22):

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0:

Ալե վիդելի սմե (ս. 115) Takže jeden z faktorov y − ar sa rovná 0, t.j. y = ar, čo je to, čo bolo potrebné stanoviť.

§ 6.

1. Օտարական գոյության սահմանում: Հանրահաշիվ číslo je akékoľvek číslo x, skutočné alebo imaginárne, ktoré spĺňa nejakú algebraickú rovnicu tvaru

an xn + an-1 xn-1 +. . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6 = 0),

130 MATEMATICKÁ NUMERICKÁ SÚSTAVA kap. II

kde čísla ai su celé čísla. Takže napríklad číslo 2 je algebraické, pretože spĺňa rovnicu

x2 - 2 = 0:

Rovnakým spôsobom je algebraickým číslom každý koreň akejkoľvek rovnice s celočíselnými koeficientmi tretieho, štvrtého, piateho, akéhokoľvek stupňa a bez akejkoľvek rovnice s celočíselnými koeficientmi tretieho. լոխ. Pojem algebraické číslo je prirodzeným zovšeobecnením pojmu racionálne číslo, ktoré zodpovedá konkrétnemu prípadu n = 1:

Nie každé realne číslo je algebraické. Vyplýva to z nasledujúcej Cantorovej vety: množina všetkých algebraických čísel je spočítateľná. Od množstva všetkých realne cisla nespočítateľné, potom musia nevyhnutne existovať realne čísla, ktoré nie sú algebraické.

Naznačme jednu z metód na prepočet množiny algebraických čísel. Každá rovnica tvaru (1) je spojená s kladnym celým číslom.

ը = |ան | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | +n,

ktorú pre stručnosť nazveme «výška» rovnice. Pre každú pevnú hodnotu n existuje len konečný počet rovníc tvaru (1) s výškou h. Každá z týchto rovníc má najviac n koreňov. Preto môže existovať len konečný počet algebraických čísel generovaných rovnicami s výškou h; preto môžu byť všetky algebraické čísla usporiadané vo forme postupnosti, pričom najprv sú uvedené čísla generované rovnicami výšky 1, potom čísla výšky 2 atď.

Tento dôkaz, že množina algebraických čísel je spočítateľná, potvrdzuje existenciu realnych čísel, ktoré nie sú algebraické. Takéto čísla sa nazývajú transcendentálne (z latinského transcendere - presť, prekonať); Euler im dal toto meno, pretože «prekračujú silu algebraických metód»։

Cantorov dôkaz existencecie transcendentalnych čisel nie je konštruktívny. Teoreticky povedané, transcendentálne číslo by sa dalo zostrojiť diagonálnou procedúrou vykonanou na imaginárnom zozname desiatkových expanzií všetkých algebraických čísel; ale takýto postup nemá žiadnu praktickú hodnotu a neviedol by k číslu, ktorého rozšírenie na desatinný (alebo nejaký iný) zlomok կողմից sa skutočne dalo zapísať. Najzaujímavejšie problémy spojené s transcendentálnymi číslami spočívajú v dokazovaní, že určité konkrétne čísla (sem patria čísla p a e, pozri s. 319–3222):

ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ Ա ՏՐԱՆՍՑԵՆԴԵՆՏՆ ČÍSLA

**2. Liouvilleova veta a konštrukcia transcendentalnych čisel. Dôkaz o existencii transcendentalnych čísel ešte pred Cantorom podal J. Liouville (1809–1862): Umožňuje skutočne zostaviť príklady takýchto čísel. Liouvillov dôkaz je zložitejší ako Cantorov, a to nie je prekvapujúce, pretože zostaviť príklad je vo všeobecnosti zložitejšie ako dokázať existenciu. Pri uvádzaní Liouvillovho dôkazu nižšie máme na mysli iba trénovaného čitateľa, hoci znalosť elementárnej matematiky úplne postačuje na pochopenie dôkazu:

Ako zistil Liouville, iracionálne algebraické čísla majú tú vlastnosť, že ich nemožno aproximovať racionálnymi číslami s veľmi vysokým stupňom presnosti, pokiaľ nie aproxima.

Predpokladajme, že číslo z spĺňa algebraickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi.

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +. . . + an xn = 0 (an 6 = 0),

ale nespĺňa rovnakú rovnicu nižšieho stupňa. Պոտոմ

povedzme, že samotné x je algebraické číslo stupňa n. Նապրիկլադ,

číslo z = 2 je algebraické číslo stupňa 2, pretože spĺňa rovnicu x2 − 2 = 0√ stupňa 2, ale nespĺňa rovnicu prvého stupňa; číslo z = 3 2 je stupňa 3, pretože spĺňa rovnicu x3 − 2 = 0, ale nespĺňa (ako ukážeme v kapitole III) rovnicu nižšieho stupňa. Algebraické číslo stupňa n > 1

nemôže byť racionálne, keďže racionálne číslo z = p q spĺňa.

spĺňa rovnicu qx − p = 0 stupňa 1. Každé iracionálne číslo z možno aproximovať s ľubovoľným stupňom presnosti pomocou racionálneho čísla; to znamená, že vždy môžete zadať postupnosť racionálnych čísel

p1, p2, . . .

q 1 q 2

s neobmedzene rastúcimi menovateľmi, ktorý má vlastnosť

Զե

p r → z. qr

Liouvilleova veta hovorí: nech je algebraické číslo z stupňa n > 1 akékoľvek, nemôže byť aproximované racionálnym.

dostatočne veľké menovatele, nerovnosť

z−p q			> qn1+1.

MATEMATICKÝ ČÍSELNÝ SYSTÉM

Dáme dôkaz tejto vety, ale najprv ukážeme, ako ju možno použiť na zostavenie transcendentálnych čísel. Zvážte cislo

z = a1 10−1! + a2 10-2! + a3 10-3! + . . . + dopoludnia · 10-մ! + . . . == 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000 . . . ,

kde ai znamená ľubovoľné číslice od 1 do 9 (najjednoduchšie by bolo nastaviť všetky ai na 1) խորհրդանիշ n!, ako obvykle (pozri str. 36), znamená 1 2 . . . n. Charakteristickou vlastnosťou desatinného rozvoja takéhoto čísla je, že sa v ňom striedajú skupiny núl s rýchlo rastúcou dĺžkou s jednotlivými číslicami inými. Označme zm konečný desatinný zlomok získaný zobratím všetkých členov do am · 10−m! vratane. Potom dostaneme nerovnosť

Predpokladajme, že z by bolo algebraické číslo stupňa n. Potom nastavením Liouvilleovej nerovnosti (3) p q = zm = 10 p m! , musíme mať

|զ - զմ | > 10(n+1)m!

na dosť veľke hodnotyմ. Porovnanie poslednej nerovnosti s nerovnicou (4) dáva

10(n+1)m!		10(մ+1)			10(մ+1)՛-1

odkiaľ nasleduje (n + 1)m! > (մ + 1)! − 1 pre dostatočne veľke m. To však neplatí pre hodnoty m väčšie ako n (nech si čitateľ dá tú námahu a podrobne dokáže toto tvrdenie): Dostali sme sa do rozporu. Takže číslo z je transcendentalne.

Zostava dokázať Liouvilleovu vetu. Predpokladajme, že z je algebraické číslo stupňa n > 1, ktoré spĺňa rovnicu (1), takže.

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn ).

Vydelením oboch častí zm − z a použitím algebraického vzorca

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

dostaneme:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm2 + zm z + z2) +. . .
	zm − z
		An (zm n-1 + ... + zn-1): (6)

ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ Ա ՏՐԱՆՍՑԵՆԴԵՆՏՆ ČÍSLA

Keďže zm má tendenciu k z, potom pre dostatočne veľké m sa racionálne číslo zm bude líšiť od z o menej ako jedna. Preto pre dostatočne veľké môžeme urobiť nasledujúci hrubý odhad:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

navyše číslo M vpravo je konštantné, keďže z sa pri dokazovaní nemení. Vyberme teraz m take veľké, že

zlomok z m = p m má menovateľ q m bol väčší ako M; Պոտոմքմ

|զ - զմ | >	|զ(զմ)|			|զ(զմ)|

|զ(զմ)| =							-qn
							1 p + . . . +a
Հիմնավորում cislo zm =			nemôže byť koreňom rovnice

odvtedy by bolo možné extrahovať faktor (x − zm ) z polynómu f(x), a preto by z vyhovovalo rovnici stupňa nižšieho ako n. Takže f(zm ) 6= 0: Z porovnania vzťahov (8) a (9) teda vyplýva nerovnosť.

|զ - զմ | >
					qn+1

čo je práve obsahom naznačenej vety.

Za posledných niekoľko desaťročí pokročil výskum o možnosti aproximácie algebraických čísel racionálnymi oveľa ďalej. Napríklad nórsky matematik A. Thue (1863–1922) zistil, že v Liouvilleovej nerovnosti (3) možno ցուցիչ n + 1 nahradiť menším exponentom n 2 + 1:

K. L. Siegel ukázal, že je možné brať aj menšie (ešte menšie

pre väčšie n) ցուցիչ 2 n.

Transcendentalne čísla boli vždy témou, ktorá priťahuje pozornosť matematikov. Ale až do pomerne nedávnej doby bolo medzi číslami, ktoré sú samy osebe zaujímavé, len veľmi málo známych, ktorých transcendentalny charakter bolo možné preukázať. (Z transcendencie čísla p, o ktorom bude reč v kapitole III, vyplýva nemožnosť kvadratúry kruhu pomocou pravítka a kružidla.) navrhol tridsať matematickych.

ՀԱՆՐԱՀԱՇԱՀԻ մնոզին

problémy, ktoré pripúšťajú jednoduchú formuláciu, niektoré dokonca celkom elementárne a populárne, z ktorých nielenže neboli vyriešené, ale dokonca sa zdali byť vyriešené pomocouy. Tieto «Hilbertove problémy» mali silný stimulačný účinok počas celého nasledujúceho obdobia vo vývoji matematiky. Takmer všetky boli postupne vyriešené a v mnohých prípadoch bolo ich riešenie spojené s jasným pokrokom vo vývoji všeobecnejších a hlbších metód. Jeden խնդիր, ktorý vyzeral dosť beznádejne, bol

dokaz, že číslo

je transcendentné (alebo aspoň iracionálne). Počas troch desaťročí nebol z nikoho ani náznak takého prístupu k problematike, ktorý by otvoril nádej na úspech. Napokon Siegel a nezávisle od neho aj mladý ruský matematik A. Gelfond objavili nové metódy na dokázanie transcendencie mnohých.

čísla, ktoré su dôležité v matematike. Najma bolo stanovene

transcendencia nielen Hilbertovho čísla 2 2, ale aj pomerne rozsiahlej tryy čísel tvaru ab, kde a je algebraické číslo iné ako 0 a 1 a b je iracionálne algebraické číslo.

DODATOK KU KAPITOLE II

Հանրահաշիվ մնոզին

1. Všeobecna teoria. Pojem tryy, zbierky alebo množiny objektov je jedným z najzákladnejších v matematike. Množina je definovaná nejakou vlastnosťou («atribútom») A, ktorú musí mať alebo nemá mať každý predmet, ktorý sa uvažuje; tie objekty, ktoré majú vlastnosť A tvoria množinu A. Ak teda uvažujeme celé čísla a vlastnosťou A je «byť prvočíslo», potom zodpovedajúca množina A pozostáva zo všetkých prvočíslo. . .

Matematická teória množín vychádza z toho, že z množín možno pomocou určitých operácií vytvárať nové množiny (tak ako sa nové čísla získavajú z čísel operáciamis). Štúdium operacií na množinách je predmetom «množinovej algebry», ktorá má veľa spoločného s bežnou numerickou algebrou, hoci sa od nej v niečom líši: Skutočnosť, že algebraické metódy možno použiť na štúdium nenumerických objektov, ako sú množiny, je názorná.

ՀԱՆՐԱՀԱՇԱՀԻ մնոզին

ukazuje veľkú všeobecnosť myšlienok modernej matematiky. Nedávno sa ukázalo, že množinová հանրահաշիվ vrhá nové svetlo na mnohé oblasti matematiky, napríklad teóriu miery a teóriu pravdepodobnosti; je užitočná aj pri systematizácii matematických pojmov a objasňovaní ich logických súvislostí:

V nasledujúcom budem označovať určitú konštantnú množinu objektov, ktorých povaha je indiferentná a ktorú môžeme nazvať univerzálnou množinou (alebo vesmírom uvažovania) a.

A, B, C,. . . budú nejaké podmnožiny I. Ak I je zbierka všetkých. prirodzene cisla, potom A, povedzme, môže označovať množinu všetkých párnych čísel, B je množina všetkých nepárnych čísel, C je množina všetkých prvočísel atď. Ak I označuje množinu všetkých bodov v rovine, potom. Je pre nás vhodné zahrnúť samotné I ako "podmnožinu", ako aj "prázdnu" množinu, ktorá neobsahuje akékoľvek prvky. I, ktoré túto vlastnosť majú. V prípade, že A je univerzálne implementovaná vlastnosť, ktorej príkladom je (ak ռոզպրավամե սա na číslach) vlastnosť splnenia triviálnej rovnosti x = x, potom zodpovedajúca podmnožina I bude sama I, keďže túto vlastnosť má každý prvok; na druhej strane, ak A je nejaká vnútorne protirečivá vlastnosť (ako x 6= x), potom zodpovedajúca podmnožina neobsahuje vôbec žiadne prvky, je «prázdna» a je označená խորհրդանիշ:

Hovoríme, že množina A je podmnožinou množiny B, skrátka «A je zahrnuté v B», alebo «B obsahuje A», ak v množine A nie je prvok, ktorý by nebol aj v množine B. Tento vzťásuod.

Ա Բ, ալեբո Բ Ա.

Napríklad množina A všetkých celých čísel deliteľných 10 je podmnožinou množiny B všetkých celých čísel deliteľných 5, keďže každé číslo deliteľných 10. zťah B A. Ak a tak či tak

To znamená, že každý prvok A je zároveň prvkom B a naopak, takže množiny A a B obsahujú presne tie isté prvky.

Vzťah A B medzi množinami v mnohých ohľadoch pripomína vzťah a 6 b medzi číslami. Predovšetkým si všimneme nasledovné

ՀԱՆՐԱՀԱՇԱՀԻ մնոզին

nasledujuce vlastnosti tohto pomeru:

1) Ա.

2) Ak A B a B A, potom A = B:

3) Ak A B a B C, potom A C:

Z tohto dôvodu sa vzťah A B niekedy označuje ako «relácia poradia»: Hlavný rozdiel medzi uvažovaným vzťahom a vzťahom a 6 b ťahov a 6 b alebo b 6 a, zatiaľ čo pre vzťah A B medzi množinami podobné tvrdenie je unpravdive. Napríklad, ak A je množina pozostávajúca z čísel 1, 2, 3,

a B je množina pozostávajúca z čísel 2, 3, 4,

potom neplatí vzťah A B ani vzťah B A. Z tohto dôvodu hovoríme, že podmnožiny A, B, C, . . . množiny I sú «čiastočne usporiadané», kým realne čísla a, b, c, . . .

tvoria «dobre usporiadaný» súbor.

Všimnite si, mimochodom, z definície vzťahu A B vyplýva, že bez ohľadu na podmnožinu A množiny I,

Vlastnosť 4) sa môže zdať trochu paradoxná, ale ak sa nad tým zamyslíte, logicalky presne zodpovedá presnému významu definície znaku. V skutočnosti by bol porušený iba vzťah A

Վ v prípade, že prázdna množina obsahovala prvok, ktorý by nebol obsiahnutý v A; ale keďže prázdna množina neobsahuje vôbec žiadne prvky, nemôže to tak byť, nech je A akékoľvek.

Teraz definujeme dve operácie na množinách, ktoré majú formálne mnohé z algebraických vlastností sčítania a násobenia čísel, hoci sú svojím vnútorným obsahom úplne odlišich. Nech A a B sú nejaké dve množiny. Zjednotenie alebo «logický súčet» A a B

Վ Բ Tato sada je označená ako A + B. 1 «Priesečník» alebo «logický súčin» A a B sa chápe ako množina pozostávajúca z tých prvkov, ktoré sú obsiahnuté v A aj B. Táto množina sa označuje ako AB.2.

Medzi doležité algebraické vlastnosti operacií A + B a AB uvádzame nasledovné. Čitateľ si bude môcť overiť ich platnosť na základe definície samotných operacií:

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	A(B + C) = AB + AC:		A + (BC) = (A + B) (A + C):
	Vzťah A B je ekvivalentný každému z týchto dvoch vzťahov.

Controla všetkých týchto zákonov je vecou tej najzákladnejšej logiky. Napríklad pravidlo 10) uvádza, že množina prvkov obsiahnutých v A alebo A je len množina A; pravidlo 12) uvádza, že množina tých prvkov, ktoré su obsiahnuté v A a súčasne sú obsiahnuté buď v B alebo v C, sa zhoduje so množinou prvkov, ktoré su buď obsiahnuté v. ne v A. a C Logické uvažovanie používané pri dôkazoch tohto druhu pravidiel je vhodne ilustrované, ak súhlasíme s reprezentáciou množín A, B, C, . . v podobe nejakých figúrok na rovine a budeme veľmi opatrní, aby sme nepremeškali niektorú z vynárajúcich salogicalkých možností, keď ide o prítomnosť spoločných prvkov dvoch množopine množínotom. ktoré nie su obsiahnuté v druhom.

ՀԱՆՐԱՀԱՇԱՀԻ մնոզին

Čitateľ nepochybne upozornil na skutočnosť, že zakony 6), 7), 8), 9) a 12) sú navonok totožné so známymi komutatívnymi, asociatívnymi a distributívnymi zákonmi bežne. Z toho vyplýva, že všetky pravidlá obyčajnej հանրահաշիվ, ktoré z týchto zákonov vyplývajú, platia aj v algebre množín. Naopak, zakony 10), 11) a 13) Napríklad binomický vzorec v množinovej algebre sa redukuje najjednoduchšiu rovnosť

(A + B) n = (A + B) · (A + B): . . (A + B) = A + B,

čo vyplýva zo zakona 11): Zákony 14), 15) a 17) hovoria, že vlastnosti množín a I vo vzťahu k operáciám zjednotenia a prieniku množín sú veľmi podobné vlastnostiam čísel 0 a 1 vo vzícháhu operaciám zjednotenia a prieniku množín sú veľmi podobné vlastnostiam čísel 0 a 1 vo vzícháuopera násobenie. Ale zakon 16) nemá v numerickej algebre obdobu.

Zostava definovať ešte jednu operaciu v algebre množín. A0 . Takze, ak I je množina všetkých prirodzených čísel a A je množina všetkých prvočísel, potom z A do A0 , pre ktorú neexistuje analóg v bežnej algebre má nasledujúce vlastnosti:

	A + A0 = I.		AA0 =.
	0 = I.		I0 =.

23) A 00 = Ա.

24) Vzťah A B je ekvivalentný vzťahu B 0 A0.

25) (A + B)o = A0BO: 26) (AB)o = Ao + B0:

Overenie týchto vlastností opäť nechávame na čitateľa.

Zákony 1)–26) sú základom հանրահաշիվ մնոզին. Majú pozoruhodnú vlastnosť «երկակիություն» v nasledujúcom zmysle:

Ak v niektorom zo zakonov 1)–26) nahradime zodpovedajúci.

(pri každom ich výskyte), potom je výsledkom opäť jeden z tých istých zakonov. Napríklad zákon 6) prechádza do zákona 7), 12) - անել 13), 17) - անել 16) atď. Z toho vyplýva, že každej vete, ktorú možno odvodiť zo zákonov. Skutočne, od dokazu

գլ. II ՀԱՆՐԱՀԱՇԱՀԻՐ množín 139

պրվա վետա պոզոստավա զ կոնզիստենտային կիրառություն(v rôznych štádiách prebiehajúceho uvažovania) niektorých zákonov 1–26), potom aplikácia «duálnych» zákonov v zodpovedajúcich štádiách bude predstavovať dôkaz «duálnej» vety. (Podobnú «dualitu» v geometria nájdete v kapitole IV.)

2. Կիրառում է matematickú logiku. Overenie zákonov հանրահաշիվը množín bolo založené na analýze logického významu vzťahu A B a operacií A + B, AB a A0: Teraz môžeme tento process zvrátiť a považovať zákony 1)–26) za základ pre «հանրահաշվի տրամաբանությունը»։ Povedzme presnejšie՝ tú časť logiky, ktorá sa týka množín, alebo v podstate rovnakých vlastností uvažovaných objektov, možno zredukovať na formalny algebraický system založený na zákonoch): Logický «podmienený vesmír» սահմանում է množinu I; ktoré majú túto vlastnosť. Pravidlá na preklad bežnej logickej terminológie do stanoveného jazyka sú jasné z.

nasledujuce príklady:
«Անի Ա անի Բ»			(A + B)0 alebo, čo je to isté, A0 B0
«Նիե ջե պրավդա, զե Ա աջ Բ»			(AB)0 alebo, čo je to isté, A0 + B0
je B», ալեբո
«Ակ Ա, թակ Բ»
«Od A nasleduje B»
«Niektore A je B»
«Nie A je B»			AB=
«Niektoré A nie su B»			AB0 6=
«Neexistuje žiadne A»

Z hľadiska množinovej algebry má sylogizmus «Barbara», ktorý znamená «ak každé A je B a každé B je C, potom každé A je C», jednoduchú formu:

3) Ak A B a B C, potom A C:

Podobne «zákon protirečenia», ktorý uvádza, že «predmet nemôže mať a zároveň nemať nejakú vlastnosť», je napísaný takto:

20) AA 0 = ,

Ա «zákon vylúčeného stredu», ktorý hovorí, že «predmet buď musí mať alebo nemusí mať nejakú vlastnosť» je napísaný:

19) A + Ao = I.

ՀԱՆՐԱՀԱՇԱՀԻ մնոզին

S tou časťou logiky, ktorá je vyjadrená pomocou symbolov, +, a 0 , možno teda zaobchádzať ako s formálnym algebraickým systémom podľa zákonov 1)–26): Na základe spojenia logickej analýzy matematiky a matematickej analýzy logiky vznikla nová disciplína - matematická logika, ktorá je v súčasnosti v processe prudkého rozvoja:

Z axiomatického hľadiska možno pozoruhodnú skutočnosť, že tvrdenia 1)–26), spolu so všetkými ostatnými vetami množinovej հանրահաշիվ, տրամաբանական odvodiť z nasledujrovcich tro:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0)0 + (A0 + B)0 = A.

Z toho vyplýva, že algebra množín môže byť skonštruovaná ako čisto deduktívna teória, podobne ako euklidovská geometria, na základe týchto troch tvrdení braných ako axiómy. Ak sú tieto axiómy prijaté, potom operacia AB a vzťah A B sú definované v podmienkach A + B a A0 :

	označuje množinu (A0 + B0 )0 ,
	B znamena, že A + B = B.

Úplne iný príklad matematického systému, v ktorom sú splnené všetky formálne zákony algebry množín, poskytuje sústava ôsmich čísel 1, 2, 3, 5, 6, 10, 00, 15,

podľa definície najmenší spoločný násobok aab, ab je najväčší spoločný deliteľ aab, ab je výrok «b je deliteľné a» a a0 je číslo 30 a . Սու-

Existencia takýchto príkladov viedla k štúdiu všeobecných algebraických systémov spĺňajúcich zákony 27): Takéto systémy sa nazыvajú «Booleovské algebry» podľa anglického matematika a logika Georga Boolea (1815 – 1864), ktorého kniha Vyšetrovanie zákonov myslenia vyšla v roku 1854 թ.

3. Jedna z aplikácií do teórie pravdepodobnosti. Množinová հանրահաշիվ úzko súvisí s teóriou pravdepodobnosti a umožňuje vám pozrieť sa na ňu v novom svetle. Uvažujme o najjednoduchšom príklade: predstavme si experiment s konečným počtom možných výsledkov, pričom všetky sú považované za «rovnako možné»: Փորձը môže napríklad spočívať v náhodnom ťahaní karty z dobre zamiešaného plného balíčka. Ak množinu všetkých výsledkov experimentu označíme I a A nejakú podmnožinu I, potom pravdepodobnosť, že výsledok experimentu bude patriť do podmnožiny A, je definovaná ako pomer.

p(A) = počet prvkov Ա. počet prvkov I

ՀԱՆՐԱՀԱՇԱՀԻ մնոզին

Ak súhlasíme, že počet prvkov v nejakej množine A označíme n(A), potom posledná rovnosť môže mať tvar.

V našom príklade, za predpokladu, že A je podmnožinou palíc, dostaneme.
n(A) = 13, n(I) = 52 a p(A)=

Myšlienky algebry množín sa nachádzajú pri výpočte pravdepodobností, keď je potrebné, poznať pravdepodobnosti niektorých množín, vypočítať pravdepodobnosti iných. Napríklad vzhľadom na pravdepodobnosti p(A), p(B) a p(AB) môžeme vypočítať pravdepodobnosť p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) - p(AB):

Dokázať to nebude ťažké. Մամե

n(A + B) = n(A) + n(B) - n(AB),

keďže prvky obsiahnuté súčasne v A a B, t. ժ. prvky AB, sa pri výpočte súčtu n(A) + n(B) počítajú dvakrát, a preto je potrebné od tohto súčtu odpočítať n(AB): aby sa vypočítalo n(A + B) bolo vytvorené správne. Potom vydelením oboch strán rovnosti n(I) dostaneme vzťah (2):

Zaujímavejší vzorec získame, ak hovoríme o troch množinách A, B, C z I. Pomocou vzťahu (2) máme.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) - p[(A + B)C]:

Zákon (12) z predchádzajúceho odseku nám dáva (A + B)C = AC + BC. To znamena:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) - p(ABC):

Nahradením hodnoty p[(A + B)C] a hodnoty p(A + B) prevzatej z (2) do vzťahu získaného skôr, dostaneme vzorec, ktorý potrebujeme:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) - p(AB) - p(AC) - p(BC) + p(ABC): (3)

Ako príklad zvážte nasledujúci փորձ: Tri čísla 1, 2, 3 sú napísané v ľubovoľnom poradí. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň jedna z číslic bude na správnom (z hľadiska číslovania) mieste? Nech A je množina permutácií, v ktorých je číslo 1 na prvom mieste, B je množina permutácií, v ktorých je číslo 2 na druhom mieste, C je množina permutácií, v ktorých je na číslo. միեստո. Musíme vypočítať p(A + B + C). Ջասնեին

p(A) = p(B) = p(C) = 26 = 13;

skutočne, ak je akákoľvek číslica na správnom mieste, potom existujú dve možnosti, ako zmeniť ussporiadanie zvyšných dvoch číslic z celkového počtu 3 2 1 = 6 permutáscin. Պալեջ

Cvicenie. Odvoďte vhodný vzorec pre p(A + B + C + D) a applikujte ho na experiment, ktorý bude zahŕňať 4 číslice. Zodpovedajúca pravdepodobnosť je 5 8 = 0,6250:

Všeobecny vzorec pre spojenie n množín je

p(A1 + A2 + ... + An ) =
	p(Ai) -
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(A1 A2 ... An ), (4)
kde խորհրդանիշներ				označujú sučet všetkých možných

kombinácie obsahujuce jeden, dva, tri, . . . , (n − 1) písmená z A1 , A2 , . . .

ան. Tento vzorec možno stanoviť matematickou indukciou - rovnako ako vzorec (3) bol odvodený zo vzorca (2):

Zo vzorca (4) môžeme usúdiť, že ak je n číslic 1, 2, 3, . . . , n sú napísané v ľubovoľnom poradí, potom pravdepodobnosť, že aspoň jedna z číslic bude na správnom mieste, sa rovná.

pn = 1

kde pred posledným členom je znamienko + alebo − v závislosti od toho, či je n párne alebo nepárne. Najmä pre n = 5 sa táto pravdepodobnosť rovná

p5 = 1 - 2! + 3! - 4! +5! = 30 = 0,6333: . .

V kapitole VIII uvidíme, že keď n ide do nekonečna, výraz.

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! +4! − . . . ±n!

smeruje k hranici 1 e , ktorej hodnota s piatimi desatinnými miestami,

rovna sa 0.36788. Keďže zo vzorca (5) je jasné, že pn = 1 − Sn, z toho vyplýva, že ako n → ∞.

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Každé transcendentalne realne cislo je iracionálne, ale opak nie je pravdou. Նապրիկլադ Սիսլո $\backslash sqrt\; 2$- iracionálny, ale nie transcendentný: je koreňom mnohočlenu $x^2-2$(նախքան հանրահաշվական):

Poradie na množine realych transcendentalnych čísel je izomorfné s poradím na množine iracionálnych čísel.

Mierou iracionality takmer každého transcendentalneho čísla je 2.

Պրիկլադի

Պրիբեհ

Prvýkrát koncept transcendentálneho čísla zaviedol J. Liouville v roku 1844, keď dokázal vetu, že algebraické číslo nemožno príliš dobre aproximovať racionálnym zlomkom.

|վերնագիր3= Nástroje rozšírenia
číselné sústavy |nadpis4= Hierarchia čísel |zoznam4=

$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Սելե Սիսլա $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Հիմնավորում cisla $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Realne cisla
$-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$	Complexne cisla

$1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash bodky$ Քառատոնականություն $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; բոկոտիկ$ transcendentalne cisla Cislo Ray Biquaternion

Úryvok charakterizujúci Transcendentné číslo

- Ako môžeš byť zdravý... keď morálne trpíš? Dá sa v našej dobe, keď má človek pocit, zostať pokojný? Պովեդալա Աննա Պավլովնա. «Bol si so mnou celý večer, dúfam»:
- A sviatok anglického vyslanca? Dnes je Streda. Musím sa tam ukázať, «povedal princ. - Moja dcera ma vyzdvihne a vezme.
Myslel som, že tento sviatok bol zrušený. Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d «umelosť začína a devenir insipides»: [Priznávam, že všetky tieto sviatky a ohňostroje sa stávajú neznesiteľnými.]
«Keby vedeli, že to chceš, sviatok by bol zrušený», povedal princ zo zvyku ako hodiny na ranu a hovoril veci, ktorým nechcel veriť.
– Ne me tourmentez pas. Eh bien, qu "a t on rozhodnúť par rapport a la depeche de Novosiizoff? Vous save tout." [Nemucte ma. Ո՛չ, ako ste sa rozhodli pri príležitosti odoslania Novosiltsova? Všetci viete.]
- Իսկ դու մամ պովեդա՞՞ն: povedal princ chladnym, znudenym tonom. - Որո՞նք են ռոժոդնու՞՞նը։ Ako Ste sa rozhodli? Rozhodli sme sa, že Bonaparte spálil svoje lode; a zdá sa, že aj my pripravený spáliť naše.] - Princ Vasilij vždy hovoril lenivo, ako herec hovorí rolu starej hry. Anna Pavlovna Šerer, naopak, bola napriek štyridsiatim rokom plná animácií a impulzov.
Byť nadšencom sa stalo jej spoločenským postavením a niekedy, keď ani nechcela, sa z nej stala nadšenkyňa, aby neoklamala očakávania ľudí, ktorí ju poznali: Anny Pavlovnej, hoci sa netýkal jej zastaraných čŕt, vyjadroval, ako u rozmaznaných detí, neustále vedomie jej sladkého nedostatku, z ktorého ne chce, nemôže a ani to nepovažuje za potrebné. aby sa opravila.
Վերելք ռոժովորու ո պոլիտիկ ակցիաչ սա Աննա Պավլովնա վզրուշիլա.
«Ախ, նեհովորտե մի ո Ռակուսկու! Nerozumiem možno ničomu, ale Rakúsko vojnu nikdy nechcelo a nechce. Օնա նաս զրադի. Spasiteľom Europe Music byť len Rusko. Náš dobrodinec pozná svoje vysoké povolanie a bude mu verný. Tu je jedna vec, ktorej verim. Náš dobrý a úžasný suverén má najväčšiu úlohu na svete a je taký cnostný a dobrý, že ho Boh neopustí a on splní svoje povolanie rozdrviť hydru revolúcie, ktorá je rišjstev. tohto vraha a darebaka. Len my musíme odčiniť krv spravodlivých... V koho máme dúfať, pýtam sa vás?... Anglicko so svojím obchodným duchom nepochopí a nemôže pochopiť celú vznešenosť duše. Odmietla vycistiť Maltu. Chce vidieť, hľadá spätnú myšlienku našich činov. Čo povedali Novosilcovovi?... Nič. Nechápali, nedokážu pochopiť nezištnosť nášho cisára, ktorý nechce nič pre seba a všetko chce pre dobro sveta. Որո՞նք են ձեր կյանքը: Նիկ. A čo sľúbili, to sa nestane! Prusko už vyhlásilo, že Bonaparte je neporaziteľný a že celá Európa proti nemu nič nezmôže... A ja neverím ani slovo Hardenbergovic, ani Gaugwitzovi. Cette fameuse neutralite prussienne, ce n «est qu» un piege. [Táto povestná neutralita Pruska je len pasca.] Verim v jedného Boha a vo vysoký osud nášho drahého cisara. Zachráni Európu…»

Na realnej čiare je okrem algebraických čísel ešte jedna množina, ktorej mohutnosť sa zhoduje s mohutnosťou celej čiary - ide o množinu transcendentálnych čísel.

Սահմանում 6 : Volá sa cislo, ktoré nie je algebraické տրանսցենդենտություն, teda transcendentalne číslo (լատ. transcendere - prejsť, prekročiť) - ide o skutočné resp. համալիր cislo, ktorý nemôže byť koreňom polynómu (nie identicky nula) s racionálnymi koeficientmi

Vlastnosti transcendentalnych čisel:

· Množina transcendentalnych čísel je súvislá.

· Každé transcendentalne realne číslo je iracionálne, ale opak nie je pravdou. Napríklad číslo je iracionálne, ale nie transcendentné: je koreňom polynómu (a preto je algebraické):

Poradie na množine realych transcendentalnych čísel je izomorfné s poradím na množine iracionálnych čísel.

· Miera iracionality takmer každého transcendentalneho čísla sa rovná 2.

Existenciu transcendentalnych čisel prvýkrát dokázal Liouville. Laouvilleov dôkaz existencecie transcendentalnych čísel je účinný; na základe nasledujúcej vety, ktorá je priamym dôsledkom vety 5, sú konštruované konkrétne príklady transcendentálnych čísel.

Վետա 6 [3, շերտ 54].: Նեչաջ je skutocne cislo. Ակ պրե նեջակե պրիրոդնե n 1 akekoľvek skutocne գ>0, existuje aspoň jeden racionálny zlomok taký, že (11), potom je transcendentalne cislo.

dokaz:Աք bol հանրահաշիվ, potom by bolo (Veta 5) kladné celé číslo nափսե գ>0 tak, že pre akýkoľvek zlomok by to bolo, a to odporuje skutočnosti, že (11) prebieha. Պրեդպոկլադ, զե algebraické cislo, t.j. transcendentne cislo. Veta bola dokazana.

Čísla, pre ktoré, pre ľubovoľné n 1 ա գ>0 nerovnosť (11) má riešenie v celých číslach աԱ բ sa nazyvajú transcendentalne Liouvilleove čísla.

Teraz máme zariadenie na zostavovanie nealgebraických realnych čísel. Musíme zostrojiť číslo, ktoré umožňuje aproximácie ľubovoľne vysokého rádu.

Պրիկլադ:

ա je transcendentalne cislo.

Berte svojvoľne skutočne n 1 ա գ>0. Նեչայ կդե կ vybrane tak veľké, ze կն, Պոտոմ

Keďže pre svojvoľne n 1 ա գ>0, môžete nájsť taký zlomok, že potom je transcendentálne číslo.

Nastavme číslo v tvare nekonečneho desatinneho zlomku՝ kde

Potom, kdekoľvek, . Teda, a to znamená, že pripúšťa proximácie ľubovoľne vysokého rádu, a preto nemôže byť algebraické.

Վ րոկու 1873 Շ. Ճգնավոր dokazal transcendenciu chisla ե, zaklady prirodzenych logaritmov.

Dokazať transcendenciu chisla եսու պոտրեբնե դվե լեմմի.

Լեմ 1.Աք է(X) je polynóm s celočíselnými koeficientmi, potom pre ľubovoľné. կՆ vsetky koeficienty k-ածանցյալ է (կ) (X) սա դելիա նա կ!.

Դոկազ. Keďže օպերատոր d/dx lineárne, potom stačí overiť tvrdenie lemy len pre polynómy tvaru է(X)=X s , ս 0.

Աք կ>ս, Դեպի է (k) (X)=0 ա կ!|0.

Աք կ< s , Դեպի

binomický koeficient je celé číslo a է(կ) ( X) je opäť deliteľné կ! úplne.

Լեմա 2 (Identita pustovníka) .Նեչաջ զ(X) je բազմանդամ ľubovoľného stupňa կ s realnymi koeficientmi,

F( X)=զ(X)+զ" (X)+զ"(X)+ … +զ (k) (X) je súčtom všetkých jeho derivátov. Potom pre akékoľvek skutočné (a dokonca zložité, ale zatiaľ to nebudeme potrebovať) X hotovy:

Դոկազ. Integracia podľa casti:

Ինտեգրալ ե օպäť ինտեգրվածություն po častiach atď. Opakovanim tohto postupu կ+1 krat, dostaneme:

Վետա 7 (Հերմիտ, 1873). սիսլո ե տրանսցենդենտալ.

Դոկազ. Dokážme toto tvrdenie protirečením. Predpokladajme, že ե - algebraické cislo, mocniny մ. Պոտոմ

ա մ ե մ + … +ա 1 ե+ա 0 =0

pre niektore prirodzene մ a niektore cele ա մ ,… ա 1 , ա 0 Namiesto toho dosaďte identitu Hermite (12): X cele cislo կ ktorý nadobuda hodnoty od 0 do մ; vynásobte každú rovnicu

համապատասխան ԱԺ ա կ a potom ich všetky zratajte. Դոստանեմե:

Keďže (toto je náš nepríjemný predpoklad), ukázalo sa, že pre akýkoľvek polynóm. զ(X) musí byť splnená rovnosť:

Vhodnou voľbou polynomu զ(X) môže byť urobené cava strana(13) nenulové celé číslo a prava strana bude potom medzi nulou a jednotkou.

Zvážte բազմանդամ kde nսահմանում ենք ( nՆ, Ա n veľky):

Číslo 0 je koreňom násobnosti n-1 բազմանդամ զ(X), համարներ 1, 2,…, մ- korene mnohosti n, թեդա:

զ (լ) (0)=0, լ=1,2,…, n-2

զ(n-1) (0) = (-1) մն (մ!) n

զ (լ) (կ)=0, լ=0,1, …, n-1; կ=1,2,…, մ

Զվաժտե գ( X)=X n-1 (X-1) n (X-2) n … (x-m) n je բազմանդամ նման զ(X), ale s celočíselnými koeficientmi. Podľa Lemy 1 su koeficienty g ( լ) (Xլսել) sú celé čísla deliteľné číslom լ!, Թեդա Քեյ լ< n ածանցյալ g ( լ) (X) všetky koeficienty sú celé čísla deliteľné číslom n, pretože g( լ) (X) sa získa z g (l) ( X) դելեն իբա ( n-1)! Պրետո

kde Ա je vhodné celé číslo a nad znamienkom súčtu je číslo ( մ+1) n-1 - բազմանդամ քայլեր զ(X) a hoci je možné sčítať do nekonečna, nenulové derivácie y. զ(X) je presne toľko.

Պոդոբնե

kde Բ կ- vhodne celé chisla, կ = 1, 2,…, մ.

Նեչայ տերազ nՆ - akékoľvek celé číslo, ktoré spĺňa podmienky:

Zvážte znova rovnosť (13):

V súčte vľavo sú všetky členy celé čísla a. ա կ Ֆ(կ)պրի կ = 1, 2,…, մդելենո n, Ա ա 0 Ֆ(0) zapnute n nezdieľa. To znamená, že celý súčet je celé číslo, n nezdieľa, t.j. nie je nullovy. թեդա

Poďme teraz odhadnúť pravú stranu rovnosti (13): Je jasné, že na segmente a teda aj na tomto segmente

kde su konstanty Գ 0 ա Գ 1 նեզավիսիա ոդ n. Ստորագրել

Preto za dostatocne veke n, pravá strana (13) je menšia ako jedna a rovnosť (13) nie je možná.

V roku 1882 Lindemann dokázal teorem o transcendencii moci ե s nenulovým algebraickým exponentom, čím sa dokazuje transcendencia čísla.

Veta 8 (Lindemann) [3, երկիր 58]. Ak je algebraické cislo a, potom je cislo transcendentalne.

Lindemannova veta umožňuje konštruovať transcendentalne čísla.

Պրիկլադի:

Z Lindemann vety napríklad vyplýva, že číslo ln 2 - transcendentny, pretože 2=ե V 2, a číslo 2 je algebraické, a ak číslo ln 2 bolo հանրահաշիվ, potom by podľa lemy číslo 2 bolo transcendentalne číslo.

Vo všeobecnosti, pre akúkoľvek հանրահաշիվ, ln podľa Lindemannovej vety je transcendentalny. Ak transcendentne, potom ln nie nevyhnutne transcendentalne číslo, napr. Վ ե =1

Ukazuje sa, že sme stále stredna skola videl veľa transcendentalnych čisel - ln 2,լն 3,լն() a tak ďalej.

Poznamenávame tiež, že čísla vo forme sú transcendentalne pre akékoľvek nenulové algebraické číslo Napríklad čísla sú transcendentalne, .

Ak je to transcendentalne, potom nie nevyhnutne transcendentalne čísla, napr.

Dôkaz Lindemannovej vety je možné vykonať pomocou ինքնությունը Hermite, rovnakým spôsobom ako bola dokázaná transcendencia, s určitými komplikáciami v transformáciách. Presne tak to dokázal aj samotný Lindemann. A túto vetu môžete dokázať iným spôsobom, ako povedal sovietsky matematik A.O. Gelfond, ktorého myšlienky viedli v polovici 20. storočia k riešeniu Hilbertovho siedmeho problému.

V roku 1900 on II. medzinárodnom kongrese matematikov Hilbert medzi problémami, ktoré sformuloval, sformuloval siedmy problém. . Tento problem vyriešil v roku 1934 Gelfond, ktorý dokázal, že všetky takéto čísla sú skutočne transcendentalne.

Dôkaz transcendencie hodnôt exponenciálnej funkcie, navrhnutý Gelfondom, je založený na použití interpolačných metód.

Պրիկլադի.

1) Na základe Gelfondovej vety je možné napríklad dokázať, že číslo je transcendentálne, pretože ak by bolo algebraicky iracionálne, potom, keďže číslo 19-ի կողմից podľden bolonety պրակ.

2) Նեչայիտ աԱ բ- iracionalne cisla. Môže číslo ա բռացիոնալ?

Samozrejme, pri použití Hilbertovho siedmeho problému nie je ťažké vyriešiť tento problem. Toto číslo je skutočne transcendentné (pretože ide o algebraické iracionálne číslo): Ale všetky racionálne čísla sú algebraické, teda - iracionálne. Na druhej strane,

Takže sme práve predstavili tieto čísla:, Tento problem sa však dá vyriešiť aj bez akéhokoľvek odkazu na výsledok Gelfondu. Môžeme uvažovať takto՝ zvážte číslo. Ak je toto číslo racionálne, potom je problém vyriešený, napr աԱ բհայտնաբերվել է. Ակ ջե տո իրացիոնալնե, տակ բերիմե ա.

Predstavili sme teda dva pary čisel աԱ բ, tak, že jeden z týchto párov spĺňa podmienku, ale nevie, ktorá. Ale koniec koncov, nebolo potrebné prezentovať takýto pár! Toto riešenie je teda v istom zmysle existenciou teorémom.

Cislo sa vola հանրահաշիվ, ak ide o koreň nejakého polynómu s celočíselnými koeficientmi

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(t.j. koren rovnice a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, KDE a n, a n-1, ..., 1, 0 --- Չելեչիսլա, n 1, 0).

Množinu algebraických čísel označíme písmenom .

Je ľahké vidieť, že každé racionálne číslo je algebraické. V skutočnosti je koreňom rovnice qx-p=0 s celočíselnymi koeficientmi ա 1 = քԱ a 0 =-p. takže, .

Nie všetky algebraické čísla sú však racionálne: napríklad číslo je koreňom rovnice x2-2 = 0, je teda algebraické cislo.

Նա դլհու դոբու zostala nevyriešená dôležitá otázka pre matematiku: Existujú nealgebraické realne čísla ? Až v roku 1844 uviedol Liouville prvý príklad transcendentného (t. j. nealgebraického) čísla.

Konštrukcia tohto čísla a dôkaz jeho transcendencie sú veľmi ťažké. Je oveľa jednoduchšie dokázať existenciu teorému pre transcendentálne čísla pomocou úvah o ekvivalencii a neekvivalencii číselných množín:

Totižto dokážeme, že množina algebraických čísel je spočítateľná. Պոտոմ.

Vytvorme medzi sebou korešpondenciu jedna ku jednej a nejaka podskupina . To bude znamenať, že - samozrejme alebo spočítateľne. Ale odvtedy , Դեպի nekonečné, a teda spočítateľné.

Nech je nejaké algebraické cislo. Zvážte všetky polynómy s celočíselnými koeficientmi, ktorých koreň je , a vyberte si z nich polynóm. Պ minimálny stupeň (t. j. nebude existovať koreň žiadneho polynómu s celočíselnými koeficientmi menšieho stupňa):

Napríklad pre racionálne číslo má takýto polynóm stupeň 1 a pre číslo má stupeň 2.

Rozdeľte všetky koeficienty polynómu Պ k ich najväčšiemu spoločnému deliteľovi. Získame polynóm, ktorého koeficienty sú v súhrne relatívne prvočísla (ich najväčší spoločný deliteľ je 1): Nakoniec, ak je veduci koeficient a n je zaporné, vynásobíme všetky koeficienty polynómu o -1 .

Výsledný polynóm ny բազմանդամ թիվ:

Dá sa dokázať, že takýto polynóm je jednoznačne definovaný:

Počet realnych koreňov polynómu nie je väčší ako jeho stupeň. Preto je možné vymenovať (napríklad vo vzostupnom poradí) všetky korene takéhoto polynómu.

Teraz je každé algebraické číslo úplne určené jeho minimálnym polynómom (t. j. množinou jeho koeficientov) a číslom, ktoré tento polynóm odlišuje od iných koreňov: (a 0,a 1,...,a n-1,a n,k):

Každému algebraickému číslu sme teda priradili konečnú množinu celých čísel a táto množina je jedinečne obnovená (t.j. rozne čísla zodpovedajú rôznym suborom):

Všetky prvočísla vymenujeme vo vzostupnom poradí (je ľahké ukázať, že ich je nekonečne veľa): Dostaneme nekonečnú postupnosť (pk): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Teraz mnozina celých čisel (a 0,a 1,...,a n-1,an,k) sa da zladiť

(toto číslo je pozitívne a racionálne, ale nie vždy prirodzene, pretože medzi číslami 0, 1, ..., a n-1, môže byť negatívny): Všimnite si. Všimnite si tiež, že dva ireducibilné zlomky s kladnými čitateľmi a menovateľmi sú rovnaké vtedy a len vtedy, ak sú obaja ich čitatelia rovnakí a ich menovatelia sú.

Zvážte teraz postupne mapovanie:

(a 0,a 1,...,a n-1,a n,k) =

Keďže rôznym algebraickým číslam a rôznym množinám sme priradili rôzne množiny celých čísel. --- rozne racionálne čísla, potom sme teda vytvorili korešpondenciu jedna ku jednej medzi množinou a nejaka podskupina . Preto je množina algebraických čísel spočítateľná.

Keďže množina realnych čísel je nespočítateľná, dokázali sme existenciu nealgebraických čísel.

Existenčná veta však nenaznačuje, ako určiť, či je dané číslo algebraické. A táto otázka je niekedy pre matematiku veľmi dôležitá.